二项式系数性质

变式练习：
已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10,
(1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 310
(2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值 1 (310 1)
2
9
例2
已知
x 4
最大，求第五项。
1 x3
n
例题选讲
展开式中只有第10项系数
嘉善中学
liuhuli
X
1
复习回顾:
二项式定理及展开式:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn (n N*)
二项式系数
Cnr (r 0,1, , n)
通项
Tr1 Cnr anrbr
2
二项式系数的性质
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
数之和
4
性质1：对称性
C C m
nm
n
n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
性质2：增减性与最大值
先增后减
➢ Cn
当n是偶数时，中间的一项 取得最大值 ；
2
n
n1
C ➢当n是奇数时，中间的两项 2 n n1 C 和 2 相等，且同时取得
最大值。n
百度文库
11 121 1 33 1 1 4641 1 5 10 10 5 1
赋值法
121
1 33 1
也就是说, (a+b)n的展开式中
1 4641
的各个二项式系数的和为2n
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
8
例题选讲 例1 证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系
数的和等于偶数项的二项式系数的和.
Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 2n1
C10 C11 C20 C21 C22 C30 C31 C32 C33 C40 C41 C42 C43 C44 C50 C51 C52 C53 C54 C55 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66
11 121 1 33 1 1 4641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
1 6 15 20 15 6 1
5
C 0 ,C 1 ,C 2 ,,C n
n
n
n
n
f(r) 20 14
6
O 36
令：f
(r )
C
r n
定义域 r {0，1，，n}
当n= 6时, f (r) C6r
其图象是7个孤立点
r
6
课堂练习:
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是( C ). A 第15项 B 第16项 C 第17项 D 第18项
C125 C1152 C1151 C165
11
小结:
对称性 （1） 二项式系数的三个性质 增减性与最大值 （2） 数学思想：函数思想 各二项式系数的和
a 单调性； b 图象； c 最值。 （3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法
作业: 书P111习题10.4 8,9,10
12
13
C
rn1
C
rn1
C
r n
3
这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉
1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了， 在这本书里，记载着类似下面的表：
一
一一
一 二一
一 三 三一
一 四 六 四一
一 五 十 十 五一
一 六 十五 二十 十五 六 一
杨辉三角: 表中除“1”以外的
每一个数都等于它肩上的两个
2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大的项是( A ). A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项
在(a＋2b)10展开式中，系数最大的项又是什么？
7
性质3：各二项式系数的和
(1 x)n Cn0 Cn1x Cnr xr Cnnxn (n N*)
Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnr ... Cnn ？2n 1 1
n
解：依题意, n 为偶数，且 1 10, n 18,
T5 T41 C148
2
x
184 4
1 x3
4
3060 x4 .
若将“只有第10项”改为“第10项” 呢？
10
例3 已知二项式 ( a + b )15
例题选讲
（1）求二项展开式中的中间项；
（2）比较T3， T7 ， T12 ， T13各项系数的大小，并说明理由。
解：（1） 中间项有两项： T8 C175a8b7 6435a8b7 T9 C185a7b8 6435a7b8
（2）T3， T7 ， T12 ， T13 的系数分别为：
C125 , C165 , C1151 , C1152 C1151 C145 ,C1152 C135
又C125 C135 C145 C165