幂函数图像

y=x 2
(4,2)
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x -3 -2 -1 1 2 3
-2
y x1 -1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
注 1、幂函数的解析式必须是 y=xα 的形式，
同时满足“系数为1，底数是自变量x且指数 为常数”.
意 2、定义域与α的关系.
幂函数与指数函数的对比
基本初等函数 指数函数: y=ax
幂函数: y= xα
名称
底数
指数
a
x
xα
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看看自变量x是指数还是底数
指数函数
幂函数
限内的图象，已知 k分别取1,1, 1 , 2
2
则相应图象依次为:________
四个值，
一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧， 大指数在上，小指数在下(指大图高)， 在y轴与直线x =1之间正好相反。
例：利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）-0.20.3 与 -0.30.3 （3） 0.83.5 与 0.83.4 （4）
-3
-4
不管指数是多少(-2,,4) 图象都经过哪个
定点?
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1 在第一象限内， (-1,-1) 当α>0时，图象随x增大而上升。
-2 当α<0时，图象随x增大而下降。
-3 图象都经过点（1，1） -4 α>0时,图象还都过点(0,0)点
这个正y 方x形3 的
边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数;
1
y x2
(5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平
均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数. １：以上各题目的函数关系分别是什么？
y

1
x
２：以上问题中的函数具有什么共同特征？ y=xα
一、幂函数的定义
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自 变量，α是常数.
过定点（１，１）
3、幂值比较
（1）底数不同，指数相同，考虑幂函数； （2）底数相同，指数不同，考虑指数函数； （3）底数指数都不同，引入中间值。
4
3
2
1
(1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y=x2 9 4 1 0 1 4 9 3
y=x
2
1
(1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
(-2,4)
4
3
2
(2,4) y=x
1
(-1,1)
(1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
1.判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=2x
(2) y

1 x2
1
(4) y x 2
(5) y=3x2
(3) y= 1
(6) y=x3-2
2.若幂函数y=f(x)的图象过点 (2, 2 ) ,则函 数的解析式为__________
二、幂函数的图像及性质
在同一平面直角坐标系内作出幂函数 y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的图象.
练习
1） 1.30.5＜ 1.50.5
2） 5.12 ＜ 5.092
1
1
3） 1.794 ＞ 1.814
4）
(2

a
2

)
2
3≤
2
23
小结
1、幂函数的定义 形如 y=xα （α为常数）
的函数叫做幂函数．
在第一象限内
2、幂函数的图像 α＞０时图象在(0,+∞)上为增函数；
和性质
α＜０时图象在(0,+∞)上为减函数；
为减函数;
α<0
4. 当α为奇数时，幂函数为 奇函数
当α为偶数时，幂函数为 偶函数
练习1: 如果函数 f ( x) (m 2 m 1)x m2 2m3 是幂函数且在区间（0，+∞）内 是减函数，求满足条件的实数m。
m2
舍去m 1
练习2: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象
(0,+∞)减 (-∞,0)减
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
在第一象限内(-,2,4)
4
函数图象的变化 3
趋势与指数有什
么关系?
2
1
(-1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
y=x3 (2,4) y=x2
y=x
1
y=x 2
(4,2)
(1,1)
y=x-1
2
4
6
在第一象限内， 当α>0时，图象随x增大而上升。 当α<0时，图象随x增大而下降
幂函数
2017届数学组
问题引入 我们先看几个具体问题:
(1) 如果回收旧报纸每公斤１元，某班每年卖旧报
纸ｘ公斤，所得价钱ｙ是关于ｘ的函数 y x
(2) 如果正方形的边长为ｘ，面积ｙ,这里ｙ是关于
ｘ的函数;
y x2
(3) 如果正方体的边长为ｘ, 正方体的体积为ｙ,
这里ｙ是关于ｘ函数; (4)如果一个正方形场地的面积为ｘ,
(-1,-1)
-2
-3
-4
函数 性质
定义域 值域 奇偶性
单调性
公共点
常见幂函数的性质
1
y=x y=x2 y=x3 y x 2
y=x-1
Ｒ
Ｒ
Ｒ
R [0,+∞) R
奇
偶
奇
增
[0,+∞)增 (-∞,0]减
增
[0,+∞) x|xR且x 0
[0,+∞) y|yR且y 0
非奇非 偶
增
奇
-2
2
4
6
-3
-4
(-2,4)
4
3
2
(2,4) y=x2
y=x
1
(-1,1)
(1,1)
-6
-4
-2
Biblioteka Baidu
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
-4
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
2
1
(-1,1)
(1,1)
幂函数的性质:
幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中α的不
同而各异.
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过
点(1,1);
２.如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在
[0,+∞)上为增函数;
α>1
0<α<1
３.如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x 01
-2
1
-3 y x 2 0 1
24
22
-4
(-2,4)
4
3
2
1
(-1,1)
y=x3 (2,4) y=x2
y=x
(1,1)
(4,2)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
(-2,4)
4
3
2
1
(-1,1)
y=x3 (2,4) y=x2
y=x
1