2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第51讲+空间中的垂直关系和答案

第51讲空间中的垂直关系1．了解空间直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义．2．掌握判断空间直线与平面垂直、平面与平面垂直的方法，能正确判断空间直线与平面垂直、平面与平面垂直．3．掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质．知识梳理1．直线与平面垂直的判定(1)利用定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则此直线与这个平面垂直．(2)判定定理：一条直线与一平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．用符号语言可表示为：m⊂α，n⊂α，m∩n＝A，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.2．直线与平面垂直的性质(1)由直线和平面垂直的定义知：若一条直线垂直于平面α，则这条直线垂直于平面α内的任意一条直线．(2)性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.用符号语言表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.3．两平面垂直的判定(1)利用定义：两个平面相交，若所成的二面角为90°，则称这两个平面互相垂直．(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．用符号语言表示为：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.4．两平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.用符号语言表示为：α⊥β，α∩β＝l，b⊥l，b⊂α，则b⊥β.1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则这一条直线也与另一个平面也垂直．热身练习1．下列命题正确的是(D)①如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；②如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；④如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．A．①②B．①③C．②④D．③④①中两条直线一定要是两相交直线，如果是两平行直线，结论不成立；②中的无数条直线如果是平行直线，结论也不成立；只有③与④才成立．2．下列四个命题：①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两条直线平行；③若直线垂直于平面，则它垂直于平面内的所有直线；④垂直于同一个平面的两条直线平行．其中正确的命题是(A)A．①③④B．①④C．①D．①②③④由三线平行公理知①正确；由直线与平面垂直的定义知③正确；由直线与平面垂直的性质定理知④正确．3．下面命题中：①两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直；②一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直；③一直线与两平面中的一个平行与另一个垂直，则这两个平面垂直．其中正确命题的个数有(D)A．0个B．1个C．2个D．3个①正确，是两个平面垂直的定义；②正确，是两平面垂直的判定定理；③正确，即若a∥α，a⊥β，则α⊥β.证明如下：过a作平面γ使α∩γ＝a′，因为a∥α，所以a∥a′，又a⊥β，所以a′⊥β，又a′⊂α，所以α⊥β，故选D.4．下列两个命题中：①两平面垂直，经过第一个平面上一点垂直于它们的交线的直线必垂直第二个平面；②一平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直．对上述两命题的判断中，正确判断的是(C)A．①、②都正确B．①正确，②不正确C．①不正确，②正确D．①、②都不正确①不正确，当点在交线上时，满足条件，但该直线不一定垂直第二个平面．②正确，即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ. 证明如下：设α∩γ＝a ，在γ内作直线l ⊥a ，则l ⊥α.⎭⎪⎬⎪⎫因为α∥β⇒l ⊥β 又l ⊂γ ⇒β⊥γ.由以上分析可知，选C.5．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则(C)A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n因为α∩β＝l，所以l⊂β.因为n⊥β，所以n⊥l，故选C.线面垂直的判定(2018·北京卷·理节选)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC ＝5，AC＝AA1＝2.求证：AC⊥平面BEF.在高考中，立体几何解答题常常设置两问，第(1)问常证明线面的位置关系，第(2)常考查与体积、距离等有关的计算．两问的条件常常是一同叙述，图形也由同一图形给出，因此，在证明第(1)问时，要根据证明的要求，对条件要进行适当的筛选．在处理后面所选的例题及变式时，也要注意这一点．在三棱柱ABC－A1B1C1中，因为CC1⊥平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以AC⊥EF.因为AB＝BC，所以AC⊥BE，EF∩BE＝E，所以AC⊥平面BEF.(1)证线面垂直的基本方法是利用判定定理，即证明一条直线与平面内的两条相交直线垂直．(2)证明线线垂直时，要注意如下几个方面：①要注意充分利用平面几何的知识，挖掘题中隐含的垂直关系，如正方形、菱形的对角线垂直；等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线垂直于底边；直径所对的圆周角为90°等．②利用计算的方法证明垂直，如给出线段长度，计算满足勾股定理、证明角等于90°等．③利用已知垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视直线与平面垂直的性质和两平面垂直的性质定理．1．四面体ABCD中，AC＝BD，E，F分别是AD，BC的中点，且EF＝22AC，∠BDC＝90°，求证：BD⊥平面ACD.取CD的中点G，连接EG，FG，因为E，F分别是AD，BC的中点，所以EG12AC，FG 12BD.又AC＝BD，所以FG＝12AC，所以在△EFG中，EG2＋FG2＝12AC2＝EF2，所以EG⊥FG，所以BD⊥AC，又∠BDC＝90°，即BD⊥CD，因为AC，CD⊂平面ACD，且AC∩CD＝C，所以BD⊥平面ACD.面面垂直的判定(2018·广州模拟)如图，已知多面体P ABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，P A⊥底面ABCD，ED∥P A，且P A＝2ED＝2.证明：平面P AC⊥平面PCE.连接BD，交AC于点O，设PC的中点为F，连接OF，EF.因为O，F分别为AC，PC的中点，所以OF∥P A，且OF＝12P A，因为DE∥P A，且DE＝12P A，所以OF∥DE，且OF＝DE.所以四边形OFED为平行四边形，所以OD∥EF，即BD∥EF.因为P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以P A⊥BD. 因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC.因为BD∥EF，所以EF⊥平面P AC.因为FE⊂平面PCE，所以平面P AC⊥平面PCE.证明两平面垂直的基本方法是利用平面与平面垂直的判定定理，即证其中一个平面经过另一个平面的垂线．2．(2018·南关区校级期末节选)在平面四边形ACBD(图①)中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′－ABD.当C′D＝2时，求证：平面C′AB⊥平面DAB.当C′D＝2时，取AB的中点O，连接C′O，DO，在Rt△AC′B，Rt△ADB，AB＝2，则C′O＝DO＝1，又因为C′D＝2，所以C′O2＋DO2＝C′D2，即C′O⊥OD，又因为C′O⊥AB，AB∩OD＝O，AB，OD⊂平面ABD，所以C′O⊥平面ABD，又因为C′O⊂平面ABC′，所以平面C′AB⊥平面DAB.线面垂直、面面垂直的性质(2015·广东卷节选)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB.证明：PE⊥FG.在△PCD中，因为E为CD的中点，且PC＝PD，所以PE⊥CD.又因为平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，PE⊂平面PCD，所以PE⊥平面ABCD.又因为FG⊂平面ABCD，所以PE⊥FG.本题着重考查了两平面垂直及直线与平面垂直的性质，从中可进一步体会三种垂直关系的转化及作用．3．(2017·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.1．直线与平面垂直、平面与平面垂直是直线与平面、平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊位置关系的认识，既可从直线和平面、平面与平面所成的角为90°的角度认识，也可从已有的线线垂直、线面垂直关系出发进行推理论证．2．在空间垂直关系中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知图形通过计算证明垂直，也可根据已知的垂直关系证明线线垂直．3．在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”，“一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，使用这些定理时，要特别注意交代这些限制条件．4．垂直关系的论证，常用的思路是由已知想性质，由求证想判定，根据性质的需要作辅助线、面．特别是要会利用特殊多面体的线面关系，如直棱柱、正棱锥等多面体的线面关系为已知条件，进行证明．5．空间垂直关系之间的转化是立体几何中证明垂直关系的常用思路，三种垂直关系的转化可结合下面的框图进行记忆．线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直。