幂函数图像
幂函数的图像与性质
幂函数的图像与性质一、相关内容1、形如αx y =的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。
2、幂函数的图像0<α10<<α1>α第一象限图像其他象限图像根据定义域和奇偶性判断性质总结1、幂函数的图像一定在第一象限，不在第四象限2、图像过定点（1，1）3、当0=α时，表示与X 轴平行，过（1，1），不过（0，1）的两条射线二、基础练习1、判断下列哪些是幂函数（1）xy 2.0= （2）21x y = （3）x y -=3 （4）1-=x y （5）x y 4= （6）5x y =2、画出下列函数的图像（1）43x y = （2）34x y =（3）76-=x y （4）31x y =（5）x y = （6）98x y =3、若幂函数y =()x f 的图象经过点（9,13）, 则f(25)的值是_________4、若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f =5、幂函数()f x 的图象过点43,27)（，则()f x 的解析式是____________6、函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =______7、已知－1<a <0，则三个数331,,3a a a由小到大的顺序是___________8、在32521,2,,y y x y x x y x x===+=四个函数中，幂函数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9、已知幂函数()y f x =的图象过点2(2,)2，则(4)f 的值为（ ）A ．1B ． 2C ．12D ．8 10、幂函数y ＝xm 2－3m －4(m ∈Z)的图象如下图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <4B ．0或2C ．1或3D ．0,1,2或311、若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y xx上述函数是幂函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个12、幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( )A 、一定经过点(0，0)B ．一定经过点(1，1)C ．一定经过点(－1，1)D ．一定经过点(1，－1) 13、对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ． 无法确定。
幂函数
因为0 x1 x 2 , 所以x1 x2 0, x1
x2 0,
所以f ( x1 ) f ( x 2 ) 即幂函数f ( x ) x 在[0,)上的增函数 .
例3 若 m 4
1 2
3 2m ,
1 2
1 2
则求m的取值范围.
解: 幂函数f ( x) x 的定义域是(0, ) 且在定义域上是减函数, 0 3 2m m 4 1 3 m ,即为m的取值范围. 3 2
α<0
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论
1 =1，2，3， 2
，
-1时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
(4) y x
1 2
(5) y x
1
函数 y x 的图像
定义域： 值 域：
R R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
函数 y x 的图像
2
定义域：
R
值 域：[0, ) 奇偶性： 在R上是偶函数 单调性： 在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
函数 y x
1
的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{ y
y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性： 在(0,)上是减函数
y=x 2
2
1
(-1,1)
-4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
练习：利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3-2 与 0.30.3 -2
幂函数图像及性质
幂函数图像及性质什么是幂函数？幂函数是指在极坐标或复平面上将某一点按某一规则移动，使其形成一种函数。
这种函数是关于某一点的未知函数，这一点可以表示为一个复数，且该复数可以表示某一点的坐标。
幂函数也可以用复数表示，其中一个具体的形式为：z =r^n*cos(θ+2πm) + ir^n*sin(θ+2πm)，其中r 为极径，θ为极角，m为整数，n为实常数。
幂函数的图像是一条曲线，所以它也被称为曲线函数，它的图像可以根据x，y轴的定义方法来确定。
在极坐标系中，幂函数的形状一般是环状曲线，并且其形状受n值的影响很大，比如当n=1时，图像的形状为单个圆；当n=2时，图像的形状为集中的双圆；当n=3时，图像的形状为三角形；当n=4时，图像的形状为集中的四方形；当n=5时，图像的形状为五角星状等。
幂函数的性质可以用幂函数的微积分形式来说明，即dz/dr=n*r^(n-1)，其中n 为实常数，r 为极径，z为极坐标系的一点的坐标，推导出dz/dr的值，可以用于表示幂函数的形状及特性。
此外，还可以用基本物理运算来说明，所谓幂函数是指坐标变换时r和θ之间存在一定的关系，此关系可以表示为r=f(θ)，其中f(θ)是幂函数，这里的幂函数可以通过幂函数的大小因子或者指数来表示，而指数n就是幂函数的性质，只有当n>0或者n<0时，才能使幂函数表达出不同的性质。
幂函数在物理学中也被广泛使用，例如，在声学领域，幂函数可以用来描述声波的传播规律，这就是为什么音量大小是一个幂函数的原因。
此外，在光学领域，幂函数可以用来描述光的传播规律，例如，可以用来计算光的反射系数或者折射系数。
而在数学中，幂函数不仅表示曲线的性质，还可以用来研究复数的性质，以及形成更复杂的曲线。
以上就是我们关于幂函数图像及性质的简单介绍，幂函数是一种非常有趣的曲线函数，它在物理学，数学及光学领域有着重要的应用。
虽然它看起来很复杂，但它所提供的知识却是非常有价值的，只要我们多多使用幂函数，就能够获得丰富的经验和数学知识。
幂函数图像与性质
a=1
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,
0<a<1
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8
a=0
(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
（1）1与 比较时，可将1化为
，
即要么与数同底，要么与数同指
若能化为同指数，则用幂函数的单调性； 若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
例3
若m
4
1 2
3
2m
1 2
,
则求m的取值范围.
解
:Q
幂函数f
(x)
x
1
2的定义域是(0,
)
且在定义域上是减函数,
0 3 2m m 4
1 m 3 ,即为m的取值范围. 32
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， α >0,在(0,+∞)上为增函数;
-4
-2
2
4
6 α <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
3、α为奇数时,幂函数为奇函数,
-2
α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
幂函数在第一象限内的图像与性质
0< <1
>1
<0
图
象y
y
y
特1 点 o1
（1）y 3x;
(2) y
1 x2
;
(3) y 2x2;
幂函数图像(课堂PPT)
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
12
(-2,4 4 )
3
(2,4) y x 2 =
y=x
2
(-1 1 ,1 (1 ) ,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x -2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
-4
13
( 4 y x 3 ( y x 2
- - 6 - 4 2 2 4 6
- 在第一象限1 内， ( 当α>0时，图象随x增大而- 上升。
- 当α<0时，2 图象随x增大而下降
-3
-4
19
不管指数是多少( , 4 y x 3 ( -
图象都经过哪个
y x 2
定点?
3 y 1 y x 2
2
(
( 1 ( y x - - y= x0
- - 6 - 4 2 2 4 6
3 y
2
( 1 ( -
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
( x 0 1 2 - 4
-2
1
- y x 2 0
1 22
3
-4
14
( 4 y x 3 ( y x 2
3
y
2
( ( 1 ( - 1
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
(-
-2
-3
-4
15
( 4 y x 3 ( y x 2
3 y 1 y x 2
m2
舍去m1
22
例5. 利用单调性判断下列各值的大小。
幂函数图像及性质PPT课件
上述问题中涉及的函数，都是形如
y=xa的函数。
.
3
从而我们归纳出幂函数的一般概念：
一般地，形如 yx(R) 的函数
称为幂函数，其中 x 为自变量，α为
常数．
注意与指数函数的区别: ● 幂函数——底数是自变量、指数是常数。 ● 指数函数——指数是自变量、底数是常数。
.
4
例1 判断下列函数哪几个是幂函数？
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
f (x1) f (x2 ) x1 x2
(
x1
x2 )( x1
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
因 为 x 1 x 2 0 , x 1x 2 0 ,
除了作差，还 有没有其它方
法呢？
所 以 f(x 1 )f(x 2 ),即 幂 函 数 f(x )x 在 [0 , )上 是 增 函 数 .
例3.比较下列各组数的大小：
< 1
1
(1)1.32 ____1.42
解后反思 两个数比较
> (2)0.26 1_____0.27 1
大小，何时 用幂函数模
2
(3)3.9 3
2
__<___3.85
型，何时用 指数函数模 型？
> 2
3
(4)(2.4)5____(1.8)5
.
11
例4 证明幂函数f (x) x 在[0,+∞)上是增函数．
奇
非奇 非偶
{y|y≠0}
奇
单调性
增 x∈[0，+∞)时增 x∈(-∞，0]时减
增
增
定点
(1,1) (0,0)
幂函数的性质与图像
幂函数的一般形式为y = x^n，其中n 是一个实数，x 是自变量，y 是因变量。
以下是幂函数的主要性质：
1.当n > 0 时，幂函数是增函数；当n < 0 时，幂函数是减函数。
2.当n 是偶数时，幂函数的图像关于y 轴对称；当n 是奇数时，幂函
数的图像关于原点对称。
3.当n > 1 时，幂函数的图像在第一象限和第三象限上都是上升的；当0
< n < 1 时，幂函数的图像在第一象限和第三象限上都是下降的。
4.当n > 1 时，幂函数的图像在x 轴正半轴上有一个水平渐近线，而在
x 轴负半轴上没有水平渐近线；当0 < n < 1 时，幂函数的图像在x 轴正半轴上没有水平渐近线，而在x 轴负半轴上有一个水平渐近线。
5.幂函数的导数为y' = nx^(n-1)，因此在n > 0 时，幂函数在定义域内处
处可导。
以下是一些常见幂函数的图像：。
幂函数与函数图像-课件
│ 知识梳理
3．函数图象的应用 (1)利用函数图象，研究函数的几何性质，如单调性、 周期性、奇偶性、最值、零点、值域及定义域、对称性 等； (2)利用函数图象、数形结合的思想方法解题，将代 数问题转化为平面解析几何问题处理．
│ 要点探究
要点探究
► 探究点1 幂函数的图象与性质 例１ 已知幂函数 f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图 象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)m3 <(3－2a)m3 的 a 的取值范围．
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b
图10－5
│ 要点探究
[思路] 从图象在坐标轴上的特殊点入手， 由于 f(x)＝axx2＋＋cb是奇函数，所以只研究 x＞0 时的变化情况．
│ 要点探究
B [解析] f(0)＝bc＝0，∴b＝0.f(1)＝1， ∴1＋a c＝1，∴a＝c＋1. 由图象看出 x＞0 时，f(x)＞0，即 x＞0 时，有x2a＋x c＞0， ∴a＞0. 又 f(x)＝x＋a xc，当 x＞0 时，要使 f(x)在 x＝1 时取最大值 1， 需 x＋xc≥2 c，当且仅当 x＝ c＝1 时成立，∴c＝1.此时应有 f(x) ＝a2＝1，∴a＝2.∴a＞c＞的图像
│ 知识梳理
知识梳理
1．幂函数 (1) 幂 函 数 定 义 ： 一 般 地 ， 形 如 _y_＝___x_α (α∈R)的函数称为幂函数，其中 α 为常数． 几种常见幂函数的图象： ①y＝x；②y＝x12；③y＝x2；④y＝ x－1；⑤y＝x3.
│ 知识梳理
│ 要点探究
方法四：函数 y＝ex 的图象向左平移 1 个单位得 y ＝ex＋1 的图象，然后关于 y 轴对称得函数 y＝e－x＋1 的图 象，最后横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变得函数 y＝e－2x＋1.
幂函数的图像与性质
x 1, x 1, 解析: x 1 ,有 解得 x<1, e 2 x 1 1n2,
x 1 x 1, 或 1 有 解得 1≤x≤8, x8 3 x 2
综上所述, {x|x≤8}.
这节课你有什么收获？
总结 (1)幂函数的定义； (2) 幂函数的图像与性质；
（慢增） （快增）
提高训练
练习 如图所示，曲线是幂函数 y = xa 在第一象限内
的图象，已知 a分别取
1 四个值，则相 1,1, , 2 2
C4 C2 C3 C1 应图象依次为:________
1
范例讲解 考点三：幂函数的单调性 例1. 利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3
y=x0
6
-1
-2
-3
-4
幂函数在第一象限的图像
幂函数图象在第一象限的分布情况：
1
1
＝1
0 1
0
1
在直线x=1的右侧，从下往上， 幂指数增大
0< <1
图 像 特 点
第一象限
>1
y y
<0
y
1 o 1 x
1 o
1
1
x
o
1
x
性 质
都经过定点（1，1） 在[0，+∞)为 在[0，+∞)为 在（0，+∞)为 单调增函数. 单调增函数. 单调减函数.
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
高中数学一轮复习课件幂函数的图像和性质
总结归纳
及时总结归纳学习过程中 的重点和难点，形成自己 的学习笔记和心得体会， 便于回顾和复习。
保持良好作息和心态，积极备战高考
合理安排时间
保证充足的睡眠和合理的饮食， 保持良好的身体状态和精神状态
。
调整心态
保持积极乐观的心态，相信自己 能够通过努力取得好成绩。遇到 困难时，及时调整情绪，寻求帮
助和支持。
高中数学一轮复习课件 幂函数的图像和性质
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 幂函数基本概念与性质 • 幂函数图像特征与绘制方法 • 幂函数在解决实际问题中应用 • 幂函数与其他类型函数关系研究 • 高考真题回顾与解题技巧总结 • 复习策略与备考建议
幂函数基本概念与
01
性质
幂函数定义及表达式
加强练习和反思总结是提高解题能力的关键。通过大量的练习可以加深对知识点的 理解和记忆；通过反思总结可以发现自己的不足之处并加以改进。
复习策略与备考建
06
议
制定个性化复习计划，明确目标
分析自身情况
根据自己的数学基础、学习能力 和时间安排，制定适合自己的复
习计划。
明确复习目标
确定自己在幂函数的图像和性质方 面的学习目标，例如掌握基本概念 、理解图像特征、熟练运用性质等 。
03
幂函数与一次、二次函数的比较
虽然幂函数、一次函数和二次函数在形式上有所不同，但它们之间有着
密切的联系。在解决某些问题时，可以通过转化思想将它们相互转化，
从而简化问题的求解过程。
幂函数与指数、对数函数关系探讨
幂函数与指数函数
指数函数的底数a可以看作是幂函数的指数n，而指数函数的指数x则可以看作是幂函数的 自变量。因此，指数函数和幂函数在形式上具有一定的相似性。
幂函数的图像与性质
提高训练
例3.若m 4
1 2
3 2m , 则求 m的取值范围 .
1 2
解: 幂函数f ( x) x 的定义域是(0,) 且在定义域上是减函数 , 0 3 2m m 4 1 3 m ,即为m的取值范围 . 3 2
1 2
重点三、幂函数性质应用：
a<0
a=0
a>1
(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
a=1
0<a<1
a=0
2.3 幂函数（2）（77-78页）
y x ( R)
例4 用不等号填空：
＞ （1）5.1－2 ____ 5.9－2； ＞ 1.73.5 ____ 1.73； （ 2） ＞ 0。 （3）若3a＞2a，则a ____ ＞ （4）1.30.5 ____ 0.51.3；
0
1
＝1
0 1
(1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调性； (2) 若能化为同底数，则用指数函数的单调性； (3) 当不能直接进行比较时，可数形结合找一个 中间数, 比较大小.
m 2
从而有 f ( x) x +∞）内是减函数.
3
是幂函数，且在区间（0，
提高训练
已知函数 f ( x) m 3m 3x 是幂函 数,并且是偶函数，求m的值。
2 m2 2
解:因为f ( x) m 3m 3 x
2
m2 2
是幂函数
浅谈幂函数
学习幂函数，图像是关键。
y=xa（a≠0、1）在第一象限的图像可以分为三类：
只要掌握了这三种情况，然后根据幂函数的奇偶性，就可作出y=xa（a≠0、1）在其定义域内的完整图像，这时它的一切属性将是直观、显然的。
幂函数的图像一定经过第一象限，且一定不经过第四象限。
幂函数y=xa。
α只能从（±3，±2，±1，±1/2，±1/3）中取值。
幂函数y=x的图像表（见右表）：
在记忆这个表时要记住两点：
其一，图像的形态：
当n/m<1时，y=x在第一象限的图像下凹，呈上升趋势。
当0<n/m时，y=x在第一象限的图像下凸，呈上升趋势。
当n/m<0时，y=x在第一象限的图像下凹，呈下降趋势。
其二，图像所在的象限。
用一句话可以简单概括为：奇偶图在第一象限，偶奇图在第一、二象限，奇奇图在第一、三象限。
幂函数图像及性质
幂函数图像及性质一、什么是幂函数在数学中，幂函数是一种形式为 f(x) = x^a 的函数，其中 a 是实数。
当 a = 1 时，幂函数就是我们熟悉的一次函数，而当a > 1 时，幂函数的图像呈现出特定的形状。
二、幂函数的图像特点1. 当 a > 1 时•当 a > 1 时，幂函数的图像呈现出向上凹曲的形状。
•随着 x 的增大，函数值快速增加，增长迅猛。
•函数图像在第一象限，并在原点围绕原点对称。
2. 当 a = 1 时•当 a = 1 时，幂函数就是一次函数，函数图像为一条过原点的直线。
3. 当 0 < a < 1 时•当 0 < a < 1 时，函数的增长趋于缓慢，图像在第一象限被压缩，所占的范围变小。
三、幂函数的性质1. 定义域和值域•对于幂函数 f(x) = x^a，当 a 为奇数时，定义域为实数集，值域也为实数集；当 a 为偶数时，定义域为非负实数集，值域也为非负实数集。
2. 奇偶性•当 a 为奇数时，幂函数是奇函数，关于原点对称；•当 a 为偶数时，幂函数是偶函数，关于 y 轴对称。
3. 单调性•当 a > 1 时，幂函数是增函数；•当 0 < a < 1 时，幂函数是减函数。
4. 特殊情况•当 a < 0 时，幂函数的图像为反比例函数的图像。
四、实例分析示例 1考虑函数 f(x) = x^2，这是一个以原点为中心向上开口的抛物线图像。
随着 x 的增大，函数值快速增加，形成一个向上凸起的形状。
示例 2当考虑函数 f(x) = x^0.5 时，函数的图像呈现出一个缓慢上升的曲线，范围也变小了，整体呈现出一种被压缩的状态。
五、总结幂函数是数学中非常重要的一类函数，通过本文的讨论，我们了解了幂函数的图像特点和性质。
无论是在理论研究还是实际应用中，对于幂函数的理解都具有重要的意义。
希望本文内容能够帮助读者更深入地理解幂函数及其性质。
幂函数的图像和性质
-3 -3
-1 0 -1 0
1 1
2 2
… …
yx …
yx …
2
9
4
-8 \
1
0
1
1 1 1
4
8
9
27
…
…
y x3 … -27
-1 0 \ 0
yx
1 2…
\
2
3 …
y x … -1/3 -1/2 -1 \
1
1/2 1/3 …
4
3
2
1
(1,1)
2 4 6
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x2 9 4 1 0 1 4 9
4
3
y=x
2
1
(1,1)
2 4 6
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
(2,4) y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
(2,4) y=x2 y=x
-3
y
3
(
2
1 4
,2) ( 1 2 ,1.4) (1,1) (2,0.7) (3,0.6) (4,0.5)
1
-4
-2
o
-1
2
4
x
-2
-3
y
3
(
2
1 4
幂函数图像
0＜
x1 <
X2
于是
1 > X1
1 X2
即f(x1)>f(x2)
所以
yx
1 2 在（0，+∞）上是减函数
y
3
x 1/4 1/2 1
y2 1.4 1
-4
2
3
4
2
0.7 0.6 0.5
-2
1
o
-1
2
4
x
-2
-3
y
3 2
1 ( ,2) 4 ( 1 2 ,1.4) (1,1) (2,0.7) (3,0.6) (4,0.5)
yx yx 练 习 I 5 G 3
y x3 y x2
y
1 2
2 3
yx
E
4 3
yx
B
3
yx
C
2
yx
J
X y
yx
D
X
1 3
yx
Fy
O X
1 2
A
O X
H
y O
y
O
O
X
(A)
y O X
(B)
y O
X
(C) y
y
(D)
(E)
y O X
O
X
O
X
(F)
(G)
(H)
(I)Βιβλιοθήκη (J)X画出函数在第一象限的图象后,再根据函数 的奇偶性,画出函数在其他象限还有的图象
练习: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象限
1 内的图象，已知 k分别取 1,1, , 2 四个值， 2
则相应图象依次为:________ C1 C4 C2 C3
5、幂函数图像与性质
函数 y x 的图像
2
定义域：
R
值 域：[0,) 奇偶性： 在R上是偶函数 单调性： 在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
函数 y x
1
的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{ y
y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性： 在(0,)上是减函数
问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付p= w 元 (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
S
yx
2
a
2
yx
y x
1 2
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
V
a
3
3
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的 边长 a 度
幂函数的图象及性质
1 -1, 2 , 时的情形。
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3,
五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
(4) y x
1 2
(5) y x
1
函数 y x 的图像
定义域： 值 域：
R R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
函数 y x 的图像
1 2性：在[0,)上是增函数
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
y=x
定义域 值域 R R
y = x2
R [0，+∞） 偶函数
y=
x3
y x
[0，+∞） [0，+∞） 非奇非偶 函数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y=x 2
(4,2)
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x -3 -2 -1 1 2 3
-2
y x1 -1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
为减函数;
α<0
4. 当α为奇数时，幂函数为 奇函数
当α为偶数时，幂函数为 偶函数
练习1: 如果函数 f ( x) (m 2 m 1)x m2 2m3 是幂函数且在区间（0，+∞）内 是减函数，求满足条件的实数m。
m2
舍去m 1
练习2: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x 01
-2
1
-3 y x 2 0 1
24
22
-4
(-2,4)
4
3
2
1
(-1,1)
y=x3 (2,4) y=x2
y=x
(1,1)
(4,2)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
(-2,4)
4
3
2
1
(-1,1)
y=x3 (2,4) y=x2
y=x
1
幂函数
2017届数学组
问题引入 我们先看几个具体问题:
(1) 如果回收旧报纸每公斤１元，某班每年卖旧报
纸ｘ公斤，所得价钱ｙ是关于ｘ的函数 y x
(2) 如果正方形的边长为ｘ，面积ｙ,这里ｙ是关于
ｘ的函数;
y x2
(3) 如果正方体的边长为ｘ, 正方体的体积为ｙ,
这里ｙ是关于ｘ函数; (4)如果一个正方形场地的面积为ｘ,
限内的图象，已知 k分别取1,1, 1 , 2
2
则相应图象依次为:________
四个值，
一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧， 大指数在上，小指数在下(指大图高)， 在y轴与直线x =1之间正好相反。
例：利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）-0.20.3 与 -0.30.3 （3） 0.83.
（1）底数不同，指数相同，考虑幂函数； （2）底数相同，指数不同，考虑指数函数； （3）底数指数都不同，引入中间值。
-2
2
4
6
-3
-4
(-2,4)
4
3
2
(2,4) y=x2
y=x
1
(-1,1)
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
-4
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
2
1
(-1,1)
(1,1)
(0,+∞)减 (-∞,0)减
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
在第一象限内(-,2,4)
4
函数图象的变化 3
趋势与指数有什
么关系?
2
1
(-1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
y=x3 (2,4) y=x2
y=x
1
y=x 2
(4,2)
(1,1)
y=x-1
2
4
6
在第一象限内， 当α>0时，图象随x增大而上升。 当α<0时，图象随x增大而下降
(-1,-1)
-2
-3
-4
函数 性质
定义域 值域 奇偶性
单调性
公共点
常见幂函数的性质
1
y=x y=x2 y=x3 y x 2
y=x-1
Ｒ
Ｒ
Ｒ
R [0,+∞) R
奇
偶
奇
增
[0,+∞)增 (-∞,0]减
增
[0,+∞) x|xR且x 0
[0,+∞) y|yR且y 0
非奇非 偶
增
奇
1.判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=2x
(2) y
1 x2
1
(4) y x 2
(5) y=3x2
(3) y= 1
(6) y=x3-2
2.若幂函数y=f(x)的图象过点 (2, 2 ) ,则函 数的解析式为__________
二、幂函数的图像及性质
在同一平面直角坐标系内作出幂函数 y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的图象.
幂函数的性质:
幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中α的不
同而各异.
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过
点(1,1);
２.如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在
[0,+∞)上为增函数;
α>1
0<α<1
３.如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上
4
3
2
1
(1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y=x2 9 4 1 0 1 4 9 3
y=x
2
1
(1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
(-2,4)
4
3
2
(2,4) y=x
1
(-1,1)
(1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
注 1、幂函数的解析式必须是 y=xα 的形式，
同时满足“系数为1，底数是自变量x且指数 为常数”.
意 2、定义域与α的关系.
幂函数与指数函数的对比
基本初等函数 指数函数: y=ax
幂函数: y= xα
名称
底数
指数
a
x
xα
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看看自变量x是指数还是底数
指数函数
幂函数
-3
-4
不管指数是多少(-2,,4) 图象都经过哪个
定点?
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1 在第一象限内， (-1,-1) 当α>0时，图象随x增大而上升。
-2 当α<0时，图象随x增大而下降。
-3 图象都经过点（1，1） -4 α>0时,图象还都过点(0,0)点
这个正y 方x形3 的
边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数;
1
y x2
(5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平
均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数. １：以上各题目的函数关系分别是什么？
y
1
x
２：以上问题中的函数具有什么共同特征？ y=xα
一、幂函数的定义
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自 变量，α是常数.
练习
1） 1.30.5＜ 1.50.5
2） 5.12 ＜ 5.092
1
1
3） 1.794 ＞ 1.814
4）
(2
a
2
)
2
3≤
2
23
小结
1、幂函数的定义 形如 y=xα （α为常数）
的函数叫做幂函数．
在第一象限内
2、幂函数的图像 α＞０时图象在(0,+∞)上为增函数；
和性质
α＜０时图象在(0,+∞)上为减函数；