第四讲 平稳随机过程及其遍历性
平稳随机过程
x1 , , t n
即 ： t 1 , t n 和 t 1 , , t n 为强平稳过程。
具 有 相 同 的 分 布 ， 称 t
强平稳过程的一切有穷维分布函数不随时间的变化而变化，这样的 要求过于苛刻，同时要判断一个过程是否为强平稳过程也是相当困 难的.
E t t R
与 t 无 关 ， 则 称 t , t T 为 弱 平 稳 过 程 （ 简 称 平 稳 过 程 ） 。 当 T 为 离 散 集 时 ， t , t T 为 平 稳 时 间 序 列 。 一般说来，强平稳过程未必是弱平稳过程，显然弱平稳 过程更不是强平稳过程。 强平稳过程 二阶矩过程 弱平稳过程
2 平稳过程的相关函数
自相关函数的意义： 平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过 自相关函数来描述 自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联 系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函 数的性质
设 X t 和 Y t 是 平 稳 相 关 过 程 ， R X , R Y 和 R X Y 分别是它们的自相关函数和互相关函数。 相关函数具有如下的性质：
定 义 6 .1 .2 t , t T 为 二 阶 矩 过 程 ， 且 满 足 ： （ 1） 对 一 切 t T ，
t
E t 常 数 C
（ 2） 对 任 意 的 t , t T ， R
t ,t
0 , X t2
t1 同 分 布 ， 因 此 自 相 关
函 数 仅 是 时 间 差 t1 t 2 的 函 数 。 从 而 协 方 差 函 数 C X 方差函数
平稳随机过程和各态历经过程ppt课件
当两个随机过程 X (t)和Y (t)分别是广义 平稳过程时 , 若它们的互相关函数满 足 :
RXY (t1, t1 ) E[ X (t1)Y (t1 )] RXY ( )
则称X (t)和Y (t)是联合广义平稳过程 , 或 称为联合宽平稳过程 .
各态历经性
• 平稳随机过程在满足一定条件下有一个 有趣而又非常有用的特性， 称为“各态 历经性”。
X (t)Y (t ) lim 1 T 2T
T
T X (t)Y (t )dt RXY ( )
则称它们是联合各态历经过程.
• 平稳随机过程的定义说明：当取样点在时 间轴上作任意平移时，随机过程的所有有 限维分布函数是不变的。
• 推论：一维分布与时间t无关， 二维分布 只与时间间隔τ有关。从而有
E[ (t)] x1 f1( x1, )dx1 a
• R(t1, t2)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］
=R(t1, t1+τ)=R(τ)
随机过程的各个样 本函数都同样地经 历了随机过程的各 种可能状态，因此 从随机过程的任何 一个样本函数就能
得到随机过程的全部统计信息，任何一个样本函 数的特性都能充分地代表整个随机过程的特性。
1. 对于二阶平稳过程X (t), 若X (t) E[ X (t)] mX以概 率1成立,则称随机过程X (t)的均值具有各态历经性.
X (t) X (t ) lim 1
T
X (t) X (t )dt
T 2T T
3、 若X (t)的均值和自相关函数都具有各态历经性,
且X (t)是广义平稳过程,则称X (t)是广义各态历经 过程, 简称为各态历经过程.
4、 如果两个随机过程X (t)和Y (t)都是各态历经过程,
平稳随机过程
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]
T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0
平稳过程的遍历性
CX
(0)
+
2ε
若令
T1 T
C
X
(0)
<
ε
则当 T > T1CX (0) 时有 ε
∫1
T
2T 0
⎜⎛1 ⎝
−
τ 2T
⎟⎠⎞CX
(τ
)dτ
< 3ε
∫ 此即
1 T
2T 0
⎜⎛1 − ⎝
τ 2T
⎟⎞C ⎠
X
(τ )dτ
→
0
注 设{X(t),t 0}是一均方连续的平稳过程,则X(t)的
均值遍历性定义可改为
lim
a cos X
2 ⋅sinωT
=0
T →+∞ 2T
−T
T →+∞ 2T ⋅ω
∫ < X(t)X(t +τ ) >= lim 1
T
X(t)X(t +τ )dt
T→+∞ 2T −T
∫ = lim 1
T
acos(ω t + X)acos(ω(t +τ) + X)dt
T→+∞ 2T −T
∫ = lim a 2 1
T
X(t)dt
T→+∞ 2T −T
∫ = lim 1
T
Ydt = Y
T→+∞ 2T −T
∫ < X(t)X(t +τ) >= lim 1
T
X(t)X(t +τ)dt
T→+∞ 2T −T
∫ = lim 1 T Y ⋅ Ydt = Y 2 T →+∞ 2T −T
二 遍历性 各态历经性
平稳随机过程
相关时间：
0 rX ( )d
0
rX ( )
1
rX ( 0 ) 0.05
0
0
相关时间示意图
2.3 平稳随机过程
4 2 0 -2 -4
10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50数
0 100
相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依 赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小，反映随 机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越缓慢
2 mX RX 2 () 100 2
2 2 X RX (0) mX 200
E[ X 2 (t )] RX (0) 300
2.3 平稳随机过程
3 相关系数及相关时间 也称为归一化协 方差函数或标准 协方差函数。
相关系数：
rX ( )
K X ( )
2 X
2 RX ( ) mX 2 X
for Nk k=2 称为二阶严平稳,如果对N=k成立,那么对N<k也成立. (2) 渐近严平稳 当c时,X(t+c)的任意n维分布与c无关,即
lim f X ( x1 , x2 , , xN , t1 c, t2 c, , t N c)
c
存在,且与c无关.
(3) 循环平稳 如果X(t)的分布函数满足如下关系
2.3 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义 严格 平稳 随机 过程 如果随机过程的任意n维分布不随时间起 点变化，即当时间平移时，其任意的n维 概率密度不变，则称是严格平稳的随机过 程或称为狭义平稳随机过程。
f X ( x1 ,, xn , t1 t ,, t n t ) f X ( x1 ,, xn , t1 ,, t n )
4平稳随机过程
4．平稳相关与互相关函数
（1）定义: 设{X(t)},{Y(t)},t∈T为两个平稳过程， 定义 如果它们的互相关函数RXY(t,t+τ)只是τ 的函数,即 RXY(t,t+τ)=E[X(t)Y(t+τ)]= RXY(τ),则称{X(t)},{Y(t)} 是平稳相关的，或称{X(t)}与{Y(t)}是联合平稳过程. 并称 RXY(τ)=E[X(t)Y(t+τ)] 为{X(t)}与{Y(t)}的互相关函数。
3．自相关函数的性质
性质1.Rx(0)≥0； 证: Rx(0)=E[X2(t)]≥0
R(τ)
0
τ
性质2. Rx(τ)为偶函数，即Rx(-τ)=Rx(τ) 证： Rx(-τ)=E[X(t)X(t-τ)]= E[X(t-τ)X(t)]= Rx(τ) 性质3.|Rx(τ)|≤ Rx(0) 证：由柯西-施瓦兹不等式
且E[Xn]=0,D(Xn)=σ2>0,讨论其平稳性. 解: 因为E[Xn]=0,
σ 2 E[ X n X m ] = 0 n=m n≠m
故其均值函数µX(n)=0为常数,其自相关函数 RX(n,m)只 与m-n有关,所以它是平稳时间序列。
例2:随机相位正弦波X(t)=acos(ω0t+Θ) ，a, ω0为常数，
例2: 设X(t)=Asin(ωt+Θ)，Y(t)=Bsin(ωt+Θ-Φ),A,B,
Φ, ω为常数，Θ在(0,2π)上服从均匀分布，求RXY(τ)。 解: X(t),Y(t)均为平稳过程.
R XY (τ ) = E[ X ( t )Y ( t + τ )]
= E [ A sin(ω t + Θ ) B sin(ω t + ω τ + Θ − Φ )]
随机过程平稳性遍历性正交性不相关性和独立性ppt课件
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相反，如果X与Y不相关，则X与Y不一定独立。 不相关和相互独立一般不等价，只有当过程为高斯过程时才成立。 相关性描述的是两个随机变量之间是否存在线性关系，而独立性考察的则是两个随机 变量间是否存在某种关系，因此独立的条件要比不相关严格。
（2）若这两个随机过程正交，则
=0，两个正交的随机过程并非一
定能推得不相关或独立的结论。仅当数学期望Ex(t)或Ey(t)等于零的时候，这两个正
注意：具有各态历经性的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立 。
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正交性、不相关性与独立性
1. 正交性：定义
为相关函数，R若 0
eg:sinx与cosx
注意：相关函数为0，不是不相关，而是正交。
则称XY正交
2.不相关性：定义 协方差函数
若 C X 0，即相关系数为0，则称之为不相关； 注意：不相关只是说二者没有线形关系，但并不代表没有任何关系。
•定义：
假设是平稳过程的任意一次实现（样本），由于它是时间的确定函数，可以求 得它的时间平均值。其时间平均值和时间相关函数分别定义为
ax(t)lim1
T2
x(t)dt
T T T2
R () x (t)x (t) lim 1T2x (t)x (t)d t T T T2
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随机过程的遍历性
严平稳与宽平稳的关系：
严格平稳
一定 广义平稳
不一定
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
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平稳各态遍历随机过程的概念
平稳各态遍历随机过程的概念
一、平稳性
平稳性是指一个随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。
具体来说，如果一个随机过程在时间t的取值与时间0的取值之间的统计特性没有差异，那么我们称这个随机过程是平稳的。
平稳性是一种重要的性质，因为它可以让我们更好地理解随机过程的特性，并且简化了一些分析和计算。
二、各态遍历性
各态遍历性是指一个随机过程在足够长的时间后能够访问其所有可能的取值。
也就是说，无论随机过程从哪个初始状态开始，或者经历什么样的噪声干扰，它最终都会遍历所有的可能状态。
各态遍历性是马尔可夫过程的特性之一，这种过程是一种在每个时刻都只依赖于其当前状态的过程。
三、遍历性
遍历性是指一个随机过程能够访问其所有可能的取值，并且这个过程是无后效性的。
也就是说，在每个时间点上，下一个状态的取值只依赖于当前的状态，而与过去的状态无关。
遍历性是马尔可夫链和马尔可夫过程的特性之一，这种特性使得我们可以通过研究每个状态的概率分布来理解整个过程的统计特性。
四、随机过程
随机过程是一种数学模型，用于描述在时间演化过程中随机变化的量。
这个概念广泛用于各种领域，包括物理学、经济学、生物学等。
随机过程可以由一组随机变量构成，这些变量是在不同的时间点上取值的，并且这些变量的取值是随机的。
根据不同的特性，随机过程可以分为不同的类型，如马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。
随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述
关于平稳过程中的各态历经性的综述首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。
在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。
有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。
严格地说，如果对于任意的n （=1，2…），12,,t t t T ∈n …,和任意实数h,当12,,n t h t h t h T+++∈…,时，n 维随机变量（X(1t ),X(2t ),…,X(t n )）和 （X （1t h +）,X （2t h +）,…,X （n t h +）） 具有相同的分布函数，则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程。
在实际工作中，确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。
而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布，这在实际问题中往往不易办到，因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数。
但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，就会提出这样一个问题：能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢？所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。
定义 设X （t ）是均方连续平稳随机过程，如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈X （t ）〉存在，即〈X （t ）〉=1lim()2T TT X t dtT-→∞⎰存在，而且〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=X μ依概率1相等。
即〈X （t ）〉依概率1等于X μ= E ｛X （t ）｝, X μ代表随机过程的集平均（或称统计平均），则称该过程的均值具有各态历经性。
2-2-平稳随机过程和各态历经过程
2.2 平稳随机过程和各态历经过程
A2 2
cosc
14
例题
比较统计平均（例1）与时间平均，得
mX= mX
R(τ)= R( )
因此，随机相位余弦波是各态历经过程。
15
2、应用
一般随机过程的时间平均是随机变量，但各态历经过程 的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数不可能无限长， 只要足够长即可。
A
2
[cosct
2
0
cosd
sin ct
2
0
sind ] 0(常数）
8
例题
X(t)的自相关函数为
R(t1, t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
E[ A cos(ct1 ) A cos(ct2 )]
A2 2
E cosc (t2
t1) cos[c (t2
t1) 2 ]
2 X
mX2
此值在[－1，1]之间。rX ( ) 0 表示不相关，rX ( ) 1 表
示完全相关。rX ( ) 0 表示正相关，表明两个不同时刻起
伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。
27
相关时间
当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个不同 时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。
22
⑵ R(τ) =R(-τ) [R(τ)是偶函数]
证明：
R( ) E[X (t)X (t )],令t ' t ,即t t '
2.2平稳随机过程和各态历经过程
随机过程 X (t )的时间自相关函数定义 为 : 1 T X (t ) X (t + τ ) = lim ∫−T X (t ) X (t + τ ) dt T → ∞ 2T
3、 若 X (t )的均值和自相关函数都 具有各态历经性 , 且 X (t ) 是广义平稳过程 , 则称 X (t ) 是广义各态历经 过程 , 简称为各态历经过程 .
f X (x1, x2; t1, t2 ) = f X (x1, x2;0, t2 − t1), 令τ = t2 − t1 f X (x1, x2; t1, t2 ) = f X (x1, x2;τ )
R X (t1 , t 2 ) = ∫ =∫
∞ ∞ ∞
∫−∞ x1x2 f X ( x1, x2 ; t1, t2 )dx1dx2 −∞
∫−∞ x1x2 f X ( x1, x2 ;τ )dx1dx2 = RX (τ ) −∞
∞
严平稳过程X(t) 严平稳过程X(t)的自相关函数和协方差 X(t)的自相关函数和协方差 的函数。 函数都只是时间间隔 τ = t 2 − t1 的函数。
2 C X (τ ) = RX (τ ) − m X
2 当 τ = 0时 , C X ( 0 ) = R X ( 0 ) − m 2 = σ X X
一阶平稳过程的概率密度满足f X ( x, t ) = f X ( x) 二阶平稳过程的概率密度同时满足上式和下式 f X ( x1, x2 ; t1, t 2 ) = f X ( x1, x2 ;τ )
如果两个随机过程 X (t )和Y (t )的任意 n + m维联合 概率密度满足 :
' ' f XY ( x1 , x2 , L , xn , y1 , y 2 , L , y m ; t1 , t 2 , L , t n , t1' , t 2 , L , t m ) =
随机过程平稳性遍历性正交性不相关性和独立性
随机过程的遍历性
1 a x(t ) lim T T
T 2
T 2
x(t ) dt
1 T2 R( ) x(t ) x(t ) lim x(t ) x(t )dt T T T 2
如果平稳过程使下式成立
a a R( ) R( )
随机过程
1 2
平稳性 遍历性 正交性、不相关性与独立性 正态随机过程的主要性质
3
4
随机过程的平稳性 ， f ( x, y, z, t ) f ( x, y, z, t )，当 x x x 的特性不变，就称 f ( x, y, z, t ) 关于 x 函数是平稳的。 平稳性：若一个函数 判断方法： 方法一： 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X (t )]与时间t 无关。 方法二：若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0 ， X(t0)具有相同的统计特性。 实际意义：
严格平稳
一定
广义平稳
不一定
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
随机过程的遍历性
• 实际意义： 随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计 平均，但在实际过程中很难测得大量的样本。因此，我们想在满足一定条件下， 从一次试验中得到一个样本函数来决定平稳过程的数字特征，这就是各态历经 性，又称遍历性。
3.高斯过程有很多与高斯变量类似的统计特征，如：
•
• • • •
高斯过程通过线性系统或高斯过程的线性组合仍为高斯型。
如果高斯过程是广义平稳的，则等价于平稳。 如果高斯过程的时间进程中两个不同时刻的随机变量不相关，则等价于统计独立。 高斯过程的线性积分则为相应的高斯随机变量。 两个高斯分布律的随机变量的卷积是高斯分布律，它的均值和方差是原来两个高斯分 布律的均值和方差的代数和。
平稳随机过程
平稳随机过程平稳随机过程的是一种特殊而又广泛应用的随机过程。
一、平稳随机过程定义1.狭义平稳定义随机过程的维分布函数或维概率密度函数与时间起点无关，即对于任何和，随机过程的维概率密度函数满足则称是在严格意义下的平稳随机过程。
简称严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。
它的一维概率密度函数与时间无关，即而二维概率密度函数仅依赖于时间间隔有关，即 2.广义平稳定义：若随机过程的数学期望及方差与时间无关，而自相关函数仅与时间间隔有关，即则称为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程。
通信系统中所遇到的信号及噪声大多数可视为广义平稳随机过程。
以后讨论平稳随机过程除特殊说明外均指广义平稳随机过程。
二、各态历经性各态历经性是平稳随机过程在满足一定条件下的一个非常重要的特性。
设是平稳随机过程中任取的一个样本函数，若的数字特征（统计平均）可由的时间平均值替代，即则称随机过程具有各态历经性。
“各态历经”的含义：从随机过程中得到的任何一个样本函数，都经历了随机过程的所有可能状态。
因此，可用一个样本函数得统计特性来了解整个过程的统计特性，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。
注意：只有平稳随机过程才可能具有各态历经性，但在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经性条件。
三、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度1.平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的定义式性质：（1）（的平均功率）（2）（是偶函数）（3）（时有最大值，为上界值）（4）（的直流功率）（5）（方差，为的交流功率）由上述性质可知，用自相关函数可表述的几乎所有的数字特征，因而具有实用意义。
例3.3.1 设随机过程，其中是在内均匀分布的随机变量。
试证明：（1）是广义平稳的；（2）试说明它的自相关函数的性质。
证明：(1)按题意，随机相位的概率密度函数为则的数学期望为的自相关函数为令，得。
平稳随机过程
即二阶矩过程X (t ) 的协方差函数存在
注
二阶矩过程的相关函数 R(t1 , t 2 ) 也一定存在。
注1
严平稳过程不一定是宽平稳过程。
因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。
注2 宽平稳过程也不一定是严平稳过程。 因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推 移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间 而推移。
R( t , t ) E[ X ( t ) X (0)][ X ( t ) X (0)]
RX ( ) X (0){ E[ X (t )] E[ X (t )]} X 2 (0),
可见Y ( t ) X ( t ) X (0) 不是平稳过程.
注3
利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程 的平稳性。
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
定义
同时考虑两个平稳过程: X ( t ) 和 Y ( t ) .
如果它们的互相关函数也只是时间差的单
变量函数, 即
( 2) 设平稳过程X ( t )的自相关函数
Rx (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]存在.
那么平稳过程的自相关 函数仅是t 2 t1 的单
变函数. (即不随时间的推移而变化).
协方差函数可以表示为
C X ( ) E{[ X ( t ) X ][ X ( t ) X ]}
f (t；x) f (0；x) f ( x)
即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与t无关， 即
第四讲 平稳随机过程及其遍历性
?
R (?) X
KX (t1,t2 ) ? RX (t1, t2 ) ? mX (t1 )mX (t2 )
相关平稳
?
R X
(?
)
?
mX2
?
Kx (? )
若 t2
? t1
，则 KX (0) ?
RX (0) ? mX2
?
?
2 X
《随机信号分析》教学组
7
《随机信号分析》教学组
8
(3) 严平稳随机过程的判断
? E[ XY]cos t1 sin t2 ? E[ YX]sin t1 cos t2
? 2 cos t1 cos t2 ? 2sin t1 sin t2
? 2 cos(t1 ? t2 )
? 2cos ?
? ? t1 ? t2
RZ (0) ? 2 ? ?
Z(t)是广义平稳的。
《随机信号分析》教学组
16
RX (t1,t2 ) ? E[ X(t1) X(t2 )] ? RX (? ) ? 2 (t) ? E[X 2 (t)] ? ?
X
则称X(t) 为宽平稳或广义平稳随机过程。
严平稳与宽平稳的关系：
严格平稳
一定 广义平稳
不一定
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
《随机信号分析》教学组
11
? ? ? 2 ? cos3 t ? sin3 t
Z(t)不是严格平稳的。
《随机信号分析》教学组
17
例 设随机过程X(t)=At ，A为标准正态分布 的随机变量。试问 X(t) 是否平稳？
《随机信号分析》教学组
18
解 E[ X(t)] ? E[ tA] ? tE[ A] ? 0
第四章 平稳随机过程
第四章 平稳随机过程第一节 平稳过程的概念一、两类平稳过程 1.严平稳过程定义1 设为随机过程，如果对任意正整数n 及任意，及任意实数τ, T t t t n ∈+++τττ,,,21 ，可使n 维随机变量与())(,),(),(21τττ+++n t X t X t X 有相同的分布，即的n 维分布函数Fn 满足：),,,;,,,(),,,;,,,(21212121τττ+++=n n n n n n t t t x x x F t t t x x x F 对一切,2,1,=i x i 成立则称 为严平稳过程，（强平稳过程，狭义平稳过程）。
定理1设 为严平稳过程，如果对任意 ，则有证：首先利用柯西—许瓦兹不等式可以证明 ，即自相关函数存在。
又由于 为严平稳过程，故对任意有相同的分布，所以再由s 、t 的任意性可知又对任意 及任意τ，使 T t s ∈++ττ,，有))(),(())(),((ττ++t X s X t X s X 与同分布，于是[]),()()()]()([),(ττττ++=++==t s R t X s X E t X s X E t s R X X )(),0(s t R s t R s X X ---=记令τ 2.宽平稳过程定义2 设有随机过程，且对任意t ，，如果)(),()(ττμX X X R t t R t =+=常数则称 为宽平稳过程（弱平稳过程，广义平稳过程）。
以后涉及的平稳过程均指宽平稳过程。
严平稳过程与宽平稳过程的关系：严平稳过程不一定是宽平稳过程，宽平稳过程也不一定是严平稳过程，但对于二阶矩过程，严平稳过程就是宽平稳过程。
正态过程的严平稳性与宽平稳性是等价的。
二、平稳过程的数字特征设为平稳过程，且，则)]([t X E X =μ为常数，称其为均值。
)]()([)(ττ+=t X t X E R X 为其τ的一元函数， （自相关函数）)]([22t X E X =ψ为常数，（均方值）)]([2t X D X =σ为常数，（方差）])(][)([)(X X X t X t X E C μτμτ-+-=为τ的一元函数，（自协方差函数） 它们之间有以下关系：（3）2)()(X X X R C μττ-=事实上，])(][)([)(X X X t X t X E C μτμτ-+-=2)]()([X t X t X E μτ-+=2)(XX R μτ-= 例1：（随机热噪声）设是两两不相关的随机序列，即对任意。
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一 平稳随机过程
1 严平稳随机过程 (1) 定义 如果随机过程的 任意n维分布不随时间起点 变化，即当时间平移时，其任意的 n维概率密度 不变，则称是 严（格）平稳的随机过程 或称为 狭义平稳随机过程 。
fX (x1,? , xn ,t1 ? ? t,? ,tn ? ?t) ? fX (x1,? , xn,t1,? ,tn )
n ? 1,? t ? ?t1 时，对于一维概率密度有： fX (x1,t1 ? ? t) ? fX (x1,t1) ? fX (x1,0) ? fX (x1)
SSS.R.S. 由同分布随机 变量组成，一维的分布 函数，概率密度函数相 同。
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随机过程X(t) 的均值，均方值和方差都是平稳的
按照严平稳随机过程的定义，判断一个随机过程是 否为严平稳，需要知道其n维概率密度，可是求n维概 率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就可 以判断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：
1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[Xk (t)]
与时间t无关。
2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0 ， X(t0)具 有相同的统计特性。
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?
? E[ X(t)] ? ?? xfX (x)dx ? mX
都与时间t无关
? E[ X2 (t)] ?
? ??
x2 fX (x)dx
?
?
2 X
? D[ X(t)] ?
? ??
(x?
mX )2
fX (x)dx
?
?
2 X
均值为常数，我们称为均值平稳。可见，一阶平稳平稳 一定均值平稳，但均值平稳不一定一阶平稳。如：
n ? 2,? t ? ?t1,? ? t2 ? t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2,t1,t2) ? fX (x1, x2,t1 ? ? t,t2 ? ? t)
? fX (x1, x2,0, t2 ? t1) ? fX (x1, x2,?)
从概率密度函数的角度讲，高阶平稳一定低阶平稳
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为什么要研究宽平稳随机过程 ?
随机过程可分为平稳和非平稳两大类 , 严格地说, 所有信号都是非平稳的 , 但是, 在自然界和实际应用 中许多随机过程可以近似为平稳信号 。且平稳信号 分析要容易得多， 理论成熟，是随机信号分析的基 础。
物理规律或统计结果与随机试验的时间起点无关， 在线性时不变系统中，输入宽平稳，输出也宽平稳。
?
R (?) X
KX (t1,t2 ) ? RX (t1, t2 ) ? mX (t1 )mX (t2 )
相关平稳
?
R X
(?
)
?
mX2
?
Kx (? )
若 t2
? t1
，则 KX (0) ?
RX (0) ? mX2
?
?
2 X
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(3) 严平稳随机过程的判断
（1）平稳随机过程表示噪声电压，一、二矩函数可以 表示噪声的平均功率的直流、交流分量以及总功率的重要参 数。
（2）工程中常见的随机过程是高斯过程，只要知道数 学期望和相关函数，则多维概率密度函数就确定了。
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2 宽(广义)平稳随机过程
若随机过程X(t)满足
mX (t) ? mX
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实际中，要确定一个对一切n都成立的随机过程概率密 度函数族是十分困难的，因而在工程中往往根据实际需要只 在相关理论范围内考虑平稳过程问题。
相关理论：只限于研究随机过程一阶和二阶矩的理论。 即研究随机过程的数学期望、相关函数以及功率谱密度等。
随机过程的一、二矩函数虽然不能像多维概率密度函数 那样全面的描述随机过程的统计特性，但它们在一定程度上 相当有效的描述了随机过程的重要特性。
均值均为0，均值平稳，但各时刻的R.V. 的分布不同。
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fX(x1,? , xn,t1 ? ? t,? ,tn ? ?t) ? fX(x1,? , xn,t1,? ,tn )
? 二阶平稳 (n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。
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fX (x1, x2, t1, t2 ) ? fX (x1, x2,? )
随机过程X(t)的自相关函数 ，自协方差函数 都是 平稳的。
都与时间无关
??
? ? RX (t1, t2 ) ? ?? ?? x1x2 fX (x1, x2 ;t2 ? t1)dx1dx2
??
? ? ?
??
??
x1x2 fX (x1, x2 ;? )dx1dx2
实际应用中，通过上式来判定过程的平稳性是很不容易的，因 此在实际中往往不需要所有时间都平稳，只要观测的有限时间 平稳就行了。
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fX(x1,? , xn,t1 ? ? t,? ,tn ? ?t) ? fX(x1,? , xn,t1,? ,tn )
(2) 特性
? 一阶平稳 (n=1) 严平稳随机过程的一维概率密度函数与 时间无关
严格平稳 （宽广平平稳稳（）广义平稳）
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随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析要容易得 多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程的主要 物理条件在时间的进程中不改变, 或变化极小, 可以忽 略, 则此信号可以认为是平稳的. 如接收机的噪声电压 信号, 刚开机时由于元器件上温度的变化, 使得噪声电 压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间后, 温度变 化趋于稳定, 这时的噪声电压信号可以认为是平稳的。
1.3 平稳随机过程及其遍历性
平稳性：若一个函数 f (x, y，, z,当t) x，? x ? ? x
f (x, y的, z,特t) 性不变，就称
f 关(x,于y, z,t)
x
函数是平稳的。
对确定函数来说：特性不变指函数值不变。
对随机过程来说：特性不变指统计特性不变，
且仅仅对时间变量 t而言。
分类
RX (t1,t2 ) ? E[ X(t1) X(t2 )] ? RX (? ) ? 2 (t) ? E[X 2 (t)] ? ?
X
则称X(t) 为宽平稳或广义平稳随机过程。
严平稳与宽平稳的关系：
严格平稳
一定 广义平稳
不一定
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
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