《随机信号分析》第3章 随机过程的线性变换
随机信号分析 第三章平稳随机过程(2)
- -
f(t1 ) X (t2 t1 ) f (t2 )dt1dt2 0 R
3.2.2平稳随机过程互相关函数的性质
性质1:R XY (0)=R YX (0),R XY (0)表随机过程在同一时刻的相关性
性质2：一般情况下，互相关 函数是非奇非偶的函数 RXY ( ) RYX ( ).
如果两个复随机过程各 自平稳且联合平稳，则 RZ1Z 2 (t , t ) RZ1Z 2 ( ) CZ1Z 2 (t , t ) CZ1Z 2 ( )
如果CZ1Z 2 (t , t ) 0, 则称Z1 (t )与Z 2 (t )为不相关过程。 如果RZ1Z 2 (t , t ) 0，则称Z1 (t )与Z 2 (t )为正交过程。
R XY ( )=E[X(t)Y(t+ )]=E[Y(t+ )X(t)]=R YX (- )
性质3 : 互相关函数幅度平方满 | RXY ( ) |2 RX (0) RY (0) 足： 互协方差函数满足： XY ( ) |2 C X (0)CY (0) 2 X 2Y |C
(2)相关时间 | X ( 0 )|=0.05,的时间为相关时间 0。
（3）互相关系数 定义X(t)和Y(t) 的互相关系数为 PXY ( ) R XY ( ) XY ( )= = 1 R X (0)R Y (0) X Y
3.6复随机过程
3.6.1复随机变量 如果X和Y分别是实随机变量，定义Z＝X＋jY 为复随机变量。 复随机变量的数学期望在一般情况下是复数： mZ=E[Z]=E[X]+j E[Y]=mX+jmY
方差则为
2 Z＝E[| ( X mX ) j (Y mY ) |2 ] D[ X ] D[Y ]
《随机信号分析与处理》教学大纲
《随机信号分析与处理》教学⼤纲《随机信号分析与处理》教学⼤纲（执笔⼈：罗鹏飞教授学院：电⼦科学与⼯程学院）课程编号：070504209英⽂名称：Random Signal Analysis and Processing预修课程：概率论与数理统计、信号与系统、数字信号处理学时安排：60学时，其中讲授54学时，实践6学时学分：3⼀、课程概述（⼀）课程性质地位本课程是电⼦⼯程、通信⼯程专业的⼀门学科基础课程。
该课程系统地介绍随机信号的基本概念、随机信号的统计特性分析⽅法以及随机信号通过系统的分析⽅法；介绍信号检测、估计、滤波等信号处理理论的基本原理和信息提取⽅法。
其⽬的是使学⽣通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理的基本概念、基本原理和基本⽅法，培养学⽣运⽤随机信号分析与处理的理论解决⼯程实际问题的能⼒，提⾼综合素质，为后续课程的学习打下必要的理论基础。
本课程是电⼦信息技术核⼼理论基础。
电⼦信息系统中的关键技术是信息获取、信息传输、信息处理，这些技术的理论基础就是随机信号的分析、检测、估计、滤波等理论，这正是本课程的主要内容。
因此，本课程内容是电⼦信息类应⽤型⼈才知识结构中不可或缺的必备知识。
⼆、课程⽬标（⼀）知识与技能通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理基本概念和基本分析⽅法。
内容包括：1.理解和掌握随机过程基本概念和统计描述；2.掌握随机过程通过线性和⾮线性系统分析⽅法3.理解和掌握典型随机过程的特点及分析⽅法；4.掌握参数估计的概念、规则和性能分析⽅法；5.掌握信号检测的概念、规则和性能分析⽅法；6.掌握⾼斯⽩噪声中最佳检测器的结构和性能分析。
通过本课程的学习，要达到的能⼒⽬标是：1.具有正确地理解、阐述、解释⽣活中的随机现象的能⼒，即培养统计思维能⼒；2.运⽤概率、统计的数学⽅法和计算机⽅法分析和处理随机信号的能⼒；3.初步具备雷达、通信、导航等技术领域的信号处理系统的分析、设计、仿真的科学研究能⼒；4.培养⾃主学习能⼒；5.培养技术交流能⼒（包括论⽂写作和⼝头表达）；6.培养协作学习的能⼒；（⼆）过程与⽅法依托“理论、实践、第⼆课堂”三个基本教学平台，通过课堂教学、概念测试、课堂研讨、案例研究、作业、实验、课程论⽂、⽹络教学等多种教学形式，采⽤研究型、案例式、互动研讨、基于团队学习、基于MATLAB的教学以及基于多媒体的教学等多种教学⽅法和⼿段，使学⽣加深对随机信号分析与处理的基本概念、基本原理以及应⽤的理解，并使学⽣通过⾃主学习、⼩组作业、案例研究、实验、课题论⽂等主动学习形式，培养⾃学能⼒和协同学习的能⼒，使学⽣不仅获得知识、综合素质得到提⾼。
第06讲_随机过程的线性变换1
变换的基本概念和基本定理变换的基本概念和基本定理变换的基本概念和基本定理变换的基本概念和基本定理变换的基本概念和基本定理证明一：变换的基本概念和基本定理证明二：变换的基本概念和基本定理随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析变换的基本概念和基本定理d变换的基本概念和基本定理和()X t变换的基本概念和基本定理=如果为平稳随机过程，则：()X t ()0Y m t 22()()()(),()X XY X XY Y dR dR d R R R d d d ττττττττ=−==− 1212121212(,)()()()()()X X X X XR t t R t t dR t t t t dR t t dR τ∂∂−−∂−−==⋅=−=−证明：()()t t d t t t d t t d τ∂∂−∂−变换的基本概念和基本定理由，得由，得证明：()()XY XY R G τω⇔()()X X dR j G d τωωτ−⇔−()()Y Y R G τω⇔222()()X X d R G d τωωτ−⇔(0)0XY R =证明：1212121121(,)()()()()()()X X X XY YX R t t dR t t t t dR R R t d t t t d ττττ∂−∂−−===⋅=∂−∂因此()()XY XY R R ττ−=−(0)0XY R =得14变换的基本概念和基本定理随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析如果输入随机过程通过线性系统分析如果输入随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析。
随机信号分析第三章new
因而，我们根据定义式，求得过程X (t) 的均值，自相关函数和均 方值分别为
mX (t ) E[ X (t )] E[ cos(0t )]
2 0
1 cos(0t ) d 0 2
过程X( t )的均值为“0”（常数），
R X (t1 , t 2 ) R X (t , t ) E[ X (t ) X (t )] E[ cos( 0 t ) cos( 0 (t ) )]
1 x(t ) x(t ) Rx ( ) lim T 2T
T
T
x(t ) x(t ) dt f ( )
其结果 f ( ) 是个确定的时间函数。
若对随机过程 X ( , t ) 求时间自相关，则
X (t ) X (t ) X (t ) X (t ) RX ( ) 1 T 1 lim T X (t ) X (t )dt Tlim 2T T 2T f ( , )
例3.1 设随机过程 X (t ) cos(0t )
式中， , 0 皆为常数， 是在 (0,2 )上均匀分布的随机变量。
试问： X( t )是否是平稳随机过程？为什么？ 解：由题意可知，随机变量 的概率密度为
1 / 2 , f ( ) 0,
0 2 其他
1
说明
要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳? 是很困难的 一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在 时间进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它 在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段 上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为 是平稳过程。 一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的 平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题
随机过程的线性变换
∞
s = σ + jω
Y (s ) = H (s )X (s )
Y (s) bm s m + bm−1s m−1 + "+ b1s + b0 H (s) = = X (s) an s n + an−1s n−1 + "+ a1s + a0
lim h (t ) = 0
t→ ∞
(2.1-10) (2.1-11)
将式(2.1-8)中的积分上,下限扩大至 无穷大有：
y(t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ
∞ −∞
或记作 (2.1-14) y (t ) = h(t ) ⊗ x(t ) 对于时不变线性系统，还可采用频域分析法。 即拉普拉斯（Laplace）变换。
(2.1-3) (2.1-4) (2.1-5)
比例性：
L [ax (t )] = aL [x 1 (t )]
若对任意时刻 t 0 ，都有：
y (t + t 0 ) = L[x (t + t 0 )]
则称此系统为时不变线性系统。
随机信号分析课件
取计时起点 t 0 = 0 ，如果 t < 0 时系统的 输入信号 x (t ) = 0 ，有输出信号 y (t ) = 0 ，则 这种系统称为因果系统。意即仅当激励加入之 后，才会有响应输出，激励是产生响应的原因， 响应是激励产生的结果，这种特性称为因果性。 可以物理实现的系统都是因果系统，所以因果 系统又称物理可实现系统。反之，非因果系统 不具有因果性，又称物理不可实现系统。
y (t ) = L[x (t )]
(2.1-1) (2.1-2)
随机信号分析基础第三章课后答案
第三章，平稳随机过程的n 维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在统计特征上就是其均值不随时间的变化而变化，mx 不是t 的函数。
同样均方值也应是常数。
（2）二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。
因此平稳过程的自相关函数仅是单变量tao 的函数。
则称他们是联合宽平稳的。
第三章Chapter 3 ==========================================3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。
解：由题意可得:()[]()()002121020222220002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()120212021202021202022212020220210120220222020100222222002010212121221122102122121212212122222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。
随机信号分析第三章
§ 3.1
平稳随机过程及其数字特征
一、平稳随机过程的基本概念
1．严平稳随机过程
一个随机过程X(t), 如果它的n维概率密度(或n维分 布函数)不随时间起点选择的不同而改变，则称X(t)是 严平稳随机过程。
p X ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,..., t n ) p X ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,..., t n )
2 *
则称X(t)为宽平稳过程(或称广义平稳过程) 严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
两个随机过程平稳相依
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
R X Y (t1 , t 2 ) E[ X (t1 )Y (t 2 )] R XY ( ), t 2 t1 ,
(2)平稳过程X（t）的二维概率密度只与t1、 t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。
p X ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) p X ( x1 , x2 ;0, t2 t1 ) p( x1 , x2 ; )
所以与二维分布有关的数字特征仅是τ的函数， 而与t1,t2的本身取值无关
式中
1 x(t ) lim T 2T
x(t )dt
1 x(t ) x(t ) lim T 2T
x(t ) x(t )dt
分别称作X(t) 的时间均值和时间自相关函数。
各态历经过程
若X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性， 则称X(t)是宽各态历经过程。 若X(t)的所有统计平均特性和其样函数所有 相应的时间平均特性以概率为一相等, 则称X(t)为 严遍历过程或窄义遍历过程. 本章仅限于研究宽遍 历过程.如果不加特别说明,遍历过程即指宽遍历过 程. 不难看出,遍历过程必定是平稳过程,但平稳过 程不一定是遍历过程。 对于遍历过程,只要根据其一个样函数,便 可得到其数字特征。
通信原理-第三章 随机信号分析
第三章随机信号分析随机过程平稳随机过程噪声随机过程通过系统3.1 随机过程通信过程就是信号和噪声通过系统的过程。
通信中信号特点：具有不可预知性——随机信号。
通信中噪声特点：具有不确定性——随机噪声。
统计学上：随机过程。
一、基本概念二、统计特性一、基本概念随机变量定义分布函数概率密度函数二维随机变量随机变量的数字特征数学期望方差协方差矩基本概念（续）随机过程设E是随机试验，S={e}是其样本空间，如果对于每一个e∈S，有一个时间t的实函数ξ(e,t) t ∈T与之对应，于是对于所有的e∈S，得到时间t的函数族。
该族时间t的函数称为随机过程，族中每个函数称为这个随机过程的样本函数。
ξ(t)={x(t),x2(t),……,x n(t),……}1x1(t),x2(t),……为样本函数基本概念（续）随机过程的一个实现每一个实现都是一个确定的时间函数，即样本。
随机过程其随机性体现在出现哪一个样本是不确定的。
随机过程没有确定的时间函数，只能从统计角度，用概率分布和数字特征来描述。
基本概念（续）二、统计特性概率分布数学期望方差协方差函数相关函数1.概率分布2.数学期望1[()](,)()E t xf x t dx a t ξ∞−∞==∫物理意义：表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心（平均值）3. 方差D(ξ (t )] = E{ξ (t ) − E[ξ (t )]} = σ (t )2 2物理意义：表示随机过程在某时刻t的取 值（随机变量）相对于该时刻的期望a(t) 的偏离程度4. 自相关函数R(t1 , t2 ) = E[ξ (t1 )ξ (t2 )] = ∫∞ −∞ −∞ 1 2 2∫∞x x f ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2物理意义：表示随机过程在两个时刻的 取值的关联程度， ξ(t)变化越平缓， 两个时刻取值的相关性越大，R值越大5.自协方差函数B(t1 , t2 ) = E{[ξ (t1 ) − a(t1 )][ξ (t2 ) − a(t2 )]} =∫ ∫−∞∞f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) dx1dx2 x1 − a ( t1 ) ⎤ x2 − a ( t2 ) ⎤ ⎡ ⎡ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −∞∞物理意义：表示随机过程在两个时刻间 的线性依从关系6.互协方差及互相关函数Bξη (t1 , t2 ) = E{[ξ (t1 ) − a (t1 )][η (t2 ) − a (t2 )]}Rξη (t1 , t2 ) = E[ξ (t1 )η (t2 )] = ∫∞−∞ −∞∫∞x1 y 2 f 2 ( x1 , y 2 ; t1 , t2 )dx1dy 23.2 平稳随机过程 定义 各态历经性 自相关函数 功率谱密度一、定义若随机过程的n维概率分布函数Fn ()和n维概 率密度函数fn ()与时间起点无关，则为平稳随 机过程 严平稳过程，狭义平稳过程f n ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t2 ,..., tn ) = f n ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 + τ , t2 + τ ,..., tn + τ )定义（续）a (t)Æa; σ2(t)Æ σ2; R(t1,t2)ÆR(τ) 一维分布与t无关： 二维分布只与τ有关 统计特性与时间起点无关 依据数字特征定义宽平稳过程，广义平稳过程二、各态历经性设x (t)是ξ(t)的任一实现，ξ(t)的统计平均= x (t)的 1 T2 时间平均 a=a = x (t ) dtlim T ∫T →∞−T2σ =σ22=lim ∫T →∞T →∞1 TT2 2−T[ x (t ) − a ] 2 dtR (τ ) = R (τ ) = lim1 T∫2 −T 2Tx (t ) x (t + τ ) dt意义 ： 随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能 状态。
第3章随机过程的线性变换
§3.1 变换的基本概念及基本定理
§3.2 随机过程通过线性系统分析 §3.3 限带过程
§3.4 随机序列通过离散线性系统分析 §3.5 最佳线性滤波器 §3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布
1
第三章 随机过程的线性变换
学习目标： 1、理解线性变换的定义； 2、理解线性变换的两个基本定理； 3、掌握线性系统分析的冲激响应法和频谱法； 4、理解噪声等效通能带的概念； 5、掌握最佳线性滤波器的原理；
R
X (t )
C
Y (t )
35
解：RC电路的冲激响应为
(1) 冲激响应法
36
37
(2) 频谱法
X(t)的功率谱为
38
求上式的傅里叶反变换
* 2
30
电路
R
C
H ( )
h(t )
1 t / RC e U (t ) RC
1 1 jRC
jRC 1 jRC
C
R
(t )
1 t / RC e U (t ) RC
L
R
R R j L
R Rt / L e U (t ) L
R
L
j L R jL
(t )
24
•自相关函数
RY (t1 , t2 ) E{Y (t1 )Y (t2 )} h(t1 ) RXY (t1 , t2 )
h(t2 ) RYX (t1 , t2 )
h(t1 ) h(t2 ) RX (t1 , t2 )
若X(t)平稳
RY ( ) h( ) RXY ( ) h( ) RYX ( ) h( ) h( ) RX ( )
第三章 随机信号分析
7
如果F 如果 1(x1, t1)对x1的偏导数存在 对
∂F1 ( x1 , t1 ) = f1 ( x1 , t1 ) ∂x1
则称f X(t)的一维概率密度函数。显然， 则称f1(x1, t1)为X(t)的一维概率密度函数。显然，随机过 程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在 各个孤立时刻的统计特性， 各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取 值之间的内在联系。 值之间的内在联系。 任给两个时刻t ∈T，则随机变量X(t 任给两个时刻t1, t2∈T，则随机变量X(t1)和X(t2)构成一 个二元随机变量{X(t )}， 个二元随机变量{X(t1), X(t2)}，称 F2(x1,x2,t1,t2)=P ｛ X(t1)≤x1,X(t2)≤x2 ｝ 为随机过程X(t) 二维分布函数。 X(t)的 为随机过程X(t)的二维分布函数。
10
2、随机过程的数字特征 、
分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机 过程的统计特性, 但在实际工作中， 过程的统计特性 但在实际工作中，有时不易或不需 求出分布函数和概率密度函数， 求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字 特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。 特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。
RXY ( t1 ,t 2 ) = E X ( t1 ) Y ( t 2 ) =
互协方差函数： 互协方差函数：C XY ( t1 ,t 2 ) = E X ( t1 ) − m X ( t1 ) Y ( ， − mY ( t 2 ) 正态随机过程， 正态随机过程 t 2 )
8
∂ 2 F2 ( x1 , x2 ,t ,t 2 ) = f ( x1 ,,x2 ,t1 ,t 2 ) 如果存在: 2 ∂x1∂x2
周荫清随机过程理论 随机过程的线性变换
1
2
k
X
jk
k
H
jk
e
jk t
1
X j H j e jtd
2
1
Y j e jtdt
2
Y H X
yt ht xt
二、均方微积分
1、极限及性质
✓ 常规极限
lim P
n
Xn X
0
✓ 均方极限
lim E
n
Xn X 2
0
E Xn X 2
P Xn X
RXY (t1, t2 ) RX (t1, t2 ) h(t2 )
RY (t1, t2 ) RX (t1, t2 ) h(t1) h(t2 )
四、随机过程的冲激响应法和频谱法
2、频谱法 ➢ 对于平稳随机过程：
mY (t) mX
h
d
mY
RYX ( ) RX ( ) h( )
RXY ( ) RX ( ) h( )
X
s2
ds2
R t2
aX
t1, s2
ds2
RYX
t1, t2
R t1
aX
s1, t2
ds1
二、均方微积分
5、均方积分 ➢ 随机过程的积分变换
X (t)
t
a ()ds
Y (t)
✓ 协方差
Y
t
t
a
X
s
ds
b b
CY (t1, t2 ) a a CX t1,t2 dt1dt2
a t b
RY
d2
d 2
RX
二、均方微积分
4、均方微分
X (t)
d
➢ 功率谱密度
dt
第三章 随机信号分析
[
]
S X (ω ) = ∫ RX (τ )e jωτ dτ ∞ R(τ ) Pξ (ω ) 1 ∞ jωτ RX (τ ) = ∫∞ S X (ω )e dω 2π
当τ =0时,有 均功率
1 R X (0) = 2π
∞
∫
∞
∞
S X (ω,它表示随机过程的平 )dω
4 高斯(正态)随机过程
– 数字信号:参量的取值有限
2 随机过程的数学描述
随机变量的含义 – 在某个时刻,信号的取值是随机的. 随机过程的定义 – 定义一:随机过程是随机样本函数的集合,表示为
X (t ) = {xi (t )}, i = 1,2, ,其中样本函数 xi (t )称为随机 过程的一次实现. – 定义二:随机过程是随机变量在时间轴上的扩展, X 表示为( x, t ) ,或常用 ) .由此可见,随机过程可以看 X (t 作是不同时刻的多维随机变量
2
2 2 E [ X (t ) ] = σ X (t ) + m X ( t ) 2
物理含义为瞬时平均功率等于瞬时交流功率与直流功率和
2 随机过程的数学描述(续)
随机过程的二维统计特性(对应二维随机变量)
– 相关函数
RX (t1, t2 ) = E[X(t1)X (t2 )] = ∫
∞ ∞ ∞
∫
∞
第三章 随机信号分析
主要内容
1 随机信号的概念 2 随机过程的数学描述 3 平稳随机过程 4 高斯(正态)随机过程
1 随机信号的概念
周期与非周期信号 – 周期信号:满足条件 f (t ) = f (t ± nT ), n = 1,2,
– 非周期信号:有限持续时间的特定时间波形 确知和随机信号 – 确知信号:在任何时刻,取值是唯一确定的 – 随机信号:信号的某个或更多参量的取值是不确定, 不可预测的
随机过程的线性变换
(
)
R X ( ) * h ( ) * h ( )
3.2 随机过程通过线性系统分析
平稳性讨论
对于物理可实现系统，假定输入X(t)平稳,若输入从0时刻 加入(单侧随机信号) 则输出Y(t)非平稳。
t
Y (t) 0 X (t u)h(u)du
t
mY (t) mX
h(u)du
0
3.2 随机过程通过线性系统分析
功率谱：
GX
(
)
N0 0
2
C C
other
相关函数：
RX
(
)
N 0C 2
sin C C
输出功率：
2 X
RX (0)
N0C 2
3.3 限带过程
一、低通过程
RX ()
•理想低通白噪声
c
c
0
低通型限带白噪声的相关函数
随机过程的采样定理：当采样频率等于或大于2倍带宽时，一个 限带平稳随机过程可以用它的一组样本值唯一的表示。
3.2 随机过程通过线性系统分析
一、冲激响应法
例1、设有微分方程描述的线性系统：
dY (t) aY (t) X (t) dt
其中a为常数，系统的起始状态为Y(0)=0，输入X(t)为平稳
随机过程，且 E X (t) ，RX ( ) 2 ( ) ，求输出Y(t)
的统计特性。
3.2 随机过程通过线性系统分析
x(n)
L[.]
y(n)
y(n) x(n) h(n) x(n k)h(k) k
Y(z) X (z)H(z)
3.1 线性系统的基本理论
四、线性变换的基本定理
定理一
EY (t) LEX(t)
第3章 随机信号
R( )e
d
P ( f )
R( ) P ( )
维纳——辛钦定理
3.2.4 随机过程的频谱特性
维纳——辛钦定理是联系频域和时域两种分析方法的基本关 系式。
（1）当τ=0时，对PSD进行积分可以得到平稳过程的总功率
R(0)
P ( f )df
（2）各态历经过程的任一样本的PSD等于过程的PSD。 （3）PSD具有非负性和实偶性：
高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，具有不可预知
性，不能用确切的时间函数描述。 3.1.1、定义 角度1（样本函数）：随机过程 (t)是随机试验全体样本函 数{ x1(t),x2(t),…xn(t) }的集合
角度2（随机变量）：随机过程 (t)是在时间进程中处于不
如果存在
n Fn ( x1，x2， ，xn；t1，t 2， ，tn ) fn ( x1，x2， ，xn；t1，t 2， ，tn ) x1x2 xn
则称其是随机过程 (t)的n维概率密度函数 n越大，对随机过程统计特性的描述就越好。
3.1.3 随机过程的数字特征
PY ( ) 2 Pn ( ) Pn ( )e jT Pn ( )e jT Pn ( )(2 e jT e jT ) 2(1 cosT ) Pn ( )
1、定义 如果随机过程 (t)的任意n维（n =1,2,...）分布均服从正态 分布，则称它为正态过程或高斯过程。 n维正态概率密度函数表示式为：
定义： 设(t)是实平稳随机过程，它的自相关函数为
R( ) E[ ( t ) ( t )]
《随机信号分析与处理》教学大纲
《随机信号分析与处理》教学大纲（执笔人：罗鹏飞教授学院：电子科学与工程学院）课程编号：070504209英文名称：Random Signal Analysis and Processing预修课程：概率论与数理统计、信号与系统、数字信号处理学时安排：60学时，其中讲授54学时，实践6学时学分：3一、课程概述（一）课程性质地位本课程是电子工程、通信工程专业的一门学科基础课程。
该课程系统地介绍随机信号的基本概念、随机信号的统计特性分析方法以及随机信号通过系统的分析方法；介绍信号检测、估计、滤波等信号处理理论的基本原理和信息提取方法。
其目的是使学生通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理的基本概念、基本原理和基本方法，培养学生运用随机信号分析与处理的理论解决工程实际问题的能力，提高综合素质，为后续课程的学习打下必要的理论基础。
本课程是电子信息技术核心理论基础。
电子信息系统中的关键技术是信息获取、信息传输、信息处理，这些技术的理论基础就是随机信号的分析、检测、估计、滤波等理论，这正是本课程的主要内容。
因此，本课程内容是电子信息类应用型人才知识结构中不可或缺的必备知识。
二、课程目标（一）知识与技能通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理基本概念和基本分析方法。
内容包括：1.理解和掌握随机过程基本概念和统计描述；2.掌握随机过程通过线性和非线性系统分析方法3.理解和掌握典型随机过程的特点及分析方法；4.掌握参数估计的概念、规则和性能分析方法；5.掌握信号检测的概念、规则和性能分析方法；6.掌握高斯白噪声中最佳检测器的结构和性能分析。
通过本课程的学习，要达到的能力目标是：1.具有正确地理解、阐述、解释生活中的随机现象的能力，即培养统计思维能力；2.运用概率、统计的数学方法和计算机方法分析和处理随机信号的能力；3.初步具备雷达、通信、导航等技术领域的信号处理系统的分析、设计、仿真的科学研究能力；4.培养自主学习能力；5.培养技术交流能力（包括论文写作和口头表达）；6.培养协作学习的能力；（二）过程与方法依托“理论、实践、第二课堂”三个基本教学平台，通过课堂教学、概念测试、课堂研讨、案例研究、作业、实验、课程论文、网络教学等多种教学形式，采用研究型、案例式、互动研讨、基于团队学习、基于MATLAB的教学以及基于多媒体的教学等多种教学方法和手段，使学生加深对随机信号分析与处理的基本概念、基本原理以及应用的理解，并使学生通过自主学习、小组作业、案例研究、实验、课题论文等主动学习形式，培养自学能力和协同学习的能力，使学生不仅获得知识、综合素质得到提高。
随机信号分析课件第三章全解
1
2
S
X
(
)e
j
d
RX (t,t ) RX ( )
A RX (t,t ) A RX ( ) RX ( )
那么
SX ()
RX
(
)e
j
d
RX
(
)
1
2
S
X
(
)e
j
d
维纳－辛钦定理
平稳随机过程的相关函数和功率谱密度皆为偶函数
SX () 2 0 RX ( ) cosd
T 2T
T
T RXY (t, t)dt
lim 1
E[
X
* X
(T
,
)
X
Y
(T
,
)]d
T 2
2T
互功率谱密度定义为
SX（Y ）＝lim T
1 2T
E
X
* X
(T ,) XY
(T ,)
那么有QXY
=
1
2
-
S XY
d
类似地互功率谱密度定义为
SYX
lim
T
1 2T
E
X
* Y
(T
,
)
X
沿实轴的变化相一致。二者只是符号的一致，各自 的函数形式并不一样。
【例题】
S
X
(
)
10(2 4 10 2
5) 24
用复频率表示功率谱。
解：
SX (s)
SX
(
js)
10(s2 5) s4 10s2 24
jω
10(s 5)(s 5)
(s 2)(s 2)(s 6)(s 6)
第三章随机过程的线性变换NEW随机信号分析与处理
k0 j0
k 0
2rm r2k
k 0
2rm
1 r2
例3：设一个平稳随机序列X(n)的自相关函数为 2 (m) ，线性
系统的单位冲激响应是
h(n) rn n 0,| r |1
求输出Y(n)的自相关函数及功率谱密度。
[解]
H(z)
h(k ) z k
k 0
rk zk
k 0
1 1 rz1 ,|
H (0 )
0
0
H () 2 d
e
0
H ()
2
max
等效原则：理想系统 与实际系统在同一白 噪声激励下的输出平 均功率相等，且理想 系统的增益为实际系 统的最大增益。
性质：
✓ 噪声等效通带只能由线性系统特性确定；
H () 2 d
fe
0
2
H ()
2
max
✓ 对于带通系统，输出平均功率
RY (0) feN0 H (0 ) 2
时域法
变换域方法
微分方程法 冲击响应法 频谱法
系统特 性描述
适用 范围
特点
微分方程和初 始值
h(t)
平稳和非平稳 平稳和非平稳
运算繁琐
h(t)较简单时， 较方便
H( )
平稳 方法简单
时域（冲击响应法）
频域（频谱法）
RXY ( ) h( ) RX ( )
RYX ( ) h( ) RX ( )
h(t1) h(t2 ) RX (t1,t2 )
1. 冲击响应法
X(t)
h(t)
Y(t)
m (t )
X
h(t )
mY (t )
RX (t1, t2 ) RX (t1, t2 )
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0
0
RY(t1, t 2) E[Y (t1),Y (t 2)] E[ t1 X (t1 u)h(u)duY (t 2)] 0
t1 RXY (t1 u, t 2)h(u)du t1 RXY( u)h(u)du
0
0
RY (t1, t 2) t1 t2 RX(t1 u, t 2 v)h(v)h(u)dvdu 00
00
35
3.2 随机过程通过线性系统分析
若X(t)是从t=0加入，则
t
t
Y (t) X (t u)h(u)du mY mX h(u)du
0
0
RXY(t1, t 2) E[ X (t1),Y (t 2)] E[ X (t1) t2 X (t 2 u)h(u)du] 0
t2 RX(t1, t 2 u)h(u)du t2 RX( u)h(u)du ( t1 t 2)
RY (t1 , t2 ) Lt1 • Lt2 [RX (t1 , t2 )]
11
3.1 变换的基本概念和基本定理
由两个定理可知，对于线性变换，输出的 均值和相关函数可以分别由输入的均值和 相关函数确定。
推广，对于线性变换，输出的k阶矩可以 由输入的相应阶矩来确定，如
E[ y(t1) y(t2 ) y(t3 )] Lt1 Lt2 Lt3{E[ X (t1) X (t2 ) X (t3)]}
RY
(
)
2
2
( e | |
e| | )
29
3.2 随机过程通过线性系统分析
频谱法：利用系统的传递函数来分析输出 的统计特性 GXY ( ) H * ( )GX( )
GY ( ) H ( )GXY( )
GY( ) H *( )H ( )GX( ) | H ( ) |2 GX( )
GYX( ) H ( )GX( )
类似地
RYX ( ) h( ) RX ( ) RY ( ) h( ) RYX ( )
23
3.2 随机过程通过线性系统分析
平稳随机过程通过线性系统输入输出相关 函数之间的关系
RX ( )
h( )
RXY ( )
h( )
RY ( )
RX ( )
RYX (t1, t2 )
h( )
h( )
RY ( )
e| | )
34
3.2 随机过程通过线性系统分析
物理可实现系统，即当t<0时，h(t)=0
假定输入X(t)是平稳的，且从 -∞时加入
Y (t) X (t u)h(u)du X (t u)h(u)du
0
mY mX h(u)du 0
RXY(t , t ) E{ X (t )Y (t )}
15
3.1 变换的基本概念和基本定理
随机过程及其导数相关函数示意图
RX (t1, t2 )
RXX (t1, t2 )
t2
t1
RX (t1, t2 )
RX ( )
RXX ( )
GX ( )
j
GXX ( )
j
RX ( )
G X ( )
16
第三章 随机过程的线性变换
3.1 变换的基本概念和基本定理 3.2 随机过程通过线性系统分析 3.3 限带过程 3.5 最佳线性滤波器 3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布
10
3.1 变换的基本概念和基本定理
证明 因为
X (t1 )Y (t ) X (t1 )L[ X (t )] L[ X (t1 )X (t )] E[ X (t1 )Y (t)] E{L[ X (t1 )X (t)]} L{E[ X (t1)X (t)]}
令t=t2，可得 RXY (t1 , t2 ) Lt2 [RX (t1, t2 )] 同理可证 RY (t1 , t2 ) Lt1 [RXY (t1, t2 )] 联合上面两式，得
GY ( ) H * ( )GYX( ) 30
3.2 随机过程通过线性系统分析
例3.4 如例3.2所述，运用频谱法求输出的功率 谱和自相关函数
解 对例3.2所求冲激响应做傅里叶变换，得系统 传输函数
H ( ) eate jtdt 1
0
j
31
3.2 随机过程通过线性系统分析
输入功率谱密度为
综合二式得
RY (t1 , t2 ) h(t1 ) RXY (t1, t2 )=h(t1 ) h(t2 ) RX (t1, t2 )
同理可证
RYX (t1 , t2 ) h(t1 ) RX (t1 , t2 )
RY (t1 , t2 ) h(t2 ) RXY (t1 , t2 )
19
同理
+
RY (t1 , t2 ) - RXY (t1 u, t2 )h(u)du
+
- RXY (t1 t2 u)h(u)du
+
- RXY ( u)h(u)du
即
RY ( ) h( ) RXY ( )
22
3.2 随机过程通过线性系统分析
所以
RY ( ) h( ) h( ) RX ( )
0
e ( u) eudu
e
2 2
2
e
27
3.2 随机过程通过线性系统分析
解（续2）当τ<0时，
RY ( ) RXY ( ) h( )
h( u)RXY (u)du
(
eu
2 2
2
eu ) e ( u)du
2
2
( e
e
)
28
3.2 随机过程通过线性系统分析
解（续3）由于RY(τ)是偶函数，所以
y(t) = T[x(t)] T称为从x(t)到y(t)的变换。
3
3.1 变换的基本概念和基本定理
线性变换 设有任意两个随机变量A1和A2及任意
两个随机过程X1(t)和X2(t)，如果满足
L[ A1 X1 t A2 X2 t ] A1L[X1 t ] A2L[X2 t ]
则称L是线性变换。 对于线性变换L，Y(t)=L[X(t)]，如果
3.1 变换的基本概念和基本定理 3.2 随机过程通过线性系统分析 3.3 限带过程 3.5 最佳线性滤波器 3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布
2
3.1 变换的基本概念和基本定理
普通函数变换 给定一个函数x(t)，按照某种法则T，
指定一个新的函数y(t)，那么，就说y(t)是x(t) 经过变换T后的结果。记为
7
3.1 变换的基本概念和基本定理
证明(利用大数定理)
设第i次试验得样本函数xi(t)，输出端yi(t)
yi (t ) L[ xi (t )]
Y(t)的样本均值
1 Y (t ) n [ y1(t) y2(t) yn(t)]
1 n
{L[ x1(t)]
L[ x2(t)]
L[ xn(t )]}
12
3.1 变换的基本概念和基本定理
例3.1 随机过程导数的统计特性。
设
，，
很容易证明，导数是一种线性变换， 成X(t)经过微分变换后的输出
X(t) d dt
可看
13
3.1 变换的基本概念和基本定理
例3.1（续） 均值 即 X(t)和 的互相关函数
14
3.1 变换的基本概念和基本定理
例3.1（续） 自相关函数 如果X(t)为平稳随机过程，则
3.2 随机过程通过线性系统分析
随机过程通过线性系统输入输出相关函数 的关系
RX (t1 , t2 )
h(t2 )
RXY (t1, t2 )
h(t1 )
RX (t1 , t2 )
h(t1 )
RYX (t1, t2 )
h(t2 )
RY (t1,t2 ) RY (t1,t2 )
20
3.2 随机过程通过线性系统分析
E{ X (t ) X (t u)h(u)du} RX( u)h(u)du
0
0
RY(t , t) E[Y (t )Y (t )]
E{ X (t u)h(u)duY (t)} RXY( u)h(u)du
0
0
RY(t , t)
RX( v u)h(u)h(v)dudv
RC
输入与输出的相关函数为
RXY ( ) h( ) RX ( )
0 RX ( u)h(u)du e | u| eudu
0
26
3.2 随机过程通过线性系统分析
解（续1）当τ≥0时，
RXY ( )
e ( u) eudu e
0
当τ<0时，
RXY ( )
e ( u) eudu
17
3.2 随机过程通过线性系统分析
冲激响应法
X(t)
h(t) Y(t)
输出
Y (t) X (t )h( )d h(t) X (t)
均值 mY (t ) h(t ) mX (t ) mX (t )h( )d
若X(t)平稳
mY mX h( )d mX h( ) d mX H (0)
定理2 设Y(t)=L[X(t)]，其中L是线性变换， 则
RXY (t1 , t2 ) Lt2 [RX (t1 , t2 )] RY (t1 , t2 ) Lt1 [RXY (t1 , t2 )] Lt1 • Lt2 [RX (t1 , t2 )]
其中Lt1表示对t1做L变换，Lt2表示对t2做L变 换。
Y (t ) L[ X (t )]
其中ε为任意常数，则称L是线性时不变的。
6
3.1 变换的基本概念和基本定理
线性变换的两个基本定理 定理1 设Y(t)=L[X(t)]，其中L是线性变换，