微分几何习题课第四章课后答案
常微分课后答案第四章
第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法） 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。
与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2） 的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3） 的解．证明 因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ， 二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。
微分几何(版)【梅向明黄敬之编】课后题答案[]
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§4.直纹面和可展曲面1. 证明曲面r =}32,2,31{2432v u u uv u v u +++是可展曲面.证法一： 已知曲面方程可改写为r =},2,{432u u u +v }32,,31{2u u ，令()a u r =},2,{432u u u ，()b u r =}32,,31{2u u ，则r =()a u r + v ()b u r ，且()b u r ≠0，这是直纹面的方程 ，它满足(',,')a b b r r r =23226412334013u u u u u u =0 ,所以所给曲面为可展曲面. 证法二：证明曲面的高斯曲率为零.（略）2.证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面.证法一： 曲面的方程可改写为 r =()a v r + u ()b v r ，其中()a v r={cosv-vsinv, sinv+vcosv, 2v}，()b v r ={-sinv, cosv,1} ，易见()b v r≠0，所以曲面为直纹面，又因为(',,')a b b r rr =2sin cos 2cos sin 2sin cos 1cos sin 0v v v v v v v v v v ------=0，所以所给曲面为可展曲面. 证法二：证明曲面的高斯曲率为零.（略）3．证明正螺面r={vcosu,vsinu,au+b}(a ≠0)不是可展曲面.证法一：原曲面的方程可改写为 r =()a u r + v ()b u r ，其中()a u r={0,0,au+b},()b u r ={cosu,sinu,0}.易见()b u r ≠0, 所以曲面为直纹面, 又因为(',,')a b b r r r=00cos sin 0sin cos 0au u u u -=a ≠0.故正螺面不是可展曲面.证法二：证明曲面的高斯曲率为零.（略）4．证明挠曲线的主法线曲面与副法线曲面不是可展曲面.证 挠曲线（C ）:()a a s =r r 的主法线曲面为 1():()()s r a s v s β=+r r r,因为(,,)a ββr r r &&=(,,)0αβκατγτ-+=≠r r r r ，故1():()()s r a s v s β=+r r r 不是可展曲面.挠曲线（C ）:()a a s =r r 的副法线曲面为 2():()()S r a s v s γ=+r r r ，因为(,,)a γγ=r r r &&(,,)0αγτβτ-=≠r r r ，故2():()()S r a s v s γ=+r r r不是可展曲面.5.求平面族{}απ：xcos α+ysin α-zsin α-1=0 的包络.解 cos sin cos 0sin cos cos 0F x y z F x y z ααααααα=+-=⎧⎨=-+-=⎩，即c o s ()s i n 1s i n()c o s 0x y z x y z αααα+-=⎧⎨-+-=⎩ ，将此两式平方后相加得 22()1x y z +-= .这就是所求的包络面.6．求平面族2222a x ay z a +=的包络.解 从222202220a F a x ay z a F ax y ⎧=++-=⎨=+-=⎩中消去参数a ，则得所求的包络面为2(1)20y axz --=.7．证明柱面、锥面、任意曲线的切线曲面是可展曲面.证 柱面1()S 的方程可写为 r =()a u r + v 0b r ，（0b r ≠0 为常向量）因为(',,')a b b r r r =0(',,0)0a b =rr .故1()S 是可展曲面.锥面2()S 的方程可写为 r =0a r + v ()b u r （0a r 为常向量），因为(',,')a b b r r r =(0,,')b b r r =0，故2()S 是可展曲面. 曲线（C ）:()a a s =r r 的切线曲面为 3():()()S r a s v s α=+r r r .因为(',,')a b b r rr =(,,')0ααα=r r r ，故3():()()S r a s v s α=+r r r是可展曲面. 8．证明0uu uv r r ==r r的曲面(S):r=r(u,v)r r 是柱面.证法： 因为uu r 0=r ，所以()u r b v =r r ，又因为0uv r =r ，因此00u r b =≠r rr 为固定向量.从而积分得0(,)()r u v a v ub =+r r r.故曲面(S):r=r(u,v)r r 是柱面. §5 曲面的基本定理1．平面上取极坐标系时，第一基本形式为2222ds d d ρρθ=+，试计算第二类克氏符号kij Γ.解 因为21,0,E F G ρ===，所以1211111120,0,0222E E E EG EρθθΓ==Γ=-=Γ==， 2121222221,,0222G G G GEGρρθρρΓ==Γ=-=-Γ==. 2．证明高斯曲率det()j i K μ=. 证 因为d e t ()d e t ()d e t ()d e t ()j kjkjk ji i ki k i kL g L g L g μ=-∑=-=，而1()()kj kjg g -=，所以1det()det()kjkj g g =，从而22det()det()/det()ji ik kj LN ML g EG F μ-==-， 故det()j i K μ=.3．证明平均曲率12121()2H μμ=-+. 证 因为121211211222121211122122()k k k k kkL g L g L g L g L g L g μμ+=-∑-∑=-+++=-22221121111122122()(2)/()g g g gL L L L LG MF NE EG F g g g g--+=--+-=2H -， 所以12121()2H μμ=-+. 5．对于3R 中的空间曲面来说，()ll l ijk j jk k ij R K g g δδ=--其中K 是曲面的高斯曲率.证 因为121211221221,,R Kg g g g g g =-=-所以121211221221()R K g g g g =--，又1212211212212121,0(mijk R R R R R m i =-=-===或j=k),从而()mijk mj ik mk ij R K g g g g =--上式两边分别与ml g 相乘并关于m 从1到2求和，则得[()()ml ml ml mijkmj ik mk ij g R K g g g g g g =--=()l l j ik k ij K g g δδ--,而,ml l mijk ijk g R R =故得()ll l ijk j jk k ij R K g g δδ=--.注 在解题过程中省略了求和号∑. 6．证明以下公式： ⑴ 22122212221112111211221211121[()()()]v u K E=Γ-Γ+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-Γ；⑵ 221112[))]K v u ∂∂=-∂∂；⑶ 112212[))]K u v ∂∂=-∂∂；⑷对于曲面上的等温坐标网有222()ds du dv λ=+，求证21[(ln )(ln )]uu vv K λλλ=-+；⑸ 对于曲面上的半测地坐标网有222ds du Gdv =+，求证K =证 ⑴ 高斯公式mijk ij mk ik mj R L L L L =-的两边分别与mk g 相乘并关于m 从1到2求和,再注意到l mk i j k mi j k R g R =及lijk R 的定义，可得()()l l ijp l p lmk ik ij pk ik pj ij mk ik mj kj p mg L L L L u u ∂Γ∂Γ-+∑ΓΓ-ΓΓ=∑-∂∂,今取i=1,j=1,k=2,l=2, 则有2212221222111211121122121112()()()v u Γ-Γ+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-Γ=2112121()m m m mg L L L L ∑-=12221112121111221221()()g L L L L g L L L L -+-=22222()()Eg LN M LN M KE EG F-=-=- 故 22122212221112111211221211121[()()()]v u K E=Γ-Γ+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-Γ. ⑵ 因为1212R K g =，所以2221221112112111212121121211g R g R g R g R R g K gααα=∑=+==-， 又因为222221211121121112()p p p p p Ru v∂Γ∂Γ=-+∑ΓΓ-ΓΓ∂∂，所以22122212221112111112112212111221g K v u ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-ΓΓ∂∂=222211112112212()v u ∂Γ∂Γ-+ΓΓ+Γ∂∂-221122112121111121112()2()ΓΓ+Γ+ΓΓ-ΓΓ ①而212212Γ+Γ=211211Γ+Γ=② 22221111121112112[11,1]2[12,1]g g u v ∂∂Γ-Γ=Γ-Γ∂∂=2211112112112()2()k k k k k kg g ∑ΓΓ-∑ΓΓ= 12212212121111121112111212121111111212112()2()2()g g g g g Γ+ΓΓ-Γ+ΓΓ=ΓΓ-ΓΓ，即12122211111112121112111112()()g g g u v∂∂ΓΓ-ΓΓ=Γ-Γ∂∂ ③ 于是将②，③代入①可得：.2222221112111111121211111()g g g K v u g u v ∂Γ∂Γ∂∂=-+ΓΓ+Γ-Γ∂∂∂∂221112K ∴=ΓΓ221211221112[))]v u ΓΓ∂∂=-∂∂因此命题得证.⑶ 因为1212R K g =，所以2111222122121212121222g R g R g R R g K gααα=∑===-， 又因为111112122212212221()p p p p p Rv u∂Γ∂Γ=-+∑ΓΓ-ΓΓ∂∂，所以11112121121222212222111221222121222212()()2()g K u v∂Γ∂Γ=-+ΓΓ+Γ-ΓΓ+Γ+ΓΓ-ΓΓ∂∂ ①而212221Γ+Γ=211211Γ+Γ=② 1121212222212222222121222()g g g v u∂∂Γ-Γ=ΓΓ-ΓΓ∂∂ 即12121122222122221221222212()()g g g v u∂∂ΓΓ-ΓΓ=Γ-Γ∂∂ ③ 于是将②，③代入①并整理得：112212[))]Ku v∂∂=-∂∂⑷因为E=G=2λ,F=0,所以2211][()()][(ln)(ln)]u vu v u v uu vvKλλλλλλλλ=+=-+=-+因此命题得证.⑸因为E=1， F=0, G=G（u，v），所以]0]u v uuK=+=+=因此命题得证.7．如果曲面的第一基本形式为222222()du dvdsu v c+=++，计算克氏符号kijΓ.解因为2221,0()E G Fu v c===++，所以111222,2uE uE u v c-Γ==++212111212222222222,,222v v uE E Gv v uG u v c E u v c G u v c--Γ=-=Γ==Γ==++++++，1222222uG uE u v cΓ=-=++，2222222vG vG u v c-Γ==++.8．求证第一基本形式为222222()du dvdsu v c+=++的曲面有常高斯曲率 .证因为2221,0()E G Fu v c===++，所以]u vK=+=-()22222222222222()2()[]()()v c u u c vu v cu v c u v c-+--+-+++++++=4c故所给曲面有常高斯曲率 .9．求以E=1,F=0,G=1,L=-1,M=0,N=0为第一、第二类基本量的曲面.解由已知条件和kijΓ的定义易知kijΓ=0，所以所求曲面的基本方程是,0,0,0,uu uv vvu u vr n r rn r n=-==⎧⎨==⎩，从第一式和第四式可得0uuu ur r+=，所以()cos()sin()r a v u b v u c v=++，再由第二式得'sin'cos0a ub u-+=，因此,a b是常向量，于是从第三式得(,c dv ed e=+为常向量），从而所求的方程为cos sinr a u b u dv e=+++，而sin cos,u vr a u b u r d=-+=，所以2222sin cos2sin cos1u ur r a u b u ab u u=+-=，因此221,0,a b ab===又sin cos0u vr r ab u bd u=-+=，所以0,ad bd==再注意到1v vr r dd==，于是,,,a b d可以分别作为x,y,z轴上的单位向量，故所求曲面可表示为{cos,sin,}r u u v e=+，因此所求曲面是半径为1的圆柱面.10．证明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.证 若存在曲面满足题设条件，则所给E,F,G,L,M,N 必须满足在正交坐标网下的G —C —M 公式，但2]01u v LN M EG -+=≠=-，所以不满足高斯公式，故不存在满足题设条件的曲面.§6 曲面上的测底线1．求正交网的坐标曲线的测地曲率. 解 因为坐标网是正交的，所以F=0，故g d k ds θθθ=， 而对u-曲线来说，θ=0，故gu k = 对v-曲线来说，θ=222n gκκκ=+2π ，所以gv k =2．证明球面r ={acosucosv,acosusinv,asinu}上曲线的测地曲率sin ,n d udvds dsθκ=- 其中θ表示曲线与经线的交角.证 易求出E=2a , F=0,G=2a 2cos u ,因此g d k ds θθθ==221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ∂+∂=sin sin cos d u ds a u θθ-，而1cos dv sin ds a u θθ==，故 sin g d dv k u ds ds θ=-. 3．求位于半径为R 的球面上半径为a 的圆的测地曲率.解法一：因为sin ,(,)n n κκθθβ=±=∠，而1,sin a R κθ==，所以n κ=. 解法二：半径为a 的圆的曲率为1a κ=，圆上每一点处的法曲率1n Rκ=±，由222n g κκκ=+知，2222222g n R a R a κκκ-=-= ，所以g κ= .解法三：任何球面上的圆都可以通过建立适当的曲纹坐标网使其成为纬圆，过不妨求半径为a 的纬圆的测地曲率.由1题知所求即为v-线的测地曲率：gv k =Γ因为所考虑纬圆的半径为a，所以cos ,sin R u a u ==所以v g Raκ=-4．求位于正螺面r={ucosv,usin,av}上的圆柱螺线00():{cos ,sin ,}C r u v u v av =（0u =常数）的测地曲率.解 易计算出E=1，F=0，G=22a u +，而（C ）是一条v-曲线：u=0u ,于是由22221ln()2gv a u uu a u κ∂+===∂+，可知（C ）的测地曲率为0220gv u a u κ=+. 5．设曲面(S)上曲率线(C)，(C)上的点不是抛物点.证明(C)在点P 的测地曲率的绝对值等于在(S)的球面映射下(C)的象在对应点的测地曲率与(C)在点P 的法曲率之积的绝对值.分析 本题是一个综合应用题，可利用球面像和测地曲率及曲率线等概念，罗德里格定理，默尼埃定理证之.证 设所给曲面(S)上曲率线(C)的方程为r =)(s r，它的球面像()C 的方程为()r n s =，注意到曲率线的定义及罗德里格定理，则有n n dn dn ds dr ds ds ds ds ds ds ds dsακκα===-=-，其中s 是()C 的弧长，即(1)n ds ds αεαεκ==±=-，所以1nds ds αεαακ==- ，又因为(C)的点都不是(S)抛物点，即K ≠0,所以||Kn n K =，（n 为(S)的球面像（S ）的单位法向量），从而有测地曲率的定义可得11()()g g n n k n n αααακκκ=⨯=±⨯=±，即||||gg nκκκ= ，即||||g g n κκκ= .6．若曲面(S)(,)r r u v =上曲线(C):u = u(t),v = v(t),t 为曲线(C)上的任意参数，试导出测地曲率g k 的计算公式.解 由于(,,)g r r n κκβε== ，而222',''()ds ds d sr r r r r dt dt dt ==+ ，所以()22332','',[(())](,,)()|'|g ds ds d s dsr r n r r r n r r n r dt dt dt dtκ=⨯+==，所以3(','',)/|'|g r r n r κ=， 又'i i i du r r dt =∑， 22,''i j iij i i j i du du d u r r r dt dt dt=∑+∑ = 22,,,i j i j kkijk ij k i j k i j k du du du du d u r Ln r dt dt dt dtdt ∑Γ+∑+∑ ， 从而(','',)(''')r r n r r n =⨯= [1222222122,,()(i j i jij ij i j i j du d u du du du d u du du dt dt dt dt dt dt dt dt +∑Γ-+∑Γ|'|ij du r g =，由此得到：1222222122,,2[()()]()i j i jg ij ij i j i j ij du d u du du du d u du du dt dtdt dt dt dt dt dt g dt dtκ=+∑Γ-+∑Γ. 7．求证旋转曲面的子午线是测地线，而平行圆仅当子午线的切线平行于旋转轴时才是测地线 . 证 设旋转曲面为(S)，{()cos ,()sin ,()}(()0)r t t t t ϕθϕθψϕ=，则易计算出E='2'22,0,F G ϕψϕ+==,于是子午线（t —曲线）的测地曲率为'2'21ln()02gt k ϕψϕθ∂+==-=∂，故子午线是测地线.又平行圆（θ-曲线）的测地曲率为2g k θ=== .所以0g k θ=的充要条件是'()0t ϕ= ，即{'()cos ,'()sin ,'()}{0,0,'()}t r t t t t ϕθϕθψψ== 故平行圆仅当子午线的切线平行于旋转轴时才是测地线 . 8．求证 ⑴ 如果测地线同时为渐近线，则它是直线；⑵如果测地线同时为曲率线，则它是一平面曲线.证 ⑴因为所给曲线是测地线，所以0g k =； 又因为所给曲线是渐近线，所以0n k =，而222n gk k k =+ ，所以k=0，故所给曲线是直线. ⑵ 方法一：因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有n ‖β，n ‖α，而γαβ=⨯，所以,n γα=±⨯从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=，又γτβ=-，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.方法二：因所给曲线是测地线，所以沿此曲线有n ‖β，所以β‖dn ，又因曲线是曲率线，所以dn ‖dr ‖α ，所以()κατγ-+‖α ，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.方法三：因所给曲线是测地线，所以该曲线的主法线重合于曲面的法线；因为是曲率线，所以沿此曲线曲面的法线曲面是可展曲面.从而该曲线的主法线曲面是可展曲面，而挠曲线的主法线曲面不是可展曲面，因此该曲线一定是平面曲线.方法四：设Γ是测地线，所以Γ的主法向量β‖n （曲面的单位法向量），所以Γ的副法向量γ⊥n ；即曲线Γ在每点处的副法向量与曲面在该点的法向量成定角，因Γ是曲率线，所以由P 114习题14知，曲线Γ是平面曲线.9．已知曲面的第一基本形式22()v du dv I =+，证明它上面的测地线是uv 平面上的抛物线. 证 因为E=G=v,F=0,所以测地线的微分方程化为1,2d dv tg du v du θθ== ，于是2dv tg d vθθ= ，积分后得12cos v h θ=（常数），由此得tg θ= .将此式代入第二式得du = ，积分后得002(u u u =±=常数），即2220()4()u u h v h -=- .故测地线在uv 平面上的表示为抛物线.10．求正螺面r={ucosv,usin,av}上的测地线.解 易计算出E=1，F=0，G=22a u +，所以测地线的微分方程化为22,d u dv tg du a u du θθθ=-=+，对第一式积分得sin h =（常 数）.于是tg θ=，将此式代入第二式并积分，则得所求测地线为v h = .11．利用刘维尔公式证明：⑴平面上的测地线为直线；⑵圆柱面上的测地线为 圆柱螺线.证 ⑴方法一：由于曲面的第一基本形式可写为22du dv I =+，所以由利乌维 公式可知，平面上的测地线的微分方程为0,0,d d dv tg du dv duθθθ===，于是有θ=常数，v utg c θ=+，故测地线为直线.方法二：取平面直角坐标系xoy ， 平面方程为{,,0}r x y =，可得1,0,1E F G ===，所以 22dx dy I =+.由刘维尔公式，对平面上的测地线有：g d d ds ds θθκθθ== = 0 所以测地线的（相对曲率）r d k dsθ== 0 ，所以测地线是直线. 方法三： 如方法二得0d dsθ=，所以0θθ=是常数，所以 0000cos ,cos ,sin ,sin dx dy x s y s ds dsθθθθ==== 即测地线方程是0v u K ⎧⎫⎪=+=⎬⎪⎭00cos sin x s y s θθ=⎧⎨=⎩ ，所以测地线是直线. ⑵ 证法一：设圆柱面为{cos ,sin ,}r a u a u v =，则易计算2,0,1E a F G ===.所以测地线的微分方程为g d d ds ds θθκθθ== = 0，,du dv ds ds θθ== ，所以θ=常数，0,0,d d dv atg du dv duθθθ===，()v atg u c θ=+，即圆柱面上的测地线为{cos ,sin ,}.r a u a u bu c =+.其中b atg θ=，这正是圆柱面上的圆柱螺线.因此得证.证法二：设圆柱面为{cos ,sin ,}r a u a u v =，则易计算2,0,1E a F G ===.所以测地线的微分方程为,gd dds dsdu dvds dsθθκθθθθ⎧===⎪⎪⎨⎪==⎪⎩所以0001cos,sindu dvds a dsθθθθ===是常数，，0102cos,sinu S C v s Caθθ=+=+ .所以测地线为：001102cos cos{cos(),sin(),sin}r a s C a s C s Ca aθθθ=+++（C1,C2为常数）.因为0{s i n}rθ'=…，…，与z周成定角，所以测地线为圆柱螺线：θ=时为112{cos(),sin(),}s sr a C a C Ca a=++是纬圆；02πθ=时为112{cos,sin,}r a C a C s C=+是直母线.12．证明：若曲面上非直线的所有测地线均为平面曲线，则它必为曲率线.证法一：因为所给曲面曲线是非直线的测地线，所以沿此曲线有nβ=±，从而()nκατγ=±-+，又因为曲线是平面曲线，所以0τ=，从而nκα=±.因此由罗德里格定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.证法二：设曲面上非直线的曲线Γ为测地线且为平面曲线.因为Γ为测地线，所以它的主法线是曲面的法线，又因Γ为平面曲线，所以Γ的主法线曲面是可展曲面，于是曲面沿Γ的法线组成曲面是可展曲面，所以Γ为曲率线.13．如果曲面上引进半测地坐标网，222(,)ds du G u v dv=+.求证：1[gds d tgκ-= .证明因为E=1，F=0，G=(,)G u v，所以根据Liouville公式有sin2ugGd dds ds Gθθκθθθ==+，而dvdsθ=，dvduθθ==，从而1[gdtgdsκ-=+故得1[gds d tgκ-= .14．给出曲面的第一基本形式为222(,)ds du G u v dv=+，如果此曲面上的测地线与u-曲线交于角α时，求证ddvα=证因为E=1，F=0，G=(,)G u v，所以与u-曲线交于角α的测地线应满足微分方程组sin2cosuGdds Gdudsdvdsααααααα⎧==-⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎩于是有ddvα=，故有ddv uα=-∂.15．证明：若曲面上两族测地线交于定角，则曲面是可展曲面.证法一：取一族测地线为u-曲线，与其正交的测地平行线为v-曲线，在曲面上建半测地坐标网，则曲面的第一基本形式可写为222(,)ds du G u v dv=+，由于两族测地线交于定角（设为ϑ），所以对另一族测地线来说应有0sin02uGdds Gθθθ==-=，所以0Gu∂=∂，这说明G仅与v有关，于是曲面的第一基本形式可写为222()ds du G v dv=+，作参数变换,u u v==，则曲面的第一基本形式化为22du dvI=+，这与平面的第一基本形式一致.因此所给曲面与平面是等距的，故为可展曲面.证法二：同上得到曲面的第一基本形式为222()ds du G v dv=+，所以曲面的高斯曲率v uK⎧⎫⎪=+=⎬⎪⎭，所以曲面为可展曲面.证法三：同17题利用高斯--泼涅公式证明曲面的高斯曲率处处为零，从而曲面为可展曲面.16．求半径为R的球面上测地三角形三内角之和.解任给半径为R的球面上的一个测地三角形∆，设其边缘为G∂，所围成的区域为G，则有高斯--泼涅公式可知31()2iiGKdσπαπ=+-=∑⎰⎰，其中iα（i=1,2,3）是∆的三个内角，而曲面的高斯曲率K=21R，所以3211()2iiGdRσπαπ=+-=∑⎰⎰，故得3211iiSRαπ∆==+∑，其中s∆是测地三角形∆的面积.17．利用高斯--泼涅公式证明若曲面(S)上存在两族交于定角的测地线，则它的高斯曲率处处为零.证不妨选取题设中的两族交于定角（设为α）的测地线为坐标曲线.若(S)在一点P处的高斯曲率K（P）≠0，不妨设K（P）> 0,则由K的连续性可知，存在点P的一个充分小的邻域G使得K(P)>0(P∈G).不妨设G是由两条u-曲线和两条v-曲线所围成，则由高斯--泼涅公式可知()()2GKdσπααπααπ+-++-+=⎰⎰，从而可知0GKdσ=⎰⎰，这与K(P)>0，从而上式左边大于零矛盾，因此命题得证.注：如果不对证题方法有特殊要求，则用15题中的证明方法也可.18．若曲面(S)的高斯曲率处处小于零，则曲面(S)上不存在围成单连通区域的光滑闭测地线.证 若不然，则(S)上存在围成单连通区域G 的光滑闭测地线（C ），于是由高斯--泼涅公式可得2G Kd σπ=⎰⎰.因为K<0,所以0GKd σ⎰⎰，这与上式右边的20π相矛盾，因此命题得证.19．设,a b 是沿曲面上曲线（C ）的向量场，f 是定义在（C ）上的数量函数，证明下列绝对微分的运算性质：⑴ ()D a b Da Db +=+； ⑵ ()()D fa df a fDa =+；⑶ ()()d ab Da b aDb =+ .证⑴ ()()[()][()][()]D a b d a b nd a b n da nda n db ndb n Da Db +=+-+=-+-=+⑵ ()()[()]()[()]D fa d fa nd fa n df a fda n df a fda n =-=+-+()[()]()df a f da nda n df a fDa =+-=+⑶ ()()[(()][()]d ab da b adb Da nda n b a Db ndb n =+=+++=()Da b aDb + .20． 设(),()a s b s 是曲面上曲线():()C r r s =的两个平行向量场，证明ab =常数，并由此证明当曲面上一点处二向量沿曲面上曲线作勒维—其维塔平行移动时，他们的长度和夹角不变.证 ⑴ 因为()()d ab Da b aDb =+，且(),()as bs 是沿():()C r r s =的两个平行向量场，即0,0Da Db ==，所以()0,d ab =故ab =常数.⑵ (),()a s b s 是沿():()C r r s =的两个平行向量场，所以由⑴可知2a aa ==常数，2b bb ==常数，ab =常数.故||a =常数，||b =常数，cos (,)||||ab a b a b ∠==常数，因此命题得证.。
微分几何习题四答案
微分几何习题四答案微分几何习题四答案微分几何作为数学的一个分支，研究的是曲线、曲面以及它们在空间中的性质。
在学习微分几何的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过习题的解答，我们可以更好地理解和应用微分几何的概念和定理。
本文将给出微分几何习题四的答案，帮助读者更好地理解微分几何的知识。
1. 证明：若曲线C的曲率不恒为零，则C的弯曲方向上的切线的曲率半径是C的曲率的倒数。
解答：设曲线C的参数方程为r(t)，其中t为参数。
曲线C的切向量为r'(t)，切向量的长度为| r'(t) |。
曲线C的曲率为κ(t)，曲率的倒数为1/κ(t)。
根据曲率的定义，曲率κ(t) = | r''(t) | / | r'(t) |。
其中r''(t)为曲线C的二阶导数。
由于曲线C的曲率不恒为零，即存在t0使得κ(t0) ≠ 0。
在曲线C上取一点P，其对应的参数值为t0。
在点P处，曲线C的切向量r'(t0)与曲线的弯曲方向相同。
由于曲线C的曲率不恒为零，所以在点P处曲线C的切向量r'(t0)不为零向量。
根据切线的曲率半径的定义，切线的曲率半径ρ(t) = 1/κ(t) = | r'(t) | / | r''(t) |。
在点P处，切线的曲率半径ρ(t0) = | r'(t0) | / | r''(t0) |。
由于r'(t0) ≠ 0，所以切线的曲率半径ρ(t0)存在。
而且根据曲率的定义，切线的曲率半径ρ(t0) = 1/κ(t0)。
综上所述，若曲线C的曲率不恒为零，则C的弯曲方向上的切线的曲率半径是C的曲率的倒数。
2. 证明：若曲线C的曲率恒为零，则C是一条直线。
解答：设曲线C的参数方程为r(t)，其中t为参数。
曲线C的曲率为κ(t)。
根据曲率的定义，曲率κ(t) = | r''(t) | / | r'(t) |。
微分几何第四版习题答案梅向明(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=-。
微分几何第四版答案
微分几何第四版答案第一部分曲线与曲面的局部微分几何第一章欧氏空间1.1 向量空间1.2 欧氏空间第二章曲线的局部理论2.1 曲线的概念2.2 平面曲线2.3 E的曲线2.4 曲线论基本定理第三章曲面的局部理论3.1 曲面的概念3.2 曲面的第一基本形式3.3 曲面的第二基本形式3.4 法曲率与weingarten变换3.5 主曲率与Gauss曲率3.6 曲面的一些例子第四章标架与曲面论基本定理4.1 活动标架4.2 自然标架的运动方程4.3 曲面的结构方程4.4 曲面的存在惟一性定理4.5 正交活动标架4.6 曲面的结构方程（外微分法）第五章曲面的内蕴几何学5.1 曲面的等距变换5.2 曲面的协变微分5.3 测地曲率与测地线5.4 测地坐标系5.5 Gauss-Bonnet公式5.6 曲面的Laplace算子5.7 Riemann度量第二部分整体微分几何选讲第六章平面曲线的整体性质6.1 平面的闭曲线6.2 平面的凸曲线第七章曲面的若干整体性质7.1 曲面的整体描述7.2 整体的Gauss-Bonnet公式7.3 紧致曲面的Gauss映射7.4 凸曲面7.5 曲面的完备性第八章常Gauss曲率曲面8.1 常正Gauss曲率曲面8.2 常负Gauss曲率曲面与sine-Gordon方程8.3 Hilbert定理8.4 Backlund变换第九章常平均曲率曲面9.1 Hopf微分与Hopf定理9.2 Alexsandrov惟一性定理9.3 附录：常平均曲率环面第十章极小曲面10.1 极小图10.2 极小曲面的weierstrass表示10.3 极小曲面的Gauss映射10.4 面积的变分与稳定极小曲面索引。
最新微分几何课后习题答案第四版梅向明黄敬之编[1]
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微分几何课后习题答案第四版梅向明黄敬之编[1]§1曲面的概念1.求正螺面«Skip Record If...»={ u«Skip Record If...»,u «Skip Record If...», bv }的坐标曲线.解u-曲线为«Skip Record If...»={u«Skip Record If...»,u «Skip Record If...»,bv«Skip Record If...» }=｛0,0，bv«Skip Record If...»｝＋u {«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,0}，为曲线的直母线；v-曲线为«Skip Record If...»={«Skip Record If...»«Skip Record If...»,«Skip Record If...»«Skip Record If...»,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面«Skip Record If...»＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为«Skip Record If...»={ a（u+«Skip Record If...»）, b（u-«Skip Record If...»）,2u«Skip Record If...»}={ a«Skip Record If...», b«Skip Record If...»,0}+ u{a,b,2«Skip Record If...»}表示过点{ a«Skip Record If...», b«Skip Record If...»,0}以{a,b,2«Skip Record If...»}为方向向量的直线;v-曲线为«Skip Record If...»=｛a（«Skip Record If...»+v）, b（«Skip Record If...»-v）,2«Skip Record If...»v｝=｛a«Skip Record If...», b«Skip Record If...»,0｝+v{a,-b,2«Skip Record If...»}表示过点(a«Skip Record If...», b«Skip Record If...»,0)以{a,-b,2«Skip Record If...»}为方向向量的直线。
微分几何初步 (陈维桓 著) 北京大学出版社第四章
1 fx2 f y2
ww
w.
Ⅱ 0,即S 必定是平面
5.直接证明:若在可展曲面S 上存在两个不同的单参数直线族,则S 必定是平面. 证明:S : r u , v (u ) vl (u ) v um v , 则ru (u ) vl (u ) m v , rv l (u ) 从而ruu rvv 0, ruv l (u ), 又 ru rv ruv vl , l , l , l , l 0 M n ruv 0, L ruu n 0, N rvv n 0
课
kh
y y | r |3 n
r1 s = ( s ) ( s ) ( s0 ), ( s ) ( s ) n s0 r1 s = ( s ) s0 , s n s0 ，
4.设c为曲面上一非直线的渐近曲线,其参数方程为u u ( s ), v v( s), 其中s为弧参.
co
m
证明 : c的挠率等于 =
1 EG F 2
v E L
2
uv F M
u G
2
EG F 2
的方程.
ww
1 2 rr 1 n 2 2 2 2n2 r r n t Ⅱ t 0 n t 0 Ⅰ t 0 1 2 r r r r 2 1 r 2 1 n 1 t 0 1 1 已知曲率中心C在以 n (t ) nn (t )为中心， 为半径的圆cn上 2 n 2 n n 2, t 0时, n (t ) r , 0, 0 , n (t ) 0, r , 0 nn (t ) 1, 0, 0 r r cn都可表示为 x z 2 , 得证. 2 2
最新微分几何陈维桓习题答案4
微分几何陈维桓习题答案4习题答案4p. 202 习题5.11.设可允许的参数变换«Skip Record If...»是保持定向的，即«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...».用«Skip Record If...»表示曲面«Skip Record If...»在参数系«Skip Record If...»下的第一、第二类基本量，用«Skip Record If...»，«Skip Record If...»表示曲面«Skip Record If...»在参数系«Skip Record If...»下的第一、第二类基本量.证明：«Skip Record If...»， «Skip Record If...».证明. (1) 因为«Skip Record If...»，所以在可允许参数变换下，«Skip Record If...».上式两边作为«Skip Record If...»的二次型相等，所以«Skip Record If...».(2) 设«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...».令«Skip Record If...».则有«Skip Record If...». 于是«Skip Record If...».因为«Skip Record If...»，这说明在两个参数系下，有«Skip Record If...».于是«Skip Record If...»和(1)中一样，可得«Skip Record If...».□4.验证：曲面«Skip Record If...»的平均曲率«Skip Record If...»可以表示成«Skip Record If...»，并且证明«Skip Record If...»在第1题的参数变换下是不变的.证明. (1) 证法一：直接验证.由定义，«Skip Record If...».因此«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».证法二：运用Weingarten变换«Skip Record If...». 由定义，«Skip Record If...».所以«Skip Record If...»是Weingarten变换«Skip Record If...»在切空间的基«Skip Record If...»下的矩阵.它的两个特征值«Skip Record If...»，也就是主曲率，满足«Skip Record If...».所以«Skip Record If...».(2) 在第1题的参数变换下，令«Skip Record If...»为逆变换，«Skip Record If...».则«Skip Record If...»与«Skip Record If...»互为逆矩阵. 故有«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (1) 在第1题中已经证明了«Skip Record If...». (2) 所以有«Skip Record If...».用«Skip Record If...»乘上式两端，并对指标«Skip Record If...»求和，利用(1)式可得«Skip Record If...».再用«Skip Record If...»乘上式两端，并对指标«Skip Record If...»求和，可得«Skip Record If...».最后用«Skip Record If...»乘上式两端，并对指标«Skip Record If...»求和，利用(1)式可得«Skip Record If...»，即有«Skip Record If...». (3)于是由«Skip Record If...»得到«Skip Record If...».所以«Skip Record If...»在第1题的参数变换下是不变的.□注.如果采用矩阵记号，令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».则(2)就是«Skip Record If...»，(3)就是«Skip Record If...».5. 证明下列恒等式：(1) «Skip Record If...»；(2) «Skip Record If...»；(3) «Skip Record If...»，其中«Skip Record If...».证明. (1) 因为«Skip Record If...»，对«Skip Record If...»求偏导数，得«Skip Record If...».因此«Skip Record If...».用«Skip Record If...»乘上式两边，再对«Skip Record If...»求和，得«Skip Record If...».这就是(1).(2) 由«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»可得左边«Skip Record If...»右边.(3) 左边为«Skip Record If...»右边为«Skip Record If...»所以(3)成立. □p. 212 习题5.34. 设«Skip Record If...»有2个不相等的常数主曲率. 证明：«Skip Record If...»是圆柱面的一部分.证明.设«Skip Record If...»的2个常数主曲率为«Skip Record If...».因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»上没有脐点，可以选取正交的曲率线网作为参数曲线网，使得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».(1)因为«Skip Record If...»是常数，由Codazzi方程(3.23)得«Skip Record If...»，«Skip Record If...».因此«Skip Record If...». (2) 于是«Skip Record If...»，«Skip Record If...».作参数变换«Skip Record If...»，«Skip Record If...».则第一、第二基本形式成为«Skip Record If...»，«Skip Record If...».即在新的参数下«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».为了方便起见，不妨设在原来的参数下就有«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (3)由(3.22)得«Skip Record If...»，从而由Gauss方程(3.19)可知«Skip Record If...».不妨设«Skip Record If...».则«Skip Record If...».于是(3)成为«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (4) 直接计算可得圆柱面«Skip Record If...»的第一、第二基本形式也是(4)，见第四章第2节的例题.根据曲面论唯一性定理，曲面«Skip Record If...»是圆柱面的一部分.□5. 已知曲面的第一基本形式和第二基本形式分别是«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：(1) 函数«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»；(2) «Skip Record If...»和«Skip Record If...»只是«Skip Record If...»的函数.证明. 由已知条件可得主曲率和平均曲率分别是«Skip Record If...»， «Skip Record If...»， «Skip Record If...».由Codazzi方程(3.23)得«Skip Record If...»，«Skip Record If...».因此«Skip Record If...»，«Skip Record If...».由Gauss方程可得«Skip Record If...».因此«Skip Record If...»，并且«Skip Record If...»仅依赖于«Skip Record If...».□p. 217 习题5.42. 判断下面给出的二次微分形式«Skip Record If...»能否作为空间«Skip Record If...»中某个曲面的第一、第二基本形式，并说明理由.(1) «Skip Record If...»，«Skip Record If...».(2) «Skip Record If...»，«Skip Record If...».解. (1) 不能.否则曲面有2个不相等的常数主曲率«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 由上一节习题4，曲面是圆柱面的一部分.但是圆柱面是可展曲面，Gauss曲率«Skip Record If...»，矛盾.(2) 不能.如果这样的曲面存在，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...».由Codazzi方程(3.23)的第2式得«Skip Record If...»，矛盾. □4. 已知«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 若«Skip Record If...»能作为某个曲面的第一、第二基本形式，问函数«Skip Record If...»应该满足什么条件？假定«Skip Record If...». 写出满足上述条件的函数«Skip Record If...»的具体表达式.解. 如果这样的曲面«Skip Record If...»存在，则«Skip Record If...»上的点都是脐点.由第四章定理1.1和定理1.2，«Skip Record If...»必须是常数.情况1. «Skip Record If...».则«Skip Record If...»，Codazzi方程(3.23)的2个式子自动成立.因此只要函数«Skip Record If...»满足Gauss方程. 因为Gauss曲率«Skip Record If...»，«Skip Record If...»应满足«Skip Record If...». (1) 也就是«Skip Record If...».情况2. «Skip Record If...».则«Skip Record If...»，«Skip Record If...».因此Codazzi方程(3.23)的2个式子成立.剩下的只要函数«Skip Record If...»满足Gauss方程.因为Gauss曲率«Skip Record If...»，«Skip Record If...»应满足«Skip Record If...». (2)当«Skip Record If...»时，(1)成为«Skip Record If...»,所以«Skip Record If...». 令«Skip Record If...». 根据复变函数知识，存在复解析函数«Skip Record If...»使得«Skip Record If...». 因此«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»也是一个在其定义域内恒不为零的复解析函数.(2)式成为«Skip Record If...»，(3)其中«Skip Record If...»是常数. 它的一个解是«Skip Record If...».如果令«Skip Record If...»，则上面的函数可以写成«Skip Record If...».对任何一个在其定义域内恒不为零的复解析函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，只要«Skip Record If...»，函数«Skip Record If...»都是(3)的解. □p. 227 习题5.51. 已知曲面«Skip Record If...»的第一基本形式如下，求它们的高斯曲率«Skip Record If...».(2) «Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是常数；(4) «Skip Record If...»，«Skip Record If...»是常数； (6) «Skip Record If...».解. (2) 这是等温参数网.由公式(5.5)，«Skip Record If...».(4) 这是正交参数网.由公式(5.4)，«Skip Record If...».(6) 由公式(5.4)，«Skip Record If...».□2. 证明下列曲面之间不存在等距对应.(1) 球面；(2) 柱面；(3) 双曲抛物面«Skip Record If...».证明. (1) 球面是全脐点曲面，它的主曲率就是法曲率，也就是法截线的相对曲率.因此«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为球面半径.故球面的Gauss曲率«Skip Record If...».(2) 柱面是可展曲面，因此Gauss曲率«Skip Record If...».(3) 对于双曲抛物面«Skip Record If...»，参数方程为«Skip Record If...».故有«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».于是«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»；«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».由此得«Skip Record If...».根据Gauss定理，这3个曲面之间不存在等距对应.□。
《微分几何》陈维桓习题及答案
§ 6.1 测地曲率1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。
证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()}r f v u f v u g v =，22222()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++，222(),()()E f v G f v g v ''==+纬线即u—曲线：0v v =（常数），其测地曲率为2'2'21ln 1ln 22u g E f k v v G f g∂∂=-=-∂∂+ 0'2'2000'()()()()f v f v f vg v =-+为常数。
2、证明：在球面S(cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =，,0222u v πππ-<<<< 上，曲线C的测地曲率可表示成()()sin(())g d s dv s k u s ds dsθ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程，s是曲线C 的弧长参数，()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲线）之间的夹角。
证明 易求出2E a =, 0F =,22cos G a u =,因此1ln 1ln cos sin 22g d E G k ds v u G Eθθθ∂∂=-+∂∂221ln(cos )sin 2d a u ds a uθθ∂=+∂sin sin cos d u ds a uθθ=-，而11sin sin cos dv dsa u Gθθ==，故 sin gd dv ku ds dsθ=-。
3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是(()()()()()())g k g Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-，其中s是曲线C 的弧长参数，2g EG F =-，并且12112111222(())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ，22222111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ特别是，参数曲线的测地曲率分别为2311(())u g k g u s '=Γ，1322(())vg kg v s '=-Γ 。
微分几何第四习题答案
微分几何第四习题答案问题1：曲线的曲率和挠率给定平面曲线 \( r(t) = (x(t), y(t)) \)，其中 \( x(t) \) 和\( y(t) \) 是 \( t \) 的可微函数。
求曲线在 \( t_0 \) 处的曲率\( k(t_0) \)。
解答：首先，计算曲线的导数：\[ r'(t) = (x'(t), y'(t)) \]\[ r''(t) = (x''(t), y''(t)) \]曲率 \( k(t) \) 定义为：\[ k(t) = \frac{||r'(t) \times r''(t)||}{||r'(t)||^3} \]在 \( t_0 \) 处代入上述公式，计算得到 \( k(t_0) \)。
问题2：曲面的第一基本形式考虑曲面 \( S \) 在点 \( p \) 的局部参数化 \( X(u, v) \)。
求\( S \) 在 \( p \) 处的第一基本形式。
解答：第一基本形式由度量张量给出，定义为：\[ g_{ij} = \langle X_u, X_v \rangle \]其中，\( X_u = \frac{\partial X}{\partial u} \) 和 \( X_v = \frac{\partial X}{\partial v} \) 是 \( X \) 相对于 \( u \) 和\( v \) 的偏导数。
计算 \( g_{ij} \) 的矩阵 \( [g_{ij}] \)，即为曲面 \( S \) 在点 \( p \) 处的第一基本形式。
问题3：高斯曲率的计算已知曲面 \( S \) 在点 \( p \) 的第一基本形式为 \( [g_{ij}] \) 和第二基本形式为 \( [h_{ij}] \)。
求 \( S \) 在 \( p \) 处的高斯曲率 \( K \)。
最新微分几何-陈维桓--习题答案4
精品文档精品文档精品文档精品文档习题答案4p. 202 习题5.11. 设可允许的参数变换12(,)u u v v a a =是保持定向的，即()det 0a a b >，其中u a v a abb¶=¶. 用,g b ab ab 表示曲面S 在参数系12(,)u u 下的第一、第二类基本量，用g ab ，b ab 表示曲面S 在参数系12(,)v v 下的第一、第二类基本量下的第一、第二类基本量.. 证明：证明：g g a a g d ab gd a b=，b b a a g dab gd a b =. 证明. (1) 因为du a dv a a b b=，所以在可允许参数变换下，，所以在可允许参数变换下， I ()()()g dv dv g du du g a dv a dv g a a dv dv a b g d g a d b g d a b ab gd gd a b gd ab ====. 上式两边作为12,dv dv 的二次型相等，所以g g a a g dabgd a b=.(2) 设S 的方程为12(,)r r u u =. 令()12112212(,)(,),(,)r v v ru v v u v v =.则有r a r b a a b=. 于是于是 122112*********2()()()det()r r a r a r a a a a r r a r r a b a a b b ´=´=-´=´. 因为()det 0a ab >，这说明在两个参数系下，有，这说明在两个参数系下，有()12112212(,)(,),(,)n v v n u v v u v v =.于是于是()()()().b dv dv dr dn dr dn b du du b a dv a dv b a a dv dv a b g dab gd g a d b g d a b gd ab gd a b =-×=-×===和(1)中一样，可得b b a a g d ab gd a b=. □ 4. 验证：曲面S 的平均曲率H 可以表示成12H b g ab ab =，并且证明H 在第1题的参数变换下是不变的的参数变换下是不变的. .证明. (1) 证法一：直接验证证法一：直接验证.. 由定义，由定义，()211121222221211112212det ,,,g g gg g g g g g g g g g g g ab ==-==-==.因此因此()()112212122211112212122211211221221222b g b g b g H b g b g b g g g g g -+==-+- ()111222*********b g b g b g =++()11122122111221221122b g b g b g b g b g ab af ==+++.证法二：运用Weingarten 变换W . 由定义，由定义，()W r n b r b aaa b=-=.所以()b b a 是Weingarten 变换W 在切空间的基12{,}r r 下的矩阵下的矩阵.. 它的两个特征值12,k k ，也就是主曲率，满足，也就是主曲率，满足121212trace()b b b b b gb g ba ba aba a ab ab k k +==+===.所以所以12122H b g ababk k+==. (2) 在第1题的参数变换下，令12(,)v v u u aa=为逆变换，v a u aab b¶=¶. 则()a a b 与()a ab互为逆矩阵互为逆矩阵. . 故有故有 a a a g a g b b d =，a a a g ag b bd =.(1) 在第1题中已经证明了题中已经证明了gg a a g dabgd a b =.(2) 所以有所以有g g g a a g ebe g d bea abgd a b d ==. 用a a x乘上式两端，并对指标a 求和，利用(1)式可得式可得 a a g a a a g g a g g a g e a e a g d be g d be d be x x a gd x a b gd x b dx bd d ====.再用g xh 乘上式两端，并对指标x 求和，可得求和，可得g a g g a g a g a g xh e xh d be h d be h be x dx b d b bd ===.最后用a a h乘上式两端，并对指标h 求和，利用(1)式可得式可得a g a a a ggg a xh ea h bea beaeh x h bbd ===，即有即有g a a g ab a b xh h x=. (3) 于是由b b a a g d ab gd a b =得到得到()()b g b a a a a g b a a a a g b g b g ab g d a b xh g a d b xh g d xh xh abgd a b h x gd a h b x gd h x xh d d ====.所以H 在第1题的参数变换下是不变的题的参数变换下是不变的..□ 注. 如果采用矩阵记号，令如果采用矩阵记号，令()g ab =G ，()g ab=G ，()a b a =T .则(2)就是T=G TGT ，(3)就是()1111T----=G T G T .5. 证明下列恒等式：证明下列恒等式： (1) g g g u ab ad b bd a dg dg g ¶G +G =-¶； (2) g g g g u u bg ag l lbl ag al bg a b¶¶-=G -G ¶¶；(3) 1ln 2g u baba ¶G =¶，其中()2112212g g g g =-. 证明. (1) 因为g g ax a xh hd =，对u g 求偏导数，得求偏导数，得 0g g g g u u axxh ax xh g g¶¶+=¶¶. 因此因此()gg g g g g u uax xh ax ax a ax xhg hxg xh hg hxg g g¶¶G +G =-=-=-G -G ¶¶.用g hb 乘上式两边，再对h 求和，得求和，得g g g g g g g g u ab hb a ax hb db a ax b ad bdb a hg hxg dg xg dg dg g¶=-G -G =-G -G =-G -G ¶. 这就是(1).(2) 由abg agb G =G ，g u bg b g a g b a a¶=G +G ¶，g lbl agbag G =G可得可得左边g b a b g a g a b ag b b ag a b g =G +G -G -G =G -G =右边右边..(3) 左边为左边为121211.22g g g g g u u u g g g g g g u u u g g g g g g g g u u u u b bg bg ag bg ab ab gabb a g ag bg ab bg bg bg b a g bgbg ag bg ag bg bg gb ab a b ¶¶¶æöG =G =+-ç÷¶¶¶èø¶¶¶æö=+-ç÷¶¶¶èø¶¶¶¶æö==+-ç÷¶¶¶¶èø 右边为右边为()2112212112212212211211211221221112212211ln 112221211.22g g g g g u g u g u g g g g g g g g g u u u u g g g g g g g g g g u u u u u a a aa a a abgbg a a a a a éù¶-¶¶ëû==¶¶¶¶¶¶¶æö=+--ç÷¶¶¶¶èø¶¶¶¶¶æö==+++ç÷¶¶¶¶¶èø所以(3)成立. □ p. 212 习题5.34. 设S 有2个不相等的常数主曲率. 证明：S 是圆柱面的一部分是圆柱面的一部分..证明. 设S 的2个常数主曲率为12,k k . 因为12k k ¹，所以S 上没有脐点，可以选取正交的曲率线网作为参数曲线网，使得选取正交的曲率线网作为参数曲线网，使得0F M ==，1L E k =，2N G k =(1) 因为12,k k 是常数，由Codazzi 方程(3.23)得1212v v v v E L HE E k k k +===，1222u u u u G N HG G k k k +===. 因此因此0,0v u E G ==.(2) 于是()E E u =，()G G v =.作参数变换()u E u du =ò，()v G v dv =ò. 则第一、第二基本形式成为则第一、第二基本形式成为2222I ()()E u du G v dv du dv =+=+， 22221212II ()()E u du G v dv du dv k k k k =+=+.即在新的参数下1E G ==，1L k =，2N k =. 为了方便起见，不妨设在原来的参数下就有下就有22I du dv =+，2212II du dv k k =+(3) 由(3.22)得12120R =，从而由Gauss 方程(3.19)可知120LN k k ==. 不妨设20k =. 则120k k ¹=.于是(3)成为成为 22I du dv =+，21II du k =.(4) 直接计算可得圆柱面直接计算可得圆柱面()111111cos(),sin(),u u v r k k k k -= 的第一、第二基本形式也是(4)，见第四章第2节的例题 根据曲面论唯一性定理，曲面S 是圆柱面的一部分是圆柱面的一部分..□ 5. 已知曲面的第一基本形式和第二基本形式分别是已知曲面的第一基本形式和第二基本形式分别是()222I u du dv=+，22II (,)(,)A u v du B u v dv =+.证明：(1) 函数(,),(,)A u v B u v 满足1AB º；(2) A 和B 只是u 的函数证明. 由已知条件可得主曲率和平均曲率分别是由已知条件可得主曲率和平均曲率分别是12A u k =， 22B u k =，22A BH u +=. 由Codazzi 方程(3.23)得0v v A HE ==，u u A B B HG u+==.因此因此()A A u =，()u uB B A u -=.由Gauss 方程可得方程可得 42241111l n ||AB Ku u u u u u u ¶æö==-D =-=ç÷¶èø. 因此1AB =，并且1()B A u =仅依赖于u . □ p. 217 习题5.42. 判断下面给出的二次微分形式,j y 能否作为空间3E 中某个曲面的第一、第二基本形式，并说明理由基本形式，并说明理由. .(1) 22du dv j =+，22du dv y =-.(2) 222cos du u dv j =+，222cos u du dv y =+.解. (1) 不能不能.. 否则曲面有2个不相等的常数主曲率11k =，21k =-. 由上一节习题4，曲面是圆柱面的一部分，曲面是圆柱面的一部分.. 但是圆柱面是可展曲面，Gauss 曲率0K =，矛盾，矛盾.. (2) 不能 如果这样的曲面存在，则如果这样的曲面存在，则21221cos ,cos u uk k ==，421cos 0cos u H u +=¹. 由Codazzi 方程(3.23)的第2式得0sin 2u uN HG H u ===-，矛盾，矛盾. . □ 4. 已知22(,)(,)E u v du G u v dv j =+，(,)u v y l j =，其中0E >，0G >. 若,j y 能作为某个曲面的第一、第二基本形式，问函数,,E G l 应该满足什么条件？应该满足什么条件？假定E G =. 写出满足上述条件的函数,,E G l 的具体表达式的具体表达式. .解. 如果这样的曲面S 存在，则S 上的点都是脐点上的点都是脐点.. 由第四章定理 1.1和定理1.2，l 必须是常数必须是常数.. 情况1. 0l =.则0L M N ===，Codazzi 方程(3.23)的2个式子自动成立个式子自动成立.. 因此只要函数,E G 满足Gauss 方程. 因为Gauss 曲率0K =，,E G 应满足应满足()()0v u v u E G G E éùéù+=êúêúëûëû. (1) 也就是也就是22022v u u v v u vv uu E E G E G G E G E G +++--=.情况2. 0l ¹.则,0,L E M N G l l ===，H l =. 因此Codazzi 方程(3.23)的2个式子成立 剩下的只要函数,E G 满足Gauss 方程 因为Gauss 曲率2K l =，,E G 应满足应满足 ()()21v u v u E G EG G E l ìüéùéùïï-+=íýêúêúïïëûëûîþ. (2) 当E G =时，(1)成为ln 0E D =,所以ln 0E D =. 令1z u v =+-. 根据复变函数知识，存在复解析函数()f z 使得ln E f f =+. 因此因此 22||||f ff f f E G e e e e h +=====，0l =，其中()()f z h h z e ==也是一个在其定义域内恒不为零的复解析函数也是一个在其定义域内恒不为零的复解析函数..(2)式成为式成为2ln E E l D =-，(3) 其中0l ¹是常数是常数. . 它的一个解是它的一个解是22224(1)E u v l =++. 如果令1z u v =+-，则上面的函数可以写成，则上面的函数可以写成()224(,)1E E z z zz l ==+.对任何一个在其定义域内恒不为零的复解析函数()z f w =，1w u v =+-，只要()0f w ¢¹，函数()2(,)|()|(),()E w w f w E f z f z ¢=都是(3)的解的解. . □ p. 227 习题5.51. 已知曲面S 的第一基本形式如下，求它们的高斯曲率K .(2) ()2222I a du dv v =+，0v >，a 是常数；是常数；(4) 222I u adu dv e =+，a 是常数；是常数； (6) 22I ()du G u dv =+.解. (2) 这是等温参数网这是等温参数网..由公式(5.5)，222222222||11ln ln v a v v K v v v v a a v a a ¶¶æö=-D ===-ç÷¶¶èø.(4) 这是正交参数网这是正交参数网..由公式(5.4)， []//211u a uuua K e e a =-=-.(6) 由公式(5.4)，[]22211124222G G GG G G K G G G G G G G G G ¢¢¢¢¢¢¢¢-éùéù¢¢=-=-=-=-êúêúëûëû. □2. 证明下列曲面之间不存在等距对应证明下列曲面之间不存在等距对应..(1) 球面；(2) 柱面；(3) 双曲抛物面22z x y =-证明. (1) 球面是全脐点曲面，它的主曲率就是法曲率，也就是法截线的相对曲率. 因此因此121R k k ==±，其中R 为球面半径为球面半径.. 故球面的Gauss 曲率210K R=>.(2) 柱面是可展曲面，因此Gauss 曲率0K =.(3) 对于双曲抛物面22z x y =-，参数方程为，参数方程为 ()22,,r x y x y =-. 故有故有()1,0,2x r x =，()0,1,2y r y =-，()2,2,1x y r r x y ´=-，()0,0,2xx r =，0x yr =，()0,0,2y y r =-. 于是于是214E x =+，4F xy =-，214G y =+；222144L x y =++，0M =，222144N x y-=++.由此得由此得22240(144)K x y -=<++. 根据Gauss 定理，这3个曲面之间不存在等距对应个曲面之间不存在等距对应.. □。
微分几何_课后习题答案
13第一章 曲线论§2 向量函数向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r ×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t l )(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t l 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t l )(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t l e ，所以所以 r ×'r =l 'l （e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t l )(t e求微商得'r ='l e +l 'e ，于是r ×'r =2l （e ×'e ）=0 ，则有则有 l = 0 或e ×'e =0 。
当)(t l = 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当l¹0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以所以'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
微分几何第四章主曲率主方向
(3.12)
并设 1 2 . 对任意一个单位切向量 e Tp S ，可设
e cos e1 sin e2 .
(3.13)
则有
W (e ) cos W (e1 ) sin W ( e2 ) 1 cos e1 2 sin e2 .
(3.14)
于是沿切方向 e 的法曲率为
例 3.1 求旋转面上的曲率线. 解 设旋转面的方程为 r (u, v) f (v)cos u, f (v)sin u, g(v) . 其中 f (v) 0 ， 并且 v 是经线的弧长参数，f 2 g 2 1 . 则 ru f sin u,cos u,0 ， rv f cos u, f sin u, g ， ru rv f g cos u, g sin u, f ， n g cos u, g sin u, f . 由于 nu g sin u,cos u,0 ， nv g cos u, g sin u, f ， g g 0 ，有 n r 0 ，nv rv 0 . 所以 u-曲线 并且 f f (纬线圆)和 v-曲线(经线)都是曲率线.
微分几何第四章主曲率主方向微分几何微分几何彭家贵答案微分几何第四版答案微分几何答案微分几何视频微分几何讲义物理学家用微分几何微分几何与广义相对论整体微分几何初步
Weingarten 映射和主曲率
设 S : r r (u, v) 是一个正则曲面， n n (u, v) 是 它的单位法向量. 向量函数 n (u, v) 定义了一个 映射 n : S 2 : (u, v) n(u, v) ，映射 n 诱导了映射 g n r 1 : S S 2 : r (u, v ) g (r (u, v)) n (u, v) . 这个映射 g : S S 2 称为 Gauss 映射.
微积分第四章微分方程课外习题答案
2 .解
:令
u
xy,得
du u ln u
dx ,ln x
u
cx ,
u e cx , 通 解 为 xy e cx .
§4.5-4.6 可降阶的微分方程(87-88)
p 8 7 .一 .1 . ( 2 )( 3 )( 4 ) , (1 )( 5 )( 6 )( 7 );
2. c1 cos x c2 sin x;
e
1 dx x(x1)
[
e
1 dx
x(x1) dx
c]
x ( x ln x c ). x1
又
y(1) 0, c 1,
特解
y x ( x ln x 1).
1 x
p 8 5 .三 .1 . 通 解 y e sin x ( x c ).
p84.二 .3.解 : 方 程 两 边 对 x求 导 :xy 2 yy, 由此得
(1) y 0;
2 y x
(2)
y
x0
, 0
x2 y .
4
方程特解: y x2 . 4
p84.三 .解 :已 知 F k t
(1)
v
将 v(10) 50, F (10) 4代 入 (1),得 k 20.
3. 是 不 是 通 解 也 不 是 特 解;
4. y c1( y2 y1 ) c2 ( y3 y1 ) y1 .
二 .1.通 解 y
xe x
3e x
c1 2
x2
c2x
c3.
微分几何第四习题答案梅向明
§1曲面的概念1.求正螺面r r={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r r={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r r={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r r＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r r={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r r=}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr ρ=}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr ρ=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何 陈维桓 习题答案4
习题答案4p. 202 习题5.11. 设可允许的参数变换12(,)u u v v αα=是保持定向的，即()det 0a αβ>，其中u a vααββ∂=∂. 用,g b αβαβ表示曲面S 在参数系12(,)u u 下的第一、第二类基本量，用g αβ，b αβ表示曲面S 在参数系12(,)v v 下的第一、第二类基本量. 证明：g g a a γδαβγδαβ=， b b a aγδαβγδαβ=. 证明. (1) 因为du a dv ααββ=，所以在可允许参数变换下，I ()()()g dv dv g du du g a dv a dv g a a dv dv αβγδγαδβγδαβαβγδγδαβγδαβ====.上式两边作为12,dv dv 的二次型相等，所以g g a a γδαβγδαβ=.(2) 设S 的方程为12(,)r r u u =. 令()12112212(,)(,),(,)r v v r u v v u v v =.则有r a r βααβ=. 于是1221121212121212()()()det()r r a r a r a a a a r r a r r αβααββ⨯=⨯=-⨯=⨯.因为()det 0a αβ>，这说明在两个参数系下，有()12112212(,)(,),(,)n v v n u v v u v v =.于是()()()().b dv dv dr dn dr dn b du du b a dv a dv b a a dv dv αβγδαβγδγαδβγδαβγδαβγδαβ=-⋅=-⋅===和(1)中一样，可得b b a a γδαβγδαβ=. □4. 验证：曲面S 的平均曲率H 可以表示成12H b g αβαβ=，并且证明H 在第1题的参数变换下是不变的.证明. (1) 证法一：直接验证. 由定义，()211121222221211112212det ,,,g g gg g g g g g g g g g g gαβ==-==-==. 因此 ()()112212122211112212122211211221221222b g b g b g H b g b g b g g g g g -+==-+- ()111222*********b g b g b g =++()11122122111221221122b g b g b g b g b g αβαφ==+++.证法二：运用Weingarten 变换W . 由定义，()W r n b r βαααβ=-=.所以()b βα是Weingarten 变换W 在切空间的基12{,}r r 下的矩阵. 它的两个特征值12,κκ，也就是主曲率，满足121212trace()b b b b b g b g βαβααβαααβαβκκ+==+===.所以12122H b g αβαβκκ+==. (2) 在第1题的参数变换下，令12(,)v v u u αα=为逆变换，v a uααββ∂=∂. 则()a αβ与()a αβ互为逆矩阵. 故有a a αγαγββδ=，a a αγαγββδ=. (1) 在第1题中已经证明了g g a a γδαβγδαβ=. (2)所以有g g g a a g εβεγδβεααβγδαβδ==.用a αξ乘上式两端，并对指标α求和，利用(1)式可得a a g a a a g g a g g a g εαεαγδβεγδβεδβεξξαγδξαβγδξβδξβδδ====.再用g ξη乘上式两端，并对指标ξ求和，可得g a g g a g a g a g ξηεξηδβεηδβεηβεξδξβδββδ===.最后用a αη乘上式两端，并对指标η求和，利用(1)式可得a g a a a g g g αξηεαηβεαβεαεηξηββδ===，即有g a a g αβαβξηηξ=. (3)于是由b b a a γδαβγδαβ=得到()()b g b a a a a g b a a a a g b g b g αβγδαβξηγαδβξηγδξηξηαβγδαβηξγδαηβξγδηξξηδδ====.所以H 在第1题的参数变换下是不变的. □注. 如果采用矩阵记号，令()g αβ=G ，()g αβ=G ，()a βα=T .则(2)就是T =G TGT ，(3)就是()1111T ----=G T G T .5. 证明下列恒等式：(1) g g g u αβαδββδαδγδγγ∂Γ+Γ=-∂； (2) g g g g u uβγαγλλβλαγαλβγαβ∂∂-=Γ-Γ∂∂；(3) 1ln 2g uβαβα∂Γ=∂，其中()2112212g g g g =-. 证明. (1) 因为g g αξαξηηδ=，对u γ求偏导数，得0g g g g u uαξξηαξξηγγ∂∂+=∂∂. 因此()g g g g g g u uαξξηαξαξααξξηγηξγξηηγηξγγγ∂∂Γ+Γ=-=-=-Γ-Γ∂∂. 用g ηβ乘上式两边，再对η求和，得g g g g g g g g uαβηβααξηβδβααξβαδβδβαηγηξγδγξγδγδγγ∂=-Γ-Γ=-Γ-Γ=-Γ-Γ∂. 这就是(1).(2) 由αβγαγβΓ=Γ，g u βγβγαγβαα∂=Γ+Γ∂，g λβλαγβαγΓ=Γ可得左边γβαβγαγαβαγββαγαβγ=Γ+Γ-Γ-Γ=Γ-Γ=右边.(3) 左边为121211.22g g g g g uu u g g g g g g u u u g g g g g g g g u u u u ββγβγαγβγαβαβγαββαγαγβγαββγβγβγβαγβγβγαγβγαγβγβγγβαβαβ∂∂∂⎛⎫Γ=Γ=+- ⎪∂∂∂⎝⎭∂∂∂⎛⎫=+- ⎪∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂⎛⎫==+- ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 右边为()2112212112212212211211211221221112212211ln 112221211.22g g g g g u g u g ug g g g g g g g g u u u u g g g g g g g g g g u u u u u αααααααβγβγααααα⎡⎤∂-∂∂⎣⎦==∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=+-- ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂∂⎛⎫==+++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭所以(3)成立. □ p. 212 习题5.34. 设S 有2个不相等的常数主曲率. 证明：S 是圆柱面的一部分.证明. 设S 的2个常数主曲率为12,κκ. 因为12κκ≠，所以S 上没有脐点，可以选取正交的曲率线网作为参数曲线网，使得0F M ==，1L E κ=，2N G κ=. (1) 因为12,κκ是常数，由Codazzi 方程(3.23)得1212v v v v E L HE E κκκ+===，1222u u u u G N HG G κκκ+===.因此0,0v u E G ==. (2)于是()E E u =，()G G v =.作参数变换u =⎰，v =⎰. 则第一、第二基本形式成为2222I ()()E u du G v dv du dv =+=+，22221212II ()()E u du G v dv du dv κκκκ=+=+.即在新的参数下1E G ==，1L κ=，2N κ=. 为了方便起见，不妨设在原来的参数下就有22I du dv =+，2212II du dv κκ=+. (3)由(3.22)得12120R =，从而由Gauss 方程(3.19)可知120LN κκ==. 不妨设20κ=. 则120κκ≠=.于是(3)成为22I du dv =+，21II du κ=. (4)直接计算可得圆柱面()111111cos(),sin(),u u v r κκκκ-= 的第一、第二基本形式也是(4)，见第四章第2节的例题. 根据曲面论唯一性定理，曲面S 是圆柱面的一部分. □5. 已知曲面的第一基本形式和第二基本形式分别是()222I u du dv =+，22II (,)(,)A u v du B u v dv =+.证明：(1) 函数(,),(,)A u v B u v 满足1AB ≡；(2) A 和B 只是u 的函数.证明. 由已知条件可得主曲率和平均曲率分别是12A u κ=， 22B u κ=， 22A BH u+=. 由Codazzi 方程(3.23)得0v v A HE ==，u u A BB HG u+==. 因此()A A u =，()u uB B A u -=.由Gauss 方程可得42241111l n ||AB K u u u u u u u ∂⎛⎫==-∆=-= ⎪∂⎝⎭. 因此1AB =，并且1()B A u =仅依赖于u . □ p. 217 习题5.42. 判断下面给出的二次微分形式,ϕψ能否作为空间3E 中某个曲面的第一、第二基本形式，并说明理由.(1) 22du dv ϕ=+，22du dv ψ=-.(2) 222cos du u dv ϕ=+，222cos u du dv ψ=+.解. (1) 不能. 否则曲面有2个不相等的常数主曲率11κ=，21κ=-. 由上一节习题4，曲面是圆柱面的一部分. 但是圆柱面是可展曲面，Gauss 曲率0K =，矛盾. (2) 不能. 如果这样的曲面存在，则21221cos ,cos u u κκ==，421cos 0cos u H u+=≠. 由Codazzi 方程(3.23)的第2式得0sin 2u u N HG H u ===-，矛盾. □4. 已知22(,)(,)E u v du G u v dv ϕ=+，(,)u v ψλϕ=，其中0E >，0G >. 若,ϕψ能作为某个曲面的第一、第二基本形式，问函数,,E G λ应该满足什么条件？假定E G =. 写出满足上述条件的函数,,E G λ的具体表达式.解. 如果这样的曲面S 存在，则S 上的点都是脐点. 由第四章定理 1.1和定理1.2，λ必须是常数.情况1. 0λ=. 则0L M N ===，Codazzi 方程(3.23)的2个式子自动成立. 因此只要函数,E G 满足Gauss 方程. 因为Gauss 曲率0K =，,E G 应满足0v u+=. (1)也就是22022v u u v v u vv uu E E G E G G E G E G+++--=. 情况2. 0λ≠. 则,0,L E M N G λλ===，H λ=. 因此Codazzi 方程(3.23)的2个式子成立. 剩下的只要函数,E G 满足Gauss 方程. 因为Gauss 曲率2K λ=，,E G应满足2v u λ⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭. (2)当E G=时，(1)成为0∆=,所以ln 0E∆=. 令z u =+. 根据复变函数知识，存在复解析函数()f z 使得ln E f f =+. 因此22||||f f f f f E G e e e e h +=====，0λ=，其中()()f z h h z e ==也是一个在其定义域内恒不为零的复解析函数.(2)式成为2E λ∆-， (3)其中0λ≠是常数. 它的一个解是22224(1)E u v λ=++.如果令z u =+，则上面的函数可以写成()224(,)1E E z z zz λ==+.对任何一个在其定义域内恒不为零的复解析函数()z f w =，1w u v =+-，只要()0f w '≠，函数()2(,)|()|(),()E w w f w E f z f z '=都是(3)的解. □ p. 227 习题5.51. 已知曲面S 的第一基本形式如下，求它们的高斯曲率K .(2) ()2222I a du dv v =+，0v >，a 是常数；(4) 222I u adu dv e =+，a 是常数； (6) 22I ()du G u dv =+. 解. (2) 这是等温参数网. 由公式(5.5)，222222222||11ln ln v a v v K v v v v a a v a a ∂∂⎛⎫=-∆===- ⎪∂∂⎝⎭. (4) 这是正交参数网. 由公式(5.4)，[]//211u auu u a K eea =-=-.(6) 由公式(5.4)，22224G GG K G '''''''-⎤''====-. □2. 证明下列曲面之间不存在等距对应.(1) 球面；(2) 柱面；(3) 双曲抛物面22z x y =-.证明. (1) 球面是全脐点曲面，它的主曲率就是法曲率，也就是法截线的相对曲率. 因此121Rκκ==±，其中R 为球面半径. 故球面的Gauss 曲率210K R=>. (2) 柱面是可展曲面，因此Gauss 曲率0K =. (3) 对于双曲抛物面22z x y =-，参数方程为 ()22,,r x y x y =-. 故有()1,0,2x r x =，()0,1,2y r y =-，()2,2,1x y r r x y ⨯=-， ()0,0,2xx r =，0x y r =，()0,0,2y y r =-. 于是214E x =+，4F xy =-，214G y =+；L =，0M =，N =.由此得22240(144)K x y -=<++.根据Gauss 定理，这3个曲面之间不存在等距对应. □。