算术平方根的双重非负性

算术平方根的双重非负性

算术平方根的定义：

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即a

x=

2，那么这个正数x就叫做a 的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0

0=.

算术平方根定义中的两层含义：

a中的a是一个非负数，即0

a≥，a的算术平方根a也是一个非负数，

≥．这就是算术平方根的双重非负性．

例题：已知x，y为有理数，且x－1＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即

≥，a2≥0，

由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y的值，进而求得答案．

()2

0,20

y

≥-≥，且x－1＋3(y－2)2＝0

∴x-1=0，y-2=0.

∴x=1,y=2

∴x－y＝1－2＝－1.

方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即

≥，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.巩固练习：

1.若|x－2|+3

-

y=0,则xy=______.

2.已知()0

2

3

2

2

12

=

+

+

+

+

-z

y

x，求x+y+z的值.

3. △ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ，b 满足04412=+-+-b b a ，求c 的取值范

围．

参考答案：

1. xy =6

2. 解：因为21-x ≥0，()22+y ≥0，2

3+z ≥0，且()0232212=++++-z y x ， 所以21-

x =0，()22+y =0，23+z =0， 解得21=x ，2-=y ，2

3-=z ， 所以x +y +z = 3-．

3. 解：由04412=+-+-b b a ，可得0)2(12=-+-b a ，

因为 1-a ≥0，2)2(-b ≥0， 所以1-a =0，2)2(-b =0，

所以a = 1，b = 2，

由三角形三边关系定理有：b- a < c < b +a ，即1 < c < 3．