(完整版)中考复习2角平分线专题
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘 之角平分线问题(含答案)
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘之角
平分线问题
一、证明题(共3道，每道40分)
1.已知，如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.
答案：∵BF是∠CBD的平分线∴FG=FI ∵CF是∠BCE的平分线∴FH=FI ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上
解题思路：过F作FG⊥AD于点G，FH⊥AE于点H，FI⊥BC于点I，如图只要证明FG=FH即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
2.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=2∠C.求证：AC=AB+BD.
答案：∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠EAD 在△ABD和△AED中AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD ∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=ED，∠B=∠AED ∵∠AED=∠B=2∠C ∴∠CDE=∠AED ﹣∠C=∠C ∴DE=CE ∴BD=CE ∵AC=AE+CE ∴AC=AB+BD
解题思路：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图只要证明BD=CE即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
3.已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，AD⊥BE，垂足为点D.求证：∠BAD=∠DAE+∠C.
答案：∵BE平分∠ABC，AD⊥BE ∴△ABF为等腰三角形（三线合一）∴∠BAD=∠BFD ∵∠BFD 为△ACF的外角∴∠BFD=∠DAE+∠C ∴∠BAD=∠DAE+∠C
解题思路：延长AD与BC交于点F，如图只要证明∠BFD=∠BAD即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线。
2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 遇到角平分线如何添加辅助线(课件)
2. 如图，AB∥CD，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点E， AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE.若 AD＝8，则PE的最小值为___4___．
第2题图
3. 如图，∠MON＝30°，OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于 点Q.若OQ＝4，则点P到OM的距离为___2__．
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
方法一 过角平分线上一点向角两边作垂线
方法解读 如图，已知∠MON，点P是∠MON平分线上一点．
过角平分线上的点向角两边作垂线． 已知PA⊥OM， 添加辅助线，作PB⊥ON于点B.
结论：PA＝PB，OA＝OB，∠APO＝∠BPO等．
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°4 ，AD平分∠BAC交BC于点D，若 AC＝4，BC＝3，则CD的长为____3____．
第7题图
方法四 作角平分线的垂线，构造等腰三角形
方法解读 过角平分线上的点作角平分线的垂线，三线合一试试看． 已知AP⊥OP，延长AP交ON于点B.
结论：__R_t_△__A_O__P_≌__R_t_△__B_O__P_，__O_A__＝__O_B_，__A__P_＝__B_P__. __
8. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD. 若BD＝1，BC＝3，则AC的长为__5___．
结论：____△__A__O_P_≌__△__B__O_P_，__A__P_＝__B_P______
6. 如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，若AC＝ 16，AD＝8，则线段BC的长为__2_4___．
第6题图
7. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B＋∠ADC＝180°， 若BC＝2，则DC的长为__2___．
初三数学中考复习 三角形的角平分线 专题练习及答案
三角形的角平分线1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD∶CD＝3∶2，则点D到线段AB的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 62. 如图，已知DB⊥AN于点B，交AE于点O，OC⊥AM于点C，且OB＝OC，若∠EAN＝25°，则∠ADB等于( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 75°3. 如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°4. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD平分∠BAC，DE垂直平分AB，垂足为E，若BD＝6cm，则CD等于( )A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 5cm5. 如图，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3.若△ABC 的周长是22，则△ABC的面积是( )A. 28B. 30C. 32D. 336. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7. 如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°8. 如图，O为△ABC内任意一点，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，若OD＝OE＝OF，连接OA，OB，OC，下列结论不一定正确的是( )A．△BOD≌△BOF B．∠OAD＝∠OBF C．∠COE＝∠CO F D．AD＝AE 9. 如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠C＝26°，且DE⊥AB，DF⊥AC，DE ＝DF，则∠ADC的度数为____．10. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC=12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．若CD＝3cm，则BD的长为____cm.13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB 于点E，且AB＝6cm，则△BED的周长是____ cm.14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，且DE＝DF，若DE＝4，则AD＝____．15. 在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别为 cm， cm， cm 16. 如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝1，则EF＝____．17. 如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为18. 如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.19. 如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上，PM⊥AD 于点M，PN⊥CD于点N.求证：PM＝PN.20. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC的长．参考答案：11 1---8 BACCD DCB9. 137°10. 211. 312. 613. 614. 815. 2 2 216. 2 17. 318. 解：在△BDF 和△CDE 中，∠BFD ＝∠CED ＝90°，∠FDB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△BDF ≌△CDE(AAS)，∴DF ＝DE ，又∵DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC19. 解：在△ABD 和△CBD 中，AB ＝CB ，∠ABD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD(SAS)，∴∠ADB ＝∠CDB ，又∵∠ADB ＋∠ADP ＝∠CDB ＋∠CDP ＝180°，∴∠ADP ＝∠CDP ，∴DP 平分∠ADC ，又∵PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM ＝PN20. 解：过点D 作DF⊥AC，∵AD 是∠BAC 平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∵S △ABD ＝4×22＝4，∴S △ACD ＝7－4＝3， ∴2AC 2＝3，即AC ＝3。
2022年中考数学几何模型之角平分线的五种模型(讲+练)(解析版)
专题01 角平分线的五种模型模型一、角平分线垂两边例1.如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2B．6：4C．2：3D．不能确定【答案】A【详解】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∵AD为∠BAC的平分线，∴DE=DF，又AB：AC=3：2，∴S△ABD：S△ACD=（12AB•DE）：（12AC•DF）=AB：AC=3：2．故选A．例2.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为___．【答案】2【详解】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵PC//OA，∴∠CPO＝∠POD，又∠AOP＝∠BOP＝15°，∴∠CPO＝∠BOP＝15°，又∠ECP为△OCP的外角，∴∠ECP＝∠COP＋∠CPO ＝30°，在直角三角形CEP 中，∠ECP ＝30°，PC ＝4，∴PE ＝12PC ＝2，则PD ＝PE ＝2．故答案为：2． 【变式训练1】如图所示，在四边形ABCD 中，DC //AB ，∠DAB =90°，AC ⊥BC ，AC =BC ，∠ABC 的平分线交A D ，AC 于点E 、F ，则BFEF的值是___________.11221BCBC BC ==--【详解】解：如图，作FG ⊥AB 于点G ，∠DAB -90°，∴FG /AD ，∴BF EF =BGAGAC ⊥BC ，∴∠ACB =90° 又BF 平分∠ABC ，∴FG =FC 在Rt △BGF 和Rt △BCF 中BF BFCF GF=⎧⎨=⎩ ∴△BGF ≌△BCF （HL ），∴BC =BGAC =BC ，∴∠CBA =45°，∴AB =2BC1BF BG BC EF AG AB BG ∴====- 【变式训练2】如图，BD 平分ABC 的外角∠ABP ，DA =DC ，DE ⊥BP 于点E ，若AB =5，BC =3，求BE 的长．【答案】1【详解】解：过点D 作BA 的垂线交AB 于点H ，∵BD平分△ABC的外角∠ABP，DH⊥AB，∴DE＝DH，在Rt△DEB和Rt△DHB中，DE DHDB DB=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEB≌Rt△DHB（HL），∴BE＝BH，在Rt△DEC和Rt△DHA中，DE DHDC DA=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEC≌Rt△DHA（HL），∴AH＝CE，由图易知：AH＝AB−BH，CE＝BE＋BC，∴AB−BH＝BE＋BC，∴BE＋BH＝AB−BC＝5−3＝2，而BE＝BH，∴2BE＝2，故BE＝1．【变式训练3，的平分线相交于点E，过点E作交AC于点F，则EF的长为.【答案】【解析】延长FE交AB于点D G H，如图所示：四边形BDEG是矩形，平分CE平分，四边形BDEG是正，，设，则，，，解得，，即，解得，.模型二、角平分线垂中间例．如图，已知，90,,BAC AB AC BD ∠=︒=是ABC ∠的平分线，且CE BD ⊥交BD 的延长线于点E ．求证：2BD CE =． 【答案】见解析【详解】证明：如图，延长CE 与BA 的延长线相交于点F ，∵90,90EBF F ACF F ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴EBF ACF ∠=∠，在ABD △和ACF 中，EBF ACF AB AC BAC CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABD ACF ASA △≌△，∴BD CF =，∵BD 是ABC ∠的平分线，∴EBC EBF ∠=∠．在BCE ∆和BFE ∆中，EBC EBF BE BE CEB FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BCE BFE ASA ≌△△， ∴CE EF =，∴2CF CE =， ∴2BD CF CE ==．【变式训练1】如图，已知△ABC ，∠BAC ＝45°，在△ABC 的高BD 上取点E ，使AE ＝BC ． （1）求证：CD ＝DE ；（2）试判断AE 与BC 的位置关系？请说明理由；【答案】（1）见解析；（2）AE BC ⊥，理由见解析；（3）【详解】（1）证明：∵BD AC ⊥，45BAC ∠=︒，∴90,45EDA BDC ABD BAD ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴AD BD =，在Rt ADE △和Rt BDC 中，∵AD BDAE BC =⎧⎨=⎩ ∴()Rt ADE Rt BDC HL ≅，∴CD ＝DE ； （2）AE BC ⊥，理由如下：如图，延长AE ，交BC 于点F ， 由（1）得,90EAD EBF EAD AED ∠=∠∠+∠=︒，∵AED AEF ∠=∠，∴90BEF EBF ∠+∠=︒，∴90EFB =︒，即AE BC ⊥；【变式训练2】如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，AE ⊥CE 于点E ，且AB =10，AC =16，则DE 的长度为________【答案】3【解答】解：如图，延长CE ，AB 交于点F .AE 平分∠BAC ，AE ⊥EC ，∴∠F AE =∠CAE ，∠AEF =∠AEC =90°在△AFE 和△ACE 中，EAF EAC AE AE AEF AEC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠，∴△AFE ≌ACE （ASA ），∴AF =AC =16，EF =EC ，∴B F =6又D 是BC 的中点，∴BD =CD ，∴DE 是△CBF 的中位线，∴DE =12BF =3，故答案为：3. 【变式训练3】如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.【答案】见解析【解答】证明：延长AD 交BC 于点F .CD 平分ACF ∠, ACD FCD ∴∠=∠.又,,AD CD CD CD ⊥=ADC ∴∆≌FDC ∆,AD FD ∴=. 又DE ∥BC ,EA EB ∴=.模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形例.如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =________.【答案】12【解答】解：如图，延长BQ 交射线EF 于点M .E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF //BC ，∴∠CBM =∠EMBBM 平分∠ABC ，∴∠ABM =∠CBM ，∴∠EMB =∠EBM ，∴EB =EM ，∴EP +BP =EP +PM =EM CQ =13CE ，∴EQ =2CQ由EF //BC 得，△EMQ ∽△CBQ∴2 212 12EM EQEM BC EP BP BC CQ==∴==∴+=【变式训练1】如图，平分于点C ，，求OC 的长？【解析】如图所示：过点D 作交OA 于点E ，则，平分，，中，，.【变式训练2C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且，则AC=．【解析】过点E于G，连接CF，如图所示：分别是，CF是的平分线，，，由勾股定理可得.模型四、利用角平分线作对称例.平分.【答案】见解析【解析】证明：在AB上截取，连接DE，如图所示：.【变式训练】AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S△ABC＝20．（1）如图1，若AB＝AC，求AC的长；（2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长．【答案】（1）203；（2）253【详解】解：（1）如图1，作DF⊥AC于F，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF ＝DE ＝3， 由题意得，12×AB ×3＋12×AC ×3＝20，解得，AC ＝AB ＝203； （2）如图2，作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF ＝DE ＝3， 由题意得，12×5×3＋12×AC ×3＝20，解得，AC ＝253． 模型五、内外模型例.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠AC E 的平分线相交于点D ，则∠D 的度数为（ ）A ．15°B ．17.5°C ．20°D ．22.5°【答案】A4321DA【解析】∵∠ABC与∠AC E的平分线相交于点D，∴∠DCE=∠DCA，∠CBD=∠ABD，即.的外角的平分线CP与内角BP交于点P，若，则.【解析】平分平分又，过点P的延长线，垂足分别为点E、F、G，如图所示：由角平分线的性质可得，AP是.课后训练1．如图，BD是ABC的外角∠ABP的角平分线，DA＝DC，DE⊥BP于点E，若AB＝5，BC＝3，则BE 的长为（）A ．2B ．1.5C ．1D ．0【答案】C【详解】解：如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，BD 是ABP ∠的角平分线，DF AB ⊥，DE ⊥BP ，DE DF ∴=，在Rt BDE 和Rt BDF 中，BD BDDE DF =⎧⎨=⎩，()Rt BDE Rt BDF HL ∴△≌△，BE BF ∴=，在Rt ADF 和Rt CDE △中，DA DCDE DF=⎧⎨=⎩，()Rt ADF Rt CDE HL ∴△≌△，AF CE ∴=，AF AB BF =-，CE BC BE =+，AB BF BC BE ∴-=+，2BE AB BC ∴=-，5AB =，3BC =，2532BE ∴=-=，解得：1BE =．故选：C ．2．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，若7ABC S =△，32=DE ，5AB =，则AC 的长为（ ）A ．133B ．4C ．5D ．6【答案】A【详解】∵AD 是ABC ∆中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，∴32DF DE ==． 又∵ABCABD ACDSSS=+，5AB =，∴1313752222AC =⨯⨯+⨯⨯，∴133AC =．故选：A ． 3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，Q 为AB 上一动点，则DQ 的最小值为（ ）A．1B．2C．2.5D【答案】B【详解】解：作DH⊥AB于H，如图，∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，∴DH=DC=2，∵Q为AB上一动点，∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．故选：B．4．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD 的面积是______．【答案】30【详解】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝DC=4，∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝12×BC×CD＋12×AB×DE＝12×9×4＋12×6×4＝30，故答案为：30．5．如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB=5，AC=3，DF=2，则△ABC的面积为______．【答案】8【详解】解：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=2，∴△ABC的面积=12×5×2+12×3×2=8，故答案侍：8．6．在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝_____︒【答案】25【详解】解：如图示：过点E ，分别作EF BD ⊥交BD 于点E ，EG AC ⊥交AC 于点G ，EH AB ⊥，交AB 延长线于点H ， ∵BE 平分ABC ∠，CE 平分ACD ∠，∴EH EF =，EG EF =，∴EH EG =，∴AE 平分HAC ∠， ∵62ABC ∠=︒，50∠=°ACB ，∴6250112HAC ABC ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴111125622EAO HAC ∠=∠=⨯︒=︒， ∵BE 平分ABC ∠，62ABC ∠=︒∴11623122EBC ABC ∠=∠=⨯︒=︒ 在AOE △和BOC 中，OBC OCB OAE AEB ∠+∠=∠+∠∴31505625AEB OBC OCB OAE ∠=∠+∠-∠=︒+︒-︒=︒，故答案是：25． 7．如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD =CD ，BE =CF ．（1）求证：AD 平分∠BAC ：（2）已知AC =18，BE =4，求AB 的长． 【答案】（1）见解析；（2）10AB =．【详解】（1）证明：DE AB ∵⊥，DF AC ⊥，90E DFC ∴∠=∠=︒，在Rt BED 和Rt CFD △中，BD CD BE CF =⎧⎨=⎩，∴Rt BED Rt CFD ≅()HL ，DE DF ∴=，DE AB ∵⊥，DF AC ⊥，AD ∴平分BAC ∠；（2）解：DE DF =，AD AD =，Rt ADE Rt ADF ∴≅()HL ，AE AF ∴=，AB AE BE AF BE AC CF BE =-=-=--，184410AB ∴=--=．8．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A （-4，0），B （0，4），AD ⊥BC 交BC 于D 点，交y 轴正半轴于点E （0，t ）（1）当t=1时，点C 的坐标为 ； （2）如图2，求∠ADO 的度数；（3）如图3，已知点P （0，3），若PQ ⊥PC ，PQ=PC ，求Q 的坐标（用含t 的式子表示）． 【答案】（1）点C 坐标（1，0）；（2）∠ADO =45°；（3）Q （-3，3-t ）． 【详解】（1）如图1，当t =1时，点E （0，1）， ∵AD ⊥BC ， ∴∠EAO +∠BCO =90°， ∵∠CBO +∠BCO =90°，∴∠EAO =∠CBO ，在△AOE 和△BOC 中，∵90EAO CBOAO BO AOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠︒⎩＝，∴△AOE ≌△BOC （ASA ），∴OE =OC =1，∴点C 坐标（1，0）． 故答案为：（1，0）；（2）如图2，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，∵△AOE ≌△BOC ，∴S △AOE =S △BOC ，且AE =BC ， ∵OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，∴OM =ON ，∴OD 平分∠ADC ；AD ⊥BC ，90ADC ∴∠=︒∴∠ADO =1452ADC ∠=︒；（3）如图3，过P 作GH ∥x 轴，过C 作CG ⊥GH 于G ，过Q 作QH ⊥GH 于H ，交x 轴于F ，∵P （0，3），C （t ，0），∴CG =FH =3，PG =OC =t ， ∵∠QPC =90°，∴∠CPG +∠QPH =90°， ∵∠QPH +∠HQP =90°，∴∠CPG =∠HQP ，∵∠QHP=∠G=90°，PQ=PC，∴△PCG≌△QPH，∴CG=PH=3，PG=QH=t，∴Q（-3，3-t）．。
【2020中考数学专项复习】角平分线模型探究
【中考专项复习】角平分线模型【回归概念】（一）定理：角平分线定义（Angle bisector definition）从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
1.角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。
（定义）2·角平分线上的点到角的两边的距离相等。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
（二）与角平分线相关的模型1.角平分线+平行线—等腰三角形（见下图1）2.过角平分线上的点作角两边的垂线（见下图2）3.角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形（见下图3）4.过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形（见下图4）【规律探寻】1.两个内角平分线的夹角：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和。
2.一个内角平分线和一个外角平分线的夹角三角形一内角与另外一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半。
3.两个外角平分线的夹角三角形两个外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差。
【典例解析】例题1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？【点拨】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.【解析】解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D即为所求.【例题2】已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.【达标检测】1. （2018·湖南省常德·3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答．【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CE=CD×cos∠C=3，故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．2. （2018•扬州）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．故选：C．3. （2019•广西北部湾经济区•3分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（）A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°【答案】C【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A=∠B和三角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数．【解析】解：由作法得CG⊥AB，∵AB=AC，∴CG平分∠ACB，∠A=∠B，∵∠ACB=180°-40°-40°=100°，∴∠BCG=∠ACB=50°．故选：C．4. （2018•山东枣庄•3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的长为．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．5. （2018•广安）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= 2 ．【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答．【解答】解：作EH⊥OA于H，∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°，∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=2，故答案为：2．6. （2018•德州）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为．【分析】过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案．【解答】解：过C作CF⊥AO，∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF，∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3，故答案为：3．7. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D 到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．8. 如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O 作OM⊥AC,若OM＝4.(2)若△ABC的面积为32，求△ABC的周长.解：连接OC1112221()21432642ABC AOC BOC AOBS S S S AB OE BC ON AB OM OM AB BC OM ∆∆∆∆=++=⋅+⋅+⋅=++=⨯⨯=9. （2018•宜昌）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E ． （1）求∠CBE 的度数；（2）过点D 作DF ∥BE ，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°；（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°﹣65°=25°．∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．10. 如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．分析：（1）根据角平分线性质得出OR=OQ=OP，根据勾股定理起床AR=AQ，CQ=CP，BR=BP，得出方程组，求出即可；（2）过O作OM⊥AC于肘，ON⊥AB于N，求出OM=ON，证出△FON≌△EOM即可．解：连接AO，OB，OC，∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，∴OR=OQ，OR=OP，∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2，AQ2=AO2﹣OQ2，∴AR=AQ，同理BR=BP，CQ=CP，即O在∠ACB角平分线上，设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，则x=3，y=5，z=4，∴BP=3，CQ=5，AR=4．（2）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，∵O在∠A的平分线，∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，∵∠A=60°，∴∠NOM=120°，∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上，∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°，∴∠FON=∠EOM，在△FON和△EOM中∴△FON≌△EOM，∴OE=OF．。
中考数学总复习《借助角平分线构造全等三角形》专题(含答案)
借助角平分线构造全等三角形一 、填空题1.如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=，则:B C ∠∠= ．二 、解答题2.如图，在ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 是AC 上一点，AE BD ⊥交BD 的延长线于E ，且12AE BD =．求证：BD 是ABC ∠的角平分线．3.在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．4.如图，P 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线AD 上的点（不与A 重合）求证：PB PC AB AC +>+ABDDCBAEDECBAF ABCEDDPCBAEDPCBAEDP CBAF EDP C BA5.如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，AD 为BAC ∠的平分线．求证：AC AB BD =+．6.如图，已知ABC △中，90BAC ︒∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BD ⊥ 求证：2BD CE =.7.如图，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，且180B D ∠+∠=︒，求证：AE AD BE =+.8.如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC⊥于F .（1）说明BE CF =的理由；（2）如果AB a =，AC b =，求AE BE 、的长.9.如图，BC BA >，BD 平分ABC ∠，且AD CD =，求证：180A C ∠+∠=︒.D C B A EAB C D DCBAFEDCBAFEDCBAE DCBAFE D CBAGFE DC BAGFEDC BAC DABEDCBA借助角平分线构造全等三角形答案解析一 、填空题1.2:1;【解析】根据角平分线的对称性，将ABD ∆翻折，如图，则AC AE EC AB EC =+=+，BD DE =,结合已知条件“AB BD AC +=”，可得BD DE EC ==，∴DEC ∆为等腰三角形思路二，可将ADC ∆进行翻折，分析略二 、解答题2.延长BC 、AE 交于F 点，先证明AFC BDC ≌△△()SAS ，得2AF BD AE ==，则AE FE =，再证ABE FBE ≌△△．【解析】结论要证明：“BD 是ABC ∠的角平分线”，而且已知条件中有“12AE BD =”，即“2BD AE =”因此可以通过沿BD 翻折“AEB ∆”构造“2AE ”，但是，问题在于“BD 是ABC ∠的角平分线”是我们所需要证明的结论，而并非已知条件，所以辅助线的描述方式为：“延长AE 、BC 交于点F ” 3.AD 为角平分线，将APC ∆沿AD 翻折，点C 落在点E ，连接PE ，则AE AC =，PE PC =，∴可以将问题“AB AC PB PC ->-”转化为“AB AE PB PE ->-”，则用PBE ∆三边关系很容易能够解决 4.在AE 上截取一点F 使得AF AC =，其他略【解析】AD 为角平分线，将APC ∆沿AD 翻折，点C 落在点F ，连接PF ，则AF AC =，PF PC =，∴可以将问题“PB PC AB AC +>+”转化为“PB PF AB AF +>+”，则用PBF ∆三边关系很容易能够解决5.思路一、如图，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，可证ABD AED ∆∆≌()SAS ，因此可得AB AE =，BD DE =，B AED ∠=∠，∵2B C ∠=∠ ∴2AED C ∠=∠ ∴D C ∠=∠ ∴DE EC = ∴BD EC = ∴AC AB BD =+ 思路二、略【解析】辅助线：有两个基本思路，一是将ABD ∆沿AD 进行翻折，点B 落在点E ，主要目的：构造AC AE EC AB EC =+=+,因此可将问题顺利转化为证明：“BD EC =” 二是将ADC ∆沿AD 进行翻折，基本思路同“思路一”6.延长CE 与BA 的延长线交于点F ，因为BE 为角平分线和垂线，所以显然CE EF =即2CF CE =;证ABD ACF ≌△△，所以2BD CF BD CE ==，所以 【解析】有垂直和角平分线想等腰三角形7.过C 作AD 的垂线交AD 延长线于F ，BCE DCF BE DF ⇒=≌△△EAC FAC AE AF AE AD DF AD BE ⇒==+=+≌，所以△△8.（1）连接BD 、CD ，显然=BD DF ，因为AD 为角分线，所以DE DF =，BDE CDF ≌△△，所以BE CF =（2）显然AED AFD ≌△△,所以AE AF =，所以22a b a bBE AE -+==， 【解析】构造全等9.BC 上取BE AB =所以ABD EBD BED A ∠=∠≌，所以△△，又可证180C DEC BED DEC ︒∠=∠∠+∠=，又，所以180A C ︒∠+∠=.。
(完整版)中考复习2角平分线专题
角平分线专题【类型一】角平分线倒角模型例1、把一副学生用三角板)906030(︒︒︒、、和)904545(︒︒︒、、如图(1）放置在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，直角边AC 与y 轴重合，斜边AD 与y 轴重合,直角边AE 交x 轴于F,斜边AB 交x 轴于G,O 是AC 中点，8=AC .(1)把图1中的AED Rt ∆绕A 点顺时针旋转α度)900(︒<≤α得图2，此时AGH ∆的面积是10,AHF ∆的面积是8,分别求F 、H 、B 三点的坐标;(2）如图3,设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M ，EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N ，当改变α的大小时,M N ∠+∠的值是否会改变？若改变,请说明理由；若不改变,请求出其值。
检测1、如图，已知点A 是y 轴上一动点，B 是x 轴上一动点，点C 在线段OB 上，连接AC ，AC 正好是OAB ∠的角平分线，DBx ABD ∠=∠，问动点A,B 在运动的过程中，AC 与BD 所在直线的夹角是否发生变化,请说明理由；若不变，请直接写出具体值。
yx检测2、如图探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知:如图2,在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中,DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD,试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四:若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．【类型二】点在线，垂两边例2、如图（1），ABCCD⊥，垂足为D。
中考数学专题练习三角形的角平分线、中线和高(含解析)-精选文档
中考数学专题练习-三角形的角平分线、中线和高（含解析）一、单选题1.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形2.已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 6cm3.钝角三角形的高线在三角形外的数目有（）A. 3B. 2C. 1D. 04.三角形的三条中线的交点的位置为（）A. 一定在三角形内B. 一定在三角形外C. 可能在三角形内，也可能在三角形外D. 可能在三角形的一条边上5.三角形的重心是（）A. 三角形三条边上中线的交点B. 三角形三条边上高线的交点C. 三角形三条边垂直平分线的交点D. 三角形三条内角平分线的交点6.如图，△ABC中BC边上的高为（）A. AEB. BFC. ADD. CF7.下列说法正确的是（）A. 三角形的中线就是过顶点平分对边的直线B. 三角形的三条角平分线的交点有可能在三角形外部C. 三角形的三条高线的交点必在三角形内部D. 以上说法都错8.三角形的角平分线是（）A. 射线B. 直线C. 线段D. 线段或射线9.三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A. 形状相同的三角形B. 面积相等的三角形C. 直角三角形D. 周长相等的三角形10.如图，在△ABC中，BD，CE分别为AC，AB边上的中线，BD⊥CE，若BD=4，CE=6，则△ABC 的面积为（）A. 12B. 24C. 16D. 3211.下列说法错误的是（）．A. 锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点B. 钝角三角形有两条高线在三角形外部C. 直角三角形只有一条高线D. 任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线12.如图，，垂足为D，，下列说法正确的是（）A. 射线AC是的角平分线B. 直线BD是的边AD上的高C. 线段AC是的中线D. 线段AD是的边BC上的高13.在下图中，正确画出AC边上高的是( )A. B.C. D.14.如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO 是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线的结论中正确的有（）A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个15.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（）A. AC是△ABC的高B. DE是△BCD的高C. DE是△ABE的高D. AD是△ACD的高16.三角形的角平分线、中线和高（）A. 都是线段B. 都是射线C. 都是直线D. 不都是线段17.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，则CD是△ABC（）A. BC边上的高B. AB边上的高C. AC边上的高D. 以上都不对18.如图，下面的四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A. B. C. D.二、填空题19.AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，△ABD与△ACD的周长之差为________cm.20.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是________度．21.如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD交AD于点H．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有________.22.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=________23.如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2________，BD=________，AE=________．24.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且，则________cm2．25.一个等腰但不等边的三角形，它的角平分线、高、中线的总条数为________ 条．三、解答题26.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．27.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，试求△ABC周长。
中考数学二轮复习专题角平分线问题(2)(师)
1.7 角平分线问题（2）四、角平分线作对称→全等三角形思考4 如图,若P 是∠MON 平分线上一点,点A 是边OM 上任意一点,在边ON 上截取OB=OA,连接PB,你可以得到什么结论？例4 如图,在△ABC 中,∠C=2∠B,AD 平分∠BAC,求证:AB=AC+CD.（限时训练第3题）【变式练习4】如图，双曲线()02>=x xy 经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴．将△ABC 沿AC 翻折后得△AB ′C ，点B ′落在OA 上，则四边形OABC 的面积是___________ .五、角平分线+角平分线→三角形内心思考5 如图，三角形任意两条角平分线交于点P，则点P为三角形的内心，你可以想到哪些结论？例5 如图所示,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△OAB ∶S△OBC∶S△OAC=___________ .（限时训练第1题）【变式练习5】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E,过点E作EF∥BC交AC于点F,则EF的长为___________ .【拓展提升】如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CF=2，DF=4①求⊙O直径的长；②试求△CEF的外心与内心之间的距离.A B CD E F 1.7 角平分线问题（2）限时训练班级：______ 学号：____ 姓名：__________1.如图所示,△ABC 的三边AB,BC,CA 的长分别是20,30,40,三条角平分线将△ABC 分为三个三角形,则S △OAB ∶S △OBC ∶S △OAC =___________ .第1题图 第2题图2.如图所示,已知△ABC 的周长是18 cm,BO,CO 分别平分∠ABC 和∠ACB, OD ⊥BC 于点D,若△ABC 的面积为45 cm 2,则OD=___________;若∠BOC=110°, 则∠A=___________°.3.如图,在△ABC 中,∠C=2∠B,AD 平分∠BAC,求证:AB=AC+CD.4.如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F. 求证：AB AC EF =+21.5.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CF=2，DF=4①求⊙O直径的长；②试求△CEF的外心与内心之间的距离.（此部分课堂完成）【变式练习4】如图，双曲线()02>=x xy 经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴．将△ABC 沿AC 翻折后得△AB ′C ，点B ′落在OA 上，则四边形OABC 的面积是___________ .变式4 变式5【变式练习5】如图,在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∠BAC 和∠ACB 的平分线相交于点E,过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F,则EF 的长为___________ .。
2023年中考数学二轮复习专题课件——角平分线四大模型
1）在CA的延长线上截 取AE＝AB，连接DE △EAD≌△BAD（SAS） ∴∠AED＝∠ABD，DB＝DE ∵AB＝BC，∠ABC＝90°
∴∠C＝45°
∠AED＝∠ABD=90°
∴∠EDC=45°
BD=DE=EC=AB+AC
例10 （1）已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是 ∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D．求证：BD＝AB+AC； （2）对于任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的 延长线于点D，如图2，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明．
AD=CD=ED DCE≌△DCF ∠ECA=∠DCF=40°
例8 如图,已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证： BC＝AC+CD．
在BC上截取BF=BA 则△ABD≌△DBF ∠CDF=∠CFD=72° CD=CF BC=BF+FC=AB+CD=AC+CD
例9 如图,在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC， （1）若BD⊥CD，∠C＝60°，BC＝10，求AD的长； （2）若BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．
1）延长AD交BC于点F 则△ADB≌△FDB ∠2=∠DFB=∠1+∠C
2）∠ABD=∠FBD=28° ∠DFB=∠62=90°-28°=62° ∵DE∥BC ∴∠ADE=∠DFC=180°-∠DFB=118°
例12 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、 BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
取BF的中点E，连接AE，AD 则AE为RT△ABF斜边上的中点 则AE=BE，△AEB为等腰三角形 A、B、C、D四点共圆
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
2.角平分线的性质：①平分角。
②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。
3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。
4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。
如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。
如图②。
③连接OP，OP即为角的平分线。
5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。
②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。
8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。
如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。
如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。
2024年中考数学复习 三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型(原卷+答案
三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
平分平行(射影)构等腰模型、角平行线第二定理模型(内角平分线定理和外角平分线定理模型)平分平行(射影)构等腰1)角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。
(简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结)。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
图1图2图3条件：如图1，OO'平分∠MON，过OO'的一点P作PQ⎳ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC。
结论：△BDE是等腰三角形。
条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。
2)角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB=∠CDA=90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。
1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD为半径画弧，两弧相交于点E，过OE上一点M作MN∥OA，与OB相交于点N，∠MOB=50°，则∠AOM=．2(2023·浙江·八年级期中)如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于．3(2023·广东·八年级期末)如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF 平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为cm．4(2023.江苏八年级期中)如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的角平分线交AD与F，交AB于E，FG⎳BC交AB于G．AE=4cm，AB=12cm，则BG=，GE=．角平行线第二定理(内角平分线定理和外角平分线定理)模型1)内角平分线定理图1图2图3条件：如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线。
【数学中考一轮复习】角平分线常考模型(含答案)
专项训练角平分线常考模型模型一角平分线＋垂直一边方法点拨:若PA⊥OM于点A，如图所示，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB＝PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线，垂线段相等”，显然这个基本图形中可以利用角平分线的性质定理，也可以得到一组全等三角形；注意:题目一般只有一条垂线，需要自行补出另一条垂线，甚至只给一条角平分线，自行添加两条垂线.1.如图所示，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（）A.3B.4C.5D.62.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD ：S△ACD为（）A.5:4B.5:3C.4:3D.3:43.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠AFD＝90°，AB＝10，DF＝2，则S△ABD＝_________.模型二角平分线＋斜线方法点拨:若点A是射线OM上任意一点，如图，可以在ON上截取OB＝OA，连接PB，构变式模型:采用截长补短法构造全等三角形如图所示，在△ABC中，BC＞BA，BO是∠ABC的平分线.（截长法）在BC上截取线段BE＝BA，连接OE，则△BEO≌△BAO；（补短法）延长BA至点D，使BD＝BC，连接OD，则△BDO≌△BCO.解题通法:遇到角平分线时，通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段（截长或补短）构造全等三角形.4.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2，求证:AB＝AC＋CD.5.如图所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，∠ABD＝∠DBC.（1）点D到∠ABC的两边BA，BC的距离是否相等？（2）求∠A＋∠C的度数.模型三角平分线＋垂线方法点拨:若AP⊥OP于点P如图所示，可延长AP交ON于点B构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”，实际上这是“两线合一”的一种情形，这个图形中隐含着全等和等腰三角形.6.如图所示，在△ABC中，∠ABC＝60°、D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF＝3，则线段BE的长为（）A.3B.2C.3D.237.如图所示，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则CD的长是___________.8.如图所示，已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD延长线于点E.（1）若AD＝1，求DC；（2）求证:BD＝2CE.模型四角平分线＋平行线方法点拨:若过点P作PQ∥ON交OM于点Q，如图所示，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线＋平行线，等腰三角形必呈现”，这个基本图形很常见，其变式有以下四种:解题通法:遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可以得到等腰三角形.9.如图所示，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，交AB于点E，若AB＝7cm，AE＝4cm.则DE的长为_________cm.10.如图所示，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝6，DC＝8，DE＝20，则FG＝___________.11.如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由.（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周长.模型五角平分线＋对角互补方法点拨:若∠A＋∠C＝180°，BD是∠ABC的平分线，则AD＝CD.12.已知:如图所示，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°,∠B＜90°，求证:DB＝DC.13.感知:如图1所示，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知:DB＝DC.探究:如图2所示，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证:DB＝DC.14.如图所示，四边形ABCD中，∠ABC＋∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD.试说明:（1）△CBE≌△CDF；（2）AB＋DF＝AF.模型六 夹角模型方法点拨:BP ，CP 分别是∠ABC ，∠ACB 的角平分线，则:∠P ＝90°＋21∠A. BP ，CP 分别是∠ABC ，∠ACE 的角平分线，则:∠P ＝21∠A. BP ，CP 分别是∠CBD ，∠BCE 的角平分线，则:∠P ＝90°-21∠A.15.如图所示，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等.若∠A ＝40°，则∠BOC 等于（ ）A.110°B.115°C.125°D.130°16.如图所示，BE ⊥AC 于点D ，且AB ＝CB ，BD ＝ED ，若∠ABC ＝54°，则∠E ＝_________.17.如图所示，点O 是△ABC 边AC 上的一个动点，过O 点作直线MN ∥BC.设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F. （1）求证:OE ＝OF ；（2）若CE ＝8，CF ＝6，求OC 的长.跟踪训练1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则＝（）S△ABDA.56B.28C.14D.122.如图所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，则AB的长为（）A.6B.2＋4C.2＋23D.2＋233.如图所示，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D.若OD＝2，则△ABC的面积是（）A.20B.12C.10D.84.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D.若BD＝5，DC＝3，则AC的长为A.6B.43C.53-2D.85.已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示.若DE＝2，则DF＝__________.6.如图所示，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB边上有一点E，CE，DE分别是∠BCD 和∠ADC的角平分线，如果△CDE的面积是12，CD＝8，那么AB的长度为__________.7.如图所示，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACF，DE过点I，且DE∥BC.BD＝8cm，CE＝5cm，则DE等于__________.8.如图所示，点E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，连接CD交OE于点F，∠AOB＝60°.（1）求证:△OCD是等边三角形；（2）若S＝83，EF＝2，求DF的长.△ODE9.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E. （1）求证:∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长.10.（1）如图①所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC于点E，F，试猜想EF，BE，CF之间有怎样的关系，并说明理由；（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其他条件不变，请直接写出EF，BE，CF之间的关系____________.11.如图所示，在平行四边形ABCD中，CM平分∠BCD交AD于点M.（1）若CD＝2，求DM的长；（2）若M是AD的中点，连接BM，求证:BM平分∠ABC.参考答案1.D2.B3.104.证明：延长AC 至点E ，使AE ＝AB ，连接 DE ，∵AB ＝AE ，∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△AED （SAS ）.∴∠B ＝∠E ，∵∠ACD ＝∠E ＋∠CDE ，∠ACD ＝2∠B ，∴∠ACD ＝2∠E. ∴∠E ＝∠CDE.∴CD ＝CE.∴AB ＝AE ＝AC ＋CE ＝AC ＋CD. 5.解:（1）过D 作出DE ⊥BA 于E ，DF ⊥BC 于F.如图所示.结论:DE ＝DF.理由:∵∠ABD ＝∠DBC ，DE ⊥BA 于E ，DF ⊥BC 于F ，∴DE ＝DF.（2）在Rt △DEA 和Rt △DFC 中，⎩⎨⎧，DF ＝DE ，DC ＝AD ∴Rt △DEA ≌Rt △DFC （HL ）∴∠C ＝∠EAD.∵∠BAD ＋∠EAD ＝180°，∴∠BAD ＋∠C ＝180°. 6.C 7.228.解:（1）如图1所示，过点D 作DH ⊥BC 于H ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠BCA ＝45°.∴DH ＝CH.（2）证明：如图2所示，延长CE ，BA 相交于点F ，∵∠EBF ＋∠F ＝90°，∠ACF ＋∠＝90°，∴∠EBF ＝∠AC.在△ABD 和△ACF 中⎪⎩⎪⎨⎧，CAF ＝∠BAC ∠AC ＝AB ，ACF ＝∠EBF ∠∴ABD ≌ACF （ASA ）∴BD ＝CF.在△BCE 和△BF 中，⎪⎩⎪⎨⎧，FEB ＝∠CEB ∠，BE ＝BE ，CBF ＝∠EBF ∠∴△BCE ≌△BFE （ASA ）.∴CE ＝EF.∴BD ＝2CE.9.3 10.611.解:（1）△BDO 是等腰三角形∵BO 平分∠ABC ，∴∠DBO ＝∠CBO∵DE ∥BC ，∴∠CBO ＝∠DOB.∴∠DBO ＝∠DOB.∴BD ＝DO.∴△BDO 是等腰三角形；（2）同理△CEO 是等腰三角形，∵BD ＝OD ，CE ＝OE ，∴△ADE 的周长＝AD ＋AE ＋DE ＝AB ＋AC ＝10＋6＝16.12.证明:作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD.在△DFC 和△DEB 中，⎪⎩⎪⎨⎧，DE ＝DF ，B ＝∠FCD ∠，DEB ＝∠F ∠∴△DFC ≌△DEB （AAS ）.∴DC ＝DB.13.证明：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠F ＝∠DEB ＝90°.∵∠EBD ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠EBD ＝∠FCD.在△DFC 和△DEB 中，⎪⎩⎪⎨⎧，DE ＝DF ，EBD ＝∠FCD ∠，DEB ＝∠F ∠∴△DFC ≌△DEB （AAS ）.∴DC ＝DB.14.解:（1）∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF.∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABC ＋∠EBC ＝180°，∴∠EBC ＝∠D.在△CBE 与△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧︒∠∠，CF ＝CE 90＝CFD ＝CEB ∠，D ＝EBC ∠，∴△CBE ≌△CDF （AAS ）；（2）在Rt △ACE 与Rt △ACF 中，⎩⎨⎧，AC ＝AC CF ＝CE ∴△CE ≌△ACF （HL ）.∴AE ＝AF.∴AB ＋DF ＝AB ＋BE ＝AE ＝AF.15.A 16.27°17.解:（1）证明:∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴EO ＝CO ，FO ＝CO.∴OE ＝OF ；（2）∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°.∵CE ＝8，CF ＝6，∴EF ＝2268+＝10.∴OC ＝21EF ＝5. 跟踪训练1.B2.D3.C4.A5.46.67.3cm8.解:（1）证明:∵点E 是∠AOB 平分线上的一点， EC ⊥OB ， ED ⊥OA ，∴ED ＝CE.在Rt △ODE 与Rt △OCE 中，⎩⎨⎧，OE ＝OE ，CE ＝ED ∴Rt △ODE ≌Rt △OCE （HL ）.∴OD ＝OC. ∴∠AOB ＝60°，∴△OCD 是等边三角形；（2）∵△OCD 是等边三角形，OF 是∠COD 的平分线，∴OE ⊥DC ，∴∠AOB ＝60°，∴∠AOE ＝∠BOE ＝30°.∵∠ODF ＝60°，ED ⊥OA ，∴∠EDF ＝30°.∴DE ＝2EF ＝4.∵∠AOE ＝30°， DE ⊥AO ，∴OE ＝2DE ＝8.∵S △ODE ＝83＝21×OE ×DF ，∴DF ＝23. 9.解:（1）证明:∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠A ＝∠B ＋∠A ＝90°. ∴∠ACD ＝∠B.∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE ＝∠DCE.∴∠B ＋∴BCE ＝∠ACD ＋∠DCE.即∠AEC ＝∠ACE ；（2）∵∠AEC ＝∠B ＋∠BCE ，∠AEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠BCE.又∵∠ACD ＝∠B ，∠BCE ＝∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ＝∠DCE.又∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝30°，∠B ＝30°.∴Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝2.∴Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝4.∴BD ＝AB-AD ＝4-1＝3.10.解: （1）EF ＝BE ＋CF ，理由: ∵BO 平分∠ABC ， CO 平分∠ACB ，∴∠EBO ＝∠OBC ，∠FCO ＝∠OCB.∵EF//BC ，∴∠EOB ＝∠OBC ，∠FOC ＝∠OCB.∴∠EBO ＝∠EOB ，∠FOC ＝∠FCO. ∴BE ＝OE ，CF ＝OF.∴EF ＝OE ＋OF ＝BE ＋CF ；（2）EF ＝BE-CF ，理由:∵BO 平分∠ABC ， CO 平分∠ACD ，∴∠EBO ＝∠OBC ，∠FCO ＝∠OCD. ∵EF// BC ，∴∠EOB ＝∠OBC ，∠FOC ＝∠OCD.∴∠EBO ＝∠EOB ，∠FOC ＝∠FCO.∴BE ＝OE ，CF ＝OF.∴EF ＝OE-OF ＝BE-CF.故答案为:EF ＝BE-CF.11.解:（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD// BC.∴∠BCM ＝∠DMC.∵CM 平分∠BCD ，∴∠BCM ＝∠DCM.∴∠DMC ＝∠DCM.∴DM ＝DC ＝2；（2）如图，延长BA ， CM ，交于点E ，则∠AME ＝∠DMC ，∵BE// CD ，∴∠D ＝∠EAM ，∠E ＝∠DCM.∵M 是AD 的中点，∴DM ＝AM.∴△CDM ≌△EAM （ASA ）.∴E М＝CM.∵CM平分∠BCD，∴∠BCM＝∠DCM.∴∠E＝∠BCM.∴BE＝BC. ∴BM平分∠ABC.。
2024年中考数学复习 角平分线模型的三种考法(原卷+答案解析)
角平分线模型的三种考法类型一、角平分线上的点向两边作垂线1已知，△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，∠BDC=60°，AB=2，AC=3，则AD的长是．1.如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD平分∠ABC，2∠ACD=∠ABC+∠BAC，已知∠CAD=43°，则∠BDC=．2.已知：AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC．(1)如图1，求证：AB=AC；(2)如图2，∠ABC=30°，点E在AD上，连接CE并延长交AB于点F，BG交CA的延长线于点G，且∠ABG=∠ACF，连接FG．①求证：∠AFG=∠AFC；②若S△ABG:S△ACF=2:3，且AG=2，求AC的长．3.在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,a)，点B的坐标(b,0)且a，b满足a2-12a+36+a-b=0．(1)求A、B两点的坐标；(2)如图(1)，点C为x轴负半轴一动点，OC<OB，BD⊥AC于D，交y轴于点E，求证：OD平分∠CDB．(3)如图(2)，点F为AB的中点，点G为x正半轴点B右侧的一动点，过点F作FG的垂线FH，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时，S△AFH-S△FBG的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形2已知：ΔABC中，D为BC的中点，AG平分∠BAC,CG⊥AG于G，连结DG，若AB=6,AC=4，求DG的长．1.已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．求证：BE=12 AD．2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，AE=12BD，且DF⊥AB于F，求证：CD=DF类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短3如图，在ΔABC中，AB>AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB-AC>BD-CD.1.如图所示，在ΔABC中，∠ACB=60°，AE,BD是ΔABC的角平分线，AE,BD交于点G，求证：GD=GE．2.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为.(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.3.如图，已知B(-1，0)，C(1，0)，A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．(1)求证：∠ABD=∠ACD；(2)求证：AD平分∠CDE；(3)若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．4.如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO=90°-∠BDO．(1)求证：AC=BC；(2)在(1)中点C的坐标为4,0，点E为AC上一点，且∠DEA=∠DBO，如图2，求BC+EC的长；(3)在(1)中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，(如图3)，当点H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．课后训练1如图，在ΔABC中，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠ACB的平分线，AD、CE相交于点F，试判断FE和FD之间的数量关系.2如图，在ΔABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC，交AC于E，AD⊥BE于D，求证：AC= 2BD.3如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至点E，DE=AD，试求∠ECA的度数．4如图1，在△ABC中，CM是AB边的中线，∠BCN=∠BCM交AB延长线于点N，2CM=CN．(1)求证AC=BN；(2)如图2，NP平分∠ANC交CM于点P，交BC于点O，若∠AMC=120°，CP=kAC，求CPCM的值．5如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE=45°．(1)求证：BF平分∠ABE；(2)连接CF交AD于点G，若SΔABF=SΔCBF，求证：∠AFC=90°；(3)在(2)的条件下，当BE=3，AG=4.5时，求线段AB的长．6已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O．(1)如图1，求证：∠BOC=90°+1∠BAC．2(2)如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC．(3)如图3，若∠BAC=60°，BD=4，CE=2，求ODOC的值．7已知：在ΔABC和ΔDEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=α．(1)如图1，A，C，D在同一直线上，延长AE交BD于F，求证：AF⊥BD；(2)如图2，AE与BD交于F，G在AD上，若FG平分∠AFD，求证：点C在直线FG上．角平分线模型的三种考法类型一、角平分线上的点向两边作垂线1已知，△ABC 中，∠BAC =120°，AD 平分∠BAC ，∠BDC =60°，AB =2，AC =3，则AD 的长是．【答案】5【分析】过D 作，DE ⊥AC ，DF ⊥AB 交AB 延长线于F ，然后根据全等三角形的性质和30°角直角三角形的性质即可求解．【详解】过D 作，DE ⊥AC ，DF ⊥AB 交AB 延长线于F ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴DE =DF ，∠DEC =∠DFB =90°=∠DEA ，∵∠BAC +∠BDC +∠DCE +∠DBA =360°，∠BAC =120°，∠BDC =60°，∴∠DCE +∠DBA =180°，∵∠DBF +∠DBA =180°，∴∠DCE =∠DBF ，在△DEC 和△DFB 中，∠DCE =∠DBF∠DEC =∠DFBDE =DB∴△DEC ≌△DFB AAS ，∴CE =BF ，在Rt △DEA 和Rt △DFA 中，DE =DF DA =DA ，∴Rt △DEA ≌△DFA HL ，∴AE =AF ，∵AE =AC -CE ,AF =AB +BF ，∴AC -CE =AB +BF ，∴CE +BF =AC -AB =1，∴CE =BF =12，∴AF =AB +BF =52，∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAB =12∠BAC =60°，∴∠ADF =180°-∠DAB -∠DFB =30°，∴AD =2AF =5．【点睛】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形．1.如图，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，BD 平分∠ABC ，2∠ACD =∠ABC +∠BAC ，已知∠CAD =43°，则∠BDC =．【答案】47°【分析】过D 作DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 于G ，依据DC 平分∠ACE ，BD 平分∠ABC ，利用角平分线的性质，即可得到DF =DG ，进而得出AD 平分∠CAF ．再根据三角形外角的性质，即可得到∠BDC =12∠BAC ，进而得出结论．【解析】如图所示，过D 作DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 于G ，∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，∴DF =DE ，∵2∠ACD =∠ABC +∠BAC ，∠ACE =∠ABC +∠BAC ，∴∠ACE =2∠ACD ，∴CD 平分∠ACE ，又∵DE ⊥BC ，DG ⊥AC ，∴DE =DG ，∴DF =DG ，又∵DF ⊥AB ，DG ⊥AC ，∴AD 平分∠CAF ，∵∠CAD =43°，∴∠CAF =86°，∠BAC =94°，∵∠DCE 是△BCD 的外角，∠ACE 是△ABC 的外角，∴∠BDC =∠DCE -∠DBC =12∠ACE -12∠ABC =12∠ACE -12∠ABC =12∠ACE -∠ABC =12∠BAC =12×94°=47°故答案为：47°．【点评】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2.已知：AD 是△ABC 的角平分线，且AD ⊥BC．(1)如图1，求证：AB =AC ；(2)如图2，∠ABC =30°，点E 在AD 上，连接CE 并延长交AB 于点F ，BG 交CA 的延长线于点G ，且∠ABG =∠ACF ，连接FG ．①求证：∠AFG =∠AFC ；②若S △ABG :S △ACF =2:3，且AG =2，求AC 的长．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②6．【分析】(1)用ASA 证明△ABD ≌△ACD ，即得AB =AC ；(2)①证明△BAG ≌△CAE 可得AG =AE ，再用SAS 证明△FAG ≌△FAE ，即得∠AFG =∠AFC ；②过F 作FK ⊥AG 于K ，由S △ABG :S △ACF =2:3，可得S △CAE :S △ACF =2:3，S △FAE :S △ACF =1:3，而△FAG ≌△FAE ，故S △FAG :S △ACF =1:3，即得AG :AC =1:3，根据AG =2，可求AC =6．【解析】解：(1)证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD =∠CAD ，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC ，在△ABD 和△ACD 中，∠BAD =∠CADAD =AD ∠ADB =∠ADC，∴△ABD ≌△ACD ASA ，∴AB =AC ；(2)①∵AB =AC ，∠ABC =30°，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠CAD =60°，∴∠BAG =60°=∠CAD ，在△BAG 和△CAE 中，∠BAG =∠CAEAB =AC ∠ABG =∠ACE，∴△BAG ≌△CAE ASA ，∴AG =AE ，在△FAG 和△FAE 中，AG =AE∠GAF =∠EAF AF =AF，∴△FAG ≌△FAE SAS ，∴∠AFG =∠AFC ；②过F 作FK ⊥AG 于K ，如图：由①知：△BAG ≌△CAE，∵S △ABG :S △ACF =2:3，∴S △CAE :S △ACF =2:3，∴S △FAE :S △ACF =1:3，由①知：△FAG ≌△FAE ，∴S △FAG :S △ACF =1:3，∴12AG ⋅FK :12AC ⋅FK =1:3，∴AG :AC =1:3，∵AG =2，∴AC =6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的相关知识.3.在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0,a )，点B 的坐标(b ,0)且a ，b 满足a 2-12a +36+a -b =0．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)如图(1)，点C 为x 轴负半轴一动点，OC <OB ，BD ⊥AC 于D ，交y 轴于点E ，求证：OD 平分∠CDB ．(3)如图(2)，点F 为AB 的中点，点G 为x 正半轴点B 右侧的一动点，过点F 作FG 的垂线FH ，交y 轴的负半轴于点H ，那么当点G 的位置不断变化时，S △AFH -S △FBG 的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．【答案】(1)A (0，6)，B (6，0)；(2)证明见解析；(3)不变化，S △AFH -S △FBG =9．【分析】(1)由非负性可求a ，b 的值，即可求A 、B 两点的坐标；(2)过点O 作OM ⊥BD 于M ，ON ⊥AC 于N ，根据全等三角形的判定和性质解答即可；(3)由于点F 是等腰直角三角形AOB 的斜边的中点，所以连接OF ，得出OF =BF ．∠BFO =∠GFH ，进而得出∠OFH =∠BFG ，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答即可．【解析】解：(1)∵a 2-12a +36+a -b =0∴(a -6)2+a -b =0，∴a -6=0a -b =0 ，即a =b =6．∴A (0，6)，B (6，0)．(2)如图，过点O 作OM ⊥BD 于M ，ON ⊥AC 于N ，根据题意可知∠ACO +∠CAO =90°．∵BD ⊥AC ，∴∠BCD +∠CBE =90°，∴∠CAO =∠CBE ．∵A (0，6)，B (6，0)，∴OA =OB =6．在△AOC 和△BOE 中，∠CAO =∠EBOOA =OB ∠AOC =∠BOE =90°，∴△AOC ≅△BOE (ASA )．∴OE =OC ，AC =BE ，S △AOC =S △BOE ．∴12AC ∙ON =12BE ∙OM ，∴OM =ON ，∴点O 一定在∠CDB 的角平分线上，即OD 平分∠CDB ．(3)如图，连接OF ，∵△AOB 是等腰直角三角形且点F 为AB 的中点，∴OF ⊥AB ，OF =FB ，OF 平分∠AOB ．∴∠OFB =∠OFH +∠HFB =90°．又∵FG ⊥FH ，∴∠HFG =∠BFG +∠HFB =90°，∴∠OFH =∠BFG ．∵∠FOB =12∠AOB =45°，∴∠FOH =∠FOB +∠HOB =45°+90°=135°．又∵∠FBG =180°-∠ABO =180°-45°=135°，∴∠FOH =∠FBG ．在△FOH 和△FBG 中∠OFH =∠BFGOF =BF ∠FOH =∠FBG，∴△FOH ≅△FBG (ASA )．∴S △FOH =S △FBG ，∴S △AFH -S △FBG =S △AFH -S △FOH =S △FOA =12S △AOB =12×12OA ∙OB =14×6×6=9．故不发生变化，且S △AFH -S △FBG =9．【点睛】本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形2已知：ΔABC 中，D 为BC 的中点，AG 平分∠BAC ,CG ⊥AG 于G ，连结DG ，若AB =6,AC =4，求DG 的长．【答案】DG =1【分析】延长CG 交AB 于点E . 根据等腰三角形的判定与性质得CG =EG ，AE =AC ,再根据三角形中位线的性质得出DG =12BE =12(AB -AC )，从而得出DG 的长．【详解】解：延长CG 交AB 于点E ．∵AG 平分∠BAC ，CG ⊥AG 于G ，∴CG =EG ，AE =AC =4，∴BE =AB -AC =2，∵CG =EG ，D 为BC 的中点，∴DG =12BE =1．故答案为DG =1.【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理求解是解题的关键． 1.已知：等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°；AC =BC ；∠1=∠3；BE ⊥AD ．求证：BE =12AD ．【答案】见解析.【分析】延长AC 、BE 交于F ，首先由ASA 证明△AEF ≌△AEB ，得到BE =12BF ，然后再次通过ASA 证明△ACD ≌△BCF ，得到AD =BF ，问题得解.【解析】证明：延长AC 、BE 交于F ，∵∠1=∠3，BE ⊥AE ，在△AEF 和△AEB 中，∠1=∠3AE =AE ∠AEF =∠AEB =90°，∴△AEF ≌△AEB (ASA)，∴FE =BE ，∴BE =12BF ，∵∠ACD =∠BED =90°，∠ADC =∠BDE ，∴∠1=∠2，在△ACD 和△BCF 中，∠ACD =∠BCF =90°AC =BC ∠1=∠2，∴△ACD ≌△BCF (ASA )，∴AD =BF ，∴BE =12AD .【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，两次证明全等是解题关键，也考查学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度． 2.如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC=AC ，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，AE =12BD ，且DF ⊥AB 于F ，求证：CD =DF 【答案】见解析【解析】证明：延长AE 、BC 交于点F . 如图所示：∵AE ⊥BE ，∴∠BEA =90°，又∠ACF =∠ACB =90°，∴∠DBC +∠AFC =∠FAC +∠AFC =90°，∴∠DBC =∠FAC ，在△ACF 和△BCD 中,∠ACF =∠BCD =90°AC =BC ∠FAC =∠DBC，∴△ACF ≌△BCD (ASA )，∴AF =BD .又AE =12BD ，∴AE =12AF ，即点E 是AF 的中点，∴AB =BF ，∴BD 是∠ABC 的角平分线，∵∠C =90°，DF ⊥AB 于F ，∴CD =DF .类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短3如图，在ΔABC 中，AB >AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D，求证：AB -AC >BD -CD .【答案】详见解析【分析】可以在AB 上截取AE =AC ，构造三角形全等，再结合三角形三边关系可证得结论．【详解】在AB 上截取AE =AC ，则BE=AB-AC，在△AED和△ACD中，AE=AC∠EAD=∠CADAD=AD，∴△AED≌△ACD(SAS)，∴DE=DC，在△BDE中，BD-DE<BE(三角形两边之差小于第三边)，∴BE>BD-CD，即AB-AC>BD-CD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造三角形全等是解题的关键．1.如图所示，在ΔABC中，∠ACB=60°，AE,BD是ΔABC的角平分线，AE,BD交于点G，求证：GD=GE．【答案】详见解析【分析】在AB上截AF=AD，连接FG，根据角平分线的性质、结合三角形内角和定理可得∠AGD=60°，∠AGB=120°，证明ΔADG≌ΔAFG，得GD=GF，∠AGD=∠AGF=60°，可证得ΔBGF≌ΔBGE，即可得GF=GE=GD.【解析】证明：在AB上截AF=AD，连接FG，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠EAB，又∵AG=AG，∴ΔADG≌ΔAFG ，∴GD=GF，∠AGD=∠AGF，∵∠ACB=60°，AE,BD是ΔABC的角平分线，∴∠AGB=180°-12∠CAB-12∠CBA=180°-12∠CAB+∠CBA=120°∴∠AGD=∠AGF=∠BGF=∠BGE=60°，∵∠BGF =∠BGEBG =BG∠GBF =∠GBE∴ΔBGF ≌ΔBGE ASA ，∴GF =GE ，∴GD =GE .【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作辅助线是解题的关键．2.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE ⊥BC 交BC 于点E ：(1)根据阅读材料可得AD 与DC 的数量关系为.(2)如图二，△ABC 中，∠A =120°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC 中，∠A =100°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与BD 、BC 的数量关系，并证明你的猜想.【答案】(1)CD =2AD ；(2)CD =3AD ；(3)BC =AD +BD .【分析】(1)由角平分线的性质可得AD =DE ，根据∠A =90°，AB =AC ，可得∠C =45°，由DE ⊥BC 可得△DEC 是等腰直角三角形，可得CD =2DE ，进而可得答案；(2)在BC 上截取BE =AB ，连接DE ，利用SAS 可证明△ABD ≌△EBD ，可得AD =DE ，∠BED =∠A =120°，由等腰三角形的性质可得∠C =30°，利用三角形外角性质可得∠CDE =90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；(3)在BC 上取一点E ，使BE =BD ，作DF ⊥BA 于F ，DG ⊥BC 于G ，由角平分线的性质就可以得出DF =DG ，利用AAS 可证明△DAF ≌△DEG ，可得DA =DE ，利用外角性质可求出∠EDC =40°，进而可得DE =CE ，即可得出结论．【解析】(1)∵∠A =90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，∴DE =AD ，∵∠A =90°，AB =AC ，∴∠C =45°，∴△CDE 是等腰直角三角形，∴CD =2DE =2AD ，故答案为CD =2AD(2)如图，在BC 上截取BE =AB ，连接DE ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBE ，在△ABD 和△EBD 中，AB =BE∠ABD=∠DBE BD =BD，∴△ABD ≌△EBD ，∴DE =AD ，∠BED =∠A =120°，∵AB =AC ，∴∠C =∠ABC =30°，∴∠CDE =∠BED -∠C =90°，∴CD =3DE =3AD .(3)如图，在BC 上取一点E ，是BE =BD ，作DF ⊥BA 于F ，DG ⊥BC 于G ，∴∠DFA =∠DGE =90°．∵BD 平分∠ABC ，DF ⊥BA ，DG ⊥BC ，∴DF =DG ．∵∠BAC =100°，AB =AC ，∴∠FAD =80°，∠ABC =∠C =40°，∴∠DBC =20°，∵BE =BD ，∴∠BED =∠BDE =80°，∴∠FAD =∠BED ．在△DAF 和△DEG 中，∠DFA =∠DGE∠FAD =∠BED DF =DG，∴△DAF ≌△DEG (AAS )，∴AD =ED ．∵∠BED =∠C +∠EDC ，∴80°=40+∠EDC ，∴∠EDC =40°，∴∠EDC =∠C ，∴DE =CE ，∴AD =CE ．∵BC =BE +CE ，∴BC =BD +AD ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．3.如图，已知B (-1，0)，C (1，0)，A 为y 轴正半轴上一点，点D 为第二象限一动点，E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC ．(1)求证：∠ABD =∠ACD ；(2)求证：AD 平分∠CDE ；(3)若在点D 运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)不变，60°【分析】(1)根据∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD +∠AFC=180°，即可得出结论；(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；(3)运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．【解析】(1)证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD；(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．则∠AMC=∠ANB=90°，∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN(AAS)，∴AM=AN，∴AD平分∠CDE(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)；(3)∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD，连接AP．∵CD=AD+BD，∴AD=PD，∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP，∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°，∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．4.如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO=90°-∠BDO．(1)求证：AC=BC；(2)在(1)中点C的坐标为4,0，点E为AC上一点，且∠DEA=∠DBO，如图2，求BC+EC的长；(3)在(1)中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，(如图3)，当点H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．【答案】(1)见解析；(2)8；(3)GH=FH+OG，证明见解析．【分析】(1)结合题意易得∠CAO=∠CBD，从而易证△CAO≌△CBD AAS得到结论；(2)如图所示，过D作DN⊥AC于N点，结合(1)易证得Rt△BDO≌Rt△EDN HL及Rt△CDO≌Rt△CDN HL，由全等三角形的性质可求解；(3)如图所示，在x轴的负半轴上取OM=FH，连接DM，易证得△DFH≌△DOM SAS，得到DH= DM及∠1=∠ODM，结合题意易得∠GDH=∠GDM，再证得△GDH≌△GDM SAS得到MG=GH从而得到结论．【解析】(1)证明：∵∠CAO=90°-∠BDO，∠CBD=90°-∠BDO，∴∠CAO=∠CBD，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，在△CAD和△CBD中，∠CAO=∠CBD ∠ACD=∠BCD CD=CD，∴△CAD≌△CBD AAS，∴AC=BC；(2)解：由(1)知∠DEA=∠DBO=∠CAD，∴BD=AD=DE，如图所示，过D作DN⊥AC于N点，∵CD平分∠ACB，∴DO=DN，在Rt△BDO和Rt△EDN中，BD=DE DO=DN，∴Rt△BDO≌Rt△EDN HL，∴BO=EN，在Rt△CDO和Rt△CDN中，CD=CD DO=DN，∴Rt△CDO≌Rt△CDN HL，∴CO=CN，∴BC+EC=BO+OC+CN-EN=2OC=8；(3)GH=FH+OG．∵CD平分∠ACB，在x轴的负半轴上取OM=FH，连接DM，如图所示：在△DFH和△DOM中，DF=DO∠DFH=∠DOM OM=FH， ∴△DFH≌△DOM SAS，∴DH=DM，∠1=∠ODM，∴∠GDH=∠1+∠2=∠ODM+∠2=∠GDM，在△GDH和△GDM中,DH=DM∠GDH=∠GDM DG=DG，∴△GDH≌△GDM SAS，∴MG=GH，∴GH=MG=OM+OG=FH+OG．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质的综合运用．课后训练1如图，在ΔABC中，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠ACB的平分线，AD、CE相交于点F，试判断FE和FD之间的数量关系.【答案】详见解析【分析】如图，过点F作FH⊥BC，FG⊥AB，垂足分别为H、G，根据角平分线，可得点F是ΔABC的内心，则有FG=FH，继而根据三角形内心的性质可得∠FDH=∠FEG，从而可得ΔFDH≌ΔFEG，继而可得FE=FD.【详解】FE=FD，理由如下：如图，过点F作FH⊥BC，FG⊥AB，垂足分别为H、G.∵F是∠BAC，∠ACB的平分线AD、CE的交点，∴F为ΔABC的内心，∴FG=FH.∵∠B=60°，∴∠FAC+∠FCA=12∠BAC+∠BCA=60°，又∵∠FDH=∠B+∠BAD=60°+∠BAD；∠FEG=∠BAD+∠FAC+∠FCA=60°+∠BAD，∴∠FDH=∠FEG，又GH=FH，∴ΔFDH≌ΔFEG，∴FD=FE.【点睛】本题考查了三角形的内心的性质，全等三角形的判定与性质解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．2如图，在ΔABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC，交AC于E，AD⊥BE于D，求证：AC=2BD.【答案】详见解析【分析】延长BD至N，使DN=BD，易得AD垂直平分BN，继而证得AE=EN，则可证得结论．【详解】延长BD至N，使DN=BD，连接AN．∵AD⊥BE，∴AD垂直平分BN，∴AB=AN，∴∠N=∠ABN，又∵BE平分∠ABC，∠ABC=2∠C，∴∠ABN=∠NBC=∠C，∴∠NBC=∠C，∴AN∥BC，∴∠C=∠NAC，∴∠NAC=∠N，∴AE=EN，∵BE=EC，∴AC=BN=2BD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．3如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至点E，DE=AD，试求∠ECA的度数．【答案】40°【分析】在BC上截取BF=AB，连接DF，通过证明△ABD≌△FBD SAS，可得∠DFC=180°-∠A= 80°，再通过证明△DCE≌△DCF SAS，即可求得∠ECA=∠DCB=40°【详解】解：如图，在BC 上截取BF =AB ，连接DF ，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD =∠FBD ，在△ABD 和△FBD 中，AB =FB ,∠ABD =∠FBD ,BD =BD ,∴△ABD ≌△FBD SAS ，∴∠BFD =∠A ，AD =DF ，∴DE =DF ，∴∠DFC =180°-∠A =80°，又∵∠ABC =∠ACB =40°，∴∠FDC =60°，∵∠EDC =∠ADB =180°-∠ABD -∠A =60°，∴∠EDC =∠FDC ，在△DCE 和△DCF 中，DE =DF ,∠EDC =∠FDC ,DC =DC ,∴△DCE ≌△DCF SAS ，故∠ECA =∠DCB =40°．【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．4如图1，在△ABC 中，CM 是AB 边的中线，∠BCN =∠BCM 交AB 延长线于点N ，2CM =CN．(1)求证AC =BN ；(2)如图2，NP 平分∠ANC 交CM 于点P ，交BC 于点O ，若∠AMC =120°，CP =kAC ，求CP CM的值．【答案】(1)见解析；(2)2k k +1【分析】(1)延长CM 至点D ，使CM =DM ，可证ΔACM ≅ΔBDM ，由全等三角形的性质从而得出AC =BD ，根据题目已知，可证ΔDCB ≅ΔNCB ，由全等三角形的性质从而得出BN =BD ，等量代换即可得出答案；(2)如图所示，作CQ =CP ，可证ΔCPO ≅ΔCQO ，由全等三角形的性质相等角从而得出∠1=∠2=∠3，进而得出∠4=∠5，故可证ΔNOB ≅ΔNOQ 等量转化即可求出CP CM的值．【详解】(1)如图1所示，延长CM 至点D ，使CM =DM ，在△ACM 与△BDM 中，CM =DM∠AMC =∠BMD AM =BM，∴ΔACM ≅ΔBDM ，∴AC =BD ，∵2CM =CN ，∴CD =CN ，在△DCB 与△NCB 中，CD =CN∠DCB =∠NCB CB =CB,∴ΔDCB ≅ΔNCB ，∴BN =BD ，∴AC =BN ；(2)如图所示，∵∠AMC =120°，∴∠CMN =60°，∵NP 平分∠MNC ，∠BCN =∠BCM ，∠PNC +∠BCN =12∠AMC =60°，∴∠CON =120°，∠COP =60°，∴∠CMN +∠BOP =180°，作CQ =CP ，在△CPO 与△CQO 中，CQ =CP∠QCO =∠PCO CO =CO，∴ΔCPO ≅ΔCQO ，∴∠1=∠2=∠3，∴∠4=∠5，在△NOB 与△NOQ 中，∠4=∠5∠BNO =∠QNO NO =NO，∴ΔNOB ≅ΔNOQ ，∴BN =NQ ，∴CN =CP +NB ，∴2CM =CP +AC ，设AC =a ，∴CP =ka ，CM =a (k +1)2，∴CP CM=2k k +1．【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．5如图，在△ABC 中，AD为BC 边上的高，AE 是∠BAD 的角平分线，点F 为AE 上一点，连接BF ，∠BFE =45°．(1)求证：BF平分∠ABE；(2)连接CF交AD于点G，若SΔABF=SΔCBF，求证：∠AFC=90°；(3)在(2)的条件下，当BE=3，AG=4.5时，求线段AB的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)7.5【分析】(1)根据AE是∠BAD的角平分线和∠BFE=45°得2∠FBA+2∠BAF=90°，再结合AD为BC边上的高得出∠EBF=∠FBA即可证明；(2)过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N，证明△ABF≅△CBF，得出∠AFB=∠CFB，再根据∠BFE=45°，解出∠AFB=∠CFB=135°即可证明；(3)根据△ABF≅△CBF及AD为BC边上的高证明△AFG≅△CFE，得出AG=EC=4.5，再根据BE= 3，解得BC=BE+EC=7.5，结合△ABF≅△CBF即可求出AB=BC=7.5；【详解】(1)证明：∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠BAD=2∠BAF.∵∠BFE=45°，∴∠FBA+∠BAF=45°.∴2∠FBA+2∠BAF=90°.∵AD为BC边上的高，∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°.∴∠EBF=∠FBA.∴BF平分∠ABE.(2)过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N，∵BF平分∠ABE，且FM⊥BC，FN⊥AB，∴FM=FN.∵SΔABF=SΔCBF，∴AB=BC，∵BF平分∠ABE，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，AB=BC∠ABF=∠CBF BF=BF∴△ABF≅△CBF(SAS)，∴∠AFB=∠CFB，∵∠BFE=45°，∴∠AFB =∠CFB =135°，∴∠AFC =90°，(3)∵△ABF ≅△CBF ，∴AF =FC ，∠AFC =90°，∴∠AFC =∠EFC ，∵AD 为BC 边上的高，∴∠ADE =90°，∴∠EAD +∠AEC =∠FCE +∠AEC ，∴∠EAD =∠FCE .在△AFG 和△CFE 中，∠EAD =∠FCEAF =CF∠AFC =∠EFC∴△AFG ≅△CFE (ASA ).∴AG =EC =4.5，∵BE =3，∴BC =BE +EC =7.5，∵△ABF ≅△CBF ，∴AB =BC =7.5.【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．6已知△ABC 中，BE 平分∠ABC ，BE 交AC 于点E ，CD 平分∠ACB ，交AB 于点D ，BE与CD 交于点O ．(1)如图1，求证：∠BOC =90°+12∠BAC ．(2)如图2，连接OA ，求证：OA 平分∠BAC ．(3)如图3，若∠BAC =60°，BD =4，CE =2，求OD OC的值．【答案】(1)见解析(2)详见解析(3)23【分析】(1)由角平分线的性质得出∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，由三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，代入即可得出结论；(2)过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，OK⊥AC于K，证明OM=OK，则点O在∠BAC的平分线上，即可得出结论；(3)过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，过点O作OF平分∠BOC交BC于点F，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，证明∠BOF=∠BOD，∠COF=∠COE，由角平分线的性质得出∠OBF=∠OBD，∠OCF=∠OCE，由ASA证得△BOF≌△BOD，BF=BD=4，由ASA证得△COF≌△COE，CF=CE=2，求出BC=6，由S△BOD:S△BOC=12OD⋅BH:12OC⋅BH=OD:OC，S△BOD:S△BOC=12BD⋅OM:12BC⋅ON=BD:BC，进行计算即可得出结论．【详解】(1)证明：∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=180°-∠OBC+∠OCB=180°-12∠ABC+12∠ACB=180°-12∠ABC+∠ACB=180°-12180°-∠BAC=180°-90°+12∠BAC=90°+12∠BAC；(2)证明：如图，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，OK⊥AC于K，∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴OM=ON，ON=OK，∴OM=OK，∴点O在∠BAC的平分线上，∴OA平分∠BAC；(3)解：如图，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，过点O作OF平分∠BOC交BC于点F，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，∵∠BAC =60°，∴∠BOC =90°+12∠BAC =120°，∴∠BOD =∠COE =180°-∠BOC =180°-120°=60°，∵OF 平分∠BOC ，∴∠BOF =∠COF =12∠BOC =60°，∴∠BOF =∠BOD ，∠COF =∠COE ，∵BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∴∠OBF =∠OBD ，∠OCF =∠OCE ，在△BOF 和△BOD 中，∠OBF =∠OBDBO =BO ∠BOF =∠BOD，∴△BOF ≌△BOD ASA ，∴BF =BD =4，在△COF 和△COE 中，∠OCF =∠OCECO =CO ∠COF =∠COE，∴△COF ≌△COE ASA ，∴CF =CE =2，∴BC =BF +CF =4+2=6，∵S △BOD :S △BOC =12OD ⋅BH :12OC ⋅BH =OD :OC ，S △BOD :S △BOC =12BD ⋅OM :12BC ⋅ON =BD :BC ，∴OD OC =BD BC=46=23．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形面积的计算等知识，熟练掌握角平分线的性质与判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．7已知：在ΔABC 和ΔDEC 中，AC =BC ，DC =EC ，∠ACB =∠ECD =α．(1)如图1，A ，C ，D 在同一直线上，延长AE 交BD 于F ，求证：AF ⊥BD ；(2)如图2，AE 与BD 交于F ，G 在AD 上，若FG 平分∠AFD ，求证：点C 在直线FG 上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)先说明∠ACB =∠ECD =12×180°=90°，根据SAS 证明ΔACE ≌ΔBCD ，得出∠CAE =∠CBD ，说明∠CAE +∠CDB =90°，即可得出答案；(2)连接CF ，过点C 作CM ⊥BD 于点M ，CN ⊥AE 于点N ，根据SAS 证明ΔBCD ≌ΔACE 得出∠CBM =∠CAN ，根据AAS 证明ΔCBM ≌ΔCAN ，得出CM =CN ，说明CF 平分∠MFN ，得出∠AFG =∠DFG ，证明∠CFM +∠MFA +∠AFG =∠CFN +∠NFD +∠DFG =180°即可得出结论．【详解】(1)证明：∵A ，C ，D 在同一直线上，∠ACB =∠ECD =α，∴∠ACB =∠ECD =12×180°=90°，∵在ΔACE 和ΔBCD 中AC =BC∠ACE =∠BCD CE =CD，∴ΔACE ≌ΔBCD SAS ，∴∠CAE =∠CBD ，∵∠CBD +∠BDC =90°，∴∠CAE +∠CDB =90°，∴∠AFD =180°-∠CAE +∠CDB =90°，∴AF ⊥BD ．(2)证明：连接CF ，过点C 作CM ⊥BD 于点M ，CN ⊥AE 于点N ，如图所示：∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACB +∠ACD =∠ACD +∠DCE ，即∠BCD =∠ACE ，∵在ΔBCD 和ΔACE 中BC =AC∠BCD =∠ACE CD =CE，∴ΔBCD ≌ΔACE SAS ，∴∠CBM =∠CAN ，∵在ΔCBM 和ΔCAN 中∠CBM =∠CAN∠CMB =∠CNA =90°CB =CA，∴ΔCBM ≌ΔCAN ，∴CM =CN ，∵CM⊥BD，CN⊥AE，∴CF平分∠MFN，∴∠MFC=∠NFC，∵FG平分∠AFD，∴∠AFG=∠DFG，∵∠MFA=∠NFD，∴∠CFM+∠MFA+∠AFG=∠CFN+∠NFD+∠DFG，∵∠CFM+∠MFA+∠AFG+∠CFN+∠NFD+∠DFG=360°，∴∠CFM+∠MFA+∠AFG=∠CFN+∠NFD+∠DFG=180°，∴C、F、G在同一直线上，即点C在直线FG上．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．。
中考数学复习满分突破(全国通用)：专题02 双角平分线模型(解析版)
专题02双角平分线模型一、基础知识回顾角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
已知OC 平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=∠AOB二、双角平分线模型的概述：两角共一边，求角平分线之间夹角。
模型一：两角有公共部分（作和）已知OC 是∠AOB 内的一条射线，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，求∠MON证明：∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC∴∠MOC=21∠AOC,∠CON=21∠BOC∴∠MON=∠MOC+∠CON=21∠AOC+21∠BOC=21∠AOB文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角和的一半模型二：两角有公共部分（作差）已知OC 是∠AOB 外的一条射线，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，求∠MON证明：∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC∴∠MOC=21∠AOC,∠CON=21∠BOC∴∠MON=∠MOC-∠CON=21∠AOC-21∠BOC=21∠AOB文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角差的一半总结：一条射线把一个角分成两个角，这两个角的平分线所形成的角等于原角的一半。
图解：【基础过关练】1．如图所示，OB 是AOC 的平分线，OD 是COE 的平分线，若70,40AOC COE ，那么BOD （）．A ．50B ．55C ．60D ．652．如图所示，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，则∠MON 的度数为（）A ．30B ．45C ．60D ．75【答案】B 【分析】根据题意计算出∠AOC ，∠MOC ，∠NOC 的度数，再根据MON MOC NOC 计算即可．【详解】解：∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，3．若110AOC ，OB 在AOC 内部，OM 、ON 分别平分AOC 和AOB ，若23MON ，则AOB 度数为（）．A ．43.5B ．46C ．64D ．874．如图，AOB 是平角，30AOC ，60BOD ，,OM ON 分别是,AO C BO D 的平分线，则MON 的度数为()A．90ºB．135ºC．150ºD．120º5．如图，OM，ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线，∠AOB＝84°.(1)∠MON=_____；(2)当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值____改变．(填“会”或“不会”)【答案】42°不会【分析】根据角平分线的定义求解即可．【详解】①∵OM、ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线,∠AOB=84°，∴∠MON=(∠AOC+∠BOC)÷2=84°÷2=42°.②当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值不会改变.故答案为42°、不会.【点睛】本题较为简单，主要考查了角平分线的定义，牢牢掌握角平分线的定义是解答本题的关键.6．如图，OB 在AOC 的内部，已知OM 是AOC 的平分线，ON 平分BOC ，若120AOC ，4036BOC ，则MON ______．7．如图，已知90AOB ，OE 平分∠AOB ，60EOF ，OF 平分∠BOC ．求∠BOC 和∠AOC 的度数．∴230BOC BOF ，3090120AOC BOC AOB ．即∠BOC 和∠AOC 的度数分别为30 ，120 ．【点睛】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，正确应用角平分线的定义是解题关键．8．如图，OC 在AOB 外部，OM 和ON 分别是AOC 和BOC 的平分线．若100,60AOB BOC ，求MON 的度数．【答案】50【分析】利用角平分线平分角，以及大角等于小角加小角，小角等于大角减小角，进行角度的转化计算即可．【详解】解：∵100,60AOB BOC ．∴160AOC AOB BOC ．∵OM 平分,AOC ON 平分BOC ，∴80,30COM CON ，∴50MON COM CON ．【点睛】本题考查角度的计算．熟练掌握角平分线平分角，是解题的关键．9．如图，已知∠AOB ＝90°，∠EOF ＝60°，OE 平分∠AOB ，OF 平分∠BOC ，求∠AOC 和∠COB 的度数．【答案】120°，30°【分析】先根据角平分线，求得 BOE 的度数，再根据角的和差关系，求得BOF 的度数，最后根据角平分线，求得BOC 、AOC 的度数．【详解】解：∵OE 平分∠AOB ，∠AOB =90°，∴∠BOE =∠AOB =45°，又∵∠EOF =60°，∴∠BOF =∠EOF －∠BOE =15°，又∵OF 平分∠BOC ，∴∠BOC =2∠BOF =30°，∴∠AOC =∠AOB ＋∠BOC =120°，故∠AOC =120°，∠COB =30°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键，注意：也可以根据AOC 的度数是EOF 度数的2倍进行求解．10．如图所示，∠AOB =100°，OC 是∠AOB 内部的一条射线，射线OM 平分∠AOC ，射线ON 平分∠BOC ，求∠MON 的度数．解：因为射线，分别平分∠和∠，所以∠NOB =∠NOC =∠BOC ，∠AOM =∠COM =∠AOC ，所以∠MON =∠+∠===°【提高测试】1．如图，,, , AOB BOC OM ON 分别平分AOB , COB OH ，平分AOC ，下列结论:①MON HOC ；②2MOH AOH BOH ；③2MON AOC BOH ；④2.NOH COH BOH 其中正确的个数有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图所示，OM 平分AOB ，ON 平分COD ，=m MON ，=n BOC ，则AOD 的度数为（）A ． m nB ． 2m nC ． 2m nD ． 2m n【答案】C【分析】由∠MON−∠BOC 求出∠CON ＋∠BOM 的度数，根据OM ，ON 分别为角平分线，得到两对角相等，进而确定出∠COD ＋∠AOB 度数，根据∠COD ＋∠BOC ＋∠AOB 即可求出∠AOD 的度数．【详解】解：∵OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD ，∴∠CON ＝∠DON ，∠BOM ＝∠AOM ，∵∠CON ＋∠BOM ＝∠MON−∠BOC ＝（m−n ）°，∴∠COD ＋∠AOB ＝2（∠CON ＋∠BOM ）＝2（m−n ）°，则∠AOD ＝∠COD ＋∠AOB ＋∠BOC ＝（2m−2n ＋n ）°＝（2m−n ）°．故选C ．【点睛】此题考查了角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．3．如图，∠AOC 和∠BOC 互补，∠AOB ＝α，OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线，∠MON 的度数是（）A ．1802αB ．12aC ．1902aD ．1902a o4．已知20AOB ，70AOC ，OD 平分∠AOB ，OM 平分∠AOC ，则∠MOD 的度数是______．【答案】45 或25 (25°或45°)故答案为：45 或25 ．【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，正确分两种情况讨论是解题关键．5．已知40AOB ，过O 作射线OC ，使60COB ，若射线OD 是COA 的平分线，则DOA 的度数是________．故答案为：50°或10°．【点睛】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，理解题意，分类讨论是解题的关键．6．如图，已知射线OC 在AOB 内部，OD 平分AOC ，OE 平分BOC ，OF 平分AOB ，现给出以下4个结论：①DOE AOF ；②2DOF AOF COF ；③AOD BOC ；④ 12EOF COF BOF 其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）______．7．（1）如图，已知2AD DB ，E 是BC 的中点，3cm 5BE AC ．①BC ______；②求DE 的长．（2）如图，O 为直线AB 上的一点，48,AOC OD 平分,90AOC DOE ．①BOD ______°；②OE 是BOC 的平分线吗？为什么？∴3=4 ，即OE 是BOC 的平分线．【点睛】本题主要考查了线段的和与差，有关角平分线的计算，邻补角的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．8．已知OD 、OE 分别是AOB 、AOC 的角平分线.(1)如图1，OC 是AOB 外部的一条射线，若40AOC ，130BOE ，求AOD 的度数；(2)如图2，OC 是AOB 内部的一条射线，若20DOC ，25AOE ，求BOC 的度数.∴2140AOB AOD ，∴1405090BOC AOB AOC ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，注意数形结合．9．如图，OB 是AOC 的平分线，OD 是EOC 的平分线．(1)如果76AOD ，18BOC ，则DOE 的度数为；(2)如果54BOD ，求AOE 的度数．【答案】(1)40(2)108【分析】（1）利用角平分线的定义解答即可；（2）利用角平分线的定义易求2AOE BOD ．【详解】（1）解：76AOD ∵，18BOC ，761858DOC AOB ，OB Q 是AOC 的平分线，18BOC AOB ，581840DOC ，OD ∵是EOC 平分线，40DOE COD ，故答案为：40 ；（2）OB Q 平分AOC ，OD 平分EOC ，2AOC BOC ，2COE COD ，54BOC COD BOD ∵，AOE AOC COE ∵，22108AOE BOC COD BOD ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，解题时，实际上是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．10．己知90AOB ，(1)如图1，OE 平分AOB ，OD 平分BOC ，若56EOD ，则DOC 是__________°；(2)如图2，OE 、OD 分别平分AOC 和BOC ，若30DOC ，求EOD 的度数．(3)若OE 、OD 分别平分AOC 和BOC ， 0180DOC ，则EOD 的度数是__________（直接填空）．则EOD EOC 1122AOC 1(2AOB BOC ②若OE 和OD 都在 则1(2EOD AOC1(360)2AOB1(36090)211．如图，已知点A 、O 、B 在一条直线上，∠COD ＝90°，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，求∠EOF 的度数．12．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠BOC ，∠2：∠1＝4：1．(1)求∠AOF 的度数．(2)判断OE 与OF 的位置关系并说明理由．【答案】(1)108°(2)OE OF ，理由见解析【分析】（1）设∠1=x °，则∠2=4x °，求出212BOD x ，228BOC x ，根据∠BOC +∠BOD =180°，求出x =18，代入∠AOF =∠AOC +∠COF 求出即可．（2）根据（1）的结论得出 18012=90EOF ，即可求解．（1）解：设∠1=x °，则∠2=4x °，∵OE 平分∠BOD ，OF 平分∠BOC ，∴212BOD x ，228BOC x ∵∠BOC +∠BOD =180°，∴8x +2x =180，∴x =18，∴∠AOC =∠DOB =2x =36°，∠1=18°，∠2=72°，∴∠AOF =∠AOC +∠2=36°+72°=108°．（2）由（1）可得∠1=18°，∠2=72°，∴ 18012=90EOF ,∴OE OF ．【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．。
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角平分线专题【类型一】角平分线倒角模型例1、把一副学生用三角板)906030(︒︒︒、、和)904545(︒︒︒、、如图(1)放置在平面直角坐标系中,点A 在y 轴正半轴上,直角边AC 与y 轴重合,斜边AD 与y 轴重合,直角边AE 交x 轴于F,斜边AB 交x 轴于G,O 是AC 中点,8=AC .(1)把图1中的AED Rt ∆绕A 点顺时针旋转α度)900(︒<≤α得图2,此时AGH ∆的面积是10,AHF ∆的面积是8,分别求F 、H 、B 三点的坐标;(2)如图3,设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M,EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N,当改变α的大小时,M N ∠+∠的值是否会改变?若改变,请说明理由;若不改变,请求出其值.检测1、如图，已知点A 是y 轴上一动点，B 是x 轴上一动点，点C 在线段OB 上，连接AC ，AC 正好是OAB ∠的角平分线，DBx ABD ∠=∠，问动点A ，B 在运动的过程中，AC 与BD 所在直线的夹角是否发生变化，请说明理由；若不变，请直接写出具体值。
xy检测2、如图探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P 与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．【类型二】点在线，垂两边例2、如图（1），ABCCD⊥，垂足为D。
AF平分CABACB，AB∠，交CD于点∠90Rt∆中，︒=E，交CB于点F。
（1）求证：CFCE=。
（2）将图（1）中的ADEAD∆的位置，使点E落在BC边上，其它条件不∆沿AB向右平移到''E'变，如图（2）所示。
试猜想：'BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论。
检测1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB,BC＝6cm,BD＝4cm,那么点D到直线A B的距离是_________．检测2、已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证AP平分∠BAC。
【类型三】线被垂，顺势延例3、如图，已知等腰Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BD 是∠ABC 的平分线，从C 向BD 作垂线，垂足为E.求证：BD ＝2CE.变式、如图,ODC ∆中,︒=∠90D ,EC 是DCO ∠的平分线,CE OE ⊥,点E 作OC EF ⊥于点F,判断E F 与OD 之间的数量关系,并加以证明.例4、如图(a)所示,BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线,过点A 作BD AD ⊥,CE AE ⊥,垂足分别为D 、E,连接DE,求证:BC DE //,)(21AC BC AB DE ++=;(2)如图(b)所示,BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线,其他条件不变;(3)如图(c)所示,BD 为△ABC 的内角平分线,CE 为△ABC 的外角平分线,其他条件不变;则在图(b)、图(c)两种情况下,DE 与BC 还平行吗?它与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜测,并对其中一种情况进行证明.检测1、如图,△ABC 中,AD 平分BAC ∠,AD CD ⊥于D,G 为BC 的中点,求证:(1)AB DG //;(2))(21AC AB DG -=.检测2、如图,在△ABC 中,AC AB 3=,BAC ∠的平分线交BC 于点D,过点B 作AD BE ⊥,垂足为E,求证:DE AD =.【类型四】遇平行，等腰现例5、(1)已知:在△ABC 中,AC AB =,BD 平分ABC ∠,CD 平分ACB ∠,过点D 作BC EF //,分别交AB 、AC 于E 、F 两点(如图1).图中共有________个等腰三角形,分别是__________;EF 与BE 、CF 之间的关系是_______．(2)若将(1)中“△ABC,AC AB =”改为“若△ABC 为不等边三角形”,其余条件不变(如图2),则图中共有_________个等腰三角形,分别是_________;EF 与BE,CF 之间的关系是________．AC AB >ABC ∠CD ACG ∠点作BC DE //,分别交AB 、AC 于E 、F 两点,则EF 与BE 、CF 之间有何关系?写出你的结论,并加以证明(4)已知:如图4,点D 在△ABC 外,BD,CD 分别平分△ABC 的外角GBC ∠和HCB ∠,过点D 作B C //DE ,分别交BG,CH 于E,F 两点,则EF 与BE,CF 之间存在怎样的关系?写出你的结论,并加以证明.检测1、(1)如图(a)所示，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 之长为__________。
(2)如图(b) 所示在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE ∥AB ，FD ∥AC ，如果BC=6，则△DEF 的周长为_________。
检测2、如图,已知直线CD AB //,︒=∠=∠100C A ,E 、F 在CD 上,且满足ABD DBF ∠=∠,BE 平分CBF ∠.(1)求DBE ∠的度数.(2)若平行移动AD,那么BDC BFC ∠∠:的比值是否随之发生变化?若变化,找出变化规律;若不变,求出这个比值.(3)在平行移动AD 的过程中,是否存在某种情况,使ADB BEC ∠=∠若存在,求出其度数;若不存在,请说明理由.检测3、如图，梯形ABCD 中AD//BC ，半圆O 的直径在BC 上，且与另三边相切，如果AB=2，C D=3，则BC=（ ）。
【类型五】截一边，造全等例6、阅读下列学习材料：如图(a)所示，OP平分∠MON，A为OM上一点，C为OP上一点。
连接AC，在射线ON上截取OB =OA，连接BC(如图(b)所示)，易证△AOC≌△BOC。
请根据上面的学习材料，解答下列各题：（1）如图(c)所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由。
（2）如图(d)所示，AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。
例7、如图所示，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，求证：AC＋CD＝AB.变式1、如图所示，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：BC=BD＋AD.变式2、已知,如图ACABBC+∠交AC于D,求证:CD=.A,BD平分ABC=AB=,︒∠108【综合练习】1、在平行四边形ABCD中，BAD∠的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。
（1）在图1中证明CE=CF。
（2）若︒∠的度数。
ABC，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG=∠90（3）若︒=∠120ABC ，CE FG //，CE FG =，分别连接DB 、DG （如图3），求BDG ∠的度数。
2、如图:已知︒=∠=∠9DAC BAD ,AE AD ⊥,且BE AC AB =+.则B ∠=______．【家庭作业】1、如图，∠MON=90°，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上运动，BE 平分∠NBA ，BE 的反向延长线与∠BAO 的平分线交于点C ．则∠C 的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°2、如图所示，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动。
（1）如图1，已知AE、BE分别是BAO∠的角平分线，点A、B在运动的过程中，AEB∠和ABO∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由，并求出AEB∠的大小。
（2）如图2，已AB不平行CD，AD、BC分别是BAP∠的角平分线，AD、BC的延长线∠和ABM交于点F。
ADC∠的角平分线CE相交于点E。
∠的角平分线DE和BCD①点A、B在运动的过程中，F∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由。
②点A、B在运动的过程中，CED∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由。
3、已知，如图，四边形ABCD中，∠B＋∠D=180°，BC=CD.求证：AC平分∠BAD4、已知：如图，∠BAD=∠CAD ，AB ＞AC ，CD ⊥AD 于点D ，H 是BC 中点．求证：DH=21（AB-AC ）．5、如图,在ABC ∆中,AC AB 3=,BAC ∠的平分线交BC 于点D,过点B 作AD BE ⊥,垂足为E,求证:DE AD =.6、如图,ODC ∆中,︒=∠90D ,EC 是DCO ∠的平分线,CE OE ⊥,点E 作OC EF ⊥于点F,判断EF 与OD 之间的数量关系,并加以证明.7、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F.请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；(3)如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问：你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.8、如图，在四边形ABCD中，AB+BC=CD+DA ，∠ABC的外角角平分线与∠CDA的外角平分线交于点P，求证：∠APB=∠CPD9、已知：如下图，在四边形中，BC＞AB，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°.10、在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，求证：BC=DC.。