离散数学第2章第3节

(x)(y) A( x, y) (y)(x) A( x, y)
(x)(y) A( x, y) (y)(x) A( x, y)
(y)(x) A( x, y) (x)(y) A( x, y)
作业
P66: 3,4,5
P72:
2a),4,7
一、前束范式
定义2-6.1 一个合式公式称为前束范式，如果它有如 下形式：(Q1x1)(Q2x2)…(Qkxk)A
化为前束范式
解 第一步否定深入
原式
(x){(y) A( x, y) (x)(y)[ B( x, y) (y)( A( y, x) B( x, y))]} (x){(y) A( x, y) (x)(y)[B( x, y) (y)( A( y, x) B( x, y))]}
Qi(1≤i≤k)为量词或，
xi(i=1,2, …,n)是客体变元，
Aij是原子公式或其否定。
举例
(x)(u)(z)(( P( x) Q( x, y)) ( P(u) Q( y, z)))
是前束析取范式。
定理2-6.3 每一个wffA都可转化为与其等价的前束 析取范式。 证明：略。
(x)(y)((z)(┐P(x,z)∨┐P(y,z))∨(u)Q(x,y,u))
(x)(y)(z)(u)(┐P(x,z)∨┐P(y,z)∨Q(x,y,u))
例题3 把公式
(x){(y) A( x, y) (x)(y)[ B( x, y) (y)( A( y, x) B( x, y))]}
第四步：将否定深入
第五步：将量词推到左边 第六步：化为合取范式
二、前束析取范式
定义2-6.3 一个wffA称为前束析取范式，如果它有 如下形式：
(Q1x1)(Q2x2)…(Qkxk)[(A11∧A12∧…∧A1l1) ∨(A21∧A22∧…∧A2l2) ∨ …∨(Am1∧Am2∧…∧Amlm)]
其中:
一、有关量词消去和添加规则
量词消去规则：
(1)全称量词消去规则：称为全称指定规则，简称US规则
(2)存在量词消去规则：称为存在指定规则，简称ES规则
量词产生规则：
(3)存在量词产生规则：称为存在推广规则，简称EG规则
(4)全称量词产生规则：称为全称推广规则，简称UG规则
命题演算的等价式
P Q P Q
P Q (P Q)
P P F
(x) H ( x, y) (x) H ( x, y) F
2、量词与联结词¬之间的关系 ¬ (x)P(x) (x)¬ P(x) ¬ (x)P(x) (x)¬ P(x)

当B为真时,左右两边都为真;否则, B为假,此时左右两 边都等价于(x)A(x), 证迄.
3、量词扩张/收缩律(2)
(x) A( x) B (x)( A( x) B)
(x) A( x) B (x)( A( x) B)
B (x) A( x) (x)( B A( x))
将约束变元x改名为u， 将约束变元y改名为z，
二、前束合取范式
定义2-6.2 一个wffA称为前束合取范式，如果它有如下 形式： (Q1x1)(Q2x2)…(Qkxk)[(A11∨A12∨…∨A1l1)∧(A21∨A22 ∨…∨A2l2) ∧ …∧(Am1∨Am2∨…∨Amlm)] 其中：
Qi(1≤i≤k)为量词或，
第二步换名
D (x)[ P( x) (z)Q( z, y) (w) R( x, w)]
第三步消去条件联结词
D (x)[( P( x) (z)Q( z, y)) (w) R( x, w)]
第四步将否定深入
D (x)[P( x) (z)Q( z, y)) (w)R( x, w)]
第二步改名，以便把量词提到前面。
(x){(y) A( x, y) (u)(v)[B(u, v) (z)( A( z, u) B(u, z))]}
(x)(y)(u)(v)(z){A( x, y) [B(u, v) ( A( z, u) B(u, z))]}
是前束合取范式
定理2-6.2 每一个wffA都可转化为与其等价的前束合 取范式。 证明：略。
(x)[(y) P( x) (z)Q( z, y) (y) R( x, y)] 例题4 将wffD：
转化为与其等价的前束合取范式。
解 第一步取消多余量词
D (x)[ P( x) (z)Q( z, y) (y) R( x, y)]

谓词逻辑是命题逻辑的进一步深化和发展，谓词演 算的推理方法，可以看作是命题演算推理方法的扩 张。因此命题逻辑的推理理论在谓词逻辑中几乎可 以完全照搬，只不过这时涉及的公式是谓词逻辑的 公式罢了。

在谓词逻辑中，某些前提和结论可能受到量词的约 束，为确立前提和结论之间的内部联系，有必要消 去量词和添加量词，因此正确理解和运用有关量词 规则是谓词逻辑推理理论中十分重要的关键所在。
其中Qi(1≤i≤k)为或, A为不含有量词的谓词公式。

特别地，若谓词公式中无量词，则该公式也看作 是前束范式。 前束范式的特点:所有量词均非否定地出现在公 式最前面，且它的辖域一直延伸到公式之末。

例如， (x)(y)(z)(P(x,y)Q(y,z))
R(x,y)
都是前束范式， 而(x)P(x)(y)Q(y)， (x)(P(x)(y)Q(x,y)) 不是前束范式。
B (x) A( x) (x)(B A( x))
这里A(x)是任意包括个体变元x的谓词公式， B是不包括个体变元x的任意谓词公式。
证明 (x)A(x)B (x)(A(x)B) (B不含x) 证 (x)A(x)B ¬ (x)A(x)∨B (x)¬ A(x)∨B (x)(¬ A(x)∨B) (x)(A(x)B) 条件表达式 量词否定 量词辖域扩张 条件表达式
用分析法证明 (x)A(x)∨(x)B(x)(x)(A(x)∨B(x)) 。 证明 若(x)(A(x)∨B(x))为假, 则必有个体a, 使 A(a)∨B(a)为假; 因此A(a), B(a)皆为假, 所以(x)A(x)和(x)B(x)为假， 即 (x)A(x)∨(x)B(x)为假。 故(x)A(x)∨(x)B(x)(x)(A(x)∨B(x))
第五步将量词推到左边
D (x)(z)(w)[(P( x) Q( z, y)) R( x, w)]
第六步化为合取范式
D(x)(z)(w)[(┐P(x)∨┐R(x,w))∧(┐Q(z,y)∨┐R(x,w))]
求前束合取范式的方法
第一步：消去多余量词
第二步：换名
第三步：消去条件联结词
离 散 数 学
Discrete Mathematics
山东科技大学 信息科学与工程学院
上次课回顾

指导变元、作用域、约束变元、自由变元、闭式
约束变元换名和自由变元代入 有限论域客体变元的枚举



谓词公式赋值、谓词公式等价、永真式、不可满足 式、可满足式 谓词公式的等价式和蕴含式

四、谓词演算的等价式和蕴含式
(x)(u)(z)( P( x) Q( x, y)) ( P(u) Q( y, z))
求前束析取范式的方法
第一步：消去多余量词
第二步：换名
第三步：消去条件联结词
第四步：将否定深入
第五步：将量词推到左边 第六步：化为析取范式
作业
P75: （1）b), （2） b、c)
§2—7 谓词演算的推理理论
(x)(y) A( x, y) (y)(x) A( x, y)
具有两个量词的谓词公式有如下一些蕴含关系：
(x)(y) A( x, y) (y)(x) A( x, y) (y)(x) A( x, y) (x)(y) A( x, y)
(y)(x) A( x, y) (x)(y) A( x, y)
(y)(x) A( x, y)
(y)(x) A( x, y)
(y)(x) A( x, y) (x)(y) A( x, y )
全称量词与存在量词在公式中出现的次序，不能随意更换。 用双向箭头表示等价，单向箭头表示蕴含，见它们之间的关系。
有两个等价关系：
(x)(y) A( x, y) (y)(x) A( x, y)
表 2 ― 1 谓词演算中常用的等价式和蕴含式
6、多个量词的使用
考虑两个量词的情况。更多量词的使用方法与其类似。
对于二元谓词如果不考虑自由变元，可以有以下八种情况。
(x)(y) A( x, y)
(x)(y) A( x, y)
(x)(y) A( x, y) (y)(x) A( x, y )
证明 B(x)A(x)(x)(BA(x)) (B不含x)
证 B(x)A(x) ¬ B∨(x)A(x) (x)(¬ B∨A(x)) (x)(BA(x))
条件表达式 量词辖域扩张 条件表达式
4、量词与命题联结词之间的一些等价式
量词分配律 (x)(A(x)∧B(x))(x)A(x)∧(x)B(x)
xi(i=1,2,
…,n)是客体变元，
Aij是原子公式或其否定。
举例
(x)(u)(z)(( P( x) P(u)) ( P( x) Q( y, z)) (Q( x, y) P(u)) (Q( x, y) Q( y, z)))
(x)(z)(y){[P ( x a) ( z b)] [Q( y) (a b)]}
(x)(A(x)∨B(x))(x)A(x)∨(x)B(x) (x)(A(x)B(x)) (x)A(x)(x)B(x)
5、量词与命题联结词之间的一些蕴含式 (x)A(x)∨(x)B(x)(x)(A(x)∨B(x))
(x)(A(x)∧B(x))(x)A(x)∧(x)B(x) (x)(A(x)B(x))(x)A(x)(x)B(x) (x)(A(x)B(x))(x)A(x)(x)B(x) (x)A(x)(x)B(x)(x)(A(x)B(x))
将量词前面¬的移到量词后面去时，存在量词 改为全称量词，全称量词改为存在量词； 反之，将量词后面的¬移到量词前面去时，也 要做相应的改变。

3、量词扩张/收缩律(1)
这里A(x)是任意包括个体变元x的谓词公式， B是不包括个体变元x的任意谓词公式。
证明
(x)A(x)∨B (x)(A(x)∨B)
1、命题公式的推广

结论：命题演算中的等价公式表和蕴含公式表都 可推广到谓词演算中使用。
谓词演算的等价式
(x)( P( x) Q( x)) (x)(P( x) Q( x))
(x) P( x) (y) R( x, y) ((x)( P( x) (y) R( x, y))
例题4 将wffD： (x)( P( x) Q( x, y)) ((y) P( y) (z)Q( y, z)) 转化为与其等价的前束析取范式。 解
D (x)(P( x) Q( x, y)) ((y) P( y) (z)Q( y, z))
(x)( P( x) Q( x, y)) ((u) P(u) (z)Q( y, z))
定理2.6.1 (前束范式存在定理) 任意谓词公式A都有 与之等价的前束范式。
证明：
前束范式的求取方法
举例Βιβλιοθήκη Baidu
73页 例题1、例题2、例题3
例题2 化公式 (x)(y)((z)(P(x,z)∧P(y,z))(u)Q(x,y,u))为前束范式 解 原公式 (x)(y)(┐(z)(P(x,z)∧P(y,z))∨(u)Q(x,y,u))