桥梁结构振动与稳定分析
大跨人行拱桥的结构稳定与振动分析
型材料 和新奇 的结构 形式 ， 径也 越来越 大 。 跨 由于人行 纵 、 断 面 图见 图 １ 。 横 ～３ 拱 桥 的 刚度 普遍 较 小 ， 其稳 定 性及 人 致 振动 问题 日渐 显 著 ． 多人 行 拱桥 的 １阶竖 向固有频 率 往 往 达不 到 很
势， 其稳 定性 及 人 致 振 动 问题 也 日渐 显 著 。对 某 大跨 上 承 式 钢 管 桁 架 人 行拱 桥 进 行 了稳 定 性 和 人 致 振 动 分 析 ， 对 该 桥 并
进 行 了舒 适 度 评 价 ， 此 类 桥梁 设 计 时参 考 借 鉴 。 供 关键 词 ： 人行 拱 桥 ； 定 ； 致振 动 ； 适 性 稳 人 舒 中 图分 类 号 ： ４ ．１ Ｕ４ ８１ 文献标志码 ： Ｂ 文章 编 号 ：０ ９ ７ ６ （０ ２ ０ － ０ ９ ０ １０ — ７ ７ ２ １ ）４ ０ ６ － ４
Ｓ ｒ ｃ ｕ ａ ｔ ｂ ｌ ｙａ ｄ Ｖｉ ｒ ｔ ｎ Ａｎ ｌ ｓｓｏ ｎ ｐ ｎ Ｐｅ ｅ ｔ ｉ ｎ Ａｒ ｈ Ｂｒｄ ｅ ｔ ｕ ｔ ｒ ｌ ａ ｉ ｔ ｎ ｂ ａ ｉ ａ ｙ ｉ ｆ Ｓ ｉ ｏ Ｌｏ ｇＳ ａ ｄ ｓｒａ ｃ ｉ ｇ
Ｌｕ ｎ ｂ ｏ， ａ ￣ｎｇ， ｎｇＦ ｎ Ｘｉ ｏＨａ ｂ ｏＺｏ ｇ ａ Ｙｕ Ｘｉ ｎ Ｄｉ ｅ ｇ， ａ ｉ ｏ
在 使用 荷 载下 下 弦杆 承受 较 大 的轴力 ， 此有 必 要对 立 人行 拱桥 上 部结 构 的 空 间三维 模 型 ， 因 分析 桥 梁 在人
２１＠ ４ ７ ） ３ 卷 啼 救木 ６ ０２ 期（ 一 第 ０ ９
桥梁的结构稳定与振动
用干扰力产生的初始变形代替它
干扰力使受压杆产生横向变形后，就从柱上撤 走了，但它产生的变形还在，若这种变形：
1、还能保留，即 随遇平衡 或 不稳定平衡 2、不能保留，即 稳定平衡
y
y
P
x
y P
x
x
M
P
P
P
y
x M P
到原有直线状态，图 c 压力P大类似凸面作用
二、压杆失稳与临界压力 1.理想压杆：材料绝对纯，轴线绝对直,压力绝对沿轴线
2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡
稳
P
定
平
衡
横向扰动
100P 横向扰动
不 稳 定 平 衡
哪个杆会有 失稳现象？
—— 斜撑杆
3.压杆失稳
4.压杆的临界压力
干扰力是随机出现的，大小也不确定 —— 抓不住的、来去无踪
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Hale Waihona Puke 长度系数μ =1 0.7
=0.5
=2
=1
虽然梁弯曲与柱稳定都用了 但是含义不同，对于梁弯曲：
力学上 —— 载荷直接引起了弯矩 数学上 —— 求解是一个积分运算问题
对于柱屈曲（压杆稳定）：
力学上 ——载荷在横向干扰力产生的变形上引起 了弯矩
同长度、截面性质、支撑条件有关
二、欧拉公式的适用范围 着眼点 —— 临界应力在线弹性内（小于比例极限）
三、经验公式、临界应力总图 1.直线型经验公式
①P < <S 时：
②S< 时：
结构动力学中的桥梁振动分析
结构动力学中的桥梁振动分析结构动力学是研究结构物在外力作用下的运动规律和动力响应的学科，桥梁振动分析则是结构动力学中一个重要的研究领域。
桥梁作为重要的交通工程构筑物，其振动特性对桥梁结构的安全性和使用寿命有着举足轻重的影响。
在本文中，我们将探讨结构动力学中的桥梁振动分析的方法和应用。
I. 桥梁振动的基本概念桥梁振动是指桥梁结构在受到外力作用后发生的振荡现象。
振动一般可分为自由振动和强迫振动两种类型。
自由振动是指桥梁在无外界干扰作用下的自身振动，其频率和振型由桥梁的固有特性决定。
而强迫振动是指桥梁受到外力激励后的振动，外力的频率可能与桥梁的固有频率一致或不一致。
II. 桥梁振动分析的方法1. 等效刚度法等效刚度法是一种常用的桥梁振动分析方法。
它将桥梁视为一根等效梁，通过对等效梁的刚度特性进行建模和计算，得到桥梁的动态响应。
等效刚度法适用于简化桥梁结构的复杂性，快速获取桥梁的动态特性。
2. 有限元法有限元法是一种较为精确的桥梁振动分析方法。
它将桥梁结构进行离散化，将结构划分为许多小单元，在每个小单元中建立动力学方程，并求解整个结构的动态响应。
有限元法适用于复杂桥梁结构的振动分析，可以考虑各种边界条件和非线性因素的影响。
III. 桥梁振动分析的应用1. 桥梁设计桥梁振动分析可以帮助工程师评估桥梁结构的稳定性和安全性。
通过分析桥梁的自由振动频率和振型，可以选择合适的结构参数，减小桥梁的共振效应，提高桥梁的抗震性能。
2. 桥梁监测桥梁振动分析可以用于桥梁的实时监测和健康评估。
通过监测桥梁的动态响应，可以发现结构的异常变形和疲劳损伤，及时采取修复措施，保证桥梁的安全使用。
3. 桥梁改造桥梁振动分析可以用于桥梁的改造和加固设计。
通过分析桥梁的动态响应，可以确定需要加固的部位和加固措施的方案，提高桥梁的承载能力和使用寿命。
IV. 振动控制技术随着科学技术的发展，振动控制技术在桥梁工程中逐渐得到应用。
主动振动控制技术和被动振动控制技术是两种常见的振动控制方法。
桥梁结构的振动特性与实践案例分析
桥梁结构的振动特性与实践案例分析桥梁结构是现代社会重要的基础设施，它们承载着交通运输的重任，保障着人们的出行安全和经济的发展。
然而，桥梁结构的振动特性对于其稳定性和安全性具有重要影响。
因此，深入了解桥梁结构的振动特性，并通过实践案例分析来探讨解决方法，对于提高桥梁工程的质量和安全性具有重要意义。
首先，桥梁结构的振动特性是指在受到外界激励或自身系统内部激励下，结构会发生振动。
振动特性包括振动频率、振动模态和振动幅值等参数。
振动频率是指桥梁结构在特定的条件下的振动周期，它与结构的刚度和质量密切相关。
振动模态是指桥梁结构在不同振动频率下的振动形态，它与结构的固有频率和振动模态形式有关。
振动幅值是指桥梁结构振动的幅度大小，它与激励的力度和结构的阻尼特性有关。
其次，桥梁结构的振动特性会对结构的稳定性和安全性产生影响。
当桥梁受到外界激励（如风荷载、地震等）时，如果结构的振动频率与激励频率接近甚至相同，就会出现共振现象。
共振会导致结构振幅增大，从而可能引起结构的破坏和倒塌。
此外，结构的振动还会导致桥梁的舒适性下降，对行人和车辆的安全造成威胁。
针对桥梁结构的振动问题，我们可以采取一系列的措施来保障桥梁的稳定性和安全性。
首先，通过结构设计和分析，合理选择结构材料和断面形状，提高桥梁的抗振能力。
其次，进行结构的振动监测与评估，了解结构的振动性能，及时采取相应的措施，如增加阻尼器、加强刚度等。
同时，制定科学合理的维护养护计划，及时发现和修复结构的损伤，防止进一步的振动放大。
本文将通过实践案例分析来探讨桥梁结构的振动特性及其对结构的影响。
以北京市某桥梁为例，该桥梁于1990年建成，经过多年的使用，出现了明显的振动问题。
通过实测数据和有限元分析，我们发现该桥梁的固有频率与甚至接近风荷载频率，导致桥梁受到风荷载时出现共振现象，振幅增大，威胁到行车安全。
因此，我们采取了增加阻尼器和加强结构刚度的措施，在不改变原有结构的情况下有效控制了振动问题。
桥梁结构自振频率分析
桥梁结构自振频率分析桥梁作为重要的交通基础设施，在现代社会发挥着关键的作用。
为了确保桥梁的安全性和稳定性，了解桥梁结构的自振频率是十分重要的。
本文将对桥梁结构自振频率的分析方法进行探讨。
一、概述桥梁结构的自振频率是指桥梁在自由振动状态下的频率。
当有外力作用于桥梁时，如果该外力的频率接近桥梁结构的自振频率，就会引发共振现象，对桥梁结构造成严重的破坏。
因此，准确计算和分析桥梁结构的自振频率对于桥梁设计和工程管理至关重要。
二、自振频率的分析方法1. 常规方法常规方法是通过对桥梁进行有限元分析来计算自振频率。
该方法可以精确计算桥梁的自振频率，但需要较为复杂的计算过程和大量的计算资源。
2. 经验公式经验公式是通过已有的桥梁结构的实测数据得出的近似计算公式。
这种方法可以用较简单的方式估算出桥梁的自振频率，适用于初步设计和快速评估。
三、影响自振频率的因素1. 桥梁的几何形状桥梁的几何形状对其自振频率有直接影响。
通常情况下，桥梁的自振频率与其长度、宽度、高度等几何参数有关。
2. 材料的物理性质桥梁材料的物理性质也是影响自振频率的重要因素。
不同材料具有不同的弹性模量和密度，这将直接影响桥梁的自振频率。
3. 桥梁的边界条件桥梁的边界条件也会对自振频率产生影响。
边界条件包括支座刚度、支座类型等，这些条件会改变桥梁的自由度，从而改变其自振频率。
四、自振频率的应用桥梁结构的自振频率不仅是用于评估桥梁的稳定性和安全性，还可以应用于其他方面。
例如，在桥梁的施工过程中，可以通过监测桥梁的自振频率来判断桥梁的质量和施工工艺的合理性。
五、案例分析以某桥梁为例，采用常规方法进行桥梁结构的自振频率分析。
通过有限元分析软件对桥梁进行建模，并设置边界条件和材料属性，最终得出桥梁的自振频率。
六、结论桥梁结构的自振频率分析是确保桥梁安全性和稳定性的重要手段。
常规方法和经验公式是常用的分析方法，根据实际情况选择适用的方法进行分析。
考虑桥梁的几何形状、材料的物理性质和边界条件等因素，可以更准确地计算桥梁的自振频率。
桥梁结构的稳定性分析与设计
桥梁结构的稳定性分析与设计一、绪论桥梁是连接两地之间的重要基础设施，桥梁结构的安全和稳定性对公众交通安全至关重要。
因此，对桥梁结构的稳定性分析和设计成为工程师们的重要任务。
二、桥梁结构的力学基础桥梁结构的力学基础主要包括力和应力、力学平衡和结构分析。
1.力和应力力是指物体之间的相互作用，包括重力、弹性力和摩擦力等。
应力则是指单位面积内物体所受的力的大小。
桥梁结构的稳定性取决于结构所承受的应力大小是否超过材料强度。
2.力学平衡力学平衡指桥梁结构所受的所有外力与内力之间的平衡关系。
在桥梁结构设计中，工程师必须满足静力平衡原理，即对于一个静止的体系，所受的合外力和合内力必须相等。
3.结构分析结构分析是指通过数学模型和力学分析方法对桥梁结构进行分析、设计和评估的过程。
结构分析包括模型建立、载荷计算、应力计算和变形计算等。
三、桥梁结构的稳定性分析桥梁结构的稳定性分析主要包括静力分析、动力分析、稳定性分析和疲劳分析。
1.静力分析静力分析是指对桥梁结构承受恒定载荷时的应力、变形及其稳定性的分析。
静力分析过程中需要计算桥梁结构的应力分布、变形情况和位移的大小，以判断桥梁结构的稳定性。
2.动力分析动力分析是指对桥梁结构承受动载荷时的应力、变形及其稳定性的分析。
动力分析过程中需要预测桥梁结构在风、地震、车辆和列车掠过时的振动、变形和应力等情况，以判断桥梁结构在动载荷下的稳定性。
3.稳定性分析稳定性分析是指对桥梁结构在受力状态下产生的屈曲、侧移和倾覆等现象进行分析。
稳定性分析过程中需要计算桥梁结构的刚度、屈曲力和扭转稳定性等指标，以判断桥梁结构在受力状态下的稳定性。
4.疲劳分析疲劳分析是指对桥梁结构在长期承载重载车辆和风雨等恶劣环境下的疲劳寿命进行评估。
疲劳分析过程中需要计算桥梁结构的疲劳强度、疲劳损伤和疲劳寿命等指标，以判断桥梁结构的使用寿命和安全性。
四、桥梁结构的设计桥梁结构的设计主要包括材料选择、截面设计、支座设计和荷载规定等。
桥梁振动分析与结构设计研究
桥梁振动分析与结构设计研究桥梁作为连接两个地区的重要交通枢纽，其稳定性和安全性显得尤为重要。
然而，桥梁在运行过程中会受到各种力的作用，其中一项重要的因素就是振动。
桥梁的振动分析与结构设计研究，是为了确保桥梁在长期服务中不发生损坏或倒塌，保障行车和行人的安全。
桥梁振动分析是通过对桥梁发生振动的原因、振动特性和结果进行研究，来评估桥梁的安全性。
首先，桥梁可能会受到自然力的作用，如风力和地震力等。
风力是导致桥梁振动的主要外力之一。
当风通过桥梁的时候，会产生激励力，引起桥梁的振动。
地震是另一个重要的外力，会产生地震波，造成桥梁振动。
其次，桥梁的自身结构和材料的特性也会影响桥梁的振动。
桥梁的几何形状和截面形态，以及材料的强度和刚度等因素，决定了桥梁的固有频率和振动特性。
为了研究桥梁振动，研究人员通常会使用有限元方法。
有限元方法将复杂的物体划分为许多小的有限元，通过求解这些小元素的运动方程，再将其组合成整个物体的运动方程。
通过对这些运动方程求解，可以得到桥梁的振动响应。
这种数值模拟的方法能够准确地计算桥梁的振动特性，为桥梁的设计和改进提供依据。
在桥梁振动的结构设计研究中，一个重要的目标是确定桥梁的固有频率，并确保这个频率不与外界激励频率发生共振。
当外界激励频率接近桥梁的固有频率时，会引起共振现象，加大桥梁的振动幅度，甚至导致桥梁失稳。
因此，在桥梁结构设计中，需要合理选择材料和截面，使得桥梁的固有频率避开外界激励频率。
此外，桥梁振动分析与结构设计研究还包括对桥梁的疲劳寿命和振动控制等方面的研究。
桥梁在长期运行过程中，会承受不同程度的荷载作用，这些荷载会导致桥梁发生疲劳损伤。
通过使用振动试验和数值模拟方法，可以评估桥梁的疲劳寿命，为桥梁维护和修复提供科学依据。
此外，振动控制技术也是桥梁振动研究的重要方向之一。
通过在桥梁上安装减振器和阻尼器等装置，可以有效地减小桥梁的振动幅度，提高桥梁的稳定性和安全性。
总之，桥梁振动分析与结构设计研究是为了保障桥梁的稳定性和安全性，确保桥梁在长期服务中不发生损坏或倒塌。
钢结构桥梁的振动与控制
钢结构桥梁的振动与控制钢结构桥梁是现代交通建设中常见的重要组成部分，它具有承载能力高、结构刚性好等优点。
然而，由于桥梁自身的重量和弯曲刚度，以及外界因素的影响，钢结构桥梁在使用过程中会发生振动现象。
这种振动会给桥梁的稳定性和安全性带来潜在威胁，因此对钢结构桥梁的振动进行控制是非常必要的。
一、振动的类型与原因钢结构桥梁主要存在以下几种振动类型：自由振动、迫振动、共振振动和非线性振动。
这些振动主要由以下原因引起：1. 风荷载引起的振动：风是一个重要的外界力，当风速超过一定范围时，会产生较大的气动力，导致桥梁出现迫振动或共振振动。
2. 频率激励引起的振动：当桥梁受到与其固有频率相近的激励时，会发生共振振动，如行车载荷、地震等。
3. 施工活动引起的振动：在桥梁的施工过程中，机械设备和爆炸声等都会对振动产生影响，尤其是钢结构的安装会引起自由振动。
二、振动对桥梁的影响钢结构桥梁的振动对其结构的稳定性和安全性产生直接影响：1. 疲劳破坏：桥梁长期受到振动作用，会引起材料的疲劳破坏，进而导致桥梁的结构失效。
2. 振动放大：桥梁受到外部激励时，如果其频率与桥梁的固有频率相近，会引起共振现象，使得振动幅度放大，进而加剧桥梁的损伤程度。
3. 几何非线性效应：在较大振动幅度下，钢结构桥梁会产生几何非线性效应，导致桥梁的刚度和承载能力减小。
三、振动控制方法为了保证钢结构桥梁的正常运行和安全性，有必要对其振动进行控制。
以下是一些常用的振动控制方法：1. 袈振动控制：增加阻尼器等装置，通过吸收振动能量来降低桥梁的振动幅度。
2. 增加重量：通过增加桥梁的自重来提高其固有频率，从而使得外界频率激励难以引起共振。
3. 改变刚度：通过调整桥梁的刚度参数来改变其固有频率和振动模态，达到减小振动幅度的效果。
4. 综合控制方法：综合运用多种控制手段，如主动控制、半主动控制和被动控制等方法，以达到最佳的振动控制效果。
需要注意的是，在进行振动控制时，应综合考虑桥梁的结构特点、环境条件和经济效益等因素，确保达到可行和有效的控制效果。
桥梁结构动力特性分析
桥梁结构动力特性分析桥梁结构是城市交通建设中必不可少的重要组成部分。
为了确保桥梁的安全性和可靠性，在设计和施工过程中，必须对桥梁的动力特性进行充分的分析。
本文将对桥梁结构的动力特性进行详细讨论，包括桥梁结构的固有频率、自由振动、强迫振动以及可能引起的共振现象等。
一、固有频率固有频率是指桥梁结构在没有外力作用的情况下，自身固有特性所具有的振动频率。
桥梁结构的固有频率是通过结构的质量、刚度和几何尺寸来确定的。
一般来说，桥梁的固有频率越高，结构的刚度越大，相应地，结构的稳定性和抗风、抗震能力也会更高。
二、自由振动自由振动是指桥梁结构在受到外力激励之前的自由振动行为。
当桥梁结构受到外力干扰后，会出现固有频率下的自由振动。
自由振动是桥梁在没有外力干扰下的自然振动，也是研究桥梁动力特性的重要基础。
三、强迫振动强迫振动是指桥梁结构在受到外力激励时的振动行为。
在桥梁的正常使用过程中，会受到行车荷载、风力、地震等各种外力的作用，从而引起结构的强迫振动。
通过对桥梁结构的强迫振动进行分析，可以评估结构的动力响应和力学性能。
四、共振现象共振是指外力激励频率与桥梁结构的固有频率非常接近，从而导致结构发生巨大振幅的现象。
共振是桥梁结构动力特性中非常重要和危险的现象，因为共振会导致结构的破坏和失效。
因此，在桥梁设计和施工过程中，必须避免共振的发生。
五、动力特性分析方法为了分析桥梁结构的动力特性，工程师们可以采用多种分析方法。
常见的方法包括模态分析、频率响应分析和时程分析等。
模态分析是通过计算桥梁结构的固有振型和固有频率来进行分析，可以预测结构在不同固有频率下的振动情况。
频率响应分析是通过施加频率变化的外力激励，来分析桥梁结构的响应情况。
时程分析是通过实测或模拟不同的时间历程，来研究桥梁结构在动力加载下的响应和变形情况。
六、桥梁结构动力特性在实际工程中的应用在实际桥梁工程中，准确分析桥梁结构的动力特性对于设计和施工至关重要。
首先，通过分析桥梁的固有频率和自由振动，可以确定结构的稳定性和抗风、抗震能力。
桥梁结构的振动分析与控制
桥梁结构的振动分析与控制桥梁作为连接两地的交通要道，承载着人们出行的重要任务。
然而，在过去的几十年里，由于设计不合理、施工质量差等原因，很多桥梁出现了严重的振动问题，甚至导致了桥梁的坍塌。
因此，桥梁结构的振动分析与控制成为了桥梁工程领域的一个重要方向。
首先，我们来分析桥梁结构的振动问题。
桥梁结构在使用过程中，会受到外界因素的作用，比如车辆行驶过桥梁时的冲击力、风的吹拂等。
这些外界因素的作用会引起桥梁结构的振动，并且随着时间的推移，振动幅度可能会逐渐增大，最终导致结构的破坏。
因此，我们需要对桥梁结构的振动特性进行分析，找出其固有频率和振动模态。
其次，针对桥梁结构的振动问题，我们需要采取相应的控制措施。
目前，主要的振动控制方法有被动控制和主动控制两种。
被动控制方法是指通过在桥梁结构上添加阻尼材料、调整支座刚度等方式来降低振动幅度。
这种方法比较简单容易实现，但其效果有限。
另一种是主动控制方法，通过在桥梁结构上安装传感器和执行器，采集和控制振动信号，实现振动的主动控制。
这种方法可以更为精确地控制振动的大小和频率，但其实施难度较大。
在实际应用中，我们还需要考虑到桥梁结构的耐久性和保养成本等因素。
为了保证桥梁结构的长期稳定和运行安全，我们需要综合考虑各种因素，并选择合适的振动控制方法。
此外，还可以通过在设计阶段进行动力分析和模拟试验，评估不同方案对振动的抑制情况，以便在实施过程中选择最优方案。
另外，近年来，随着工程技术的进步和计算机科学的发展，结构振动分析与控制的研究也取得了许多突破。
比如，利用有限元分析方法和数值计算技术，可以对复杂的桥梁结构进行精确的振动分析和优化设计。
同时，人工智能和大数据技术的应用也为桥梁结构的振动分析和控制提供了新的思路和方法。
总的来说，桥梁结构的振动分析与控制是一个复杂的工程问题，需要综合考虑各种因素，并采取合理的控制措施。
在日益发展的社会中，保障桥梁结构的安全稳定对于人们的生活质量具有重要意义。
桥梁施工中的振动影响及对策
桥梁施工中的振动影响及对策桥梁是现代交通基础设施的重要组成部分，然而，在桥梁施工过程中，振动可能会对桥梁结构造成一定的影响。
本文将讨论桥梁施工中的振动影响以及对策，以确保桥梁结构的安全性和稳定性。
1. 桥梁施工中的振动影响桥梁施工过程中，主要存在以下几种振动影响：1.1 地面振动桥梁施工所产生的振动会通过地面传导，进而对周围建筑物和地质环境造成影响。
地面振动可能导致附近房屋的结构受损，地下管道破裂等问题。
1.2 桩基振动在桥梁施工中，施工机械和设备的振动可能会对桩基产生影响。
桩基振动会对桩身和土壤产生动力效应，进而影响桩基的承载能力和稳定性。
1.3 结构振动桥梁施工中，施工工艺和施工机械的震动可能会对桥梁结构本身产生振动。
这种振动可能导致桥梁结构的疲劳破坏，从而影响其使用寿命和结构安全性。
2. 桥梁施工中的振动对策为了减少桥梁施工中振动对周围环境和桥梁结构的影响，可以采取以下对策：2.1 预测与评估在桥梁施工前，应通过计算和模拟等方法预测施工振动对桥梁结构和周围环境的影响。
同时，需要评估施工振动的强度和频率，以确定可能的风险和潜在问题。
2.2 合理施工工艺设计在桥梁施工中，应采用合理的施工工艺和方法，以减少振动的产生和传导。
例如，可以采用分阶段施工，减少一次性对桥梁结构造成的振动量。
2.3 振动监测与控制在桥梁施工过程中，应设置振动监测装置，实时监测施工振动的强度和频率。
当振动超过安全限制时，应采取相应的控制措施，例如调整施工机械的工作参数，减少振动产生。
2.4 隔振与减振措施针对影响桥梁结构的振动，可以采取隔振和减振措施。
通过在桥梁结构中设置特殊设计的隔振装置，可以有效减少振动的传递和反射。
此外，可以使用减振材料和减振器等技术，降低桥梁结构的振动幅度。
3. 桥梁施工中的振动管理除了采取具体的对策来减少振动影响外，还需要进行综合的振动管理：3.1 建立健全的技术规范在桥梁施工领域，应建立健全的技术规范，明确振动限值和管理要求。
桥梁结构振动响应分析
桥梁结构振动响应分析桥梁结构是现代城市中不可或缺的基础设施之一。
然而，在桥梁使用过程中，由于交通载荷、环境变化和自然灾害等因素的影响，桥梁结构会发生振动，这可能对桥梁的稳定性和安全性产生不利影响。
因此，振动响应分析成为了桥梁工程领域一个重要的研究方向。
一、振动引起的问题1. 动态特性：桥梁结构在影响下会出现与静态加载不同的动态特性。
动态特性包括频率、振型以及振幅等参数，这些参数反映了桥梁结构在受力时的动态响应情况。
2. 疲劳损伤：桥梁结构在长期振动作用下，容易导致疲劳损伤。
疲劳损伤是由于周期性的加载引起的，振动频率与桥梁的固有频率接近时，容易引发共振，从而加剧疲劳损伤。
3. 振动幅度：振动会导致桥梁结构的位移、速度和加速度等变化，这些变化对桥梁的稳定性和舒适性都有重要影响。
过大的振幅可能引起结构失稳或者通行车辆的不适感。
二、振动分析的方法为了解决桥梁结构振动问题，研究人员采用了多种振动分析方法。
以下是几种常见的方法：1. 数值模拟方法：通过建立数学模型和物理模型，运用有限元法等数值方法，来模拟桥梁结构受到各种载荷作用时的动态响应情况。
数值模拟方法具有模型构建简便、计算效率高等优点。
2. 实验测试方法：通过搭建试验平台，利用振动台或者激振装置对桥梁结构进行真实加载，然后采集结构在不同振动条件下的振动响应数据。
这种方法能够更直观地观察和分析桥梁的振动情况。
3. 健康监测方法：利用传感器等设备，对桥梁结构进行长期实时监测，获取结构的振动数据，并进行分析。
健康监测方法可以不受限于实验条件，能够全面监测桥梁的振动情况。
三、影响振动响应的因素桥梁结构的振动响应受到多种因素的综合影响，以下是几个常见的影响因素：1. 交通载荷：车辆通行是产生桥梁振动的主要原因之一。
交通载荷包括车辆质量、速度和数量等因素，在桥梁上施加动态荷载，导致桥梁结构振动。
2. 环境变化：温度、湿度和风速等环境参数的变化，会引起桥梁结构发生热胀冷缩或者受到风荷载，从而引起结构振动。
桥梁结构振动监测及问题分析
桥梁结构振动监测及问题分析桥梁结构是连接两岸的重要交通通道，其安全稳定性对于保障交通的畅通和人民的生命财产安全至关重要。
由于受到自然因素、人为因素等多种因素的影响，桥梁结构在长期使用过程中会发生振动。
这些振动可能造成桥梁结构的损伤和破坏，因此对于桥梁结构的振动监测和问题分析显得尤为重要。
桥梁结构的振动监测可以通过传感器等装置进行实时检测和数据采集。
传感器能够感知桥梁结构的振动情况，并将数据传输到监测系统中进行分析和处理。
监测系统会对传感器采集到的数据进行实时监测和处理，以便及时发现潜在的结构问题。
在振动监测中，常用的参数包括振动幅值、频率、相位等。
通过监测这些参数的变化，可以了解桥梁结构的健康状态和振动特性。
桥梁结构振动监测的目的是早期发现问题，及时采取措施进行修复和加固。
一旦发现振动异常，监测系统会立即发出警报，并通知相关人员进行处理。
在振动监测系统中，还可以设置自动化控制，当振动超过一定程度时，自动触发紧急措施，以保障桥梁结构的稳定性和安全性。
这种自动化控制的监测系统可以充分发挥技术的优势，提高监测效率和准确性。
除了实时监测外，还需要对桥梁结构的振动问题进行深入的分析。
振动问题的分析可以从多个方面进行，例如通过有限元方法对桥梁结构进行模拟和计算，以了解其振动特性和强度分布情况。
还可以通过振动测试和实验研究，验证模拟结果的准确性并获得更多的振动参数和数据。
通过这些分析方法，可以全面了解桥梁结构存在的问题，为后续的修复和加固提供科学依据。
振动问题的分析也可以结合桥梁结构的设计和施工过程来进行。
有些振动问题可能是由于设计不合理或者施工过程中存在的问题造成的。
通过对设计和施工过程的审查和分析，可以找出问题的根源，并提出相应的改进和解决方案。
这种结合设计和施工的分析方法，能够从源头上预防和解决振动问题，提高桥梁结构的安全性和可靠性。
除了振动监测和问题分析，桥梁结构的振动控制也是一项重要的工作。
振动控制的目的是减小桥梁结构的振动幅值，提高其稳定性和舒适性。
随机振动对桥梁结构的影响分析
随机振动对桥梁结构的影响分析桥梁是现代化交通基础设施建设中的重要组成部分，其可靠性和安全性直接关系到人们的生命和财产安全。
在桥梁的设计和施工过程中，考虑到桥梁的受力特点和结构很难完全避免的自然环境因素，例如风、水流、地震等，这些因素都会对桥梁结构产生影响。
因此，针对影响桥梁结构稳定性的因素进行分析和探讨，尤其是随机振动对桥梁结构的影响分析，对桥梁的设计和运营具有重要意义。
一、什么是随机振动？振动是指物体沿某一方向做无规律运动。
很多振动都是经历过一定时间内的定常状态后，逐渐转化为随机振动。
随机振动指的是有一定的规律性和不确定性的振动，其变化规律具有随机性，无法用某种确定和可预测的方式来表达。
二、桥梁结构的振动模式在桥梁结构的振动过程中，其振型模式主要包括纵向振动模式、横向振动模式和扭转振动模式等。
通常情况下，在桥面板上发生的振动是远远小于桥梁主梁的自振动，因此，我们对桥梁结构的分析和探讨主要是从桥主梁发生的振动入手。
三、随机振动对桥梁结构的影响随机振动对桥梁结构的影响主要表现为两个方面：一是振动强度的不确定性，二是振动频率的随机性与多义性。
3.1振动强度的不确定性随机振动强度的不确定性是指振动荷载的产生、传输和作用过程所受到的影响因素相对较难确定的现象。
振动荷载的产生机制多种多样，例如风荷载、地震荷载、车辆荷载等。
这些荷载虽然有着明确的统计规律，但难以在桥梁结构设计过程中精确定量，这就导致了桥梁结构所承受的振动荷载在一定程度上出现不确定性。
同时，振动荷载在桥梁结构中传输过程同样受到外界环境、地理位置等多种因素的影响，这也使得随机振动荷载的强度难以确定。
3.2振动频率的随机性与多义性不同类型桥梁具有着不同的振动频率，而随机振动荷载的特殊性又导致了振动频率具有随机性和多义性。
因此，在进行桥梁结构设计时，需要考虑到桥梁结构的多种振动模式，同时还需要对随机振动荷载产生的激励作用和影响进行模拟和计算。
四、结论随机振动是一种常见的振动形式，在桥梁结构设计和运营过程中，需要考虑到随机振动对桥梁结构的影响。
桥梁结构中的自振特性分析与优化
桥梁结构中的自振特性分析与优化桥梁作为人类交通工程中重要的基础设施，其结构设计与安全性一直备受关注。
在桥梁结构中，自振特性是一个重要的考虑因素。
因为自振特性不仅与桥梁结构的稳定性和使用寿命有关，还与桥梁的舒适度和振动响应有紧密的联系。
因此，对桥梁结构中的自振特性进行分析与优化显得尤为重要。
首先，我们需要了解什么是桥梁结构的自振特性。
自振特性是指桥梁在承受外力作用下以自身的固有频率进行振动的特性。
这种自振特性可以导致桥梁结构的破坏，比如共振效应会导致结构的疲劳断裂和损坏。
因此，正确分析桥梁结构的自振特性是保证桥梁结构安全性的关键。
为了分析桥梁结构的自振特性，工程师们通常使用有限元方法。
这种方法通过将复杂的桥梁结构离散为一系列小单元，然后在每个单元上建立一个数学模型，最终将整个结构分析为一个由各个单元组成的系统。
通过对这个系统进行求解，可以得到桥梁结构的固有频率和模态形态等信息。
在分析桥梁结构的自振特性时，我们可以考虑预测结构的固有频率。
固有频率是指桥梁结构在没有外力作用下自己振动的频率。
通过预测固有频率，我们可以了解结构在自振状态下的振动频率范围，从而判断结构是否存在共振的风险。
如果结构的固有频率与外界激励频率相近，就可能引发共振，导致结构的破坏和疲劳断裂。
因此，在设计桥梁结构时，预测固有频率是非常关键的。
此外，我们还可以优化桥梁结构的设计，以改善其自振特性。
在桥梁结构设计中，可以采用一些优化措施来提高结构的固有频率，并减小共振的风险。
例如，可以通过增加结构的刚度来提高固有频率，或者改变结构的几何形状和材料属性，以调整结构的模态分布和频率响应。
此外，还可以通过优化结构的质量分布和分布质量的形状，来改变结构的振动特性。
在进行桥梁结构的自振特性优化时，值得注意的是平衡结构的稳定性和舒适度。
尽管增加结构的刚度可以提高固有频率，但过高的刚度可能会导致结构的不稳定性和振动响应的增加。
因此，在优化桥梁结构时，需要综合考虑结构的强度、刚度和舒适度等因素，以求得一个最优的设计方案。
桥梁结构的稳定性分析方法
桥梁结构的稳定性分析方法引言：桥梁结构的稳定性是评估其在受到外力作用时抵抗变形和倒塌的能力。
稳定性分析方法对于确保桥梁的安全和可靠性至关重要。
本文将探讨桥梁结构的稳定性分析方法，介绍常用的计算模型，以及实际中常见的稳定性问题和相应的解决方法。
一、桥梁结构的受力特点：桥梁结构的受力特点包括：自重、动力荷载（如车辆荷载）、温度荷载、风荷载、水荷载等。
在稳定性分析中，我们需要把握这些力的作用方式、力的大小以及力的变化规律。
二、桥梁结构稳定性分析的计算模型：1. 静力分析模型：静力分析模型适用于桥梁结构受静力荷载作用时的稳定性分析。
在这种模型中，我们通常采用有限元方法，将桥梁结构离散化为多个小单元，建立相应的方程求解结构的内力分布和变形情况，从而评估其稳定性。
2. 动力分析模型：动力分析模型适用于桥梁结构在动力荷载（如车辆通过）作用下的稳定性分析。
在这种模型中，我们需要考虑结构的固有振动频率及其幅值，以及外界荷载的频率与结构固有频率之间的关系。
通过分析结构与外界荷载的相互作用，我们可以评估结构的稳定性。
3. 热力分析模型：热力分析模型适用于桥梁结构在温度变化等热荷载作用下的稳定性分析。
在这种模型中，我们需要考虑结构的热传导和热膨胀行为，以及结构与环境之间的热交换。
通过分析结构的温度分布和变化情况，我们可以评估结构在不同温度条件下的稳定性。
三、桥梁结构稳定性分析中常见问题及解决方法：1. 桥墩的稳定性分析：桥墩是桥梁结构的支座，其稳定性对于整个桥梁的安全至关重要。
常见的桥墩稳定性问题包括侧翻、滑移和失稳等。
为解决这些问题，我们可以采用增加墩身截面面积、增加墩肢宽度、改善土基承载力等方法来提高桥墩的稳定性。
2. 桥面板的稳定性分析：桥面板是桥梁结构上的行车面，其稳定性直接影响着车辆行驶的安全性。
常见的桥面板稳定性问题包括振动、脱落和沉降等。
为解决这些问题，我们可以采用增加面板厚度、加固梁肋和减小梁间距等方法来提高桥面板的稳定性。
桥梁结构的振动分析
桥梁结构的振动分析桥梁作为重要的交通工程设施，承担着道路、铁路等交通运输的重要任务。
然而，在桥梁使用过程中，会遇到各种自然、人为因素引起的振动问题。
因此，对桥梁结构的振动进行准确分析和评估，对于确保桥梁的安全性和稳定性具有重要意义。
一、振动类型及特点桥梁结构的振动类型可以分为自然振动和强迫振动两种。
自然振动是指桥梁在受到外力作用下所产生的固有频率振动。
桥梁结构具有多个振动模态，每种模态都对应着不同的固有频率。
通过对桥梁结构进行模态分析，可以确定不同频率下的振动模态及其振型，并对其进行评估。
强迫振动是指桥梁在外力作用下发生的非自由振动。
外力包括风、交通荷载、地震等。
这些外力作用于桥梁结构时，会引起桥梁结构的振动响应。
通过对桥梁结构的响应分析，可以评估桥梁在不同条件下的振动响应情况，从而判断桥梁是否满足振动性能要求。
二、振动分析方法在桥梁结构振动分析中，常用的方法包括模态分析、频率响应分析和时程分析。
1. 模态分析模态分析是通过求解桥梁结构的固有振动特性，得到桥梁的振动模态及其固有频率。
通过模态分析可以判断桥梁的固有振动特性，了解桥梁的振动模态及其影响因素，为后续的响应分析提供基础数据。
2. 频率响应分析频率响应分析是利用桥梁结构的模态参数，分析桥梁在外力作用下的振动响应。
通过频率响应分析，可以评估桥梁在不同荷载条件下的振动响应情况，确定振动幅值、位移响应等参数，判断桥梁的安全性。
3. 时程分析时程分析是采用实测的交通荷载、地震波等真实载荷数据，分析桥梁在时变载荷作用下的振动响应。
时程分析可以更为真实地反映桥梁在实际使用条件下的振动响应情况，对于振动响应较为敏感的桥梁结构尤为重要。
三、振动分析的影响因素桥梁结构的振动响应受到多种因素的影响，包括桥梁的几何形状、材料特性、边界约束条件等。
1. 桥梁的几何形状桥梁的几何形状会影响桥梁结构的振动特性。
比如，跨度大的桥梁通常具有更低的固有频率，而拱桥则具有较低的纵向振动频率。
桥梁结构稳定性验算
桥梁结构稳定性验算1. 引言桥梁是连接两边地理环境的重要基础设施，它承载着车辆和行人的交通需求。
为了确保桥梁能够安全稳定地承载荷载，必须对桥梁结构进行稳定性验算。
本文将介绍一种常用的桥梁结构稳定性验算方法，并对其进行详细说明。
2. 桥梁结构稳定性验算方法桥梁结构稳定性验算是通过对桥梁结构的静力学和动力学特性进行分析，来评估桥梁结构在各种外力作用下的稳定性能。
常用的桥梁结构稳定性验算方法包括：2.1 静力学分析静力学分析是一种基于平衡条件的稳定性分析方法。
在这种分析方法中，通过建立桥梁结构的力学模型，分析各个构件受力状态，以确定结构的稳定性。
具体包括以下步骤：1. 建立桥梁结构的有限元模型。
2. 应用各种外力荷载，如重力、车辆荷载等。
3. 通过求解结构方程，计算各个构件的受力状态。
4. 判断桥梁结构是否满足平衡条件和强度要求。
2.2 动力学分析动力学分析是一种基于结构振动特性的稳定性分析方法。
在这种分析方法中，通过考虑结构的固有振动频率和外力激励，评估结构在动力荷载下的稳定性。
具体包括以下步骤：1. 建立桥梁结构的振动方程。
2. 求解振动方程，得到结构的固有振动频率和模态形态。
3. 应用外力激励，考虑结构的动力响应。
4. 通过比较振动响应和结构强度要求，判断结构的稳定性。
3. 结论桥梁结构稳定性验算是确保桥梁安全可靠运行的关键步骤。
通过静力学分析和动力学分析的方法，可以评估结构在静力和动力荷载下的稳定性。
在进行桥梁验算时，还应考虑结构的强度和刚度等因素，以确保结构具备足够的稳定性能。
这些方法可以为桥梁设计和施工提供重要的技术支持。
以上是桥梁结构稳定性验算的基本介绍，希望对相关工程师和设计师有所帮助。
在实际应用中，需要根据具体桥梁的情况和工程要求，结合相关标准和规范进行具体分析。
桥梁设计中的结构稳定性分析
桥梁设计中的结构稳定性分析桥梁作为连接两个地方的纽带，承载着交通运输的重要任务。
在桥梁设计中，结构稳定性是一个不可忽视的关键因素。
只有确保桥梁在各种外力作用下能够稳定安全地运行，才能保证人民生命财产的安全。
因此，在桥梁设计中，结构稳定性分析是一项重要且不可或缺的工作。
对于桥梁设计中的结构稳定性分析，首先需要考虑的是静力学问题。
静力学分析是基本的结构分析方法，通过分析桥梁受力情况，计算各部位的内力和外力之间的平衡关系。
在静力学分析中，有限元法是一种常用的手段。
通过将结构离散成若干个有限单元，模拟结构的受力情况，可以较为准确地分析桥梁的稳定性。
此外，还需要考虑荷载的作用，如静载和动载等。
静载指的是桥梁受到静止的荷载作用，如自重、振动荷载等；动载则是指桥梁受到动力荷载的作用，如车辆行驶时产生的冲击荷载。
除了静力学问题外，还需要考虑动力学问题。
在桥梁使用过程中，存在着频率和振动等动力学问题。
频率是指桥梁在受力过程中所产生的振动次数，振动是指桥梁在受到作用力后所发生的周期性变化。
为了确保桥梁在频率和振动上的稳定性，需要进行模态分析。
模态分析是指通过对桥梁进行振动频率和振型的计算和分析，来判断桥梁的稳定性。
通过模态分析，可以了解桥梁的振动特性，从而预防桥梁因振动而发生破坏。
此外，桥梁设计中还需要考虑材料的强度和工况变化等因素。
材料的强度是指材料能够承受的最大作用力，而工况变化包括结构的温度变化、季节变化等。
在桥梁设计中，需要根据具体情况选择合适的建筑材料，确保桥梁的结构稳定性。
此外，在设计过程中要充分考虑到工况变化，以便合理安排桥梁的结构，防止因工况变化而引起的结构失稳。
在结构稳定性分析中，还可以借鉴之前的类似工程案例。
通过对已有桥梁工程的结构稳定性进行分析研究，可以引用其设计经验和方法，提高自身设计的准确性和可靠性。
同时，也可以通过使用计算机辅助设计软件进行模拟和优化，提高设计效率和精确度。
总之，桥梁设计中的结构稳定性分析是一项关键而重要的工作。
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东南大学(2014～2015)年第一学期桥梁结构振动与稳定分析研究报告成绩：姓名：高明天学号：145511专业：桥梁与隧道工程授课教师：万水日期：2015年1月目录2薄板得振动理论及应用2、1薄板得自由振动薄板自由振动得一般问题就是这样提出得：在一定得横向荷载作用下处于平衡位置得薄板，受到干扰力得作用而偏离这一位置，当干扰力被除去以后，在该平衡位置附近作微幅振动。
（1）试求薄板振动得频率，特别就是最低频率。
（2）设已知薄板得初始条件，即已知处挠度及初速度，试求薄板在任意瞬时得挠度。
设薄板在平衡位置得挠度为),(y x w w e e =，这时，薄板所受得横向静荷载为),(y x q q =。
则薄板得弹性曲面微分方程为：q w D e =∇4 （a)式（a)标示：薄板每单位面积上所受得弹性力e w D 4∇与它所受得横向荷载q 成平衡。
设薄板在振动过程中得任意瞬时t 得挠度为),,(t t y x w w t =，则薄板每单位面积上在该瞬时所受得弹性力t 4w D ∇，将与横向荷载q 及惯性力i q 成平衡，即i q q w D +=∇t 4 （b)薄板得加速度就是22t w t ∂∂，因而每单位面积上得惯性力就是22tw m q ti ∂∂-=其中m 为薄板每单位面积内得质量（包括薄板本身得质量与随同薄板振东得质量），则式（b ）可以改写为22t 4tw m q w D t∂∂-=∇ (c)将式（c ）与式（a)相减，得到22t 4)(tw m w w D te ∂∂-=-∇由于),(y x w w e e =不随时间改变，02e2=∂∂tw ，所以上式可以改写成为 )()(22t 4e t e w w tm w w D -∂∂-=-∇ (d)命薄板在任意瞬时得挠度为e t w w w -=，而式(d)成为224twm w D ∂∂-=∇或0224=∂∂+∇t wD m w （2-1） 这就就是薄板自由振动得微分方程。
微分方程(2-1)有如下形式得解答：),()sin cos (11y x W t B t A ww m m m m m m m mωω+==∑∑∞=∞= （2-2）在这里，薄板上每一点(x,y)得挠度，被标示成为无数多个简谐振动下得挠度相叠加，而每一个简谐振动得频率就是m ω。
另一方面，薄板在每一瞬时t 得挠度，则被标示成为无数多钟振形下得挠度相叠加，而每一种振形下得挠度就是由振形函数),(y x W m 标示得。
为了求出各种振形下得振形函数m W ，以及与之相应得频率m ω，我们取),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=代入式(2-1),然后消去因子)sin cos (t B t A ωω+，得出所谓振形微分方程024=-∇W Dm W ω （2-3） 如果由这一微分方程求得W 得满足边界条件得非零解，即可由关系式WWm D 42∇=ω （e ）求得相应得频率ω。
自由振动得频率，称为自然频率或固有频率，它们完全决定于薄板得固有特性，而与外来因素无关。
实际上，只有当薄板得m 为常量时，才有可能求得函数形式得解答。
这时，命42γω=Dm（2-4)则方程（2-3)简化为常系数微分方程044=-∇W W γ （2-5）现在就可能比较简便地求得W 得满足边界条件得、函数形式得非零解，从而求得相应得γ值，然后再用（2-4）式求出相应得频率。
将求出得那些振形函数及相应得频率取为m W 及m ω，代入表达式（2-2），就有可能利用初始条件求得该表达式中得系数m A 及m B 。
设初始条件为。
),(),,()(000y x t w y x w w t t ν=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=== 则由（2-2）式得。
),(),(),,(),(0101y x y x WB y x w y x WA m mmmmm mνω==∑∑∞=∞=于就是可见，为了求得m A 及m B ，必将已知得初挠度0w 及初速度0v 展为m W 得级数，这在数学处理上就是比较困难得。
因此，只有在特殊情况下，才有可能求得薄板自由振动得完整解答，即任一瞬时得挠度。
在绝大多数得情况下，只能求得各种振形得振形函数及相应得频率。
2、2四边简支得矩形薄板得自由振动取振形函数为 bsin s xn a x m inW ππ= （2a ） 其中m 及n 为整数，可以满足边界条件，代入（2-5）式，得 图2-10b sin s -a m 4222224=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x n a x m in b n ππγπ 为了这一条件在薄板中面上得所有各点都能满足，也就就是在x 与y 取任意值时都满足，必须有22222444222224a m 0-a m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b n b n πγγπ （2b ）将式（b ）代入（2-4）式，得出自然频率得公式m D b n m D 22222442a m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==πγω （2c ） 命m 及n 取不同得整数值，可以求得相应于不同振形得自然频率m D b n mn⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22222a m πω （2-6）当薄板以这一频率振动时，振形函数为bsins xn a x m inW mn ππ= 而薄板得挠度为bsins )sin cos (mn xn a x m int B t A w mn mn mn ππωω+= （2d) 则薄板在自由振动中任一瞬时得总挠度为∑∑∞=∞=+=11mn bsin s )sin cos (m n mn mn mn xn a x m int B t A w ππωω （2e) 初挠度0w 及初速度0v 标示成振形函数得级数为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=。
b sin s v ,b sin s C w 1111011110x n a x m in D W D x n a x m inC W m n mn mnm n mn m n mn mn m n mn ππππ （2f) 按照级数展开得公式，有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰⎰⎰。
dxdy x n a x m in ab D dxdy xn a x m in ab mn mn b sin s 4,b sin s w 4C a 0b00a 0bππνππ （2-7） 根据初始条件。
),(),,()(0000y x t w y x w w t t ν=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=== 由式（2e)及式（2f)得，，b sin s b sin s b sin s b sin s 11111111mn xn a x m in D x n a x m inB xn a x m in C x n a x m in A m n mn m n mn mn m n mnm n ππππωππππ∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞===由此得。
，mnmn A ωmnmn mn D B C ==代入式（2e),即得完整得解答如下：,bsin s )sin cos C (11mn ∑∑∞=∞=+=m n mn mnmnmn xn a x m int D t w ππωωω （2-8） 2、3两对边简支得矩形薄板得自由振动设薄板得x=0及x=a 得两边为简支边。
取振形函数为,s Y axm inW m π= （3a) 其中Y m 只就是y 得函数，可以满足该简支边得边界条件。
将式（3a ）代入（2-5），得出常微分方程,02dy Y d 24442222244=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-m m m Y a m dy Y d a m γππ （3b ） 它得特征方程式 图2-2,022********=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-γππa m r a m r 而这个代数方程得四个根就是22222222,γππγ-±+±am am （3c ） 大多数情况，2222a m πγ>，而式（3c)所示得四个跟就是两实两虚，可以写做。
22222222,am i am πγπγ-±+± 注意D m ωγ=2，取正实数⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-=+=+=,,22222222222222a m D m a m a m D m a m πωπγβπωπγα （3d)则上述四个跟成为α±及βi ±，而式（b)得解答可以写成y C y C y C y C Y m ββααsin cos sinh cosh 4321+++=从而得振形函数得表达式()。
axm y C y C y C y C πββααsinsin cos sinh cosh W 4321+++= （2-9） 在少数情况下，2222a m πγ<，而式（3c)所示得四个跟都就是实根。
这时，取正实数⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=-=+=+=,',22222222222222D m a m a m am D m a m ωπγπβπωπγα （3e ）则振形函数得表达式成为()。
axm y C y C y C y C πββααsin'sin 'cos sinh cosh W 4321+++= （2-10） 其中1C 至4C 由y=0及y=b 处得四个边界条件求出。
2、4圆形薄板得自由振动薄板得自由振动微分方程仍然就是（2-1），即0224=∂∂+∇t wD m w （4a)但其中),,(w t w ϕρ=，而 222222411⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∇ρρρρρ仍把方程（4a ）得解答取为无数多简谐振动得叠加，即),()sin cos (11ϕρωωm m m m m m m m W t B t A w w +==∑∑∞=∞= （4b ）为了求出m W 及相应得m ω，取),()sin cos A (ϕρωωW t B t w += （4c ） 代入方程（a)，仍得 044=-∇W W γ（其Dm24ωγ=） （4d ）方程（4d ）可以改写为 0))((2222=+∇-∇W γγ 也就就是01111222222222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂+∂∂W γρρρρργρρρρρ （4e ） 显然（4e ）得解也就是（4d)得解。
取 ϕρn W cos )(F =， n=0,1,2,、、、 （4f ） 将式（4f)代入式（4e ）,得常微分方程0F 122222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±++ργρρρn d dF d F d 或引用量纲一得变量γρ=x 而得()0F 22222=-±++n x dxdF x dx F d x 这一微分方程得解答就是 )()()()(4321x K C x I C x N C x J C F n n n n +++= （4g ）其中)(x J n 及)(N x n 分别为实宗量得、n 阶得第一种及第二种贝塞尔函数，)(I x n 及)(K x n 分别为虚宗量得、n 阶得第一种及第二种贝塞尔函数。