平面几何直线与圆圆与圆的位置关系

过程
依据
代数 法
联立方程组消去 x(或 y)得 一元二次方程，计算 Δ＝b2 －4ac
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
几何 法
计算圆心到直线的距离 d， 比较 d 与半径 r 的关系。相 交时弦长为 2 r2－d2
d__＜____r d__＝____r d__＞____r
结论 _相__交_____ _相__切_____ _相__离_____
小|题|快|速|练 一、回归教材 1．(必修 2P132A 组 T5 改编)直线 l：3x－y－6＝0 与圆 x2＋y2－2x－4y＝ 0 相交于 A，B 两点，则|AB|＝_____________ 。
解析 由 x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心 坐标为(1,2)，半径 r＝ 5，又圆心(1,2)到直线 3x－y－6＝0 的距离为 d＝ |3－92＋－16|＝ 210，由????|A2B|????2＝r2－d2，得|AB|2＝4????5－52????＝10，即|AB|＝ 10。
答案 2
5．已知圆 C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4 与圆 C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1 外切， 则 ab 的最大值为_____________。
解析 由两圆外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆
半径之和，即 (a＋b)2＝(2＋1)2，即 9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以 ab≤94，当
答案 B
2．圆 x2＋y2－4x＝0 在点 P(1， 3)处的切线方程为 ( )
A．x＋ 3y－2＝0
B．x＋ 3y－4＝0
C．x－ 2y＋4＝0
D．x－ 3y＋2＝0
解析 圆的方程为 (x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为 (2,0)，半径为 2，点 P
在圆上，设切线方程为 y－ 3＝ k(x－ 1)，即 kx－ y－ k＋ 3＝ 0，所以
答案 10
2．(必修 2P133A 组 T9 改编)若圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0) 的公共弦长为 2 3，则 a＝_____________ 。
解析 方程 x2＋y2＋2ay－6＝0 与 x2＋y2＝4。两式相减得： 2ay＝2， 则 y＝1a。由已知条件，知 22－? 3?2＝1a，即 a＝1。
相交 相切 相离
2．圆与圆的位置关系
设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，
圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0)。
方法 几何法：圆心距 d 与 r1，r2 代数法：两圆方程联立组
位置关系 的关系
成方程组的解的情况
外离
__d_＞__r_1_＋__r_2____
__无______解
外切
_d_＝__r 1_＋__r_2______
_一__组_____实数解
相交
____|r_1－__r_2_|＜__d_＜__r_1_＋__r_2_
__两__组__不__同__的____实数解
内切
d＝___|_r_1－__r_2_| _____(r1≠r2)
一组实数解
内含
0_≤___d_＜____|r1－r2|(r1≠r2)
答案 1
二、小题查验
1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6 与直线 2x＋y－5＝0 的位置关系是( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．相交过圆心
D．相离
解析 由题意知圆心 (1 ，－ 2) 到直线 2x＋ y－ 5 ＝ 0 的距离 d ＝ |2×12－2＋2－1 5|＝ 5< 6且 2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆 心。故选 B。
且仅当 a＝b 时取等号，即 ab 的最大值是94。
答案
9 4
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考点一 直线与圆的位置关系
【典例 1】 (1)“a＝3”是“直线 y＝x＋4 与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8 相
第八章 平面解析几何 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
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★★★2018 考纲考题考情★★★
考纲要求
真题举例
命题角度
1.能根据给定直线百度文库圆的方
程，判断直线与圆的位置关 2016·全国卷Ⅲ·T16(5 1.直线与圆的位置
系；能根据给定两个圆的方程 分)(弦长问题)
关系
判断圆与圆的位置关系
无解
3．两圆公切线的条数
位置关系 内含
内切
相交
外切
外离
公切线条数 ___0_____ ___1_____ ____2____ ____3____ ____4____
重点微提醒 1．关注一个直角三角形 当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构 成一个直角三角形。 2．两圆相交时公共弦的方程 设圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得， 即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0。
|2k－k＋ k2＋1
3|＝2，解得
k＝
33。所以切线方程为
y－
3＝ 33(x－1)，即 x－
3
y＋2＝0。故选 D。
答案 D
3．两圆 x2＋y2－2y＝0 与 x2＋y2－4＝0 的位置关系是 ( )
A．相交
B．内切
C．外切
D．内含
解析 两圆方程可化为 x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4。两圆圆心分别为 O1(0,1)，O2(0,0)，半径分别为 r1＝1，r2＝2。因为|O1O2|＝1＝r2－r1。故选 B。
答案 B
4．若直线 3x－4y＋5＝0 与圆 x2＋y2＝r2(r>0)相交于 A，B 两点，且∠ AOB＝120°(O 为坐标原点)，则 r＝_____________ 。
解析 如图，过 O 点作 OD⊥AB 于 D 点，在 Rt △DOB 中，∠DOB＝60°，所以∠DBO＝30°，又|OD| ＝|3×0－45×0＋5|＝1，所以 r＝2|OD|＝2。
2015·全国卷Ⅱ·T7(5
2．能用直线和圆的方程解决 分)(弦长问题)
2．圆的弦长与切线 问题
一些简单的问题
2016·江苏高考·T18(16 3．圆与圆的位置关
3．初步了解用代数方法处理 分)(圆的综合问题) 系
几何问题的思想
微知识 ·小题练
自|主|全|排|查
1．直线与圆的位置关系与判断方法
方法