华师数学建模作业(1)

数学建模作业一、教材76页第1章习题1第7题（来自高中数学课本的数学探究问题，满分10分）表是某地一年中10天的白昼时间（单位：小时），请选择合适的函数模型，并进行数据拟合.解：根据地理常识，某地的白昼时间是以一年为周期而变化的，以日期在一年中序号为自变量x ，以白昼时间为因变量y ，则根据表的数据可知在一年（一个周期）内，随着x 的增加，y 大约在6月21日（夏至）达到最大值，在12月21日（冬至）达到最小值，在3月21日（春分）或9月21日（秋分）达到中间值。

选择函数2sin()365x y A b π=+ϕ+作为函数值。

根据表的数据，推测A,b 和ϕ的值，作非线性拟合得26.9022sin()12.385365x y π=-1.3712+，预测该地12月21日的白昼时间为小时。

二、教材100页第2章习题2第1题（满分10分）继续考虑第节“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗“两秒准则”是否足够安全对于安全车距，你有没有更好的建议解(1)按照节中的“汽车刹车距离”案例，“两秒准则”和“一车长度准则”在模型分析与模型建立差不多相同，只是K 1的取值不同。

D ～ 前后车距（m ）； v ～ 车速（m/s ）；K 1 ～ 按照“两秒准则”，D 与v 之间的比例系数（s ）.于是“两秒准则”的数学模型为：D= K 1* v ；(K1= ;已经知道，刹车距离的数学模型为 d=k 1v+k 22v ;;比较（）与（）式得d-D=（k1+k2v-K1）v;所以当k1+k2v-K1>0时，即前后车距大于刹车距离的理论值，可以为是足够安全；k1+k2v-K1<0时，可以为是不够安全。

代入k1=，k2=，K1=，计算得到当车速超过s时，“两秒准则"就不够安全了。

(2)下面的程序及图像也是很好的证明。

源程序：v=(20:5:80).*;d2=[18, 25, 36, 47, 64, 82, 105, 132, 162, 196, 237, 283, 334 22, 31, 45, 58, 80, 103, 131,165, 202, 245, 295, 353, 418 20,28,,,72,,118,,182,,266,318,376];d2=.*d2;K1=;k1=; k2=; d=d2+d1;plot([0,40],[0,2*40],'--k', [0,40]),hold onplot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k')plot([v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2),hold offtitle('比较刹车距离实测数据、理论值、两秒准则') legend('两秒准则','刹车距离理论值',...'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)xlabel('车速v（m/s）'), ylabel('距离（m）')(3)根据汽车的最高速度一般不超过120km/h (约s)，k2= , k1= , *k2+k1= + = s ,所以我认为可以采取“秒准则"。

这在理论上和实际上都是比较安全的。

三、教材100页第2章习题2第3题（满分10分）继续考虑第节“生猪出售时机”案例，做灵敏度分析，分别考虑农场每天投入的资金对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响.解：（1）考虑每天投入的资金c 发生的相对为cc∆，则生猪饲养的天数t 发生的相对变化tt∆是cc∆的多少倍，即定义t 对c 的灵敏度为S （t,c ）=△t/t△c/c 因为△c →0，所以重新定义t 对c 的灵敏度为S （t,c ）=△t/t △c/c =dt dc ×ct ①由课本上可知t= rp(0)-gω(0)-c2gr②所以t=rp(0)-g ω(0)2gr -c2gr ,所以t 是c 的减函数为了使t ﹥0，c 应满足rp(0)-g ω(0)-c>0 结合①②可得S （t,c ）= — crp(0)-g ω(0)-c = － 错误!= －2这个结果表示的意思是如果农场每天投入的资金c 增加1%，出售时间就应该提前2% 。

（2）同理（1）总收益Q 对每天投入资金c 的灵敏度为S （Q,c ）= dQ dc ×cQ③Qmax=[rp(0)－g ω(0)－c]²4gr ④结合③④得Qmax=－ 2crp(0)－g ω(0)－c =－ 错误!=－4这结果表示的意思是如果每天投入的资金c 增加1%，那么最大利润就会减少4%四、教材143页第3章习题3第2题（满分10分）某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为%、%和%. 假设开始时有100只山猫，按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势：(1) 三种自然环境下25年的变化过程，结果要列表并图示；(2) 如果每年捕获3只，山猫数量将如何变化会灭绝吗如果每年只捕获1只呢(3) 在较差的自然环境下，如果要使山猫数量稳定在60只左右，每年要人工繁殖多少只解：①解记第k年山猫 x k,设自然坏境下的年平均增长率为r，则列式得x k+1=(1+r)x k, k=0,1,2…其解为等比数列x k=x0(1+r)k, k=0,1,2…当分别取r= , 和时，山猫的数量在25年内不同的环境下的数量演变为年较好中等较差1 102 101 962 103 101 913 105 102 874 107 102 835 109 103 796 111 103 767 112 104 728 114 104 699 116 105 6610 118 106 6311 120 106 6012 122 107 5813 124 107 5514 126 108 5216 131 109 4817 133 110 4618 135 110 4419 137 111 4220 140 112 4021 142 112 3822 144 113 3623 147 113 3524 149 114 3325 152 115 32（1）在较好的自然环境下即r=时，x k单调增趋于无穷大，山猫的数量将无限增长；（2）在中等的自然环境下即r=时，x k单调增并且趋于稳定值；（3）在较差的环境中即r=时，x k单调衰减趋于0，山猫将濒临灭绝。

②若每年捕获3只,b=－从上可以得出结论：3，则列式为X k+1=(1+r)x k－b则山猫在25年内的演变为年较好中等较差0 100 100 1001 99 98 932 97 95 853 96 93 784 95 90 725 93 88 666 92 85 607 90 83 548 89 80 499 87 77 4310 86 75 3911 84 72 3412 83 70 2913 81 67 2514 79 64 2115 78 62 1716 76 59 1317 74 56 1018 73 54 619 71 51 320 69 48 021 67 46 -322 65 43 -623 63 40 -924 61 37 -1125 59 35 -14由图上可知，无论在什么环境下，如果每年捕获山猫3只，单调减趋于0，那么最终山猫的数量都会灭绝，在较差的环境中第20年就会灭绝。

同理，如果每年人工捕获山猫1只，那么山猫在不同环境中的演变为年较好中等较差0 100 100 1002 101 99 893 102 99 844 103 98 795 104 98 756 104 97 707 105 97 668 106 96 629 107 96 5910 107 95 5511 108 95 5112 109 94 4813 110 94 4514 111 93 4215 111 93 3917 113 92 3418 114 92 3119 115 91 2920 116 91 2621 117 90 2422 118 90 2223 119 89 2024 120 88 1825 121 88 16如果每年人工捕获山猫一只，在较好的环境下山猫的数量仍然会一直增加，在中等的环境下，山猫的数量趋于稳定，但会慢慢减少，在较差的环境下，山猫的数量一直在减少，很快就会灭绝。

③若要使山猫的数量稳定在60只左右，设每年需要人工繁殖b 只，到第k年山猫的数量为x k=(1+r)x k-1+b, k=0,1,2…这时 x k= x k-1 =60，r=%，代入上式得b≈3五、教材143页第3章习题3第4题（满分10分）某成功人士向学院捐献20万元设立优秀本科生奖学金，学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行，第二年一到期就支取，取出一部分作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行……请你研究这个问题，并向学院领导写一份报告.报告：摘要：本文主要研究的是基金的最佳使用方案，通过最佳的基金使用计划来提高每年发给学生的奖金。

首先，计算在只有银行存款的条件下，按照收益最大化原则，把基金存入银行使每年发放的奖金数目尽可能多，由于银行存款的期限最长为五年，所以把奖金发放制定成为期五年的发放计划，第六年即可划入下一个五年周期的奖金发放计划中。

在满足基金使用要求的情况下，每年存入银行的各种存款的数目可以根据约束条件计算，然后分析银行存款和投资并存情况下各种资金的分配情况。

存款与投资同时存在的情况。

在不考虑风险的情况下，将投资看作是特殊的存款，其利率用平均收益率近似代替，按照第一步的方法计算此时奖学金发放所产生的资金分配，通过灵敏度分析得出：奖学金发放对投资的灵敏度较高。

根据投资越分散风险越低，可知应将基金分散用于投资和存款，不应将基金大量用投资。

在考虑风险的情况下，应保证基金收益能够满足奖学金的发放要求，期末基金余额应大体与基金初始金额相等。

鉴于学校奖学金基金承担风险能力小，应采取谨慎的投资态度，因此应将学校奖学基金分为两部分：一部分用于保证奖学金的发放；一部分用于投资。

20万可分为两部分，分别作为存款和投资资本。

一方面银行存款以20万递减的趋势进行分析得出存款奖学金发放曲线，另一方面投资0万元开始以递增趋势进行分析得出投资奖学金发放曲线，两者的步长值相等且均为万元，然后将存款奖学金曲线和投资奖学金曲线在同一图中合并为一条曲线，即得出总的奖学金发放曲线，存款奖学金曲线和投资奖学金曲线的交点即为奖学金均衡点，此时，存款与投资的比例较为合适，接着分析投资风险，通过分析得出奖学金发放最优的基金使用方式。