圆锥曲线(韦达定理的使用)

韦达定理在圆锥曲线中的应用

韦达定理在圆锥曲线中的应用
1、韦达定理
韦达定理是17世纪法国数学家威塔·韦达在有关圆锥曲线几何方面发现的一条定理，定理指出：在位于同一直线上且圆交于同一直径的任意两个圆，两个圆可以推出之间的比例关系，即将外圆的半径写成内圆的半径 n 倍，这条关系称为韦达定理。

2、圆锥曲线中韦达定理的应用
在圆锥曲线中，韦达定理可以用来解决三维空间中的圆相关问题，例如圆锥曲线上两个圆相交的情况，韦达定理可以利用外圆半径除以内圆半径的比例来定义椭圆圆环上两个圆的关系。

在抛物线中，韦达定理也可以应用，将一条抛物线分成两段，这样通过比例关系，可以将抛物线分成两个相类似的曲线，从而得到所需的抛物线函数，这种方法也可以应用于圆锥曲线的参数方程求解中。

此外，在计算形态学上，可以利用韦达定理在xy平面上椭圆圆环上找到曲线加权最小值以及凹曲面研究。

3、实例分析
下面我们给出一个简单的例子，假设有一个圆锥曲线，外圆半径为R，内圆半径为r，则韦达定理指出，外圆与内圆之间的比例是:
R:r = n
即外圆为内圆n倍半径，我们可以根据这一比例关系，计算出内圆的
半径。

例如，假设椭圆圆环的外圆半径为 5m，那么按照韦达定理，椭
圆圆环的内圆的半径就可以推算出来，半径为: R:r = 5:1，即内圆的半
径为1m。

4、结论
针对圆锥曲线，韦达定理对诸多几何形状求解有着十分重要的作用，圆锥曲线的外圆与内圆之间的比例关系是韦达定理指出的，从而可以
计算出内圆的半径值。

另外，韦达定理也能够用于椭圆圆环、抛物线
等函数中，从而求解所需的曲线参数。

圆锥曲线常用方法与结论(收藏)

FAP HBQ 圆锥曲线常用方法与结论（收藏）1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为。

解圆锥曲线问题常用方法及性质总结

解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k b y a x（3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.椭圆与双曲线的对偶性质总结椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

韦达定理在圆锥曲线中的应用叫叫

韦达定理在解析几何中的应用韦达定理步骤 1、设直线0Ax By C ++=与曲线交于两点1122(,),(,)A x y B x y ,既设而不求。

2、直线与曲线方程联立方程组。

3、消去x, 得到关于或y 的一元二次方程.4、结合具体问题与韦达定理建立联系，如求弦长等。

韦达定理注意与向量的联系一，求弦长.直线与圆锥曲线相交的弦长计算:(1)连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦;(2)易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长;(3)一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系,结合韦达定理得到弦长公式∣AB ∣=∣x 1-x 2∣21k +⋅=)1](4)[(221221k x x x x +-+ 或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣211k +⋅ =)11](4)[(221221ky y y y +-+ ， 1．设直线21y x =-交曲线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点。

（1）若12||x x -=||AB = （2）12||y y -=||AB =2．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||AB =3、抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)44、y=kx-2交椭圆x 2+4y 2=80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣PQ ∣等于___________.例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。

已知向量()()()()m x n m x n y 1122201101====，，，，，，，（其中x ，y 是实数），又设向量1221m m n m ==u r u u r u r r u u r r，，且m n ∥，点()P x y ，的轨迹为曲线C 。

■绝密19■：解圆锥曲线问题常用方法

解圆锥曲线问题常用方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中,r 1+r 2=2a 。

第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0),将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有0220=+k b y a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B,设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有0220=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,为。

圆锥曲线韦达定理硬解公式

圆锥曲线韦达定理硬解公式
圆锥曲线韦达定理是一个关于圆锥曲线的重要公式，它描述了圆锥曲线的几何性质和方程之间的关系。

具体而言，圆锥曲线韦达定理是指：对于椭圆、双曲线和抛物线，对于曲线上的任意一点 P(x,y)，存在两个定点 F1(x1,y1) 和 F2(x2,y2)，使得 PF1+PF2=2a，其中 a 是常数，它是曲线的半轴长度。

根据韦达定理，可以得到圆锥曲线的标准方程。

具体方法是，设定椭圆、双曲线和抛物线的焦点分别为 F1 和 F2，设定曲线的半轴长度为 a 和 b，则可以列出以下方程：
椭圆：(x-x1)²+(y-y1)²/(b²-a²)=(x-x2)²+(y-y2)²/(b²-a²)=1
双曲线：(x-x1)²-(y-y1)²/(a²-b²)=(x-x2)²-(y-y2)²/(a²-b²)=1
抛物线：(x-x1)²=4a(y-y1)
在这些方程中，常数 a 和 b 分别代表曲线的半轴长度，而 F1 和 F2 是曲线的焦点。

需要注意的是，这些公式都是根据韦达定理推导出来的，因此可以用它们来求解圆锥曲线的各种问题，包括曲线上的点的坐标、焦点的位置、半轴的长度等。

圆锥曲线详解

解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小, (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

圆锥曲线定直线问题解题方法与技巧

圆锥曲线定直线问题解题方法与技巧标题：圆锥曲线定直线问题的解题方法与技巧一、引言在解析几何中，圆锥曲线是重要的研究对象，其中涉及到的定直线问题要求我们找出经过特定点或者满足特定条件的直线方程。

这类问题通常需要综合运用直线与圆锥曲线的位置关系、参数方程、极坐标方程以及代数运算等知识。

以下将详细介绍解决此类问题的一些基本方法和实用技巧。

二、基本解题方法1. 利用位置关系确定直线方程：当已知直线过某定点或与圆锥曲线相切、相交于两点等情况时，可以利用圆锥曲线的标准方程（例如椭圆、双曲线、抛物线）与直线的一般方程联立，通过求解方程组得到交点坐标，进而确定直线方程。

2. 参数法：圆锥曲线的参数方程能直观地反映点与曲线的关系，当直线与圆锥曲线有特殊关系（如切线、法线）时，可先将直线写成参数形式，然后与圆锥曲线的参数方程联立求解参数，从而得出直线的方程。

3. 极坐标法：在某些情况下，若圆锥曲线或直线在极坐标下表达更为简便，可直接在极坐标系中建立方程，求解后转换为直角坐标系下的直线方程。

三、解题技巧1. 明确题目条件：解决定直线问题时，首先要明确直线需要满足的条件，如是否过定点、是否为圆锥曲线的切线、斜率是否存在等，这些信息对于选择合适的解题方法至关重要。

2. 判断直线与圆锥曲线的位置关系：通过计算判别式，可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，如相离、相切、相交等，进一步决定如何设定直线方程。

3. 巧妙应用韦达定理：在处理直线与圆锥曲线交点问题时，韦达定理是一个非常有力的工具。

它可以快速给出两交点横坐标的乘积和和关系，帮助简化计算过程。

4. 充分利用对称性：圆锥曲线具有良好的对称性，有时可以根据对称性简化问题，比如已知直线过原点或与坐标轴平行的情况。

总结，解决圆锥曲线定直线问题需灵活运用解析几何的基础理论，结合具体情况选择最适宜的解题策略，同时注重培养观察问题的能力和逻辑推理能力，以提升解题效率与准确性。

高中数学圆锥曲线系统讲解第19讲《韦达定理之设而不求》练习及答案

第19讲韦达定理之设而不求知识与方法在圆锥曲线的大题中，将直线与圆锥曲线的方程联立，消去y （或x ）整理得出关于x （或y ）的一元二次方程是常规操作，如果设直线与圆锥曲线的交点分别是()11,A x y 、()22,B x y ，很多时候我们都不去求这两个交点的坐标，而是直接根据交点坐标会满足上面得到的关于x （或y ）的一元二次方程，借助韦达定理来计算其他需要用到的量，这种处理方法叫做设而不求.一般地，若联立后得到的关键方程用20ax bx c ++=()0a ≠来表示，其判别式24b ac ∆=−，则：（1）12b x x a+=−；（2）12c x x a=；（3）12x x a−==；（4）()2222121212222b ac x x x x x x a −+=+−=；（5）12121211x x bx x x x c++==−.借助韦达定理及其推论，我们可以计算很多关于1x 和2x 的具有对称结构的代数式. 典型例题1.（★★★）设A 、B 为曲线2:4x C y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x +=，且21122244x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式作差得：()()()1212124x x x x y y +−=−，所以12121214y y x x x x −+==−，故直线AB 的斜率为1. （2）解法1：设200,4x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2x y '=，由（1）可得，012x =，故02x =，所以()2,1M ，设直线AB 的方程为y x t =+，联立24yx tx y ⎧⎨==+⎩消去y 整理得：2440x x t −−=，判别式16160t ∆=+>，故1t >−，由韦达定理，124x x +=，124x x t =−，1212242y y x x t t +=++=+，2212124x x y y t ⎛⎫== ⎪⎝⎭()112,1MA x y =−−，()222,1MB x y =−−，因为AMBM ⊥，所以0MA MB ⋅=，即()()()()()()2121212121212221125484250x x y y x x x x y y y y t t t −−+−−=−++−++=−−+−−+=解得：7t =或1−（舍去），所以直线AB 的方程为7y x =+.解法2：设200,4x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2x y '=，由（1）可得，012x =，故02x =，所以()2,1M ，设直线AB 的方程为y x t =+，联立24yx tx y ⎧⎨==+⎩消去y 整理得：2440x x t −−=，判别式16160t ∆=+>，故1t >−，由韦达定理，124x x +=，1212242y y x x t t +=++=+，所以AB 中点为()2,2N t +，故211MN t t =+−=+而12AB x x =−==，因为AM BM ⊥，所以2AB MN =，故()21t =+，解得7t =或1−（舍去），所以直线AB 的方程为7y x =+.2.（★★★★）已知抛物线2:2C y px =过点()1,1P ，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M 、N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A 、B ，其中O 为原点. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A 为线段BM 的中点.【解析】（1）将点()1,1代入22y px =解得：12p =，故抛物线C 的方程为2y x =，其焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为14x =−.（2）设直线l 的方程为12y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y将2y x =代入12y kx =+消去x 整理得：22210ky y −+=()0k ≠判别式()22420k ∆=−−⨯>，所以12k <且0k ≠，由韦达定理，121y y k +=，1212y y k=，直线AB 的方程为1x x =，直线OP 的方程为y x =，直线ON 的方程为22y y x x =联立1x x y x =⎧⎨=⎩，解得：1y x =，所以1A y x =，联立122x x y y xx =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：122x y y x =，所以122B x y y x = 故()122212212121221221122112112222222222M BA x y y y y y y y y y y x x y x y y y y y x x y x x x x x ++−+++−−=−=−== 2211122202k k k x ⎛⎫⋅− ⎪⎝⎭== 所以2M B A y y y +=，故A 为线段BM 的中点.3.（2021·北京·20·★★★★）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点()0,2A −，以4个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点()0,3P −的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B 、C ，直线AB 交3y =−于点M ，直线AC 交3y =−于点N ，若15PM PN +≤，求k 的取值范围.【解析】（1）由题意，2b =，四个顶点围成的四边形面积1222S a b =⨯⨯=，所以a =，即椭圆E 的标准方程为22154x y += （2）设()11,B x y ，()22,C x y ，直线l 的方程为3y kx =−，直线AB 的斜率为112y x +，其方程为1122y y x x +=−，联立11223y y x x y +⎧=−⎪⎨⎪=−⎩，解得：112x x y =−+，所以112x PM y =+，同理，222x PN y =+，所以121222x x PM PN y y +=+++，联立223154y kx x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()224530250k x kx +−+=，判别式()22900100450k k ∆=−+>.解得：1k <−或1k >，由韦达定理，1223045kx x k +=+，1222545x x k =+，显然120x x >，故1x 、2x 同号，而120y +>，220y +>，所以112x y +与222xy +同号，故()()12121212122121212121222222111kx x x x x x x x x x PM PN y y y y kx kx k x x k x x −++=+=+=+=++++−−−++ 222222503045455253014545k k k k k k k k k −++==−+++，由题意，15PM PN +≤，所以515k ≤，故33k −≤≤，综上所述，k 的取值范围为[)(]3,11,3−−.强化训练4.（★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，长轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y kx m =+()0k ≠与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线过点()1,0P ，求k 的取值范围.【解析】（1）由题意，椭圆C的离心率e=，长轴长2a =，所以a =，2b =，故椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222214280k x kmx m +++−=，判别式()()222216421280k m k m ∆=−+−>，化简得：()224210k m +−>①，由韦达定理，122421km x x k +=−+，()121222221my y k x x m k +=++=+，所以AB 中点为222,2121m m G k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭，因为AB 的中垂线过点()1,0P ，所以PG AB ⊥，从而222112121m k k km k +⋅=−−−+，化简得：221k m k +=−，代入①得：()222214210k k k ⎛⎫++−−> ⎪⎝⎭解得：2k <或2k >，故k 的取值范围为2,,22⎛⎛⎫−∞−+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5.（★★★）已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的离心率为2，且过点2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,03D ⎛⎫− ⎪⎝⎭且不与y 轴垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点()1,0A ，证明：AP AQ ⊥.【解析】（1）由题意，2213124a b =⎨⎪+=⎪⎩，解得：1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为2212y x +=. （2）由题意，可设直线1的方程为13x my =−，代入2212yx +=消去x 整理得：()2241621039my my +−−=，易得判别式0∆>，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()1224321my y m +=+，()12216921m y y m =−+ 所以()()12122223321x x m y y m +=+−=−+，()()221212122111839921m m x x m y y y y m −=−++=+ ()111,AP x y =−，()221,AQ x y =−，故()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=−−+=−+++()()()()()222222211869211611821610921321921921m m m m m m m −+++−−=++−==++++ 所以AP AQ ⊥.。

第16讲圆锥曲线等角定理(解析几何)(解析版)

第16讲圆锥曲线等角定理知识与方法圆锥曲线等角定理及其证明1.椭圆的等角定理:长轴上任意一点的一条弦端点与对应点过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)N (t ,0)G(a 2t ,0)的连线所成角被焦点所在直线平分，即.∠OGA =∠OGB 【证明】只需证明,即.k GA =−k GB k GA +k GB =0即证:y Ax A −x G +y Bx B −x G =0,即证y A (x B −x G )+y B (x A −x G )=0,其中x G =a 2t.又因为:x A =my A +t ,x B =my B +t ,故只需证明:my B +t−x Gy B+my A +t−x Gy A=0,①即证:2m +(t−x G )(1y A+1y B)=0联立,得:{x =my +tx 2a2+y 2b2=1(m 2a 2+1b 2)y 2+2mt a 2y +t 2a2−1=0由韦达定理,得:y A +y B =−2mt a2m2a2+1b2,y A y B =t 2a 2−1m2a2+1b 2代入①式:等式左边=2m +(t−a2t)(y A +y B y A y B)=2m +(t−a2t)(−2mt a 2t2a 2−1)=2m +(t−a 2t )(−2mtt 2−a 2)=2m−2m =0故命题得证.2.双曲线的等角定理:实轴上任意一点的一条弦端点与对应点过双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)N (t ,0)G(a 2t ,0)的连线所成角被焦点所在直线平分，即.∠OGA =∠OGB 该定理的证明方式和椭圆的类似,可以参照上面的解法进行证明.3.拋物线的等角定理:过抛物线对称轴上任意一点的一条弦端点与对应点y 2=2px (p >0)N (a ,0)A 、B G(−a 的连线所成角被对称轴平分.,0)【证明】只需证明,即.即证:,k GA =−k GB k GA +k GB =0y Ax A −x G+y BxB −x G=0即证:①y A (x B −x G )+y B (x A −x G )=0其中.x G =−a 设所在直线方程为:,则有:,代入(1)中可得:AB x =my +a x A =my A +a ,x B =my B +a ,化简，得: ②my B +a−x Gy B+my A +a−x Gy A=02m +2a(1y A+1y B)=0联立,得:,即{x =my +ay 2=2px y 2=2p (my +a )y 2−2pmy−2pa =0由韦达定理，得：代入②式,y A +y B =2pm ,y A y B =−2pa .等式左边,=2m +2a (y A +y B y A y B)=2m +2a(2pm −2pa)=0故命题得证.典型例题类型1:椭圆等角定理的应用【例1】设椭圆的右焦点为,过的直线与交两点,点的坐标为C :x 22+y 2=1F F l C A ,B M .(2,0)(1)当与轴垂直时,求直线的方程;l x AM (2)设为坐标原点,证明：.O ∠OMA =∠OMB 【答案】(1)或(2)见解析.y =−22x +2y =22x−2;【解析】（1）由已知得的方程为.F (1,0),l x =1由已知可得,点的坐标为或.A (1,22)(1,−22)所以的方程为或.AM y =−22x +2y =22x−2(2)当与轴重合时,.l x ∠OMA =∠OMB =0∘当与轴垂直时,为的垂直平分线,所以.l x OM AB ∠OMA =∠OMB 当与轴不重合也不垂直时,设的方程为,l x l y =k (x−1)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)则,直线的斜率之和为.x 1<2,x 2<2MA ,MB k MA +k MB =y 1x 1−2+y2x 2−2由,得y 1=kx 1−k ,y 2=kx 2−k k MA +k MB =2kx 1x 2−3k (x 1+x 2)+4k(x 1−2)(x 2−2)将代入得.y =k (x−1)x 22+y 2=1(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0所以.x 1+x 2=4k 22k 2+1,x 1x 2=2k 2−22k 2+1则2kx 1x 2−3k (x 1+x 2)+4k =4k 3−4k−12k 3+8k 3+4k2k 2+1=0从而,故的倾斜角互补,所以.k MA +k MB =0MA ,MB ∠OMA =∠OMB 综上,.∠OMA =∠OMB【例2】如图,两条相交线段的四个端点都在椭圆上，其中直线AB 、PQ x 24+y 23=1AB 的方程为,直线的方程为.x =m PQ y =12x +n(1)若,求的值;n =0,∠BAP =∠BAQ m (2)探究：是否存在常数,当变化时,恒有?m n ∠BAP =∠BAQ 【答案】（1）；（2）见解析.m =±1【解析】依题意,当时,由,解得,(1)n =0{x 24+y 23=1y =12xP (−3,−32),Q (3,32)因为,所以,∠BAP =∠BAQ k AP =k AQ 设,则,化简得,A (m ,y )y +32m +3+y−32m−3=02my =3又由,联立方程组,解得或.m 24+y 23=1{2my =3m 24+y 23=1m =±1m =±3因为平分,所以(不合题意）,所以.AB ∠PAQ m =±3m =±1(2)设,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由,整理得,{x 24+y 23=1y =12x +n4y 2−6ny +3n 2−3=0其中,Δ=12(4−n 2),y 1+y 2=3n2,y 1y 2=3(n 2−1)4若存在常数,当变化时,恒有,m n ∠BAP =∠BAQ 则由（1）可知只可能是,m =±1①当时,取等价于,m =1A (1,32),∠BAP =∠BAQ y +32m +1+y−32m−1=0即,(2y 1−3)(2y 2−2n−1)+(2y 2−3)(2y 1−2n−1)=0即即,此式子恒成立,4y 1y 2+3(2n−1)=2(n +2)(y 1+y 2)3(n 2−1)+3(2n +1)=3n (n +2)所以存在常数,当变化时,恒有;m =1n ∠BAP =∠BAQ ②当时,取,由椭圆的对称性,同理可知结论也成立,m =−1A (−1,−32)综上可得,存在常数,当变化时,恒有.m =±1n ∠BAP =∠BAQ 【例3】已知点,直线过点且与椭圆P (t ,0)(t ≠0)AB E(a 2t ,0)x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)（或双曲线交于不同的两点,求证:直线与x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0))A ,B PA ,PB x 轴所成的较小的角相等.【答案】见解析.【解析】下面仅以椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)为例（如图)来证明,双曲线的情形可仿此证明.【证明】设点和点的坐标分别为和,A B (x 1,y 1)(x 2,y 2)∵直线AB 过点E (a 2t ,0),∴设直线AB 的方程为y =k (x−a 2t ),代入椭圆方程可得:(b 2+a 2k 2)x 2−2a 4k 2t x +a 6k 2t2−a 2b 2=0∴x 1+x 2=2a 4k2tb 2+a 2k 2,x 1x 2=a 6k 2t 2−a 2b 2b 2+a 2k 2∵k PA +k PB =y 1x 1−t +y 2x 2−t =y 1(x 2−t )+y 2(x 1−t )(x 1−t )(x 2−t )=k (x 1−a 2t )(x 2−t )+k (x 2−a 2t )(x 1−t )(x 1−t )(x 2−t )=k [2x 1x 2−(t +a 2t)(x 1+x 2)+2a 2](x 1−t )(x 2−t )=k [2(a 6k 2t 2−a 2b 2)b 2+a 2k 2−(t +a 2t )2a 4k 2t(x 1−t )(x 2−t )=0直线的斜率互为相反数,倾斜角互补,∴PA ,PB 直线与轴所成的较小的角相等.∴PA ,PB x 类型2：拋物线等角定理的应用【例4】已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点,且直线45∘l C :y 2=2px (p >0)F l交拋物线于两点.若点,则C A 、B M (−p2,0)tan ∠AMB =()A. B.2C.D.22226【答案】C【解析】过作轴,准线准线A AH ⊥x AA '⊥L ',BB '⊥L '.设,∠AMF =α,∠BMF =β,∠AFH =θ由于,sin θ=AHAF =AHAA '=tan α所以.tan α=sin θ=sin 45∘=22同理,tan β=sin θ=22从而.tan ∠AMB=tan (α+β)=tan α+tan β1−tan α⋅tan β=22所以.tan ∠AMB=22【例5】已知是拋物线的焦点,其准线与轴交于点,过点的直线F y2=4x x P P l与拋物线交于两点,若线段上有一点,满足,则A,B AB M(x,y)|AM|⋅|PB|=|BM|⋅|PA|M 的轨迹方程是________.【答案】且)x=1(−2<y<2≠0【解析】解法1:设,所以A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)y−y1y2−y1=y1y2⇒(y1+y2)y=2y1y2⋯⋯(1)由直线和拋物线联立,得AB：x=my−1y2=4x或y2−4my+4=0⇒Δ=16m2−16>0⇒m<−1m>1⇒{y1+y2=4my1y2=4⋯(2)由(1)和得(2)4my=8⇒my=2代入直线,得AB:x=my−1x=1,y=2m∈(−2,0)∪(0,2)故点的轨迹方程是且).M x=1(−2<y<2y≠0解法2：延长,与拋物线交于点,设, BF C∠APx=α,∠CPx=β,∠BFx=θ点在轴上的射影为在准线上的射影分别为,B x H ,A ,B A 1,B 1则,tan α=BHHP =BHBB 1=BHBF =sin θ同理,所以于是关于轴对称,tan β=sin θα=β.A ,C x 进而得,故.△AFP≅△∠CFP ∠AFP =∠CFP 由条件得:,|AM |⋅|PB |=|BM |⋅|PA ||AM ||BM |=|PA ||PB |又因为,所以,由角平分线定理得.|PA ||PB |=|AA 1||BB 1|=|AF ||BF ||AM ||BM |=|AF ||BF |∠AFM =∠BFM 因为,所以,∠AFB +∠CFA =180∘2∠AFM +2∠AFP =180∘故,即,即轴,∠AFM +∠AFP =90∘∠MFP =90∘MF ⊥x 于是在直线上（不在轴），且在拋物线开口之内.M x =1x 由,得的轨迹方程为,且.{y 2=4x x =1⇒y =±2M x =1(−2<y <2y ≠0)【例6】已知是拋物线上的两点,是焦点,直线的倾斜角互补,记A ,B y 2=4x F AF ,BF AF ,的斜率分别为,则________.AB k 1,k 21k 22−1k21=【答案】1.【解析】设,由,得A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)k AF +k AF =0y 1x 1−1=y 2x 2−1即,得y 1y214−1=y 2y224−1y 1y 2=4而,直线的方程为,k AB =y 1−y 2x 1−x 2=4y 1+y 2AB y−y 1=4y 1+y 2(x−x 1)即,将代入，得,y =4y 1+y 2x+y 1y 2y1+y 2y 1y 2=4y =4y 1+y 2(x +1)可得直线过定点,即准线与轴的交点.AB K(−1,0)x =−1x 设点在准线上的投影为,在轴上的投影为,A A 1x H记,则∠AKx =α,∠AFx =θtan α=AH KH =AH AA 1=AHAF =sin θ于是.1k 22−1k 21=1tan 2 α−1tan 2 θ=1sin 2 θ−1tan 2 θ=1sin 2 θ−cos 2 θsin 2 θ=sin 2 θsin 2 θ=1【例7】设椭圆的右焦点为,过的直线与交于两点,点的坐标为C :x 22+y 2=1F F l C A ,B M .(2,0)(1)当与轴垂直时,求直线的方程;l x AM (2)设为坐标原点,证明:.O ∠OMA =∠OMB 【答案】(1)或(2)见解析.y =−22x +2y =22x−2;【解析】（1）由已知得的方程为.F (1,0),l x =1由已知可得,点的坐标为或.A (1,22)(1,−22)所以的方程为或.AM y =−22x +2y =22x−2(2)解法1:设直线的方程为:,l my =x−1A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),k AM =y 1−0x 1−2,k BM =y 2−0x 2−2联立方程组得:{my =x−1x 22+y 2=1消元整理得：(1)(m 2+2)y 2+2my−1=0因为点为椭圆的右焦点,所以方程(1)有两个实数根分别为.F y 1,y 2由韦达定理可得:y 1+y 2=−2m2+m 2,y 1y 2=−12+m 2所以.k AM +k BM =y 1−0x 1−2+y 2−0x 2−2=y 1my 1−1+y 2my 2−1=2my 1y 2−(y 1+y 2)(my 1−1)(my 2−1)=−2m 2+m 2+2m 2+m 2(my 1−1)(my 2−1)=0解法2:椭圆第二定义过点分别作椭圆右准线的垂线垂足分别为（如图所示）A ,B A 1,B 1由椭圆的第二定义可得：,e =AF AA 1=BFBB 1所以有：①,又因为轴,AFBF =AA 1BB 1AA 1//x //BB 1所以②AFBF =A 1M B 1M 由①②得,即有且,AA 1BB 1=A 1MB 1M AA 1A 1M =BB 1B 1M ∠AA 1M =∠BB 1M 所以,即可得,△AA 1M≅△BB 1M ∠AMA 1=∠BMB 1故.∠OMA =∠OMB 【例8】在直角坐标系中,曲线与直线交于,两点.xOy C :y =x 24l :y =kx +a (a >0)M N (1)当时，分别求在点和处的切线方程;k =0C M N (2)轴上是否存在点,使得当变动时,总有?说明理由.y P k ∠OPM =∠OPN 【解析】（1）联立,不妨取,{y =ay =x 24M (2a ,a ),N(−2a ,a )由曲线可得:,C :y =x 24y '=x2曲线在点处的切线斜率为,∴C M 2a 2=a 其切线方程为:,即为.y−a =a (x−2a )a x−y−a =0同理可得曲线在点处的切线方程为:.C N a x +y +a =0(2)存在符合条件的点,下面给出证明:(0,−a )设满足,P (0,b )∠OPM =∠OPN 联立,得，{y =kx +a y =x 24x 2−4kx−4a =0设,直线的斜率分别为.则M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)PM ,PN k 1,k 2x 1+x 2=4k ,x 1x 2=−4a所以k 1+k 2=y 1−b x 1+y 2−b x 2=2kx 1x 2+(a−b )(x 1+x 2)x 1x 2=k (a +b )a当时,,直线的倾斜角互补,.b =−a k 1+k 2=0PM ,PN ∴∠OPM =∠OPN 即点符合条件.P(0,−a )强化训练1.设抛物线的焦点为,过的直线与抛物线交于两点,C :y 2=4x F F l A ,B M 为抛物线的准线与轴的交点,若,则________.x tan ∠AMB =22|AB |=【答案】【解析】,sin θ=AH AF =AHMH =tan α同理于是sin θ=tan β，tan α=tan β,∴α=β由tan 2α=22⇒2tan α1−tan 2 α=22⇒tan α=22∴sin θ=22,∴AB =2psin 2 θ=82.已知点,直线过点,且与抛物线交于不同的两点P (t ,0)(t ≠0)AB E(−t ,0)y 2=2px (p >0),求证：直线与轴所成的较小的角相等.A ,B PA ,PB x【答案】见解析.【解析】设点和点的坐标分别为和,直线过点设直线A B (x 1,y 1)(x 2,y 2)∵AB E(−t ,0),∴的方程为AB x =my−t代入抛物线的方程得:y 2−2pmy +2pt =0,∴y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=2pt ∵k PA +k PB =y 1x 1−t +y 2x 2−t=y 1(x 2−t )+y 2(x 1−t )(x 1−t )(x 2−t )=y 1(y 222p −t )+y 2(y 212p −t)(x 1−t )(x 2−t )=(y 1+y 2)(y 1y 22p−t)(x 1−t )(x 2−t )=0直线的斜率互为相反数,倾斜角互补,∴PA ,PB 直线与轴所成的较小的角相等.∴PA ,PB x 已知抛物线的交点为,准线与轴相交于点,过的直线与交于3.C :x 2=4y F P F C A 、B两点,若,则|PA |=2|PB ||AB |=A.5B.C. D.925322【答案】B【解析】设,由圆锥曲线中的等角定理可知,轴是的平分线A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)y ∠APB 由角平分线定理可知,即,故|AF ||BF |=2y 1+1y2+1=2y 1=2y 2+1设直线方程为,与抛物线方程联立得,AB x =my +1my 2+(2m−4)y +1=0故,解方程组得y 1+y 2=4−2m m2,y 1y 2=1m2{y 1=2y 2+1y 1+y 2=4−2mm 2y 1y 2=1m2{y 1=2y 2=12m =1故.|AB |=y 1+y 2+2=924.已知抛物线的准线与轴相交于点,过点且斜率为y 2=4x x P P k (k >0)的直线与拋物线交于两点,为拋物线的焦点,若,则的长度为A ,B F |FB |=2|FA |AB ()A.B.2C.D.3217217【答案】C 【解析】由及抛物线定义知,为的中点,设|FB |=2|FA |A PB A(y 24,y ),B (y 22+1,2y)代入抛物线方程,解得4y2=4(y22+1)y=±2不妨设,所以，A(12,2)|AB|=|PA|=(12+1)2+(2−0)2=172故选C.。

圆锥曲线技巧提升篇：韦达定理联立及弦长问题

设点 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ), D(x4 , y4 ),
因为 AC 与 BD 同向，且|AC|＝|BD|，故 | AC | | CB || BD | | CB |, | AB || CD |,
联立
y kx x2 4
y
1 ,
整理得
x2
B 两点都在曲线上时，通常称为弦长公式，根据前面的根差形式，弦长即可表达为：
| AB |
1 k 2 | x1 x2 |
1
k2
b2
△ a2k2
若是反设直线 x ty 1 ，则：
| AB |
1
1 t2
x1 x2
1 t2
y1 y2
特别地，在抛物线 y2 2 px( p 0) 中，若直线 AB 过焦点 F，根据抛物线定义，有
x4
16k 9 8k 2
64 9 8k
，所以
| CD |
1 k 2 | x1 x2 |
1 k2
( x1
x2 )2
4x1 x2
48(1 k 2 ) 9 8k 2
，
由|AB|＝|CD|，即
4k 2
4
48(1 k 2 9 8k 2
)
，
整理即得 (8k 2 3)(k 2 1) 0 ，解得 k 2 1 (舍)，或 k 2 3 , k 6 ，
| AB |
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
1 k 2 | x1 x2 |
1
1 2 k
|
y1
y2
|
两点距离公式任何时候都可以使用，而若知道 A、B 两点所在直线的斜率，只需再知道它们横坐标
或纵坐标差值即可求两点距离．对于这两种情形，在后续的题型中都将出现，应懂得灵活应用．当 A、

圆锥曲线非对称性韦达定理怎么处理？.docx

圆锥曲线非对称性韦达定理怎么处理
在解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题中，我们通常要联立直线与圆锥曲线的方程，消去x或y,得到一个一元二次方程。

很多都是利用韦达定理得到两根之间的关系来处理有关x1,x2（或y1,y2）的对称量，诸如：
x1+x2,x1x2,|x1−x2|,x12+x22,x1
x2+x2
x1
,y1
x1−2
·y2
x2−2
等，它们都是关于x1,x2（或y1,y2）的轮换对称
式，即将x1与x2互换之后，结果不变，被称之为“对称性”。

这类问题，我们称之为“对称型韦达定理”题型，只需要将韦达定理代入化简即可得到结果。

但还有少部分题不是关于x1,x2（或y1,y2）的轮换对称式，比如我们会遇到两根不对称的结构，比如：
x1 x2,λx1+μx2(λ≠μ),kx1x2+3x1−2x2
kx1x2−3x2+2x1
,m y1y2−3y1
m y
1
y
2
+2y
2
这类问题我们称之为“非对称型韦达定理”题型，一般
都是定值定点的证明题，这类问题我们不能简单的代入韦达定理来得到结果，那么这类问题我们该怎么处理呢？
最常见的处理办法是——和积代换（非对称结构中不含常数项时可尝试使用此法）
即寻求x1x2与x1+x2或y1y2与y1+y2之间的关系，将积式替换成和式，从而求定点定值最值问题。

妙用韦达定理解决圆锥曲线中向量共线问题

)2
−
16 3λ21
−
1=
所以 ( 16 −
(k01,26)所−λ22以k+2)13λ6221λ++2 +3322λ1λ611−++1131666λk212−−=136103k6.2k若2=−160k.−2λ同k22
= 0, 理有: = 0,
则直线 l 过顶点, 不合题意所以 16 − k2 ̸= 0. 所以 λ1, λ2 是
± 2 , 故直线 AB 的斜率为 ± 2 .
3 类型二:
−→ PA
=
−−→ λ1P Q,
−−→ PB
3 =
−−→ λ2P Q
型
例 3 已知抛物线 C : y2 = 4x, 过抛物线焦点 F 的直 −−→ −→
线交 C 于 A, B 两点, 交准线 l 于点 M , 已知 M A = λ1AF , −−→ −−→ M B = λ2BF , 求 λ1 + λ2 的值.
y2 + m = −λ2y2, 整理得:
2
2
λ1
=
−1
−
my1
, λ2
=
−1
−
, my2
所以 k = ±2, 所以 Q(±2, 0).
解析 2 由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等(于零, )设
4
l 的方程: y = kx + 4, A (x1, y1), B (x2, y2), 则 Q
(
)
(
−
y1 + y2 = (1 + λ)y2,
和到
与两根之积得 (y1 + y2)2 =
y1y2
到 y1y2 = λy22, (1 + λ)2

圆锥曲线的应用(韦达定理,对称)

韦达定理——圆锥曲线硬解定理联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 12222消去y 得：0)(2)(22222222=-+++b m a kmx a x k a b2222212k a b km a x x +-=+；22222221)(ka b b m a x x +-=+；)(4222222m k a b b a -+=∆ 消去x 得：0)(2)(222222222=-+-+k a m b my b y k a b2222212k a b m b y y +-=+；222222221)(ka b b a m b y y +-=+；)(42222222m k a b k a b -+=∆ 韦达定理：主要适用于设而不求，弦长公式，如面积;2222222222212)(411k a b m k a b b a k x x k AB +-+•+=-+= 22222222222212)(41111k a b m k a b k a b k y y k AB +-+•+=-+=超级韦达定理——反向点乘双根式联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 12222消去y 得：0)(2)(22222222=-+++b m a kmx a x k a b2222222222222121212)()())((p k a b kmp a k a b b m a p x x p x x p x p x ++++-=++-=-- 2222222222221)(2)())((ka b b m a kmp a p k a b p x p x +-+++=-- 22222222222221)(2)())((k a b k a m b mq b q k a b p y p y +-+-+=-- 超级韦达定理：主要适用于λ=•→→MB MA 型，如垂直、圆过定点；例1、（全国卷）已知)2,0(-A ，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为23，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为332，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点)2,0(-A 的直线l 与E 相交于Q P ,两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．例2、（上海高考）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥u u u r u u u r ,求直线l 的方程.例3、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程;(II)若直线:l y kx m=+与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.对称与对称思想： 1、标准对称例1、如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e 。

高考数学圆锥曲线专题：韦达定理

高考数学圆锥曲线专题：韦达定理第一部分：直线的斜截式方程使用条件一：已知斜率第一类直线的方程：直线的斜截式方程直线的斜截式方程：b kx y +=，其中k 为斜率，b 为与y 轴的截距。

第一种使用条件：已知直线的斜率。

【例题一】：已知：斜率为1的直线与椭圆C ：1222=+y x 相交于A ，B 两点。

【本题解析】：第一部分：韦达定理的计算部分。

韦达定理的使用条件：直线与曲线相交于两点。

第一步：假设两个交点的坐标。

假设：点A 的坐标为),(11y x ，点B 的坐标为),(22y x 。

第二步：假设直线的方程。

本题已知直线l 的斜率为1，需要假设直线l 与y 轴的截距得到直线l 的方程。

假设：直线l 的方程为：m x y +=。

第三步：联立直线l 的方程和椭圆C 的方程。

mx +022********=-+⇒=+⇒=+y x y x y 把m x y +=代入02222=-+y x 得到：02)2(202)(222222=-+++⇒=-++m mx x x m x x 0)22(430224222222=-++⇒=-+++⇒m mx x m mx x x 。

第四步：韦达定理计算两个交点的横坐标之和21x x +，横坐标之积21x x 。

原理：一元二次方程02=++c bx ax 的两个根1x ，2x ：a b x x -=+21，ac x x =21。

340)22(432122mx x m mx x -=+⇒=-++，322221-=m x x 。

第五步：根据直线的方程的纵坐标之和21y y +，纵坐标之积21y y 。

),(11y x A ，),(22y x B 为直线m x y l +=:上两点m x y +=⇒11，m x y +=22；3236342342212121mm m m m m x x m x m x y y =+-=+-=++=+++=+；2222121221212121)34(322)()()(m mm m m x x m x x m mx mx x x m x m x y y +-⋅+-=+++=+++=+⋅+=⋅323342233343222222222-=+--=+--=m m m m m m m 。

圆锥曲线技巧韦达化处理以及非对称韦达

y1 y2 = (kx1 + m) ⋅ (kx2 + m) = k 2 x1x2 + mk(x1 + x2 ) + m2 ，
再代入上式即可得 (k 2 + 1)x1x2 + (mk − 2)(x1 + x2 ) + m2 + 4 =0
4．
y1 x1 − 2
+
y2 x2 − 2
=−1 ⇒yLeabharlann (x2− 2) +
1 − y1 ； − x1
目标信息为斜率之积，即 k1
⋅ k2
= 1 + y1 x1
1− ⋅
y1
− x1
= 1 − y12 − x12
；
再往后
接下来需要考虑代换问题，观察到目标信息是二次形式，代换中我们提到，对于单元二次形式的，
可采用曲线代换，由于此时还未假设直线，看来也是不需要了．由点
B、C
在曲线上，故有
或 y 的形式，而此时坐标表达式并非是直接的韦达形式，因此需进行代换：
例题回顾
直线 l 与抛物线 y2 = 2x 交于 A、B 两点，且满足 OA ⊥ OB ，证明：直线 l 过定点．
部分解析
由题，直线 l 不与 x 轴平行，故设 l：x= ty + m ，其中 m ≠ 0 ，设点 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，
y12
= 1 ，即
y12 =
1 − x12 ，
2
代入可得 k1 ⋅ k=2
1 + y1 ⋅ 1 − y=1
x1
x1
1 − y1=2 − x12
x12
2 = − 1 ，为定值，得证.

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