线性代数第四章齐次线性方程组

则 x k1 X 1 k2 X 2 是AX 0 (4.2)的解.
（可推广至有限多个解）
AX1 0, AX 2 0, 则 Ax A( k1 X 1 k2 X 2 ) k1 AX1 k2 AX0, 2
证明 由题设知
故 x k1 X 1 k2 X 2 是AX 0 的解.
或向量形式
x11 x2 2 xn n 0
其中 A [1 2 n ].
定理8 以下命题等价(即互为充要条件):
(1) AX=0(4.2) 有非零解;
(2) 1 ,2 ,,n线性相关;
(3)
秩{Βιβλιοθήκη Baidu1,2 ,,n } n;
(4) 秩 A<n.
T
X n r (c1,n r , c 2 ,n r , , c r ,n r ,0,0, ,1)T ;
上页 下页 返回
(1) X 1 , X 2 , , X n r 是AX = 0的解； (2)考虑k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r 0，即 ( l1 , l 2 , , l r , k1 , k 2 , , k n r )T (0,0, ,0,0, ,0)T ， 其中l i k j c ij , ( j 1,2, , n r ; i 1,2, , r )
的解，得d 1 d 2 d 3 0, X k1 X 1 k 2 X 2 0， 即X k1 X 1 k 2 X 2。
上页 下页 返回
, 定理9 假设A是一个 s n矩阵如果r
rankA n,
则齐次线性方程组AX=0 存在基础解系, 且基础解系
证明分几步: 1. 用初等行变换将系数阵A化为阶梯形矩阵;
上页 下页 返回
阶梯形矩阵B有三行不 为零，rB 3。B的1、2、3 行的非零首元分别位于 1、2、3、列，故对 4 , x 5的 x 任意值，都能解出 1 , x 2 , x 3。将方程组移项， x x1 x 4 20 x 5 得 x 2 x 4 5 x 5 ， x 2x 5 3
推论 齐次线性方程组(4. 2)的解 X 1 , X 2 , , X t的任意线性组合 k1 X 1 k 2 X 2 k t X t 也是(4.2) 的解。
齐次线性方程组的解的集合V称为齐次线方 程组的解空间(space of solution)。
上页
下页
返回
3. 基础解系 定义12 设A是一个s×n矩阵, 如果: (1) 向量组 X 1 , X 2 ,, X t ( I ) 线性无关 ;
令x 4 1, x 5 0，得解X 1 1 －1 0 1 0 ；
T
又令x 4 0, x 5 1，得解X 2 20
5 2 0 1 。
T
上页 下页 返回
1 0 1 0 (2) , 线性无关，X 1 , X 2 是分别在 , 的 0 1 0 1 前面位置添加3个分量 所得的向量，故 1 , X 2 线 X 性无关。 (3)设X c1 则X k1 X 1 k 2 X 2 d 1 c2 c3 k1 k 2 是BX = 0的任意解， d2 d3 0 0是BX = 0
称k1 X 1 k 2 X 2 k t X t 为(4.2)的通解。 其中k1 , k 2 , , k t 是任意常数。
上页 下页 返回
例1 求齐次线性方程组 x1 3 x 2 2 x 3 2 x 4 x 5 0 的一个基础解系。 x 2 x3 x 4 3 x5 0 2 x x 2 x 8 x 0 3 4 5 2 1 3 2 2 1 解：(1)对系数矩阵 0 1 1 1 3 施行 A 0 2 1 2 8 1 0 5 1 10 2( 2 ) ( 3 ) 3( 2 ) (1) 初等行变换化简： 0 1 1 1 A 3 0 0 1 0 2 1 0 0 1 20 0 1 0 1 5 B， 0 0 1 0 2 得到问题的同解方程组BX= 0。
j 1 n r
有k1 0, k 2 0, , k n r 0， 故X 1 , X 2 , , X n r 线性无关。
上页
下页
返回
(3)设X (c1 , c 2 , , c r , k1 , k 2 , , k n r )T 是方程组 的任意解，则 k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r X (d 1 , d 2 , , d r ,0,0, ,0)T 是齐次方程组的解，代 入BX = 0，得 b11 b12 b1r d 1 0 0 b22 b2 r d 2 0 ， 0 0 brr d r 0 系数行列式不为零， 1 , d 2 , , d r 全为零。于是 d X k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r 0或 X k1 X 1 k 2 X 2 k n r X n r 综上，X 1 , X 2 , , X n r 是AX = 0的一个基础解系， 含n - r个解向量。
上页
下页
返回
将未知量x r 1 , x r 2 , , x n(称为自由未知量)的 一组值(1,0, ,0)代入BX = 0，去掉0 = 0的等式， 移项得线性方程组 b11 b12 b1r x1 b1,r 1 b 0 b22 b2 r x 2 2 ,r 1 ............(4.6) 0 0 b x b rr r r ,r 1 系数行列式D b11b22 brr 0，
(2) X 1 , X 2 , , X t中的每个向量都是AX=0的解；
(3) AX=0 的任一解都可以由 X 1 , X 2 ,, X t ( I )
线性表示。 则称向量组(I)是齐次线性方程组 AX 0 的一个基础解系。
若X 1 , X 2 , , X t 是(4.2)的一个基 础解系， 则(4.2)的任意解 是基础解系的一个线 性组合，又基础解系的 任意线性组合是 (4.2)的解，所以 (4.2)的解集合( 解空 间)就是 S k1 X 1 k 2 X 2 k t X t k1 , k 2 , , k t P
2. 以某种方法找 n r 个解; 3. 证明这 n r 个解线性无关;
4. 证明任一解都可由这 n r个解线性表示. 注：(1) 基础解系不是唯一的。
(2) 当 r ( A) n 时，解集合(解空间)是 {0}.
证明: 设A经过一系列初等行 变换化为阶梯形 矩阵B，则rB r，B的前r行不为零。 不失一般性， 设B的第i行的非零首 元为bij ( i 1,2, , r )， b11 b12 b1r b1,r 1 b1n 0 b22 b2 r b2 ,r 1 b2 n A B 0 0 brr br ,r 1 brn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
第五节齐次线性方程组
一．齐次线性方程组(4.2)有 非零解的充要条件 二．齐次线性方程组解的性 质 三．基础解系 四．解的结构 五．练习题
1. 齐次线性方程组(4.2)有非零解的充要条件
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21x1 a22 x2 a2 n xn 0 (4.2) ………………………………… …s1 x1 as 2 x2 asn xn 0. a 系数矩阵A [aij ]sn , (4.2)又可表示为AX 0,
证明 由矩阵、向量的运算、 线性相关定义,得(1)推(2), (2)--3)-(4)-(3)-(2)-(1) 于是, 以上4个命题相互等价.
推论：齐次线性方程组 (4.2) 只有零解 r
A n
2. 齐次线性方程组解的性质
(解向量的和,数乘仍是 解)
性质1 若X 1 , X 2 是AX 0 (4.2)的解,
上页 下页 返回
例2 求齐次线性方程组 x1 2x2 x 3 2x4 4x5 0 2x1 2x2 3x3 2x5 0 4x1 2x2 7x3 4x4 2x5 0 的通解。
上页 下页 返回
解：写出系数矩阵A， 并作初等变换化简 4 2(1) ( 2 ) 1 2 1 2 4(1) ( 3) A 2 2 3 0 2 4 2 7 4 2 2 4 3( 2 ) ( 3) 1 2 1 1( 2 ) (1) 0 2 1 4 6 0 6 3 12 18 1 0 2 2 2 0 2 1 4 6 B 0 0 0 0 0
上页 下页 返回
定义：齐次线性方程组的基础解系又称为解空间 的基。
推论 设齐次线性方程组AX= 0(4.2)的系数 矩阵A是s n矩阵，若rA r n，则 (1)(4.2)的每 个基础解系都含有n- r个解向量； (2)(4.2)的任 - r + 1个解向量线性相关； 意n (3)(4.2)的任 - r个线性无关的解都是 意n 它的 一个基础解系。
上页
下页
返回
证明： 1 , X 2 , , X n r ( I )是(4.2)的一个基 X 础 解系。 (1) 设 1 , 2 , , t ( II )是(4.2)的任意一 个 基础解系，则(I)与 (II)等价，(I) 与(II)都 线性无关，所含向量个 数相同，故t= n - r; (2) (3) AX = 0的任意n - r + 1个解可由含n- r个 若1 , 2 , , n r ( III )是AX = 0的线性无关 向量的(I)线性表出 ，故线性相关。 的解， 是AX = 0的任一解， 1 , 2 , , n r ,线性 相关。因而可由(III)线性表 出，(III)是 AX = 0的基础解系。
上页
下页
返回
由Gramer法则， (4.6)有唯一解， 得(4.2) 的一个解X 1 (c11 , c 21 , , c r1 ,1,0, ,0) 。
T
同理，分别将 r 1 , x r 2 , , x n的值(0,1, ,0), , x (0,0, ,1)代入BX = 0，求出(4.2)的 解 X 2 (c12 , c 22 , , c r 2 ,0,1, ,0) ;