转动惯量的测定

转动惯量的测定
【实验目的】
（1）学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法。

（2）观测刚体的转动惯量随其质量、质量分布及转轴不同而改变的情况，验证平行轴定理。

（3）学会使用通用电脑计时器来测量时间。

【实验原理】
1. 恒力矩转动法测定转动惯量的原理
根据刚体的定轴转动定律有
M ＝J β （3.3.1）
只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M 及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，则可计算出该刚体的转动惯量J 。

假设以某初始角速度转动的空实验台转动惯量为J 1，未加砝码时，在摩擦阻力矩M
的作用下，实验台将以角加速度β1作匀减速运动，即：
－M μ＝J 1β1 （3.3.2）
将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的实验台塔轮上，并让砝码下落，系统在恒外力作用下将作匀加速运动。

若砝码的加速度为a ，则细线所受张力为()T m g a =-。

若此时实验台的角加速度为β2，则有a ＝R β2，细线施加给实验台的力矩为2()TR m g R R β=-，此时有：
2μ12()m g R R M J ββ--= （3.3.3） 将式（3.3.2）、（3.3.3）两式联立消去M μ后，可得：
2121
()mR g R J βββ-=- （3.3.4） 同理，若在实验台上加上被测物件后系统的转动惯量为J 2，加砝码前后的角加速度分别为β3与β4，则有
4243()mR g R J βββ-=- （3.3.5） 由转动惯量的叠加原理可知，被测试件的转动惯量J 3为：
321J J J =- （3.3.6）
测得R 及β1、β2、β3、β4，由式（3.3.4），（3.3.5），（3.3.6）即可计算被测试件的转动惯量。

2. 刚体转动角加速度β的测量
实验中采用XD-GLY 通用电脑计时器，记录下遮挡次数和相应的时间。

固定在载物台圆周边缘的两遮光片，每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门，即产生一个计数光电脉冲。

计数器记录下遮挡次数和从第一次遮挡光到其后各次扫光所经历的时间，即是第二次扫光时，计时器计下的时间t 1是从第一次挡光开始载物台转动了π弧度所经历的时间；即第三次扫光时，计时器计下的时间t 2是从第一次挡光开始载物台转动了2π弧度所经历的时间…；第k+1次扫光，计时器计下的时间t k 是从第一次挡光开始载物台转动了k π弧度所经历的时间。

初始角速度为0，则对匀变速运动，测量得到任意两组数据（k m ，t m ）
、（k n ，t n ），相应的角位移m ，
n 分别为： 201
π2
m m m m k t t θωβ==+⨯ （3.3.7） 201
π2
n n n n k t t θωβ==+⨯ （3.3.8） 从式（3.3.7）、（3.3.8）两式中消去0，可得：
222π()n m m n n m m n
k t k t t t t t β-=- （3.3.9） 由式（3.3.9）即可计算角加速度。

3. 平行轴定理
理论分析表明，质量为m 的物体围绕通过质心O 的转轴转动时，其转动惯量J 0最小。

当转轴平行移动距离d 后，围绕新转轴转动的转动惯量为
20J J md =+ （3.3.10）
【实验仪器】
XD-GLY 转动惯量实验仪及测试件，XD-GLY 通用电脑计时器。

1. XD-GLY 转动惯量实验仪
转动惯量实验仪如图3.3.1所示，绕线塔轮通过特制的轴承安装在主轴上，使转动时的摩擦力矩很小。

塔轮半径为15 mm ，20 mm ，25 mm ，30 mm ，35 mm 共五挡，可与大约6 g 的砝码托及一个5 g 、四个10 g 的砝码组合，产生大小不同的力矩。

转动惯量实验仪
图3.3.1 载物台用螺钉与塔轮连接在一起，随塔轮转动。

被测试件有一个圆盘，一个圆环，两个圆柱；试件上标有几何尺寸及质量，便于将转动惯量的测试值与理论计算值比较。

圆柱试件可插入载物台上的不同孔，这些孔离转轴中心的距离分别为50 mm ，75 mm ，100 mm ，便于验证平行轴定理。

铝制小滑轮的转动惯量与实验台相比可忽略不计。

两只光电门一只作测量，一只作备用，可通过电脑计时器上的按钮方便地切换。

2. XD-GLY 通用电脑计时器（详细参数参见用户手册）
【实验内容】
1. 实验准备
利用XD-GLY 转动惯量实验仪基座上的三颗调平螺钉，将仪器调平。

滑轮支架固定在实验台面边缘，调整滑轮高度及方位，使滑轮槽与选取的绕线塔轮槽等高度，方位相互垂直，
如图3.3.1所示。

通用电脑计时器上二路光电门的开关置于一路接通，另一路断开作备用状态。

本实验中要求设置一个光电脉冲记数一次，否则式（3.3.9）中的系数要相应改变。

一次测量记录大约8组数据（砝码下落距离有限）。

2. 测量并计算实验台的转动惯量J 1
（1）测量1：接通电脑计时器电源开关（或按“复位”键）
，进入设置状态，不用改变默认值；用手拨动载物台，使实验台有一初始转速并在摩擦阻力矩作用下作匀减速运动；按“OK ”键，仪器开始测量光电脉冲次数（正比于角位移）及相应的时间；显示8组测量数据后再次按“OK ”键，仪器进入查阅状态，将数据记入表3.3.1中；采用公式（3.3.9）逐项计算。

（2）测量2：选择塔轮半径R 及砝码质量，将一端打结的细线沿塔轮上开的细缝塞入，并且不重叠地密绕于所选定半径的轮上，细线另一端通过滑轮后连接砝码托上的挂钩，用手将载物台稳住；按“复位”键，进入设置状态后再按“OK ”键，使计时器进入工作等待状态；释放载物台，砝码重力产生的恒力矩使实验台产生匀加速转动。

将数据记入表 3.3.1中，采用逐项计算处理数据。

3. 测量放上试样的实验台转动惯量J 2，计算试样的转动惯量J 3并与理论值比较 将待测试样放于载物台并使试样几何中心轴与转轴中心重合，按测量J 1的同样方法，可分别测量未加砝码的角加速度3和加砝码后的角加速度4，数据记入自行设计表格中（可参见3.3.1表），采用逐项计算处理数据。

由式（3.3.5），（3.3.6）分别计算J 2和试样的转动惯量Ｊ3。

圆盘、圆柱绕几何中心轴转动的转动惯量理论值公式为
2
12J mR =
（3.3.11）
圆环绕几何中心轴的转动惯量理论值公式为
22()2m J R R =+外内
（3.3.12）
4. 验证平行轴定理
将两圆柱体对称插入载物台上中心距离为d 的圆孔中，测量并计算两圆柱体在此位置的转动惯量。

将数据自行设计表格中（可参见3.3.1表），采用逐项计算处理数据。

将测量值与由式（3.3.10）、（3.3.11）计算值比较，若一致即验证了平行轴定理。