历年自主招生试题分类汇编 平面几何

历年自主招生试题分类汇编——平面几何

4．（2013年北约）如图，△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，DM 、DN 分别为∠ADB 、∠ADC 的角平分线，试比较BM ＋CN 与MN 的大小关系，并说明理由．

解析 延长ND 至E ，使ND ＝ED ，连结BE 、ME ，则△BED ≌△CND ，△MED ≌△MND ，ME ＝MN ，

由BM ＋BE ＞EM ，得BM ＋CN ＞MN ．

题4（2012年北约）如果锐角ABC ∆的外接圆圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比。 解： 如图，过O 分别作,,BC CA AB 的垂线，垂足为,,D E F ,设 123,,OD d OE d OF d ===，

OA OB OC R ===

由平几知识得2BOC A ∠=，∴BOD A ∠=，1cos d R A = 同理：2cos d R B =，3cos d R C = ∴123::cos :cos :cos d d d A B C =

即O 到三角形三边的距离之比为对应边所对角的余弦之比。

评析：本题叙述简洁，结论优美，入口较宽，解法多样，既能反映学生

的读题能力和转化能力，又考查了学生的平几和三角等知识，是一道相当精彩的好题，为自主招生备考指明了方向。 题8（2012年北约）求证：若圆内接五边形的每个角相等，则它为正五边形。

A

C

N

A

C

N A

A

C

O

F

D

E

解： 如图，五边形ABCDE 为O 内接五边形， 延长,,,AE CD DC AB 有两交点,G H ，连接AC ， ∵AED EDC ∠=∠, ∴GED GDE ∠=∠ ∴GE GD = ∵,,,A C D E 在O 上 ∴CAG GDE ∠=∠,GCA GED ∠=∠

∴CAG GCA ∠=∠ ∴GA GC = ∴AE CD =

连结AD ，同理可得AB CD =，从而AE AB CD ==，

同样，延长,,,BC ED BA DE ,可证得：BA BC DE == ∴AB BC CD DE EA ====，从而可知五边形ABCDE 为正五边形。

评析：本题是一道平面几何题，图形简单，背景公平，重点考查学生的推理论证和演绎能力，可贵的是有别于数学竞赛的平几题。

1. （2011年北约）已知平行四边形的其中两条边长为3和5,一条对角线长为6,求另一条对角线的长.

【答案】x =x .由22222(35)6,x +=+

解得x =. 2.求过抛物线2221y x x =--和2523y x x =-++的交点的直线方程. 【解】联立两方程,消去2,x 得6710x y +-=.此方程即为所求.

2．（2010年北约）AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB

（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为

x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<； ⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）． 不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．

且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或； 对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于

是

22max AB R P R Q ==

由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ． 下面研究正五边形对角线的长．

如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ．

易知5EFH HFG GFI IGF FGH π

∠=∠=∠=∠=∠=．

于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =．

由角平分线定理知1

11EF EH x FG

x HG

=

==

-

．解得x =． 5、（2011年华约）如图，1eO 和2eO 外切于点C ，1eO ，2eO 又都和eO 内切，切点分别为

,A B .设,AOB ACB αβ∠=∠=，则（ ）

A 、cos sin 02αβ+=

B 、sin cos 02

α

β-=

C 、sin 2sin 0βα+=

D 、sin 2sin 0βα-=

[分析]三个圆，已知条件变为：ΔO O 1 O 2边O 1 O 2上一点C ，O O 1、O O 2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A = O 1C ，O 2B = O 2C 。

解法一：连接12O O ，C 在12O O 上，则1221OOO OO O πα∠+∠=-，

111212O AC O CA OO O ∠=∠=

∠，22211

2

O BC O CB OO O ∠=∠=∠，故 1212211()22

O CA O CB OO O OO O πα

-∠+∠=∠+∠=，

12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2

α

β=。

解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则12212

OO O OO O πα

-∠=∠=

，

1212124

O CA O CB OO O πα

-∠=∠=

∠=， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2

α

β=。

9、（2011年华约）如图，已知ABC ∆的面积为2，,D E 分别为边AB ，边AC 上的点，F

I

H G

F

E

11

1

1x x-1