卵形曲线计算(1)
道路卵形回旋曲线任意点坐标及方位角计算方法
道路卵形盘旋曲线任意点坐标及方位角计算方法时间:2021-01-25 10:18:27 来源:本站作者:叶松林我要投稿我要收藏投稿指南【摘要】本文提出了卵形曲线中缓和曲线段上点位坐标计算方案，推导了其计算过程及公式，并附实例。
对始于高等级道路的平面卵形曲线的测设有重要的指导作用。
高等级公路，特别是高速公路的平面线形设计形式很多，但归根结底，它们都由直线、圆和缓和曲线 ( 我国?公路道路设计标准?中规定盘旋线或称菲涅尔螺旋线为缓和曲线线形 ) 等公路平面线形要素组合而成。
各种平面线形设计形式，如根本形、卵形、 S 形、 C 形等等，对高速公路更加适应汽车转弯时的行车轨迹，消除曲率突变，增进线形美观及行车舒适感、安全感都有极其重要的意义，但同时，也使曲线计算及野外测设更为复杂。
本文针对在高速公路设计实际中出现的卵形曲线，推导了缓和曲线段点位坐标计算方法及公式，为现场测设人员提供了有效的计算方案和测设指导。
一、盘旋线的根本特征及坐标计算盘旋线上，任意一点的曲率半径ρ 与该点至曲线起点的曲线长 l 之积为一常数 ( 图 1) 即ρl =A2(1)或式中， A 2 为盘旋曲线常数，表征盘旋曲线曲率变化缓急程度的量，称 A 为盘旋曲线参数。
图 11. 盘旋曲线上任意一点坐标计算由图 1( 曲线右旋 ) ，取盘旋线的起始点 ZH 处的切线方向为 x 轴，法线方向为 y 轴，任意一点的切线方向方位角为缓和曲线角β 。
在缓和曲线上对任意一点 P 取微分dl=ρdβdx=dlcosβdy=dlsinβ考虑式 (1) 对β 或 l 在区间 [0 ，β ］或 [0 ， l ］上积分后有以下关系式成立l 2 ＝ 2A 2 β(2)(3)(4)或者(5)(6)对于公路平面线形的根本形，其缓和曲线始于直线终于圆曲线，故缓和曲线的曲率半径ρ 变化于∞ ～ R ( 圆曲半径 ) 。
设缓和曲线段长度为 l s, 那么(7)(8)2. 盘旋线的几何要素见图 1 ，盘旋线的几何要素计算公式如下：任意点 P 处的曲率半径 ( 由式 (1) 和式 (2))(9)P 点的盘旋曲线长(10)P 点的缓和曲线角 ( 切线方位角，由 (9) 式 )(11)上面导出了当参数分别为β 和 l 时的右旋缓和曲线上任一点的坐标和几何要素公式。
道路卵形曲线上点坐标的严密算法
Ｙ ２ ＝ Ｌ ｓ １ ／ ２ ／ Ｃ １ Ｊ 一
： Ｌ ｑ ／ ２ ／ Ｃ １ ｝ （ ５ ）
作者简介 ：王兵 （ １ ９ ９ ０年 ２月），男 ，汉，贵州湄潭 ，本科，测绘，贵州地矿测绘院
ｙ ２ ） 与Ｂ 、ｐ 即可求 得卵形线 Ｙ Ｈ１ 一 Ｈ Ｙ ２ 转角为 ｐ 、弦 ￣ ｔ ｆ ｌ — Ｈ Ｙ ２的长度 ｓ以 及弦 Ｙ Ｈ １ 一 Ｈ Ｙ ２ 与导线 Ｊ Ｄ Ｉ － Ｊ Ｄ ２（ 即独立坐标系中 Ｙ Ｈ Ｉ 处切线 ）的夹角 ８，再根 据不对称道路平面曲线的计算方法【 ２ ］ 可求得卵形 曲线要素 （ 切线增长 ｑ 、圆心 内移 值Ｐ 、切线长 Ｔ等 ） 。
１ ． １ 卵形 曲线要素解析
Ｕ 刖 吾
道路平 曲线设计 中，不可避免地会运用到 了卵形 曲线 ，其要素 （ 转角 １ ３ 、切
线增 长 ｑ 、圆心内移值 Ｐ 、 切线 长 Ｔ等 ） 以及卵形线上任意点 高斯坐标 的计算是道
路 平曲线设计与测设 过程中的难点 ，有关文献 给出的计算方法有利用复化 辛普 森 公 式计算ｎ】 、利用双交点法计算等 ，双交点 法是将卵形线分为长度相等 的两段分 别看作等长完 整缓和曲线来进行解算 ，为一种近似算法 ，存在着误差 较大或未能 求 解卵形 曲线要 素的不足。本文给 出了一种补 全卵形线后利用几何性质将 其独 立
，
＝
Ｌ ／ 。 ２ Ｃ
＋－
Ｉ
Ｉ
】 （ ＝ （ ＿ １ ）
ｐ － Ｒ Ｏ－Ｃ ｏ ２ ） ［ ４ ］ ｑ ＝ — Ｒ Ｓ ｉ ｎ ｌ ｆ ｌ
２ ・ ｝ （ １ ） 【
Ｉ
坐标转换为高斯坐标 的计算方法可有效提高计算精度和准确计算 曲线要素 。
卡西尼卵形线轨迹方程
卡西尼卵形线轨迹方程
卡西尼卵形线，又称为卡西尼曲线，是由法国数学家卡西尼于1745年发现的一种具有特殊几何形状的曲线。
这条曲线的轨迹方程是一个著名的数学问题，它可以用来描述两个定点之间的运动规律，具有许多有趣的数学性质。
在数学上，卡西尼卵形线的轨迹方程可以用参数方程表示。
设两个定点为A和B，它们分别位于原点的左右侧，且到原点的距离为a。
如果点P在卡西尼卵形线上运动，且点P到点A和点B的距离之积等于常数k的平方，那么点P的轨迹就是卡西尼卵形线。
卡西尼卵形线的数学性质非常有趣。
首先，卡西尼卵形线是一个对称图形，关于原点对称。
其次，当常数k等于零时，卡西尼卵形线就是一个普通的圆。
当k增大时，卡西尼卵形线的形状会发生变化，变得更加扁平，直到最终变成一个双点曲线。
除了数学性质之外，卡西尼卵形线还有许多实际应用。
在天文学中，卡西尼曲线被用来描述行星围绕太阳的轨道。
在工程学领域，卡西尼卵形线被应用于光学器件的设计和分析。
在生物学中，卡西尼卵形线被用来研究生物体的运动规律。
总的来说，卡西尼卵形线是一个非常有趣并且具有重要意义的数学问题。
通过研究卡西尼卵形线的轨迹方程，我们可以更好地理解数学中的几何形状和运动规律，同时也可以将其应用于各个领域，为
人类的发展和进步做出贡献。
希望未来能有更多的数学家和科研工作者投入到卡西尼卵形线的研究中，探索出更多有趣的数学性质和实际应用，让数学这门学科发挥更大的作用。
卵形曲线计算方法
卵形曲线坐标计算方法一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。
三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：主点桩号坐标（m）切线方位角（θ）X Y ° ’ ”ZHAK0+090 9987.403 10059.378 92 17 26.2HY1AK0+160 9968.981 10125.341 132 23 51.6YH1AK0+223.715 9910.603 10136.791 205 24 33.6HY2AK0+271.881 9880.438 10100.904 251 24 18.5YH2AK0+384.032 9922.316 10007.909 337 04 54.2HZAK0+444.032 9981.363 10000.000 0 00 001、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1= =59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900A2= =84.999A3= =67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）LM=LS（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ'桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213LE=HY2至HZ'的弧长=A2÷R2=7224.900÷75=96.332或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ'-LE=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ'点坐标计算（见图二）（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]公式中符号含义：n —项数序号(1、2、3、……n)！—阶乘R —圆曲线半径Ls —缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：X=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] （公式1）Y=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ'-YH1=368.213-223.715=144.498将L=LS 代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。
卵形曲线
40R2
6R
在缓和曲线中R1= R2(L1+L2) ,使用此公式 求的所补缓和曲线的长度。 利用缓和曲线的切线角公式求得YH点切线 与x轴夹角β ，而δ=1β/3。α1为 YH 点 的切线方位角，则 ox 的方位角α＝α1β。o-YH的坐标方位角α2 =α+δ+180°。 使用缓和曲线的参数方程求得YH点在自定 义坐标系下的坐标，进一步求得o-YH的距 离，o 点的坐标可由几何关系求得为（ x0 ， y0 ），缓和段上任一点统一坐标可根据o点 求出。
D
A
1 δ = β = 4O 45'04.75" 3 c点切线方位角α1 = 271032' 44.86"
x轴的坐标方位角
C
O
Y
根据缓和曲线参数方程 求得 c点的坐标为（ 61 .316 ,5.094） 则 o − c的距离为 61 .527 根据 c点坐标（1230 .682 , 2677 .114） 则o(ZH )点坐标为（ 1239.199,2738.049）
D
A
C
B
（注：图中粉色曲线为卵形曲线）
定义：
卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插 入一段缓和曲线。也就是说：卵形曲线本 身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉 了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一 条完整的缓和曲线。
（注：图 中曲线为 缓和曲线）
H
I
计算卵形曲线上点坐标的方法
一般坐标计算
辛甫生公式
y
辛甫生公式讲解 n=2
3
i
4
2 1 4
4
A
路段名称
OA AB BC CD DE EF FG
曲线类型
卵形曲线两圆曲线间的最小间距测量学
卵形曲线两圆曲线间的最小间距测量学
卵形曲线两圆曲线间的最小间距指的是两个不相交曲线之间的最小距离，其中一个曲线是一个卵形曲线，另一个曲线是两个相切的圆形。
这种测量学的应用场景很多，例如在工程中，设计人员需要确定不同零部件之间的最小间距以确保它们可以正确地互相配合，这就需要使用卵形曲线两圆曲线间的最小间距测量学。
另一个应用是在机器视觉技术中，卵形曲线两圆曲线间的最小间距可以作为图像特征来检测圆形物体之间的距离。
计算卵形曲线两圆曲线间的最小间距需要使用高等数学中的曲线和曲面的微积分知识，常用的方法是使用向量和点到曲线的距离公式来计算。
具体来说，可以先将卵形曲线和两个圆形拆分成多个小弧段，然后对每个弧段进行计算，最后取最小值作为两个曲线之间的最小间距。
卵形曲线计算原理
卵形曲线计算原理一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。
三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1==59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900A2==84.999A3==67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）LM=LS（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ'桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213LE=HY2至HZ'的弧长=A2÷R2=7224.900÷75=96.332或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ'-LE=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ'点坐标计算（见图二）（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]公式中符号含义：n —项数序号(1、2、3、……n)！—阶乘R —圆曲线半径Ls —缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：X=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] （公式1）Y=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ'-YH1=368.213-223.715=144.498将L=LS 代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。
卵形曲线计算
高等级公路卵形曲线的计算方法周烨摘要在高等级公路施工过程中，常遇到卵形曲线，而设计单位的出发点不同，中线的解算方法也大相径庭。
本文着重从卵形中线几种计算方法入手，在此基础之上阐述了卵形曲线的测设。
关键词卵形曲线复曲线匝道桥高等级公路卵形曲线是高等级公路、立交桥匝道常见的曲线形式，它由基本的三部分构成：第一圆曲线段、缓和曲线段和第二圆曲线段。
中间段缓和曲线用来连接两个不同半径的圆曲线。
其中线坐标解算方法有如下几种：1 补全缓和曲线我国公路上采用的缓和曲线为辐射螺旋线，夹在两圆曲线中间的缓和曲线为整个缓和曲线的一部分，缓和曲线上任一点半径与该点至该缓和曲线起点的距离乘积为一定值：R×L＝A，假设R1＞R2，可由两圆半径及两圆间的缓和段长ls，求缓和曲线的总长L。
Δl＝L－ls(1)Δl就是夹在两圆曲线间缓和段省去的部分，由YH点补长Δl至o点，以o点为该缓和曲线起点，起点的切线方向为x轴，与之垂直的曲线内侧方向为y轴方向建立坐标系（图1）。
缓和曲线公式（推导过程略）如下：(2)(3)图 1利用x、y值可以求得o—YH弦与x轴的夹角：β＝3δ。
α1为YH点的切线方位角，则ox的方位：α＝α1±β。
o点的坐标可由几何关系求得为（x0，y）。
缓和段上任一点统一坐标可求得：(4)y=yo+xsinα±ycosα(5)2 曲率推算缓和曲线段曲率半径由第一段圆曲线半径R1变为第二段曲率半径R2（假设R1＞R2），则缓和曲线曲率半径变化为：(6)其中ls为中间段缓和曲线长，为求缓和曲线方程，现建立以缓和曲线起点为坐标原点，起点的切线方向为x轴，与之垂直的曲线内侧方向为y 轴的坐标系（图2），设P点为缓和曲线上任一点，距原点的曲线长为l，该点附近的微分弧长为dl，缓和曲线偏角为β，则有dx=dlcosβ(7)dy=dlsinβ(8)图 2由于将其代入上式并进行积分可得缓和曲线方程：(9)(10)中间缓和段统一坐标计算为：(11)xsinα±ycosα(12)Y＝yYHα为曲线YH点切线方位。
CASIO5800公路卵型曲线及标准曲线和高程计算一体化公式(附件)
CASIO5800公路卵型曲线、直线及标准曲线计算公式（积木法，建立数据库的计算公式,本公式可以与以下高程计算公式连贯使用）1、FQX(计算运行程序)10→DimZ“K=0,1”？→Z[3]Lb1 1C1s“E”？E:“KC=”？S：If E=1：Then Prog“A”：IfEnd ↵If E=2:Then Prog“Z1”:Goto 2: IfEnd :If E=3:Then Prog “Z2”: Goto 2: IfEnd : If E=4:Then Prog “Z3”: Goto 2: IfEnd : If E=5:Then Prog “Z4”: Goto 2: IfEnd : If E=6:Then Prog “Z5”: Goto 2: IfEnd :If E=7:Then Prog “Z6”: Goto 2: IfEnd : If E=8:Then Prog “Z7”: Goto 2: IfEnd :If E=9:Then Prog “Z8”: Goto 2: IfEnd : If E=10:Then Prog “Z9”:Goto 2: IfEnd:Lb1 2: Prog“FJS”: “D=0”?D: If D＞0: Then “PIANJIA O”?T:X+Abs(D)cos(F+T) →X:Y+Abs(D)sin(F+T) →Y: IfEnd↵ C1s“KC=”：Locate 5,1,S↵“X=”：Locate 5,2,X↵“Y=”：Locate 5,3,Y◢↵Z[3]=1⇒Prog“GCJS”↵Goto 1 ↵2、FJS（计算程序）If P=0：Then Goto 1：E1se Goto 2：IfEnd↵Lb1 1：（S-A）→L：（M+Lcos（F））→X：（N+Lsin（F））→Y：Goto 3↵Lb1 2：If P≠1：Then Goto 4：E1se Goto 5：IfEnd ↵Lb1 4：If P=2：Then 0→Z[4]：IfEnd：If P=3：Then（C÷R）→Z[4]：IfEnd ↵Lb1 0：If G=1:Then（Z[4]+S-A）→L：IfEnd：If G=-1:Then（Z[4]-S+A）→L：IfEnd：（F-（9OGZ[4]2 ）÷（Cπ））→F：（L-Z[4]-（L^（5）-Z[4]^（5））÷（40C2）+（L^（9）-Z[4]^（9））÷（3456C^（4））-（L^（13）-Z[4]^（13））÷（599040C^（6）））→I ↵（（L^（3）-Z[4]^（3））÷（6C）-（L^（7）-Z[4]^（7））÷（336C^（3））+（L^（11）-Z[4]^（11））÷（4240 C^（5））-（L^（15）-Z[4]^（15））÷（9676800 C^（7）））→J ↵（M+GIcos（F）-Jsin（F））→X：（N+GIsin（F）+Jcos（F））→Y：（F+（90GL2）÷（πC））→F ↵Goto 3↵Lb1 5：（S-A ）→L ：（F+（180L ）÷（R π））→Z[5]：（M+R （sin （Z[5]）-sin （F ）））→X ：（N-R （cos （Z[5]）-cos （F ）））→Y ：Z[5]→F ：Lb1 3 ↵ 3．A （建立卵型曲线、直线及标准曲线数据库，此数据仅供参考，新修线路要重新按下面方法输入数据）（以下数据是卵形曲线的数据库建立）If S ≦72932.70:Then 125808.846→M;540693.466→N:72682.70→A:341º51´14.4"→F:2→P:1→G:1100→R:274995.36→C:Goto 2:If End ↵If S ≦73203.68:Then 126049.052→M;540624.697→N:72932.70→A:348º21´53.98"→F:1→P:1→G:1100→R: Goto 2:If End ↵If S ≦73353.68:Then 126318.489→M;540603.124→N:73203.68→A:362º28´46.38"→F:3→P:-1→G:1100→R:366666.5809→C:Goto 2:If End ↵If S ≦73818.69:Then 126467.651→M;540618.276→N:73353.68→A:368º32´4.82"→F:1→P:1→G:2000→R: Goto 2:If End ↵If S ≦74138.69:Then 126915.390→M;540739.886→N:73818.69→A:381º51´22.42"→F:3→P:-1→G:2000→R:64000→C:Goto 2:If End ↵Lb1 2 （以上数据见下图）S ≤曲线的结束里程：M=起点X 坐标:N=起点Y 坐标:A=计算起点桩号: F=计算起点方位角:R=半径:C=缓和曲线参数（A 2=C ）：P=判断线型类别（P=0计算直线，=1计算圆曲线，=2计算第一缓和曲线，=3计算第二缓和曲线）:G=左转右转：E=？输入要计算的线路编号，本程序计算只输入1：KC=？输入所求点桩号：D=0？输入计算边桩边距：PRIANJAO ？边桩与中桩夹角，右90度，左270度，也可以输任意夹角。
缓和曲线计算方法
几种特殊缓和曲线计算方法X=L－L5÷［40（RL S）2］＋L9÷［3456（RL S）4］－L13÷［599040（RL S）6］＋L17÷［175472640（RL S）8］－L21÷［7.80337152×1010（RL S）10］Y=L3÷［6（RL S）］－L7÷［336（RL S）3］＋L11÷［42240（RL S）5］－L15÷［9676800（RL S）7］＋L19÷［3530096640（RL S）9］－L23÷［1.8802409472×1012（RL S）11］一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。
三、坐标计算以雅攀高速公路A合同段立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：已知相关数据如下表：1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1= √（70×50）=59.161卵形曲线参数:A2=(HY2－YH1) ×R1×R2÷(R2－R1)= (271.881－223.715) ×50×75÷(75－50)=7224.900A2=√（7224.900）=84.999A3=√（60×75）=67.0822、卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度L F由已知条件知：L F=HY2－YH1=271.881－223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度L S，由此找出HZ｀点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）L M=L S（YH1至HZ｀的弧长）=A2÷R1=7224.9÷50=144.498∴HZ｀桩号=YH1+L M=223.715+144.498=368.213L E=HY2至HZ｀的弧长=A2÷R2=7224.9÷75=96.332或L E=L M－L F=144.498－48.166=96.332卵形曲线长度L F=L M－L E=144.498－96.332=48.166（校核）HY2=HZ｀－L E=368.213－96.332=271.881（校核）以上说明计算正确3．HZ｀点坐标计算（见图2）㈠用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距通式：Xn=［（－1）n+1×L4n－3］÷［（2n-2）！×22n－2×（4n－3）×（RL S）2n－2］Yn=［（－1）n+1×L4n－1］÷［（2n-1）！×22n－1×（4n－1）×（RL S）2n－1］公式中符号含义：N——项数序号（1、2、3、……n）！——阶乘R——圆曲线半径LS——缓和曲线长度㈡现取公式前6项计算（项数越多精度越高，可根据工程精度需求取项数），带入公式后计算如下：X=L－L5÷［40（RL S）2］＋L9÷［3456（RL S）4］－L13÷［599040（RL S）6］＋L17÷［175472640（RL S）8］－L21÷［7.80337152×1010（RL S）10］Y=L3÷［6（RL S）］－L7÷［336（RL S）3］＋L11÷［42240（RL S）5］－L15÷［9676800（RL S）7］＋L19÷［3530096640（RL S）9］－L23÷［1.8802409472×1012（RL S）11］公式中L为计算点至ZH ｀或HZ｀的弧长HZ｀：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ｀－YH1=368.213-223.715=144.498将L=LS带入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2＋Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°5′0.2″偏角计算用反正切公式，不要用其他公式。
曲线坐标计算(
曲线坐标计算一、圆曲线圆曲线要素：α---------------曲线转向角R---------------曲线半径根据α及R可以求出以下要素：T----------------切线长L----------------曲线长E----------------外矢距q----------------切曲差（两切线长与曲线全长之差）各要素的计算公式为：2αtgR T ⋅=︒⋅=180παR L (弧长))12(sec -=αR E （sec α=cos α的倒数）圆曲线主点里程：ZY=JD －TQZ=ZY ＋L ／2 或 QZ=JD －q /2 YZ=QZ ＋L ／2 或 YZ=JD ＋T －qJD=QZ＋q／2（校核用）1、基本知识◆里程：由线路起点算起，沿线路中线到该中线桩的距离。
◆表示方法：DK26＋284.56。
“+”号前为公里数，即26km，“+”后为米数，即284.56m。
CK ——表示初测导线的里程。
DK ——表示定测中线的里程。
Ｋ——表示竣工后的连续里程。
铁路和公路计算方法略有不同。
2、曲线点坐标计算（偏角法或弦切角法）已知条件：起点、终点及各交点的坐标。
1）计算ZY、YZ点坐标通用公式：2）计算曲线点坐标①计算坐标方位角i 点为曲线上任意一点。
li 为i 点与ZY点里程之差。
弧长所对的圆心角弦切角弦的方位角当曲线左转时用“-”，右转时用“+”。
计算弦长②③计算曲线点坐标此时的已知数据为：ZY（x ZY，y ZY）、αZY- i、C。
根据坐标正算原理：切线支距法这种方法是以曲线起点ZY或终点YZ为坐标原点，以切线为X轴，以过原点的半径为Y轴，则圆曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：πϕϕϕ︒⋅=-==180,)cos 1(sin R l R y R x 式中利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得：式中：α为ZY(YZ)点沿线路前进方向的切线方位角。
卵形曲线
[转]ROAD-2程序特殊应用04——卵形曲线的处理2012-2-9 23:02阅读(0)转载自王中伟ROAD-2程序特殊应用04——卵形曲线的处理今天讨论的是有关ROAD-2程序特殊应用的最后一个主题了，就是卵形曲线的处理。
一、什么是卵形曲线什么是卵形曲线？这种曲线有何特别之处？在路线线型布置方面有什么优点？计算方面有什么不一样的地方？这一系列问题，有必要先弄清楚。
1．基本型曲线我们对比一下基本型曲线和卵形曲线的图形，先看基本型曲线：在描述基本型曲线的特点之前，我们先把一个概念描述清楚，就是：完整缓和曲线。
我们规定，凡是缓和曲线的一个端点的曲率为0（半径无穷大）的，不论长短，以及另一端曲率大小，都称为完整缓和曲线。
基本型曲线的特点是：它由三个曲线元素组成：第一缓和曲线+圆曲线+第二缓和曲线，用符号表达，就是：Ls1+Ly+Ls2，其中最关键的一点是关于缓和曲线的，不论是Ls1还是Ls2，都必须是完整缓和曲线，它连接直线和圆曲线，其中连接直线的那一端的曲率即为0。
基本型曲线是各种等级公路主线使用最多的线型，因此它的计算是最基本的要求。
凡是满足基本型曲线的定义的，其曲线要素、中桩坐标等均可使用同一套公式进行计算。
基本型曲线可以衍生出以下各种类型的曲线：（1）纯圆曲线：Ls1=Ls2=0（2）对称基本型曲线：Ls1=Ls2（3）凸形曲线：Ly=0（4）一侧带缓和曲线：Ls1=0，或者Ls2=0以上曲线的计算均可按基本型曲线公式计算。
也就是说，要使用基本型曲线公式计算，要么不带缓和曲线，如果要带，必须是完整缓和曲线。
两个基本型曲线直接相连的复曲线，均可按独立的两个基本型曲线进行计算，其中，两个同转向的基本型曲线直接连接的称为C型曲线，而两个相反转向的基本型曲线直接连接的称为S型曲线。
S型曲线在各种公路的平面线型中经常使用，而C型曲线则很少有使用的，究其原因，是因为其线型不好，仔细看一看吧，两曲率不相同的圆曲线之间缓和曲线的连接不合理。
笛卡尔卵形线 求参数
笛卡尔卵形线求参数笛卡尔卵形线（Cartesian oval）是一种在笛卡尔坐标系中的二维曲线，由法国数学家笛卡尔于17世纪提出。
它的数学表达式为：（x²/a²） + （y²/b²） = 1其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
笛卡尔卵形线是一种非常有特殊形状的曲线，它既有椭圆的特点，又有双曲线的特点。
从数学上来说，它是一个椭圆和一个双曲线的交点，因此也被称为交点曲线。
这种曲线在几何学和物理学中有着广泛的应用。
笛卡尔卵形线在几何学中有着重要的地位。
它的形状独特，可以用来描述一些特殊的几何问题。
例如，在光学中，当光线从一个焦点射入椭圆，经过反射后又汇聚到另一个焦点上，这个路径就可以用笛卡尔卵形线来描述。
另外，在天文学中，行星的轨道和彗星的轨道也可以用笛卡尔卵形线来近似描述。
笛卡尔卵形线在物理学中也有着重要的应用。
例如，在电磁学中，当一个带电粒子在两个电荷之间运动时，其路径也可以用笛卡尔卵形线来描述。
另外，在力学中，当一个质点在一个中心力场中运动时，其轨迹也可以是笛卡尔卵形线。
这些应用都是基于笛卡尔卵形线的数学性质和几何形状的特点。
笛卡尔卵形线还在工程学和计算机图形学中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，通过控制椭圆的长轴和短轴的长度，我们可以绘制出各种各样的卵形线，从而实现复杂的图形效果。
另外，在工程学中，通过研究笛卡尔卵形线的性质，可以设计出一些具有特殊功能的曲线，用于解决一些实际问题。
笛卡尔卵形线是一种具有特殊形状和重要应用的曲线。
它在几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域都有着广泛的应用。
通过研究笛卡尔卵形线的性质和应用，我们可以深入理解这个曲线的数学本质，同时也可以将它应用于解决实际问题。
希望通过本文的介绍，读者对笛卡尔卵形线有更加深入的了解。
曲线坐标计算(
曲线坐标计算一、圆曲线圆曲线要素：a -------------- 曲线转向角R -------------- 曲线半径根据a及R可以求出以下要素：T --------------- 切线长L -------------- 曲线长E -------------- 外矢距q -------------- 切曲差（两切线长与曲线全长之差）各要素的计算公式为:L R180（弧长）E RRsec 1）2（sec a =cos a 的倒数）圆曲线主点里程：ZY=J[> TQZ=ZY + L/2 或QZ=JD —q /2YZ=QZ + L/2 或YZ=JD + T—qJD=QZ + q/2 （校核用）1、基本知识里程：由线路起点算起，沿线路中线到该中线桩的距离。
表示方法：DK26＋284.56 。
“+”号前为公里数，即26km，“ +”后为米数，即284.56m CK ——表示初测导线的里程。
DK ——表示定测中线的里程。
K ——表示竣工后的连续里程。
铁路和公路计算方法略有不同。
2、曲线点坐标计算（偏角法或弦切角法）已知条件：起点、终点及各交点的坐标。
1）计算ZY、YZ 点坐标通用公式：2）计算曲线点坐标①计算坐标方位角i 点为曲线上任意一点li为i点与ZY点里程之差当曲线左转时用“-”，右转时用“ +”② 计算弦长③ 计算曲线点坐标此时的已知数据为：ZY ( xZY , yZY 、？ZY- i 、C 。
根据坐标正算原理：切线支距法 这种方法是以曲线起点ZY 或终点YZ 为坐标原点，以切线为X 轴，以过原点的半径为丫轴，则圆曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得： 利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得: 式中：a 为ZY(YZ)点沿线路前进方向的切线方位角。
当起点为ZY 时“土”取“ + ”，XO=X(ZY),YO=Y(ZY),曲线为左偏时应以yi=-yi 代入；当起点为YZ 时，“土”取“ -”，XO=X(YZ), YO=Y(YZ), 曲线为左偏时应以yi 二yi 代入；弧长所对的圆心角弦切角弦的方位角注：1、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半2、切线性质圆的切线与过切点的半径相垂直3、弦切角定理弦切角等于它所夹弧上的圆周角4、弧长公式由L/ n R=n /180 °得L=n°n R/ 180 °=n n R/180二、缓和曲线(回旋线)缓和曲线主要有以下几类：A:对称完整缓和曲线(基本形)------切线长、Is1与ls2都相等。
卵形曲线辅助点计算(即完整缓和曲线起点的支距)解算步骤
50卵形曲线辅助点计算（即完整缓和曲线起点的支距）解算步骤卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线，计算前只需要把不完整的缓和曲线（也就是卵型曲线）补充完整即可。
在计算小半径的缓和曲线或卵形曲线坐标时,由于切线支距公式取项少而造成计算精度低,现有书中一般介绍也就只有2~4项,为提高计算精度就需要将支距公式多展开几项。
以下计算卵型曲线的完整缓和曲线长支距模型：重在学习掌握解算流程，现在空间里有更好的计算程序。
曲线参数A2=LS×R1×R2÷(R2-R1)=卵形曲线长×小半径×大半径÷（大半径-小半径）在同一段回旋线内,它的参数永远是不变的。
LS=卵型曲线长. （已知）完整缓和曲线长L= A2÷R1=曲线参数÷小半径当L=LS时：代入完整缓和曲线切线支距公式：(式中R均为小半径R1)E=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10]F=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] -L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] -L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11]完整缓和曲线切线角（即两切线交角）p2=90L2÷(A2)L所对应玄长C=√（E2+F2）大半径处偏角P1=tan- 1(F2÷E2)小半径处偏角P3=180- P1-(180- p2)O=小半径处切线方位角（已知）小半径处至完整缓和曲线起点方位角Q=O±P3 (右向取+号；左向取-号)完整缓和曲线（起点）坐标：X=A+CcosQY=B=CsihQ完整缓和曲线（起点）处切线方位角：O=Q+180±p2 (右向取+号；左向取-号)以起点为基点用回旋线编程计算卵型曲线上任意桩号的中边桩点位坐标。
带卵形曲线的组合曲线的坐标计算
带卵形曲线的组合曲线的坐标计算作者：柴进全来源：《城市建设理论研究》2013年第34期摘要:以攀枝花至田房高速公路E8合同段线路组合曲线为例，介绍带卵形曲线的组合曲线坐标计算的公式和方法）关键词:卵形曲线;组合曲线;坐标计算中图分类号：U213.2+3文献标识码： A1、前言随着我国公路主骨架的初步形成，今后几年乃至十几年，我国公路建设的重点将转移到市县一级的交通网络上，地形复杂、展线较困难的山区将是公路建设的主战场，在线路的平面设计上，将越来越多的采用卵形曲线设计；同时高速公路的连接线和匝道的线路平面设计也经常采用卵形曲线过渡，而带卵形曲线的组合曲线的坐标计算是现阶段工程技术人员面临的一个难题。
2、工程概述攀枝花至田房高速公路是交通部规划建设的八条西部大通道之一—兰州～成都～昆明～磨憨公路四川境内的末端，在E8合同段与E9合同段的交接地段，由于地形限制和展线的需要，在K209+129.417～K210+875.768段为一两同向圆曲线以一回旋曲线相连的卵形曲线，曲线要素及主点里程坐标见图1：图1 组合曲线资料3、组合曲线结构分析卵形曲线是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大或无穷小方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
本例中的K209+800.477～K209+957.884段，就是经复原后的曲线组合图2中的缓和曲线ZH‘～HY中的一段。
图2 还原的曲线图所以该组合曲线的结构为：缓和曲线+圆曲线+卵形曲线+圆曲线+缓和曲线的组合。
4、缓和曲线及圆曲线任意点的坐标计算根据对组合曲线的结构分析可知，卵形曲线两端的圆曲线、缓和曲线，实际就是两个标准的缓和曲线+圆曲线的曲线组合一端去掉一个缓和曲线，所以计算这两个组合曲线上的任意点坐标的思路就是：将组合曲线拆分为两个已知圆曲线和缓和曲线长度的标准组合曲线，如图3、图4，分别计算其坐标。
卡西尼卵形线的标准方程及简单几何性质
卡西尼卵形线的标准方程及简单几何性质我们知道，平面内到定点F 1、F 2的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的动点的轨迹叫做椭圆；平面内到定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于常数（大于0且小于|F 1F 2|）的动点的轨迹叫做双曲线.一个自然的问题平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹又是什么呢？一、卡西尼卵形线及其标准方程一般地，我们把平面内与两个定点F 1,F 2的距离之积等于常数（大于0）的点的轨迹叫做卡西尼卵形线（它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的）.这两个定点叫做卡西尼卵形线的焦点，两焦点间的距离叫做卡西尼卵形线的焦距.43216543216543214321OxyF 1F 2取过两焦点F 1,F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy ,设M (x ,y )是卡西尼卵形线上任意一点，卡西尼卵形线的焦距为2c (c >0),那么，焦点F 1,F 2的坐标分别为(-c ,0),(c ,0),又设|MF 1|∙|MF 2|=a 2（a 为大于0的常数）.由卡西尼卵形线的定义，卡西尼卵形线就是下列点的集合：P ={M ||MF 1|∙|MF 2|=a 2,a >0},因为|MF 1|=(x +c )2+y 2,|MF 2|=(x -c )2+y 2,所以(x +c )2+y 2∙(x -c )2+y 2=a 2,两边平方，化简[(x +c )2+y 2]∙[(x -c )2+y 2]=a 4,(x +c )2(x -c )2+y 2[(x +c )2+(x -c )2]+y 4=a 4,(x 2-c 2)2+y 2(2x 2+2c 2)+y 4=a 4,x 4+y 4+2x 2y 2-2c 2x 2+2c 2y 2=a 4-c 4,(x 2+y 2)2-2c 2(x 2-y 2)=a 4-c 4,①我们称方程①为卡西尼卵形线的标准方程，它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F 1(-c ,0),F 2(c ,0)的卡西尼卵形线.如果焦点F 1,F 2在y 轴上，且F 1,F 2的坐标分别为F 1(0,-c ),F 2(0,c ),那么卡西尼卵形线的方程为(x 2+y 2)2-2c 2(y 2-x 2)=a 4-c 4.这个方程也是卡西尼卵形线的标准方程.二、卡西尼卵形线的简单几何性质下面用卡西尼卵形线方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4来研究卡西尼卵形线的几何性质.1.范围将方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4化为关于y2的一元二次方程得y4+2(x2+c2)y2+(x2-c2)2-a4=0,舍去负根，解得y2=4c2x2+a4-x2-c2,若y有意义，则4c2x2+a4-x2-c2≥0,化简得(x2-c2)2≤a4,解得c2-a2≤x2≤c2+a2.或者，因为a4=[(x+c)2+y2]∙[(x-c)2+y2]≥(x+c)2(x-c)2=(x2-c2),（当且仅当y=0时等号成立），所以-a2≤x2-c2≤a2,即c2-a2≤x2≤c2+a2.（1）当a≥c时，有c2-a2≤0,故0≤x2≤c2+a2,即x∈[-c2+a2,c2+a2];当a<c时，有c2-a2>0,故c2-a2≤x2≤c2+a2,即x∈[-c2+a2,-c2-a2]∪[c2-a2, c2+a2].（2）由方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4得y2=4c2x2+a4-x2-c2,令t=4c2x2+a4,(t≥a2),则x2=t2-a4 4c2,所以y2=t-t2-a44c2-c2=-t2c-c2+a44c2≤a44c2,当且仅当t=2c2,即x2=4c4-a44c2时等号成立.由于x2≥0,须有4c4-a4≥0,即0<a≤2c,此时|y|max=a2 2c;当a>2c时，t>2c2,即t2c>c,不难看出此时若要使y2取得最大值，则要让t的值尽可能地小，又由t≥a2可知y2≤-a22c-c2+a44c2=a2-c2,当且仅当t=a2,即x=0时等号成立，此时|y|max=a2-c2.2.对称性在卡西尼卵形线方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4中，以-y代y,方程不变，这说明当点P(x, y)在卡西尼卵形线上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在卡西尼卵形线上，所以卡西尼卵形线关于x轴对称.同理，以-x代x,方程也不变，这说明如果点P(x,y)在卡西尼卵形线上，那么它关于y轴的对称点P2(-x,y)也在卡西尼卵形线上，所以卡西尼卵形线关于y轴对称.以-x代x,-y代y,方程也不变，这说明当点P(x,y)在卡西尼卵形线上时，它关于原点的对称点P3(-x,-y)也在卡西尼卵形线上，所以卡西尼卵形线关于原点对称.综上，卡西尼卵形线关于x轴，y轴是对称的，这时，坐标轴是卡西尼卵形线的对称轴，原点是卡西尼卵形线的对称中心，卡西尼卵形线的对称中心叫做卡西尼卵形线的中心.3.顶点在卡西尼卵形线方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4中，令x=0,得y2=a2-c2,当a>c>0时，卡西尼卵形线与y轴有两个交点(0,a2-c2),(0,-a2-c2),当a=c时，卡西尼卵形线与y轴有一个交点(0,0),当0<a<c时，卡西尼卵形线与y轴没有交点.令y=0,得x2=c2±a2,当a>c>0时，卡西尼卵形线与x轴有两个交点(c2+a2,0),(-c2+a2,0),当a=c时，卡西尼卵形线与y轴有三个交点(c2+a2,0),(-c2+a2,0),(0,0),当0<a<c时，卡西尼卵形线与y轴有四个交点(c2+a2,0),(-c2+a2,0),(c2-a2,0),(-c2-a2,0),这些交点叫做卡西尼卵形线的顶点.4.离心率类比圆锥曲线，我们将ca称为卡西尼卵形线的离心率，用e表示，即e=ca.随着e的变化，卡西尼卵形线共呈五种形态，参见下表e的值曲线形态(0,22)4321432154321321O xyF1F2a=4,c=22 221321432121O xya=22,c=2F1F2(22,1)13213211O xya=2,c=2.2F1F2113213211O xya=2,c=2F1F2(1,+∞)13213211Oxya =1.9,c =2当e ∈(0,22)时，曲线是中部凸出的封闭曲线.当e =22时，轨迹是中部扁平的封闭曲线；当e ∈(22,1)时，轨迹是中部凹进的封闭曲线（呈“花生”形状）；当e =1时，轨迹是伯努利双纽线（呈“∞”形状）；当e >1时，轨迹是两支封闭曲线，其形状像两个鸡卵，这也是卵形线名字的由来.观察五种形态的曲线可以发现：当c 一定时，令a 由一个趋于0的正数连续变化至趋于无穷大，对应卡西尼卵形线会从“两个极小的鸡卵”逐渐变大至有一个公共点的闭合曲线（伯努利双纽线），接着，随着a 持续变大使“两枚鸡卵”的“卵壳”逐渐相互融合（呈花生形状），再继续变大成为一个大型的“鸡卵”.例1（2024年8月广东八校高三联合检测11）到两个定点的距离为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设F 1(-c ,0)和F 2(c ,0)且c >0,动点M 满足|MF 1|∙|MF 2|=a 2(a >0),动点M 的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C ,则下列描述正确的是A.曲线C 的方程是(x 2+y 2)2-2c 2(x 2-y 2)=a 4-c 4B.曲线C 关于坐标轴对称C.曲线C 与x 轴没有交点D.△MF 1F 2的面积不大于12a 2【答案】ABD【解析】设M (x ,y ),则由|MF 1|∙|MF 2|=a 2(a >0),得(x +c )2+y 2∙(x -c )2+y 2=a 2,化简得(x 2+y 2)2-2c 2(x 2-y 2)=a 4-c 4,A 正确；以-x 代x ,-y 代y ,方程均不变，说明曲线C 关于坐标轴对称，B 正确；令曲线C 的方程中的y =0得x 2=c 2±a 2,当c =a 时，x =0或x =2c ;当c <a 时，x =±c 2+a 2;当c >a 时，x =±c 2±a 2,C 不正确；S △MF 1F 2=12|MF 1|∙|MF 2|sin ∠F 1MF 2≤12|MF 1|∙|MF 2|=a 22,D 正确.故答案选ABD.例2（2011年北京卷理科14）曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1,0),F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是.【答案】②③【解析】设P (x ,y )是曲线C 上的任意一点，则由题意得(x +1)2+y 2∙(x -1)2+y 2=a 2(a >1),将原点(0,0)代入得a 2=1,即a =±1,与a >1矛盾，故①不正确；以-x 代x ,-y 代y ,方程不变，这说明当点P (x ,y )在曲线C 上时，它关于原点的对称点P '(-x ,-y )也在曲线C 上，所以曲线C 关于坐标原点对称，②正确；S △F 1PF 2=12|PF 1|∙|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1|∙|PF 2|=a 22,③正确.例3(2023年广州一模12)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy 中，M (-2,0)，N (2,0)，动点P 满足|PM |⋅|PN |=5，则下列结论正确的是( )A.点P 的横坐标的取值范围是-5,5B.OP 的取值范围是1,3C.△PMN 面积的最大值为52D.PM +PN 的取值范围是25,5 【答案】BC【解析】设点P (x ,y )，则依题意得[(x +2)2+y 2][(x -2)2+y 2]=25，对于A ，25=[(x +2)2+y 2][(x -2)2+y 2]≥(x +2)2(x -2)2=(x 2-4)2，当且仅当y =0时取等号，解不等式(x 2-4)2≤25得-3≤x ≤3，即点P 的横坐标的取值范围是[-3,3]，A 错误；对于B ，[(x 2+y 2+4)+4x ][(x 2+y 2+4)-4x ]=25，则x 2+y 2+4=25+16x 2，显然0≤x 2≤9，因此|OP |=x 2+y 2=25+16x 2-4∈[1,3]，B 正确；对于C ，方法一，由[(x +2)2+y 2][(x -2)2+y 2]=25，得y 4+2(x 2+4)y 2+(x 2-4)2-25=0,解得y 2=16x 2+25-x 2-4,令t =16x 2+25(t ≥5),则x 2=t 2-2516,所以y 2=t -t 2-2516-4=-t 4-2)2+2516 ≤2516,当且仅当t =8,即x =±394时等号成立，此时|y |max =54,所以S △PMN =12|MN |∙y P ≤12×4×54=52,C 正确；方法二，S △PMN =12|PM ||PN |sin ∠MPN ≤12|PM ||PN |=52，当且仅当∠MPN =90°时取等号，当∠MPN =90°时，点P 在以线段MN 为直径的圆x 2+y 2=4上，由x 2+y 2=4x 2+y 2+4=25+16x 2 解得x =±394y =±54，所以△PMN 面积的最大值为52，C 正确；对于D ，因为点(3,0)在动点P 的轨迹上，当点P 为此点时，PM +PN =5+1=6，D 错误.故选BC .例4(2022年山东济南一模12)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy 中，M -2,0 ，N 2,0 ，动点P 满足PM ⋅PN =5，其轨迹为一条连续的封闭曲线C .则下列结论正确的是( )A.曲线C 与y 轴的交点为0,-1 ，0,1B.曲线C 关于x 轴对称C.△PMN 面积的最大值为2D.OP 的取值范围是1,3【答案】ABD【详解】设点P(x,y)，依题意得[(x+2)2+y2][(x-2)2+y2]=25，整理得x2+y2=16x2+25-4，对于A，当x=0时，解得y=±1，即曲线C与y轴的交点为0,-1，0,1，A正确；对于B，因x2+(-y)2=x2+y2=16x2+25-4，由-y换y方程不变，曲线C关于x轴对称，B 正确；对于C，当x2=32时，y2=32，即点P62,62在曲线C上，S△PMN=12|MN|×62=6，C不正确；对于D，由y2=16x2+25-4-x2≥0得：x4-8x2-9≤0，解得0≤x2≤9，于是得|OP|2=x2+y2=16x2+25-4∈[1,9]，解得1≤OP≤3，D正确.故答案选ABD.例5（漯河市2023-2024学年高二下学期期末质量监测11）我们在解析几何学习过程中知道椭圆、双曲线定义分别是到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.已知两定点F1(-2,0),F2(2,0),动点P(x0,y0)满足|PF1|∙|PF2|=4,设P的轨迹为曲线C,则下列命题正确的是A.曲线C过原点B.P的横坐标最大值是22C.P的纵坐标最大值是32D.y02≤2ln(x02+1)【答案】ABD【解析】因为动点P(x0,y0)满足|PF1|∙|PF2|=4,所以(x0+2)2+y02∙(x0-2)2+y02=4,即[(x02 +y02+4)+4x0]∙[(x02+y02+4)-4x0]=16,即x02+y02+4=4x02+1,即y02=-x02+4x02+1-4,对于A项，当x0=0时，y0=0,所以曲线C过原点，A正确；对于B项，由-x02+4x02+1-4≥0得x02+4≤4x02+1,两边平方，化简得x04≤8x02,解得-22≤x0≤22,所以P的横坐标最大值是22,B项正确；对于C项，因为y02=-(x02+1-4x02+1+4)+1=-x02+1-22+1≤1,当且仅当x0=±3时等号成立，所以P的横坐标最大值是1,C项不正确；对于D项，若y02≤2ln(x02+1),即-x02+4x02+1-4≤2ln(x02+1),令t=x02+1,t∈[1,3],则-t2+4t-3≤2lnt2,即t2-4t+4lnt+3≥0,设f(t)=t2-4t+4lnt+3,t∈[1,3],则f'(t)=2t-4+4t≥22t∙4t-4=42-4,（当且仅当t=2时等号成立），所以f'(t)>0在[1,3]上恒成立，所以f(t)在[1,3]上单调递增，所以f(t)≥f(1)=0,即t2-4t+4lnt+3≥0成立，D项成立.故答案选ABD.。
卵形曲线计算方法
一．概述近年来随着我国公路建设的发展，全封闭、全立交的高等级公路已经成为我国公路网中的重要组成部分，组成立交的基本单元是匝道，匝道的平面线形组合相对比较复杂，计算烦琐，特别是卵形曲线的计算更加抽象难懂。
卵形曲线的计算方法主要有曲直法、解析法、拟合法、积木法、综合法、弦切法等。
由于其他方法理论抽象、计算烦琐。
因此一般工程放样中主要以弦切法为主。
本文重点介绍弦切法在立交匝道卵形曲线敷设计算中的应用。
二、弦切法的基本原理及计算思路对于路线平面线形而言，无论是绵延不断的公路，还是局部线形组合复杂的立交匝道，其基本构成单元不外是圆曲线、缓和曲线、直线。
一段圆曲线的终点，可以认为是其弦长（弧长所对应的）在相应方向上的延伸所构成的；一段缓和曲线的终点，也可以认为是由一方向和距离所构成的。
因此，在一段路线的起终点坐标和切线方位角固定的情况下，便能容易的求出坐标增量，方位增量的计算式，进而求得各曲线参数。
对于任何一种线形单元，只要知道起点坐标（X0，Y0）和切线方位角ɑ（可以假设为任意值），即可根据弦长S和相关参数确定其线形。
以下图2-1所示卵形曲线为例，若给定R1、R2和回旋曲线参数A，即、终可求得该缓和曲线长、交点坐标（XM，YM）、切线长T1、T2、偏角ɑJ点坐标（XZ，YZ）和终点切线方位角。
这样求得的终点坐标，曲率半径和切线方位角又可以作为下一线形单元起点的相应资料。
交点J的坐标：Xm=T1×COS（ɑ）+X0Ym=T1×SIN（ɑ）+Y0终点坐标：Xz=Xm+T2×COS（a+aj)Yz=Ym+T2×SIN(a+aj)根据卵形曲线的特点，可以计算出如下参数：L1=A2/R1，L2= A2/R2，L=L2-L1（R1>R2),或L=L1-L2 （R1<R2)根据回旋曲线上任意点的相对坐标计算公式：X=L S-L S5/40/A4+L S9/3456/A8，Y=L S3/6/A2-L S7/336/A6+L S11/42240/A10即可计算出卵形曲线起终点在相对坐标系中的坐标(X1,Y1) 和（X2，Y2）。
卵型曲线计算方法
以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：
（图一）
已知相关设计数据见下表：
主点
桩号
坐标（m）
X
Y
切线方位角（θ）
°’ ”
ZH
AK0+090
9987.403
10059.378
92 17 26.2
HY1
AK0+160
9968.981
1卵型曲线坐标计算。
HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，
L=LS=HZ'-YH1
=368.213-223.715=144.498
将L=LS代入公式（1）、（2）得：
X=117.1072 Y=59.8839
L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301
偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”
卵型曲线计算方法
【摘要】在高速公路立交平面线型中，现越来越多采用卵形曲线这一线型形式，而卵形曲线坐标的计算在现有相关书籍中却又很少提到，这就为施工中的坐标计算及放样增加了较大难度，为解决此难道，我在实践中通过对缓和曲线坐标的计算加以分析并结合理论知识，总结出了卵形曲线坐标的计算方法和技巧。
【关键词】卵形曲线坐标计算
=10100.902
②与设计值比较:
rX=X计算值-X设计值=9880.442-9880.438
=+0.004
rY=Y计算值-Y设计值=10100.902-10100.904
=-0.002 mm
同理依次可计算出卵型曲线上其它任意点的坐标。由此可见，采用此方法计算求得的坐标与
卵形曲线要素及其上任意点坐标的严密算法
卵形曲线要素及其上任意点坐标的严密算法任克林【摘要】针对公路中线(平曲线)卵形曲线测设与计算,将卵形曲线补全为完整缓和曲线,并利用其几何性质推证了卵形曲线要素及其上任意点高斯平面直角坐标的计算公式.【期刊名称】《长春工程学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(014)003【总页数】3页(P67-69)【关键词】卵形曲线;缓和曲线;高斯平面直角坐标【作者】任克林【作者单位】四川省冶金地质勘查局测绘工程大队,成都610212【正文语种】中文【中图分类】TB220 引言公路平曲线设计中，常用到卵形曲线。
其要素（缓和曲线切线角β、切线增量q、圆曲线内移值m、切线长T等）以及卵形线上任意点高斯平面直角坐标（以下简称高斯坐标）的计算是公路中线（平曲线）设计与测设的难点，有关文献给出的计算方法有利用复化辛普森公式计算［1］、利用双交点法计算［2］等。
其中复化辛普森公式算法为拟合算法，且公式复杂不利于编程计算；双交点法是将卵形线分为长度相等的两段分别看作等长完整缓和曲线来进行解算，也为一种近似算法。
故上述方法存在着编程困难、误差较大或未能求解卵形曲线要素的不足。
本文推证出一种补全卵形线后利用几何性质将其平面独立坐标转换为高斯坐标的计算方法，可有效解决上述两类方法的不足。
1 推证思路如图1所示，已知弧ZH－HY1为IP1处前缓和曲线，弧HY1－YH1为IP1处圆曲线，半径为R1；弧HY2－YH2为IP2处圆曲线，半径为 R2，弧YH2－HZ为IP2处后缓和曲线，长度为Ls2，卵形线（IP2处前缓和曲线）YH1－HY2曲线长度为Lh，起点（YH1）处曲率半径为R1，终点（HY2）处曲率半径为R2。
交点IP2处路线转角为α。
交点IP1高斯坐标为（XIP1，YIP1），交点IP2高斯坐标为（XIP2，YIP2）。
设IP2处圆曲线HY2－YH2圆心位置为A，过A点作垂线A－V1垂直线段IP2－HZ于V1，作垂线A－V2垂直线段IP1－IP2于V2；连接A与IP2点，由几何关系（线段A－V2垂直线段IP1－IP2，线段A－V1垂直线段IP2－HZ）可知α1＋α2＝α。
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2、卵形曲线计算
本设计由于12~JD JD 之间的距离偏小，又都为右偏，直线长度很难满足要求，同时也为适应地形条件的变化，所以此处敷设卵形曲线。
卵形曲线设计计算如下：
运用纬地软件设计卵形曲线，系将卵形曲线看做是两个同向基本型平曲线的组合对接，首先给定小圆半径以及小圆的前缓和曲线长度：1700R =，1100S L =，这个前缓和曲线的起点半径为无穷大，而后缓和曲线长度为0。
然后切换到交点2，给定前缓和曲线长100F L =，后缓和曲线长2100S L =，由于中间过渡段曲线的半径变化是从12~R R ，所以第二段曲线的前缓
和曲线F L 起点给定半径为小圆半径700，终点半径即大圆曲线半径2R 采用纬地软件的“T1+Rc+S2”或“T1+S1+Rc ”反算模式，计算结果为1451.22。
卵形曲线设计参数宜满足如下三个条件： ①112F R A R ≤≤ ②120.20.8R R ≤≤ ③10.0030.03D R ≤≤
已知：1212700,1451.22,100S S F R R L L L ===== 计算：（如图2.1）
图2.1 卵形曲线示意图[11]
122112
12221212
1212120.27001451.220.480.8
,,,242422
F F F F F F F F R R D R R O O O O L L L L P P q q R R ≤==≤=--=====
221212
22112
21
221
212112212112111,()1001451.22700135227.231451.22700
350367.737002
135227.23135227.23193.18,93.187001451.2224F F F F F F F F F F F F F F F F F F A A L L R R A R R L L L R R L R R A R R A R A R A A L L R R L P R ==-=-==-⨯⨯=
=-=≤=≤========
反推：
22
222121212211293.18193.182.22,0.252470024241451.22
193.1893.1896.59,46.592222
749.011451.22700F F F F F F L P R L L q q O O D R R O O =====⨯⨯==========--=-1749.01 2.21
0.003 2.217000.00310.03D R -=≤==≤
综上计算，本设计卵形曲线设计满足《公路路线设计规范》要求。