圆锥曲线最值范围定值(总结)

将|PF|－4＝|PF′|代入，得|PA|＋|PF|－4≥5，
即|PA|＋|PF|≥9，等号当且仅当 A，P，F′三点共线，
即 P 为图中的点 P0 时成立，故|PF|＋|PA|的最小值为 9.故填 9.
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方法 2：数形结合（切线法）
当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的 切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．
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9
解析
因为椭圆x32＋y2＝1
的参数方程为x＝ y＝s
3cos φ in φ，
(φ 为参数)．
故可设动点 P 的坐标为( 3cos φ，sin φ)，其中 0≤φ＜2π.
因此S＝x＋y＝
3cos
φ＋sin
φ＝2
3 2 cos
φ＋12sin
φ＝2sinφ＋π3，所以，当φ＝π6
时，S取最大值2.故填2.
①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为
距离问题求解．
例1、已知点F是双曲线－＝1的左焦点，定
点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，
则|PF|＋|PA|的最小值为________．
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6
解析 如图所示，根据双曲线定义|PF|－|PF′|＝4，
即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5，
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方法 4：基本不等式法 ①将最值用变量表示． ②利用基本不等式求得表达式的最值．
例 4 已知定点 A(0，3)点 B、C 分别在椭圆 4x2 16 y2 1 的准线上运动， 3
当∠BAC=90°时，求△ABC 面积的最大值。
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二、圆锥曲线范围问题
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方法 1：曲线几何性质法 ①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解． 例1、已知双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双 曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线中 c 的取值范围是________．
距离。
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2
方法 1：（求切点）设与 L 平行的直线与椭圆相切于点 P(x0 ，y0 )，由椭圆
方程 3x2
4y2
48 得此切线方程 3x0 x 4 y0 y
48来自百度文库，∵ k
1 2
，∴
3x0 4 y0
1 2
，即
3x0 2 y0 0 （1），又 3x02 4 y02 48 （2），解(1)(2)得切点的坐标为 P1 （－2，
得 m2 64 ， m 8。
当
m=8
时，切线方程
x－2y+8=0，此时
y
12m 2 16
3
，切点为
P1
（－2，
3）；
当
m=－8
时，切线方程
x－2y－8=0，此时
y
12m 2 16
3
，切点为
P2
（2，－3）设点 P 到直线 L 的距离为 d，由点到直线的距离公式，得
dmax 4
5 ， dmin
4 5
3）P 2 （2，－3）。设点 P 到直线 L 的距离为 d，由点到直线的距离公式，得
dmax 4
5 ， dmin
4 5
5。
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3
方法 2：（判别式法）设与 L 平行的椭圆的切线方程为 x－2y+m=0，代入椭 圆方程，消去 x 得16 y2 12my 3m2 48 0 ，由△=
(12m)2 416 (3m2 48) 0
代入椭圆方程，得x22＋(kx＋ 2)2＝1，整理得12＋k2x2＋2 2kx＋1＝0.① 由直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q，得 Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2＞0，
解得
k＜－
2或 2
k＞
2，即 2
k
的取值范围为－∞，－
22∪
22，＋∞.
(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则O→P＋O→Q＝(x1＋x2，y1＋y2)．
例2、求椭圆x22＋y2＝1上的点到直线y＝x＋2 3的距离的最大值和最小值，并求 取得最值时椭圆上点的坐标．
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8
方法 3：参数法（函数法）
① 选取合适的参数表示曲线上点的坐标； ②求解关于这个参数的函数最值 例3、在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x32＋y2＝1上的一个动点，则S ＝x＋y的最大值为________．
由方程①，知 x1＋x2＝－14＋22kk2.②,又 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2 2＝1＋2 22k2.③
由 A( 2，0)，B(0,1)，得A→B＝(－ 2，1)．
所以O→P＋O→Q与A→B共线等价于 x1＋x2＝－ 2(y1＋y2)，
将②③代入，解得
k
的直线
l
与椭圆x2＋ 2
y2＝1 有两个不同的交点 P 和 Q.
(1)求 k 的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数m，使得
向量O→P＋O→Q与A→B共线？如果存在，求m值. ；如果不存在，请说明理由． 15
解 (1)由已知条件，知直线 l 的方程为 y＝kx＋ 2，
圆锥曲线最值、范围、定值（定点） 问题
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1
一、圆锥曲线最值问题
• 解决最值的方法：一是代数法，建立目标函数，转化为函数的最 值问题，注意到自变量的范围；二是几何法，考虑某些量的几何 特征及意义，利用图形性质求解。
例.求椭圆 x2 y2 1上的点 P 到直线 L：x－2y－12=0 的最大距离和最小 16 12
a
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解析 根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，设|PF2|＝r， 则|PF1|＝4r，故 3r＝2a，即 r＝23a，|PF2|＝23a. 根据双曲线的几何性质，|PF2|≥c－a，即23a≥c－a，即ac≤53，即 e≤53.又 e＞1， 故双曲线的离心率e的取值范围是1，53.故填1，53.
5。
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4
方法 3：（参数法）设椭圆上任意一点 P(4cosθ， 2 3 sinθ)，它到直线 L
的距离为 d | 4cos 4 3 sin 12 | 8 5 | sin( ) 3 | ，∴当sin( ) 1
5
5
6
2
6
时， dmax 4
5 ；当 sin(
6
)
1时， dmin
4 5
5。
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5
方法1：定义转化法
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方法 2：判别式法 当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消 元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零
① 联立曲线方程，消元后求判别式；
②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．
例 2、在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0，
2)且斜率为