第一章 热理论和导热微分方程
1.3 导热微分方程
建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式。
理论基础：能量守恒定律与傅立叶定律。
（2）推导：
1) 物理问题描述：
三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热以外 其它形式的热量，如化学反应能、电能等）
2) 假设条件
a) 各向同性的连续介质； b) 、、c均为已知； c) 物体具有内热源（强度qv(w/m3)； d) 导热体与外界没有功的交换。
其的物理意义：
① ɑ越大，表示物体受热时，其内部各点温度扯平的能力越大。 ② ɑ越大，表示物体中温度变化传播的越快。所以，ɑ也是材料 传播温度变化能力大小的指标，亦称导温系数。
几何尺寸相同的铁板和木 板，当一面温度很高时，短 时间内另一面的感觉有何不 同？
2. 其它坐标系中的导热微分方程式
1） 圆柱坐标系（r, , z）
Ⅰ三个方向净导入的热量:
Φc
[ x
(
t ) x
y
(
t ) y
z
(
t )]dxdydz z
Ⅱ 微元体内热源生成的热量
q v dxdydz
Ⅲ 微元体热力学能（内能）的增量
c
t
dxdydz
4) 导热微分方程的基本形式
c t
x
(
t ) x
y
(
t ) y
z
(
t ) z
qv
非稳态项
三个坐标方向净导入的热量
3) 推导
建立坐标系，取分析对象，基于能量守恒
净导入微元体的总热流量 ＋内热源生成热
Ⅰ
Ⅱ
＝微元体热力学能的增量 Ⅲ
① 导入微元体的热量(Fourier Law)
沿x轴方向、经x处表面导入的热量：
高等传热学知识点总结
多维、线性齐次，乘积解： t ( x, y, z, ) ψ( x, y, z )( ) 令 ψ( x, y, z) X ( x)Y ( y) Z ( z) ，分别求解，然后相乘
t ( x, y, z, ) Cmnp e a ( m
m 1 n 1 p 1
2
m2 m2 )
X( m , x)Y( m , y)Z(m , z)
多维稳态非齐次：边界非齐 fi (r ) 0 or 方程非齐 0 边界非齐次（方程齐次） ：分离变量法
t ( x, y) X ( x)Y ( y) ,参照时间与空间的分离变量法
当多个边界非齐次时，等于各单非齐问题的叠加 方程非齐次：等于相应齐次解+非齐次特解 线性、非齐次、非稳态： 热源函数法：在无限大区域，初始时刻 x=x0 处，作用了 一个 t=t0 的热源，当 0 时，
13
0.14
2 Num 0 . 6 6 4 1 R l e
1 3
Pr
大空间自然对流换热: Nu C (GrPr) C ( Ra)
x z yz z
， 利用
1 H
u H
i 1 i
3
H t 2 i ui
t cp
第二章 分离变量法 分离变量法： 将温度分成只与空间有 t (r , ) ψ(r )( ) ， 关的 ψ(r ) 和只与时间有关的 ( ) 的乘积。 对于线性齐次非稳态无内热源问题， t
ห้องสมุดไป่ตู้对流
t y
y w, x
对流换热基本计算式：傅里叶定律 qw
牛顿冷却公式 qc h(tw, x t ) ，t 在内流时取管道截面 平均流体温度，外流时取远离壁面的流体温度。
传热学第七版知识点总结
传热学第七版知识点总结●绪论●热传递的基本方式●导热（热传导）●产生条件●有温差●有接触●导热量计算式●重要的物理量Rt—热阻●热对流●牛顿冷却公式●h—表面传热系数●Rh—既1➗h—单位表面积上的对流传热热阻●热辐射●斯蒂芬—玻尔茨曼定律●黑体辐射力Eb●斯蒂芬—玻尔茨曼常量（5678）●实际物体表面发射率（黑度）●传热过程●k为传热系数p5●第一章：导热理论基础●基本概念●温度场●t=f（x，y，z，t）●稳态导热与非稳态导热●等温面与等温线（类比等高线）●温度梯度●方向为法线●gradt●指向温度增加的方向●热流（密度）矢量●直角坐标系●圆柱坐标系●圆球坐标系●傅里叶定律●适用条件：各向同性物体●公式见p12●热导率●注意多孔材料的导温系数●导热微分方程式●微元体的热平衡●热扩散率●方程简化问题p19●有无穷多个解●导热过程的单值性条件●几何条件●物理条件●导热过程的热物性参数●时间条件●也叫初始条件●边界条件●第一类边界条件●已知温度分布●第二类边界条件●已知热分布●第三类边界条件●已知tf和h●第二章：稳态导热●通过平壁的导热●第一类边界条件●温度只沿厚度发生变化，H和W远大于壁厚●第三类边界条件●已知tf1和2，h1和2●通过复合平壁的导热●具有内热源的平壁导热●通过圆筒壁的导热●公式见p37●掌握计算公式及传热过程●掌握临界热绝缘直径dc●通过肋壁的导热●直肋●牛顿冷却公式●环肋●肋片效率●通过接触面的导热●了解接触热阻Rc●二维稳态导热●了解简化计算方法●形状因子S●第三章：非稳态导热●非稳态导热过程的类型和特点●了解过程●了解变化阶段●无限大平壁的瞬态导热●加热或冷却过程的分析解法●表达式及物理意义●傅立叶数Fo●毕渥准则Bi●集总参数法●应用条件●见课本p69●物理意义●见课本p70●半无限大物体的瞬态导热●其他形状物体的瞬态导热●周期性非稳态导热●第四章：导热数值解法基础●建立离散方程的方法●有限差分法●一阶截差公式p91●控制容积法●根据傅立叶定律表示导热量●稳态导热的数值计算●节点方程的建立●热平衡法●勿忽略边界节点●非稳态导热的数值计算●显式差分●勿忽略稳定性要求●隐式差分●第五章：对流传热分析●对流传热概述●流动的起因和状态●起因●自然对流●受迫对流●流速快强度大h高●状态●层流●紊流●采用较多●流体的热物理性质●热物性●比热容●热导率●液体大于气体●密度●黏度●大了不利于对流传热●液体●温度越高黏度越低●气体●温度越高黏度越大●定性温度●流体温度●主流温度●管道进出口平均温度●容积平均温度●壁表面温度●流体温度与壁面温度的算数平均值●流体的相变●相变传热●传热表面几何因素●壁面形状●长度●定型长度l●粗糙度●流体的相对位置●外部流动●外掠平板●外掠圆管及管束●内部流动●管内流动●槽内流动●对流传热微分方程组●对流传热过程微分方程式●见课本p116公式5-2●第一类边界条件●已知壁温●第二类边界条件●已知热流密度q●连续性方程●质量流量M的概念●p117公式5-3●二维常物性不可压缩流体稳态流动连续性方程●动量守恒微分方程式●动量守恒方程式●p118公式5-4●N- S方程●注意各项的含义●能量守恒微分方程式●四种热量●导热量●热对流传递的能量●表面切向应力对微元体做功的热（耗散热）●内热源产生的热●方程式p119公式5-5●边界层对流传热微分方程组●流动边界层●层流边界层●紊流边界层●层流底层（黏性底层）●会画分布规律●热边界层●也称温度边界层●会画分布规律●数量级分析与边界层微分方程●普朗特数Pr的概念●外掠平板层流传热边界层微分方程式分析解简述●熟记雷诺准则●努谢尔特数Nu含义●动量传递和热量传递的类比●两传类比见p132内容较多●动量传递●掌握雷诺类比率●热量传递●掌握柯尔朋类比率●相似理论基础●三个相似原理●同类物理现象●同名的已定特征数相等●单值性条件相似●初始条件●边界条件●几何条件●物理条件●对流传热过程的数值求解方法简介p145 ●第六章：单相流体对流传热●会用准则关联式计算h●p162例题●确定定性温度，定型尺寸●查物性参数计算Re●附录2●选择准则关联式●p160公式6-4●第七章：凝结与沸腾传热●凝结传热●形成和传热模式的不同●珠状凝结●膜状凝结●了解影响因素●了解关联式的应用●沸腾传热●了解换热机理●掌握大空间沸腾曲线●影响因素●计算方法●热管●了解工作原理●第八章：热辐射的基本定律●基本概念●理解●热辐射的本质●热辐射的特点●掌握概念●黑体●灰体●漫射体●发射率●吸收率●热辐射的基本定律●重点掌握●维恩位移定律●斯蒂芬-玻尔兹曼定律●基尔霍夫定律●漫灰表面发射率等于吸收率●第九章：辐射传热计算●任意两黑表面之间的辐射换热量●角系数●用代数法进行计算●空间热阻●封闭空腔法●三个黑表面之间的辐射换热●掌握热阻网格图●灰表面间●辐射换热●基尔霍夫定律计算●掌握三个灰表面●有效辐射●掌握概念●表面热阻●绝热面重辐射面●遮热板工作原理及应用●气体辐射特点●第十章：传热和换热器●通过肋壁的传热●了解计算方法●复合传热时的传热计算●传热的强化和削弱●了解措施●换热器的形式和基本构造●了解分类●平均温度差●掌握LMTD方法●换热器计算●对数平均温差法●掌握传热单元数法p305 ●换热器性能评价简述。
传热学---导热微分方程式
dQx
−
dQx+dx
=
−
∂qx ∂x
dxdydz
⋅ dτ
[J]
1
第二节 导热微分方程式
dτ 时间内、沿y轴方向导入与导出微元体净热量：
dQy
−
dQ y + dy
=
−
∂q y ∂y
dxdydz ⋅ dτ
[J]
dτ 时间内、沿z轴方向导入与导出微元体净热量：
dQz
−
dQz+dz
=
−
∂qz ∂z
dxdydz ⋅ dτ
+
j1 r
∂t ∂θ
+k
r
1 sinθ
∂t ∂φ
⎞ ⎠⎟
ρc
∂t ∂τ
=
1 r2
∂ ∂r
(λr2
∂t ) + ∂r
r2
1 sinθ
∂ ∂θ
(λsinθ
∂t ∂θ
)
+
r2
1 sin2θ
∂ ∂φ
(λ ∂∂φt )+qv
第二节 导热微分方程式
2.导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程
极短时间(如10)产生极大的热流密度的热量传 递现象， 如激光加工过程。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
第二节 导热微分方程式
1、几何条件 说明导热体的几何形状和大小。 如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等。
2、物理条件
说明导热体的物理特征。
如：物性参数 λ、c 和 ρ 的数值，是否随温度变化； 有无内热源、大小和分布；是否各向同性。
传热学
高等传热学-傅立叶导热定律及导热方程
质点温度发生变化，则意味着内能发生变化 按热力学第一定律，必有热量进出该质点 结果表明瞬时热源的作用迅速传遍整个区域， 不论空间介质种类如何（热量传播速度无限 大） 温度出现不均匀的的原因是由于各点吸收的 份额不同 热传导微分方程是傅立叶导热定律结合能量 守恒原理而得 能量守恒定律只涉及能量在数值上的关系， 与能量传递过程中具体行为无任何联系 故可认定上述结论是傅立叶导热定律所导致
考虑热传播速度的有限性 对于无源项情况， 型 hyperbola 偏微分方程）
1 2 t 1 t 2 t 2 2 （双曲线 a c
是对抛物线型parabolic偏微分方程的一种修 正
导热微分方程在正交坐标系(orthogonal curvilinear coordinates)中表述
梯度 (gradient) 一般表达式在附录(Appendix) 3 中式（9）
1 1 1 e1 e2 e3 H1 q1 H 2 q2 H 3 q3
按温度变量(variable)有：
1 t t ei i 1 H i xi
3
（a)
高等传热学
波的特征wave property
传播介质中的质点(particle)并未随机械波 的传播而迁移(move) 水波荡漾时水的质点正是在重力和水的张力 作用下上下振动，从而带动周边的质点一起 上下振动，此质点与周边质点的振动有一个 相位差(phase difference)，这种波称为横 波(transverse wave) 声波(sound wave )的实质与水波(water wave )完全一致，只是水波能看到，声波 看不到
高等传热学
热的波动性wave of the heat
第一章 导热理论基础
三维温度场
t t t t t t
f (x) f ( x, ) f ( x, y ) f ( x, y, ) f ( x, y, z ) f ( x, y , z , )
传热学 Heat Transfer
2.等温面，等温线 ①定义：同一时刻，温度场中所有温度相同的点 连接所构成的面叫做等温面。不同的等温面与同 一平面相交，则在此平面上构成的一簇曲线称为 等温线 ②特点：a、同一时刻，温度不同的等温线（面）不能相交;
y
x
1.温度场：某一时刻空间所有各点温度分布的总 称
温度场是时间和空间的函数：
t f ( x, y, z, )
传热学 Heat Transfer
稳态温度场
t f ( x, y, z )
非稳态温度场
t 0
t 0
t f ( x, y , z , )
一维温度场 二维温度场
传热学 Heat Transfer
1.导热基本定律的文字表达：
在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量， 正比于垂直于该截面方向上的温度梯度和截面面积， 方向与温度梯度相反。
2.导热基本定律的数学表达：
Agradt t q gradt n A n
t t t q ( i ) ( j ) ( k ) x y z
§1-2 导热系数
1.定义
q gradt
物理意义：物体中单位温度梯度单位时间通 过单位面积的导热量，标量，单位：W/(m· K) 2.导热系数数值表征物体导热能力的大小，由 实验测定
传热学 Heat Transfer
3.导热系数与物质种类及热力状态有关(温度， 压力(气体))，与物质几何形状无关。 常用物质之值：
复习导热过程的传热学原理与导热微分方程
这一凝固初始时刻的温度分布，可通过数值模拟充 型过程的流场耦合温度场得到。
13
第四节 简化假设与实际问题的模型化
1、简化或假设原因 铸造凝固过程的数值模拟研究中，人们常作一定的简化
或假设。 其原因在于：人们对铸造过程的很多现象尚无规律性
的认识，或缺乏有关的基础数据；简化方程组的求解过程。
第五节 凝固潜热的处理
（2）非平衡凝固条件下二元合金的固相率与温度的关系
考虑固相无扩散，液相溶质均匀分布。 则由夏尔（Sheil）方程：
目的：消除导热一般方程中由于等压热熔 C p C p (T )
随温度变化造成的
C p
T t
项的非线性，以便进行数值求解。
T
方式：定义热焓标量 H H0 CpdT, H0＝H（T0）
T0
H T
Cp
H t
H T
• T t
Cp
• T t
6
第二节 导热微分方程
则无内热源方程：2U Cp • U t
主要内容
1、傅立叶定律 2、导热微分方程 3、导热过程的定解条件 4、简化假设与实际问题的模型化 5、凝固潜热的处理
1
第一节 导热过程与傅立叶定律/傅立叶定律
二 、傅立叶（Fourier）定律
表达式：q • gradT • T • n
n
直角坐标系分量：
q • T
x
x
q • T
y
y
q • T
dU
dT 0
U U T T
• •
t T t 0 t
4
第二节 导热微分方程
可得：2U x2
(U ) x x
传热学第五第1-4章习题解答
《传热学》（第五版）第0章-第3 章习题解答第0章 绪论0-4、解答题略。
0-6 答:对流换热和对流不是同一现象.热对流是指:若流体有宏观运动，且内部存在温差，则由于流体各部分之间发生相对位移，冷热流体相互掺混而产生的热量传递现象，简称对流.如热空气往上升时,把热量传给上部空间的冷空气的流动属于对流.对流换热是指流体在与它温度不同的壁面上流动时，二者之间（流体与壁面之间）产生的热量交换现象。
它是导热与热对流同时存在的复杂热传递过程。
如暖气片周围的空气受热后,沿着教室墙壁的流动;热水在热力管道内的流动等属于对流换热.0-6 答:首先,冬季和夏季的最大区别在于室外温度的不同.夏季室外温度比室内温度高,因此通过墙壁的热量传递是由室外传向室内.而冬季室外气温比较比室内低, 通过墙壁的热量传递是由室内传向室外.因此冬季和夏季墙壁内表面的温度不同,夏季高而冬季低.因此人体在冬季通过辐射而与墙壁的散热比夏季高很多.人对冷暖感觉的衡量指标是散热量的大小而不是温度的高低,即当人体散热量少时感到热, 人体散热量多时感到冷.拉上窗帘后顿觉暖和,是因为窗帘起到了保温层的作用,减少了通过窗户向外散失的热量,故顿觉暖和!0-9 答:真空玻璃夹层:阻止热传导和对流换热;夹层内镀银:反射辐射热;热量如何通过瓶胆传到外界: 略瓶胆的玻璃尖嘴打破变得很差,因为空气进入夹层后,会由于空气与瓶胆壁面之间的对流换热而引起热量散失. 0-13：解： 61.0124161.036.08711121=++=++=h h R k λδ(m 2·K)/W 64.1610.011===k R k W/(m 2·K) 92.45)1018(64.1)(21=+=-=f f t t k q W/m 2 ∵)(111w f t t h q -= ∴47.178792.4518111=-=-=h q t t f w ℃ 又∵)(222f w t t h q -= ∴63.912492.4510222-=+-=+=h q t t f w ℃38.292.45⨯⨯==ΦqA =385.73 W0-14：解：4104.723452.0-⨯=⨯⨯==A R A λδ K/W (面积为A 2的平板表面上的热阻) 3104.4452.0-⨯===λδR (m 2·K)/W （单位面积热阻）431007.3104.4150285⨯=⨯-=∆=-R t q W/m 2 541084.161007.3⨯≈⨯⨯==ΦqA W0-15：解： ∵)(f w t t h q -= ∴15573511085=+=+=h q t t f w ℃ W7.20065.214.31050511023=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅==Φ-lR q qA π0-17：解： （1）012.0851500011121=+=+=h h R (m 2·K)/W 3.83012.011===R k W/(m 2·K) 90963624)45500(3.83=⨯-⨯=∆=ΦtA k W（2）92820024)45500(85'=⨯-⨯=∆=ΦtA k W误差%2909636909636928200%100'≈-=⨯ΦΦ-Φ=ε （3）可以忽略，因为厚度很小，金属的导热系数较大，则导热热阻λδ很小。
导热微分方程及稳态导热
工学院机电工程教研室
传输原理
导热微分方程
对于圆柱坐标系
qv t 2 t 1 t 1 2 t 2 t a( 2 2 2) 2 r r r c r z
工学院机电工程教研室
传输原理
导热微分方程
对于球坐标系
qv t 1 2 t 1 t 1 2t a[ 2 (r ) 2 (sin ) 2 ] 2 2 r r sin c r r r sin
传输原理
工学院机电工程教研室
导热微分方程
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
d x d x dx qx dxdydzd x
d 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
d y d y dy qy y dxdydzd
d 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
工学院机电工程教研室
传输原理
热量的传递方式 特定条件下热量传递、温度分布的有关规律
工学院机电工程教研室
传输原理
3D 热成 像技术
锂电池被加热至 250 摄氏度（华氏 482 度）后体积 迅速膨胀直至爆炸，研究员将此过程称之为“热失控” 。 结果显示，锂电池内部结构在“热失控”前并不会 发生变化，但在爆炸发生瞬间，电池内部铜质材料融化 将温度提升至 1000 摄氏度，产生的热量从内部向外扩 散导致“热失控”。锂电池通常被安装在设备内部并与 其他电子元件相连，“热失控”不仅会使电池核心崩溃 ，还增加了设备内部短路和破坏附近物体的风险。
d z d z dz
工学院机电工程教研室
qz dxdydzd z
传输原理
导热微分方程
[导入与导出净热量]:
高等传热学_第一章_导热理论和导热微分方程
（1-1-4）
其中i、j、k分别为x、y、z在坐标轴上的单位向量。在一般的正交
坐标系中梯度的表达式将在以后讨论。 连续温度场内的每—点都对应一个温度梯度向量，所以温度梯度
构成一个向量场。
1-1 导热基本定律
1-1-3 热流向量
单位时间内通过单位面积传递的热量称为热流密度，记作q，单位
where k is a kinetic rate constant with the dimension of reciprocal time. The parameter X in the initial state equals to X0. Then, the solution of this equation is Now, if X∞=0, then the simplest form of this equation is (*) The last two equations describe the relaxation process, and the value of is called the relaxation time. Its value characterizes the rate of approch of the equilibrium (but not the complete time necessary to reach this equilibrium because it is infinitely large according to equation *）. 松弛时间：温度场的重新建立滞后于热扰动改变的时间。
1-1 导热基本定律
1-1-2 等温面与温度梯度
物体内温度相同的点的集合所构成的面叫做等温面。对应不同温
传热学讲义第一章—导热理论基础
第一章 导热理论基础本章重点：准确理解温度场、温度梯度、导热系数等基本概念，准确掌握导热基本定律及导热问题的基本分析方法。
物质内部导热机理的物理模型：（1）分子热运动；（2）晶格（分子在无限大空间里排列成周期性点阵）振动形成的声子运动；（3）自由电子运动。
物质内部的导热过程依赖于上述三种机理中的部分项，这几种机理在不同形态的物质中所起的作用是不同的。
导热理论从宏观研究问题，采用连续介质模型。
第一节 基本概念及傅里叶定律1-1 导热基本概念一、温度场(temperature field)（一）定义：在某一时刻，物体内各点温度分布的总称，称为即为温度场（标量场）。
它是空间坐标和时间坐标的函数。
在直角坐标系下，温度场可表示为：),,,(τz y x f t = （1-1）（二）分类：1．从时间坐标分：① 稳态温度场：不随时间变化的温度场，温度分布与时间无关，0=∂∂τt ，此时，),,(z y x f t =。
（如设备正常运行工况） 稳态导热：发生于稳态温度场中的导热。
② 非稳态温度场：随时间而变化的温度场，温度分布与时间有关，),,,(τz y x f t =。
（设备启动和停车过程）非稳态导热：在非稳态温度场中发生的导热。
2．从空间坐标分： ① 三维温度场：温度与三个坐标有关的温度场，⎩⎨⎧==稳态非稳态),,(),,,(z y x f t z y x f t τ ② 二维温度场：温度与二个坐标有关的温度场，⎩⎨⎧==稳态非稳态),(),,(y x f t y x f t τ∆tt-∆tgrad t③ 一维温度场：温度只与一个坐标有关的温度场，⎩⎨⎧==稳态非稳态，)()(x f t x f t τ 二、等温面与等温线1．等温面(isothermal surface)：在同一时刻，物体内温度相同的点连成的面即为等温面。
2．等温线(isotherms)：用一个平面与等温面相截，所得的交线称为等温线。
为了直观地表示出物体内部的温度分布，可采用图示法，标绘出物体中的等温面（线）。
导热基本定律和导热微分方程
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材料成型传输原理－－热量传输
稳态导热： tw = const
非稳态导热： tw = f ()
例： x 0, t tw1
x , t tw2
tw1 tw2
o
x
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材料成型传输原理－－热量传输
b.第二类边界条件――给定边界上的热流密度。
q s
qw
f (r, )
4.保温材料：
国家标准规定，温度低于350度时热导率小于 0.12W/(m·K) 的材料（绝热材料）。
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材料成型传输原理－－热量传输
三、导热的物理本质
1.气体导热――气体分子不规则热运动导致相互碰撞的结果
气体的热导率： 气体 0.006~0.6 W (m C)
0 C : 空气 0.0244W (m C) ; 20 C : 空气 0.026 W (m C)
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材料成型传输原理－－热量传输
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材料成型传输原理－－热量传输
2.导电固体导热――自由电子运动、碰撞的结果（与气体类似）
金属 12~418 W (m C)
（1）纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动(主 要依靠前者） 金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：
t i
x
t j
y
t k
z
一维导热：qx
t x
;
qy
t y
;
qz
t z
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
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材料成型传输原理－－热量传输
高等传热学_1导热理论和导热微分方程
1.2.1 正交坐标系中导热微分方程的表达式 为便于分析，对不同的系统要使用不同 的坐标系。导热微分方程体现的物理意 义不随坐标系的选择而改变，但方程的 表达式与坐标系的选择有关。
某一正交坐标系(x1, x2, x3)和直角坐标系(x, y, z)的函数关系为
x x ( x1 , x2 , x3 ) y y ( x1 , x2 , x3 ) z z ( x1 , x2 , x3 )
0 时 t w f x, y , x,
（2）规定了边界上的热流密度值，称为第二类 边界条件。对于非稳态导热，这类边界条件要 求给出以下关系式： t 0 时，qw ( ) w f 2 ( x, y, z, ) n
（3）规定了边界上物体与周围流体间的表面传 热系数及周围流体的温度，称为第三类边界条 件。第三类边界条件可表示为
此时，坐标系(ξ , η , ζ )的坐标轴称为导 热系数的主轴， λ ξ 、λ η 、λ ζ 称为各 向异性材料的三个主导热系数。
3 3
H qi Hi
x i 1 i
H t 2 H xi i
把以上基本量的表达式代入导热微分方程，得 到在一般正交坐标系中的导热微分方程
t 1 c H
H t x H 2 x qV i 1 i i i
第一章 导热理论 和导热微分方程
城市建设与安全工程学院 陆春义 lu.chunyi@
1.1 导热基本定律
1.1.1 温度场 连续介质假设 温度场——各时刻（时间）物体中各点 （空间）温度分布。可以表示为空间坐 标和时间的函数。
t f ( x, y, z, )
导热基础知识
grad t 第一章 导热理论基础第一节基本概念及傅里叶定律 1-1 导热基本概念一、温度场1、定义：在某一时间，物体内部各处的温度分布即为温度场。
直角坐标系：),,,(τz y x f t = （2-1）热流是由高温向低温传递，具有方向性。
而温度则属于标量，无方向性。
2、分类： 从时间坐标看，稳态导热：温度分布与时间无关，),,(z y x f t =； 非稳态导热：温度分布与时间有关，),,,(τz y x f t =。
从空间坐标可将导热分为一维、二维、三维导热。
其中最简单的是一维稳态导热，可表示为：)(x f t =。
3、等温面（线） 在同一瞬间，物体内温度相同的点连成的面即为等温面。
不同的等温面与同一平面相交，在平面上得到的一组线为等温线。
不同的等温面（线）之间是不可能相交的。
图2-1所示的即为一维大平壁和一维圆筒壁内的等温面（线）的示意图。
二、温度梯度定义沿法线方向的温度变化率为温度梯度，以t grad →表示。
ntn t grad n t ∂∂=∆∆=→∆→0lim(2-3) 温度梯度是一个矢量，具有方向性。
它的方向是沿等温面法线由低温指向高温方向。
在直角坐标系：zt y t x t gradt ∂∂+∂∂+∂∂=（2-4）其中，x t ∂∂、y t ∂∂、zt∂∂分别为沿x 、y 、z 方向的温度梯度。
三、热流密度热流密度，。
热流密度是一个矢量，具有方向性，其大小等于沿着这方向单位时间单位面积流过的热量，方向即为沿等温面之法线方向，且由高温指向低温方向，见图。
在直角坐标系中，同样可以分解成由沿坐标轴三个方向的分量表示：q q q z y x ++= （2-）式中z y x q q q ,,为沿坐标轴三个方向的分热流。
而通过该等温面传递的热量为z z y y x x A q A q A q A q ++=⋅=Φ→→ （2-）1-2．傅立叶定律傅立叶（J. Fourier ）热流密度与温度梯度的关系可以用下式表示ntgradt q ∂∂-=-=λλ （2-5）n tA Agradt ∂∂-=-=Φλλ （2-6）式中的比例系数λ即为材料的导热系数（或称热导率），单位)C m W ︒⋅。
（完整版）传热学知识点
（完整版）传热学知识点传热学主要知识点1. 热量传递的三种基本方式。
热量传递的三种基本方式：导热(热传导)、对流(热对流)和热辐射。
2. 导热的特点。
a 必须有温差；b 物体直接接触；c 依靠分子、原子及自由电子等微观粒子热运动而传递热量；d 在引力场下单纯的导热一般只发生在密实的固体中。
3. 对流（热对流）(Convection)的概念。
流体中（气体或液体）温度不同的各部分之间，由于发生相对的宏观运动而把热量由一处传递到另一处的现象。
4 对流换热的特点。
当流体流过一个物体表面时的热量传递过程，它与单纯的对流不同，具有如下特点：a 导热与热对流同时存在的复杂热传递过程b 必须有直接接触（流体与壁面）和宏观运动；也必须有温差c 壁面处会形成速度梯度很大的边界层5. 牛顿冷却公式的基本表达式及其中各物理量的定义。
q ' = h (t w - t ∞ )(w)= q 'A = Ah (t w - t ∞ )w / m 2h 是对流换热系数单位 w/(m 2 k) q ' 是热流密度（导热速率），单位(W/m 2)是导热量 W6. 热辐射的特点。
a 任何物体，只要温度高于 0 K ，就会不停地向周围空间发出热辐射；b 可以在真空中传播；c 伴随能量形式的转变；d 具有强烈的方向性；e 辐射能与温度和波长均有关；f 发射辐射取决于温度的 4 次方。
7. 导热系数, 表面传热系数和传热系数之间的区别。
导热系数：表征材料导热能力的大小，是一种物性参数，与材料种类和温度关。
表面传热系数：当流体与壁面温度相差1 度时、每单位壁面面积上、单位时间内所传递的热量。
影响h 因素：流速、流体物性、壁面形状大小等传热系数：是表征传热过程强烈程度的标尺，不是物性参数，与过程有关。
第一章导热理论基础1 傅立叶定律的基本表达式及其中各物理量的意义。
傅立叶定律（导热基本定律）：q ' = -k ?dT q ' = -k ?T = -k (i ?T + j ?T + k ?T) x ?dx ?x ?y ?zq ' = -k ?T n ?nT(x,y,z)为标量温度场圆筒壁表面的导热速率 q r= -kA dTdr = -k (2rL ) dT dr垂直导过等温面的热流密度，正比于该处的温度梯度，方向与温度梯度相反。
传热学PDF
1传热学2传热学内容介绍一、导热二、对流换热三、辐射换热四、换热器31.传热学定义传热学是研究热量传递过程规律的一门科学。
2. 传热的动力——温度差3.三种基本传热方式导热、对流、辐射或热传导、热对流、热辐射¾注意：对流换热、辐射换热都不是基本传热方式41．传热的基本方式说法正确的是。
A．导热、对流和辐射B．导热、对流换热和辐射C．热传导、热对流和热辐射D．导热、对流换热和辐射换热答案：A 、C52．夏季在维持20℃的室内工作时一般穿单衣感到舒适，而冬季在保持20℃的室内工作时却必须穿绒衣才觉得舒适，这主要是因为。
A．冬季和夏季人的冷热感觉不一样B．在室内冬季人周围物体（墙体）的温度低于夏季人周围物体（墙体）的温度C．冬季房间的湿度小于夏季房间的湿度D．冬季房间的风速大于夏季房间的风速答案：B63．减少保温瓶的散热，将瓶胆的两层玻璃之间抽成真空，镀成镜面，可以减少。
A．辐射换热散热B．导热散热C．对流散热D．对流换热散热和辐射换热散热答案：D7第一章导热理论基础1.1 导热基本概念1.2 傅里叶定律1.3 导热系数1.4 导热微分方程1.5 导热过程的单值性条件81、导热定义：物体各部分无相对位移或不同物体直接接触时依靠分子、原子及自由电子等微观粒子热运动而进行的热量传递现象。
2、导热机理：气体：分子不规则热运动；介电体：晶格振动金属：电子相互作用和振动；液体：晶格振动。
2、特点：导热是物质的属性，可在固体、液体及气体中发生；单纯的导热只发生在固体中。
91.1导热基本概念1、温度场1）定义：指某一时刻空间所有各点温度分布的总称。
（时间、空间）2）表示：（1）稳态温度场（2）一维稳态温度场（3）二维稳态温度场(),,,t f x y z τ=(),,t f x y z =()t f x =(),t f x y =102 、等温面与等温线1）特点：不相交2）作用：描述温度场3、温度梯度1）定义：自等温面上某点到另一个等温面，以该点法线方向为方向，数值等于该点法线方向的温度变化率的向量，称为温度梯度，用gradt 表示，正向朝着温度增加的方向。
导热微分方程__概述说明以及解释
导热微分方程概述说明以及解释1. 引言1.1 概述热传导是自然界中一种十分常见的现象，它在我们日常生活和工程领域中都有着重要的应用。
导热微分方程作为描述物体内部热传导过程的数学工具，在研究热传导问题时起着至关重要的作用。
通过对导热微分方程的深入理解和探讨，可以帮助我们更好地解决实际问题，并推动相关技术和工程领域的发展。
1.2 研究背景随着科学技术的不断进步和社会发展的不断需求，人们对于热传导行为及其数值模拟技术有着越来越高的要求。
通过对导热微分方程进行深入研究，可以更好地理解物体内部温度分布情况，优化材料性能设计以及提高能源利用效率等方面都具有积极作用。
1.3 目的和重要性本文旨在对导热微分方程进行全面概述和说明，从定义、推导到物理意义解释，再到一般形式和特征、以及其在实际应用中的数值模拟技术等方面进行详细阐述。
通过本文对导热微分方程的系统总结与介绍，可以加深人们对于该领域知识内容的理解，促进相关学科领域的进步与发展。
2. 导热微分方程的定义和推导：导热微分方程是描述物质内部温度传导过程的数学模型，它是通过热传导定律和能量守恒原理建立起来的。
在一维情况下，导热微分方程可以表示为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u(x, t)$是温度场函数，$\alpha$是热传导系数。
这个方程描述了在时间$t$内，在空间$x$上发生的温度变化。
推导这个方程时，我们可以假设材料是均匀的，并且不考虑其他热源的影响。
根据以上假设和能量守恒原理，我们可以推导出上述一维情况下的导热微分方程。
此方程反映了热量随时间在空间中传递的速率。
在实际问题中，常常需要根据具体情况来确定边界条件和初始条件，然后利用该微分方程来求解温度场随时间变化的规律。
总之，导热微分方程是描述物质内部温度传导过程非常重要的数学工具，在工程领域和科学研究中有着广泛应用。
传热学笔记
p x
(
2u x2
2u y2
)
动量守恒方程（N-S
方程）：
( v
u
v x
v
v ) y
Fy
p y
(
2v x2
2v y2
)
能量守恒方程：
t
非稳态项
u t v t xy
对流项
cp (x2t2 y2t2 )
扩散项
边界层理论的四个基本要点： （1）当粘性流体沿固体表面流动时，流场可划分为主流区和边界层区。
可得
d 2t dx2
hp(t t ) Ac
引入过余温度
t
t 最终可得
d 2t dx2
m2
，其中 m
hp/(Ac) ，H 为肋高
温度分布的解析解：
0
em x
e2mHemx He2m H
0
ch[m(x H)] ch[mH]
；热流量：
hp m
0th(mH)
通过环肋及三角形截面直肋的导热
肋效率 f
( )是时刻
物体的平
均过余温度。
Fo
a R2
0.2 时， (x, ) 0
Aexp(12Fo) f
(1) ——（3-27）；( ) /0
Aexp(12Fo)B ——（3-28）
分析解应用范围的推广和讨论
介质温度恒定的第三类边界条件下的分析解，在 Bi 的极限情况下转化为第一类边界条件下的解，而在 Bi 0
传热学
第一章 绪论
热量传递的三种基本方式：导热、对流和热辐射
傅里叶定律：单位时间内通过该层的导热热量与当地的温度变化率及平板面积 A 成正比。
A dt dx
——热导率，导热系数；单位W /(m K) ；
传热学 第一二章
dt dx
对于三维直角坐标系情况，有
q x t x
q y t y
q z
t z
t t t grad t t i j k x y z
图2-2 温度梯度
t t t t q i j k t n y z n x
(3) 对流换热热阻 t t t t Φ q 1 (hA) Rh 1 h rh
Rh 1 (hA) [ C W ]
rh 1 h [m2 C W ]
图1－6
3 热辐射
(1) 热辐射的研究方法：
黑体
修正（黑度）
实际物体
黑体的 辐射控 制方程
AT 4
AT 4
W
0
x
：热流量，单位时间通过给定面积的热量[W] q：热流密度，单位时间通过单位面积的热量[W/m2] A：垂直于导热方向的截面积[m2]
负号：代表热量传递方向与温度升高方向相反
(2) 导热系数
金属 非金属固体 液体 气体
(3) 一维稳态导热及其导热热阻
q dx
1 导热微分方程式的推导 理论基础：
Fourier 定律 + 能量守恒定律 导热微分方程式 下面我们来考察一个矩形微元六面体，如下图所示。
x z
x+dx
y
x
dx
假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 导热系数、比热容和密度均为已知 (3) 物体内具有内热源；强度 [W/m3]; 内热源均匀分布；
根据能量守恒定律有：
导入微元体的总热流量in + 微元体内热源的生成热 g =
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第一章 导热理论和导热微分方程相互接触的物体各部分之间依靠分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而传递热量的过程称为导热。
在纯导热过程中物体各部分之间没有宏观运动。
与固体物理的理论研究方法不同，传热学研究导热问题时不是对导热过程的微观机理作深入的分析，而是从宏观的、现象的角度出发，以实验中总结出来的基本定律为基础进行数学的推导，以得到如温度分布、温度-时间响应和热流密度等有用的结果。
这种处理方法的物理概念简单明了，但所要求的数学知识和技能仍是复杂和困难的。
本书在材料的选取上，注意在介绍有重要应用价值的结果的同时，也给予求解导热问题的典型数学方法以足够的重视，以培养和发展读者独立解决问题的能力。
1-1 导热基本定律1-1-1 温度场由于传热学以宏观的、现象的方式来研究导热问题，团此必须引入连续介质假定，以便用连续函数来描述温度分布。
温度场就是在一定的时间和空间域上的温度分布。
它可以表示为空间坐标和时间的函数。
由于温度是标量，温度场是标量场。
常用的空间坐标系有三种：直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
在直角坐标系中，温度场可以表示为(,,,)t f x y z τ= （1-1-1） 式中：t 表示温度；x 、y 、z 为三个空间坐标；τ表示时间。
若温度场各点的温度均不随时间变化，即0t τ∂∂=，则称该温度场为稳态温度场，否则为非稳态温度场。
若温度场只是一个空间坐标的函数，则称为一维温度场；若温度场是两个或三个空间坐标的函数，则称为二维或三维温度场。
1-1-2 等温面与温度梯度物体内温度相同的点的集合所构成的面叫做等温面。
对应不同温度值的等温面构成等温面族。
等温面与任一截面的交线形成等温线。
由于等温线具有形象直观的优点，二维温度场常用等温线来表示温度分布。
由于在同一时刻物体的一个点上只能有一个温度值，所以不同的等温面不可能相交。
它们或者在域内形成封闭曲线，或者终止于物体的边界。
如图1-l 所示，在物体内某一点P 处，沿空间某一方向l 的温度的变化率图1-l 等温线和温度梯度0lim l t t l l∆→∂∆=∂∆ （1-1-2） 称为温度场沿该方向的方向导数。
因为沿等温面方向温度不变，所以温度场在等温面方向的方向导数为零。
对于确定的空间点，在空间各方向上最大的方向导数称为该点的梯度。
所以，温度梯度是一个向量。
温度梯度的方向是温度增加最快的方向，它的模（大小）等于最大的方向导数。
温度梯度可以记作grad t 或▽t 。
温度梯度在任一方向l 的投影就是该方向的方向导数。
若l 方向与grad t 的夹角为θ，则cos t gradt l gradt lθ∂=⋅=∂ （1-1-3） 其中l 是l 方向的单位向量；显然，温度梯度垂直于过该点的等温面。
在直角坐标系中。
温度梯度在三个坐标轴上的投影分别为t x ∂∂、t y ∂∂、t z ∂∂，则有t t t gradt i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂ （1-1-4） 其中i 、j 、k 分别为x 、y 、z 在坐标轴上的单位向量。
在一般的正交坐标系中梯度的表达式将在以后讨论。
连续温度场内的每—点都对应一个温度梯度向量，所以温度梯度构成一个向量场。
应该注意，梯度（gradient ）在英文中有两个不完全相同的意义。
一个是以上介绍的严格按数学（场论）意义上定义的梯度，它是一个向量；另一个意思是“坡度”、“变化率”。
由此在有些中文书中也可见到如“温度场在x 方向的梯度”这样的说法，意思是t x ∂∂。
读者应加以区别。
1-1-3 热流向量单位时间内通过单位面积传递的热量称为热流密度，记作q ，单位为W/m 2。
对确定的空间点、在不同方向上热流密度是不同的。
与定义温度梯度的方法一样，可以定义一点处的热流向量。
热流向量的方向是热流密度最大的方向，其大小等于该方向的热流密度。
热流向量记作q 。
任一方向的热流密度等于热流向量在该方向的投影。
在连续温度场内的每一点都对应一个热流向量，所以热流向量也构成一个热流向量场，或称热流场。
在直角坐标系中x y z q q i q j q k =++ （1-1-5） 1-1-4 傅里叶定律以实验观察为基础并经过科学的抽象，1822年法国数学物理学家傅里叶（Joseph Fourier ）提出了把温度场和热流场联系起来的基本定律。
对于各向同性（材料的导热系数不随方向改变）的物体，傅里叶定律可表述为：热流向量与温度梯度成正比，方向相反。
因为温度梯度是指向温度升高的方向，而根据热力学第二定律，热流总是朝着温度降低的方向，或用数学形式表示为q gradt λ=- （1-1-6） 其中λ称为材料的导热系数。
把式（1-1-4）、（1-l-5）代入式（1-1-6），可得傅里叶定律在直角坐标系中的投影表达式为x y z t q x t q y t q z λλλ⎫∂=-⎪∂⎪∂⎪=-⎬∂⎪⎪∂=-⎪∂⎭ （1-1-7） 傅里叶定律适用于稳态和非稳态的、无热源和有热源的温度场，也适用于常物性和物性随温度改变的情况。
但对于各向异性材料将必须作一定的修改，对此将在后面的第三节中讨论。
傅里叶定律建立了温度场和热流场之间的联系，温度场确定之后热流场就被唯一地确定，并且可进一步求得经物体内部或边界上任意表面传导的热流量Q （如图1-2所示）：图1-2 通过任意表面的热流量dQ q dA gradt dA λ=⋅=-⋅ （1-1-8） A AQ q dA gradt dA λ=⋅=-⋅⎰⎰ （1-1-9）其中，dA 是面积元向量，方向为表面的外法线方向。
这样，在已知导热系数的情况下，由温度场可以确定流过任意表面的热流量。
因此，虽然在许多实际问题中可能更关心热流量的计算，但是在求解导热问题时总是把求解温度场放在首要地位。
1-1-5 导热系数傅里叶定律的另一个作用就是定义了导热系数，即q gradtλ= （1-1-10） 在导热分析中，导热系数是一个重要的物性参数，在给定温度梯度的条件下热流密度的大小正比于导热系数。
在国际单位制中，导热系数的单位是W/(m ·K)。
导热系数与材料的种类及其所处的状态有关。
固体、液体与气体，金属与介电质的内部结构不同，导热的机理也有很大的差异。
热物性学的现代理论提供了对导热过程微观机理的解释，并为按要求的热物性“设计”特定的材料提供了可能的途径。
但是这些理论还不够完善，除了对理想气体和晶体等比较简单的情况以外，对于绝大多数材料还不能较精确地预测其导热系数。
有关导热微观机理的理论可参阅文献[1，2]。
对于绝大多数材料，现在还不能根据其结构和导热机理来计算其导热系数。
各种实际应用材料的导热系数主要是通过实验的方法得到的。
目前已有一系列不同的实验方法可用来测定各种材料在不同温度范围内的导热系数，特别是20世纪60年代以来发展起来的多种非稳态的方法，由于其测试时间短（几秒至几十秒）、适应性强等优点，已被广泛采用。
许多常用材料的热物性数据可以在一些手册中查得。
一般来说，材料的导热系数是温度的函数。
大多数纯金属的导热系数随温度的升高而减小，而气体与介电材料的导热系数随温度的升高而增加。
在极低温条件下（0-60 K ），金属的导热系数随温度有剧烈的变化，且可以达到很高的值。
例如，纯铜在10 K 时的导热系数可达1.9×104W/(m ·K)。
对于液体和气体，特别是在接近临界状态的条件下，导热系数还与压力有关。
接近真空的稀薄气体中的传热已不属于经典的导热过程。
在求解导热问题时常常假定导热系数是常量，即不随温度变化。
根据傅里叶定律，此时热流与温度梯度成线性关系，问题的求解可以得到很大简化。
在需要考虑导热系数随温度变化而温度变化范围又不太大时，工程上常用线性关系来近似导热系数与温度的关系，即0(1)bt λλ=+ （1-1-11） 为了对各种材料导热系数的大小有一个数量级的概念，一些典型材料在通常工程温度范围内的导热系数的范围列于下面：金属 50-415W/(m ·K)合金 l 2-120W/(m ·K)非金属液体 0.17-0.7W/(m ·K)隔热材料 0. 02-0.17W/(m ·K)大气压力下的气体 0.007-0.17W/(M ·K)从以上数据可以看到，在通常的温度范围内导热性能最好的材料与最差的材料相比，导热系数大约相差5个数量级。
这虽然是相当悬殊的差别，但从实际应用的需要来看，导热材料和隔热材料在导热性能上的反差仍显得太小。
导热与导电有很大的类似性。
但优良导电材料（如铜）的电导率与电绝缘材料（如塑料）的电导率相差达12个数量级以上，因此很容易设计各种电路来控制电子的流动（电流），电学量的测量也常可以达到很高的精度。
相比之下，控制热流要困难得多，这是热的测量很难达到较高精度的主要原因。
这也使保温隔热成为传热学和许多工程领域的重要课题。
1-2 固体导热问题的数学描述固体导热问题的数学描述包括导热微分方程和单值性条件。
导热微分方程可以根据直角坐标系（或柱坐标系、球坐标系）中微元体的热平衡导得，其推导过程可参阅大多数的传热学教科书。
这里给出更一般的不依赖于坐标系的推导。
建立导热微分方程的依据仍然是能量守恒定律。
由于所考虑的导热体系是静止的，与外界没有功的交换，所以体系得到的热量应该等于体系内能的增加。
体系得到的热量可以有两部分：一部分是由于导热通过体系的界面传入的热量，另一部分是由于内热源（化学反应、电加热等）的发热而产生的热量。
参照图1-3，导热体系的体积为V ，表面为A 。
单位时间内通过表面A 由导热进入体系的热量Q l 为图1-3 导热微分方程的推导1A VQ q dA qdV =-⋅=-∇⋅⎰⎰Ñ （1-2-1）其中dA 是指向外法线方向的面积元向量，负号表示热流指向体系内部（与表面的外法线方向相反）。
这里应用了散度定理把面积分转换为体积分，其中y x z q q q q x y z∂∂∂∇⋅=++∂∂∂ （1-2-2） 称为热流向量q 的散度。
内热源的体积发热率q v 是单位时间内单位体积的内热源的发热量，在国际单位制中的单位是W/m 3。
一般来说，它可以是坐标和时间的函数，记为加q v (r, τ)。
由此，单位时间内体积V 中内热源产生的热量Q 2为2V VQ q dV =⎰ （1-2-3）单位时间内体积V 中热量的增加Q 3为3V t Q cdV ρτ∂=∂⎰ （1-2-4） 对导热体系建立能量平衡方程，则有123Q Q Q += （1-2-5） 或()0V V t q q c dV ρτ∂-∇⋅+-=∂⎰ （1-2-6） 由于式（1-2-6）对于整个或部分空间域是普遍适用的，它对体系内的任一微元体积也成立。