二次函数与圆
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二次函数与圆
1.如图,已知抛物线y = ax 2
+ bx -3与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,经过A 、B 、
C 三点的圆的圆心M (1,m )恰好在此抛物线的对称轴上,⊙M 的半径为5.设⊙M 与y 轴
交于D ,抛物线的顶点为E .(1)求m 的值及抛物线的解析式;(2)设∠DBC = α,∠CBE = β,求sin (α-β)的值;
(3)探究坐标轴上是否存在点P ,使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似?若存在,请指出点P 的位置,并直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图,点M (4,0),以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B .已知抛物线
2
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y x bx c =
++过点A 和B ,与y 轴交于点C .(1)求点C 的坐标,并画出抛物线的大致图象.(2)点Q (8,m )在抛物线2
16y x bx c =++上,点P 为此抛物线对称轴上一个动点,
求PQ +PB 的最小值.
(3)CE 是过点C 的⊙M 的切线,点E 是切点,求OE 所在直线的解析式.
3.如图(13),已知平行四边形ABCD 的顶点A 的坐标是(016),
,AB 平行于x 轴,B C D ,,三点在抛物线2
425
y x =
上,DC 交y 轴于N 点,一条直线OE 与AB 交于E 点,C A M
x
y
O
D E
与DC 交于F 点,如果E 点的横坐标为a ,四边形ADFE 的面积为
135
2
. (1)求出B D ,两点的坐标;(2)求a 的值;
(3)作ADN △的内切圆P ,切点分别为M K H ,,,求tan PFM ∠的值.
4
、(湖南湘潭卷)已知:如图,抛物线233
y x x =-
-x 轴分别交于A B ,两点,与y 轴交于C 点,M 经过原点O 及点A C ,,点D 是劣弧OA 上一动点(D 点与A O ,不重合).
(1)求抛物线的顶点E 的坐标;(2)求
M 的面积;
(3)连CD 交AO 于点F ,延长CD 至G ,使2FG =,试探究当点D 运动到何处时,直线GA 与M 相切,并请说明理由.
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、(辽宁卷)如图,已知(10)(0A E -,,,,以点A 为圆心,以AO 长为半径的圆交x 轴于另一点B ,过点B 作BF AE ∥交A 于点F ,直线FE 交x 轴于点C .
(1)求证:直线FC 是A 的切线;
(2)求点C 的坐标及直线FC 的解析式;
(3)有一个半径与A 的半径相等,且圆心在x 轴上运动的P .若P 与直线FC 相交于M N ,两点,是否存在这样的点P ,使PMN △是直角三角形.若存在,求出点P 的坐标;
若不存在,请说明理由.
6
3
于点A ,点B .
图(13)
(1)以AB 为一边在第一象限内作等边ABC △及ABC △的外接圆M (用尺规作图,
不要求写作法,但要保留作图痕迹);
(2)若M 与x 轴的另一个交点为点D ,求A ,B ,C ,D 四点的坐标;
(3)求经过A ,B ,D 三点的抛物线的解析式,
并判断在抛物线上是否存在点P ,使ADP △的面积等于ADC △的面积?若存在,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由. .
7、(山东滨州卷)已知:抛物线2
:(1)(2)M y x m x m =+-+-与x 轴相交于
12(0)(0)A x B x ,,,两点,且12x x <.(Ⅰ)若120x x <,且m 为正整数,求抛物线M 的解析式;(Ⅱ)若121
1x x <>,,求m 的取值范围; (Ⅲ)试判断是否存在m ,使经过点A 和点B 的圆与y 轴相切于点(02)C ,,若存在,求出
m 的值;若不存在,试说明理由;
(Ⅳ)若直线:l y kx b =+过点(07)F ,,与(Ⅰ)中的抛物线M 相交于P Q ,两点,且使
1
2
PF FQ =,求直线l 的解析式. 8、(四川课改卷)如图,在平面直角坐标系中,已知点(220)B -,,(0)A m ,(20)m -<<,
以AB 为边在x 轴下方作正方形ABCD ,点E 是线段OD 与正方形ABCD 的外接圆除点
D 以外的另一个交点,连结B
E 与AD 相交于点
F . (1)求证:BF DO =;
(2)设直线l 是BDO △的边BO 的垂直平分线,且与BE 相交于点G .若G 是BDO △的
外心,试求经过B
F O ,,三点的抛物线的解析表达式; (3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点P ,使该点关于直线BE 的对称点在x 轴上?
若存在,求出所有这样的点的坐标;若不存在,请说明理由.
A
E
O D
C
B
G
F y
l Q
9、(浙江卷)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 1经过点A (-2,0)和点B (0
,直线l 2
的函数表达式为y x =l 1与l 2相交于点P .⊙C 是一个动圆,圆心C 在直线l 1上运动,设圆心C 的横坐标是a .过点C 作CM ⊥x 轴,垂足是点M .
(1) 填空:直线l 1的函数表达式是 ,交点P 的坐标是 ,∠FPB 的度数是 ; (2) 当⊙C 和直线l 2相切时,请证明点P 到直线CM 的距离等于⊙C 的半径R ,并写出
R =223-时a 的值.
(3) 当⊙C 和直线l 2不相离时,已知⊙C 的半径R =223-,记四边形NMOB 的面积
为S (其中点N 是直线CM 与l 2的交点).S 是否存在最大值?若存在,求出这个最
大值及此时a 的值;若不存在,请说明理由.
10、(山东济南课改卷)如图1,已知Rt ABC △中,30CAB ∠=,5BC =.过点A 作
AE AB ⊥,且15AE =,连接BE 交AC 于点P .
(1)求PA 的长;
(2)以点A 为圆心,AP 为半径作A ,试判断BE 与A 是否相切,并说明理由; (3)如图2,过点C 作CD AE ⊥,垂足为D .以点A 为圆心,r 为半径作A ;以点C 为圆心,R 为半径作C .若r 和R 的大小是可变化的,并且在变化过程中保持A 和C 相切..
,且使D 点在A 的内部,B 点在A 的外部,求r 和R 的变化范围.
C
A D图1 图2