不定积分一.ppt
合集下载
课件+经济数学基础+罗国湘+高等教育出版社-第3章 不定积分
(12) ∫
d
1− 2
= arcsin + ;
= arctan + .
注意 （1）与基本求导公式一样,这些基本积分公式必须熟记，它们是积分运算的基础;
(2) 上述积分公式中积分变量换成其他变量仍成立. 如 ∫ e d = e + , ∫ cos d = sin + .
න
1
1
令 =3 1
cos 3 d = න cos 3 d(3)
=
න cos d = sin +
3
3
3
回代 1=3 + . Nhomakorabea3
验证可知, 结论正确.
第二节 不定积分的积分方法
二、第一换元积分法（凑微分法）
一般地, 有
න ()d = න [()]′ ()d = න [()]d()
(8) ∫
(9) ∫
1
sin2
d = ∫ csc 2 d = −cot +
(11) ∫ csc cot d = −csc + ;
(13) ∫
d
1+ 2
1
cos2
d = ∫ sec 2 d = tan + ;
(10) ∫ sec tan d = sec + ;
注意, 求 ∫ ()d 时, 切记 “ + ”, 否则求出的只是一个原函数而不是不定积分.
第一节 不定积分的概念与性质
一、不定积分的概念——几何意义
在直角坐标系中，（）的任意一个原函数（）的图形
是一条曲线 = （），这条曲线上任意点（，（））处
的切线的斜率F′（x）恰为函数值（），称这条曲线为（）
高职课件《高等数学》第四章不定积分课件
9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ;
1 x2
11
dx arctanx C ; 1 x2
例4.1.2 求
x2
x
1 x2
dx
。
解 根据基本积分表中的公式(2)及不定积分的性质(4)得：
x2
x
1 x2
dx
x2
1
x2
1 x2
dx
例4.1.1 求 cosxdx 。
解 因为sinx' cosx，所以 cosxdx sinx C
如果忘记写常数 C，那就意味着你只找到了cosx 的一个原函数。
4.1.2不定积分的性质
根据不定积分的概念，可以推得如下性质：
(1)
d dx
f
x
dx
f x ；
(2) f ' x dx f x C
4.1.3 不定积分的几何意义
由 f x 的原函数族所确定的无穷多条曲线 y F x C 称为f x 的积 分曲线族。在 f x 的积分曲线族上，对应于同一 x 的点，所有曲线都
有相同的切线斜率，这就是不定积分的几何意义。 例如
2xdx x2 C
被积函数 2x 的积分曲线族就是 y x2 C ，即一族抛物线。对 应于同一 x 的点，这些抛物线上的切线彼此平行且具有相同的斜 率2x，如图4-1所示。
(由性质(1)和(2)可知，求导与求积是两个互逆的运算)；
(3) k f x dx k f x dxk为常数
(4) f x g x dx f x dx g x dx ； (5) d f x dx f x dx ； (6) df x = f ' x dx f x C 。
ppt-0401--不定积分的概念与性质
2 x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x
高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什 么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
4.不定积分。PPT
三、 不定积分的几何意义
如果 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)
的不定积分 f (x)dx F(x) C．对于每一给
定的常数 C ，F(x) C 表示坐标平面上的一 条确定的曲线，这条曲线称为 f (x)的一条积 分曲线．由于 C 可以取任意值，因此不定积
分 f (x)dx 表示 f (x) 的一族积分曲线．
sin x 1 sin3 x c 3
例 4 求不定积分 3xexdx ．
解 3xexdx (3e)xdx (3e)x c 3xex c
ln 3e 1+ ln 3
4-2 不定积分的直接积分法
例 5 求不定积分
x4 1 x2
dx
．
解
x4
(x4 1) 1
1 x2 dx 1 x2 dx
x4 x2
1dx 1
1 1 x2
4-1不定积分的概念与性质
一般，如果F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全部原函数就是 F(x) C ( C为任意常 数)．
那么一个函数满足什么条件, 它的原函数 一定存在呢?
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该 区间上f(x)的原函数一定存在.
4-1不定积分的概念与性质
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4-1 不定积分的概念与性质 4-2 不定积分的直接积分法 4-3 换元积分法 4-4 分部积分法
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念 二、 不定积分的性质 三、 不定积分的几何意义
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念
1. 原函数 定义4.1 设 f (x)是定义在区间 (a,b)内的
其中 C 称为积分常数．
如果 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)
的不定积分 f (x)dx F(x) C．对于每一给
定的常数 C ，F(x) C 表示坐标平面上的一 条确定的曲线，这条曲线称为 f (x)的一条积 分曲线．由于 C 可以取任意值，因此不定积
分 f (x)dx 表示 f (x) 的一族积分曲线．
sin x 1 sin3 x c 3
例 4 求不定积分 3xexdx ．
解 3xexdx (3e)xdx (3e)x c 3xex c
ln 3e 1+ ln 3
4-2 不定积分的直接积分法
例 5 求不定积分
x4 1 x2
dx
．
解
x4
(x4 1) 1
1 x2 dx 1 x2 dx
x4 x2
1dx 1
1 1 x2
4-1不定积分的概念与性质
一般，如果F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全部原函数就是 F(x) C ( C为任意常 数)．
那么一个函数满足什么条件, 它的原函数 一定存在呢?
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该 区间上f(x)的原函数一定存在.
4-1不定积分的概念与性质
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4-1 不定积分的概念与性质 4-2 不定积分的直接积分法 4-3 换元积分法 4-4 分部积分法
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念 二、 不定积分的性质 三、 不定积分的几何意义
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念
1. 原函数 定义4.1 设 f (x)是定义在区间 (a,b)内的
其中 C 称为积分常数．
不定积分的定义和性质-PPT课件
C.
7
例4 求积分 3x e x dx.
2 根据积分公式（2）
解 3x e xdx (3e)xdx l(n3(e3x)ex)dxCx1311xlenx3C C
对被积函数稍加变形，化为指 数函数形式。据公式（13）
(13) axdx ax C; lna
(2) xdxx1 1C (1);
(3) dxxln| x|C;
说明： x
0
dx x
ln
x
C,
x0,[ln(x)] 1 ( x) 1
x
x
dxx ln(x)C,
dx x
ln|
x|
C.
(4) 11x2dxarctanxC; (1 0 ) s e cxta n x d x s e cx C ;
结论能：否微根分据运求算导与公求式不得定出积积分分的公运式算？是互逆的.
实例:
x 1
1
x
xdx x1 C.
1
( 1)
结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式.
基本积分表
(1 ) k d x k x C(k 是 常 数 ）
三、不定积分的性质
(1) [f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx;
(2) kf(x)dxk f (x)dx.（k 是常数，k 0)
现证(1) f(x)dxg(x)dx
f(x)dxg(x)dx f(x)g(x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
高等数学第四章 第二节不定积分 课件
1 x+ 1 例17 求 ∫ (1 − 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1− 2 , x x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例18 求 解
cot x dx ∫ ln sin x
同样可证
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
或
x 1 1 − cos x = ln tan + C = ln + C. 2 1 + cos x 2
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 − cos x 解法一 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 d (sin x ) =∫ 2 sin x sin x sin x 1 = − cot x + + C. sin x
x x
1 8) ∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x )d x x
1 9) ∫ f (arctan x) d x = ∫ f (arctan x)darctan x 2 1+ x
例7. 求
dln x 1 d(1+ 2ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1+ 2ln x 2 1+ 2ln x
其中 ψ − 1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数。 的反函数。
d (( ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) dt )
《不定积分教学》课件
不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第8章-不定积分(1)可编辑全文
例6 求sec xdx.
解
(解法一)
sec xdx
cos x
cos2 x
dx
d(sin x)
1 sin2 x
1 ln 1 sin x C. 2 1 sin x
(解法二) sec
xdx
sec x(sec x tan sec x tan x
x)
dx
d(sec x tan x sec F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图
像是 f (x) 的一条积分曲线.
所有的积分曲线都是
y
y F(x) C
由其中一条积分曲线
y F(x)
沿纵轴方向平移而得 到的.
( x0 , y0 )
O
x
前页 后页 返回
满足条件 F( x0 ) y0 的原函数正是在积分曲线中 通过点( x0 , y0 )的那一条积分曲线. 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数
法则. 定理 8.3 (不定积分的线性运算法则)
若函数 f 与 g 在区间 I 上都存在原函数, k1, k2为
任意常数, 则 k1 f k2 g 在 I上也存在原函数, 且
( k1 f ( x) k2g( x) )dx k1 f ( x)dx k2 g( x)dx.
例1 p( x) a0 xn a1 xn1 an1x an , 则
s(t) v0 dt v0 t C.
若 t0 时刻质点在 s0 处, 且速度为 v0, 则有 s (t ) v0(t t0 ) s0 .
前页 后页 返回
四、基本积分表
由基本求导公式可得以下基本积分公式:
1. 0dx C.
2. 1dx dx x C. 3. xdx x1 C ( 1, x 0).
《不定积分概念》课件
《不定积分概念》PPT课 件
欢迎来到本次《不定积分概念》的PPT课件。在本课程中，我们将介绍不定积 分的定义、性质、计算方法、常见公式以及如何使用不定积分解决具体问题。
不定积分的定义
1 概念介绍
不定积分是函数积分的一种形式，表示函数的原函数。它可以用来描述函数与曲线之间 的面积关系。
2 符号表示
不定积分通常使用∫表示，积分变量写在∫号下面。例如，∫f(x) dx表示对函数f(x)进行积分。
1
面积和体积
使用不定积分可以计算曲线与坐标轴之间
速度和位移
2
的面积以及旋转曲线形成的体积。
不定积分可以用于计算运动过程中的速度
和位移，例如计算物体的位移函数或速度
函数。
3
概率和统计
在概率和统计中，不定积分可以用于计算 概率密度函数的面积和期望值。
注意事项与常见错误
积分常数
计算不定积分时，要记住添加积分常数，它表示不定积分的无穷多个解。
不定积分的计算方法
分部积分法
用于计算乘积函数的不定积分， 通过选择合适的两个函数进行积 分运算。
三角函数积分
用于计算三角函数的不定积分， 通过使用特定的三角函数公式进 行简化。
部分分式分解法
用于计算有理函数的不定积分， 将有理函数分解为几个简单的部 分分式进行积分。
常见的不定积分公式
1 基本积分公式
如多项式的积分公式、幂 函数的积分公式等，是计 算不定积分的基础。
2 指数函数和对数函数
的积分
指数函数和对数函数的积 分公式是计算含有指数函 数和对数函数的不定积分 的关键。
3 三角函数和反三角函
数的积分
三角函数和反三角函数的 积分公式是计算含有三角 函数和反三角函数的不定 积分的重要工具。
欢迎来到本次《不定积分概念》的PPT课件。在本课程中，我们将介绍不定积 分的定义、性质、计算方法、常见公式以及如何使用不定积分解决具体问题。
不定积分的定义
1 概念介绍
不定积分是函数积分的一种形式，表示函数的原函数。它可以用来描述函数与曲线之间 的面积关系。
2 符号表示
不定积分通常使用∫表示，积分变量写在∫号下面。例如，∫f(x) dx表示对函数f(x)进行积分。
1
面积和体积
使用不定积分可以计算曲线与坐标轴之间
速度和位移
2
的面积以及旋转曲线形成的体积。
不定积分可以用于计算运动过程中的速度
和位移，例如计算物体的位移函数或速度
函数。
3
概率和统计
在概率和统计中，不定积分可以用于计算 概率密度函数的面积和期望值。
注意事项与常见错误
积分常数
计算不定积分时，要记住添加积分常数，它表示不定积分的无穷多个解。
不定积分的计算方法
分部积分法
用于计算乘积函数的不定积分， 通过选择合适的两个函数进行积 分运算。
三角函数积分
用于计算三角函数的不定积分， 通过使用特定的三角函数公式进 行简化。
部分分式分解法
用于计算有理函数的不定积分， 将有理函数分解为几个简单的部 分分式进行积分。
常见的不定积分公式
1 基本积分公式
如多项式的积分公式、幂 函数的积分公式等，是计 算不定积分的基础。
2 指数函数和对数函数
的积分
指数函数和对数函数的积 分公式是计算含有指数函 数和对数函数的不定积分 的关键。
3 三角函数和反三角函
数的积分
三角函数和反三角函数的 积分公式是计算含有三角 函数和反三角函数的不定 积分的重要工具。
20-第20讲不定积分及其计算(1)-PPT精选文档53页
( 6 ) cos x d x sin x C ,
( 7 ) sin x d x cos x C ( 8 ) sec 2 x d x tan x C ( 9 ) csc 2 x d x cot x C
(10 ) sec x tan x d x sec x C
8 x 6 d x 1 x 4 2 d x 6 x 2 d x d x
8x71x 2 52x3xC. 75
例2 解
求2x2x31x1dx.
2x23x12x56 (除)法
x1
x1
2 x2 x 3 1 x 1 dx (2 x 5 x6 1 )dx
ln2e()
(ax)axlna
2xex C. 1ln2
例9
求e|x| dx.
解
当x0时 ,
e |x | d x e x d x e x C 1 ,
当x0时 ,
e |x |d x e xd x e x C 2 ,
由于一个函数必 的是 原连 函续 数, 故 函数
例5
求 (xad)xx(b) (ab).
解
(x a d )x x ( b ) a1 b x 1a x 1b dx
部分分式法
a1 b x 1adxx 1bdx
1 lnxaC. ab xb
例6
求coc2xsos2xsi2nxdx.
cos 2xdx
解 dx 1d2x
c2os2xdx令 ucos22xx11 2d co(2 sxu)du
1 2
cos2xd(2x)
2
1 sin u C 2
大一上学期同济版高数第四章不定积分ppt课件
故 ( x ) F ( x ) C 0 (C0 为某个常数 ) F ( x ) C . 属于函数族 定理3：设 (x) 和 F ( x) 是 f ( x ) 的两个不同的原函数， 则它们之间只差一个常数。
7
I 定义 2. f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x)在
上的不定积分, 记作 f (x )d x, 其中
由 x ( 0 ) x ,得 C x ,于是所求运动规律为 0 2 0
2 1 x ( t ) g t v t x 0 0 2
12
从不定积分定义可知: d f (x)dx (1) f ( x )或 d f (x)d x f ( x ) d x dx 或 ( 2 ) x C d C F(x) F(x) F(x) F(x) d 可见，微分法和积分法是互逆运算，当积分运算记号
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v 0 .
x ( t ) ,则 设时刻 t 质点所在位置为 x
dx v (t ) dt
(运动速度) 再由此求 x(t )
x
x x ( t)
x x ( 0 ) 0
o
11
d2 x d v g (加速度) 2 dt dt 先由此求 v (t )
与微分运算记号 d 连在一起时，或相互抵消，或
抵消后只差一个常数。即
利用逆向思维
“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。” 二、 基本积分表 (P188)
( 1 )
d xkxC k
( k 为常数)
13
( 2 )
x— 积分变量; 若F 则 ( x ) f ( x ) ,
例如,
— 积分号;
7
I 定义 2. f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x)在
上的不定积分, 记作 f (x )d x, 其中
由 x ( 0 ) x ,得 C x ,于是所求运动规律为 0 2 0
2 1 x ( t ) g t v t x 0 0 2
12
从不定积分定义可知: d f (x)dx (1) f ( x )或 d f (x)d x f ( x ) d x dx 或 ( 2 ) x C d C F(x) F(x) F(x) F(x) d 可见，微分法和积分法是互逆运算，当积分运算记号
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v 0 .
x ( t ) ,则 设时刻 t 质点所在位置为 x
dx v (t ) dt
(运动速度) 再由此求 x(t )
x
x x ( t)
x x ( 0 ) 0
o
11
d2 x d v g (加速度) 2 dt dt 先由此求 v (t )
与微分运算记号 d 连在一起时，或相互抵消，或
抵消后只差一个常数。即
利用逆向思维
“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。” 二、 基本积分表 (P188)
( 1 )
d xkxC k
( k 为常数)
13
( 2 )
x— 积分变量; 若F 则 ( x ) f ( x ) ,
例如,
— 积分号;
高数不定积分-讲解和例题.ppt
tan
x
cos2
d x
x
1 tan
x
dtan
x
ln
tan
x
C
例6：
sin2 x d x
1
cos 2x 2
d
x
1 2
dx
1 2
cos 2x d 2 x
1 x 1 sin2x C. 24
同理， cos2 x d x 1 x 1 sin2x C. 24
例7：
cos4
xd
x
1
cos 2 x 2
f (u)
du
[F (u) C]u( x) F ( x) C. 证明：{ F( x) C } F( x)( x)
f ( x)( x), 得证。
换元公式： f ( x)( x)d x
(x)d x d ( x) f ( x) d ( x)
φ (x) = u
f (u)du F(u) C
x
1 d x d ln x x
1 ln x
d
ln
x
1 u
d
u
ln u
C
ln
ln
x
C.
题目做得熟练后，中间变量 u 可以不写出来。
例2：
11 x2 sin x d x
1 x2
d
x
d(
1) x
sin
1 x
d
1 x
cos 1 C. x
例3： tanxcdo1sxxdcocsoisnsxxxdxln cos x C.
则 f (x)dx F(x) C
就表示了一族积分曲线 y = F (x) + C .
y
它们相互平行，即 在横坐标相同的点 处有相同的切线斜 率。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不定积分
例1
下列函数中，为函数e2x 的原函数
的是（ B ） A. y 2e2x C. y e2x
B.
y 1 e2x 2
D. y 2e2x
： 分析 ( 1 e2x ) 1 e2x (2x) e2x
2
2
故选B
不定积分
课堂 练习
1、设ln x 是f (x) 的一个原函数，
则f (x)的另一个原函数是(其中k 0
y F(x) C
不定积分
说明：
曲线族里的所有积分曲线在横坐标x 相同的点处的切线彼此平行，即这些切
线有相同的斜率 f (x).
例3 已知曲线 y f (x) 在任意一点 x 处的
切线斜率为 3x2且曲线经过 (1,2)点,求 此曲线的方程.
不定积分
解：设所求曲线的方程为：y f (x) 由题意知：
两种运算互相抵消.
不定积分
⑵、如果先微分再积分，其结果只差
一个常数.
如：
1、[ (1 7x)103dx] (1 7x)103 2、 g(x)dx g(x) C
2、不定积分的性质 ⑴、不为零的常数因子，可以提到
积分号前.
不定积分
kf (x)dx k f (x)dx(k 0)
⑵、两个函数的代数和的积分等于
x)
1 arctan
x
C
kd[(x)] k(x) C
不定积分
例4
若 f (x)dx F(x) C, 则 ex f (ex)dx ( C )
A. F (ex ) C
B. F(ex ) C
C. F(ex ) C
D. 1 F(ex ) C
x
分析：
(ex ) (ex )(x)
ex f (ex )dx f (ex )d (ex )
x dx 1 x1 C( 1)
1
理解为下面的结构式：
d
1 1 C( 1)
1
式中的方块 可以为自变量x， 也可以是 x的函数.
不定积分
如：
sin3 xd(sin x) 1 sin 4 x C
4
ln
xd (ln
x)
2
ln
3 2
x
C
3
1 (arctan
x)2
d
(arctan
说明：
x称为积分变量， “”称为积分号，
f (x)称为被积函数， C称为积分常数, f (x)dx 称为被积表达式.
不定积分
例2 若f (x)的导函数为sin x ，则f (x) 的一
个原函数是（ B ）
A. 1 sin x
B. 1sin x
C. 1 cosx
D. 1cosx
分析： f (x) sin x f (x) cos x C1
y 3x2dx x3 C
又 积分曲线族过 (1,2)点
2 1C
即C 1 故所求曲线的方程为y x3 1
不定积分
三、基本积分公式
1、 0dx C 2、x dx 1 x1 C
1
3、 1x dx ln | x | C
4、axdx 1 ax C ln a
5、exdx ex C
函数积分的代数和.
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
f (x)dx (cosx C1)dx sin x C1x C2
令C1 0,C2 1 故选B
不定积分
2、不定积分几何意义
积分曲线：
设f (x)的一个原函数为F(x), 则曲线 y F(x)称为函数 f (x) 的一条积分曲线.
不定积分的几何意义：
f (x)的全部积分曲线所组成的积分 曲线族，其方程是
不定积分
6、 sin xdx cos x C 7、 cosxdx sin x C
8、 sec2 xdx tan x C
9、 csc2 xdx cot x C 10、 secx tan xdx sec x C 11、 cscx cot xdx csc x C
不定积分
12、
ex
F(ex ) C
故选C
不定积分
练 习
(
1 s in 2
x
1)d
(sin
x)
____
A
A. 1 sin x C
sin x
B. 1 sin x C
sin x
C. cotx sin x C D. cotx sin x C
分析： 1
1
(sin2
1)d(sin x) x
sin2
x d sin x 1d sin x
1 sin x C 故选A
sin x
不定积分
四、不定积分的性质
1、不定积分与导数(或微分)的关系
(1)、[ f (x)dx] f (x) 或 d[ f (x)dx] f (x)dx (2)、 F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C
说明： ⑴、对一个函数先积分再微分，结果
2
B. 1 (ex ex )2
2
D. 2(e2x e2x )
分析：
D
[2(e2x e2x )] 4e2x 4e2x
不定积分
二、不定积分
1、不定积分 函数f (x) 的全体原函数F(x) C叫做 f (x) 的不定积分.记为
f (x)dx F(x) C 其中 F(x) f (x)
（一）
【不定积分】
一、原函数
1、原函数 设 f (x)是定义在某区间的已知函数， 若存在函数 F(x), 使得F(x) f (x)或dF(x) f (x)dx, 则称 F(x)是f (x) 的一个原函数. 如： (sin x) cos x
sin x 是cos x 的一个原函数.
不定积分
2、原函数存在定理 定理1 若函数 f (x)在某区间上连续,则 在该区间上的原函数一定存在. 定理2 若F(x)是f (x) 的一个原函数,则F(x) C 是f (x) 的全部原函数，其中C 是任意 常数.
为常数) ( C )
A. y ln(x k)
B. y k ln x
C. y ln(kx)
D.
y 1 ln(kx) k
分析：
[ln(kx)]
1
(kx)
1
k
1
kx
kx x
2、下列函数中不是e2x e2x 的原函数
的是( )
A. 1 (e2x e2x )
2
C. 1 (ex ex )2
1 1 x2
dx arcsin x C arccos x C
13、 1
1 x
2
dx
arctan
x
C
arc
cot
x
C
说明：
1、基本公式是以x为积分变量的，若将基
本公式所有的x换成其它的字母公式亦
成立.如： cosudu sin中的x 均可理解为x 的的连续
函数.如：
例1
下列函数中，为函数e2x 的原函数
的是（ B ） A. y 2e2x C. y e2x
B.
y 1 e2x 2
D. y 2e2x
： 分析 ( 1 e2x ) 1 e2x (2x) e2x
2
2
故选B
不定积分
课堂 练习
1、设ln x 是f (x) 的一个原函数，
则f (x)的另一个原函数是(其中k 0
y F(x) C
不定积分
说明：
曲线族里的所有积分曲线在横坐标x 相同的点处的切线彼此平行，即这些切
线有相同的斜率 f (x).
例3 已知曲线 y f (x) 在任意一点 x 处的
切线斜率为 3x2且曲线经过 (1,2)点,求 此曲线的方程.
不定积分
解：设所求曲线的方程为：y f (x) 由题意知：
两种运算互相抵消.
不定积分
⑵、如果先微分再积分，其结果只差
一个常数.
如：
1、[ (1 7x)103dx] (1 7x)103 2、 g(x)dx g(x) C
2、不定积分的性质 ⑴、不为零的常数因子，可以提到
积分号前.
不定积分
kf (x)dx k f (x)dx(k 0)
⑵、两个函数的代数和的积分等于
x)
1 arctan
x
C
kd[(x)] k(x) C
不定积分
例4
若 f (x)dx F(x) C, 则 ex f (ex)dx ( C )
A. F (ex ) C
B. F(ex ) C
C. F(ex ) C
D. 1 F(ex ) C
x
分析：
(ex ) (ex )(x)
ex f (ex )dx f (ex )d (ex )
x dx 1 x1 C( 1)
1
理解为下面的结构式：
d
1 1 C( 1)
1
式中的方块 可以为自变量x， 也可以是 x的函数.
不定积分
如：
sin3 xd(sin x) 1 sin 4 x C
4
ln
xd (ln
x)
2
ln
3 2
x
C
3
1 (arctan
x)2
d
(arctan
说明：
x称为积分变量， “”称为积分号，
f (x)称为被积函数， C称为积分常数, f (x)dx 称为被积表达式.
不定积分
例2 若f (x)的导函数为sin x ，则f (x) 的一
个原函数是（ B ）
A. 1 sin x
B. 1sin x
C. 1 cosx
D. 1cosx
分析： f (x) sin x f (x) cos x C1
y 3x2dx x3 C
又 积分曲线族过 (1,2)点
2 1C
即C 1 故所求曲线的方程为y x3 1
不定积分
三、基本积分公式
1、 0dx C 2、x dx 1 x1 C
1
3、 1x dx ln | x | C
4、axdx 1 ax C ln a
5、exdx ex C
函数积分的代数和.
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
f (x)dx (cosx C1)dx sin x C1x C2
令C1 0,C2 1 故选B
不定积分
2、不定积分几何意义
积分曲线：
设f (x)的一个原函数为F(x), 则曲线 y F(x)称为函数 f (x) 的一条积分曲线.
不定积分的几何意义：
f (x)的全部积分曲线所组成的积分 曲线族，其方程是
不定积分
6、 sin xdx cos x C 7、 cosxdx sin x C
8、 sec2 xdx tan x C
9、 csc2 xdx cot x C 10、 secx tan xdx sec x C 11、 cscx cot xdx csc x C
不定积分
12、
ex
F(ex ) C
故选C
不定积分
练 习
(
1 s in 2
x
1)d
(sin
x)
____
A
A. 1 sin x C
sin x
B. 1 sin x C
sin x
C. cotx sin x C D. cotx sin x C
分析： 1
1
(sin2
1)d(sin x) x
sin2
x d sin x 1d sin x
1 sin x C 故选A
sin x
不定积分
四、不定积分的性质
1、不定积分与导数(或微分)的关系
(1)、[ f (x)dx] f (x) 或 d[ f (x)dx] f (x)dx (2)、 F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C
说明： ⑴、对一个函数先积分再微分，结果
2
B. 1 (ex ex )2
2
D. 2(e2x e2x )
分析：
D
[2(e2x e2x )] 4e2x 4e2x
不定积分
二、不定积分
1、不定积分 函数f (x) 的全体原函数F(x) C叫做 f (x) 的不定积分.记为
f (x)dx F(x) C 其中 F(x) f (x)
（一）
【不定积分】
一、原函数
1、原函数 设 f (x)是定义在某区间的已知函数， 若存在函数 F(x), 使得F(x) f (x)或dF(x) f (x)dx, 则称 F(x)是f (x) 的一个原函数. 如： (sin x) cos x
sin x 是cos x 的一个原函数.
不定积分
2、原函数存在定理 定理1 若函数 f (x)在某区间上连续,则 在该区间上的原函数一定存在. 定理2 若F(x)是f (x) 的一个原函数,则F(x) C 是f (x) 的全部原函数，其中C 是任意 常数.
为常数) ( C )
A. y ln(x k)
B. y k ln x
C. y ln(kx)
D.
y 1 ln(kx) k
分析：
[ln(kx)]
1
(kx)
1
k
1
kx
kx x
2、下列函数中不是e2x e2x 的原函数
的是( )
A. 1 (e2x e2x )
2
C. 1 (ex ex )2
1 1 x2
dx arcsin x C arccos x C
13、 1
1 x
2
dx
arctan
x
C
arc
cot
x
C
说明：
1、基本公式是以x为积分变量的，若将基
本公式所有的x换成其它的字母公式亦
成立.如： cosudu sin中的x 均可理解为x 的的连续
函数.如：