高中数学人教版必修5——第五讲：等差数列前n项和公式

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人教版高中数学必修5(A版) 等差数列的前n项和 PPT课件

10 9 S10 10 500 50 7250 (万元 ) 2
答：从2001到2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250元。
等差数列的前 n 项和公式：
n（a1 an ) Sn 2 n（n 1) S n na1 d 2
问题：1.两个公式中共有几个量？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn, 其中p, q为常数，且p 0, 那么这个数列一定是等差数列吗？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn r (r 0), 其中p, q 为常数，且 p 0, 那么这个数列一定是等差数列吗？
小结：
1.知识点小结：1）等差数列的前
例1：2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校
校通”工程的通知》，某市计划从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解：由题可知，从2001年起各年投入的资金构成等差数列，设为{an }，则 a1 500, d 50 则到2010年，投入的资金总额为
16
等差数列的前 n 项和公式：
n（n 1) S n na1 d 2
d 2 d n (a1 )n 2 2
当
d 0 时， Sn 是 n的二
次函数形式，且常数项为 0
例2：已知一个等差数列{an }前10项的和是310，前20项的和是
解：由题意知代入公式得
1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？

等差数学的前n项和公式

等差数学的前n项和公式等差数列是数学中的一种基本数列，它的每一项与前一项之差相等。

而等差数列的前n项和公式则是用来计算等差数列前n项和的公式。

我们来看一下等差数列的定义。

等差数列是指一个数列，其中每一项与前一项之差相等。

这个相等的差值被称为等差数列的公差，通常用d表示。

因此，等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，an为第n项。

接下来，我们来看一下等差数列的前n项和公式。

等差数列的前n 项和可以表示为Sn = n/2(a1 + an)，其中a1为首项，an为第n 项。

这个公式的推导可以通过数学归纳法来证明。

当n=1时，Sn = a1，显然成立。

假设当n=k时，Sn = k/2(a1 + ak)成立，那么当n=k+1时，我们可以将Sn拆分为前k项和与第k+1项的和，即Sn = k/2(a1 + ak) + (a1 + (k+1-1)d)。

将等差数列的通项公式代入，化简得Sn = (k+1)/2(a1 + ak)，即当n=k+1时，Sn = (k+1)/2(a1 + ak)成立。

因此，由数学归纳法可知，等差数列的前n项和公式成立。

接下来，我们来看一下如何应用等差数列的前n项和公式。

假设我们要求等差数列1, 3, 5, 7, 9的前3项和，那么根据前n项和公式，我们可以将a1=1，an=5，n=3代入，得到S3 = 3/2(1 + 5) = 9。

因此，等差数列1, 3, 5, 7, 9的前3项和为9。

除了应用等差数列的前n项和公式来计算前n项和之外，我们还可以通过等差数列的性质来解决一些实际问题。

例如，假设我们知道等差数列的首项和公差，要求第n项的值，那么我们可以通过等差数列的通项公式来计算。

又例如，假设我们知道等差数列的前n项和和公差，要求第n+1项的值，那么我们可以通过等差数列的前n 项和公式来计算前n项和，再通过等差数列的通项公式来计算第n+1项的值。

等差数列的前n项和公式是数学中的一种基本公式，它可以用来计算等差数列的前n项和，也可以应用于解决一些实际问题。

人教课标版高中数学必修5《等差数列的前n项和》教学课件1

1+2+3+…+98+99+100=？
高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？
高斯，(1777-1855）德国著名数学家。
我们先看下面的问题。
怎样才能快速计算出一堆钢管有多少根呢？
一二
4+10=14 5+9=14
三四
6+8=14 7+7=14
Байду номын сангаас
五 8+6=14
六 9+5=14
七 10+4=14
5（ 0 50 1)
3
,
2
n
14;
2
(2)
2550 Sn
n（a1 2
an )
S14
14[2 / 3 (3 / 2
(4)a1 14.5, d 0.7, an
2)] 32.
35 . 6
an
a1
(n 1)d
n
32 14.5 0.7
1
26,
S26
26 (14.5 32) 2
604.5.
例5 教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税.教育储蓄的对象为在校小学四年级（含四年级）以上的学生。假设零存整取3年期储蓄的月利率为2.1‰
（1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元?
（2）零存整取3年期教育储蓄每月至少存入多少元? 此时3年后本息合计约为多少元?（精确到1元）
练习1 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn：
(1)a1=5, an=95,n=20; S10=1000
(2)a1=100, d=－2,n=50; S50=2550

高中数学等差数列前n项和公式

高中数学等差数列前n项和公式
等差数列是数学中非常重要的一种数列，它的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

等差数列的前n项和可以用如下公式表示：Sn=n(a1+an)/2。

这个公式可以用来求解等差数列的前n项和，其中n是所求项数，a1是首项，an是第n项。

这个公式的推导过程比较简单，可以通过数学归纳法进行证明。

在使用这个公式时，需要注意等差数列的首项和公差的取值。

如果首项和公差不正确，那么计算出来的结果就是错误的。

另外，在计算过程中，也需要注意精度问题，避免出现四舍五入等误差。

除了前n项和公式，还有一些其他的等差数列公式也非常重要，例如通项公式、公差公式等。

这些公式在数学中应用非常广泛，涉及到许多重要的问题，例如金融、物理、工程等。

在学习等差数列的过程中，我们还需要了解等比数列、级数等数学概念，这些概念都有着广泛的应用，是数学学习的重要基础。

等差数列前n项和公式是数学中非常重要的一个公式，它可以用来求解等差数列的前n项和。

在学习数学时，我们需要掌握这个公式的推导过程和使用方法，同时还需要了解其他与等差数列相关的数学概念。

高中数学人教版必修5课件：2.3等差数列的前n项和(3课时)

于是所求的和是：101 100 5050
2
这个问题可看成是求等差数列
1，2，3，…，n，…的前100项的和。
1、数列的前n项和的定义：
• 一般地，我们称a1+a2+…+an为数列{an} 前n项的和，用Sn表示，即：
Sn= a1+a2+…+an
根据“等差数列性质二”可知：等对差于数等列差{数an}列中而，言若，m+n=p+q，则am+an=ap+aq。
a1=6 或 a1= -2
2、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S20
a6+a9+a12+a15=192， a6+a15=a9+a12= a1+a20
a1+a20=96
S20
(a1
a20) 2
20
10 96
960
3、凸 n 边形各内角成等差数列，公差为 10º，
最小内角为 100º，则n等于（ B ）
n（n 2
1)
d
2
即 n2-6n-27=0
得 n1=9, n2=-3(舍去）。
因此等差数列 -10，-6，-2，2，
……前9项和是54。
体现方程思想。
分组完成
1.等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n项为an，前n项和为Sn，请填写下表：
a1
d
n
an
Sn
10
-2
21
-30 -210
Sn= a1 +a2 +a3 +a4 +… +an-3 + an-2+ an-1+an 又Sn= an+an-1+an-2+an-3+… +a4 + a3 +a2 +a1

7.2.2等差数列前n项和公式.

12排,最前一排摆放了10 盆鲜花，往后每排依次
增加2盆.写出由前到后每排摆放的鲜花盆数构成
的数列,并计算这个花坛一共用了多少盆鲜花．
…… ……
容易算出,第2排的花盆数为 12,第3排的花盆数为 14,…,第12排的
花盆数为 32. 因此,由前到后每排的花盆数构成的数列为
10,12,14,…,32
要计算一共用了多少盆鲜花,就是要计算等差列
3.等差中项：
一般地,当三个数, , 成等差数列时,称为和的等差中项.即 =
+
.

4.等差数列的性质：
若项数满足 + = + , (, , , ∈ +),则对应的项满足 + = + ..
情
境
导
入
某街道举办国庆70周年成就展,在展厅前用
鲜花摆放了一个等腰梯形花坛.花坛由前到后共有
3.在等差数列{ }中, = , =

,求 .

4.在等差数列{ }中, = + ,求 .
5.在等差数列{ }中,3 = , 6 = ,求 .
， − ， − 成等差数列
课后练习
. 在等差数列{}中, = , = , 则数列的前
由上述方法得到启示,
新
我们可以利用上述方法求一般等差数列{ }的前项和吗？
知
对于等差数列{ },∵ + = + − = ⋯ = +
讲
我们用两种顺序表示 :
解
= + + ⋯ +
①
= + − + ⋯ +
, , , ⋯ , 各项的和.设想将等腰梯形倒过来，

《等差数列前n项和公式》教案

《等差数列前n项和公式》微课教案----天津市木斋中学王珏教材选自：普通高中课程标准试验教材数学（人教A版）《必修5》“§2.3等差数列前n项和”第一课时。

一、教学目标设计《课程标准》指出本节课的学习目标是：探索并掌握等差数列前n项和公式；能在具体的问题情景中，发现数列的等差关系并能用相关知识解决相应的问题。

考虑到学生的接受能力和课容量，本节课只要求学生探索并掌握等差数列前n项和公式，并会对公式进行简单的应用。

故结合《课标》的要求，我将本节微课的教学目标确定为：知识与技能：探索并掌握等差数列前n项和公式，会用公式解决一些简单的问题；方法与过程：通过对等差数列前n项和公式的探索，体会“从特殊到一般”的数学研究方法和数形结合的数学思想方法，学会观察、归纳、反思；情感、态度与价值观：让学生亲身经历知识的建构过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

二、教学重、难点：教学重点：能从具体实例中探索并掌握等差数列前n项和公式,并用其解决一些简单的问题。

教学难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。

三、课堂结构设计新课程提倡在教学过程中，学生是一个积极的探究者，教师的作用是创设问题情境，帮助学生在积极参与中遇水架桥、逢山开路。

因此，本节课设计了如下的课堂结构。

知三求二、渗透思想分析实例，感悟生活演练反馈、提升能力总结反思，深化认识布置作业，任务延伸四、教学过程设计结合本节课的特点，我主要安排了以下六个环节：(一)问题呈现阶段1、创设情境，提出问题——展示图片（印度的泰姬陵）泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰汗为纪念其爱妃所建，历时22年，它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见上右图），奢靡之程度，可见一斑。

欣赏完如此美的故事及图案，请问：你知道这个图案一共花了多少宝石吗？设计意图：源于历史，富有人文气息；图中算数，激发学生学习兴趣和探究欲望；承上启下，探讨高斯算法.2、自主探究，合作交流此时，教师先不参与，给学生一定的思考时间和思考空间，让学生自主活动。

等差数列的前N项和公式

等差数列的前N项和公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差保持不变的数列。

前N项和指的是数列前N项之和。

首先，我们来推导等差数列的通项公式。

设等差数列的第一项为a1，公差为d，第n项为an。

根据等差数列的定义可知，第2项为a2 = a1 + d，第3项为a3 = a1 + 2d，以此类推，第n项为an = a1 + (n-1)d。

我们可以把等差数列展开，得到：a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,...,a1+(n-2)d,a1+(n-1)d将这些项相加，得到：S=(a1+a1+d+a1+2d+a1+3d+...+a1+(n-2)d+a1+(n-1)d)我们可以将等差数列中的每一项按照公差d进行分组，得到：S=(a1+a1+(n-1)d)+(a1+d+a1+(n-2)d)+(a1+2d+a1+(n-3)d)+...+(a1+(n-2)d+a1+d)+(a1+(n-1)d+a1)根据等差数列的恒等差性质，每一组中的两项之和都等于2a1+(n-1)d。

因此，上式可以进一步化简为：S=n(2a1+(n-1)d)这就是等差数列的前N项和公式，也被称为等差数列求和公式。

为了更好地理解该公式，我们可以举一个具体的例子。

假设有一个等差数列：2,5,8,11,14，求前四项的和。

首先，确定已知量：a1=2(第一项)d=5-2=3(公差)n=4(前四项)代入前N项和公式，可得：S=4(2+(4-1)3)=4(2+3*3)=4(2+9)=4*11=44因此，2,5,8,11的和为44除了使用前N项和公式，我们还可以利用等差数列的性质进行计算。

等差数列可以通过两种方法计算前N项的和：方法一：逐项相加。

通过将每一项相加，可以得到等差数列的前N项和。

在大多数情况下，这种方法适用于较小的N。

方法二：首项加末项乘N除以2、由于等差数列的第一项和最后一项之和等于N，将这两项相加，并乘以N除以2，即可得到前N项和。

这个方法适用于所有的等差数列。

2.3等差数列前n项和公式课件-高二下学期数学人教A版必修5

(1)当n为偶数时
Sn a1 an 1 an 1 an
2
2
设等差数列{an}前n项和为Sn ,则
Sn a1 a2 an1 an
(2)当n为奇数时
Sn a1 an11 an1 an11 an
2
2
2
1.推导公式:
又又
① +②
∴
① ②
（算法：倒序相加求和；用到了等差数列的性质）
2. 等差数列的前项和何时有最大值，
最小值？如何求？有哪些方法?
？
3. 教材例4还有其它解法吗?
小结：
• 回顾从特殊到一般，一般到特殊的研究方法； • 体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想； • 掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。 • 学会用函数的观点分析数列。
1.推导公式(教材)：
①
② ① +②
2.记忆公式
a1
an
n
an a1
公式1
Sn
n(a1 2
an )
2.记忆公式
3.剖析公式：
通项公式共5个量，由三个公式联系 ,知三可求二.
4. 公式的应用
例1、计算：
（1）1+2+3+…+n （2）1+3+5+…+(2n-1) （3）2+4+6+…+2n （4）1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n
法2.
原式=-1-1-…-1=-n
例2.等差数列-10，-6，-2，2，…的前
多少项的和是54 ？
？
思路：由
代入化简得

高中数学等差数列前n项和公式

高中数学等差数列前n项和公式高中数学学习中，等差数列是一个非常重要的概念，它在数学中有着广泛的应用。

等差数列是指一个数列中每一项与它的前一项之差都相等，这个相等的差值被称为公差。

等差数列的前n项和公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和。

等差数列前n项和公式如下：Sn = n(a1 + an)/2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1是等差数列的首项，an是等差数列的第n项。

这个公式的推导比较简单，我们可以通过数学归纳法来证明它的正确性。

首先，当n=1时，等差数列的前1项和就是a1，这个结论显然成立。

接着，我们假设当n=k时，等差数列的前k项和公式成立，即Sk = k(a1 + ak)/2那么当n=k+1时，等差数列的前k+1项和为S(k+1) = S k + a(k+1)根据归纳假设，我们可以将Sk带入上面的公式中，得到S(k+1) = k(a1 + ak)/2 + a(k+1)将上面的式子进行化简，可以得到S(k+1) = (k+1)(a1 + ak+1)/2这个式子就是等差数列前k+1项和的公式。

根据归纳法的原理，我们可以证明这个公式对于任意的n都成立。

这个公式在实际应用中非常有用。

例如，当我们需要计算一个等差数列的前100项和时，可以直接使用这个公式，将a1和an代入公式中，即可得到结果。

这个方法比逐项相加更加快速和方便。

此外，这个公式还可以用于解决一些数学问题，例如等差数列的最大值、最小值等等。

等差数列前n项和公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们计算等差数列的前n项和，并解决一些数学问题。

希望大家在学习数学的过程中能够熟练掌握这个公式，发挥它的作用。

等差数列前n项和公式大全

等差数列前n项和公式大全
等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列。

其前n项和公式如下：1. 等差数列首项为a，公差为d，前n项和为Sn，则有：Sn = n/2(2a + (n-1)d)这是最常用的等差数列前n项和公式，也是最基本的公式。

2. 等
差数列首项为a，公差为d，末项为an，前n项和为Sn，则有：Sn =
n/2(a + an)这个公式的推导需要用到等差数列的通项公式an = a + (n-1)d。

3. 等差数列首项为a，公差为d，第m项到第n项的和为Smn，则有：Smn = (n-m+1)/2(2a + (n-m)d)这个公式可以用来求等差数列中任意
一段连续项的和。

4. 等差数列首项为a，公差为d，第k项的值为ak，
则有：ak = a + (k-1)d这是等差数列的通项公式，可以用来求等差数列
中任意一项的值。

以上是等差数列前n项和公式的常见形式，需要根据具
体问题选择合适的公式进行计算。

高中数学必修5：等差数列的前n项和公式的巧记及其性质

Sn=na1＋nn2－1d
等差数列的前n项和
已知量首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝
na1＋an 2
Sn＝ na1＋nn－ 2 1d
Sn与梯形面积
a1
n
a1
n
an
an
补成平形四边形
Sn
a1
an
与梯
n
Sn
形
an
a1
面
积
Sn
(a1
an ) n 2
分割成一个平行四边形和一个三角形
[题后感悟] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和 Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an ，Sn中可知三求二，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
1. 在等差数列{an}中， (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8. (2)已知a2＋a4＝48/5，求S5； (3)已知a10＝12，a20＝32，Sn＝120，求an和n的值．
2．已知等差数列{an}，a1＝50，d＝－2，Sn＝0，则n等于 ()
A．51
B．50
C．49
D．48
解析：由 Sn＝na1＋nn－ 2 1d 得 n×50＋n×n2－1×(－2)＝0 即 n2－51n＝0 ∴n＝0(舍去)或 n＝51.故选 A.
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19 的值为________．
设 Sn，Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前 n 项和，当 n≤20 时，Sn′＝－Sn＝－－60n＋nn2－1×3 ＝－32n2＋1223n；当 n>20 时，Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20 ＝－60n＋nn2－1×3－2×－60×20＋20×2 19×3 ＝32n2－1223n＋1 260.

等差数列前n项和公式大全

等差数列前n项和公式大全为了更好地理解等差数列前$n$项和公式，我们首先来了解等差数列的定义和性质。

等差数列的定义：如果一个数列满足任意相邻两项之间的差值相等，那么这个数列就是等差数列。

等差数列的通项公式：等差数列的通项公式可以表示为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$是数列中的第$n$项，$a_1$是数列中的第一项，$d$是公差。

等差数列的前$n$项和公式：等差数列的前$n$项和可以表示为$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中$S_n$表示前$n$项和。

现在让我们来证明等差数列前$n$项和公式。

我们从等差数列的通项公式出发，再利用数列中第一项与最后一项的关系来推导出前$n$项和公式：设等差数列的第$n$项为$a_n$，而第一项为$a_1$，公差为$d$。

根据通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$。

那么数列的最后一项可以表示为：$a_n=a_1+(n-1)d$。

那么数列的前$n$项和可以表示为：$S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)$。

将等差数列的最后一项代入前$n$项和公式，得到：$S_n=a_1+a_n+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-2)d)$。

由于等差数列具有对称性，可以对以上等式进行变形，得到：$S_n=(a_1+a_n)+(a_1+d+a_n-d)+(a_1+2d+a_n-2d)+...+(a_1+(n-1)d+a_n-(n-1)d)$。

将等差数列的前$n$项和重新表示，得到：$S_n=(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+...+(a_1+a_n)$。

一共有$n$项，所以：$S_n=n(a_1+a_n)$。

将$a_1$和$a_n$用$a_1 + (n-1)d$来表示，即：$S_n =\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$。

根据等差数列的前$n$项和公式，我们得到了等差数列前$n$项和的公式。

等差数列前n项和公式大全

等差数列前n项和公式大全等差数列是指一个数列中，从第二个数（第二项）起，每一项与其前一项的差称为公差，公差代表着数列中相邻两项之间的间隔。

数列的前n 项和是指数列中从第一项到第n项所有项的和。

本文将详细介绍等差数列前n项和的公式及其推导过程。

一、等差数列通项公式等差数列的通项公式表示为：an = a1 + (n-1)d其中，an是数列的第n项，a1是数列的首项，d是数列的公差，n是要求的项数。

S_n = (n/2)(a1 + an)其中，n是要求的项数，a1是数列的首项，an是数列的第n项。

二、等差数列前n项和的推导过程我们将通过举例来推导出等差数列前n项和的公式。

假设有一个等差数列：2,5,8,11,14,...该数列的首项a1=2，公差d=3现在我们要计算数列的前n项和，即S_n。

首先我们写出数列的通项公式an = a1 + (n-1)d。

根据通项公式，我们可以求出数列的第n项an：a_n=2+(n-1)3=3n-1然后，我们将数列的前n项相加，即可得到前n项和S_n。

S_n = a1 + a2 + a3 + ... + an将每一项用通项公式an代入：S_n=(2)+(2+3)+(2+2*3)+...+(2+(n-1)3)S_n=2+2+3+2+3+3+...+3(n-1)将上式写成分组的形式，每个分组中的项都相等：S_n=(2+2+...+2)+(3+3+...+3)+...+((n-1)3+(n-1)3+...+(n-1)3) ---------------------------------------------------n个2n个3n个(n-1)3S_n=n*2+n*3+...+n*(n-1)3S_n=n(2+3+...+(n-1)3)上式中的括号内是一个等差数列，它的首项是2，公差是3，项数是n-1S_n=n[(n-1)/2(2+(n-1)3)]整理上式，得到等差数列前n项和的通项公式：S_n = (n/2)(a1 + an)其中，n是要求的项数，a1是数列的首项，an是数列的第n项。

人教版高数必修五第5讲：等差数列前n项和公式(教师版)

等差数列的前n 项和__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点：掌握等差数列前n 项和通项公式及性质，数列最值的求解，与函数的关系教学难点：数列最值的求解及与函数的关系1. 数列的前n 项和一般地，我们称312...n a a a a ++++为数列{}n a 的前n 项和，用n S 表示；记法：123...n n S a a a a =++++ 显然，当2n ≥时，有1n n n a S S -=- 所以n a 与n S 的关系为n a = 1S ()1n =②()12n n S S n --≥2. 等差数列的前n 项和公式()()11122n n n a a n n S na d +-==+ 3. 等差数列前n 项和公式性质（1）等差数列中，依次()2,k k k N +≥∈项之和仍然是等差数列，即23243,,,,...k k k k k k k S S S S S S S --- 成等差数列，且公差为2k d（2） n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列（3）等差数列{}n a 中，若(),n m a m a n m n ==≠，则0m n a +=；若(),,n m S m S n m n ==≠则()m n S m n +=-+（4）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，前n 项和分别是n S 和n T ，则有2121n n n n a S b T --=（5）项数为2n 的等差数列{}n a ，有()1,n n n S n a a +=+有S 偶 -S 奇 =nd ，S S 奇 /偶 =1nn a a + 4. 等差数列前n 项和公式与函数的关系等差数列前n 项和公式()112n n n S na d -=+可以写成2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭若令1,,22d dA aB =-=类型一：数列及等差数列的求和公式例1.已知数列{}n a 的前n 项和22,n S n n =+ 求{}n a解析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+当1n =时，上式成立所以21n a n =+答案：21n a n =+练习1. 已知数列{}n a 的前n 项和22,n S n n =+求2a 答案：25a =练习2：已知数列{}n a 的前n 项和22,n S n n =+求10a 答案：1021a =例2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，131,,15,22m a d S ==-=-求m 及m a 解析：()131..15222m m m S m -⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，整理得27600,m m --= 解得12m =或5m =-（舍去）()12311211522m a a ⎛⎫∴==+-⨯-=- ⎪⎝⎭答案：1212,4m a ==-练习3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11,512,1022n n a a S ==-=-，求d答案：171d =-练习4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，524,S =求24a a + 答案：24485a a +=例3.在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S (1) 若81248,168,S S ==求1a 和公差d(2) 若499,6,a a ==-求满足54n S =的所有n 的值解析：（1）由等差数列前n 项和公式有11182848,1266168,8,4a d a d a d +=+=∴=-= （2）由4919,6,18,3a a a d ==-∴==-所以()()11813542n S n n n =+--=即213360n n -+= 解得4n =或9n = 答案：（1）18,4a d =-= （2）4n =或9n =练习5.设n S 是等差数列{}n a 的前项和，1532,3,a a a ==则9S =___________ 答案：54-练习6.在等差数列{}n a 中，241,5,a a ==则{}n a 的前5项和 5S = ______________ 答案：15类型二：等差数列前n 项和公式的性质例4.在等差数列{}n a 中，（1）若41720a a +=，求20S（2）若共有n 项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项和286n S = ，求n （3）若10100100,10S S ==求110S解析：（1）由等差数列的性质，知()1204172012020202002a a a a S a a +=+=∴=+= （2）由题意得，知123412321,67,n n n n a a a a a a a a ---+++=+++= 由等差数列的性质知()121324311488,22n n n n n n a a a a a a a a a a a a ---+=+=+=+∴+=∴+=又()12n n nS a a =+ ，即 222862n ⨯=26n ∴= （4）因为数列{}n a 是等差数列，所以10,2010302010090110100,,...,,S S S S S S S S S ----成等差数列，首项为10100S =，设其公差为d ，则100S 为该数列的前10项和，()()10010201010090109 (10100102)S S S S S S d ⨯∴=+-++-=⨯+=解得22d =-，又110S 为该数列的前11项和，故()110111011100221102S ⨯=⨯+⨯-=- 答案：（1）20200S = （2）26n = （3）110110S =-练习7.（2014山东淄博一中期中）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4813S S =，则816S S 等于（） A.19 B.13 C.310 D.18答案：C练习8.（2014山东青岛期中）已知等差数列{}n a 的公差0d >，()122013...2013t a a a a t N ++++=∈ 则t = （）A.2014B.2013C.1007D.1006 答案：C例5.已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且21n n S nT n =+则33a b =（） A.32 B.43 C.53 D. 127解析：当n 为奇数时，等差数列{}n a 的前n 项和()1122n n n n a a S na ++== 同理12n n T nb +=令5n =得33533552555513a a Sb b T ⨯====+ 答案：C练习9.已知是{}n a 等差数列，n S 为其前n 项和，n N +∈若32016,20a S ==则10S 的值为______ 答案：110练习10.已知等差数列{}n a 的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为35，则这个数列的项数为______________ 答案：20类型三：等差数列前n 项和公式的最值及与函数的关系例6.已知数列{}n a 的前项和为2230n S n n =- （1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式（2）求使得n S 最小的n 值解析：（1）因为()14322n n n a S S n n -=-=-≥当1n =时1123028a S ==-=-也适合上式，所以这个数列的通项公式为432n a n =-又因为()()()1432413242n n a a n n n --=----=≥⎡⎤⎣⎦ 所以{}n a 是等差数列（2）22152********n S n n n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭因为n 是正整数，所以当7n =或8时n S 最小，最小值为-112答案：（1）是；432n a n =-（2）当7n =或8时n S 最小，最小值为-112练习11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为715,7,75n S S S ==，n T 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求数列{}n T 的通项公式答案：2944n n T n =- 练习12.等差数列{}n a 中，若61024,120S S ==，求15S =_____________ 答案：15330S =例7.已知等差数列{}n a 中，19120,,a S S <=求使该数列前n 项和n S 取得最小值的n 的值解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意得111199812121122a d a d +⨯⨯⨯=+⨯⨯⨯ 即21112121330,10,00228n d a d a d a d S n d ⎛⎫=-∴=-<∴>∴=-- ⎪⎝⎭ 0n d S >∴有最小值；又,10n N n +∈∴=或11n =时，n S 取最小值答案：10n =或11n =时，n S 取最小值练习13.已知等差数列{}n a 中，128,4a d =-=则使前n 项和n S 取得最小值的n 值为（） A.7 B.8 C.7或8 D.6或7 答案：C练习14.数列{}n a 满足211n a n =-+，则使得其前n 项和取得最大值的n 等于（） A.4 B.5 C.6 D.7 答案：B1. 四个数成等差数列，S 4＝32，a 2a 3＝13，则公差d 等于( )A ．8B ．16C ．4D ．0 答案：A2. 设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0 C ．S 9>S 5 D ．S 6与S 7均为S n 的最大值．答案：C3. 已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 答案：B4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100 答案：A5. 在等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1d等于( )A.910B.109 C ．2 D.23 答案：A6. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 答案：D7. (2014·福建理，3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 答案：C_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 答案：C2.数列{a n }是等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列的前20项和等于( ) A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 答案：B3.等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15 答案：C4. 已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案：C5. 在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＝12，a n ＝3，S n ＝152，则a 1＝________，n ＝________.答案：2 ，36. 设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________.答案：257. 设{a n }是公差为－2的等差数列，若a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99的值为________．答案：－828.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案：89. 已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和．答案：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝05a 1＋10d ＝－5，解得a 1＝1，d ＝－1.由{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1(3－2n )(1－2n )＝12(12n －3－12n －1)，从而数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和为12(1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1) ＝n1－2n. 10. 设{a n }是等差数列，前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n 的值．答案：(1)设公差为d ，则a 20－a 10＝10d ＝20， ∴d ＝2.∴a 10＝a 1＋9d ＝a 1＋18＝30， ∴a 1＝12.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋2(n －1)＝2n ＋10. (2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (2n ＋22)2＝n 2＋11n ＝242， ∴n 2＋11n －242＝0， ∴n ＝11.能力提升11. 在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝15，a 100＋b 100＝139，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．0B ．4 475C ．8 950D ．10 000 答案：C12. 等差数列{a n }中，a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11 答案：D13. 一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9 答案：C14. 已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( ) A ．24 B ．26 C ．27 D ．28 答案：B15. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )A ．－6B ．－4C ．－2D ．2 答案：A16. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18D.19 答案：A17. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200＝( )A ．100B ．101C ．200D ．201 答案：A18. 已知等差数列{a n }的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n ＝________. 答案：2719. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－8，则通项公式a n ＝________.答案：⎩⎪⎨⎪⎧－7 (n ＝1)2n －1 (n ≥2)20. 设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案： A21. 等差数列{a n }中，d <0，若|a 3|＝|a 9|，则数列{a n }的前n 项和取最大值时，n 的值为______________．答案：5或622. 设等差数列的前n 项和为S n .已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．答案：(1)依题意⎩⎨⎧S12＝12a 1＋12×112d >0S13＝13a 1＋13×122d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0， ①a 1＋6d <0. ② 由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12. ③将③分别代入②①，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >03＋d <0，解得－247<d <－3.(2)由d <0可知{a n }是递减数列，因此若在1≤n ≤12中，使a n >0且a n ＋1<0，则S n 最大．由于S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，可得 a 6>0，a 7<0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大． 23. 已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．答案：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2. 从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35. 又k ∈N *，故k ＝7为所求． 24. 在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10； (2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n . 答案：(1)解法一：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4.11∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2×d ＝10×3＋10×92×4＝210. 解法二：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 10＝(a 1＋a 10)＋4d ＝58a 4＋a 9＝(a 1＋a 10)＋2d ＝50， ∴a 1＋a 10＝42，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5×42＝210. 解法三：由(a 5＋a 10)－(a 4＋a 9)＝2d ＝58－50，得d ＝4由a 4＋a 9＝50，得2a 1＋11d ＝50，∴a 1＝3.故S 10＝10×3＋10×9×42＝210. (2)S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝42，∴a 4＝6. ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 4＋a n －3)2＝n (6＋45)2＝510. ∴n ＝20.25.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 答案：a 1＝S 1＝101，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－32n 2＋2052n )－[－32(n －1)2＋2052(n －1)] ＝－3n ＋104.又n ＝1也适合上式．∴数列通项公式a n ＝－3n ＋104.由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤1043，即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.①当n ≤34时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n . ②当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 34－(a 35＋a 36＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )12 ＝2S 34－S n＝32n 2－2052n ＋3 502.故T n＝⎩⎨⎧ －32n 2＋2052n (n ≤34)32n 2－2052n ＋3 502 (n ≥35).课程顾问签字：教学主管签字：。

等差数列的前n项和公式

等差数列的前n项和公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持一致的一种数列。

在数学中，我们经常需要求等差数列的前n项和，即将等差数列前n个数相加的结果。

这里，我们将探讨等差数列的前n项和公式，并通过实例进行验证。

一、等差数列的定义与性质：等差数列的定义：若数列An（简称为数列A）满足An+1 - An = d，其中d为常数，则称数列A为等差数列。

等差数列通常用a1, a2, a3, ..., an来表示。

等差数列的性质：在等差数列中，任意一项An可以表示为第一项a1与项数n和公差d的关系，即An = a1 + (n-1)d。

二、等差数列的前n项和公式推导：为了求解等差数列的前n项和，我们需要推导出一个通用的公式。

设等差数列的前n项和为Sn，我们来看一下如何得出Sn的公式。

我们观察等差数列的前n项和情况，可以列出以下两个等式：S1 = a1S2 = a1 + (a1 + d)S3 = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d)...Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + (n-1)d)接下来，我们将Sn与Sn的逆序相加，可以得到以下结果：Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + (n-1)d)Sn = (a1 + (n-1)d) + (a1 + (n-2)d) + ... + a1将这两个式子相加，我们可以得到：2Sn = n(a1 + (a1 + (n-1)d))2Sn = n(2a1 + (n-1)d)整理一下得到：Sn = n(2a1 + (n-1)d) / 2这就是等差数列前n项和的通用公式。

三、等差数列前n项和公式实例验证：现在，我们通过一个实例来验证等差数列前n项和的公式。

例题：计算等差数列3, 8, 13, 18, 23的前4项和。

首先，我们需要确定各项的值：a1 = 3，首项为3d = 8 - 3 = 5，公差为5n = 4，项数为4将这些值代入公式Sn = n(2a1 + (n-1)d) / 2，我们可以得到：S4 = 4(2*3 + (4-1)*5) / 2= 4(6 + 3*5) / 2= 4(6 + 15) / 2= 4(21) / 2= 42所以，等差数列3, 8, 13, 18, 23的前4项和为42。

等差数列的前N项和公式PPT课件

7.
n N *,n 6, 即S6最大。
关于等差数列奇数项与偶数项的性质：
若项数为2n，则
S偶-S奇 a2 a4 a2n a1 a3 a2n1
(a2 a1) (a4 a3) (a2n a2n1)
d d d nd
解：代 an a1 (n 1)d 公式可得
98 7 (n 1) 7 n 14.
或由 m 100,得7n 100 ，即 n 100 14 2
n N *,n 14.
7
7
S14

14 (7 98) 2

735
或
S14
14 7 14 (14 1) 7 735. 2

(n
1)an
S奇
a1
n 2
a3 2an
a2n1 nan
n 2
(a1

a2 n1 )
S奇 S偶 nan (n 1)an an
这里 an a中
S奇 nan n . S偶 (n 1)an n 1
课本P118习题3.3 4，6，8，1 Nhomakorabea。 0.
0,
将 a3 解得
12,即a1 12 2d 代入上式得 24 d 3.
24 7d 0, 3 d 0.
7
解法1：由 S12 0, S13 0
得
12a1
13a1
12 11 d 2
1312 d 2

0, 0,
Sn

4n
n(n 1) 6 2
3n2

n.

人教版高中数学必修5《等差数列的前n项和》PPT课件

例4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20 项的和是1220，求该数列前30项的和。
解：设该等差数列的前n项和Sn An2 Bn,则
S10 100A 10B 310
S20
400 A
20B
1220
解得A 3, B 1
Sn 3n2 n S30 3 900 30 2730
解：依题意知，S10=310，S20=1220
将它们代入公式
Sn
na1
n(n 1) d 2
得 10a1+45d=310
思考：对于等差数
20a1+190d=1220 列的相关a1,an,d,n,Sn,
解得 a1=4，d=6
已知几个量就可
以确定其他量？
an 4 6(n 1) 6n 2
Sn
分析：∵Sn=a1+a2+…+an， Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2)
∴an=Sn-Sn-1 (n≥2) 特别地，当n=1时，a1=S1
，求该数列
例3、已知数列{an}的前n项和为
，求该数列
的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项
和公差分别是什么？
解：当n≥2时，
①
当n=1时， ∵a1也满足①式 ∴数列{an}的通项公式为这是首项为，公差为2的等差数列
一般地，若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n ，…
也为等差数列。
3、数列{an}是等差数列
练习：在等差数列{an}中，若a2=-18，a4=-10，则该数列的前n项和Sn何时取得最小值，最小值是多少？
解：∵ a2=-18，a4=-10

等差数列前n项和公式PPT课件

sn
(a1
an)n 2
（补成平行四边形）
.
11
例1．某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是：
7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500
这位运动员7天共跑了多少米？解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，
记为｛an}, 其中 a1=7500, a7=10500.
an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有:
an=am+ (n-m) d (2) 等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N*),那么: am+ an = ap+aq
.
2
问题呈现
问题1
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设该数列前n 项和为54
n(n- 1) 根据等差数列前n项和公式： sn=na1+ 2 d
×4=54成立
整理后 ,得 n 2-6 n -2 7=0
解得 n1=9, n２=－3(舍去) 因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是 54.
.
14
小结：
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法
2.公式的应用中的数学思想.
-------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二

4.2.2等差数列的前n项和公式PPT课件(人教版)

解：由已知可得：a1= -10,d=4
n(n 1)
S n 10n
4
2
2n 12n
2
令 2n 12 n 54
2
解得：n 9 或 n （舍）
3
所以数列前9项的和是54.
课堂小结
等差数列前n项和公式
n(a1 an )
Sn
2
n(n 1)
S n na1
101
算法过程：
由①+②，得
1
( + )
=

=
设 =1＋2＋3＋…＋100+101
①，则
=101＋100＋99＋…＋2+1 ②
2 = （＋）
合作探究
思考2：已知数列{an}是等差数列，如何求
= 1 + 2 + 3 +··· +−1 + 的值？
S n na1
d
2
名师点析：(1)两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d
五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也
是等差数列的基本问题情势之一.
( + )
(2)当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式Sn=
.用此公式时,有时要
A．230
B．420
C．450
D．540
20×19
解：S20＝20a1＋ 2 d＝20×2＋20×19＝420.
B
)
典型例题
例1 已知数列{an}是等差数列.
(1)若a1=7，a50=101，求S50;

(3)若a1= ，d=- ，