圆锥曲线(韦达定理的使用)

圆锥曲线中韦达定理的使用

例：已知椭圆

116

252

2=+y x ，过左焦点1F 作一条直线交椭圆于A 、B 两点，D (,0)a 为1F 右侧一点，连AD 、BD 分别交椭圆左准线于M 、N 。若以MN 为直径的圆恰过1F ，求 a 的值。 解：

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小结：解析几何综合题中最典型的直线与曲线交于两点，考查二次方程韦达定理的应用。一般地解题的框架为：

1、直线方程代入曲线方程，准备好韦达定理；

2、主要目标分析，合理转化；

3、韦达定理代入，整理求解。

练习题：

1、已知不过原点的直线L 与椭圆14

22

=+y x 交于点A 、B ，且直线OA 、AB 、OB 的斜率依次成等比数列，求△OAB 的面积的取值范围。

解：设直线AB ：()0≠+=m m kx y ，代入14

22

=+y x 整理得

直线OA 、AB 、OB 的斜率依次成等比数列=⋅⇔2

2

11x y x y 韦达定理代入：

解得

=⋅=

∆d AB S AOB 2

1

2、直线1y kx =+与双曲线221x y -=的左支交于A 、B 两点，直线l 经过点(2,0)-和AB 的中点，求直线l 在y 轴的截距b 的取值范围．

解：将直线1y kx =+代入2

2

1x y -=化简得

由“与左支交于两点”得

AB 的中点为 直线l 方程为

，其在y 轴的截距b =

所以b 的取值范围是 。

3、过椭圆222

2=+y x 的右焦点F 作弦PQ ，A （0，1），直线AP 、AQ 分别交直线0

2=--y x 于点M 、N ，求当|MN|最小时直线PQ 的方程。

4、椭圆222

2

=+y x 的左、右焦点为F 1、F 2，弦AB 的中点在直线012=+x 上， 求B F A F 22⋅的取值范围。