数理统计--参数估计、假设检验、方差分析(李志强) (3)汇总
根据数理统计知识点归纳总结(精华版)
根据数理统计知识点归纳总结(精华版)
1. 引言
本文旨在对数理统计的基本知识点进行归纳总结，帮助读者快速了解数理统计的核心概念和方法。
2. 概率论基础
- 概率的基本定义和性质
- 随机事件的运算规则
- 条件概率和独立性
- 贝叶斯定理
3. 随机变量和分布
- 随机变量的定义和分类
- 离散型随机变量和连续型随机变量
- 常见离散型分布（如伯努利分布、二项分布、泊松分布）
- 常见连续型分布（如均匀分布、正态分布、指数分布）
4. 数理统计的基本概念
- 总体和样本的概念
- 估计与抽样分布
- 统计量和抽样分布
5. 参数估计
- 点估计的定义和性质
- 常见的点估计方法（如最大似然估计、矩估计）
- 区间估计的基本原理和方法
6. 假设检验
- 假设检验的基本思想和步骤
- 单侧检验和双侧检验
- 假设检验中的错误类型和显著性水平
- 常见的假设检验方法（如正态总体均值的检验、两样本均值的检验）
7. 相关分析
- 相关系数的定义和计算方法
- 相关分析的假设检验
- 线性回归分析的基本原理和方法
8. 统计软件的应用
- 常见的统计软件介绍（如SPSS、R、Python）
- 统计软件的基本操作（如数据导入、数据处理、统计分析）
9. 结语
本文对数理统计的核心知识点进行了简要的概括，供读者参考和研究。
通过研究数理统计，读者可以更好地理解和应用统计学在实际问题中的作用，提高数据分析和决策能力。
以上是根据数理统计知识点的归纳总结，希望有助于您对数理统计的理解和学习。
如需深入了解各个知识点的具体内容，请参考相关教材或课程。
数理统计总结讲义
最大次序统计量X(n) = max {Xi }的密度函数为
1<i≤n ∗ fk (y ) = nf (y )[F (y )]n−1
Mathematics Statistics (College of Info. Science and Eng., at SDUST)
数理统计总结
2011.12.21
4 / 44
1 n
n
¯ )2 (Xi − X
i−1
3. 顺序统计量 X(1) ≤ X(2) ≤ ... ≤ X(n−1) ≤ X(n) 当总体X的分布函数为F (x)、密度函数为f (x)时，最小次序统计 量X(1) = min {Xi }的密度函数为
1<i≤n ∗ f1 (y ) = nf (y )[1 − F (y )]n−1
数理统计总结
Mathematics Statistics
山东科技大学 信息科学与工程学院
2011年12月
数理统计总结
第一部分 数理统计
Mathematics Statistics 一、 二、 三、 四、 五、 基本概念 参数估计 假设检验 回归分析 方差分析
1
一、 基本概念 二、 参数估计 三、 假设检验 四、 回归分析 五、 方差分析
Mathematics Statistics (College of Info. Science and Eng., at SDUST) 数理统计总结 2011.12.21 6 / 44
1 1 = F0.95 (6, 4) 6.16
一、 基本概念 V
n
数理统计总结
(1) X1 , ..., Xn iid N (0, 1), 则 Y =
1. 经验分布函数的求法
数理统计知识梳理
2、步骤
（ 1） 提 出 原 假 设 H 0 （ 2） 选 择 检 验 的 统 计 量 并 找 出 在 假 设 H 0 成 立 的 条 件 下 ， 该 统 计 量 所服从的概率分布 （ 3） 根 据 所 给 的 显 著 水 平 ， 查 概 率 分 布 临 界 值 表 ， 找 出 检 验 统 计 量 的 临 界 值 ， 并 确 定 否 定 域 （ 4） 用 样 本 值 计 算 统 计 量 的 值 ， 将 其 与 临 界 值 比 较 ， 根 据 比 较 结 果 ， 确 定 样 本 值 是 否 落 入 否 定 域 ， 最 后 对 H 0作 出 结 论
( X 1 , X 2 ,… ， X n )
是n次试验的结果，因此它们是
n个随机变量。但做了试验后，记录下来的是它们在试 验中所取得的数值，得到一串数据
( x1 , x 2 , … ， x n )
这串数据称为样本的观察值。
样本的观察值就是指样本的一次实现， 是一个常数向量
有时样本观察值也称为样本，因此样本一词 具有二重性
服 从 自 由 度 为 （ k 1， k 2） 的 F 分 布 ， 记 F （ k 1， k 2） 。
F分布一个重要特点
F1（ k 1， k 2） =
1 F（ k 2， k 1）
3、统计量
设 X 1 , X 2 , … ， X n 是 来 自 总 体 X 的 一 个 样 本 ， g( x1 , x 2 , … ， x n ) 是 一 个 连 续 函 数 。 如 果 g中 不 包 涵 任 何 未 知 数 参 数 ， 则 称 g(X 1 , X 2 , … ， X n )为 统 计 量 。
2分 布 的 重 要 性 质
X 1 ~ （ m ） ， X 2 ~ （ n ） ; n ）
数理统计--参数估计、假设检验、方差分析(李志强) (3)
教学单元案例： 参数估计与假设检验北京化工大学 李志强教学内容：统计量、抽样分布及其基本性质、点估计、区间估计、假设检验、方差分析 教学目的：统计概念及统计推断方法的引入和应用（1）理解总体、样本和统计量等基本概念；了解常用的抽样分布；（2）熟练掌握矩估计和极大似然估计等方法； （3）掌握求区间估计的基本方法； （4）掌握进行假设检验的基本方法； (5) 掌握进行方差分析的基本方法；（6）了解求区间估计、假设检验和方差分析的MA TLAB 命令。
教学难点：区间估计、假设检验、方差分析的性质和求法 教学时间：150分钟教学对象：大一各专业皆可用一、统计问题 引例例1 已知小麦亩产服从正态分布，传统小麦品种平均亩产800斤，现有新品种产量未知，试种10块，每块一亩，产量为：775,816,834,836,858,863,873,877,885,901问：新产品亩产是否超过了800斤？例2 设有一组来自正态总体),(2σμN 的样本0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.488, 0.510, 0.510, 0.512. (i) 已知2σ=0.012，求μ的95%置信区间； (ii) 未知2σ，求μ的95%置信区间； (iii)求2σ的95%置信区间。
例3现有某型号的电池三批, 分别为甲乙丙3个厂生产的, 为评比其质量, 各随机抽取5只电池进行寿命测试, 数据如下表示, 这里假设第i 种电池的寿命),(.~2σμi i N X .(1) 试在检验水平下,检验电池的平均寿命有无显著差异? (2) 利用区间估计或假设检验比较哪个寿命最短.二 统计的基本概念: 总体、个体和样本（1）总体与样本总体 在数理统计中,我们将研究对象的某项数量指标的值的全体称为总体,总体中的每个元素称为个体比如，对电子元件我们主要关心的是其使用寿命.而该厂生产的所有电子元件的使用寿命取值的全体，就构成了研究对象的全体，即总体，显然它是一个随机变量，常用X 表示 为方便起见，今后我们把总体与随机变量X 等同起来看，即总体就是某随机变量X 可能取值的全体.它客观上存在一个分布，但我们对其分布一无所知，或部分未知，正因为如此，才有必要对总体进行研究.简单随机样本对总体进行研究，首先需要获取总体的有关信息. 一般采用两种方法：一是全面调查.如人口普查，该方法常要消耗大量的人力、物力、财力.有时甚至是不可能的，如测试某厂生产的所有电子元件的使用寿命. 二是抽样调查. 抽样调查是按照一定的方法，从总体X 中抽取n 个个体.这是我们对总体掌握的信息.数理统计就是要利用这一信息，对总体进行分析、估计、推断.因此，要求抽取的这n 个个体应具有很好的代表性.按机会均等的原则随机地从客观存在的总体中抽取一些个体进行观察或测试的过程称为随机抽样.从总体中抽出的部分个体,叫做总体的一个样本.从总体中抽取样本时,不仅要求每一个个体被抽到的机会均等,同时还要求每次的抽取是独立的,即每次抽样的结果不影响其他各次的抽样结果,同时也不受其他各次抽样结果的影响.这种抽样方法称为简单随机抽样.由简单随机抽样得到的样本叫做简单随机样本.往后如不作特别说明,提到“样本”总是指简单随机样本.从总体X 中抽取一个个体,就是对随机变量X 进行一次试验.抽取n 个个体就是对随机变量X 进行n 次试验,分别记为X1,X2,…,Xn.则样本就是n 维随机变量(X1,X2,…,Xn).在一次抽样以后, (X1,X2,…,Xn)就有了一组确定的值(x1,x2,…,xn),称为样本观测值.样本观测值(x1,x2,…,xn)可以看着一个随机试验的一个结果,它的一切可能结果的全体构成一个样本空间,称为子样空间.（2）样本函数与统计量设n x x x ,,,21 为总体的一个样本，称ϕϕ= （n x x x ,,,21 ）为样本函数，其中ϕ为一个连续函数。
数理统计关键知识点汇总
数理统计关键知识点汇总数理统计（Statistical Mathematics）是数学的一个分支，研究的是收集、分析和解释数据的方法。
在实际应用中，统计学被广泛运用于各个领域，包括经济学、社会学、医学和环境科学等。
本文将汇总并介绍数理统计的几个关键知识点。
一、总体和样本在统计学中，我们需要区分总体（Population）和样本（Sample）这两个概念。
总体是研究对象的全体，而样本是从总体中抽取的一部分。
通过对样本的研究，我们可以推断出总体的特征。
在实际应用中，由于总体往往过于庞大，难以直接进行统计分析，因此常常采用样本来代表总体。
二、概率分布概率分布是用来描述随机变量可能取值的概率的函数。
常见的概率分布包括正态分布、泊松分布和二项分布等。
正态分布是最重要的分布之一，它在自然界中广泛存在，被广泛应用于描述实验结果、人口统计数据和观测误差等。
三、抽样分布抽样分布是样本统计量的分布。
样本统计量是根据抽取的样本计算得到的数值指标，如样本均值和样本方差等。
抽样分布的中心极限定理表明，当样本容量足够大时，抽样分布可以近似地服从正态分布。
这对于进行统计推断提供了基础。
四、参数估计参数估计是根据样本数据来估计总体参数值的方法。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是根据样本估计得到总体参数的一个点估计值，如样本均值是对总体均值的一个点估计。
区间估计是根据样本数据构造一个总体参数的区间估计范围，如置信区间。
五、假设检验假设检验是用来检验关于总体参数的假设的方法。
通常，我们会提出一个原假设和一个备择假设，并进行假设检验来判断哪个假设更为合理。
假设检验的基本思想是计算一个统计量，并将其与一个临界值进行比较，从而得出对原假设的统计结论。
六、相关与回归分析相关和回归分析是用来研究变量之间关系的方法。
相关分析用于描述两个变量之间的相关程度，可以通过计算相关系数来衡量变量间的线性关系强度。
回归分析则用于建立一个变量与多个自变量之间的关系模型，从而进行预测和解释。
概率论与数理统计实验实验3参数估计假设检验
概率论与数理统计实验实验3 参数估计假设检验实验目的实验内容直观了解统计描述的基本内容。
2、假设检验1、参数估计3、实例4、作业一、参数估计参数估计问题的一般提法X1, X2,…, Xn要依据该样本对参数作出估计，或估计的某个已知函数.现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数向量). 为F(x, )，其中为未知参数( 可以是参数估计点估计区间估计点估计——估计未知参数的值区间估计——根据样本构造出适当的区间，使他以一定的概率包含未知参数或未知参数的已知函数的真?（一）、点估计的求法1、矩估计法基本思想是用样本矩估计总体矩.令设总体分布含有个m未知参数??1 ，…，??m解此方程组得其根为分别估计参数??i ，i=1,...,m，并称其为??i 的矩估计。
2、最大似然估计法（二）、区间估计的求法反复抽取容量为n的样本,都可得到一个区间,这个区间可能包含未知参数的真值,也可能不包含未知参数的真值,包含真值的区间占置信区间的意义1、数学期望的置信区间设样本来自正态母体X(1) 方差?? 2已知, ?? 的置信区间(2) 方差?? 2 未知, ?? 的置信区间2、方差的区间估计未知时, 方差?? 2 的置信区间为（三）参数估计的命令1、正态总体的参数估计设总体服从正态分布，则其点估计和区间估计可同时由以下命令获得：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)此命令以alpha 为显著性水平，在数据X下，对参数进行估计。
（alpha缺省时设定为0.05），返回值muhat是X的均值的点估计值，sigmahat是标准差的点估计值, muci是均值的区间估计,sigmaci是标准差的区间估计.例1、给出两列参数?? =10, ??=2正态分布随机数，并以此为样本值，给出?? 和?? 的点估计和区间估计命令:r=normrnd(10,2,100,2);[mu,sigm,muci,sigmci]=normfit(r);[mu1,sigm1,muci1,si gmci1]=normfit(r,0.01);mu=9.8437 9.9803sigm=1.91381.9955muci=9.4639 9.584310.2234 10.3762sigmci=1.68031.75202.2232 2.3181mu1=9.8437 9.9803sigm1=1.91381.9955muci1=9.3410 9.456210.3463 10.5043sigmci1=1.6152 1.68412.3349 2.4346例2、产生正态分布随机数作为样本值，计算区间估计的覆盖率。
考研数学数理统计基础知识点总结
考研数学数理统计基础知识点总结在准备考研数学的过程中，掌握数理统计基础知识是非常重要的。
本文将为您总结一些常见的数理统计基础知识点，帮助您更好地备考。
一、概率论基础知识1. 事件与样本空间：事件是指样本空间中的某个子集，样本空间则是指随机试验的所有可能结果的集合。
2. 概率的定义：概率是指事件发生的可能性大小，其取值范围在0到1之间。
3. 概率的运算：包括加法公式和乘法公式。
加法公式适用于互斥事件的概率计算，乘法公式则适用于独立事件的概率计算。
4. 条件概率：指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
5. 贝叶斯定理：用于计算事件的后验概率，在已经得到一些信息的情况下，通过先验概率和条件概率计算出事件的后验概率。
二、随机变量与概率分布1. 随机变量的概念：随机变量是指随机试验结果的某个函数，可以是离散的或连续的。
2. 概率质量函数与概率密度函数：对于离散型随机变量，其概率可以通过概率质量函数来描述；对于连续型随机变量，则需要使用概率密度函数。
3. 常见的离散型随机变量：包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
4. 常见的连续型随机变量：包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
三、统计推断1. 抽样与抽样分布：抽样是指从总体中选取一部分个体进行研究，抽样分布则是指统计量在大量抽样下的分布情况。
2. 参数估计：根据样本数据对总体的某个参数进行估计，可以使用点估计和区间估计两种方法。
3. 假设检验：对总体参数的某个假设进行检验，包括设置原假设和备择假设，以及计算检验统计量和判断拒绝域。
4. 方差分析：一种用于比较两个或多个总体均值是否有显著差异的统计方法，适用于独立样本、配对样本和重复测量样本。
四、相关与回归分析1. 相关分析：用于判断两个变量之间的相关性强弱，包括计算相关系数和进行假设检验。
2. 简单线性回归分析：用于建立一个自变量与因变量之间的线性关系模型，通过最小二乘法来估计回归系数。
3. 多元线性回归分析：在简单线性回归的基础上，将多个自变量引入回归模型中进行分析，以探究多个变量对因变量的影响。
数理统计学中的参数估计和假设检验
数理统计学中的参数估计和假设检验在现代统计学中，参数估计和假设检验是非常重要的概念。
这些概念互相关联，但是又有不同的应用。
在此，我们将讨论这两个概念的基本原则以及它们在现实生活中的应用。
参数估计可以被描述为研究一组数据的基本特征。
通过这个过程，我们试图推断出这个数据集的平均值、标准差和其他的参数。
这些参数会充当我们对整个数据集的总体特征的代表，是基于样本数据和概率等数学方法来实现的。
数理统计学中有两种常见的参数估计方法：点估计和区间估计。
点估计法指的是通过现有的样本数据，确定整体数据集的一个参数值。
这个参数值是一个点，代表了这个总体数据的典型特征。
例如，一个统计学家可能会利用一个样本数据集的均值来估计整个数据集的均值。
这个方法非常简单，但是也有缺点，因为单个点可能不能完整地反映出整个总体的信息。
相对于点估计方法，区间估计法则是根据样本数据并结合概率论提供一个充分范围内的参数估计值。
以信心水平的方式，给出估计结果的范围和信心度。
这样的区间被称为可信区间，其中的参数值处于一定的置信度内，一般用百分之几的置信度表示。
例如，一个样本数据的均值在一定的置信度下是x到y之间的。
区间估计法是一种更加准确的方法，因为它允许我们知道参数值的变化范围，而不仅仅是一个单点。
但是，这种技术会带来更多的复杂性，需要一些基本的统计技能。
另一方面，假设检验则是一种帮助我们确定一个假设是否正确的方法。
这个方法通常用于对两个数据组的统计分析中，并且可以用于比较一个数据集的平均值是否等于一个已知的值。
简单说就是，假设检验能够让我们确定样本数据是否足够代表总体，并且也让我们确认样本数据能否代表以前的观测和研究。
在假设检验中，我们制定一个假设被称为研究假设，并组对比之前已知的信息，提出一个对立假设。
之后，我们会挑选一个随机样本并采取测量行动。
我们利用这个测量行动来确定样本数据是否属于已知的总体比例，或者是否对研究假设做出了支持。
如果样本数据足够代表总体，并且不同于已知的比例，则我们可以拒绝研究假设并接受对立假设。
数理统计与数据分析第三版答案 (2)
数理统计与数据分析第三版答案第一章简介1.1 概述本章主要介绍了数理统计与数据分析的基本概念和作用。
数理统计是对数据进行收集、整理和分析的方法，数据分析则是从数据中提取有用的信息和结论。
1.2 数理统计的基本概念与分析步骤数理统计的基本概念包括总体、样本、参数和统计量等。
分析步骤包括收集数据、描述性统计、概率分布、参数估计和假设检验等。
1.3 数据分析的基本方法数据分析的基本方法包括描述统计和推断统计。
描述统计主要是对数据的总体特征进行描述，推断统计则是通过样本数据对总体进行推断。
第二章概率分布2.1 离散型随机变量离散型随机变量是在有限个或可列无限个数值中取值的随机变量。
本节介绍了离散型随机变量的概率质量函数、分布函数、期望和方差等。
2.2 连续型随机变量连续型随机变量是在某个区间内取值的随机变量。
本节介绍了连续型随机变量的概率密度函数、分布函数、期望和方差等。
第三章参数估计3.1 点估计点估计是用样本数据估计总体参数的方法。
本节介绍了点估计的基本原理和常用的点估计方法，包括最大似然估计和矩估计。
3.2 区间估计区间估计是通过样本数据估计总体参数的范围。
本节介绍了区间估计的基本原理和常用的区间估计方法，包括置信区间和预测区间。
第四章假设检验4.1 基本概念假设检验是用样本数据对总体参数的假设进行检验的方法。
本节介绍了假设检验的基本概念，包括原假设、备择假设、显著性水平和拒绝域等。
4.2 单样本均值检验单样本均值检验是对总体均值是否等于某个给定值进行检验的方法。
本节介绍了单样本均值检验的假设检验步骤和常用的检验方法，包括正态总体和非正态总体的检验。
第五章方差分析5.1 单因素方差分析单因素方差分析是对一个因素的影响进行分析的方法。
本节介绍了单因素方差分析的基本原理和常用的分析方法，包括单因素方差分析的假设检验和效应大小的度量。
5.2 多因素方差分析多因素方差分析是对多个因素的交互作用进行分析的方法。
高考统计知识点总结
高考统计知识点总结高考统计学是数学中的一个重要分支，它主要研究数据的搜集、整理、描述与分析。
高考统计学常考的知识点主要包括概率、抽样与中心极限定理、参数估计与假设检验等。
下面是关于这些知识点的详细总结。
一、概率1.基本概念：样本空间、事件、随机试验、等可能事件等。
2.事件关系：互斥事件、对立事件、相等事件等。
3.概率基本定理：概率的性质、概率的计算、概率的加法定理和乘法定理等。
4.排列与组合：排列的计算、组合的计算、二项式定理等。
5.条件概率与独立性：条件概率的计算、乘法定理的条件概率形式、事件的独立性等。
6.贝叶斯定理：完全事件组、贝叶斯定理的推导与应用等。
二、抽样与中心极限定理1.总体与样本：总体、样本的概念、总体参数与样本统计量的关系等。
2.抽样分布：简单随机抽样、大小为n的简单随机样本、比例估计等。
3.中心极限定理：中心极限定理的条件、正态分布的基本性质、用中心极限定理进行估计等。
三、参数估计与假设检验1.点估计：估计量的性质、最大似然估计、样本均值、样本方差等。
2.区间估计：区间估计的基本思想、正态总体参数的区间估计、大样本的区间估计等。
3.假设检验：假设检验的基本思想、单侧假设检验、双侧假设检验、P值的应用等。
4.卡方检验：观察频数与期望频数的差异、卡方统计量、卡方分布等。
以上是高考统计学的部分重点知识点总结，希望能够对你的学习有所帮助。
需要注意的是，统计学是一门理论实践相结合的学科，掌握理论知识的同时，更要注重实际应用，多做习题和真题，加强对知识点的理解和应用能力。
祝你高考取得好成绩！。
数理统计·参数的假设检验
H0 : 0 12 H1 : 12
在 H0成立旳条件下即( 0 ) ,选用U统计量
U X 0 ~ N (0,1) n
由 P(|U | u ) 0.05 ,
2
(u
2
)
1
2
1
0.05 2
0.975
查正态分布表得u 1.96 , 于是拒绝域为|U | 1.96 ;
2
又由已知 0 12 , 1 ,n 100 , x 12.5 得
|
u
||
x
0
n
||
12.5 12 1 100
|
5
1.96
u
2
故拒绝 H0 ,即以为更新设备后产品旳质量均值与原
来产品旳质量均值有明显差别.
例3 切割机在正常工作时,切割出旳每段金属 棒长 X 服从正态分布 X ~ N (54, 0.752 ) ,今从生产出 旳一批产品中随机抽取10段进行测量,测得长度(单 位:mm)如下:
§7 参数旳假设检验
数理统计
参数估计 数理推断问题
假设检验
点估计 区间估计
一、假设检验旳基本概念与措施
1．统计假设:对未知或不完全懂得旳总体作出 某些假设.
2．假设检验:针对一种统计假设,利用一种样本 观察值,经过一定旳程序检验这个假设是否合理,从 而决定接受或拒绝假设.
3．假设检验旳两种情况: 参数假设检验:总体分布类型已知但有一种或几种
Sn
因为自由度 n 1 9 1 8 , 0.05 根据
P(| T | t (n 1)) 0.05
2
查t分布表得 t (n 1) t0.025 (8) 2.306
2
于是拒绝域为| T | 2.306 ;
考研数理统计知识点总结
考研数理统计知识点总结一、概率论的基本概念1.1概率的定义概率是对随机事件发生的可能性的度量，用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的定义有古典概率、几何概率和概率统计学三种。
1.2事件与样本空间对一个随机试验而言，其所有可能的结果组成的集合称为样本空间，而样本空间中的子集称为事件。
1.3事件的关系与运算事件之间存在包含、互斥、逆事件和并、交、差等关系与运算。
1.4条件概率事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，用P(A|B)表示。
1.5独立性如果事件A的发生不受事件B发生的影响，那么称事件A与事件B是相互独立的。
1.6全概率公式与贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的两个重要公式，可以用来求解复杂事件的概率。
二、随机变量与概率分布2.1随机变量的定义随机变量是随机试验结果的数字表示，包括离散型随机变量和连续型随机变量。
2.2离散型随机变量离散型随机变量的概率分布可以由概率函数或分布函数来描述，包括二项分布、泊松分布、超几何分布等。
2.3连续型随机变量连续型随机变量的概率分布可以由概率密度函数或分布函数来描述，包括正态分布、指数分布、均匀分布等。
2.4随机变量的数字特征随机变量的数字特征包括数学期望、方差、标准差等，这些特征可以用来描述随机变量的集中趋势和离散程度。
2.5常见概率分布的性质不同的概率分布具有不同的性质，包括分布形状、数学期望、方差等。
三、大数定律与中心极限定理3.1大数定律的概念大数定律是概率论中的一条重要定理，描述了大量独立同分布随机变量的均值在概率意义下趋于数学期望的现象。
3.2中心极限定理的概念中心极限定理是概率论中的一条重要定理，描述了大量独立同分布随机变量的均值的分布在适当标准化后趋于正态分布的现象。
3.3两个定理的适用条件大数定律和中心极限定理有各自的适用条件，考生需要了解并掌握其适用的情况。
四、参数估计与假设检验4.1参数估计的基本概念参数估计是通过样本数据来估计总体参数的值，包括点估计和区间估计两种方法。
第一讲参数估计、假定检验与方差分析
prop ratio ci
比例 比率 区间
两个连续变量或 线性化 二分类变量 连续变量或二分 常规 类变量 by 单变量 样本量
假定检验
假定检验 (hypothesis test)
• 假定：对两个变量之间关系的陈述，也即是未经 检验的、对研究问题的回答；不是凭空捏造的
• 假定检验：利用样本特征对总体特征进行推断
• 样本容量与边际误差成反比：可以接受的边际误 差越大，所需的样本量就越小 • 可靠性、准确性与置信区间的关系
估计量的评估标准
• 无偏性 (unbiasedness)：估计量抽样分布的数学期 望值 = 被估计的总体参数 (均值、方差、比例)
ˆ）= θ，则ˆ 为 θ 的无偏估计 若E（
• 有效性 (efficiency)：无偏估计并非十分接近被估 计的参数。对同一总体参数的两个无偏点估计 量 ˆ1和ˆ2 ，标准差或方差越小，估计量有效性越大 • 一致性 (consistency)：随着样本量的增加，估计量 的取值越来越接近总体参数(与 x 抽样的sd有关)： x
常用区间的正态概率值
-2.58 sd
-1.69 sd
Mu
1.69 sd
2.58 sd
68.27% 95.44% 99.73%
区间估计：样本的均值分布(II)
x (样本标准差)
– 样本均值（x ）在（ 概率为 68.27%
2
3
n
n
，
2
n
n
）范围内的
– 样本均值（x ）在（ 概率为 95.44%
.tab urban sib,chi2
1=urban, | 0=rural | 0 sib（姊妹数量） 1 2 | Total
北化研究生数理统计李志强4-3
关于XY的符号:
相关系数的性质：
由方差Var(Y)是正的,故必有 2 证: 由方差的性质和协方差的定义知 , 1- ≥ 0,所以 | |≤1。 对任意实数b,有 0≤Var(Y-bX)= b2Var(X)+Var(Y)-2b Cov(X,Y )
[Cov( X , Y )] 2 Var(Y- bX)= Var (Y ) Var ( X ) 2 [Cov( X , Y )] Var (Y )[1 ] Var (Y )[1 2 ] Var ( X )Var (Y )
X和Y不相互独立.
3. 1
存在常数a,b(b≠0），
使P{Y=a+bX}=1，
即X和Y以概率1线性相关.
请看演示
相关系数的直观意义
前面，我们已经看到： 若X与Y独立，则X与Y不相关， 但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立. 但对下述情形，独立与不相关等价 若(X,Y)服从二维正态分布，则
X与Y独立
X与Y不相关
参见书P121--122
小结：本节主要介绍了协方差与相关系数， 它们都是用来刻画两个随机变量之间的相关 程度的量，它们取值的正副，反映了两个随 机变量变化方向的趋势。
稍事休息
Var ( X i ) Var ( X i )
i 1 i 1
n
n
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y 相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位 的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
为了克服这一缺点，对协方差进行标准化， 这就引入了相关系数 .
二、相关系数 定义: 设Var(X)>0, Var(Y)>0, 称
2
xdx dy
数理统计相关知识汇总
数理统计相关知识汇总数理统计是应用概率论和数学方法来研究数据的收集、分析、解释和预测的一门学科。
它广泛应用于各个领域，如自然科学、社会科学、医学、经济学等，并在决策、规划和控制等方面发挥重要作用。
以下是数理统计相关的一些基本概念和方法。
1.数据收集与描述数据收集是数理统计的第一步。
可以通过统计调查、实验、抽样等方法来获取数据。
描述统计是对收集到的数据进行总结和展示的过程，一般包括以下几个方面：-资料整理：整理数据，包括删除错误或无效的数据，填补缺失值等。
-描述性统计：计算和描述数据的中心趋势（如均值、中位数、众数）和离散程度（如范围、方差、标准差）。
-分布特征：观察数据的分布情况，例如直方图、箱线图等。
2.概率基础概率是数理统计的理论基础，用于描述事件发生的可能性。
概率论包括以下几个重要概念：-随机试验：具有多个结果可能的试验，每个结果的发生概率是已知的。
-样本空间和事件：样本空间是随机试验所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集。
-概率的公理：概率遵循一些基本公理，如非负性、规范性、可列可加性等。
-条件概率和独立性：条件概率描述在已知一些事件发生的条件下，其他事件发生的概率。
独立事件是指两个事件的发生不相互影响。
-随机变量和概率分布：随机变量是根据试验结果取值的变量，概率分布描述随机变量取每个可能值的概率。
3.统计推断统计推断是基于样本数据对总体的推断。
主要包括参数估计和假设检验两个方面：-参数估计：根据样本数据推断总体参数的值。
常用的参数估计方法有点估计和区间估计。
点估计通过一个样本统计量来估计总体参数，如样本均值估计总体均值；区间估计给出总体参数估计值的一个范围，如置信区间。
-假设检验：根据样本数据对关于总体的一些假设进行推断。
假设检验常包括原假设和备择假设，通过计算样本统计量的观察值与假设下的期望值之间的差异来判断假设的合理性，从而做出接受或拒绝原假设的决策。
4.回归分析回归分析用于探索自变量和因变量之间的关系。
应用统计专业课背诵
应用统计专业课背诵
统计学是一门重要的应用数学学科，涉及到概率论、数理统计和统计推断等内容。
背诵统计学专业课的重点知识可以帮助增强对统计学的理解和掌握。
以下是一些常见的统计学专业课背诵内容：
1. 概率论
- 基本概念：样本空间、事件、随机变量等。
- 概率计算：加法法则、乘法法则、条件概率和全概率公式等。
- 概率分布：离散分布（如二项分布、泊松分布）和连续分布（如正态分布、指数分布）的概率密度函数和分布函数。
2. 数理统计
- 抽样与抽样误差：简单随机抽样、系统抽样和多阶段抽样等。
- 统计量及其抽样分布：样本均值、样本方差的抽样分布。
- 参数估计：点估计和区间估计的基本原理和方法，如最大似
然估计和置信区间。
- 假设检验：零假设和备择假设的提出，显著性水平和拒绝域
的确定，如t检验和卡方检验。
3. 统计推断
- 置信区间：对总体均值和总体比例的置信区间估计。
- 假设检验：零假设和备择假设的提出，显著性水平和拒绝域
的确定，如t检验和卡方检验。
- 方差分析：单因素方差分析和多因素方差分析的基本原理和
推断方法。
- 回归分析与方差分析：线性回归和多元回归分析的基本原理
和应用。
以上仅是统计学专业课的一些重点内容，具体背诵的内容还需根据自己的学习进度和课程要求进行选择。
此外，建议结合实际案例和练习题进行实际应用和巩固，遇到问题及时与教师和同学讨论交流，加深对统计学的理解和应用。
数理统计法种类
数理统计法种类数理统计法是数学分析和统计学原理的应用，通过对实验数据的收集、整理、分析和解释，从而得出科学结论的一种方法。
下面，我们将介绍数理统计法的种类。
一、描述性统计描述性统计是对数据进行描述的一种方法，它是所有统计分析的基础。
在描述性统计中，我们使用各种指标，如均值、中位数、众数、标准差和方差等，来揭示数据的分布和趋势，从而帮助我们更好地理解数据。
二、参数估计参数估计是基于统计分布来推断数据特征参数的一种方法。
在参数估计中，我们通过采样数据并应用概率分布来推断总体参数，如均值、标准差、比例等。
其中最常见的参数估计方法是最大似然估计。
三、假设检验假设检验是一种确定数据是否与某个假设相符或不符的方法。
在假设检验中，我们提出一个原假设和备择假设，并通过样本数据来判断原假设是否成立，从而决定是否拒绝原假设。
其中最常见的假设检验方法是 t 检验和 z 检验。
四、回归分析回归分析用于研究变量之间的关系和预测目标变量的值。
在回归分析中，我们将自变量和因变量之间的关系表达为一个数学方程，并通过拟合数据来确定方程参数。
其中最常见的回归分析方法是线性回归和多元回归。
五、方差分析方差分析用于比较各个组之间的差异以及确定因素对变量的影响。
在方差分析中，我们通过对不同组的差异进行分析来判断因素是否对变量有显著影响。
其中最常见的方差分析方法是单因素方差分析和双因素方差分析。
总结：数理统计法是科学研究中非常重要的一部分。
各种统计方法可以帮助我们更好地理解数据和问题，并从中得出结论。
同时，应用不同的统计方法和技术需要针对具体情况选择最适合的方法，以得到最可靠的结果。
数理统计知识点
06
方差分析与回归分析
方差分析的基本原理与方法
方差分析的基本原理
通过比较不同组别数据的方 差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
方差分析的基本方法
单因素方差分析、多因素方 差分析等。
方差分析的步骤
建立假设、构造检验统计量 、确定显著性水平、进行统 计决策。
一元线性回归分析的基本原理与方法
一元线性回归分析的基本原理
抽样分布
当从总体中随机抽取多个样本时，由这些样本统计量所构成的分布称为抽样分布。常见的抽样分布有t分布、F分 布和χ^2分布等。
中心极限定理
当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布，无论总体分布是什么形状。这一定理在统计学中具有重要 地位，为许多统计推断方法提供了理论依据。
04
参数估计
点估计的方法与性质
推断性统计
推断性统计是通过样本数据对总体进行推断的方法，包括参数估计和假设检验两种类型。参数估计是通过样本数据对 总体参数进行估计的方法，而假设检验则是通过样本数据对总体假设进行检验的方法。
实验设计与方差分析
实验设计是研究如何合理地安排实验以及实验数据收集的方法，而方差分析则是用于研究不同因素对实 验结果影响的方法。通过实验设计和方差分析，我们可以更加准确地了解各因素对实验结果的影响程度 。
协方差与相关系数
用于衡量两个变量之间的线性 关系强度和方向。
均值
样本均值是总体均值的无偏估 计，其分布随着样本量的增加 而逐渐趋近于正态分布。
标准差
样本标准差是总体标准差的无 偏估计，用于衡量数据的离散 程度。
偏度与峰度
用于描述数据分布的形态，偏 度衡量分布的偏斜程度，峰度 衡量分布的尖峭程度。
抽样分布与中心极限定理
数理统计的基本知识数理统计的内容主要包括以下两个方面一
第六章数理统计的基本知识数理统计的内容主要包括以下两个方面：一、如何收集、整理数据资料；二、如何对所得的数据资料进行分析、研究，从而对所研究的对象的性质、特点作出推断．后者就是我们所说的统计推断问题．本书只讲述统计推断的基本内容，即数理统计的基本知识、参数估计、假设检验、方差分析及回归分析等．在概率论中，我们是在假设随机变量的分布已知的前提下去研究它的性质、特点和规律性，例如介绍常用的各种分布、讨论其随机变量的函数的分布、求出其随机变量的数字特征等．在数理统计中，我们研究的随机变量，其分布是未知的，或者是不完全知道的，人们是通过对所研究的随机变量进行重复独立的观察，得到许多观察值，对这些数据进行分析，从而对所研究的随机变量的分布作出种种推断的．本章我们将介绍总体、随机样本及统计量等基本概念，并着重介绍几个常用统计量及抽样分布．§6.1 随机样本一、总体与总体分布1.总体:将研究对象的某项数量指标的值的全体称为总体．总体中的每个元素称为个体．总体中所包含的个体的个数称为总体的容量．容量为有限的称为有限总体．否则称为无限总体．注:有些有限总体，它的容量很大，我们可以认为它是一个无限总体．例如考察全国正在使用的某种型号灯泡的寿命所形成的总体，由于个体的个数很多，就可以认为是无限总体．在总体中，由于每个个体的出现是随机的，所以研究对象的该项数量指标X的取值就具有随机性，X是一个随机变量．因此，我们所研究的总体，即研究对象的某项数量指标X，它的取值在客观上有一定的分布．我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X的分布的研究．X的分布函数和数字特征就称为总体的分布函数和数字特征，今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体X．二、样本与样本分布在实际中，总体的分布一般是未知的，或只知道它具有某种形式，其中包含着未知参数．在数理统计中，人们都是通过从总体中抽取一部分个体，然后根据获得的数据来对总体分布得出推断的，被抽出的部分个体叫做总体的一个样本．从总体抽取一个个体，可以看作是对代表总体的随机变量X 进行一次试验（或观测），得到X 的一个试验数据（或观测值）．从总体中抽取一部分个体，就看作是对随机变量X 进行若干次试验（或观测），得到X 的一些试验数据（或观测值）．从总体中抽取若干个个体的过程称为抽样．抽样结果得到X 的一组试验数据（或观测值）称为样本．样本中所含个体的数量称为样本容量．为了使样本能很好地反映总体的情况，从总体中抽取样本，必须满足下述两个条件： 1.代表性因抽取样本要反映总体，自然要求每个个体和总体具有相同分布． 2.独立性各次抽取必须是相互独立的，即每次抽样的结果既不影响其他各次抽样的 结果，也不受其他各次抽样结果的影响．这种随机的、独立的抽样方法称为简单随机抽样．由此得到的样本称为简单随机样本．从总体中进行放回抽样，显然是简单随机抽样，得到的是简单随机样本．从 有限总体中进行不放回抽样，显然不是简单随机抽样，但是当总体容量Ｎ很大而样本容量n 较小0.1n N ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭时，也可以近似地看作是放回抽样，即可以近似地看作是简单随机抽样，得到的样本可以近似地看作是简单随机样本． 注:从总体抽取容量为n 的样本，就是对代表总体的随机变量Ｘ在相同条件下随机地、独立地进行n 次试验（或观测），将n 次试验结果按试验的次序记为n X X X ,,,21 ．由于n X X X ,,,21 是对随机变量X 试验的结果，且各次试验是在相同条件下独立地进行的，所以可认为n X X X ,,,21 是相互独立的，且与总体X 服从相同的分布．定义1:设总体X 是具有某一分布函数的随机变量，如果随机变量n X X X ,,,21 相互独立，且都与X 具有相同的分布，则称n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，简称样本．n 称为样本容量．在对总体X 进行一次具体的抽样并做观测之后，得到样本n X X X ,,,21 的确切数值12,,,n x x x ，称为样本观察值（或观测值），简称为样本值．如果总体X 的分布函数为()F X ，则样本n X X X ,,,21 的联合分布函数为*12121(,,,)()()()()nn n i i F x x x F x F x F x F x ===∏如果总体X 是离散型随机变量，且概率分布为{},1,2,i P X x i ==则样本n X X X ,,,21 的联合概率分布为12121{,,,}{}{}{}{}nn n i i i P X x X x X x P X x P X x P X x P X x ∙==========∏如果总体X 是连续型随机变量，且具有概率密度)(x f ，则样本n X X X ,,,21 的联合概率密度为12121(,,,)()()()()nn n i i f x x x f x f x f x f x ∙===∏三、统计推断问题简述总体和样本是数理统计中的两个基本概念. 样本来自总体，自然带有总体的信息，从而可以从这些信息出发去研究总体的某些特征（分布或分布中的参数）. 另一方面，由样本研究总体可以省时省力（特别是针对破坏性的抽样试验而言）. 我们称通过总体X 的一个样本n X X X ,,,21 对总体X 的分布进行推断的问题为统计推断问题.总体、样本、样本值的关系:总体↙ ↖推断（个体）样本 → 样本值抽样在实际应用中, 总体的分布一般是未知的, 或虽然知道总体分布所属的类型, 但其中包含着未知参数. 统计推断就是利用样本值对总体的分布类型、未知参数进行估计和推断.为对总体进行统计推断, 还需借助样本构造一些合适的统计量, 即样本的函数, 下面将对相关统计量进行深入的讨论.例1：设总体X 服从正态分布),(2σμN ,概率密度为22()2(), x f x x R μσ--=∈则其样本n X X X ,,,21 的联合概率密度为22211()()2212/211(,,,).(2)ni i x nx n n ni f x x x e μμσσπσ=----*=∑==§6.2 抽样分布样本是进行统计推断的依据．在应用时，往往不是直接使用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的适当函数，利用这些样本的函数进行统计推断．一、统计量的概念定义1:设12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，()12,,,n g X X X 是 12,,,n X X X 的函数，若g 中不含未知参数，则称()12,,,n g X X X 是一个统计量．设12,n x x x 是相应于样本12,,,n X X X 的样本值，则12(,)n g x x x 称为()12,,,n g X X X 的观察值．注: 统计量是随机变量.不一定和总体同分布，不同的统计量有不同的分布.二、常用的统计量1. 样本均值 ∑==ni i X n X 11 观测值记为 11nii x xn==∑2. 样本方差 ()2222111111nn i i i i S X X X nX n n ==⎛⎫=-=- ⎪--⎝⎭∑∑ 观测值记为 ()2222111111nn i i i i s x x x nx n n ==⎛⎫=-=- ⎪--⎝⎭∑∑ 3. 样本标准差S ==观测值记为s ==4. 样本(k 阶)原点矩 ,2,1,11==∑=k X n A n i ki k观测值记为 11,1,2,n kk i i a xk n ===∑5. 样本(k 阶)中心矩 ,3,2,)(11=-=∑=k X X n B ni k i k观测值记为 ()11,1,2,knk i i b x x kn ==-=∑注: （1）上述五种统计量可统称为矩统计量,简称为样本矩,它们都是样本的显示函数,它们的观察值仍分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本(k 阶)原点矩、样本(k 阶)中心矩.（2）样本的一阶原点矩就是样本均值，样本一阶中心矩恒等于零21121,0,n A X B B S n-===， 三、矩估计法的理论根据若总体X 的k 阶矩()k k E X μ=存在，则当n →∞时Pk k A μ−−→ 1,2,k=证：12,,,n X X X 独立且与X 同分布12,,,k k knX X X ∴独立且与k X 同分布.故有 ()()()()12k kkk n k E X E X E X E X μ=====从而由第五章的大数定理知11n P k k i k i A X n μ==−−→∑ 1,2,k=进而由第五章中关于依概率收敛的序列的性质知道()()1212,,,,,,Pk k g A A A g μμμ−−→其中g 为连续函数，这就是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据。
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教学单元案例： 参数估计与假设检验北京化工大学 李志强教学内容：统计量、抽样分布及其基本性质、点估计、区间估计、假设检验、方差分析 教学目的：统计概念及统计推断方法的引入和应用（1）理解总体、样本和统计量等基本概念；了解常用的抽样分布；（2）熟练掌握矩估计和极大似然估计等方法； （3）掌握求区间估计的基本方法； （4）掌握进行假设检验的基本方法； (5) 掌握进行方差分析的基本方法；（6）了解求区间估计、假设检验和方差分析的MA TLAB 命令。
教学难点：区间估计、假设检验、方差分析的性质和求法 教学时间：150分钟教学对象：大一各专业皆可用一、统计问题 引例例1 已知小麦亩产服从正态分布，传统小麦品种平均亩产800斤，现有新品种产量未知，试种10块，每块一亩，产量为：775,816,834,836,858,863,873,877,885,901问：新产品亩产是否超过了800斤？例2 设有一组来自正态总体),(2σμN 的样本0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.488, 0.510, 0.510, 0.512. (i) 已知2σ=0.012，求μ的95%置信区间； (ii) 未知2σ，求μ的95%置信区间； (iii)求2σ的95%置信区间。
例3现有某型号的电池三批, 分别为甲乙丙3个厂生产的, 为评比其质量, 各随机抽取5只电池进行寿命测试, 数据如下表示, 这里假设第i 种电池的寿命),(.~2σμi i N X .(1) 试在检验水平下,检验电池的平均寿命有无显著差异? (2) 利用区间估计或假设检验比较哪个寿命最短.二 统计的基本概念: 总体、个体和样本（1）总体与样本总体 在数理统计中,我们将研究对象的某项数量指标的值的全体称为总体,总体中的每个元素称为个体比如，对电子元件我们主要关心的是其使用寿命.而该厂生产的所有电子元件的使用寿命取值的全体，就构成了研究对象的全体，即总体，显然它是一个随机变量，常用X 表示 为方便起见，今后我们把总体与随机变量X 等同起来看，即总体就是某随机变量X 可能取值的全体.它客观上存在一个分布，但我们对其分布一无所知，或部分未知，正因为如此，才有必要对总体进行研究.简单随机样本对总体进行研究，首先需要获取总体的有关信息. 一般采用两种方法：一是全面调查.如人口普查，该方法常要消耗大量的人力、物力、财力.有时甚至是不可能的，如测试某厂生产的所有电子元件的使用寿命. 二是抽样调查. 抽样调查是按照一定的方法，从总体X 中抽取n 个个体.这是我们对总体掌握的信息.数理统计就是要利用这一信息，对总体进行分析、估计、推断.因此，要求抽取的这n 个个体应具有很好的代表性.按机会均等的原则随机地从客观存在的总体中抽取一些个体进行观察或测试的过程称为随机抽样.从总体中抽出的部分个体,叫做总体的一个样本.从总体中抽取样本时,不仅要求每一个个体被抽到的机会均等,同时还要求每次的抽取是独立的,即每次抽样的结果不影响其他各次的抽样结果,同时也不受其他各次抽样结果的影响.这种抽样方法称为简单随机抽样.由简单随机抽样得到的样本叫做简单随机样本.往后如不作特别说明,提到“样本”总是指简单随机样本.从总体X 中抽取一个个体,就是对随机变量X 进行一次试验.抽取n 个个体就是对随机变量X 进行n 次试验,分别记为X1,X2,…,Xn.则样本就是n 维随机变量(X1,X2,…,Xn).在一次抽样以后, (X1,X2,…,Xn)就有了一组确定的值(x1,x2,…,xn),称为样本观测值.样本观测值(x1,x2,…,xn)可以看着一个随机试验的一个结果,它的一切可能结果的全体构成一个样本空间,称为子样空间.（2）样本函数与统计量设n x x x ,,,21 为总体的一个样本，称ϕϕ= （n x x x ,,,21 ）为样本函数，其中ϕ为一个连续函数。
如果ϕ中不包含任何未知参数，则称ϕ（n x x x ,,,21 ）为一个统计量。
2、统计量（1）常用统计量样本均值.11∑==ni i x n x样本方差∑=--=ni ix x n S 122.)(11 （与概率论中的方差定义不同）样本标准差.)(1112∑=--=ni i x x n S 样本k 阶原点矩∑===n i ki k k x n M 1.,2,1,1样本k 阶中心矩∑==-='ni k i kk x x n M 1.,3,2,)(1 （二阶中心矩∑=-=n i i X X n S 122)(1*与概率论中的方差定义相同）例6．2：用测温仪对一物体的温度测量5次，其结果为（℃）：1250，1265，1245，1260，1275，求统计计量X ，S 2和S 的观察值.,,2s s x 和（2）统计量的期望和方差μ=)(X E ，nX D 2)(σ=，22)(σ=S E ，221)*(σnn S E -=, 其中∑=-=n i i X X n S 122)(1*，为二阶中心矩。
)(~,,,21x F X X X n ，i.i.d ，独立同分布。
无限总体抽样。
(3) 随机数生成在Matlab 中各种随机数可以认为是独立同分布的，即简单随机样本。
以下罗列在Matlab 中的实现方法。
)1,0U(~,,,21n X X X ，均匀分布样本n=10;x=rand(1,n)),U(~,,,21b a X X X nn=10;a=-1;b=3;x=rand(1,n);x=(b-a)*x+a)1,0N(~,,,21n X X X ，正态分布样本n=10;x=randn(1,n)),N(~,,,221b a X X X nmu=80.2;sigma=7.6;m=1;n=10; x=normrnd(mu,sigma,m,n)上面首先对总体均值赋值mu=80.2;再对标准差赋值sigma=7.6; m=1;n=10;分别对生成的随机阵对的行数和列数进行赋值，然后可直接利用Matlab 自带的函数normrnd 生成正态分布的随机数。
类似地可生成m 行n 列的随机矩阵，服从指定的分布。
生成随机数的函数后缀都是rnd ，前缀为分布的名称。
常用分布的随机数产生方法罗列如下，注意使用前先要对参数赋值。
x=betarnd(a,b,m,n) 参数为a,b 的beta 分布； x=binornd(N,p,m,n) 参数为N,p 的二项分布； x=chi2rnd(N,m,n) 自由度为N 的2χ分布； x=exprnd(mu,m,n) 总体期望为mu 的指数分布； x=frnd(n1,n2,m,n) 自由度为n1与n2的F 分布； x=gamrnd(a,b,m,n) 参数为a,b 的Γ分布；x=lognrnd(mu,sigma,m,n) 参数为mu 与sigma 的对数正态分布； x=poissrnd(mu,m,n) 总体均值为mu 的Poisson 分布； x=trnd(N,m,n) 自由度为N 的T 分布； Matlab 统计工具箱中还有一些其它分布，不再一一列举。
3、三个抽样分布（χ2、t 、F 分布）1.3 三个常用分布以下罗列出数理统计中三个重要分布的概念与性质。
1.3.1 2χ分布定义1.2 设一维连续型随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=--0,00,e )2/(21)(2122/x x x n x f x n n n （1-2）则称X 服从自由度为n 的2χ分布，记为)(~2n X χ。
05101520253035400.020.040.060.080.10.120.14图1-2 2χ分布密度函数示意图（1）期望与方差：n X =E ，n X 2=D（2）来源：若)1,0N(~,,,21n X X X 独立同分布，则)(~222221n X X X n χ+++（3）可加性：若)(~121n Y χ，)(~222n Y χ，且两者独立，则有)(~21221n n Y Y ++χ(4)重要结论：若),N(~,,,221σμn X X X ，则)1(~)()1(221222--=-∑=n X XS n ni iχσσ以下给出了自由度为5,10,20的2χ分布的密度函数，如图1-2所示。
1.3.2 t 分布定义1.3 设一维连续型随机变量X 的密度函数为2121)2()21()(+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ+Γ=n n n x n nn x f π （1-3）则称X 服从自由度为n 的t 分布，记为)(~n t X 。
-3-2-1012300.050.10.150.20.250.30.350.4图1-3 t 分布密度函数与标准正态分布密度函数（1）密度函数特点：与标准正态分布类似，方差较大。
∞→n 时，22e21)(x n x f -=→πϕ（标准正态分布密度函数）（2）来源：设)1,0N(~X ，)(~2n Y χ，且两者独立，则)(~/n t nY X（3）重要结论：设),N(~,,,221σμn X X X ，则)1(~/--=n t nS X T μ1.3.3 F 分布定义1.4 设一维连续型随机变量X 的密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--0,00,1)(22112211x x x n n cx x f n n n （1-4） 其中常数22121211)2()2()2(nnn n n n n c ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΓΓ+Γ= 则称X 服从第一自由度1n ，第二自由度2n 的F 分布，记为),(~21n n F X 。
（1）密度函数特点：在1=x 附近密度函数取值较大，为单峰非对称的。
当两个自由度都很大时，X 取值以较大概率集中在1=x 附近。
以下画出了)12,8(F 的密度函数00.51 1.52 2.53图1-4 F 分布密度函数（2）来源：设)(~12n X χ，)(~22n Y χ，且两者独立，则),(~//2121n n F n Y n X F =（3）重要结论：设1,,21n X X X 为来自总体),(211σμN 的简单随机样本，2,,,21n Y Y Y 为来自总体),(222σμN 的简单随机样本，且两者独立。
又设两个样本方差分别为21S 与22S ，则)1,1(~//2122212221--=n n F S S F σσ三、点估计的两种方法（1）矩法所谓矩法就是利用样本各阶原点矩代替相应的总体矩，来建立估计量应满足的方程，从而求得未知参数估计量的方法。
设总体X 的分布中包含有未知数m θθθ,,,21 ，则其分布函数可以表成).,,,;(21m x F θθθ 显示它的k 阶原点矩),,2,1)((m k X E v k k ==中也包含了未知参数m θθθ,,,21 ，即),,,(21m k k v v θθθ =。