线性代数第四章齐次线性方程组

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(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案

第四章线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式：向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。

矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。

高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)

1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置；（2）以非零常数k乘以方程组中某个方程；（3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形，得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的

考研线性代数复习-线性方程组(2014)

第四章线性方程组考试要求l ．会用克拉默法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．一、克莱姆法则（方程的个数=未知数的个数）1. 线性方程组1111221121122222n n n n a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨""""""""AX b ⇔=1122n n nn n na x a x a xb ⎪⎪+++=⎩"1212(),(,,,),(,,,)T Tij n n n n A a b b b b X x x x ×===""其中((|)0)|R A A n =≠⇔()1方程组有唯一的解,1,2,,,ii A x i n A=="A i A i b 是｜｜中的第列换成所得。

2.0AX =||0A ≠⇔方程组只有唯一的零解；||0A =⇔方程组有无穷多解（当然有非零解）例1 设线性方程组12341234123412342313633153510121x x x x x x x x x x kx x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨−−+=⎪⎪−−+=⎩问k 取何值时该方程组有唯一解?解系数行列式112313612260311501k A k −==≠−−2k ⇔≠151012−−充分必要条件是方程组有唯一的解。

例2 已知123123222123000x x x ax bx cx a x b x c x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩(1),,a b c 满足何种条件时,方程组只有零解?(2),,a b c 满足何种条件时,方程组有无穷多解?111222()()()A ab c c a c b b a a b c ==−−−解(1),,a b c 互不相等时,方程组只有零解。

第四章线性方程组

理学院田宝玉 (第 1 页/共 14 页) 第四章线性方程组
结论：加减消元得到一系列同解方程组的过程，就相当于对增广矩阵施以一系列的初等行变换，化成上阶梯形矩阵. 得到的新矩阵作为增广矩阵所对应的方程组与原方程组等价（即为同解方程组）. 注：只施以初等行变换.
⎛ x1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎧ x1 = −1 ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 求解： ⎨ x2 = −2 → 向量形式： ⎜ x2 ⎟ = ⎜ −2 ⎟ . ⎪x = 2 ⎜x ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎩ 3 ⎧ x1 + 3 x2 − 5 x3 = −1 ⎪ 引例 2： ⎨ 2 x1 + 6 x2 − 3 x3 = 5 . ⎪3 x + 9 x − 10 x = 2 2 3 ⎩ 1
− c1n x n − c2n xn − c rn x n
此时，每赋予未知量 xr +1 , xr + 2 ,
, xn 一组值，则可惟一的解出左端 x1 , x2 ,
, xr 的
一组值.（因为左端系数矩阵的行列式不等于零，可由克拉默法则求解.）因此，方程组有无穷多组解. 且右端未知量 xr +1 , xr + 2 ,
解记系数矩阵为 A ，增广矩阵为 B .
⎛1 −1 1 −1 1 ⎞ ⎛ 1 −1 1 −1 1 ⎞ ⎛ 1 −1 1 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ 行变换 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B = ⎜1 −1 −1 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯ → ⎜ 0 0 −2 2 −1 ⎟ → ⎜ 0 0 1 −1 1 2⎟ ⎜1 −1 −2 2 − 1 ⎟ ⎜ 0 0 −3 3 − 3 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 2⎠ 2⎠
⎧ x1 + 3 x2 − 5 x3 = −1 ⎪ 同解方程组为： ⎨ x3 = 1 . 显然，此方程组无解. ⎪ 0 =1 ⎩

线性代数第04章线性方程组

2x3 0, x3 0,
6x1 x2 4x3 0,
方程组的系数矩阵
4 1 2 1 0 1
A2
1
0
1
0
1
2
6 1 4 0 0 0
得同解方程组
x1 x2
x3, 2x3,
x3 x3,
令 x3 k ，得通解
x1 1
x2
k
2
x3 1
(k R)
8 7
1
6 1
,
2
5 0
0
1
故方程组的通解为
x k11 k22 (k1, k2 R)
例2 求齐次线性方程组
x1 x2 5x3 x4 0,
x1 x2 2x3 3x4 3x1 x2 8x3 x4
0, 0,
x1 3x2 9x3 7x4 0
x1 x2
8x3 6x3
7 x4 5x4
0, 0,
即
x1 x2
8x3 7x4, 6x3 5x4
,
（ x3, x4 为自由未知数）(1)
，
令
x3 x4
1 0
,
0 1
，代入 (1) ，得
x1 x2
8 6
,
7 5
从而得到一个基础解系为
3xx1125xx22
, 0,
4x1 5x2 2x3 3x4 0
的一个基础解系和通解．
解将系数矩阵 A 施行初等行变换，化其为行最简形矩阵
1 2 4 3 1 0 8 7
A
3 4
5 5
6 2
4 3
0 0
1 0
6 0
05
R(A) 2 4，基础解系由两个线性无关的解构成．与原方程组同解的方程组为

线性代数第四章4-5节课件

后n-r列
x1 - b11 xr +1 - b12 xr + 2 x -b x - b x 2 21 r + 1 22 r + 2 xr - br 1 xr +1 - br 2 xr + 2 -
- b1,n- r xn , - b2,n- r xn , - br ,n - r xn .
方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系．
1 -2 1 0 -3 4 1 2 r A 2 3 0 -1 ~ 0 1 2 -3 1 -1 -5 7 0 0 0 0
x1 - 3 x3 + 4 x4 0 x 2 + 2 x 3 - 3 x4 0
：线性方程组的解的判定
1. 包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n ． 2. 包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A, b)，并且当R(A) = R(A, b) = n时，方程组有唯一解；
因为
方程组的任意一个解都可以表示为x1, x2 的线性组合．
x1, x2 的四个分量不成比例，所以 x1, x2 线性无关．所以x1, x2 是原方程组的基础解系．
方法2：先求出基础解系，再写出通解．
1 -2 1 0 -3 4 1 2 r A 2 3 0 -1 ~ 0 1 2 -3 1 -1 -5 7 0 0 0 0

把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作 S，若求得 S 的一个最大无关组S0：x = x1, x = x2, ...,, x = xt ，那么Ax = 0 的

(完整版)线性代数第四章线性方程组(自考经管类原创)

第四章线性方程组
知识结构
线性方程组
齐次线性方程组非齐次线性方程组
4.1 齐次线性方程组
2
1.齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn
0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
求齐次线性方程组通解的方法
（1）将系数矩阵A进行初等行变为行最简形矩阵T （2）写出Ax=0的同解方程组Tx=0 （3）确定自由未知量（n-r个），并用自由未知量表示其他未知量（4）依次令其中某个自由未知量为1，其他自由未知量为0，求相应的特殊解，那么基础解系即为所有特殊解的全体（5）特殊解的线性组合即为通解，此处写明组合系数为任意实数
下面给出非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
a21x1 LLL
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
简写成矩阵形式AX=b，其中
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
例1 判断t为何值时，方程组无解
-x1 4x2 x3 1 tx2 3x3 3

线代第四章线性方程组第一节

x1 = 4 − 3k， x 2 = k， x = 1 3 ，
其中 k 为任意常数．为任意常数．
North University of China
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k 取遍所有实数时，上取遍所有实数时，
式也就取遍方程组的所有解．这种解的表达形式称为线性方程组的一般解．为线性方程组的一般解．一般解
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下三种关于线性方程组的关于线性方程组以下三种关于线性方程组的变换称为线性方程组的初等变换：初等变换：
(1) 交换某两个方程的位置；交换某两个方程的位置； (2) 用一个非零数乘以某一个方程的两边；用一个非零数乘以某一个方程的两边； (3) 将一个方程的倍数加到另一个方程．将一个方程的倍数加到另一个方程．
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对线性方程组用消元法对应方程组的增广矩阵
， x1 + x 2 + 2 x3 = 1 1 1 2 1 − 3 x 2 − 2 x3 = 2， B3 = 0 −3 −2 2 ； 0 0 −2 −4 − 2 x3 = −4；
b1 b2 ． ⋮ bm
x1 b1 x b 2 ， b = 2 ，则线性方程组则线性方程组(4.1)可写为：可写为：令x = 可写为 ⋮ ⋮ xn bm
Ax = b ．
为方程组(4.1)的矩阵形式．称(4.2)为方程组为方程组的矩阵形式．
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第一节利用矩阵的初等变换解线性方程组

《线性代数》第四章：线性方程组-PPT课件

三角形线性方程组要求方程组所含方程的个数等于未知量的个数且第个方程第个变量的系数三角形线性方程组是一类特殊的情形解法也简单由克莱姆法则可以判断其解惟一一般只需要从最后一个方程开始求解逐步回代就可求出方程组的全部解11定义416线性方程组中自上而下的各方程所含未知量个数依次减少这种形式的方程组称为n元阶梯形线性方程组
❖ 例如 axbyc 是一个二元方程，a , b 不同时
为零时，方程有无穷多解，如 b0时，x0,yc
b
为二元方程的一个特解， axbyc
b0 时， xk,ycakk R
bb
为二元方程的通解；当 a , b 同时为零,若时c ，0
方程无解；当
a同, b 时为零,若时c ， 0 方程
有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。
❖ 消元法的目的就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯形方程组, 由于这个阶梯形方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方程组得到的解就是原方程组的解。
❖ 注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的步骤并不是惟一的, 所以，同一个方程组的行阶梯形方程组也不是唯一的。
❖ n元线性方程组的一般形式为
cnnxn 0
❖ 其中 crr 0 则线性方程组有唯一解，即仅有零解。
❖ (2) 当 r n 时，方程组可以化为
c11x1 c12x2 c1rxr c1nxn 0
c22x2 c2rxr c2nxn 0 ..........................
crrxr crnxn 0
❖ 其中 crr 0 将其改写成
a11x1a12x2 a1rxrb1a1r1xr1 a1nxn a22x2 a2rxrb2a2r1xr1 a2nxn arrxrbrarr1xr1 arnxn

辅导讲义(线性代数第四讲)

n 元齐次线性方程组 Ax 0 解的结构：
1）对系数矩阵作初等行变换可得：
A
Ir 0
B 0
；
2）写出与原方程组同解的方程组：
x1 k1,r1xr1 k1,n xn
x2
k 2,r 1 xr 1
k2,n xn ，其中 xr1, xr2,, xn 为自由未知量。
xr kr ,r1xr1 kr ,n xn
xr1 1 0 0
3）分别取
xr2
0
,
1 ,,
0
，得到
Ax
0的
n
r
个线性无关的解：
xn 0 0 1
k1,r1
k2,r
1
k1,r2
k2,r 2
1
kr,r 1
1
,2
kr,r2 0
,Leabharlann 010 0
k1,n
k2,n1
,nr
kr,n 0
即为一个基础解系。
0
1
4）所以齐次线性方程组 Ax 0 得通解为 x c11 c22 cnr nr ， c1, c2 ,cnr 为任意常数。 ※ n 元非齐次线性方程组 Ax b
n 元齐次线性方程组 Ax b 解的判定：
若 r(A) r(A) r(Ab) ，则方程组无解；
若 r(A) r(A) r(Ab) n 时，方程组有唯一解；
D1 D
,
x2
D2 D
,
,
xn
Dn D
，
其中 Dj 是把 D 中的第 j 列元素换成方程组右端的常数列，其余元素不变所得的行列式。
注意：1）克莱姆法则只适用于方程的个数与未知量的个数相等的线性方程组；

《线性代数》课件第4章

此时A的第j列元素恰为αj表示成β1, β2,…, βt的线性组合时的
系数.
证明：若向量组a1,a2,…,as可由β1, β2,…, βt线性表示，即每个ai
均可由β1, β2,…, βt线性表示，则有
α1 = a11β1 + a21β2 + + at1βt = (β1, β2,
, βt )⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝aaa12t111 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,
我们有下面的定理：定理 1.1 矩阵的秩数=行秩数=列秩数.
例1.3 设
α1 = (1, 2, 0,1)T , α2 = (0,1,1,1)T , α3 = (1, 3,1, 2)T , α4 = (1,1,−1, 0)T
求此向量组的秩数及一个极大无关组.
解考虑向量组构成的矩阵
A=(α1,
α2,
我们有下面的命题：
命题1.
1. α1, α2,…, αs线性无关； 2.方程x1α1 + x2α2 + … + xxαs只有零解 3. 对于任意一组不全为零的数c1,c2,…,cs均有
c1α1 + c2α2 + + csαs ≠ 0, 4. 对于任意一组数c1,c2,…,cs, 若c1α1 + c2α2 +
定义1.4 两个可以互相表示的向量组称为等价向量组.
容易看出： 1. 向量组的等价是一个等价关系； 2. 等价向量组的秩数相同； 3. 任何向量组等价于其极大无关组; 4. 两个向量组等价当且仅当它们的极大无关组等价.
最后我们给出化简向量组的一种技巧为此先给出一个定义
定义1.5 设α1, α2,…, αs和β1, β2,…, βs是两个向量组，若对于任意一组数c1,c2,…,cs均有

《线性代数》课件-第七周课程-张颖老师

§4.4 线性方程组解的结构第四章n元向量空间111122121122221122000.+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ，，，AX ⇔=（矩阵形式）0记齐次线性方程组111212122211n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的系数矩阵为 12X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦n x x x 未知数向量为{}A X AX A X ∈==0的解集是的子空间nnN 0 ，()=注2注1 齐次线性方程组解的线性组合还是解.性质11212AX AX =+=0 0 若是的解则也是的解，.η,ηηη性质2()AX AX =∀∈=0 0 若是的解则也是的解k k ，.ηη齐次线性方程组的基础解系定义1当有非零解时， AX =0如果解向量满足： 12,,,t ηηη(1)线性无关； 12,,,t ηηη(2)的任一解可由线性表示， 12,,,t ηηηAX =0则称为方程组的一个基础解系. 12,,,t ηηηAX =01122X =+++t t k k k ，ηηη12,,,其中是任意常数t k k k .()12(),,,A =t N L ηηη{}11221,2,,=+++∈=t t i k k k k i t ，ηηη如果为齐次线性方程组的一个基础解系，则 12,,,t ηηηAX =0的通解可表示为 AX =0◆向量组的极大无关组不唯一，但不同极大无关组中所含向量个数相同.向量组的秩◆方程组的基础解系不唯一，但所含解向量的个数是唯AX 0解空间的维数一确定的.dim N(A)=如何求基础解系()A AX ⨯=<=0m n r r n 当时，方程组有非零解，1212,,,,,,++r r r n x x x x x x 不失一般性，不妨设为主变量，为自由变量111,1,10010000A --⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−−−→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n r r r n r b b b b 初等行变换A 则系数阵化为行简化阶梯形矩阵齐次线性方程组的基础解系11111,11,+-+-⎧=---⎪⎨⎪=---⎩r n r n rr r r n r nx b x b x x b x b x ⇔AX =011111,11,11+-+-++---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦r n r n r r r r n r n r r n n x b x b x x b x b x x x x x 通解为11121212212100010001++---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦r r r r r n b b b b b b x x x11121,12,12,,,.100010001n r r r r n r n rb b b b b b ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ηηη记112212,.X ---=+++其中为任意常数n r n r n r k k k k k k ，，，ηηη112212,,,,,++--===令其中为任意常数r r n n r n r x k x k x k k k k ，，，AX =0 则的通解为为齐次线性方程组的一个基础解系，且 12,,,t ηηηAX =0dim ().A =-N n r()AX A A ⨯=<0m n r n 若齐次线性方程组的系数矩阵的秩，则必有定理1基础解系，()A -n r 且任一基础解系所含解向量的个数为.123412341234123450,230,380,3970.x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩例1 求齐次线性方程组的一个基础解系，并写出通解.解对方程组的系数矩阵初等行变换，得11511151112302743181000013970000A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦310127012200000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦()24A =<r ，1342343,272,2x x x x x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩该方程组有非零解，且基础解系中含2个解向量，同解方程组为 34,x x 其中为自由变量. 31272212123412,,.0110--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+∀∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x k k k k x x 327212120110--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，ηη通解为为该方程组的一个基础解系. 1231722001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，ηη由于11112211211222221122,,.n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩11121121222212[]A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦n n m m mn m a a a b a a a b a a a b β增广矩阵为已知非齐次线性方程组 m n ⨯AX ⇔=（矩阵形式）β AX AX ==0.β称齐次线性方程组为的导出组()()A A AX =<=r r n 当时，有无穷多解，这些解具有怎样的形式？β性质3性质41212.X X AX X X AX =-= 设是的任意两个解,则是其导出组的解，β0 0,X AX =设是的一个特解β.AX =方程组的解β0X η+则是,AX =0是导出组的解η()()AX A A ⨯===<如果非齐次线性方程组满足m n r r r n β，它的一个解（称它为特解），定理212AX -=0是它的导出组的一个基础n r ，，，ηηη0X 是解系，AX =则方程组的通解为β12.-其中为任意常数n r k k k ，，，01122X X ηηη--=++++n r n r k k k ，例2 12312312331,334,598.+-=-⎧⎪--=⎨⎪+-=-⎩x x x x x x x x x 113131341598A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦3302437024001100⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦求非齐次线性方程组解 313233427342⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩x x x x ，，的全部解.()()23A A ==<r r ，由于该方程组有无穷多解，其同解方程组为其中为自由变量. 3x方法1 (1) 令， 30=x 求出非齐次线性方程组的一个特解 T 037[,,0].44X =-(2) 导出组的同解方程组为31323232⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x x x x ，，令， 31=x 得导出组的一个基础解系 T 33[,,1].22=η(3) 所求非齐次线性方程组的全部解为 T T 3733[,,0][,,1],.4422X =-+∀∈k k方法2 由同解方程组直接写出通解或其向量形式的通解为T T T 1233733[,,][,,0][,,1],.4422=-+∀∈x x x k k 313233427342⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩x x x x ，，13233333427342.⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪⎩x x x x x x ，，zxyOXX+ηηLW例2的几何意义=在例2中若，，在三维几何空间取定直角坐标系后，++=ax by cz d平面++=ax by cz过原点的平面L可由W 沿作平移得到.X非齐次线性方程组解的判定11112212112222,.a x a x b a x a x b +=⎧⎨+=⎩11111221:L a x a x b +=，已知平面直线 22112222:.L a x a x b +=则两条平面直线的交点坐标满足重合相交平行解的几何意义§4.5 欧氏空间n 第四章n元向量空间{}1212T [,,,],,,=∈元实向量空间n n n n a a a a a a ||||cos ,a b a b θ=||,a a a =cos .||||a b a b θ=112233,a b a b a b a b =++数量积的直角坐标计算公式：解析几何中向量的数量积：T T 1212[,,,],[,,,],==设是元向量空间中两个向量n n n a a a b b b n αβ1122(,)αβ=+++n n a b a b a b ，令定义了内积的n 元实向量空间 , 称为欧几里得空间，简称欧氏空间.n T ,,(,).=当为列向量时有αβαβαβ※ 定义1称为向量与的内积（inner product ）. (,)αβαβ(1)(,)(,);=αββα(2)(,)(,);=k k αβαβ(3)(,)(,)(,);+=+αβγαγβγ（对称性）内积具有以下性质（其中为n 元向量，k 为实数）： ,,αβγ（线性性） (4)(,)0,(,)0.≥=⇔=0且ααααα（正定性）⎫⎪⎬⎪⎭利用这些性质可以证明施瓦茨(Schwarz )不等式成立:2(,)(,)(,).≤⋅αβααββ定义2 对欧氏空间中的任一向量， αn (,).=ααα称非负实数为向量的长度 (,)ααα(length ),记为注 (,).=ααα向量的长度也称为范数(norm)，记为 α(i)0;0≠>==00;当时当时,αααα，2(ii)(,)(,)||||.=== 对任意向量及任意实数有k k k k k k ααααααα，（非负性）（齐次性）向量的长度具有下述性质：定义3 在欧氏空间中， n 若(,)0,=αβ称向量与正交(orthogonal )， βα.⊥αβ记为01,≠=0若则为单位向量αααα，1=α当时，称为单位向量. α由向量得到的过程称为把向量 α0α 单位化.α 欧氏空间中，两两正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组. n每一个向量都是单位向量的正交向量组称为标准正交组.正交向量组一定线性无关.命题1 1,,(,),1,2,,.0,.=⎧⇔==⎨≠⎩i j i j i j s i j αα12s ,,,∈是一个标准正交组n ααα由n 个向量组成的正交向量组称为的一个正交基(orthogonal basis ). n 每一个向量都是单位向量的正交基称为的标准正交基(orthonormal basis ). n 例如， 12,,,.基本向量组是的一个标准正交基n n εεε121122,,,,(,)(,)(,).∀∈=+++R 设是的一个标准正交基.证明：对有n n n n n αααααααααααααα 例112(),,,(),ns s n ααα≤设Ⅰ是欧氏空间中的一个线性无关向量组令定理1施密特正交化方法12(),,,,ns βββ则Ⅱ是的正交向量组且11;βα=11(,),2,3,,,(,)k k i k k i i i i k s αββαβββ-==-=∑1212(,,,)(,,,),1,2,,.i i L L i s αααβββ==2122111(,),(,)αββαβββ=-12,1,2,,,():,,,.ii ins i s βηβηηη==令则Ⅲ是的标准正交组T T T 31233[1,1,0],[1,0,1],[0,1,1],.ααα===设是的一个基用施密特正交化方法求的一个标准正交基T 11[1,1,0],βα==令 2122111(,)(,)αββαβββ=-解T T 1[1,0,1][1,1,0]2=-T1[1,1,2],2=-313233121122(,)(,)(,)(,)αβαββαββββββ=--TT T 11[0,1,1][1,1,0][1,1,2]26=---T2[1,1,1].3=-例1123βββ将，，单位化得3123,,.ηηη则是的一个标准正交基T 111T 222T 3331[1,1,0],21[1,1,2],61[1,1,1],3βηββηββηβ====-==-11αβ=2α2β221k βαβ=-3β2β11αβ=2α3α1k β3312k l βαββ=--§4.6 正交矩阵第四章n元向量空间正交矩阵T ,n n A A A E =若阶实方阵满足则称 A 为正交矩阵，简称正交阵.(orthogonal matrix )定义1TAA E ⇔=nT A A E =n 1TAA -⇔=注 1T(i),,11A A ,A A A -*=-若是正交阵则也是正交阵，且或；(ii),若和是同阶正交阵则也是正交阵.A B AB 正交阵具有下述性质：T(i),.n =由于是正交矩阵所以A AA E 从而,两边取行列式可得1 1.=-从而或A 2T T 1,n ====A A A AA E T T T 1,,,,.n *-==显然为实矩阵.由于是正交矩阵所以且A A A A A E A A 11T T T T T ()()()(),n --===A A A A A A E 2T 11T11T()()()()()(),n **----===A A A A A A A A A E 1T,,-*因此均是正交矩阵.A A A 证(ii),,,显然为实矩阵. 由于是正交矩阵所以AB A B T T,,n n ==AA E BB E 因此T T T T()()(),n ===AB AB A BB A AA E 故是正交矩阵.AB,()n 设是阶实矩阵则是正交矩阵当且仅当的行列向量组A A A 命题1n是的一个标准正交基.12,,,,n ααα设的行向量组为则A 证12T T TT 12,,,n n αααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦AA T TT 11121T TT 21222T T T 12n n n n n n αααααααααααααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,).(,)(,)(,)n n n n n n αααααααααααααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是正交矩阵A 12,,,nn ααα⇔的行向量组是的一个标准正交基.A Tn⇔=AA E (,)1,1,2,,,(,)0,,,1,2,,.i i i j i n i j i j n αααα==⎧⇔⎨=≠=⎩TTn n ==因为与等价，所以上述结论对的列向量亦成立.A A E AA E A若矩阵S 为正交阵，则线性变换 X=SY 称为正交变换.11111221221122221122.n n n n n n n nn n x s y s y s y x s y s y s y x s y s y s y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩则，，，1122n n x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设，X , Y 为由向量X 到Y 的一个线性变换.T T T T T (,)()().======X X X X X SY SY Y S SY Y Y Y 这说明经正交变换线段长度保持不变.cos sin ,sin cos -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦例如，矩阵是正交矩阵旋转是一个正交变换；ϕϕϕϕA Y AX。

线性代数 4-2 第4章2讲-齐次方程组(2)

c11 c22 cnrnr，其中1,2 , ,nr为基础解系.
推论2 n个未知量n 个方程的齐次线性方程组AX 0 有非零解的充要条件是 | A | 0.
3
齐次线性方程组的基础解系(2)
例1
如果五元线性方程组AX
0
的同解方程组是
x1 x2
3x2 ，则有r( A) 0
____ ，
自由未知量的个数为 ______ 个，AX 0 的基础解系有 ______ 个解向量.
0 1 1
(A)
2
1
1
(B)
2 0
0 1
1
1
(C)
1 0 2
0
1
1
(D)
4 0
2 1
2 1
解 n 3，k 2 r(A) n k 1
定理4.1
设A是m n矩阵，r(A) r n，则齐次线性方程组AX 0 的基础解系存在，且基础解系所含解向量的个数为n r.
A
5
齐次线性方程组的基础解系(2)
线性代数（慕课版）
第四章线性方程组
第二讲齐次线性方程组(2)
主讲教师 |
本讲内容
01 引例 02 齐次线性方程组解的性质 03 齐次线性方程组的基础解系(1)
04 齐次线性方程组的基础解系(2)
齐次线性方程组的基础解系(2)
定义4.1 若齐次线性方程组AX 0 的有限个解1,2 , ,s 满足 (i) 1,2, ,s线性无关 (ii) 方程组的任一解都可由1,2, ,s线性表示则称1,2, ,s是AX 0 的一个基础解系.
10
齐次线性方程组的基础解系(2)
1 2 1 2
设A 0 1
t
t

线性代数4-4—基础解系

b1 n r x1 b rn r x 2 0 x 0 n 1 ,
b1 2 b1 1 x1 x1 br 2 br 1 x x 2 1 , 2 0 1 2 1 0 x x n n 0 0

x1 b1 1 x2 b21 xr br 1 c1 1 x r1 xr2 0 xn 0
1
2

nr
求出（2）的一个基础解系，写出其通解 A
x r 1 x r2 xn
1 0 0 1 , , 0 0
,
0 0 1
；
x1 x2 xr

1 , 2 , , n r 是组（ 2 ）的全部解向量组的最大无关组！
3、求解方法
方程组(2)的通解是其一个基础解系的线性组合
求出方程组(2)的通解, 可求出其一个基础解系 A
(r<n)行变换
行最简形
b1 2 b22 br 2 c2 0 1 0 cnr b1 n r b2 n r b rn r 0 0 1

（2）的通解
x1 b1 1 x2 b21 xr br 1 c1 1 x r1 xr2 0 xn 0 b1 2 b22 br 2 c2 0 1 0

线性代数练习册第四章习题及答案（本）

线性代数练习册第四章习题及答案（本）第四章线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解；B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解；C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =；D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=??++=??++=?有非零解，则λ= 1 ，μ= 0 .2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x =i D D.三、用克拉默法则求解下列方程组1．832623x y x y +=??+=?解：832062D ==-≠123532D ==-，2821263D ==-所以，125,62D D x y D D ====-2．123123123231x x x x x x ?+-=??-+-=?解：2131121121221303550111010r r D r r ---=--=-≠+--- 1122210511321135011011D r r ---=-+-=---，212121505213221310101101D r r --=-+-=-----，31212250021122115110110D r r --=+=---所以， 3121231,2,1D D D x x x DDD======3．21241832x z x y z x y z -=??+-=??-++=?解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--，31320101241204120182582D c c =-=--所以， 3121,0,1D D D x y z DDD======4．1234123412341234242235232110x x x x x x x x x x x x ?+-+=-??---=-??+++=?解：21314121311111111112140123223150537331211 2181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---321421232511151110222142251823152352811012110105110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----21231411323151115111214072322215012373302111518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----= --------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231201021521555250271425115264c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D D x x x x DDDD========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ?矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX = 的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）.A.1k α；B.2k α；C.12()k αα+；D.12()k αα-.解：因为m n ?矩阵A 的秩为1n -，所以方程组0AX =的基础解系含1个向量。

线性代数-第四章

0 L
A
~

0
满足条件：
（1）1 ,2 ,L ,r 线性无关；
（2）T 中的任一向量都可由1 ,2 ,L ,r 线性表示。
则称1 ,2 ,L ,r 为向量组 T 的极大线性无关组，或
极大无关组。
注释：
极大线性无关组，也可以定义成是一个线性无关的向量组，而且是极大的。（就是不能再大，大一点就不是线性无关，而是线性相关，也就是新添的向量都可被原来的向量组线性表示）
否则，如果只有当 k1 k2 L km 0 时， k11 k22 L kmm 0 才成立，称向量组线性无关。
2.2 基本问题
如何判断向量组 1 ,2 ,L ,m 是线性相关还是无关？
（1）线性相关
• 存在不全为零数 k1, k2 ,L , km，使 k11 k22 L kmm 0
L
a2n xn LLL
0 L
am1x1 am2 x2 L amn xn 0
a11 a12 L
A

a21
a22
L
L L L
am1 am2 L
则方程组可写成
a1n
a2n
,
L
amn
x1
X

x2

M
xn
矩阵的秩,行秩,列秩的关系:
特例:
1 0 a1 0 b1 0

0
1
a2
0
b2
0

B 0 0
0
1 b3
0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
B-型矩阵很容易看出矩阵的秩,行秩,列秩.

线性代数齐次线性方程组解的结构

18
§4.3 齐次线性方程组解的结构第四章线性方程组
x3 令自由未知量 x 5
分别
1 0 , , 0 6
得到方程组的一个基础解系为
7 1 5 1 1 1 , 2 0 . 2 0 6 0
1 2 2 1 r3 r2 r1 2r2 0 1 2 4 / 3 r2 (3) 0 0 0 0
1 0 2 5 / 3 2 4 / 3 0 1 0 0 0 0
14
§4.3 齐次线性方程组解的结构第四章线性方程组
由于 n r ( A) 5 2 3 , 故方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量。 16
§4.3 齐次线性方程组解的结构第四章线性方程组
x3 令自由未知量 x 4 x 5
分别
1 0 , 0

x r 1 k 1 xr 2 k2 xn
其中，
k1 , k 2 , , k n r
k n r
任意取值。
10
§4.3 齐次线性方程组解的结构第二、基础解系及其求法四 1. 基础解系章 2. 基础解系的求法线性 b1,r 1 b1,r 2 b1n 方程 b b b 组 r ,r 1 r ,r 2 rn 令 1 1 , 2 0 , , n r 0 , 0 1 0 0 0 1
§4.3 齐次线性方程组解的结构第二、基础解系及其求法四 1. 基础解系章 2. 基础解系的求法线相应地，齐次线性方程组 A X 0 等价(或同解)变形为性方程组

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充 1：当 A 列秩 ( 或 A 可逆 ,A 在矩乘法中有左消去律AB=0 B=0；AB=AC B=C.明B =(1,, ⋯,t ), AB = Ai =0,i=1,2, ⋯,s., , ⋯ , t 都是 AX =0212的解 . 而 A 列秩 , AX =0 只有零解 ,i=0,i=1,2,⋯ ,s, 即 B =0.同理当 B 行秩（或 B 可逆），AB 0 B T A T0 A T0A 0AB CB A C充 2如果 A 列秩（或 A 可逆） , r( AB )=r( B ).分析 : 只用明次方程ABX =0 和 BX =0 同解 .( 此矩 AB 和 B 的列向量有相同的性关系, 从而秩相等 .)明：是 ABX = 的解 AB = B =0( 用推 ) 是 BX = 的解 .于是 ABX =0 和 BX =0 确同解 .同理当 B 行秩（或B 可逆）， r( AB )=r( A ).例题一 . 填空1.A m 方 , 存在非零的 m × n 矩 B, 使 AB = 0 的充要条件是 ______.解： Ax 0 有非零解， r Am2.A n 矩 , 存在两个不相等的n 矩 B, C, 使 AB = AC 的充要条件是解： A B C 0 ， B, C 不相等， Ax0 有非零解， r An3.若 n 元性方程有解, 且其系数矩的秩r, 当 ______, 方程有唯一解;当 ______ , 方程有无多解 .解：假方程A m × n x = b, 矩的秩 r ( A) r .当 r n , 方程有惟一解 ; 当 r n , 方程有无多解 .4. 在次性方程 A m ×n x = 0 中 , 若秩 (A) = k 且 1, , ⋯ , r 是它的一个基解2系 ,r = _____; 当 k = ______ , 此方程只有零解。

线性代数-课后答案(第四章)

第四章向量组的线性相关性1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3⨯1+2⨯0-3, 3⨯1+2⨯1-4, 3⨯0+2⨯1-0)T=(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T .解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得)523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61T T T --+==(1, 2, 3, 4)T .3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示.证明由www.kh da w.c o m⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价.证明由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.www.kh da w.co m5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾.因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关.(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为 022*******12||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T .www.kh da w.c o m解以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关. 8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式. 解因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0,由此得 2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=,设211λλλ+-=c , 则 b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之.解不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10. 举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 是线性相关的, 则a 1可由a 2, ⋅ ⋅ ⋅,www.kh da w.c o ma m 线性表示.解设a 1=e 1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0), a 2=a 3= ⋅ ⋅ ⋅ =a m =0, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 但a 1不能由a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示.(2)若有不全为0的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0成立, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 亦线性相关.解有不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使 λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0,原式可化为λ1(a 1+b 1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm (a m +b m )=0.取a 1=e 1=-b 1, a 2=e 2=-b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m =e m =-b m , 其中e 1, e 2, ⋅ ⋅ ⋅, e m 为单位坐标向量, 则上式成立, 而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 和b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 均线性无关.(3)若只有当λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 全为0时, 等式λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0才能成立, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性无关, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 亦线性无关.解由于只有当λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 全为0时, 等式由λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0成立, 所以只有当λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 全为0时, 等式λ1(a 1+b 1)+λ2(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm (a m +b m )=0成立. 因此a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m +b m 线性无关.取a 1=a 2= ⋅ ⋅ ⋅ =a m =0, 取b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b m 为线性无关组, 则它们满足以上条件, 但a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关.www.kh da w.c o m(4)若a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 亦线性相关, 则有不全为0的数, λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m =0, λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0同时成立.解 a 1=(1, 0)T , a 2=(2, 0)T , b 1=(0, 3)T , b 2=(0, 4)T ,λ1a 1+λ2a 2 =0⇒λ1=-2λ2, λ1b 1+λ2b 2 =0⇒λ1=-(3/4)λ2,⇒λ1=λ2=0, 与题设矛盾.11. 设b 1=a 1+a 2, b 2=a 2+a 3, b 3=a 3+a 4, b 4=a 4+a 1, 证明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关. 证明由已知条件得 a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3=b 1-b 2+b 3-a 4=b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ⋅ ⋅ ⋅, b r =a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a r , 且向量组a 1,a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关. 证明已知的r 个等式可以写成⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , www.kh da w.c o m上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组: (1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7).解由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=00000059014110180590590141763451312141) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1T , a 2T , a 3T )=R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例, 故a 1T , a 2T 线性无关, 所以a 1T , a 2T 是一个最大无关组.14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1); ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125www.kh da w.c o m解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513143~r r r r --123r r -34rr -132rr -23rr +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5310531032104317312523~r r -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2). ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221114~r r -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222015120151201221143~r r ↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.15. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52001110311161101110311131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.www.kh da w.co m16. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由它们线性表示, 证明a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关. 证法一记A =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ), E =(e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n ). 由已知条件知, 存在矩阵K , 使E =AK .两边取行列式, 得|E |=|A ||K |.可见|A |≠0, 所以R (A )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.证法二因为e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示, 所以R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )≤R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ),而R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )=n , R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )≤n , 所以R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅,a n )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.17. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n 维向量都可由它们线性表示.证明必要性: 设a 为任一n 维向量. 因为a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关, 而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n , a 是n +1个n 维向量, 是线性相关的, 所以a 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示, 且表示式是唯一的.充分性: 已知任一n 维向量都可由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示,故单位坐标向量组e 1, e 2, ⋅ ⋅ ⋅, e n 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示, 于是有n =R (e 1, e 2, ⋅ ⋅ ⋅, e n )≤R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )≤n ,即R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )=n , 所以a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.www.kh da w.c o m18. 设向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 且a 1≠0, 证明存在某个向量a k (2≤k ≤m ), 使a k 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a k -1线性表示.证明因为a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 所以存在不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm , 使λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m =0,而且λ2, λ3,⋅ ⋅ ⋅, λm 不全为零. 这是因为, 如若不然, 则λ1a 1=0, 由a 1≠0知λ1=0, 矛盾. 因此存在k (2≤k ≤m ), 使λk ≠0, λk +1=λk +2= ⋅ ⋅ ⋅ =λm =0,于是λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λk a k =0,a k =-(1/λk )(λ1a 1+λ2a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λk -1a k -1),即a k 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a k -1线性表示.19. 设向量组B : b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r 能由向量组A : a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s 线性表示为(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )=(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s )K , 其中K 为s ⨯r 矩阵, 且A 组线性无关.证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r .证明令B =(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r ), A =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s ), 则有B =AK .必要性: 设向量组B 线性无关.由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质, 有 r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ), 及 R (K )≤min{r , s }≤r .www.kh da w.c o m因此R (K )=r .充分性: 因为R (K )=r , 所以存在可逆矩阵C , 使为K 的标准形. 于是⎪⎭⎫⎝⎛=O E KC r (b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )C =( a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s )KC =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r ). 因为C 可逆, 所以R (b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )=R (a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r )=r , 从而b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r 线性无关.20. 设⎪⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=-1321312321 n n nn ααααβαααβαααβ, 证明向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价.证明将已知关系写成⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅0111101111011110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为0)1()1(0111101111011110||1≠--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-n K n , 所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1, α2,⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1,www.k h da w.c o mα2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价.21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关.(1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ;解因为AP =A (x , A x , A 2x ) =(A x , A 2x , A 3x ) =(A x , A 2x , 3A x -A 2x ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110301000) , ,(2x x x A A ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110301000B .(2)求|A |.解由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3,|A |=0.22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A ,于是得www.kh da w.co m⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x .取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T .因此方程组的基础解系为 ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x .解对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A ,于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x .取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .(3)nx 1 +(n -1)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +2x n -1+x n =0.解原方程组即为x n =-nx 1-(n -1)x 2- ⋅ ⋅ ⋅ -2x n -1.取x 1=1, x 2=x 3= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-n ;取x 2=1, x 1=x 3=x 4= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-(n -1)=-n +1;www.kh da w.c o m⋅ ⋅ ⋅ ;取x n -1=1, x 1=x 2= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -2=0, 得x n =-2. 因此方程组的基础解系为 ξ1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n )T ,ξ2=(0, 1, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n +1)T , ⋅ ⋅ ⋅,ξn -1=(0, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 1, -2)T .23. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛--=82593122A , 求一个4⨯2矩阵B , 使AB =0, 且 R (B )=2. 解显然B 的两个列向量应是方程组AB =0的两个线性无关的解. 因为, ⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=8/118/5108/18/101 82593122~rA 所以与方程组AB =0同解方程组为.⎩⎨⎧+=-=432431)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x 取(x 3, x 4)T =(8, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 5)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 8)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 11)T . 方程组AB =0的基础解系为ξ1=(1, 5, 8, 0)T , ξ2=(-1, 11, 0, 8)T . 因此所求矩阵为. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=800811511B www.kh da w.co m24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为ξ1=(0, 1, 2, 3)T , ξ2=(3, 2, 1, 0)T .解显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x , 即, (k ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==142132********k x k k x k k x k x 1, k 2∈R ),消去k 1, k 2得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x , 此即所求的齐次线性方程组.25. 设四元齐次线性方程组I : , II :⎩⎨⎧=-=+004221x x x x ⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x . 求: (1)方程I 与II 的基础解系; (2) I 与II 的公共解.解 (1)由方程I 得.⎩⎨⎧=-=4241x x x x 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 0)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 1)T . 因此方程I 的基础解系为ξ1=(0, 0, 1, 0)T , ξ2=(-1, 1, 0, 1)T . 由方程II 得.⎩⎨⎧-=-=43241x x x x x 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T ;www.kh da w.c o m取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, -1)T . 因此方程II 的基础解系为ξ1=(0, 1, 1, 0)T , ξ2=(-1, -1, 0, 1)T . (2) I 与II 的公共解就是方程III : ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-=+00004323214221x x x x x x x x x x的解. 因为方程组III 的系数矩阵, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=000210010101001 1110011110100011~r A 所以与方程组III 同解的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==-=4342412x x x x x x .取x 4=1, 得(x 1, x 2, x 3)T =(-1, 1, 2)T , 方程组III 的基础解系为ξ=(-1, 1, 2, 1)T . 因此I 与II 的公共解为x =c (-1, 1, 2, 1)T , c ∈R .26. 设n 阶矩阵A 满足A 2=A , E 为n 阶单位矩阵, 证明R (A )+R (A -E )=n .证明因为A (A -E )=A 2-A =A -A =0, 所以R (A )+R (A -E )≤n . 又R (A -E )=R (E -A ), 可知R (A )+R (A -E )=R (A )+R (E -A )≥R (A +E -A )=R (E )=n ,由此R (A )+R (A -E )=n .www.kh da w.c o m27. 设A 为n 阶矩阵(n ≥2), A *为A 的伴随阵, 证明⎪⎩⎪⎨⎧-≤-===2)( 01)( 1)( *)(n A R n A R n A R n A R 当当当.证明当R (A )=n 时, |A |≠0, 故有 |AA *|=||A |E |=|A |≠0, |A *|≠0, 所以R (A *)=n .当R (A )=n -1时, |A |=0, 故有 AA *=|A |E =0,即A *的列向量都是方程组A x =0的解. 因为R (A )=n -1, 所以方程组A x =0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R (A *)=1.当R (A )≤n -2时, A 中每个元素的代数余子式都为0, 故A *=O , 从而R (A *)=0. 28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ;解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . www.kh da w.c o m当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x .解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B .与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x .当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解 η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .www.kh da w.co m29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知η1, η2, η3是它的三个解向量. 且η1=(2, 3, 4, 5)T , η2+η3=(1, 2, 3, 4)T ,求该方程组的通解.解由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于η1, η2, η3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3, 4, 5, 6)T为其基础解系向量, 故此方程组的通解:x =k (3, 4, 5, 6)T +(2, 3, 4, 5)T , (k ∈R ).30. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1, 4)T , 及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时 (1)向量b 不能由向量组A 线性表示;(2)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一;(3)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11054211121) , , ,(123βαb a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++---βαβαα34001110121 ~r .(1)当α=-4, β≠0时, R (A )≠R (A , b ), 此时向量b 不能由向量组A 线性表示.(2)当α≠-4时, R (A )=R (A , b )=3, 此时向量组a 1, a 2, a 3线性无关, 而向量组a 1, a 2, a 3, b 线性相关, 故向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一.www.kh da w.c o m(3)当α=-4, β=0时, R (A )=R (A , b )=2, 此时向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一. 当α=-4, β=0时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1105402111421) , , ,(123b a a a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000013101201 ~r ,方程组(a 3, a 2, a 1)x =b 的解为, c ∈R .⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c c c c x x x 1312011132321因此 b =(2c +1)a 3+(-3c -1)a 2+c a 1,即 b = c a 1+(-3c -1)a 2+(2c +1)a 3, c ∈R .31. 设a =(a 1, a 2, a 3)T , b =(b 1, b 2, b 3)T , c =(c 1, c 2, c 3)T , 证明三直线l 1: a 1x +b 1y +c 1=0,l 2: a 2x +b 2y +c 2=0, (a i 2+b i 2≠0, i =1, 2, 3) l 3: a 3x +b 3y +c 3=0,相交于一点的充分必要条件为: 向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333222111c y b x a c y b x a c y b x a , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+333222111c y b x a c y b x a c y b x a有唯一解. 上述方程组可写为x a +y b =-c . 因此三直线相交于一www.kh da w.c o m点的充分必要条件为c 能由a , b 唯一线性表示, 而c 能由a , b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.32. 设矩阵A =(a 1, a 2, a 3, a 4), 其中a 2, a 3, a 4线性无关,a 1=2a 2- a 3. 向量b =a 1+a 2+a 3+a 4, 求方程A x =b 的通解. 解由b =a 1+a 2+a 3+a 4知η=(1, 1, 1, 1)T 是方程A x =b 的一个解.由a 1=2a 2- a 3得a 1-2a 2+a 3=0, 知ξ=(1, -2, 1, 0)T 是A x =0的一个解. 由a 2, a 3, a 4线性无关知R (A )=3, 故方程A x =b 所对应的齐次方程A x =0的基础解系中含一个解向量. 因此ξ=(1, -2, 1, 0)T 是方程A x =0的基础解系.方程A x =b 的通解为x =c (1, -2, 1, 0)T +(1, 1, 1, 1)T , c ∈R .33. 设η*是非齐次线性方程组A x =b 的一个解, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅,ξn -r ,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明: (1)η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性无关;(2)η*, η*+ξ1, η*+ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, η*+ξn -r 线性无关.证明 (1)反证法, 假设η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性相关. 因为ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性无关, 而η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性相关, 所以η*可由ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性表示, 且表示式是唯一的, 这说明η*也是齐次线性方程组的解, 矛盾.(2)显然向量组η*, η*+ξ1, η*+ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, η*+ξn -r 与向量组η*, w w w .k h d a w .c o mξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 可以相互表示, 故这两个向量组等价, 而由(1)知向量组η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性无关, 所以向量组η*, η*+ξ1, η*+ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, η*+ξn -r 也线性无关.34. 设η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηs 是非齐次线性方程组A x =b 的s 个解, k 1, k 2, ⋅ ⋅ ⋅, k s 为实数, 满足k 1+k 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k s =1. 证明x =k 1η1+k 2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k s ηs也是它的解.证明因为η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηs 都是方程组A x =b 的解, 所以 A ηi =b (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, s ),从而 A (k 1η1+k 2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k s ηs )=k 1A η1+k 2A η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k s A ηs =(k 1+k 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k s )b =b .因此x =k 1η1+k 2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k s ηs 也是方程的解.35. 设非齐次线性方程组A x =b 的系数矩阵的秩为r , η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηn -r +1是它的n -r +1个线性无关的解. 试证它的任一解可表示为x =k 1η1+k 2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n -r +1ηn -r +1, (其中k 1+k 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n -r +1=1). 证明因为η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηn -r +1均为A x =b 的解, 所以ξ1=η2-η1, ξ2=η3-η1, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r =η n -r +1-η1均为A x =b 的解. 用反证法证: ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性无关. 设它们线性相关, 则存在不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn -r , 使得 λ1ξ1+ λ2ξ2+ ⋅ ⋅ ⋅ + λ n -r ξ n -r =0, w ww .k h d a w .c o m即 λ1(η2-η1)+ λ2(η3-η1)+ ⋅ ⋅ ⋅ + λ n -r (ηn -r +1-η1)=0, 亦即 -(λ1+λ2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λn -r )η1+λ1η2+λ2η3+ ⋅ ⋅ ⋅ +λ n -r ηn -r +1=0, 由η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηn -r +1线性无关知-(λ1+λ2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λn -r )=λ1=λ2= ⋅ ⋅ ⋅ =λn -r =0,矛盾. 因此ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性无关. ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 为A x =b 的一个基础解系.设x 为A x =b 的任意解, 则x -η1为A x =0的解, 故x -η1可由ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性表出, 设x -η1=k 2ξ1+k 3ξ2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n -r +1ξn -r =k 2(η2-η1)+k 3(η3-η1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n -r +1(ηn -r +1-η1), x =η1(1-k 2-k 3 ⋅ ⋅ ⋅ -k n -r +1)+k 2η2+k 3η3+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n -r +1ηn -r +1. 令k 1=1-k 2-k 3 ⋅ ⋅ ⋅ -k n -r +1, 则k 1+k 2+k 3 ⋅ ⋅ ⋅ -k n -r +1=1, 于是 x =k 1η1+k 2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n -r +1ηn -r +1.36. 设V 1={x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅, x n )T | x 1, ⋅ ⋅ ⋅, x n ∈R 满足x 1+x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n =0}, V 2={x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅, x n )T | x 1, ⋅ ⋅ ⋅, x n ∈R 满足x 1+x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n =1}, 问V 1, V 2是不是向量空间？为什么？解 V 1是向量空间, 因为任取α=(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )T ∈V 1, β=(b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b n )T ∈V 1, λ∈∈R ,有 a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n =0, b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n =0,从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n +b n )=(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=0, λa 1+λa 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λa n =λ(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )=0, w w w .k h d a w .c o m所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∈V 1, λα=(λa 1, λa 2, ⋅ ⋅ ⋅, λa n )T ∈V 1. V 2不是向量空间, 因为任取 α=(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )T ∈V 1, β=(b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b n )T ∈V 1,有 a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n =1,b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n =1,从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n +b n ) =(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=2, 所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∉V 1.37. 试证: 由a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 0, 1)T , a 3=(1, 1, 0)T 所生成的向量空间就是R 3. 证明设A =(a 1, a 2, a 3), 由020********||≠-==A , 知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3是三维空间R 3的一组基, 因此由a 1, a 2, a 3所生成的向量空间就是R 3.38. 由a 1=(1, 1, 0, 0)T , a 2=(1, 0, 1, 1)T 所生成的向量空间记作V 1,由b 1=(2, -1, 3, 3)T , b 2=(0, 1, -1, -1)T 所生成的向量空间记作V 2, 试证V 1=V 2.证明设A =(a 1, a 2), B =(b 1, b 2). 显然R (A )=R (B )=2, 又由 w w w .k h d a w .c o m, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000000013100211 1310131011010211) ,(~r B A 知R (A , B )=2, 所以R (A )=R (B )=R (A , B ), 从而向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价. 因为向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价, 所以这两个向量组所生成的向量空间相同, 即V 1=V 2.39. 验证a 1=(1, -1, 0)T , a 2=(2, 1, 3)T , a 3=(3, 1, 2)T 为R 3的一个基, 并把v 1=(5, 0, 7)T , v 2=(-9, -8, -13)T 用这个基线性表示. 解设A =(a 1, a 2, a 3). 由06230111321|) , ,(|321≠-=-=a a a , 知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3为R 3的一个基. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 1, 则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=2, x 2=3, x 3=-1, 故线性表示为v 1=2a 1+3a 2-a 3. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 2, 则 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=3, x 2=-3, x 3=-2, 故线性表示为v 2=3a 1-3a 2-2a 3. w ww .k h d a w .c o m40. 已知R 3的两个基为 a 1=(1, 1, 1)T , a 2=(1, 0, -1)T , a 3=(1, 0, 1)T , b 1=(1, 2, 1)T , b 2=(2, 3, 4)T , b 3=(3, 4, 3)T . 求由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵P . 解设e 1, e 2, e 3是三维单位坐标向量组, 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111001111) , ,() , ,(321321e e e a a a , 1321321111001111) , ,() , ,(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a e e e , 于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=341432321) , ,() , ,(321321e e e b b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-341432321111001111) , ,(1321a a a , 由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1010104323414323211110011111P .w w w .k h d a w .c o m。