【精品专题训练】2021年中考数学抛物线压轴题二次函数最值问题专题训练 含答案与试题解析
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2021年中考数学抛物线压轴题二次函数最值问题专题训练一.解答题(共10小题)
1.(2020•青白江区模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(3,0)、B两点,与y轴交于点C(0,3),点B在x轴的负半轴上,且OA=3OB.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点,求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)在线段OC上是否存在一点M,使BM+√2
2CM的值最小?若存在,请求出这个最
小值及对应的M点的坐标;若不存在,请说明理由.
2.(2020•日照三模)如图1,点A在x轴上,OA=4,将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置.
(1)求经过A、O、B三点的抛物线的函数解析式;
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、O、B三点为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3 )如图2,OC=4,⊙A的半径为2,点M是⊙A上的一个动点,求MC+1
2OM的最
小值.
3.(2019秋•开福区校级期中)如图,直线y=x+2与抛物线y=x2﹣2mx+m2+m交于A、B
两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,抛物线的对称轴与直线AB 交于点M.
(1)当四边形CODM是菱形时,求点D的坐标;
(2)若点P为直线OD上一动点,求△APB的面积;′
(3)作点B关于直线MD的对称点B',以点M为圆心,MD为半径作⊙M,点Q是⊙M
上一动点,求QB'+√2
2QB的最小值.
4.(2019秋•金安区校级月考)已知抛物线y=ax2+bx﹣4经过点M(﹣4,6)和点N(2,﹣6).
(1)试确定该抛物线的函数表达式;
(2)若该抛物线与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C
①试判断△ABC的形状,并说明理由;
②在该抛物线的对称轴上是否存在点P,使PM+PC的值最小?若存在,求出它的最小
值;若不存在,请说明理由.
5.(2019•中原区校级四模)在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,P为线段BC上一点,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点D,当△CDP 为等腰三角形时,求点P的坐标;
(3)如图2,抛物线的顶点为E,EF⊥x轴于点F,N是直线EF上一动点,M(m,0)
是x轴一个动点,请直接写出CN+MN+1
2MB的最小值以及此时点M、N的坐标.
6.(2020•武侯区模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+2√3
3x+c与x轴交
于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,经过B,C两点的直线为y=−√3
3
x+√3.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点P为抛物线上的动点,过点P作x轴的垂线,交直线BC于点M,连接PC,若△PCM为直角三角形,求点P的坐标;
(3)当P满足(2)的条件,且点P在直线BC上方的抛物线上时,如图2,将抛物线沿射线BC方向平移,平移后B,P两点的对应点分别为B′,P′,取AB的中点E,连接EB′,EP′,试探究EB'+EP'是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
7.(2019秋•河北区期末)在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B,C,
已知A (﹣1,0),C (0,3). (1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,P 为线段BC 上一动点,过点P 作y 轴的平行线,交抛物线于点D ,是否存在这样的P 点,使线段PD 的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,抛物线的顶点为E ,EF ⊥x 轴于点F ,N 是直线EF 上一动点,M (m ,0)是x 轴一个动点,请直接写出CN +MN +1
2MB 的最小值以及此时点M 、N 的坐标,直接写出结果不必说明理由.
8.(2020•莫旗一模)如图,二次函数y =−1
2
x 2+32
x +2的图象与x 轴交于点A ,B ,与y 轴交于点C .点P 是该函数图象上的动点,且位于第一象限,设点P 的横坐标为x . (1)写出线段AC ,BC 的长度:AC = ,BC = ; (2)记△BCP 的面积为S ,求S 关于x 的函数表达式;
(3)过点P 作PH ⊥BC ,垂足为H ,连结AH ,AP ,设AP 与BC 交于点K ,探究:是否存在四边形ACPH 为平行四边形?若存在,请求出PK AK
的值;若不存在,请说明理由,并
求出
PK
AK
的最大值.
9.(2019秋•泰安期中)如图,对称轴x =﹣1的抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A (2,0),B 两点,与y 轴交于点C (0,﹣2), (1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P是直线BC下方的抛物线上的动点,求△BPC的面积的最大值;
(3)若点P在抛物线对称轴的左侧运动,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,
且PE=1
4OD,求点P的坐标;
(4)在对称轴上是否存在一点M,使△AMC的周长最小.若存在,请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值;若不存在,请说明理由.
10.(2020•余干县模拟)如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c的图象经过点C(0,﹣2),顶点D
的坐标为(1,−8
3),与x轴交于A、B两点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)连接AC,E为直线AC上一点,当△AOC∽△AEB时,求点E的坐标和AE
AB
的值.