圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题

主讲：秦岭老师

9816秦岭数学18届群：307181356

9816秦岭数学19届群：151219471

9816秦岭数学20届群：481591151

一、知识回顾

1．圆锥曲线的定义

（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．即：|MF1|＋|MF2|＝2a>2c＝|F1F2|；

（2）平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．即：||MF1|－|MF2||＝2a<2c=|F1F2|；

（3）平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．即：|MF|=d .

2. 直线与圆锥曲线的位置关系

将直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0 (或ay2＋by＋c＝0)．

(1)当a≠0，考虑一元二次方程的判别式Δ，有

①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；

②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；

③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．

(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，

①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；

②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

3．圆锥曲线的弦长

设斜率为k (k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|a

k x x x x k ∆+=-++=2

21221214)(1 //2212

212122114)(1111a

k y y y y k y y k ∆+=-++=-+=

二、典例剖析

方法一：利用圆锥曲线定义和平面几何知识求最值（三角形两边之和大于第三边，两边之差

小于第三边）

例1. 已知椭圆C ：x 225＋y 2

16＝1内有一点M (2，3)，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，P 为椭圆C 上一点，则

|PM |＋|PF 1|的最大值为________，最小值为________.

解析 由椭圆的定义，得|PF 1|＝2a －|PF 2|，即|PF 1|＝10－|PF 2|， 所以|PF 1|＋|PM |＝10＋|PM |－|PF 2|.

由三角形中“两边之差小于第三边”可知，

当P ，M ，F 2三点共线时，|PM |－|PF 2|取得最大值|MF 2|，最小值－|MF 2|. 由椭圆的标准方程x 225＋y 2

16＝1可得点F 2(3，0).

又|MF 2|＝(2－3)2＋(3－0)2＝10，

所以|PF 1|＋|PM |取得最大值10＋10，最小值10－10.

例2.（12四川）椭圆22

143

x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________.

【解析】易证当直线x m =过右焦点（1,0）时，FAB ∆的周长最大，1m ∴=.将1x =代入，解得32

y =±； 所以此时32

3

2221=⨯⨯⨯=

∆FAB S .

方法二：利用二次函数求最值

例3.（13全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：22

22=1x y a b +(a ＞b ＞0)右焦点的直线30

x y +-=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为1

2

.

(1)求M 的方程；

(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．

解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，

则221122=1x y a b +，222222=1x y a b +，2121=1y y x x ---，由此可得2212122121

=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-. 因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，0012

y x =，所以a 2＝2b 2

.

又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2

－b 2

＝3.因此a 2

＝6，b 2

＝3.所以M 的方程为22

=163

x y +. (2)由2230,1,63x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩解得43,33,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

或0,3.x y =⎧⎪⎨=⎪

⎩因此|AB |＝463. 由题意可设直线CD 的方程为y=x+n ，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．

由22,

16

3y x n x y =+⎧⎪⎨+

=⎪⎩得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.08722

>-=∆∴n ，|CD |＝24342||93x x n -=-. 所以四边形ACBD 的面积2186

||||929S CD AB n =⋅=-.

当n ＝0时，S 取得最大值863.即四边形ACBD 面积的最大值为86

3

.

方法三：利用基本不等式求最值

例4.（16四川）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，

且||2||PM MF =，则直线OM 斜率的最大值为（ ）

A ．33

B ．23

C ．2

2

D ．1