《随机信号分析》第3章 随机过程的线性变换

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3.2 随机过程通过线性系统分析
输入输出的互相关函数为
RXY (t1 , t2 ) Lt2 [RX (t1 , t2 )] h(t2 ) RX (t1, t2 )
输出的自相关函数为
RY (t1 , t2 ) Lt1 [RXY (t1 , t2 )] h(t1 ) RXY (t1, t2 )
(t ) R e Rt/LU (t )
GY ( ) H * ( )GYX( ) 30
3.2 随机过程通过线性系统分析
例3.4 如例3.2所述，运用频谱法求输出的功率 谱和自相关函数
解 对例3.2所求冲激响应做傅里叶变换，得系统 传输函数
H ( ) eate jtdt 1
0
j
31
3.2 随机过程通过线性系统分析
输入功率谱密度为
解 系统传递函数为
H ( )
1
j
RC
输入X(t)的功率谱为
GX( )
RX( )e j d
2 2 2
33
3.2 随机过程通过线性系统分析
进一步可得
GY( )
GX( ) |
H ( ) |2
2 2 2
2 •2 2
2
2
(
•
2 2 2
•
2 2 2
)
求上式的傅里叶反变换，可得
RY (
)
2
2
( e | |
定理2 设Y(t)=L[X(t)]，其中L是线性变换， 则
RXY (t1 , t2 ) Lt2 [RX (t1 , t2 )] RY (t1 , t2 ) Lt1 [RXY (t1 , t2 )] Lt1 • Lt2 [RX (t1 , t2 )]
其中Lt1表示对t1做L变换，Lt2表示对t2做L变 换。
E{ X (t ) X (t u)h(u)du} RX( u)h(u)du
0
0
RY(t , t) E[Y (t )Y (t )]
E{ X (t u)h(u)duY (t)} RXY( u)h(u)du
0
0
RY(t , t)
RX( v u)h(u)h(v)dudv
类似地
RYX ( ) h( ) RX ( ) RY ( ) h( ) RYX ( )
23
3.2 随机过程通过线性系统分析
平稳随机过程通过线性系统输入输出相关 函数之间的关系
RX ( )
h( )
RXY ( )
h( )
RY ( )
RX ( )
RYX (t1, t2 )
h( )
h( )
RY ( )
y(t) = T[x(t)] T称为从x(t)到y(t)的变换。
3
3.1 变换的基本概念和基本定理
线性变换 设有任意两个随机变量A1和A2及任意
两个随机过程X1(t)和X2(t)，如果满足
L[ A1 X1 t A2 X2 t ] A1L[X1 t ] A2L[X2 t ]
则称L是线性变换。 对于线性变换L，Y(t)=L[X(t)]，如果
7
3.1 变换的基本概念和基本定理
证明(利用大数定理)
设第i次试验得样本函数xi(t)，输出端yi(t)
yi (t ) L[ xi (t )]
Y(t)的样本均值
1 Y (t ) n [ y1(t) y2(t) yn(t)]
1 n
{L[ x1(t)]
L[ x2(t)]
L[ xn(t )]}
24
3.2 随机过程通过线性系统分析
例3.3 设有下图所示的RC电路。假定输入 为零均值的平稳随机过程，且相关函数为 RX(τ)=e-β|τ|，求稳态时输出Y(t)的自相关函 数。
R
X(t)
C
Y(t)
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3.2 随机过程通过线性系统分析
解 RC电路的冲激响应为
h(t ) etU (t )( 1 )
3.2 随机过程通过线性系统分析
随机过程通过线性系统输入输出相关函数 的关系
RX (t1 , t2 )
h(t2 )
RXY (t1, t2 )
h(t1 )
RX (t1 , t2 )
h(t1 )
RYX (t1, t2 )
h(t2 )
RY (t1,t2 ) RY (t1,t2 )
20
3.2 随机过程通过线性系统分析
综合二式得
RY (t1 , t2 ) h(t1 ) RXY (t1, t2 )=h(t1 ) h(t2 ) RX (t1, t2 )
同理可证
RYX (t1 , t2 ) h(t1 ) RX (t1 , t2 )
RY (t1 , t2 ) h(t2 ) RXY (t1 , t2 )
19
e| | )
34
3.2 随机过程通过线性系统分析
物理可实现系统，即当t<0时，h(t)=0
假定输入X(t)是平稳的，且从 -∞时加入
Y (t) X (t u)h(u)du X (t u)h(u)du
0
mY mX h(u)du 0
RXY(t , t ) E{ X (t )Y (t )}
第三章 随机过程的线性变换
在电子技术中，通常需要将信号进行一系 列的变换，才能提取到有用的信息。
变换可以看作为信号通过系统，所以随机 过程的变换就是分析随机过程通过系统后 的响应。
系统一般分为线性系统和非线性系统两大 类，因此随机过程的变换也分为线性变换 和非线性变换两大类。
1
第三章 随机过程的线性变换
1 L{ n [ x1(t ) x2(t ) xn(t )]}
L{ X (t)}
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3.1 变换的基本概念和基本定理
证明（续） 根据大数定理，当n→∞时，有
X (t) E[ X (t)],Y (t) E[Y (t)] 所以
E[Y (t)] L{E[ X (t)]}
9
3.1 变换的基本概念和基本定理
如果X(t)为平稳随机过程，则
+
RXY (t1 , t2 ) - RX (t1 , t2 u)h(u)du
+
- RX (t1 t2 u)h(u)du
+
- RX ( u)h(u)du
其中，τ = t1-t2，即
RXY ( ) h( ) RX ( )
21
3.2 随机过程通过线性系统分析
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3.2 随机过程通过线性系统分析
冲激响应法
X(t)
h(t) Y(t)
输出
Y (t) X (t )h( )d h(t) X (t)
均值 mY (t ) h(t ) mX (t ) mX (t )h( )d
若X(t)平稳
mY mX h( )d mX h( ) d mX H (0)
00
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3.2 随机过程通过线性系统分析
若X(t)是从t=0加入，则
t
t
Y (t) X (t u)h(u)du mY mX h(u)du
0
0
RXY(t1, t 2) E[ X (t1),Y (t 2)] E[ X (t1) t2 X (t 2 u)h(u)du] 0
t2 RX(t1, t 2 u)h(u)du t2 RX( u)h(u)du ( t1 t 2)
同理
+
RY (t1 , t2 ) - RXY (t1 u, t2 )h(u)du
+
- RXY (t1 t2 u)h(u)du
+
- RXY ( u)h(u)du
即
RY ( ) h( ) RXY ( )
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3.2 随机过程通过线性系统分析
所以
RY ( ) h( ) h( ) RX ( )
t1 t2 RX( u v)h(v)h(u)dvdu 00
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3.2 随机过程通过线性系统分析
电路
H(ω)
1
1 j RC
j RC 1 j RC
R
R j L
j L R j L
h(t)
1 et/ RCU (t ) RC
(t ) 1 et/RCU (t )
RC
R e Rt / LU (t ) L
Y (t ) L[ X (t )]
其中ε为任意常数，则称L是线性时不变的。
6
3.1 变换的基本概念和基本定理
线性变换的两个基本定理 定理1 设Y(t)=L[X(t)]，其中L是线性变换，
则
E Y t L E X t
即随机过程经过线性变换后，其输出的数 学期望等于输入的数学期望通过线性变换 后的结果。
RY (t1 , t2 ) Lt1 • Lt2 [RX (t1 , t2 )]
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3.1 变换的基本概念和基本定理
由两个定理可知，对于线性变换，输出的 均值和相关函数可以分别由输入的均值和 相关函数确定。
推广，对于线性变换，输出的k阶矩可以 由输入的相应阶矩来确定，如
E[ y(t1) y(t2 ) y(t3 )] Lt1 Lt2 Lt3{E[ X (t1) X (t2 ) X (t3)]}
RC
输入与输出的相关函数为
RXY ( ) h( ) RX ( )
0 RX ( u)h(u)du e | u| eudu
0
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3.2 随机过程通过线性系统分析
解（续1）当τ≥0时，
RXY ( )
e ( u) eudu e
0
当τ<0时，
RXY ( )
e ( u) eudu
3.1 变换的基本概念和基本定理 3.2 随机过程通过线性系统分析 3.3 限带过程 3.5 最佳线性滤波器 3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布
2
3.1 变换的基本概念和基本定理
普通函数变换 给定一个函数x(t)，按照某种法则T，
指定一个新的函数y(t)，那么，就说y(t)是x(t) 经过变换T后的结果。记为
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3.1 变换的基本概念和基本定理
例3.1 随机过程导数的统计特性。
设
，，
很容易证明，导数是一种线性变换， 成X(t)经过微分变换后的输出
X(t) d dt
可看
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3.1 变换的基本概念和基本定理
例3.1（续） 均值 即 X(t)和 的互相关函数
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3.1 变换的基本概念和基本定理
例3.1（续） 自相关函数 如果X(t)为平稳随机过程，则
0
e ( u) eudu
e
2 2
2
e
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3.2 随机过程通过线性系统分析
解（续2）当τ<0时，
RY ( ) RXY ( ) h( )
h( u)RXY (u)du
(
eu
2 2
2
eu ) e ( u)du
2
2
( e
e
)
28
3.2 随机过程通过线性系统分析
解（续3）由于RY(τ)是偶函数，所以
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3.1 变换的基本概念和基本定理
随机过程及其导数相关函数示意图
RX (t1, t2 )
RXX (t1, t2 )
t2
t1
RX (t1, t2 )
RX ( )
RXX ( )
GX ( )
j
GXX ( )
j
RX ( )
G X ( )
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第三章 随机过程的线性变换
3.1 变换的基本概念和基本定理 3.2 随机过程通过线性系统分析 3.3 限带过程 3.5 最佳线性滤波器 3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布
可得
GX( ) RX( )e j d 2 2 ( )
GY (
)
|
H (
)
|2
GX( )
2 2 2
2
(
)
wenku.baidu.com
2
2
2 2 2
( )
2
2
自相关函数为
RY( ) 1
2
GY ( )e j d
2 2
2
e | |
32
3.2 随机过程通过线性系统分析
例3.5 如例3.3所述，运用频谱法求输出的功率 谱和自相关函数
RY
(
)
2
2
( e | |
e| | )
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3.2 随机过程通过线性系统分析
频谱法：利用系统的传递函数来分析输出 的统计特性 GXY ( ) H * ( )GX( )
GY ( ) H ( )GXY( )
GY( ) H *( )H ( )GX( ) | H ( ) |2 GX( )
GYX( ) H ( )GX( )
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3.1 变换的基本概念和基本定理
证明 因为
X (t1 )Y (t ) X (t1 )L[ X (t )] L[ X (t1 )X (t )] E[ X (t1 )Y (t)] E{L[ X (t1 )X (t)]} L{E[ X (t1)X (t)]}
令t=t2，可得 RXY (t1 , t2 ) Lt2 [RX (t1, t2 )] 同理可证 RY (t1 , t2 ) Lt1 [RXY (t1, t2 )] 联合上面两式，得
0
0
RY(t1, t 2) E[Y (t1),Y (t 2)] E[ t1 X (t1 u)h(u)duY (t 2)] 0
t1 RXY (t1 u, t 2)h(u)du t1 RXY( u)h(u)du
0
0
RY (t1, t 2) t1 t2 RX(t1 u, t 2 v)h(v)h(u)dvdu 00