习题课3抽样分布

抽样分布习题课
一、主要内容 二、重、难点 三、典型例题
一、主要内容
1. 数理统计的一些基本概念：总体、样本、 抽样、简单随机抽样、统计量 2、三大抽样分布的定义及相关性质 3、三大抽样分布的定义及相关性质
二 重点、难点
1、三大抽样分布的定义及相关性质 2三大抽样分布的定义及相关性质
三、典型例题
1.填空、选择题
1 2
2
)
2
cov( X 1, X 1 ) cov( X 1, X 2 )]
2
1 ( 2 0) 2 2 2
D（X 1 X）=D( X 1） D( X）-2cov(X 1 , X )=
2
1 1 2 2 2 2 2 2
1 1 同理 cov( X 2 , X ) 2 , D（X 2 X）= 2 2 2 cov( X 1 X , X 2 X ) cov( X 1 , X 2 ) cov( X 1 , X ) cov( X , X 2 ) cov( X , X ) 0

2 (n 1), 2 (9)
7 S12 故 4
2 9 S 2 (7), 2 5
即得结论 练习题 （2）
(n 1) S 2 (n 1) S 2 2 (n 1), 故D( ) 2(n 1) 2 2 (n 1) 2 2 4 2 2 所以， 4 D( S ) 2(n 1), 则D( S ) n 1
n1
2 ( X X ) i i 1
n1
n1 1
2 (n1 1) (n1 1) S X

2
2
2 2 (n1 1)S X
则 同理
E ( ( X i X ) ) E (
i 1
n1
2
2 ) (n1 1) 2
2 ) (n2 1) 2
E ( (Yi Y ) ) E (
2 S1 A 2 S2 2 2 5S1 4S1 B C 2 2 4S 2 5S2 2 5S1 D 2 2S2
练习题 (1) 设
X1 ,
1 X ~ t (n)(n 1), Y 2 , 则Y X
分布
的
（2）设 一个简单随机样本，S
D(S 2 )
, Xn
2 N ( , ) 是正态总体
(1) 设随机变量X,Y相互独立，均服从 N (0,32 ), X1 , , X 9 ,Y1 , ,Y9 分别是来自总体X，Y的 简单随机样本，则统计量 X1 X 9 U 服从______分布 2 2
Y1 Y9
(2)设 X1 , X 2 , X 3 , X 4 是取自总体 N (0, 4) 的一个随 机样本，且 Y a( X1 2 X 2 )2 b(3X 3 4 X 4 )2 ，若 a 0.05, b 0.01 则Y服从______分布
2 i 1
n2
2 (n2 1)SY
2
2. 解答题
（1）设总体X具有正态分布N(0,1)，从此总体中取 一容量为6的样本（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。 ) 又设 Y ( X X X ) ( X X X。试决定常数 C,使得随机 变量CY服从 2 分布。 解： X N (0,1), Z1 X 1 X 2 X 3 N (0,3),
2
2

2
2

2
2

2
2
X X ,X
1
2 X

cov( X1 X , X 2 X ) D( X 1 X ) D ( X 2 X )
X9
2 9
Y Y 9
t (9) 9
（2） X1 2 X 2
a ( X1 2 X 2 )
所以 即得
Y
N (0, 20), 3X 3 4 X 4
N (0,100)
N (0,1)
N (0,1), b (3X 3 4 X 4 )
2 (2)
（4）
(n 1) S 2 因为， 2
2
n 2 X ,X 11 N (0, ) X 2 2 ,..., X i2 ~ n (n) 2 i 1
（2）设 X1 , X 2 是取自总体X 的一个样本． 试求 X1 X 与 X 2 X 的相关系数 解： X X 1 1
cov( X 1 , X ) cov( X 1 ,
, Xn （3）设X服从0—1分布， X1 , 是来自总体 X的样 本， X 是样本均值，则下列各项中不是统计量 的是（ ）
( A) min{ X 1 , (C ) max{ X 1 , , X n} ( B) X 1 (1 p) X , X n } ( D) | X 1 2 X |
（4）设 X1 , , X 8与 Y1 , , Y10 分别来自两个正态总 体 N (1, 4)和N (2,5) 的样本且相互独立，S12与S22 分 别是两个样本方差，则服从F(7,9)的统计量是
2
1 n ( X i X )2 , n 1 i 1
则
教材P252 (66),(67)
解 （1）由正态分布的性质知：
X1 X9
2
所以，有
Y N (0,9 ), 3
2
N (0,1)
Hale Waihona Puke Y12 9 Y92
(9)
X9 Y
2 9
则
X1 Y
2 1
X1 9
2 1
2 2 1 2 3 4 5 6
Z1 Z12 2 N (0,1), 1 (1) 3 3 Z2 X 4 X 5 X 6亦服从N(0,3)且与Z1相互独立， Z2 Z22 N (0,1), 2 (1) 3 3 2 2 且与 1 相互独立。由 分布可加性，
Z12 Z 2 2 1 2 1 2 ( Z1 Z 2 ) Y 3 3 3 3 1 (2), c 3
P252 （66）因为 所以， X2
1 2 11
X 12
2
2 X 10
(10),
2
2 X 11
2
2 X 15
2 (5),
2 X 10
X
X
2 15
10 2 5 2
F (10, 5)
（67）
2 ( X X ) i i 1 2 (n1 1) S X