高中数学人教版必修5——第五讲：等差数列前n项和公式

答案：
例3.在等差数列 中，前 项和为
(1)若 求 和公差
(2)若 求满足 的所有 的值
解析：（1）由等差数列前 项和公式有
（2）由 所以 即 解得 或
答案：（1）
（2） 或
练习5.设 是等差数列 的前项和， 则 ___________
答案：
练习6.在等差数列 中， 则 的前5项和 ______________
A．4B．5C．6D．7
答案：A
21.等差数列{an}中，d<0，若|a3|＝|a9|，则数列{an}的前n项和取最大值时，n的值为______________．
答案：5或6
22.设等差数列的前n项和为Sn.已知a3＝12，S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．
答案：(1)依题意 ，
即
由a3＝12，得a1＋2d＝12.③
将③分别代入②①，得 ，
解得－ <d<－3.
(2)由d<0可知{an}是递减数列，因此若在1≤n≤12中，使an>0且an＋1<0，则Sn最大．
由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，可得
a6>0，a7<0，
故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．
A．21B．20C．19D．18
答案：B
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{ }的前100项和为()
A. B. C. D.
答案：A
5.在等差数列{an}中，若S12＝8S4，且d≠0，则 等于()
A. B. C．2D.
答案：A
6.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝()
(2)Sn＝ ＝
＝n2＋11n＝242，
∴n2＋11n－242＝0，
∴n＝11.
能力提升
11.在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，则数列{an＋bn}的前100项的和为()
A．0B．4 475C．8 950D．10 000
答案：C
12.等差数列{an}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是()
即 有最小值；又 或 时， 取最小值
答案： 或 时， 取最小值
练习13.已知等差数列 中， 则使前 项和 取得最小值的 值为（）
A.7 B.8 C.7或8 D.6或7
答案：C
练习14.数列 满足 ，则使得其前 项和取得最大值的 等于（）
A.4 B.5 C.6 D.7
答案：B
1.四个数成等差数列，S4＝32，a2a3＝13，则公差d等于()
A. B. C. D.
解析：当 为奇数时，等差数列 的前 项和 同理 令 得
答案：C
练习9.已知是 等差数列， 为其前 项和， 若 则 的值为______
答案：110
练习10.已知等差数列 的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为35，则这个数列的项数为______________
A．100B．101C．200D．201
答案：A
18.已知等差数列{an}的前n项和为18，若S3＝1，an＋an－1＋an－2＝3，则n＝________.
答案：27
19.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－8，则通项公式an＝________.
答案：
20.设{an}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于()
(2)由(1)可知an＝3－2n.
所以Sn＝ ＝2n－n2.
进而由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35.
又k∈N*，故k＝7为所求．
24.在等差数列{an}中：
(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
答案：(1)解法一：由已知条件得
( － ＋ － ＋…＋ － )
＝ .
10.设{an}是等差数列，前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.
(1)求通项an；
(2)若Sn＝242，求n的值．
答案：(1)设公差为d，
则a20－a10＝10d＝20，
∴d＝2.
∴a10＝a1＋9d＝a1＋18＝30，
∴a1＝12.
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋2(n－1)＝2n＋10.
答案：20
类型三：等差数列前 项和公式的最值及与函数的关系
例6.已知数列 的前项和为
（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式
（2）求使得 最小的 值
解析：（1）因为 当 时 也适合上式，所以这个数列的通项公式为 又因为 所以 是等差数列
（2） 因为 是正整数，所以当 或 时 最小，最小值为-112
A．a8B．a9C．a10D．a11
答案：D
13.一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于()
A．12B．16C．9D．16或9
答案：C
14.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为()
A．24B．26C．27D．28
23.已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
答案：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.
从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
基础巩固
1.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a ＝0，S2m－1＝38，则m＝()
A．38B．20C．10D．9
答案：C
2.数列{an}是等差数列，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于()
A．160B．180C．200D．220
答案：B
3.等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是()
A．S7B．S8C．S13D．S15
答案：C
4.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是()
A．5B．4C．3D．2
答案：C
5.在等差数列{an}中，a1＞0，d＝ ，an＝3，Sn＝ ，则a1＝________，n＝________.
解析：当 时， ；当 时， 当 时，上式成立所以
答案：
练习1. 已知数列 的前 项和 求
答案：
练习2：已知数列 wk.baidu.com前 项和 求
答案：
例2.已知等差数列 的前 项和为 ， 求 及
解析： ，整理得 解得 或 （舍去）
答案：
练习3.已知等差数列 的前 项和为 ， ，求
答案：
练习4. 已知等差数列 的前 项和为 ， 求
答案：（1）
（2）
（3）
练习7.（2014山东淄博一中期中）设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 等于（）
A. B. C. D.
答案：C
练习8.（2014山东青岛期中）已知等差数列 的公差 ， 则 （）
A.2014 B.2013 C.1007 D.1006
答案：C
例5.已知等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 则 =（）
答案：15
类型二：等差数列前 项和公式的性质
例4.在等差数列 中，
（1）若 ，求
（2）若共有 项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前 项和 ，求
（3）若 求
解析：（1）由等差数列的性质，知
（2）由题意得，知 由等差数列的性质知 又 ，即
（4）因为数列 是等差数列，所以 成等差数列，首项为 ，设其公差为 ，则 为该数列的前10项和， 解得 ，又 为该数列的前11项和，故
答案：B
15.设Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝4a3，a7＝－2，则a9＝()
A．－6B．－4C．－2D．2
答案：A
16.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 ＝ ，则 等于()
A. B. C. D.
答案：A
17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ＝a1 ＋a200 ，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则S200＝()
答案：8
9.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{ }的前n项和．
答案：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋ d.
由已知可得 ，解得a1＝1，d＝－1.
由{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)由(1)知 ＝
＝ ( － )，
从而数列{ }的前n项和为
A．8B．16C．4D．0
答案：A
2.设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是()
A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为Sn的最大值．
答案：C
3.已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，Sn是等差数列{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()
答案：（1）是；
（2）当 或 时 最小，最小值为-112
练习11.已知等差数列 的前 项和为 ， 为数列 的前 项和，求数列 的通项公式
答案：
练习12.等差数列 中，若 ，求 =_____________
答案：
例7.已知等差数列 中， 求使该数列前 项和 取得最小值的 的值
解析：设等差数列 的公差为 ，则由题意得
答案：2，3
6.设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________.
答案：25
7.设{an}是公差为－2的等差数列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，则a3＋a6＋a9＋…＋a99的值为________．
答案：－82
8.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
（2） 是等差数列
（3）等差数列 中，若 ，则 ；若 则
（4）若 和 均为等差数列，前 项和分别是 和 ，则有
（5）项数为 的等差数列 ，有 有 偶- 奇= ， 奇/偶=
4.等差数列前 项和公式与函数的关系
等差数列前 项和公式 可以写成 若令
类型一：数列及等差数列的求和公式
例1.已知数列 的前 项和 求
等差数列的前 项和
教学重点：掌握等差数列前 项和通项公式及性质，数列最值的求解，与函数的关系
教学难点：数列最值的求解及与函数的关系
1.数列的前 项和
一般地，我们称 为数列 的前 项和，用 表示；记法： 显然，当 时，有 所以 与 的关系为
2.等差数列的前 项和公式
3.等差数列前 项和公式性质
（1）等差数列中，依次 项之和仍然是等差数列，即 成等差数列，且公差为
A．8B．7C．6D．5
答案：D
7.(2014·福建理，3)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()
A．8B．10C．12D．14
答案：C
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