线性代数3-2
线性代数第3章_线性方程组习题解答
习题33-1．求下列齐次线性方程组的通解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=+-087305302z y x z y x z y x .解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1440720211873153211A)(000720211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0270211z y z x ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 27211（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系T)1,27,211(--=ξ, 所以，方程组的通解为,)1,27,211(Tk k --=ξk 为任意常数． （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++++086530543207224321432154321x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21202014101072211086530543272211A)(7000014101072211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−70000141010211201)(100000101001201行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==+=++0002542431x x x x x x ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=02542431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T)0,0,1,0,2(1-=ξ，T)0,1,0,1,1(2--=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-，21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0742420436240203543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．解 对系数矩阵施行行初等变换，得11031112104263424247A --⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭11031022210003100000--⎛⎫⎪- ⎪−−→⎪- ⎪⎪⎝⎭)(阶梯形矩阵B =)(0000031100065011067011行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=-+03106506754532531x x x x x x x x ， 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=54532531316567x x x x x x x x （其中53,x x 是自由未知量）， 令=T x x ),(53(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T )0,0,1,1,1(1-=ξ，T )1,31,0,65,67(2=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )1,31,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-，21,k k 为任意常数．3-2．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334 有非零解？解 原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ, 上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0671743134=-----λλλ，即0)756(2=-+λλλ，从而当0=λ和2123±-=λ时方程组有非零解．3-3．求解下列非齐次线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-5521212432143214321x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=551211112111121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−000001100011121B =，因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−000001100000121C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧==+-124321x x x x , 即⎩⎨⎧=-=124321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令TT x x )0,0(),(32=，得到非齐次方程组的一个解T )1,0,0,0(0=η，对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧=-=024321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令T x x ),(32(1,0)T =，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,0,1,2(1=ξ，T )0,1,0,1(2-=ξ,方程组的通解为0112212(0,0,0,1)(2,1,0,0)(1,0,1,0)T T T k k k k ηηξξ=++=++-，其中21,k k 为任意常数．（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+--=-+-810957245332231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=810957245113322311312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131024511B =， 因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131015801C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧-=-+-=-+3913158432431x x x x x x , 即⎩⎨⎧+--=+--=4324319133581x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)(0,0)T Tx x =，得到非齐次方程组的一个解T )0,0,3,1(0--=η,对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧+-=+-=43243191358x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,1,13,8(1--=ξ，T )1,0,9,5(2-=ξ，方程组的通解为0112212(1,3,0,0)(8,13,1,0)(5,9,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=--+--+-,其中21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+=-+-=-+10013212213321321321321x x x x x x x x x x x x ．解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=101400201034101311100111132112121311A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−96000540034101311101400540034101311，因为3)(4)(=≠=A r A r ，所以方程组无解.3-4．讨论下述线性方程组中，λ取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解．⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλλλ． 解 方程组的系数行列式为231211(1)3(1)3A λλλλλλλλ+=-=-++.（1）当0A ≠时，即01λλ≠≠且时，方程组有惟一解． （2）当0A ＝时，即01λλ＝或＝时， (i) 当0λ＝时,原方程组为12323133200333x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩， 显然无解．(ii) 当1λ＝时，原方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++346112432131321x x x x x x x x ， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换412110111011012361430000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()23r A r A ==<，所以方程组有无穷多组解， 与原方程组同解的方程组为1323123x x x x +=⎧⎨-=-⎩， 即1323132x x x x =-⎧⎨=-+⎩（其中3x 为自由未知量）， 令30x =，得到非齐次方程组的一个解0(1,3,0)T η=-，对应的齐次方程组（即导出方程组）为13232x x x x =-⎧⎨=⎩（其中3x 为自由未知量）， 令31x =，得到对应齐次方程组的一个基础解系(1,2,1)T ξ=-，方程组的通解为0(1,3,0)(1,2,1)T T k k ηηξ=+=-+-，其中k 为任意常数．3-5．写出一个以1222341001x c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为通解的齐次线性方程组．解 由已知，1(2,3,1,0)Tξ=-和2(2,4,0,1)T ξ=-是齐次线性方程组AX O =的基础解系，即齐次线性方程组AX O =的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组AX O =的系数矩阵A 的秩为422-=，故可设系数矩阵1112131421222324a a a a A a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭, 由AX O =可知()111121314,,,a a a a α=和()221222324,,,a a a a α=满足方程组()12342234,,,1001x x x x O -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即方程组123124230240x x x x x x -+=⎧⎨-++=⎩的线性无关的两个解即为12,αα,方程组的系数矩阵2310204324010111-⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,该方程组等价于134234243x x x x x x =--⎧⎨=--⎩（其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到该齐次方程组的一个基础解系1(2,1,1,0)T α=--，23(,1,0,1)2T ξ=--，故要求的齐次线性方程组为AX O =，其中211031012A --⎛⎫⎪= ⎪--⎝⎭,即12312420302x x x x x x --+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩. 3-6．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++0022111212111n mn m m n n x a x a x a x a x a x a， 的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，试证Tn b b b ),,,(21 =β是向量组T n a a a ),,,(112111 =α,T n a a a ),,,(222212 =α, ,),,,(21mn m m m a a a =α的线性组合．证 把该线性方程组记为（*），由已知，方程组（*）的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，所以方程组（*）与方程组111122111221122000n n m m mn n n n a x a x a x a x a x a x b x b x b x ++=⎧⎪⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩, 同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组12,,,m ααα和12,,,,m αααβ的秩相同，故β可由12,,,m ααα线性表示．3-7．试证明：()()r AB r B =的充分必要条件是齐次线性方程组O ABX =的解都是O BX =的解．证 必要性.因为()()r AB r B =，只须证O ABX =与O BX =的基础解系相同．O ABX =与O BX =的基础解系都含有()n r B -个线性无关的解向量．又因为O BX =的解都是O ABX =得解．所以O BX =的基础解系也是O ABX =的基础解系．即O ABX =与O BX =有完全相同的解．所以O ABX =的解都是O BX =的解．充分性.因O ABX =的解都是O BX =的解，而O BX =的解都是ABX O =的解，故O ABX =与O BX =有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故()()n r AB n r B -=-，所以()()r AB r B =．3-8．证明()1r A =的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使T A ab =．证 充分性.若存在列向量12m a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及行向量()12T n b b b b =，其中,i j a b 不全为零1,,i m =，1,,j n =，则有()1111212212221212n n T n m m m m n a a b a b a b aa b a b a b A ab b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 显然矩阵A 的各行元素对应成比例，所以()1r A =．必要性.若()1r A =，则A 经过一系列的初等变换可化为标准形100000000D ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 而矩阵D 可以表示为()100100001,0,,0000D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则存在可逆矩阵P ，Q 使得1P AQ D -=，从而()11101,0,,00A PDQ P Q --⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，其中1,P Q -均可逆，记100a P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ()11,0,,0T b Q -=，又因为P 可逆，则P 至少有一行元素不全为零，故列向量a 的分量不全为零，同理，因为1Q -可逆，所以行向量Tb 的分量不全为零．因此，存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使TA ab =．补充题B3-1.设A 是m n ⨯矩阵，AX O =是非其次线性方程组AX b =所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）.（A ） 若AX O =仅有零解，则AX B =有惟一解； （B ） 若AX O =有非零解，则AX B =有无穷多个解； （C ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =仅有零解；（D ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =有非零解．B3-2.设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组 （ⅰ）AX O =； （ⅱ）TA AX O =，必有（ D ）． （A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解； （B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解； （C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解； （Ｄ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．B3-3．设线性方程组AX B =有n 个未知量，m 个方程组，且()r A r =，则此方程组（ A ）．（Ａ）r m =时，有解； （Ｂ）r n =时，有惟一解；（Ｃ）m n =时，有惟一解； （Ｄ）r n <时，有无穷多解．B3-4．讨论λ取何值时，下述方程组有解，并求解：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21λλλλλz y x z y x z y x ． 解 （法一）方程组的系数行列式21111(1)(2)11A λλλλλ==-+，（1）当0A ≠时，即12λλ≠≠-且时，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++．（2）当0A ＝时，即12λλ-＝或＝时 (i) 当λ＝1时,原方程组为1x y z ++=，因为()()1r A r A ==，所以方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数． (ii) 当λ＝-2时，原方程组为212224x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2111112412120112112400015A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因为()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．解 （法二）对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2211111111111111A λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2223110110111λλλλλλλλλ⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭22223110110021λλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪⎪--+--⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)B λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→---= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，(1)当12λλ≠≠-且时, ()()3r A r A ==，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++.(2) 当λ＝1时， ()()1r A r A ==，方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数．(3) 当λ＝-2时，由B 知，()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．B3-5.若321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：122331,,ηηηηηη+++也是该方程组的一个基础解系．证 设有三个数123,,k k k 使得112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=,则有131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=,因为321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以321,,ηηη线性无关，故131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 该方程组的系数行列式10111020011=≠, 所以该方程组只有零解．即1230k k k ===．即122331,,ηηηηηη+++线性无关． 又由齐次线性方程组的性质知122331,,ηηηηηη+++都是方程组的解．所以122331,,ηηηηηη+++构成方程组的一个基础解系．B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ξξξ是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ξξ，求该方程组的通解．解 因为4,3n r ==，故原方程组的导出组的基础解系含有1n r -=个解向量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可． 由解的性质知，1213,ξξξξ--均为导出组的解，所以1213123()()2()ξξξξξξξ-+-=-+为导出组的解，即123342()56ηξξξ⎛⎫⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪⎝⎭,为导出组的解．故原方程组的通解为123344556k k ξξη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数．B3-7. 设*ξ是非齐次线性方程组B AX =的一个解，r n -ηηη,,,21 是它对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关；（2）r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．证 （１）反证法.设,*ξr n -ηηη,,,21 线性相关，由r n -ηηη,,,21 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系知r n -ηηη,,,21 线性无关，故*ξ可由r n -ηηη,,,21 线性表示，即*ξ是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾．故,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关．（2）反证法.设r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性相关，则存在不全为零的数012,,,,n r k k k k -，使得****01122()()()0n r n r k k k k ξξηξηξη--+++++++=,即*0121122()0n r n r n r k k k k k k k ξηηη---++++++++=,由（１）知，,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关，则0120n r k k k k -++++=，10k =，20k =，．．．，0n r k -=,从而00k =，这与012,,,,n r k k k k -不全为零矛盾,故r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．B3-8．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212*********， 的系数矩阵的秩等于矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02121222221111211nn nn n n n n b b b b a a a b a a a b a a a 的秩，试证这个方程组有解．证 令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b A a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212120n n n n nn n na a ab a a a b B a a a b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 因为A 比A 多一列，B 比A 多一行，故()()()r A r A r B ≤≤,而由题设()()r A r B =，所以()()r A r A =，所以原方程组有解．B-9．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明：⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1,01,1,n r n r nr n r A A A A 当当当. 证 若A r n =，因为0A ≠，而**AA A A A E ==，1*0n A A-=≠，故A r n *=．若1A r n =-，因为0A =，所以*AA A E O ==，又因为A AA A r r r n **≥+-，而0AA r *=，所以1A r *≤；又因为1A r n =-，所以至少有一个代数余子式0ij A ≠，从而1A r *≥，故1A r *=．若1A r n <-，则A 的任一个代数余子式0ij A =，故*0A =，所以0A r *=．B3-10．设A 是m n ⨯阶方阵，证明：AX AY =，且A r n =，则X Y =． 证 因为AX AY =，所以()A X Y O -=，又因为A r n =，所以方程组()A X Y O -=只有零解，即X Y O -=，所以X Y =．。
线性代数第三章习题及答案
习 题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ． 解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。
3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α； （3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ． 解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。
（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解， 即β不能由21,αα线性表示。
线性代数第三章第二节 向量组及其最大无关组(2014版)
等价向量组 极大线性无关组性质 向量空间的基与维数
3.2.1. 极大线性无关组
定义 对向量组A，如果在A中有r个向量 1 , 2 , , r 满足：（1）A0 :1,2 , ,r 线性无关。
（2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话）
那么称部分组 A0为向量组A 的一个最大（极大）线性
显
然
1
,
2
,
的
s
极
大
无
关
组
一
定
是
1 , 2 , s，1 , 2 , t
的
极
大
无
关
组
，
所
以
向量
组
1
,
2
,
可
t
由
它线性表示
即
1
,
2
,
t
可由
1
,
2
,
线性表示
s
定理咋还这 么多？烦人!
例 2 设1,2 , n 与 1, 2 , n 为两向量组，且
1 a111 a122 a1nn
2
a211
小结
１．最大线性无关向量组的概念： 最大性、线性无关性．
２． 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩 ＝矩阵行向量组的秩
３． 关于向量组秩的一些结论：
４． 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 阵，然后进行初等行变换．
思考题
总结证明向量组等价的方法
如零向量组等价，但D=0.
例 4 设 1,2 , ,n是n个n维向量，证明：1,2 , ,n 线性无关 的充分必要条件是任意一个n维向量都可由它线性表示。
线性代数3-2 逆矩阵
则矩阵 A1称为 A 的逆矩阵.
二、逆矩阵的概念与性质
第三章 矩阵的运算
定义3.2.1 设A是一个n 阶方阵，若存在n 阶方阵B， 使得 AB = BA = E 则称 A 可逆的，并称B 为 A 的逆矩阵.
例如
1 2 5 2
A 2 5 , B 2
2
2
A1 1 3E A
2
第三章 矩阵的运算
小结
1.逆矩阵概念 若AB=E，则 A1 B, B1 A.
2.伴随矩阵概念与性质定理
A1 1 A * A
3. 矩阵可逆的充要条件 A可逆 A 0
4.逆矩阵的性质 ( A1 )1 A ( AT )1 ( A1 )T
1
有AB = BA = E ，所以A 与 B 互为逆阵.
第三章 矩阵的运算
说明: 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
证明:
记作 A-1
若设B和C是A的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以A的逆矩阵是唯一的 , 记作 A-1
An1
只A 要aA21
a022，就有a2An (
1 AA* *)A(12 A
1 AA22* ) A A
EAn
2
an1
an2
ann
A1n
A2n
Ann
第三章 矩阵的运算
定理3.2.1（可逆的充分必要条件） n阶方阵A可逆 | A | 0，而且A1 1 A. | A|
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
线性代数 第三章 第2节
1 −2 0
5 2 0
1 − 1 − 1 3 1 − 1 − 2 0
故R（A）= 3 。 （ ）
返回
再求A 的一个最高阶非零子式。 再求 的一个最高阶非零子式。 因R（A）= 3 ，知A 的最高阶非零子式为 3 阶， （ ）
记 A = ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ), 由A 的行阶梯形矩阵可 知，在矩阵( a 1 , a 2 , a 3 ) 或 ( a 1 , a 2 , a 4 )或 ( a 1 , a 2 , a 5 )中可
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1 4 −2 2 −2 1 的秩。 例2 求矩阵 A = 的秩。 −1 8 −7 2 14 − 13 2 − 2 r2 − 4 r1 1 1 2 − 2 r1 ↔ r2 r3 + r1 0 − 10 9 1 4 −2 解 A ~ ~ −1 8 −7 0 10 − 9 r − 2r 2 14 − 13 4 1 0 10 − 9 r3 + r2 1 2 − 2 r4 + r2 0 − 10 9 可见R（ ） 可见 （B）= 2 ， ~ = B, 所以R（ ） 所以 （A）= 2 。 0 0 0 r4 − 2 r1 0 0 0 上页 下页 返回
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从本例可知，由矩阵 的秩的定义求秩 从本例可知，由矩阵A 的秩的定义求秩，关键在 的子式的最高阶数。 于找 A 中不等于 0 的子式的最高阶数。 一般当行数与列数都较高时， 一般当行数与列数都较高时，按定义求秩是很麻 烦的。 烦的。 对于行阶梯形矩阵，显然它的秩就等于非零行的 对于行阶梯形矩阵，显然它的秩就等于非零行的 行数。 行数。 因此自然想到用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩 两个等价的矩阵的秩是否相等呢？ 阵，但两个等价的矩阵的秩是否相等呢？
线性代数第三章
例4 向量组 α1 , α 2 ,⋯ , α s 中的 任意一个向量 α j ( j = 1, 2,⋯ , s ) 都可 由该向量线性表示， 由该向量线性表示，因为 α j = 0α1 + ⋯+ 1α j + ⋯+ 0αs
例题4 例题 详见教材85页 详见教材 页
（例5 + 例6） ）
定义3.3.2给定向量组 给定向量组 定义
例6
设有线性方程组
x1 + x2 − 2 x3 + 3x4 = 0 2 x + x − 6 x + 4 x = −1 1 2 3 4 3x1 + 2 x2 + ax3 + 7 x4 = −1 x1 − x2 − 6 x3 − x4 = b
讨论当 a , b 为何值时， 为何值时， 方程组有解？（ ？（2 无解？ （1） 方程组有解？（2）无解？ （3）当有解时，试求出其解。 当有解时，试求出其解。
0 = (0, 0,⋯ , 0)
n维向量 α = (a1 , a2 ,⋯ , an ) 的各分量都取相反数组成的向 维向量 量称为的负向量， 量称为的负向量，记作
−α = (−a1 , −a2 ,⋯ , −an )
α 定义3.2.3 如果 维向量 = (a1 , a2 ,⋯ , an ) 如果n维向量 定义
3、仅含有两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的 、 对应分量成比
定理3.3.1 向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α m 线性相关当且仅当以 A = (α1 , α 2 ,⋯ , α m ) 定理 为系数矩阵的齐次线性方程组 AX
=0
有非零解。 有非零解。
推论3.3.1向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α n 线性相关当且仅当矩阵 A = (α1 , α 2 ,⋯ , α n ) 向量组 推论 的行列式值为零。 的行列式值为零。 定理3.3.2向量组 A : α1 , α2 ,⋯, αm (m ≥ 2) 线性相关的充要条件是向量组A: α1,α2 ,⋯,αm 向量组 定理 中至少有一个向量可由其余向量线性表示。 中至少有一个向量可由其余向量线性表示。
线性代数3-2
定理3 改变向量的个数时，部分相关，整体也相关； 整体无关，部分也无关.
定理4 同步改变向量的分量顺序时，线性相关性不变. 定理5 改变向量的维数时，低维无关，高维也无关；
高维相关，低维也相关.
定理6 向量组 a1, a2 , , an 线性相关的充分必要条
证 设 A1 组为 A 组的最大无关组，B1 组为 B 组 的最大无关组，则 A1 组、B1 组中所含的向量 个数分别为 r1，r2 .
因为 A 组能由 B 组线性表示，故 A1 组也能由 B1 组线性表示.（请思考为什么？）
于是由引理知 r1≤ r2 .
证毕
定理7的若干推论
推论 1 等价的向量组有相同的秩.
m
am1
am 2
a1 s
1
a2 s
2
ams
s
⑶传递性 若A组与B组等价，B组与C组等价， 则A组与C组等价.
证 （不妨设为行向量情形）
因 A 组与 B 组等价，故存在矩阵 K1、T1， 使得 A=K1B，B=T1A， 又 B 组与 C 组等价，故存在矩阵 K2、T2 ， 使得 B=K2C，C=T2B， 于是有 A= K1K2C，C=T2T1A， 即 A 与 C 等价.
矩阵：
b11 b12
（ c1 , c2 ,
, cn ) （1,2 ,
,
s
)
b21
b22
bs1 bs2
b1n
b2n
bsn
同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A
线性代数1同济大学第五版课件3-2
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设 A 经初等列变换变为
B,
则 A
T
经初等行变换变为
T T
B ,
T
R ( A ) R ( B ),
T T
且 R ( A ) R ( A ), R ( B ) R ( B ),
R ( A ) R ( B ).
R ( B ) 3,
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故 B 中必有
3 阶非零子式
. 且共有
4 个.
计算 B 的前三行构成的子式
3 2 3
2 0 2
5
3
2 0 0
5 5 11
5 2 6 6
2
2 6
5 11
16 0 .
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
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例4
1 2 设A 2 3
则 D r D r 0 , 也有 R ( B ) r .
若A经一次初等行变换变为 ，则 R( A ) R( B ). B
由于 B 也可经过一次初等行变 换变为 A ,
故也有 R( B ) R( A). 因此 R( A) R( B ).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
对于 A ， 显有 R ( A ) R ( A ).
T T
对 A m n，有 0 R （ A ） min m , n
0，则 R （ A ） s ；
线性代数第二章矩阵及其运算2-3
二、逆矩阵的概念
定义 7 设 Ａ是 n 阶方阵，若存在 n 阶方
阵Ｂ，使得 AB＝BA＝E （３） 则称矩阵 A 可逆，且称 B 是 A 的逆矩阵，记作 B＝A－１．
如果不存在满足（３）的矩阵 B，则称矩阵
A 是不可逆的．
现在的问题是，矩阵 A 满足什么条件时可逆？ 可逆方阵的逆阵是否唯一，如何求逆阵？可逆 矩阵有什么性质？这是本节要讨论的问题．
A A 2E O,
2
4 移项 得 A 1 1 分解因式 得
2 1 2
3 2 A 2E, A AB A 2 B, 求 B. 0 , AB A 2 B, 求 B. 3
A( 得 解 已知方程变形A E) 2E,
例 3 设 n 阶矩阵 A, B, A + B 均可逆, 证明
练习： 设n阶方阵A满足A2+2A-4E=0，则必有( A) A=E C) A-E可逆 B)A=-3E D) A+3E不可逆 )
解答：因为A与E是可交换的，依题意可得： A2+2A-4E=0 A2+2A-3E=E (A-E)(A+3E)=E， 根据逆矩阵的定义，(A-E)与(A+3E)互逆。故选C
伴随矩阵法.
练习： A,B均为n（n≥3）阶方阵，且AB=0，则A与B（ A) 均为零矩阵 C) 至少有一个奇异阵 B) 至少有一个零矩阵 D) 均为奇异阵 ）
解答：可以等式两边同取行列式 AB=0 |AB|=0 |A||B|=0，故选C
练习： A,B,C为同阶方阵，A可逆，则下列命题正确的是( A) 若AB=0，则B=0 C) 若AB=CB,则A=C 解答：可以等式两边同乘A-1 AB=0 A-1AB = A-10 EB=0，故选A B)若BA=BC,则A=C D) 若BC=0,则B=0或C=0 )
线性代数chapter 2-3,2-4(1)
向量组等价的性质: 记为：1 , 2 ,, s 1 , 2 ,, t .
(1) 反身性: 任一向量组和它自身等价。 (2) 对称性: 1 , 2 ,, s 1 , 2 ,, t . 则1 , 2 ,, t {1 , 2 ,, s . (3) 传递性: 若1 , 2 ,, s 1 , 2 ,, t . 1 , 2 ,, t 1 , 2 , , p ,
Amn
A1
则 A1的列向量与 A 的列向量之间有相同的线性关系． 结论2: 矩阵的初等列变换不改变行向量间的线性关系. 问题:向量间的线性关系有哪些?
两矩阵列向量之间有相同的线性关系：
A (1 , 2 ,...,n ) A' (1 , 2 ,...,n )
0 4 12 0 0 1 1 3 3
1 r3 4 r2 0 0
0 0 0 1 1 r2 4 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 c3 1 c2 4 c4 1 c2 4 r ( A) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4 0
r行
等价标准形
问题:如何求矩阵的等价标准形?如何求矩阵的行秩和列秩?
推论: 定义2.14
r 矩阵Amn的行秩与列秩相等，统称为矩阵的秩. 记为： ( A)
对矩阵Amn ( aij ) mn 施行初等变换，可得矩阵的等价标准形.
对于矩阵 mn , A 结论 ： 0 r( A) min( , n) 1 m 结 论2： 若r ( A) m, 则A的 行 向 量 组 线 性 无 关 ， 满秩矩阵 此时矩阵 为行满秩矩阵。 A
线性代数课件3-2矩阵的秩
1 A 0 2 2 2 1 3 1 5
2 1 0 2 3 0
2 2 1 3 0 1 5 r3 2 r1 1 0 0 3
2
做初等变换，
3 2 6 2 1 3 2 3 9
r3 3 r2
0 3 1 4
5 6 5 1
0 1 , 3 4
求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式． 1 6 4 1 4 3 2 0 5 0 解 3 2 3 6 1 r1 r4 3 2 3 6 1 A 2 0 1 5 3 2 0 1 5 3 r2 r4 , 1 6 4 1 4 3 2 0 5 0 1 6 4 1 4 r3 3 r2 1 6 4 1 4 r3 2 r1 0 4 3 1 1 0 4 3 1 1 r4 4 r2 0 0 0 4 8 0 12 9 7 11 r4 3 r1 0 16 12 8 12 0 0 0 4 8
此方法简单！
显然，非零行的行数为2.
R ( A ) 2.
行阶梯型矩阵非零行的行数 与矩阵的秩之间有何关系？
二、矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn , 总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形. 矩阵经过初等变 问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 换之后，秩不变
定理1
若A ~ B，则R( A) R( B).
设A经初等列变换变为 B, 也有R( A) R( B). 设 A 经初等列变换变为 B,
则 A 经初等行变换变为 B , T T R ( A ) R ( B ), 且 R ( A ) R ( A T ), R ( B ) R ( B T ), R ( A ) R ( B ).
线性代数 3-2向量组的秩
一、向量组的极大线性无关组
定义 若向量组 α1 , α 2 ,⋯ , α s 的部分组 α j , α j ,⋯ , α j 1. 1.定义 1 2 r :(1) α j1 , α j2 ,⋯ , α jr 线性无关 ; 满足 满足:(1) 线性无关; (2) 从向量组 α1 , α 2 ,⋯, α s 中任意另取一个向量 (若还 (2)从向量组 中任意另取一个向量( 添到α j , α j ,⋯, α j 中,所得新部分组都线性相关 . 有), ),添到 所得新部分组都线性相关. 1 2 r 则称 α j1 , α j2 ,⋯ , α jr 为向量组 α1 , α 2 ,⋯, α s 的一个极大 线性无关部分组 ,简称 极大无关组 . 线性无关部分组, 简称极大无关组 极大无关组.
(r = n) α1 α2 αn 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系 . 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.
β
β 放末列. 可否由 α 1 ,⋯ , α s线性表示—— 竖排行变换， α1 ,⋯ , α s 是否线性相关—— 竖排行变换.
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⇔
1. n个n维向量线性相关 (线性无关 定理 定理1. ) 线性无关)
对应分量不成比例，线性无关 2 1 2 −2 0 −1 T T T α1 ,α 2 ,α 3 = 4 1 3 = 4 1 3 =0
2 2 T T T α1 = 4 ,α 2 ,α4 2
0 1 1 0
1 2 3 −2 5= 4 2 2
繁！
0 1 0 −2 1 5 =0 0 2
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α1 , α 2 , α 3
⇔ 其排成的行列式值为 0 (不为 0) 其排成的行列式值为0 不为0)
线性代数 第三章3.2
αm 是其余向量的线性组合
定理4.1 向量组 α1,α2 ,L,αm (m≥ 2) 线性相关 定理
向量组中至少有一个向量是其余向量的线性组合
若 αm 是其余向量的线性组合
αm = k1α1 + k2α2 +L+ km−1αm−1 k1α1 + k2α2 +L+ km−1αm−1 + (−1)αm = 0
（Ⅱ）
β 1β 2 L β s
线性表示， 若（Ⅰ）中每一个向量都能由向量组（Ⅱ）线性表示， 则称向量组（ 线性表示. 则称向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示. 若向量组（Ⅰ） 与向量组（Ⅱ）可以互相线性表示， 则称向量组（ 等价. 则称向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价. 向量组之间的等价关系具有以下性质： 向量组之间的等价关系具有以下性质： 性质
b1 b2 称为行向量 例如:① 例如 ① α = (a1, a2 ,L, an )称为行向量, β = M 称为 bn 列向量.
称为零向量 ②分量全为零的向量 (0, 0, L , 0) ,称为零向量. 称为 ③
等表示向量. 小写希腊字母 α, β ,γ 等表示向量
L 其中是 ε1，ε2， ，εn ，n维单位行向量组.
α1 =(1, 2,3)T， （ ） 例. 证明向量 β = −1,1,5 是向量组
T
将β 用向量组 α1，α2，α3 线性表出.
的线性组合,并具体 α 3 = ( 2 , 3 , 6 ) T 的线性组合 并具体 α 2 = 0,1, 4）， = β ⇔ ai = bi (i = 1, 2,L, n)
线性代数课件：3-2向量组的线性相关性
定理3.2.2 若向量组α1,α2, …,αm无关， 而α1,α2, …,αm, β 线性相关，则β可由α1,α2, …,αm,线性表出，而且表法唯一。
证 由向量组α1,α2, …,αm, β线性相关， 即存在一组不全为零的数k1,k2, …,km,k使得
k11 k22 kmm k 0.
例3.2.4设向量组α1，α2，α3，α4的线 性无关，证明：
(1)设向量组α1- α3，2α1-α2，2α3-α2线 性相关；
(2)设向量组α1- α2，α2-α3，α3+α1线性 无关。
证（1）设
k1(1 3 ) k2(21 2 ) +k3 (23 2 ) 0 (3.2.4) 即
(k1 2k2 )1 (k2 k3 ) 2 (k1 2k3 )3 0 。
怎样用代数方式表示平行四边形法则？
§3.2 向量组的线性相关性 3.2.1 向量组的线性相关与线性无关 3.2.2 向量组线性相关性的判别法 3.2.3 向量组的线性相关性的一些性质
3.2.1 向量组的线性相关与线性无关 定义3.2.1 设α1 , α2 , … , αm, β都是
数域P上的n维向量，如果存在数域P上的 数k1,k2, …,km，使得
Very important!
设n维向量 1 1,0,,0,
2 0,1,,0 ,n 0,0,,1
则任何一个n维向量α=(a1,a2,…,an) ，都可 由ε1,ε2, …,εn线性表出：
a11 a2 2 an n
我们称ε1,ε2, …,εn为基本单位向量。
定义3.2.2 设α1,α2, …,αm是数域P上 的m个n维向量，如果存在数域P上的m 个不全为零的数k1,k2, …,km，使得
线性代数课后习题解答第三章习题解答
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r rr --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
线代3-2
则有不全为零的数 k1 ,k2 , ,km ,k 使 k11 k22 kmm k 0 1 由 条件知 k 0 k1 1 +k2 2 + km m k 假设 l11 +l22 + lmm r11 +r22 + rmm
2 (1,0,2)的 线 性 组 合 。
答案：不能
线性代数 第三章 线性空间
5
定义3.6
设两个向量组
1 , 2 ,, s
1 , 2 ,, t
（Ⅰ）
（Ⅱ）
若向量组(Ⅰ)中每一个向量都可以由向量组(Ⅱ)线性表示，则称 向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示。如果(Ⅰ)与(Ⅱ)可以相互 线性表示，则称向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，记作：(Ⅰ) （Ⅱ）
证
证明n维初始单位向量组， 2， ， n线性无关。 1
证 明 ： 若 向 量 组、、线 性 无 关 ，
设 k1 ( ) k2 ( ) k3 ( ) 0
则 , , 线 性 无 关 。
( k1 k3 ) ( k1 k2 ) ( k2 k3 ) 0
4 (0,2)的 极 大 无 关 组 。
线性代数 第三章 线性空间15 Nhomakorabea 定理3.3
设有两个n维向量组： 1 , 2 ,, r
( )
( )
1 , 2 ,, s
若（Ⅰ）线性无关，且（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，则 r ≤ s
由 ( 1 证明： ( I )可以被 II )线性表示，所以，对于， 存在数 1 , k2 ,, k s 使得 k
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( 3 ) 若 A ~ B , 则 R ( A ) = R ( B );
( 4 ) 若 P , Q 可逆 , 则 R ( PAQ ) = R ( A );
( 5 ) max{R( A), R( B )} ≤ R( A, B ) ≤ R( A) + R( B );
特别地， 为非零列向量时， 特别地，当 B = b 为非零列向量时，有
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r2 ÷ 2 r3 r2
r4 + 3r2
1 2 0 0 0 0 0 0
1 2 0 0 0 0 0 0
2 1 2 1 0 0 0 0
1 0 5 1
r3 ÷ 5
r4 r3
2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
∴ R ( A ) = 2,
R ( B ) = 3.
2 1 3 而 0 3 2 ≠ 0, ∴ R( B ) = 3 0 0 4
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二、矩阵秩的求法
由例2可知， 由例 可知，行阶梯形矩阵的秩等于非零行 可知 的行数，而任意矩阵都可以经过初等行变换化 的行数，而任意矩阵都可以经过初等行变换化 为行阶梯形矩阵。 为行阶梯形矩阵。 问题：经过初等变换矩阵的秩改变了吗？ 问题：经过初等变换矩阵的秩改变了吗？
r1 r4 r2 r4
r3 2r1 r4 3r1
6 4 4 1 1 3 1 1 0 4 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
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Байду номын сангаас
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r3 3r2
r4 4r2
1 6 4 1 1 0 4 3 0 0 0 4 0 0 0 4
En B PC = PAB = B = O O B 而 R(C ) = P ( PC ), R = R( B )， 故 O
为列满秩矩阵）， ），则 （A 为列满秩矩阵），则 R( B ) = R(C )
R( B ) = R(C )
为列满秩矩阵， 注： 设 AB = O ，若A 为列满秩矩阵，则 B = O
( 5 )规定零矩阵的秩等于零
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由定义，得到秩的基本性质 由定义，得到秩的基本性质:
(1) (2)
对于 AT， 显有 R( AT ) = R( A).
对 Am × n，有 0 ≤ R（ A）≤ min {m , n}
(3) A 中有某个 s 阶子式不为 0，则 R （ A ）≥ s ；
个非零列， 因 R ( A , B )中只有 r + t 个非零列，所以 R( A , B ) = R( A , B ) ≤ r + t
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c
c
即有 R( A , B ) ≤ R( A ) + R( B )
( 6 ) R( A+ B ) ≤ R( A ) + R( B );
定理1 若 A ~ B,则 R( A) = R( B).
（证略） 证略）
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初等变换求矩阵秩的方法： 初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 非零行的行数就是矩阵的秩. 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩
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1 2 例4 设 A = 2 3
2 4
1 1 8 0 2 , b = 3 4 2 3 4 6 0 6 2
求矩阵 A 及矩阵 B = ( A b )的秩 .
~ ~ ~ 分析： 解 分析： B 的行阶梯形矩阵为 B = ( A, b ), 设 ~ 的行阶梯形矩阵， 则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵， ~ ~ ~ 故从 B = ( A, b ) 中可同时看出 R( A) 及 R( B ).
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1 2 1 1 例5 设 A = 3 2 λ 1 5 6 3
已知 R ( A ) = 2 , 求 λ 与 的值 .
解
A
1 r2 3r1 0 r3 5r1 0
2 4 4
1 λ+3 8
1 4 5
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r3 r2
~
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0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 例3 设 A = , 求矩阵 A 的 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 秩，并求 A 的一个最高阶非零子式 ．
作初等行变换， 阶梯形矩阵： 解 对A作初等行变换，变成行 阶梯形矩阵：
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0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A= 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
Q R ( B ) = 3,
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故 B 中必有 3 阶非零子式 . 且共有 4 个.
计算B 计算 的前三行构成的子式
3 2
2 0
5
3 2
5
5 =2 0 5 3 2 6 6 0 11
2 5 = 2 = 16 ≠ 0. 6 11
的一个最高阶非零子式. 则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式
若 A 中所有 t阶子式全为 0，则 R （ A ）< t .
(4) 对方阵 An ,当 A ≠ 0时 , R ( A ) = n ,因此可逆阵
又称满秩矩阵 ;当 A = 0时 , R( A ) < n ,因此不 可逆阵又称降秩矩阵 .
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例1
1 2 3 求矩阵 A = 2 3 5 的秩 . 4 7 1
证
设A , B为m × n矩阵
ci ci+ n i = 1 , 2 ,L , n
( A + B ,B )
于是
~
( A,B )
R( A + B ) ≤ R( A + B , B ) = R( A , B ) ≤ R( A ) + R( B )
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( 7 ) R( AB ) ≤ min{R( A), R( B )}( 见第四节)
1 1 1 2 0 4 λ + 3 4 0 0 5 λ 1
因 R ( A ) = 2 , 所以有
5 λ = 0 1 = 0
即
λ = 5 = 1
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归纳矩阵的秩的性质
( 1 ) 0 ≤ R ( Am × n ) ≤ min {m , n};
( 2 ) R ( A ) = R ( A );
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1 2 B= 2 3
2 4
1 1 8 0 2 4 2 3 3 6 0 6 4 2
r2 2r1 1 2 2 1 r3 + 2r1 0 0 4 2 0 0 2 1 r4 3r1 0 0 6 3
1 0 5 1
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第二节
矩阵的秩
一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 三、矩阵秩的性质 四、小结
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一、矩阵秩的概念
任何矩阵 Am × n , 总可经过有限次初等行 变换 梯形， 把它变为行阶 梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 .
矩阵的秩
定义1 在 m × n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（ k ≤ m , 定义
4 1 8 8
r4 r3
1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) = 3.
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求 A 的一个最高阶子式 . Q R( A) = 3, 知 A 的最高阶非零子式为 3阶 . 阶
( 8 ) 若 m×nBn×l = o,则 ( A ) + R( B ) ≤ n A R
(见第四章)
阶方阵， 例6 设 A为 n阶方阵，证明 R ( A + E ) + R ( A E ) ≥ n .
证 因( A + E ) + ( E A ) = 2 E ,由性质 6 , 得
R( A + E ) + R( E A ) ≥ R( 2 E ) = n
阶子式（ 式 D，且所有 r + 1 阶子式（如果存在的话 ）全等 的最高阶非零子式， 于 0，那末 D 称为矩阵 A的最高阶非零子式，数 r 的秩， 称为矩阵 A 的秩，记作 R( A) .
说明: (1)所有的 所有的r,r+2,…,min{m,n}阶子式也全是 。 阶子式也全是0。 说明 所有的 阶子式也全是 (2) 1,2,…,r阶子式中至少存在一个非零的。 阶子式中至少存在一个非零的。 阶子式中至少存在一个非零的 阶子式D是所有非零子式中阶数最高的 （3）非零 阶子式 是所有非零子式中阶数最高的， ）非零r阶子式 是所有非零子式中阶数最高的， 不唯一。 但D不唯一。 不唯一 ( 4 )秩R( A) 是 A 中非零的子式的最高阶 数.
k ≤ n），位于这些行列交叉 处的 k 个 元素 , 不改 ），位于这些行列交叉
2
阶行列式， 变它们在 A 中所处的位置次序而得 的 k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式 .
k k m × n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C m C n 个.
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定义2 定义
设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子
R( A ) ≤ R( A,b ) ≤ R( A ) + 1