流体力学第二版(蔡增基)第三章

我们把流体质点运动的全部空间称为流场。由于流体 是连续介质，所以描述流体运动的各物理量(如速度、加速 度等)均应是空间点的坐标和时间的连续函数。
根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动有两 种不同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange）方法，另一 种是欧拉（Euler）方法。
一、拉格朗日（Lagrange）法
（2）如果流体的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
拉格朗日方法着眼于流体各质点的运动情况，然后通过 综合所有被研究流体质点的运动情况获得整个流体的运动。 这种研究方法，最基本的参数是流体质点的位移。
在某一时刻，任一流体质点的位置可表示为：
x=x (a，b，c，t)
y=y (a，b，c，t)
(3-1)
z=z (a，b，c，t)
式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的
ux=ux (x，y，z，t) uy=uy (x，y，z，t) uz=uz (x，y，z，t) ux，uy，uz表示速度矢量在三个坐标轴上的分量。 x，y，z，t称为欧拉变量。
三、两种方法的比较 拉格朗日法
研究对象是一定质点 表达式复杂
不能直接反映参数的空间分布 拉格朗日观点是重要的
欧拉法
研究对象是空间某固定点或断面 表达式简单
A
A
q v V
A
五、一维、二维和三维流动
一般的流动都是在三维空间的流动，流动参数是x、 y、z三个坐标的函数，在流体力学中又称这种流动为三维 流动。
当我们适当地选择坐标或将流动作某些简化，使其流 动参数在某些情况下，仅是x、y两个坐标的函数，称这种 流动为二维流动。是一个坐标的函数的流动，称为一维流 动。
(3)流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。 (4)流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀 疏的地方，表示该处的流速较小。
流线方程 根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：设ds为流
线上的一微元弧
u为流体质点的流速
流线方程
流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量， u和ds重合。
az

uz t

2z t 2
az (a,b,c,t)
二、欧拉（Euler）法
欧拉法，又称局部法，只着眼于流体经过流场中某空 间点时的运动情况，来研究整个流体的运动。即研究流体 质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。
所以流体质点的流动是空间点坐标（x，y，z）和时间 t的函数，例如：流体质点的三个速度分量可表示为：
§ 3-3流体流动的连续性方程
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。我们 认为流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。在 这个前提下，当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封 闭曲面时，可以得出结论：
（1）若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体 质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化， 以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；
（3）射流 总流的全部边界均无固体边界约束，如喷嘴 出口的流动。
四、流量和平均流速
单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量，以 qv表示。其单位为m3/s、m3/h等。
单位时间内通过有效截面的流体质量称为质量流量,以 qm表示，其单位为kg/s、t/h等。
由于微元流束有效截面上各点的流速v是相等的，所以 通过微元流束有效截面积为dA的体积流量dqv和质量流量dqm 分别为：
dqv=vdA dqm=ρvdA
四、流量和平均流速
由于流束是由无限多的微元流束组成的，所以通过流束 有效截面面积为A的流体体积流量和质量流量分别为
q vdA V
qm vdA
A
A
以上计算必须先找出微元流束的速度v在整个流束有效
截面上的分布规律，这在大部分工程问题中是很难确定的。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
一、拉格朗日（Lagrange）法
ux

x t

ux (a,b,c,t)
y uy t uy (a,b,c,t)
z uz t uz (a,b,c,t)
ax

ux t

2x t 2
ax(a,b,c,t)
ay

u y t

2 y t 2
ay (a,b,c,t)
无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到 的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流 流动分为三类：
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
二、迹线与流线
图 3-2 流线的概念
流线是某一瞬时在流场 中所作的反映流动方向的一 条曲线，在这条曲线上的各 流体质点的速度方向都与该 曲线相切，因此流线是同一 时刻，不同流体质点所组成 的曲线，如图所示。
流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流线，可 以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向，由流线的密 集程度，也可以判定出速度的大小。流线的引入是欧拉法 的研究特点。
三、流管、流束和总流 流管以内的流体称为流束。当流束的横截面积趋近于零
时，则流束达到它的极限——流线。 在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。 流线相互平行时，有效截面是平面。流线不平行时，有
效截面是曲面，如图所示。
图3-4 有效截面
有效截面面积为无限小的流束和流管，称为微元流束和 微元流管。在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可 认为是相同的。
即为一维流动积分形式总流的连续性方程。设 v1 和
v2 是总流两个有效截面l和2上的平均流速，总流连续性方
程可写成
1v1A1 2v2A2
表示当流动为可压缩流体定常流动时，沿流动方向的
质量流量为一个常数。
对不可压缩均质流体密度为常数，则有 v1A1 v2A2
v1A1 v2A2
该式说明一维总流在定常流动条件下，沿流动方向的体 积流量为一个常数，平均流速与有效截面面积成反比，即 有效截面面积大的地方平均流速小，有效截面面积小的地 方平均流速大。
a、b、c代表不同的流体质点。
一、拉格朗日（Lagrange）法
对于某个确定的流体质点，a、b、c为常数，而t为变量， 则得到流体质点的运动规律。
对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得 到某一时刻不同流体质点的位置分布。a、b、c、t称为拉格 朗日变量。
将式（3-1）对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体 质点的速度和加速度为：
有
dx
dy
dz
ux
uy
uz
三、流管、流束和总流 在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上
各点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管。 如图所示。
L
图 3-3 流管和流束 因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性。 由于流线不能相交，流体质点不能穿过流管流入或流出。流 管就像固体管子一样，将流体限制在管内流动。
四、流量和平均流速
在工程计算中为了方便起见，引入平均流速的概念。 平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都 以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流 量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。
若以 v表示平均流速，按其定义可得：
q vdA v dA vA V
ux=ux (x，y，z) uy=uy (x，y，z) uz=uz (x，y，z) 定常流动与非定常流动比较，少了时间变量t，研究问题 要简单的多。实际工程中，不少非定常流动问题的运动要素 随时间变化很缓慢，近似作为定常流动来处理。以后的研究， 主要针对恒定流动。
二、迹线与流线
迹线是流场中某一质点运动的轨迹。 例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的 途径就是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。 流场中所有的流体质点都有自己的迹线，迹线是流体 运动的一种几何表示，可以用它来直观形象地分析流体的 运动，清楚地看出质点的运动情况。迹线表示同一流体质 点在不同时刻所形成的曲线，迹线的研究属于拉格朗日法 的内容。
v1 、v2—为dA1和dA2上的流速，也称为真实流速，m/s； ρ1、ρ2—为截面处的流体密度，kg/m3。
对于由无限多微元流束所组成的总流（例如流体在管 道中的流动），积分得
1v1dA1 2v2dA2 vdA 常数
A1
A2
A
A1 和A2—为总流1和2两个有效截面的面积。
流线的基本特性
(1)在定常流动时，流场中各流体质点的速度不随时间 变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流 线和迹线相重合。
(2)通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般 情况流线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点 将同时有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零的 点，流线可以相交。速度为零的点称驻点。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 有效截面的流体质量都应相等， 即