组合数学第三章 《递推关系》习题
组合数学北大教材习题_answer
第一章习题1.证任一正整数n可唯一地表成如下形式:,0≤a i≤i,i＝1,2,…。
2.证nC(n-1,r)=(r+1)C(n,r+1).并给出组合意义。
3.证。
4.有n个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第二组的最大数。
问有多少种方案？.5.六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有多少种方案。
6.试求从1到1000000的整数中，0出现了多少次？7.n个男n个女排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，又有多少种不同的方案？8.n个完全一样的球，放到r个有标志的盒子,n≥r,要求无一空盒，试证其方案数为.9.设,p1、p2、…、p l是L个不同的素数，试求能整除尽数n的正整数数目.10.试求n个完全一样的骰子掷出多少种不同的方案？11.凸10边形的任意三个对角线不共点，试求这凸10边形的对角线交于多少个点？又把所有对角线分割成多少段？12.试证一整数是另一个整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。
13.统计力学需要计算r个质点放到n个盒子里去,并服从下列假定之一，问有多少种不同的图象。
假设盒子始终是不同的。
(a)Maxwell-Boltzmann假定：r个质点是不同的，任何盒子可以放任意数个.(b)Bose-Einstein假定：r个质点完全相同，每一个盒子可以放任意数个.(c)Fermi-Dirac假定：r个质点都完全相同，每盒不超过一个.14.从26个英文字母中取出6个字母组成一字，若其中有2或3个母音，问分别可构成多少个字(不允许重复)？15.给出的组合意义.16.给出的组合意义。
17.证明:18.从n 个人中选r 个围成一圆圈，问有多少种不同的方案？19.分别写出按照字典序由给定排列计算其对应序号的算法及由给定序号计算其对应排列的算法。
20.(a)按照第19题的要求，写出邻位对换法(排列的生成算法之二)的相应算法。
递推法解排列组合问题
递推法解排列、组合及概率问题排列组合在高中数学旧教材中是相对独立的内容，而在高中数学新教材中排列组合是概率及统计的基础，因此，排列组合内容在高中数学新教材中的位置也变得相对重要起来了。
而概率是新教材中新增加的内容，也是初等概率论中最基本的内容。
在历年的高考中，排列组合知识多是选择题或填空题，概率一般是一个解答题，这些题的题型繁多，解法独特，因此得分率普遍较低。
本文试图用递推法来解决几类常见的排列组合及概率问题。
1 走楼梯问题例1：欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有( )（A ）34种 （B ）55种 （C ）89种 （D ）144种解法1：分类法：第一类：没有一步两级，则只有一种走法；第二类：恰有一步是一步两级，则走完10级要走9步，9步中选一步是一步两级的，有919=C 种可能走法；第三类：恰有两步是一步两级，则走完10级要走8步，8步中选两步是一步两级的，有2828=C 种可能走法；依此类推，共有55463728191C C C C C +++++=89，故选(C)。
解法2：递推法：设走n 级有n a 种走法，这些走法可按第一步来分类，第一类：第一步是一步一级，则余下的1-n 级有1-n a 种走法； 第二类：第一步是一步两级，则余下的2-n 级有2-n a 种走法，所以21--+=n n n a a a ，又易得2,121==a a ，由递推可得8910=a ，故选(C)。
显然，递推法的关键是按照某种标准找出递推关系式，并求出n 取第一个值(或前几个值)时的各项，然后代入递推关系式，求出题中要求的值。
当然，我们也可以由找出的递推关系，求出通项n a ，但对于选择填空题，我们不必大动干戈的去求通项，因为这样太浪费时间与精力。
2 更列问题把)(+∈N n n 个元素排成一列，所有元素各有一个不能占据的指定位置，且不同元素不能占据的指定位置也不同，我们把满足这种条件的一个排列叫做这些元素的一个更列。
《组合数学》测试题含答案
测 试 题——组合数学一、选择题1. 把101本书分给10名学生，则下列说法正确的是（）A.有一名学生分得11本书B.至少有一名学生分得11本书C.至多有一名学生分得11本书D.有一名学生分得至少11本书2. 8人排队上车，其中A ，B 两人之间恰好有4人，则不同的排列方法是（）A.!63⨯B.!64⨯C. !66⨯D. !68⨯3. 10名嘉宾和4名领导站成一排参加剪彩，其中领导不能相邻，则站位方法总数为（）A.()4,11!10P ⨯B. ()4,9!10P ⨯C. ()4,10!10P ⨯D. !3!14-4. 把10个人分成两组，每组5人，共有多少种方法（）A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510510 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49 D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4949 5. 设x,y 均为正整数且20≤+y x ，则这样的有序数对()y x ,共有（）个A.190B.200C.210D.2206. 仅由数字1，2，3组成的七位数中，相邻数字均不相同的七位数的个数是（）A.128B.252C.343D.1927. 百位数字不是1且各位数字互异的三位数的个数为（）A.576B.504C.720D.3368. 设n 为正整数，则∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nk k n 02等于（）A.n 2B. 12-nC. n n 2⋅D. 12-⋅n n9. 设n 为正整数，则()k k n k k n 310⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=的值是（）A.n 2B. n 2-C. ()n2- D.0 10. 设n 为正整数，则当2≥n 时，∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk k k 22=()A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛3n B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21n C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+31n D. 22+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 11. ()632132x x x +-中23231x x x 的系数是（）A.1440B.-1440C.0D.112. 在1和610之间只由数字1，2或3构成的整数个数为（） A.2136- B. 2336- C. 2137- D. 2337- 13. 在1和300之间的整数中能被3或5整除的整数共有（）个A.100B.120C.140D.16014. 已知(){}o n n f ≥是Fibonacci 数列且()()348,217==f f ，则()=10f （）A.89B.110C.144D.28815. 递推关系3143---=n n n a a a 的特征方程是（）A.0432=+-x xB. 0432=-+x xC. 04323=+-x xD. 04323=-+x x16. 已知()⋯⋯=⨯+=,2,1,0232n a n n ，则当2≥n 时，=n a （）A.2123--+n n a aB. 2123---n n a aC.2123--+-n n a aD. 2123----n n a a17. 递推关系()⎩⎨⎧=≥+=-312201a n a a n n n 的解为（） A.32+⨯=n n n a B. ()221+⨯+=n n n aC. ()122+⨯+=n n n aD. ()n n n a 23⨯+=18. 设()⋯⋯=⨯=,2,1,025n a n n ，则数列{}0≥n n a 的常生成函数是（）A.x 215-B. ()2215x - C.()x 215- D. ()2215x -19. 把15个相同的足球分给4个人，使得每人至少分得3个足球，不同的分法共有（）种A.45B.36C.28D.2020. 多重集{}b a S ⋅⋅=4,2的5-排列数为（）A.5B.10C.15D.2021. 部分数为3且没有等于1的部分的15-分拆的个数为（）A.10B.11C.12D.1322. 设n,k 都是正整数，以()n P k 表示部分数为k 的n-分拆的个数，则()116P 的值是（）A.6B.7C.8D.923. 设A ，B ，C 是实数且对任意正整数n 都有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=1233n C n B n A n ，则B 的值是（）A.9B.8C.7D.624. 不定方程1722321=++x x x 的正整数解的个数是（）A.26B.28C.30D.3225. 已知数列{}0≥n n a 的指数生成函数是()()t t e e t E 521⋅-=，则该数列的通项公式是（）A.n n n n a 567++=B. n n n n a 567+-=C. n n n n a 5627+⨯+=D. n n n n a 5627+⨯-= 二、填空题1. 在1和2000之间能被6整除但不能被15整除的正整数共有_________个2. 用红、黄、蓝、黑4种颜色去图n ⨯1棋盘，每个方格涂一种颜色，则使得被涂成红色的方格数是奇数的涂色方法共有_______种3. 已知递归推关系()31243321≥-+=---n a a a a n n n n 的一个特征根为2，则其通解为___________4. 把()3≥n n 个人分到3个不同的房间，每个房间至少1人的分法数为__________5. 棋盘⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯的车多项式为___________ 6. 由5个字母a,b,c,d,e 作成的6次齐次式最多可以有_________个不同类的项。
专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)
.专题 由递推关系求数列的通项公式一、目标要求通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法：二、知识梳理求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。
三、典例精析1、公式法 ：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。
常用的公式有 a nS 1 S nSn 1等差数列和等比数列的通项公式。
例 1已知数列 { a n } 中 a 1 2 ， s nn 2+2 ，求数列 { a n } 的通项公式n 1及n 2评注 在运用 a n s n s n 1 时要注意条件 n 2 ，对 n=1 要验证。
2、累加法： 利用恒等式 a n a 1 a 2 a 1 +......+ a n a n 1 求通项公式的方法叫累加法。
它是求型如an 1a n +f n 的递推数列的方法（其中数列 f n 的前 n 项和可求）。
例2已知数列{ a n } 中 a 1 1 a n +1 ，求数列 { a n } 的通项公式 ， a n 12 +3n2 n 2评注 此类问题关键累加可消中间项，而f ( n ）可求和则易得 a n 3 、 . 累乘法 ：利用恒等式 a n a 1a 2a 3 a n a n 0 求通项公式的方法叫累乘法。
它是求型如a 1 a 2a n1an 1g n a n 的递推数列的方法 数列 g n可求前 n 项积例 3已知数列{a n} 中s n 1 na n，求数列{ a n} 的通项公式评注此类问题关键是化a ng n ，且式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消。
a n14、转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。
组合数学第三章答案
3.1题（宗传玉）某甲参加一种会议，会上有6位朋友，某甲和其中每人在会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇3次，每五人各相遇2次，每六人各相遇一次，1人也没有遇见的有5次，问某甲共参加了几次会议解:设A i为甲与第i个朋友相遇的会议集，i＝1，…，6．则故甲参加的会议数为:28+5=33.3.2题（宗传玉）求从1到500的整数中被3和5整除但不被7整除的数的个数.解:设A3：被3整除的数的集合A5：被5整除的数的集合A7：被7整除的数的集合所以3.3.题（宗传玉）n个代表参加会议，试证其中至少有2人各自的朋友数相等。
解:每个人的朋友数只能取0，1，…，n－1．但若有人的朋友数为0，即此人和其他人都不认识，则其他人的最大取数不超过n－2．故这n个人的朋友数的实际取数只有n－1种可能．，所以至少有２人的朋友数相等．3.4题（宗传玉）试给出下列等式的组合意义.解:(a) 从n 个元素中取k 个元素的组合，总含有指定的m 个元素的组合数为)()(kn m n mk m n --=--。
设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m ,Ai 为不含a i 的组合（子集），i=1,…,m.()∑∑∑==∈⊄==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ml l m l l m i i lj i lk l n k m A k n k n m n k l n l j 01),(),...,(1m1i i i i i 1)1(A A A A 111213.5题（宗传玉）设有三个7位的二进制数：a1a2a3a4a5a6a7，b1b2b3b4b5b6b7，c1c2c3c4c5c6c7．试证存在整数i 和j，1≤i≤j≤7，使得下列之一必定成立：a i=a j=b i=b j，a i=a j=c i=c j，b i=b j=c i=c j．证：显然，每列中必有两数字相同，共有种模式，有０或１两种选择．故共有·2种选择．·2=6．现有7列，．即必有２列在相同的两行选择相同的数字，即有一矩形，四角的数字相等．3.6题（宗传玉）在边长为1的正方形内任取5个点试证其中至少有两点，其间距离小于证：把１×１正方形分成四个(1/2)×(1/2)的正方形．如上图.则这５点中必有两点落在同一个小正方形内．而小正方形内的任两点的距离都小于．3.7题（王星）在边长为1的等边三角形内任取5个点试证其中至少有两点，期间距离小于1/2．证：把边长为１的三角形分成四个边长为1/2的三角形，如上图：则这５点中必有两点落在同一个小三角形中．小三角形中任意两点间的距离都小于1/2．3.8题（王星）任取11个整数，求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数。
组合数学课后习题答案
第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。
8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。
11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。
12．考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。
当第二组最大数为a k 时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k -1种不同的可能。
故符合要求的不同分组共有12)2()12(21111+-=-----=∑n k n k n k n 种。
04.递推算法(C++版包括习题参考答案)
【例5】位数问题 【问题描述】 在所有的N位数中，有多少个数中有偶数个数字3？由于结果可能很大， 你只需要输出这个答案对12345取余的值。 【输入格式】 读入一个数N 【输出格式】 输出有多少个数中有偶数个数字3。 【输入样例】 2 【输出样例】 73 【数据规模】 1<=N<=1000 【样例说明】 在所有的2位数字，包含0个3的数有72个，包含2个3的数有1个，共73 个
下面是输入n，输出x1~xn的c++程序： #include<iostream> using namespace std; int main() { int n,i,j,a[101]; cout<<"input n:"; //输入骨牌数 cin>>n; a[1]=1;a[2]=2; cout<<"x[1]="<<a[1]<<endl; cout<<"x[2]="<<a[2]<<endl; for (i=3;i<=n;i++) //递推过程 { a[i]=a[i-1]+a[i-2]; cout<<"x["<<i<<"]="<<a[i]<<endl; } } 下面是运行程序输入 n=30，输出的结果： input n: 30 x[1]=1 x[2]=2 x[3]=3 ........ x[29]=832040 x[30]=1346269
//计算正方形的个数s1
// 计算长方形的个数s2
【例4】昆虫繁殖 【问题描述】 科学家在热带森林中发现了一种特殊的昆虫，这种昆虫的繁殖能力很强。 每对成虫过x个月产y对卵，每对卵要过两个月长成成虫。假设每个成虫 不死，第一个月只有一对成虫，且卵长成成虫后的第一个月不产卵(过X 个月产卵)，问过Z个月以后，共有成虫多少对？ 0=<X<=20,1<=Y<=20,X=<Z<=50 【输入格式】 x,y,z的数值 【输出格式】 过Z个月以后，共有成虫对数 【输入样例】 128 【输出样例】 37
《组合数学》教案 3章(递推关系)及课后习题讲解
第三章 递推关系§3.1 基本概念（一） 递推关系【定义3.1.1】（隐式）对数列{}0≥i a i 和任意自然数n ，一个关系到n a 和某些个i a （i ＜n ）的方程式，称为递推关系，记作()0,,,10=n a a a F例 022022212=-------n a a a a n n n 01223121=-------a a a a n n n 【定义3.1. 1'】（显式） 对数列{}0≥i a i ，把n a 与其之前若干项联系起来的等式对所有n ≥k 均成立（k 为某个给定的自然数），称该等式为{}i a 的递推关系，记为()k n n n n a a a F a ---=,,,21 （3.1.1）＇例 1223121++++=--a a a a n n n（二） 分类（1）按常量部分：① 齐次递推关系：指常量＝0，如21--+=n n n F F F ； ② 非齐次递推关系，即常量≠0，如121=--n n h h 。
（2）按i a 的运算关系：① 线性关系，F 是关于i a 的线性函数，如（1）中的nF 与n h 均是如此；② 非线性关系，F 是i a 的非线性函数，如112211h h h h h h h n n n n ---+++= 。
（3）按i a 的系数：① 常系数递推关系，如（1）中的n F 与n h ；② 变系数递推关系，如1-=n n np p ，1-n p 之前的系数是随着n 而变的。
（4） 按数列的多少：① 一元递推关系，其中的方程只涉及一个数列，如（3.1.1）和（3.1.1）＇均为一元的；② 多元递推关系，方程中涉及多个数列，如⎩⎨⎧+=+=----111177n n n n n n a b b b a a （5）显式与隐式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=++++11112n n n n n y x y h y y （三） 定解问题 【定义3.1.2】（定解问题）称含有初始条件的递推关系为定解问题，其一般形式为()⎩⎨⎧====--11110010,,,,0,,,k k n d a d a d a a a a F （3.1.2）解递推关系：求n a 的与a 0、a 1、…、a n －1无关的解析表达式或数列{}n a 的母函数。
组合数学 习题
r r −2 cn − c − r +1 ( n − 4 ) − ( r − 2 ) +1
4
20． 任一正整数 n 可唯一地表成如下形式：
n =
∑
i≥ 1
a i ⋅ i! ,
其中 0 ≤ a i ≤ i ,
i ≥ 1
证： （1）存在性
（对 n 用归纳法）
当 n=1 时，1＝1· 1！命题成立。假设对 n＝k 时，命题成立，即
结论成立
由归纳法知，结论成立。 （2）唯一性（反证法） 设 n = ∑ ai ⋅ p i = ∑ bi ⋅ p i , 0 ≤ a i , bi ≤ p − 1, i ≥ 0
i≥ 0 i≥ 0
若
∃i , 使得 a i ≠ bi ，则
i i
{i ai ≠ bi } 令 j = min i ≥0
i i≥ 相当于从 1,,2,…,n 取 r 个作不相邻组合。 于是，从 1,2,…,n－r＋1 这 n－ r＋1 个中任取 r 个作不允许重复组合，总 可以从 1,,2,…,n 这 n 个中取 r 个作不相邻组合与之对应。 因此，在 1～n 这 n 个不同元素中取出 r 个作不相邻的组合与 在 1～n－ r＋1 这 n－ r＋1 个不同元素中取出 r 个进行不允许重复的组合 之间一一对应，故有结论。 『注』若将 1 和 n 看成是两个相邻的数，结果又如何？
k=
∑a
i= 1
t
i
⋅ i!,
其中 0 ≤ a i ≤ i,
i = 1, 2 , L t ,
则 n＝k＋1 时，有
k +1 =
∑a
i =1
t
i
⋅ i! + 1 ,
t i =1
李凡长版组合数学课后习题答案习题3
f(2)=1,f(3)=1,f(4)=2.
6. 求 n 位 0,1 序列中“ 010”只出现一次且在第 n 位出现的序列数 f(n). 解：最后三位是“ 010”的序列共有 2n-3 个。包括以下情况：
f(n) 包含了在最后三位第一次出现 010 的个数，同时排除了从
n-4 到 n-2 位第一次出现 010 的可能；
13. 在一个平面上画一个圆 , 然后一条一条地画 n 条与圆相交的直线 . 当 r 是 大于 1 的奇数时 , 第 r 条直线只与前 r －1 条直线之一在圆内相交 . 当 r 是偶数时 , 第 r 条直线与前 r －1 条直线都在圆内相交 . 如果无 3 条直线在 圆内共点 , 这 n 条直线把圆分割成多少个不重叠的部分？
2) 证明 f r (n, k)
n rk r , n r k( r 1)
k
解：可将本题转换为构造相应的 0－1 串的问题。将这样的 n 位 0－1 串与 1 到 n 的正整数对位，与 1 相应的整数选取，与 0 相应的不取。一个 0－1 串 对应一个选取方案。这也对应将相同的球放入不同的盒子的方案数。
解：设 f(n) 表示 n 个椭圆将平面分割成的部分的个数， 则有： 一个椭圆将平
面分成内、外两个部分，两个椭圆将平面分成 4 个部分。第二个椭圆的周界
被第一个椭圆分成两部分，这恰恰是新增加的域的边界。依此类推，第三个
椭圆曲线被前面两个椭圆分割成 4 部分，将平面分割成 4＋4＝8 个部分。若
n－ 1 个椭圆将平面分割成 f(n-1) 个部分， 第 n 个椭圆和前 n－1 个椭圆两两
f (n) (n 2) f (n 1) ( n 1)
（6）
；
f (0) 1
解： f(n)=(n+2)f(n-1)=(n+2)(n+1)f(n-2)=
递推关系(通项)学案(含答案)(1).doc
数列递推关系编写：陈伟炼 审核：高三理科数学备课组一.叠加叠乘法:类型1 a w+1 = % + f(n) 0解法：把原递推公式转化为a 曲一仇=f(n),利用累加法求解。
a 川=.解法：把原递推公式转化为池 =/(n),利用累乘法求解。
则a n =a^(n-l)d ； (2)若｛住｝为等比数列，则【变式2]:已知正项数列｛an ｝,其前n 项和Sn 满足10S n =a n 2+5a n +6且a b a 3, 成等比数列，求 数列｛a n ｝的通项an . 【答案】:a n =5n-3【强化】己知数列｛aj,满足a 】二1,冉=①+ 2。
2 + 3勺+…+ (〃 一 1)%(心2),则｛aj 的通项Z7 + 1 【例1】：证明：(1)若仏｝为等差数列,【答案】：略【变式1】：(1)己知数列血｝满足=-,2n 色+i2(2)已知数列｛%｝满足坷=-,3n ・2【答案(1)(2) 色，求色。
n+ \2 ci n =— “ 3/2色与S n 的关系:S| ......................... (归)s“ — S,I •……(^>2) 〜=S”-S n _l =f(a /l )-f(a n _J 消去 S”(77 >2)或与 S n = f(S n -S n _J (n>2)消去色进行求类型2递推公式为S “与色的关系式。
解法：这种类型一-般利用色=7J-1解。
【例2】：已知数列仏｝前口项和S n =4-a n (!)求Q”+I 与Q “的关系；(2)求【答案】: 2nanCl n解析:由％二81+2吃+3包3+・・・+(n-1) an-i (n>2),得na n+ aj +2 43+* • • + (nTla^i+n% (n》2)>即(n+1) • %二％+1 (TL>2).又apl, .". &2=1,勺=1 丿a3 =3,幺4 二屯…丿=n.累謨得裁岂(n>2).2答案：岂2三、构造、换元法(待定系数法)(1)二项型：类型3 a n+1 = pa n + q (其中p, q均为常数,(pq(p-l)工0))。
【免费下载】李凡长版 组合数学课后习题答案 习题3
第三章递推关系1.在平面上画n条无限直线,每对直线都在不同的点相交,它们构成的无限区域数记为f(n),求f(n)满足的递推关系.解： f(n)=f(n-1)+2f(1)=2,f(2)=4解得f(n)=2n.2.n位三进制数中,没有1出现在任何2的右边的序列的数目记为f(n),求f(n)满足的递推关系.解：设a n-1a n-2…a1是满足条件的n-1位三进制数序列，则它的个数可以用f(n-1)表示。
a n可以有两种情况：1）不管上述序列中是否有2，因为a n的位置在最左边，因此0和1均可选；2）当上述序列中没有1时，2可选；故满足条件的序列数为f(n)=2f(n-1)+2n-1 n 1,f(1)=3解得f(n)=2n-1(2+n).3.n位四进制数中,2和3出现偶数次的序列的数目记为f(n),求f(n)满足的递推关系.解：设h(n)表示2出现偶数次的序列的数目，g(n)表示有偶数个2奇数个3的序列的数目，由对称性它同时还可以表示奇数个2偶数个3的序列的数目。
则有h(n)=3h(n-1)+4n-1-h(n-1),h(1)=3 （1）f(n)=h(n)-g(n),f(n)=2f(n-1)+2g(n-1) （2）将（1）得到的h(n)=(2n+4n)/2代入（2），可得f(n+1)= (2n+4n)/2-2f(n),f(1)=2.4.求满足相邻位不同为0的n位二进制序列中0的个数f(n).解：这种序列有两种情况：1)最后一位为0，这种情况有f(n-3)个；2)最后一位为1，这种情况有2f(n-2)个；所以f(n)=f(n-3)+2f(n-2)f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5.5.求n位0,1序列中“00”只在最后两位才出现的序列数f(n).解：最后两位是“00”的序列共有2n-2个。
f(n)包含了在最后两位第一次出现“00”的序列数，同时排除了在n-1位第一次出现“00”的可能；f(n-1)表示在第n-1位第一次出现“00”的序列数，同时同时排除了在n-2位第一次出现“00”的可能；依此类推，有f(n)+f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)=2n-2f(2)=1,f(3)=1,f(4)=2.6.求n 位0,1序列中“010”只出现一次且在第n 位出现的序列数f(n).解：最后三位是“010”的序列共有2n-3个。
组合数学求解递推关系2
性质3
对线性齐次递推式：
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k 0 (ak 0)
设 ak x k , 可以吗？
相应的特征方程为：
x k a1 x k 1 ... ak 1 x ak 0
若 q 是特征方程的解， 则 q n 是齐次递推式的解 .
性质4
对线性齐次递推式
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k 0 (ak 0)
若 q1 , q2 , ... qk 是特征方程的 k个不同的
特征根，则 hn c1q1 c2 q2 ... ck qk
n n n
是齐次递推式的通解 .
对初始条件 h0 , h1 , ...， hk -1， 可以唯一确定 hn c1q1 c2 q2 ... ck qk
总结
对线性齐次递推式
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k 0 (ak 0)
若 q1 , q2 , ... qt 是特征方程的全部互异 的特征根， qi 是si 重根（ i 1,2,..., t )，则 hn H n 其中 Hn
(i ) (1)
错位排列 :
Dn ( n 1)( Dn-1 Dn-1 )
二阶变系数线性齐次式。
Dn nDn-1 ( 1)n
一阶变系数线性非齐次式。 例2 Fibonacci数列 f n f n-1 f n- 2 , f 0 0, f1 1 二阶常系数线性齐次式。 例3 等比数列 hn qhn1 一阶常系数齐次 等差数列 hn hn1 d 一阶常系数非齐次 阶乘数列 hn n hn1 一阶变系数齐次
组合数学
《组合数学》 练习题一一、填空题1．从n 个不相同的元素里,每次取出m 个全不相同的元素,并且将这些元素放在圆周上进行排列,即排列好的元素列没有头尾,则其排列的个数为 。
2．计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1n n = 。
3．在1和2000之间能被6整除但不能被15整除的正整数共有 个。
4．令1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++,则()f x 的差分表中第1n +(1)n ≥+行为 .5．已知递推关系)3(1243321≥-+=---n a a a a n n n n 的一个特征根为2，则其通解为 。
6．在多项式()7521...x x x +++的展开式中的项534321x x x x 的系数是 。
7．计算⎭⎬⎫⎩⎨⎧24= 。
8．当1≥n 时,我们有 n D = (其中n D 表示集合},...,2,1{n 的更列的个数)。
9．在边长为1的正方形内任意放入5个点，则其中至少有两个点的距离小于 。
10．在1和2000之间能被6整除但不能被15整除的正整数共有 个。
二、选择题：1．百位数字不是1且各位数字互异的三位数的个数是 ( ).A 576B 504C 720D 3362．6321)32(x x x +-中23231x x x 的系数是（ ） A 1440 B –1440 C . 0 D 13．递推关系⎩⎨⎧=≥+=-3)1( 2201a n a a n n n 的解为（ ）A 32+⋅=n n n aB 22)1(++=n n n aC 12)2(++=n n n aD n n n a 2)3(+=4．在32⨯矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）.A 24；B 38 ；C 46 ；D 50.5．设x ，y 均为正整数且y x +≤20，则这样的有序数对),(y x 共有（ ）个。
A 190B 200C 210D 2206. 从n 3个相邻的正整数中选出三个数，使它们的和能被3整除，共有不同选法种数为（ ）.A 33n C ； B 313)(C ； C 333n C ； D 3133)(3C C n +. 7. ABC ∆的三边长分别为3，5，7，则能覆盖此三角形的最小圆半径为（ ）.A 3.5；B 7 ；C 337 ；D 3314. 8. 由一个正方体的三个顶点所构成的正三角形的个数为（ ）.A 4；B 8 ；C 12 ；D 24.9. 8次射击，命中3次，其中恰有2次连续命中的情形共有（ ）种.A 15；B 30 ；C 48 ；D 60.10. 递推关系)3(4331≥-=--n a a a n n n 的特征方程是（ ）A 0432=+-x xB 0432=-+x xC 04323=+-x xD 04322=-+x x三、计算题1．求50!中2的最高次幂.2．求)(5x f 的展开式.3．从1至2000的整数中，至少能被2，3，5中的两个数整除的整数有多少个？4．一次宴会，7位来宾寄存他们的帽子，在取回他们的帽子时，问有多少种可能使得（1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子？（2）至少有一位来宾取回的是他自己的帽子？5．解下列递推关系：⎩⎨⎧===≥+-=---.7,3,2),3( 485210321a a a n a a a a n n n n 6．设集合{0,1}S =，求在n 维向量1(,...,)n a a ，,1i a S i n ∈≤≤，中不许连续出现两个0的向量的取法数？7．求50!中2的最高次幂.8．求)(5x f 的展开式.9．设{1,2,...,2001}A =,是判断是否存在集合A 的分划1234A A A A A =⋃⋃⋃,其中集合(14)i A i ≤≤中各数字的和组成等差数列，并说明理由。
排列组合与数列递推关系
例析排列、组合、概率问题中的递推数列一、a n =p ·a n －1+q 型【例1】 某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是12，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯的概率是13，出现绿灯的概率是23；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是35，出现绿灯的概率是25，记开关第n 次闭合后出现红灯的概率为P n 。
(1)求：P 2；(2)求证：P n <12(n ≥2)；(3)求lim n n P →∞。
解析：(1)第二次闭合后出现红灯的概率P 2的大小决定于两个互斥事件：即第一次红灯后第二次又是红灯；第一次绿灯后第二次才是红灯。
于是P 2=P 1·13+(1－P 1)·35=715。
(2)受(1)的启发，研究开关第N 次闭合后出现红灯的概率P n ，要考虑第n －1次闭合后出现绿灯的情况，有P n =P n －1·13+(1－P n －1)·35=－415P n －1+35，再利用待定系数法：令P n +x =－415(P n －1+x )整理可得x =－919∴{P n －919}为首项为(P 1－919)、公比为(－415)的等比数列P n －919=(P 1－919)(－415)n －1=138(－415)n －1，P n =919+138(－415)n －1∴当n ≥2时，P n <919+138=12(3)由(2)得lim n n P →∞=919。
【例2】 A 、B 两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数时，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数不是3的倍数时，由对方接着掷.第一次由A 开始掷.设第n 次由A 掷的概率为P n ，(1)求P n ；⑵求前4次抛掷中甲恰好掷3次的概率. 解析：第n 次由A 掷有两种情况：① 第n －1次由A 掷，第n 次继续由A 掷，此时概率为1236P n －1；② 第n －1次由B 掷，第n 次由A 掷，此时概率为(1－1236)(1－P n －1)。
递推考试题及答案
递推考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 递推关系式是描述序列中项与项之间关系的数学表达式，以下哪个选项不是递推关系式的特点？A. 递推关系式描述了序列中项与项之间的关系B. 递推关系式可以是线性的，也可以是非线性的C. 递推关系式只能用于描述有限序列D. 递推关系式可以包含序列中的前几项答案：C2. 在递推关系式中，如果一个序列的每一项都依赖于前一项或几项，这种关系被称为：A. 线性递推关系B. 非线性递推关系C. 直接递推关系D. 间接递推关系答案：A3. 以下哪个选项是递推关系式的基本组成部分？A. 初始条件B. 序列的项C. 递推公式D. 所有以上选项答案：D4. 在递推关系式中，如果一个序列的第n项只依赖于第n-1项，这种关系被称为：A. 一阶线性递推关系B. 二阶线性递推关系C. 三阶线性递推关系D. 四阶线性递推关系答案：A5. 递推关系式中的初始条件是指：A. 序列的第一项B. 序列的前几项C. 序列的任意一项D. 序列的最后一项答案：B二、填空题（每题2分，共10分）6. 递推关系式可以表示为：\(a_n = f(a_{n-1}, a_{n-2}, ..., a_{n-k})\)，其中\(k\)是序列的________。
答案：阶数7. 斐波那契数列是一个经典的递推关系式的例子，其递推公式为：\(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\)，其中\(F_1 = 1\)，\(F_2 = 1\)，这是一个________阶线性递推关系。
答案：二8. 如果一个递推关系式可以表示为：\(a_n = c_1a_{n-1} +c_2a_{n-2} + ... + c_ka_{n-k}\)，其中\(c_1, c_2, ..., c_k\)是常数，那么这个递推关系式被称为________递推关系。
答案：线性9. 递推关系式中的初始条件是解决递推关系式问题时必须给定的，它包括序列的前________项。
递推关系(通项)学案(含答案) (1)
数列递推关系编写：陈伟炼 审核：高三理科数学备课组一、叠加叠乘法：类型1 )(1n f a a n n +=+。
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。
n n a n f a )(1=+。
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法求解。
【例1】：证明：（1）若{}n a 为等差数列，则d n a a n )1(1-+=；（2）若{}n a 为等比数列，则11-=n n q a a【答案】：略【变式1】：（1）已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
（2）已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。
【答案】：（1）;2-n n a n 23=（2）na n 3=2二、n a 与n S 的关系：类型2 递推公式为n S 与n a 的关系式。
解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。
【例2】：已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求n a .【答案】：nn na 22=【变式2】:已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n【答案】：35=n-a n【强化】已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项为_____1___n a ⎧=⎨⎩.三、构造、换元法（待定系数法） （1）二项型：类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。