(完整版)华东理工大学高等数学(下册)第11章作业答案.doc

第 11章（之1）（总第59次）

教材内容：§11. 1 多元函数

1．解下列各题：

** （ 1） . 函数 f (x, y) ln( x2 y 2 )

．

1 连续区域是

答： x2 y 2 1

函数 f (x, y) xy

y2

x2 y 2 0

** （ 2） . x 2

x 2 y 2 ，则（）

0 0

(A) 处处连续(B) 处处有极限，但不连续

(C) 仅在（ 0,0 ）点连续(D) 除（ 0,0 ）点外处处连续

答：（ A）

**2. 画出下列二元函数的定义域：

（1）u x y ；

解：定义域为：( x, y) y x ，见图示阴影部分：

（2）f ( x, y)ln(1 xy) ；

解： (x, y) xy 1 ，第二象限双曲线xy 1 的上方，第四象限双曲线x y 1 的下方（不包括边界，双曲线xy 1 用虚线表示）．

（3）z

x y

x ．

y

解：x

y 0 x y x y 0 x y ．x y x y 0 xy

*** 3. 求出满足 f x y,

y

x 2

y 2 的函数 f x, y .

x

s

x y

x

s

1 t

解：令

y ，

∴

st

t

x

y

1 t

∴ f s,t

s 2 s 2t 2 s 2 1 t ， 即 f x, y x 2 1 y ．

1 t

2 1 t

1 y

*** 4.

求极限： lim

0 ,0

1 xy 2

1 ．

x, y

x 2 y

1 xy 1 xy

1 x

2 y 2 解： 0

2

x 2

y 2

1 xy 1 x 2

y 2

1 xy 1 x 2

y 2

x 2

y 2

（ x, y

0,0 ）

2 1 xy 1

∴

lim

1 xy 1 0 ．

2

2

x, y

0,0

x y

** 5. 说明极限

lim

x 2 y 2 不存在．

x 2 y 2

x, y

0, 0

解：我们证明 x, y 沿不同的路径趋于 0,0 时，极限不同．

首先， x

0 时，极限为

lim

x 2 y 2

y 2

1，

x 2

y 2

y 2

x

x, y 0,0

其次， y 0 时，极限为

lim

x 2 y 2 x 2

1 ，

x 2

y 2

x 2

y

x, y 0,0

故极限

lim

x 2 y 2 不存在．

x, y

0, 0

x 2

y 2

** 6.

设

f ( x, y)

ysin 2x ，试问极限 lim f (x, y) 是否存在？为什么？

xy 1 1 ( x, y) ( 0,0)

解 ： 不 存 在 ， 因 为 不 符 合 极 限 存 在 的 前 提 ， 在 (0,0) 点 的 任 一 去 心 邻 域 内 函 数

ysin 2x 并不总有定义的， x 轴与 y 轴上的点处函数 f ( x, y) 就没有定义．

f ( x, y)

xy 1

1

*** 7. 试讨论函数 z

arctan

x y

的连续性．

1 xy

解：由于 arctan

x y

是初等函数，所以除

xy 1 以外的点都连续，但在

xy 1 上的点处

1 xy

不连续．

** 8. 试求函数 f ( x, y)

xy

的间断点．

sin 2 x sin 2

y

解：显然当 ( x, y) (m,n) m, n Z 时， f ( x, y) 没定义，故不连续．

又 f ( x, y)

xy

是初等函数．

x sin 2

sin 2 y

所以除点 (m, n) （其中 m,n

Z ）以外处处连续．

第 11 章（之 2） （总第 60 次）

教材内容： § 11.2 偏导数 [ § 11.2.1]

** 1. 解下列各题：

（1）函数 f (x, y)

x 2

3

（ ）

y 在 (0,0) 点处

（A ） f x (0,0) 和 f y (0,0) 都存在； （ B ） f x (0,0) 和 f y (0,0) 都不存在；

（C ） f x (0,0) 存在，但 f y (0,0) 不存在； （ D ） f x (0,0) 不存在，但 f y (0,0) 存在．

答：（ D ）．

（2） 设 z

x ( y 2) arcsin

x

，那么 z

（

）

y

y

(!,2 )

(A) 0 ；

(B) 1 ；

(C)

； (D)

．

2 4

答： (D) ．

（3）设 f x, y xy ，则 f x ' (0,0) ______， f y ' (0,0) __________ ．

解：由于 f ( x,0)

0 ，

f x ' (0,0) 0 ，同理 f y '( 0,0) 0 ．