二项式系数性质

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二项式系数的性质

的定义和性质进行证明
利用递推关系进行简化
• 例如，证明二项式定理时，
可以利用递推关系进行证明
05
二项式系数在概率论与数理统计中的应用
二项分布的概率质量函数
二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) *
p^k * (1-p)^(n-k)
二项分布的概率质量函数与二项式系数
密切相关
• 其中X表示二项分布的随机变量，n
• 其中P(n, k)表示从n个不同元素中选取k个元素的排列数
二项式系数的计算公式
• 二项式系数的计算公式为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
• 当k为0或n时，C(n, k)有简化公式
• C(n, 0) = 1
• C(n, n) = 1
• 当n和k较大时，可以使用递推公式计算二项式系数
性质进行证明
性进行简化
• 例如，计算二项分布的概率时，可以
利用奇偶性进行简化
二项式系数的递推关系
二项式系数具
有递推关系，
即C(n, k) =
C(n-1, k-1) +
C(n-1, k)
二项式系数的
递推关系在组
合数学和概率
论中有广泛应
用
01
02
• 证明方法：根据二项式系数
• 例如，计算组合数时，可以
• 可以使用二项式系数计算二项分布的
表示试验次数，p表示成功概率，k表示
概率质量函数
成功次数
• 可以使用二项分布的概率质量函数计
算二项分布的期望和方差
二项分布的期望与方差
二项分布的期望为E(X) = np
• 其中n表示试验次数，p表示成功概率
二项分布的方差为Var(X) = np(1-p)

6.3.2 二项式系数的性质课件【高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册】

C1r5 3r
(r 1≤)！(11,5即 r 1)！≤1,
r
315！
3(15 r 1)
解得r≤12,同理,由 C≥1r531r,解得r≥11,所r！以(15展 r开)！式中系数最大的项对应的
C 3 r1 r1 15
r=11,12,即展开式中系数最大的项是T12=C1115 (3x)11和T13=C1125 (3x)12.
…(+2a101))10 ( 2 1)10
=
=1.
答案:720 1
角度2 展开式中的最大项问题【典例】1.(2020·随州高二检测)在 (x 1 )n 的展开式中,只有第5项的二项
x
式系数最大,则展开式中系数最小的项的系数为( ) A.-126 B.-70 C.-56 D.-28 2.已知(1+3x)n的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求: (1)展开式中二项式系数最大的项. (2)展开式中系数最大的项.(结果可以以组合数形式表示)
4.(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8=________. 【解析】由题意可知a8是x8的系数,所以a8= C180·22=180. 答案:180
类型一二项式系数性质的应用【典例】1.(2020·重庆高二检测)(mx+ x )n(n∈N+)的展开式中,各二项式系数之和为32,各项系数之和为243,则展开式中x3的系数为( ) A.40 B.30 C.20 D.10 2.已知在 ( x 2 )n的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.
(2)
Cr1 n
,
Crn
,
Crn
1
之间有什么关系?

二项式定理的推论

二项式定理的推论一、二项式系数的性质在二项式定理中，展开式的每一项都可以表示为二项式系数的形式。

二项式系数的一些重要性质如下：1. 对称性：二项式系数满足对称性，即C(n,k) = C(n,n-k)。

这意味着，在二项式系数中，每个系数与其对称的系数相等。

2. 递推关系：二项式系数之间存在递推关系，即C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)。

这意味着，我们可以通过前一行的系数计算出下一行的系数。

这些性质使得二项式系数在组合数学中有广泛的应用。

例如，在排列组合、概率论、图论等领域中，二项式系数经常用于计算和推导。

1. 幂的展开式：二项式定理可以用来展开幂的形式。

例如，对于任意实数a和b，以及正整数n，我们有：(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n,n)a^0 b^n这个推论可以用于计算复杂的幂，例如高次多项式的展开式。

2. 平方差的展开式：二项式定理还可以用来展开平方差的形式。

例如，对于任意实数a和b，我们有：(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2这个推论可以用于计算平方差的形式，例如在代数运算中计算平方差的结果。

3. 二项式系数的和：二项式系数有一个重要的性质，即每一行的系数之和等于2的n次方。

换句话说，对于任意正整数n，有：C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n) = 2^n这个推论是二项式系数的一个重要性质，也可以通过二项式定理的展开式来证明。

三、应用举例1. 组合数学：二项式系数的计算在组合数学中有广泛的应用。

例如，在排列组合中，可以使用二项式系数来计算组合数，即从n个元素中取k个元素的组合数。

这在概率论、统计学等领域中都有重要的应用。

2. 二项分布：二项分布是概率论中的一个重要分布，它描述了在n 次独立重复试验中成功的次数的概率分布。

二项式系数的性质课件

总结词
二项式定理在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。
详细描述
在数学中，二项式定理常用于解决一些组合数学问题，如排列、组合、概率等。在物理中，二项式定理可用于描述量子力学和统计力学的某些现象。在工程中，二项式定理可用于解决一些近似计算问题。
二项式定理的发展历程
总结词
二项式定理的发展经历了漫长的历史过程。
数学教育的普及
随着数学教育的普及，二项式系数等基础数学知识将更加受到重视，需要进一步研究和推广。
THANKS
感谢观看
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
05
二项式系数在实际问题中的应用
在统计学中的应用
概率计算
二项式系数在概率计算中有着广泛的应用，例如在二项分布的概率计算中，二项式系数用于计算
成功的次数。
置信区间
在置信区间估计中，二项式系数用于计算样本比例的置信区间，帮助我们了解样本比例的可靠程度。
ERA
二项式定理的定义
总结词
二项式定理是数学中的重要定理之一，它描述了二项式展开后的各项系数规律。
详细描述
二项式定理指出，对于任何两个数的和或差，即 (a+b) 或 (a-b)，它们的展开式中的每一项都可以表示为组合数 C(n, k) 与 a 和 b 的幂次方的乘积。
二项式定理的应用场景
要点二
详细描述
对称性是指C(n, k) = C(n, n-k)，即从n个元素中选取k个元素和从n个元素中选取n-k个元素的结果相同。递推性是指C(n+1, k) = C(n, k-1) + C(n, k)，即从n+1个元素中选取k个元素等于从n个元素中选取k-1个元素和从n个元素中选取k个元素的和。组合恒等式是指C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，即从n个元素中选取k个元素等于从n-1个元素中选取k-1个元素和从n-1个元素中选取k个元素的和。

6.3.2二项式系数的性质课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第三册(23)

则 a4
Cn4 n
(1)n4
,
a5
Cn5 n
(1)n5
，
又 a4
a5
0
，故
Cn4 n
Cn5 n
，即 C4n
C5n ，解得 n
9
.故选
C.
8.若 (x 1)n a0 a1x a2x2 anxn x N* 且 a1 a2 21 ，则在展开式的各项系数中，
最大值等于_________________.
证明：在展开式 (a b)n C0nan C1nan1b C2na b n2 2 Cnnbn 中，
令 a 1， b 1 ，则得 (1 1)n C0n C1n Cn2
(1) k
C
k n
(1)
n
C
n n
.
即 C0n Cn2 Cn4 C1n C3n C5n 0 .
分析：奇数项的二项式系数的和为 C0n C2n C4n ，偶数项的二项式系数的和为 C1n C3n C5n . 由于 (a b)n C0nan C1nan1b C2nan2b2 Cnnbn 中的 a ，b 可以取任意实数，因此我们可以通过对 a，b 适当賦值来得到上述两个系数和.
已知 (1 x)n C0n C1n x Cn2 x2 Cnnxn ，
令 x 1，得 2n C0n C1n C2n
C
n n
.
这就是说， (a b)n 的展开式的各二项式系数的和等于 2n .
例求证：在 (a b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
(3)设第 r 1(r N,r 12) 项的系数最大，
则
CC11r22
212r 212r
Cr 1 12

二项式定理及其系数的性质

03
这些性质在解决某些数学问题时非常有用，如求和、求积等。
03 系数性质分析
组合数性质回顾
组合数定义
$C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}$，表示从 $n$个不同元素中选取$k$个元素的组合数。
VS
组合数性质
$C_n^k = C_n^{n-k}$（互补性）， $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$（帕斯卡三角形）， $C_n^0 + C_n^1 + ldots + C_n^n = 2^n$（二项式定理特例）。
根据二项式定理的通项公式，可以直接计算出展开式中任意一项的系数。具体方法为：确定该项在展开式中的位置（即序号$k$），然后代入通项公式计算即可。
若需要求多项式的某一项系数，可以先将多项式按照二项式定理展开，然后找到对应位置的项并计算其系数。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
常见问题一
根据二项式定理的通项公式，若某项的系数为0，则该项不存在于展开式中。因此，可以通过判断通项公式中组合数或二项式系数的值是否为0来确定某项是否存在。
VS
当$n<k$时，组合数$C_n^k=0$，因此对应的二项式系数也为0。此时，展开式中不存在该项。
常见问题二：如何求展开式中特定项系数？
在二项式定理的通项公式$T_{k+1}=C_n^k cdot a^{n-k} cdot b^k$中，混淆$n$、$k$、$a$、$b$的含义和取值范围。其中，$n$表示二项式的次数，$k$表示项的序号（从0开始计数），$a$和$b$分别表示二项式中的两个实数。
错误地认为通项公式中的组合数$C_n^k$与二项式系数完全相同，实际上二者在数值上相等，但意义不同。组合数表示从 $n$个不同元素中取出$k$个元素的组合数，而二项式系数表示$(a+b)^n$展开后各项的系数。

2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件4.2二项式系数的性质

为6,第二个数为16,所以b=6+16=22.
★(2)如图,在“杨辉三角”中,斜线AB的上方,从1开始箭头所示的数组成一个
锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前n项和为Sn,求S19的值.
解由题图知,数列中的第 1 项是C22 ,第 2 项是C21 ,第 3 项是C32 ,第 4 项是C31 ,…,
10
+…+210 =0,
22
(ⅱ)由于(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,
两边同时求导得20(2x-1)9=a1+2a2x+…+10a10x9,
令x=1得a1+2a2+…+10a10=20.
问题中,并解答.
已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且满足
1
求:(ⅰ)
2
+
2

+…+ 的值;22 Nhomakorabea2
(ⅱ)a1+2a2+…+nan的值.
.
解选①,(ⅰ)只有第6项的二项式系数最大,所以n=10.
由于(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,
故(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,
上面的二项式系数表称为
杨辉三角
.
名师点睛
1.从杨辉三角可以看出(a+b)n展开后共有n+1项.
2.(a+b)n展开后每项的二项式系数对称出现且先增大后减小.
思考辨析

【课件】二项式系数的性质课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

（5－5k！）！k！×3≥（6－k）！5！（k－1）！， ∴（5－5k！）！k！≥（4－k）！5！（k＋1）！×3，
则3k≥6－1 k， 5－1 k≥k＋3 1，
解之得72≤k≤29.又 k∈N，∴k＝4.
∴展开式中系数最大的项为
2
26
T5＝C45x3(3x2)4＝405x 3 .
训练 3 在 x－x228的展开式中， (1)求二项式系数最大的项；
题型二二项展开式的系数的和问题
例2 设(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023(x∈R). (1)求a0的值； (2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 023的值. 解 ∵(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023， (1)令x＝0，得(1－0)2 023＝a0，因此a0＝1. (2)令x＝1，得(1－2)2 023＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023， ∴a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1，因此a1＋a2＋…＋a2 023＝－2.
迁移2 若本例条件不变，试求a1＋a3＋…＋a2 023的值.
解分别令x＝－1，x＝1，
得3－2 012＝3＝aa0＋0－aa1＋1＋aa2＋2－aa3＋3＋……＋＋aa2 202022＋2－aa2 202032，3，①②
由②－①，得－1－32 023＝2(a1＋a3＋…＋a2 023).
∴a1＋a3＋…＋a2
+
Cnn
2n1
(n是偶数).
• 证明 ∵n为偶数,
：
∴Cn0
Cn2
Cn4
Cnn
Cn1
Cn3
Cn5
C n1 n
.
又∵C
0 n
Cn1

二项式定理常用推论

二项式定理常用推论二项式定理是高中数学中的重要定理之一，它描述了一个二次多项式的展开形式。

在二项式定理的基础上，还有一些常用的推论，这些推论在数学中具有广泛的应用。

本文将介绍几个常用的二项式定理推论。

一、二项式定理的推论一：二项式系数的性质在二项式定理中，展开式的每一项都可以表示为C(n, k) * a^(n-k) * b^k的形式，其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。

根据组合数的性质，我们可以得到二项式系数的一些重要性质：1. C(n, k) = C(n, n-k)：这是组合数的对称性质，表示从n个元素中选择k个元素和选择n-k个元素的组合数是相等的。

2. C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)：这是组合数的递推关系，表示从n个元素中选择k个元素的组合数等于从n-1个元素中选择k个元素的组合数加上从n-1个元素中选择k-1个元素的组合数。

这些性质在概率论、组合数学等领域中具有广泛的应用，可以简化计算过程，提高效率。

二、二项式定理的推论二：二项式系数的和根据二项式定理，展开式的每一项都可以表示为C(n, k) * a^(n-k)* b^k的形式。

如果我们将这些项的系数相加，可以得到以下结果：1. (a+b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n2. (a+b)^n = C(n, 0) * a^n + C(n, 1) * a^(n-1) * b + ... + C(n, n) * b^n这个结果表明，如果将两个数a和b相加后再求幂，然后将展开式的系数相加，结果就等于将a和b分别求幂后再相加。

这个推论在代数运算中经常被使用，可以简化计算过程。

三、二项式定理的推论三：二项式系数的对称性在二项式定理的展开式中，每一项的系数都是由组合数C(n, k)给出的。

二项式定理及二项式系数的性质应用

累加性质
01
二项式系数满足累加性质，即对于任意非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n-1$），有$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$。
02
这一性质表明，在二项式展开式中，相邻两项的二项式系数之和等于下一项的二项式系数。
03
通过累加性质，可以推导出二项式系数的其他性质，如求和公式等。
二项式系数与通项公式
二项式系数是指$(a+b)^n$展开后各项的系数，记作$C_n^k$，表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素的组合数。
二项式系数的通项公式为$C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$，其中$n!$表示$n$的阶乘。
二项式定理展开方法
二项式定理的展开方法是通过组合数公式和乘法分配律逐步推导出来的。
02
在组合数学中，多项式定理可用于推导组合恒等式和求解组合问
题。
在物理学和工程学中，多项式定理可用于描述多维空间中的物理量和场分布。
03
在计算机科学中，多项式定理可用于设计和分析算法的时间复杂
度和空间复杂度。
04
05 思考题与练习题选讲
思考题选讲
题目1
证明二项式定理对任意正整数$n$都成立。
对于$(a+b)^n$，可以先将其表示成$(a+b)(a+b)cdots(a+b)$的形式，然后按照乘法分配律进行展开。
在展开过程中，每一项都是$a$和$b$的乘积，且$a$和$b$的指数之和为 $n$。根据组合数公式，可以计算出每一项的系数。
02 二项式系数性质
对称性
二项式系数具有对称性，即对于任意非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n$），有$C_n^k = C_n^{n-k}$。

二项式系数性质与应用

二项式系数性质与应用二项式系数是组合数学中的一种重要概念，它在代数、概率、统计等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍二项式系数的性质，并探讨其在实际问题中的应用。

一、二项式系数的基本性质1.1 二项式系数的定义二项式系数表示为C(n,k)，其中n和k为非负整数，且0 ≤ k ≤ n。

其计算方法为C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中“!”表示阶乘运算。

1.2 二项式系数的对称性二项式系数具有对称性，即C(n,k) = C(n,n-k)。

这是由于在组合中，选取k个元素与选取n-k个元素是等价的。

1.3 二项式系数的递推关系二项式系数有递推关系：C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)。

这一关系可以用来计算任意二项式系数，而无需重新计算阶乘。

1.4 二项式定理二项式定理是二项式系数的一个重要性质，表示为(a+b)^n = ΣC(n,k) * a^(n-k) * b^k，其中Σ表示求和运算，k的取值范围为0到n。

二、二项式系数的应用2.1 代数中的应用在代数中，二项式系数被广泛应用于多项式展开和系数计算。

通过二项式定理，我们可以展开任意次多项式，从而计算多项式的各项系数。

2.2 概率与统计中的应用在概率与统计中，二项式系数与二项分布密切相关。

二项分布用于描述一组独立重复试验中成功（或失败）的次数的概率分布。

二项分布的概率质量函数可以用二项式系数来表示。

2.3 组合数学中的应用二项式系数是组合数学的基础概念，它与排列、组合、二项式定理等紧密相关。

在组合数学中，可以利用二项式系数解决一些计数问题，如排列组合问题、子集问题等。

2.4 离散数学中的应用离散数学中的一些问题可以转化为二项式系数的计算问题，如定理证明、图论、递归关系等。

二项式系数的递推关系和性质在解决这些问题时起到了重要的作用。

2.5 应用于经济学和金融学二项式系数在经济学和金融学中也有一定的应用，例如二项式期权定价模型和二项式资产定价模型。

二项式系数有哪些特殊性质

二项式系数有哪些特殊性质二项式系数是组合数学中的重要概念，具有许多特殊性质。

本文将详细介绍二项式系数的特性，并进行逐一讨论。

一、二项式系数的定义及基本性质二项式系数是指二次幂的展开式中，各项的系数。

设a和b为任意实数，则二次幂的展开式可表示为(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b+ ··· + C(n,n)b^n，其中C(n,k)表示从n个元素中取k个元素的组合数。

二项式系数具有以下基本性质：1. 对称性：C(n,k) = C(n,n-k)，即二项式系数在列数上具有对称性质。

2. 递推关系：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)，即每一个二项式系数都可以由前一个系数递推得到。

3. 边界条件：C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取0个或n个元素的组合数都为1。

二、二项式系数的特殊性质除了以上的基本性质外，二项式系数还具有许多特殊性质，包括：1. 杨辉三角形的构建二项式系数可以通过杨辉三角形的构建方法得到。

杨辉三角形的第n行第k个数即为C(n,k)，通过构建杨辉三角形，可以直观地观察到二项式系数的对称性和递推关系。

2. 定理1：二项式系数的性质二项式系数满足定理1：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)。

这一性质可以通过排列组合的原理得到，即从n个元素中取k个元素的组合数等于从n-1个元素中取k-1个元素的组合数再加上从n-1个元素中取k个元素的组合数。

3. 定理2：二项式系数的性质二项式系数满足定理2：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k+1)，其中k满足1<=k<=n-1。

这一性质可以通过将C(n,k)的递推关系重写为C(n-1,k) = C(n,k) - C(n-1,k-1)得到。

4. 定理3：二项式系数的性质二项式系数满足定理3：C(n+1,k+1) = (n+1)/(k+1) * C(n,k)，其中n 和k满足1<=k<=n。

11.3.2.1二项式系数的性质(第一课时)

对称性
增减性与最大值
作业：书本P114--115
11.3.2.1 二项式系数的性质
（第一课时）
复习
1.什么叫二项式定理？通项公式？
( a b) C a C a b C a b C b ( n N )
n 0 n n n n n
1 n 1 1 n
m nm m n

Tm1 C a
m n
nm m
b
2.什么叫二项式系数？项的系数？
当n是偶数时，中间的一项 C n
取得最大值；当n是奇数时，中间的两项
和最大值。n
n 2
C
n 1 2
C
n 1 2 n
相等，且同时取得
1
1 6
5
10 10
15 20 15
5
6
1 1
二项式系数在对称性的左边是逐渐增大的.在对称性右边是逐渐减小的, 且在中间取得最大值.
例1:求(x -2y)10的展开式中二项式系数最大的项, 并指出这项的二项式系数。解:展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是中间的一项.所以： 5 5 5 5 5 T51 C10 x ( 2 y )5 25 C10 x y 8064x 5 y 5 5 二项式系数为 C10 252 例2:求(1+x)8的展开式中二项式系数最大的项。
1
1 1 6 5
4
10 15
6
10
4
5
1
1 6 1
20 15
C n 1 C C
r 1 n
r n
二项式系数的函数观点
(a b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是： Cn , Cn , Cn ,, Cn

二项式系数公式

二项式系数公式二项式系数公式是组合数学中常见的一个公式，用来表示二项式展开中各项的系数。

在代数和概率论等多个领域都有着广泛的应用。

接下来我们将介绍二项式系数公式的定义、性质以及一些应用。

二项式系数的定义对于非负整数n和k，我们定义二项式系数C(n,k)（也记作$\\binom{n}{k}$）为：$$ C(n,k) = \\frac{n!}{k!(n-k)!} $$其中!表示阶乘运算，即$n! = n \\times (n-1) \\times (n-2) \\times \\cdots\\times 2 \\times 1$。

二项式系数的性质1. 对称性二项式系数具有对称性，即C(n,k)=C(n,n−k)。

这是因为在组合中选择k个元素和选择n−k个元素是等价的。

2. 递推关系二项式系数满足以下递推关系：C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)这一递推关系可以用来高效地计算二项式系数，简化计算过程。

二项式系数的应用1. 二项式定理二项式系数公式是二项式定理的基础，即：$$ (a+b)^n = \\sum_{k=0}^{n} C(n,k) a^{n-k} b^k $$这个公式描述了一个二项式的幂展开式，其中每一项的系数就是一个二项式系数。

2. 概率论中的应用在概率论中，二项式系数用于描述二项分布的概率质量函数。

例如，在n次独立重复的伯努利试验中，成功的次数为k的概率可以用二项式系数来计算。

3. 组合数学在组合数学中，二项式系数经常用于计算组合数，即从n个元素中选择k个元素的方式数。

总结二项式系数公式是一个重要的数学工具，具有广泛的应用领域和重要的性质。

通过理解二项式系数的定义、性质和应用，我们可以更好地理解代数、概率论和组合数学等领域中的相关概念和定理。

希望本文能够帮助读者更深入地了解二项式系数公式。

高中数学课件-二项式系数的性质

C0n＝ __C__nn____， C1n＝
C__nn_－_1__，…， Ckn＝ _C__nn_－_k__
栏目导引
第一章计数原理
性质
增减性与最大
值
自然语言
二项式系数 Ckn，当
n＋ k<
1时，二项式系数
2
是 ___递__增___的，由对称性知它的后半部分是
___递__减____的．当 n 是偶
栏目导引
第一章计数原理
(3)令 x＝－1，得 32 015＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 014－a2 015①. 令 x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 014＋a2 015②. 由②－①得，－1－32 015＝2(a1＋a3＋…＋a2 015)，所以 a1＋a3＋a5＋…＋a2 015＝－12(1＋32 015)．
栏目导引
第一章计数原理
(4)因为(1－2x)2 015 的展开式中，a0，a2，a4，a6，…，a2 014 大于零，而 a1，a3，a5，a7，…，a2 015 小于零，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 015| ＝(a0＋a2＋a4＋…＋a2 014)－(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015) 令 x＝－1，得 32 015＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 014－a2 015，解得(a0＋a2＋a4＋…＋a2 014)－(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015)＝32 015，即|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 015|＝32 015.
第一章计数原理
2.设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求 (1)a1＋a2＋a3＋a4； (2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2； (3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.

二项式系数性质

二项式系数，或组合数，在数学里表达为：(1 + x)ⁿ展开后x的系数（其中n为自然数）。

从定义可看出二项式系数的值为整数。

二项式系数的性质是对称性和单峰性。

对称性指的是与首末两段“等距离”的两个二项式系数相等。

单峰性是指：当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值。

当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。

一般二项式（x+y)ⁿ的幂可用二项式系数记为广义二项式定理把这结果推广至负数或非整数次幂，此时右式则不再是多项式，而是无穷级数。

二项式系数公式推导：
二项式系数符合等式可以由其公式证出，也可以从其在组合数学的意义推导出来。

如第一式左项表示从n+1件选取k件的方法数，这些方法可分为没有选取第n+1件，即是从其余n件选取k件；和有选取第n+1件，即是从其余n件选取k−1件。

而第二式则是每个从n件选取k件的方法，也可看为选取其余n−k件的方法。

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