圆锥曲线综合 切线问题

【例1】 抛物线2y x =上的点到直线24x y -=的最短距离是（ ）

A ．

35

5

B ．

45

5

C ．

135

20

D ．

95

20

【例2】 若曲线22y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则切线l 的方程为（ ）

A ．430x y ++=

B ．490x y +-=

C ．430x y -+=

D ．420x y --=

【例3】 与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程是 ；

【例4】 过点(01)P ，

且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程为_______________________．

【例5】 已知过定点A (2,0)的直线和抛物线2

14

y x =

有且只有一个交点，求满足条件的直线方程．

【例6】 已知圆O ：222x y +=交x 轴于,A B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，离心率为

2

2

的椭圆，其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点，连结PF ，过原点O 作直线PF 的垂

典例分析

板块三.切线问题

线交直线2x =-于点Q ． ⑴求椭圆C 的标准方程；

⑵若点P 的坐标为(1,1)，求证：直线PQ 与圆O 相切．

⑶试探究：当点P 在圆O 上运动时（不与,A B 重合），直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是，请证明；若不是，请说明理由．

【例7】 如图，P 是抛物线C ：2

12

y x =

上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q ．

⑴若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； ⑵若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求ST ST SP

SQ

+

的取值

范围．

【例8】 已知椭圆22

122:1(0)y x C a b a b

+=>>的右顶点为(10)A ，，过1C 的焦点且垂直长轴

的弦长为1．

⑴求椭圆1C 的方程；

⑵设点P 在抛物线22:()C y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处的切线与1C 交于点M ，N ．当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求

h 的最小值．

是双曲线上不同的两个动点．

⑴ 求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程

⑵ 若过点()0,h 的两条直线1l 和2l 与轨迹E 都只有一个交点，且12l l ⊥，求h 的值．

【例10】 已知抛物线的焦点F 在y 轴上，抛物线上一点(,4)A a 到准线的距离是5，过点

F 的直线与抛物线交于,M N 两点，过,M N 两点分别作抛物线的切线，这两条

切线的交点为T ．

⑴求抛物线的标准方程； ⑵求FT MN ⋅的值；

⑶求证：||FT 是||MF 和||NF 的等比中项．

【例11】 已知椭圆()222210x y a b a b

+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的

两条切线，切点分别为,A B ．

⑴（ⅰ）若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ；

（ⅱ）若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=︒，求椭圆离心率e 的取值范围． ⑵设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：

222

2

a b ON

OM

+

为定值．

【例12】 给定椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>，称圆心在原点O ，半径为22a b +的圆是椭

圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为(2,0)F ，其短轴上的一个端点到F 的距离为3．

（I ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；

（II ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，且12,l l 分别交其“准圆”于点,M N ． ⑴当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求12,l l 的方程；

点()2,1P 的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ．

⑴求椭圆C 的方程；

⑵求直线l 的方程以及点M 的坐标；

⑶是否存过点P 的直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，满足2PA PB PM ⋅=？若存在，求出直线1l 的方程；若不存在，请说明理由．

【例14】 已知圆O ：222x y +=交x 轴于,A B 两点，曲线C 是以AB 的椭圆，其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点，连结PF ，过原点O 作直线PF 的垂线交直线2x =-于点Q ． ⑴求椭圆C 的标准方程；

⑵若点P 的坐标为(1,1)，求证：直线PQ 与圆O 相切．

⑶试探究：当点P 在圆O 上运动时（不与,A B 重合），直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是，请证明；若不是，请说明理由．

【例15】 如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为 直线2y p =-上任意一点，过M 引

抛物线的切线，切点分别为A ，B ．

⑴ 求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；

⑵ 已知当M 点的坐标为(22)p -，时，AB =，求此时抛物线的方程； ⑶ 是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．