数学建模 淋雨模型

淋雨量模型

一、问题概述

要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高a=（颈部以下），宽b=，厚c=，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论[17]：

（1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;

（2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨里最少。计算θ=0，θ=30°的总淋雨量.

（3）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）

（4）、以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.

（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内，试建立模型

二、问题分析

淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

可得：

淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t）①

时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v）②

由①②得：淋雨量（V）=ω×S×d/v

三、模型假设

四、

（1）、将人体简化成一个长方体，高a=（颈部以下），宽b=，厚c=.设跑步距离d=1000m，跑步最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，记跑步速度为v；（参考）

（2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值；

（3）、此人在雨中跑步应为直线跑步；

（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；

五、模型求解：

（一）、模型Ⅰ建立及求解：

设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：

S＝2ab+2ac+bc

雨中奔跑所用时间为：

t=d/v

总降雨量

V＝ω×S×d/v

ω＝2cm/h=2×10-2/3600 (m/s) 将相关数据代入模型中，可解得：

S＝（㎡）

V＝ (cm3)= (L)

（二）、模型Ⅱ建立及求解：

若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ.，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量. （如图1）

设雨从迎面吹来时与人体夹角为θ. ，且 0°<θ<90°，建立a ，b ，c ，d ，u ，ω，θ之间的关系为：

（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为θsin u ⋅且方向与v 相反，故人相对于雨的水平速度为：

()v sin u +⋅θ

则前部单位时间单位面积淋雨量为：

u /v sin u ）（+⋅⋅θω

又因为前部的淋雨面积为：b a ⋅，时间为： d/v

于是前部淋雨量V 2为 ：

()()[]()v /d u /v sin u V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωb a

即：

()()v u /v sin u a V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωd b ①

（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v 无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为()θωcos ⋅，顶部面积为()c b ⋅ ，淋雨时间为()v /d ，于是顶部淋雨量为：

v /cos b V 1θω⋅⋅⋅⋅=d c ②

由①②可算得总淋雨量 :

()()v u /v sin u a v /cos c b V V V 21⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+=θωθωd b d

代入数据求得：

v 1800v 875.1sin 5.7cos V ⋅++=θθ 由V （v)函数可知：总淋雨量（V ）与人跑步的速度（v ）以及雨线与人的夹角（θ）两者有关。

对函数V （v ）求导，得：

()2v 1800sin 5.7cos V ⋅⋅+-='θ

θ

显然：V '<0， 所以V 为v 的减函数，V 随v 增大而减小。

因此，速度v=v m =5m/s ，总淋雨量最小。

（Ⅰ）当θ=0，代入数据，解得：

V ＝（m3）≈（L ）

（Ⅱ）当θ=30°，代入数据，解得：

V ＝(m3)≈（L ）

（三）、模型Ⅲ建立及求解：

若雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和后部淋雨量.（如图2）

设雨从背部吹来时与人体夹角为α， 且0°＜α﹤90°,建立a ，b ，c ，d ，u ，α，ω之间的关系为：

（1）、先考虑顶部淋雨量：当雨从背面吹来，而对于人顶部的淋雨量 V 1 ，它与模型①中一样，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：

()/v cos d c b v /cos b V 1αωαω⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=d c

（2）、后部淋雨量：人相对于雨的水平速度为：⎩⎨⎧⋅>⋅-⋅≤-⋅α

αααsin u v sin v sin u v v sin ，，u u

从而可得，人背部单位时间单位面积淋雨量为：()()⎩

⎨⎧⋅>⋅-⋅⋅≤-⋅⋅ααωααωsin u v u /sin u v sin u v u /v sin ，，u

可得人背部淋雨量为： ()()⎩⎨⎧⋅>⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅≤-⋅⋅⋅⋅⋅=α

αωααωsin u v u /sin u v a V sin u v u /v sin a V 33，，d b u d b

而总淋雨量：V=V 1＋ V 3

从而有：⎩⎨⎧⋅>⋅-⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=⋅≤-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=α

αωαωααωαωsin u v u /)sin u v (d b a v /cos c b V sin u v u /)v sin (d b a v /cos c b V ，，d u d ③

化简③式得：()()⎩⎨⎧⋅>+⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅≤-⋅+⋅⋅⋅⋅=α

ααωαααωsin u v /a v /sin cos b V sin u v /a v /sin cos b V ，，u a c d u a c d && ④

代入相关数据化简得：()[]()[]⎩

⎨⎧⋅>+-=⋅≤-+=ααααααsin u v 360/375.0v /1.5sin cos 2.0V sin u v 360/375.0v /1.5sin cos 2.0V ，， ⑤

由V （v)函数可知：总淋雨量（V ）与人跑步的速度（v ）以及雨线与人的夹角（α）两者有关。

（Ⅰ）、 当αsin u v ⋅≤时，且0°＜α﹤90°，可得：c cos α＋a sin α>0 对⑤式求导，易知V '<0；所以，总淋雨量（V ）随着速度（v ）的增加而减少， 因此，αsin u v ⋅= 总淋雨量最小。

（Ⅱ）、当v >u sin α时，且0°＜α﹤90°，对⑤式求导，

解得：2v 180cos 2.0sin 5.1V ）

（⋅-='αα (ⅰ)、当α－ cos α<0时，即 ：tan α<2/15,即V`<0；从而推出，总淋雨量（V ）随着速度（v ）的增加而减少，所以，速度v=v m ，总淋雨量最小。

（ⅱ）、当α－ cos α>0时，即 ：tan α>2/15,即V`>0；从而推出，

总淋雨量（V ）随着速度（v ）的增加而增加，所以，当速度（v ）取最小， 即v=u sin α 总淋雨量最小。

当α＝30°，tan α>2/15 ，由模型⑶分析的，当v=u sin α=4×1/2=2（m/s ）