【精品专题训练】2021年中考数学抛物线压轴题二次函数最值问题专题训练 含答案与试题解析

2021年中考数学抛物线压轴题二次函数最值问题专题训练一．解答题（共10小题）

1．（2020•青白江区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+√2

2CM的值最小？若存在，请求出这个最

小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2020•日照三模）如图1，点A在x轴上，OA＝4，将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置．

（1）求经过A、O、B三点的抛物线的函数解析式；

（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、O、B三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3 ）如图2，OC＝4，⊙A的半径为2，点M是⊙A上的一个动点，求MC+1

2OM的最

小值．

3．（2019秋•开福区校级期中）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B

两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB 交于点M．

（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；

（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′

（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M

上一动点，求QB'+√2

2QB的最小值．

4．（2019秋•金安区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点M（﹣4，6）和点N（2，﹣6）．

（1）试确定该抛物线的函数表达式；

（2）若该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C

①试判断△ABC的形状，并说明理由；

②在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使PM+PC的值最小？若存在，求出它的最小

值；若不存在，请说明理由．

5．（2019•中原区校级四模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP 为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）

是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+1

2MB的最小值以及此时点M、N的坐标．

6．（2020•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2√3

3x+c与x轴交

于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y=−√3

3

x+√3．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；

（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

7．（2019秋•河北区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，

已知A （﹣1，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，P 为线段BC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，是否存在这样的P 点，使线段PD 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，抛物线的顶点为E ，EF ⊥x 轴于点F ，N 是直线EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴一个动点，请直接写出CN +MN +1

2MB 的最小值以及此时点M 、N 的坐标，直接写出结果不必说明理由．

8．（2020•莫旗一模）如图，二次函数y =−1

2

x 2+32

x +2的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．点P 是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P 的横坐标为x ． （1）写出线段AC ，BC 的长度：AC ＝ ，BC ＝ ； （2）记△BCP 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式；

（3）过点P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，连结AH ，AP ，设AP 与BC 交于点K ，探究：是否存在四边形ACPH 为平行四边形？若存在，请求出PK AK

的值；若不存在，请说明理由，并

求出

PK

AK

的最大值．

9．（2019秋•泰安期中）如图，对称轴x ＝﹣1的抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （2，0），B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣2）， （1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；

（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，

且PE=1

4OD，求点P的坐标；

（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

10．（2020•余干县模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D

的坐标为（1，−8

3），与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和AE

AB

的值．