第四讲 平稳随机过程及其遍历性
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按照严平稳随机过程的定义，判断一个随机过程是 否为严平稳，需要知道其n维概率密度，可是求n维概 率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就可 以判断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：
1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[Xk (t)]
与时间t无关。
2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0 ， X(t0)具 有相同的统计特性。
均值均为0，均值平稳，但各时刻的R.V. 的分布不同。
《随机信号分析》教学组
5
fX(x1,? , xn,t1 ? ? t,? ,tn ? ?t) ? fX(x1,? , xn,t1,? ,tn )
? 二阶平稳 (n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。
RX (t1,t2 ) ? E[ X(t1) X(t2 )] ? RX (? ) ? 2 (t) ? E[X 2 (t)] ? ?
X
则称X(t) 为宽平稳或广义平稳随机过程。
严平稳与宽平稳的关系：
严格平稳
一定 广义平稳
不一定
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
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1.3 平稳随机过程及其遍历性
平稳性：若一个函数 f (x, y，, z,当t) x，? x ? ? x
f (x, y的, z,特t) 性不变，就称
f 关(x,于y, z,t)
x
函数是平稳的。
对确定函数来说：特性不变指函数值不变。
对随机过程来说：特性不变指统计特性不变，
且仅仅对时间变量 t而言。
分类
严格平稳 （宽广平平稳稳（）广义平稳）
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1
随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析要容易得 多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程的主要 物理条件在时间的进程中不改变, 或变化极小, 可以忽 略, 则此信号可以认为是平稳的. 如接收机的噪声电压 信号, 刚开机时由于元器件上温度的变化, 使得噪声电 压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间后, 温度变 化趋于稳定, 这时的噪声电压信号可以认为是平稳的。
实际应用中，通过上式来判定过程的平稳性是很不容易的，因 此在实际中往往不需要所有时间都平稳，只要观测的有限时间 平稳就行了。
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fX(x1,? , xn,t1 ? ? t,? ,tn ? ?t) ? fX(x1,? , xn,t1,? ,tn )
(2) 特性
? 一阶平稳 (n=1) 严平稳随机过程的一维概率密度函数与 时间无关
为什么要研究宽平稳随机过程 ?
随机过程可分为平稳和非平稳两大类 , 严格地说, 所有信号都是非平稳的 , 但是, 在自然界和实际应用 中许多随机过程可以近似为平稳信号 。且平稳信号 分析要容易得多， 理论成熟，是随机信号分析的基 础。
物理规律或统计结果与随机试验的时间起点无关， 在线性时不变系统中，输入宽平稳，输出也宽平稳。
（1）平稳随机过程表示噪声电压，一、二矩函数可以 表示噪声的平均功率的直流、交流分量以及总功率的重要参 数。
（2）工程中常见的随机过程是高斯过程，只要知道数 学期望和相关函数，则多维概率密度函数就确定了。
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2 宽(广义)平稳随机过程
若随机过程X(t)满足
mX (t) ? mX
n ? 1,? t ? ?t1 时，对于一维概率密度有： fX (x1,t1 ? ? t) ? fX (x1,t1) ? fX (x1,0) ? fX (x1)
SSS.R.S. 由同分布随机 变量组成，一维的分布 函数，概率密度函数相 同。
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随机过程X(t) 的均值，均方值和方差都是平稳的
?
R (?) X
KX (t1,t2 ) ? RX (t1, t2 ) ? mX (t1 )mX (t2 )
相关平稳
?
R X
(?
)
?
mX2
?
Kx (? )
若 t2
? t1
，则 KX (0) ?
RX (0) ? mX2
?
?
2 X
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(3) 严平稳随机过程的判断
n ? 2,? t ? ?t1,? ? t2 ? t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2,t1,t2) ? fX (x1, x2,t1 ? ? t,t2 ? ? t)
? fX (x1, x2,0, t2 ? t1) ? fX (x1, x2,?)
从概率密度函数的角度讲，高阶平稳一定低阶平稳
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实际中，要确定一个对一切n都成立的随机过程概率密 度函数族是十分困难的，因而在工程中往往根据实际需要只 在相关理论范围内考虑平稳过程问题。
相关理论：只限于研究随机过程一阶和二阶矩的理论。 即研究随机过程的数学期望、相关函数以及功率谱密度等。
随机过程的一、二矩函数虽然不能像多维概率密度函数 那样全面的描述随机过程的统计特性，但它们在一定程度上 相当有效的描述了随机过程的重要特性。
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一 平稳随机过程
1 严平稳随机过程 (1) 定义 如果随机过程的 任意n维分布不随时间起点 变化，即当时间平移时，其任意的 n维概率密度 不变，则称是 严（格）平稳的随机过程 或称为 狭义平稳随机过程 。
fX (x1,? , xn ,t1 ? ? t,? ,tn ? ?t) ? fX (x1,? , xn,t1,? ,tn )
?
? E[ X(t)] ? ?? xfX (x)dx ? mX
都与时间t无关
? E[ X2 (t)] ?
? ??
x2ຫໍສະໝຸດ BaidufX (x)dx
?
?
2 X
? D[ X(t)] ?
? ??
(x?
mX )2
fX (x)dx
?
?
2 X
均值为常数，我们称为均值平稳。可见，一阶平稳平稳 一定均值平稳，但均值平稳不一定一阶平稳。如：
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fX (x1, x2, t1, t2 ) ? fX (x1, x2,? )
随机过程X(t)的自相关函数 ，自协方差函数 都是 平稳的。
都与时间无关
??
? ? RX (t1, t2 ) ? ?? ?? x1x2 fX (x1, x2 ;t2 ? t1)dx1dx2
??
? ? ?
??
??
x1x2 fX (x1, x2 ;? )dx1dx2
1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[Xk (t)]
与时间t无关。
2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0 ， X(t0)具 有相同的统计特性。
均值均为0，均值平稳，但各时刻的R.V. 的分布不同。
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fX(x1,? , xn,t1 ? ? t,? ,tn ? ?t) ? fX(x1,? , xn,t1,? ,tn )
? 二阶平稳 (n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。
RX (t1,t2 ) ? E[ X(t1) X(t2 )] ? RX (? ) ? 2 (t) ? E[X 2 (t)] ? ?
X
则称X(t) 为宽平稳或广义平稳随机过程。
严平稳与宽平稳的关系：
严格平稳
一定 广义平稳
不一定
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
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1.3 平稳随机过程及其遍历性
平稳性：若一个函数 f (x, y，, z,当t) x，? x ? ? x
f (x, y的, z,特t) 性不变，就称
f 关(x,于y, z,t)
x
函数是平稳的。
对确定函数来说：特性不变指函数值不变。
对随机过程来说：特性不变指统计特性不变，
且仅仅对时间变量 t而言。
分类
严格平稳 （宽广平平稳稳（）广义平稳）
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随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析要容易得 多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程的主要 物理条件在时间的进程中不改变, 或变化极小, 可以忽 略, 则此信号可以认为是平稳的. 如接收机的噪声电压 信号, 刚开机时由于元器件上温度的变化, 使得噪声电 压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间后, 温度变 化趋于稳定, 这时的噪声电压信号可以认为是平稳的。
实际应用中，通过上式来判定过程的平稳性是很不容易的，因 此在实际中往往不需要所有时间都平稳，只要观测的有限时间 平稳就行了。
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fX(x1,? , xn,t1 ? ? t,? ,tn ? ?t) ? fX(x1,? , xn,t1,? ,tn )
(2) 特性
? 一阶平稳 (n=1) 严平稳随机过程的一维概率密度函数与 时间无关
为什么要研究宽平稳随机过程 ?
随机过程可分为平稳和非平稳两大类 , 严格地说, 所有信号都是非平稳的 , 但是, 在自然界和实际应用 中许多随机过程可以近似为平稳信号 。且平稳信号 分析要容易得多， 理论成熟，是随机信号分析的基 础。
物理规律或统计结果与随机试验的时间起点无关， 在线性时不变系统中，输入宽平稳，输出也宽平稳。
（1）平稳随机过程表示噪声电压，一、二矩函数可以 表示噪声的平均功率的直流、交流分量以及总功率的重要参 数。
（2）工程中常见的随机过程是高斯过程，只要知道数 学期望和相关函数，则多维概率密度函数就确定了。
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2 宽(广义)平稳随机过程
若随机过程X(t)满足
mX (t) ? mX
n ? 1,? t ? ?t1 时，对于一维概率密度有： fX (x1,t1 ? ? t) ? fX (x1,t1) ? fX (x1,0) ? fX (x1)
SSS.R.S. 由同分布随机 变量组成，一维的分布 函数，概率密度函数相 同。
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随机过程X(t) 的均值，均方值和方差都是平稳的
?
R (?) X
KX (t1,t2 ) ? RX (t1, t2 ) ? mX (t1 )mX (t2 )
相关平稳
?
R X
(?
)
?
mX2
?
Kx (? )
若 t2
? t1
，则 KX (0) ?
RX (0) ? mX2
?
?
2 X
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(3) 严平稳随机过程的判断
n ? 2,? t ? ?t1,? ? t2 ? t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2,t1,t2) ? fX (x1, x2,t1 ? ? t,t2 ? ? t)
? fX (x1, x2,0, t2 ? t1) ? fX (x1, x2,?)
从概率密度函数的角度讲，高阶平稳一定低阶平稳
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实际中，要确定一个对一切n都成立的随机过程概率密 度函数族是十分困难的，因而在工程中往往根据实际需要只 在相关理论范围内考虑平稳过程问题。
相关理论：只限于研究随机过程一阶和二阶矩的理论。 即研究随机过程的数学期望、相关函数以及功率谱密度等。
随机过程的一、二矩函数虽然不能像多维概率密度函数 那样全面的描述随机过程的统计特性，但它们在一定程度上 相当有效的描述了随机过程的重要特性。
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一 平稳随机过程
1 严平稳随机过程 (1) 定义 如果随机过程的 任意n维分布不随时间起点 变化，即当时间平移时，其任意的 n维概率密度 不变，则称是 严（格）平稳的随机过程 或称为 狭义平稳随机过程 。
fX (x1,? , xn ,t1 ? ? t,? ,tn ? ?t) ? fX (x1,? , xn,t1,? ,tn )
?
? E[ X(t)] ? ?? xfX (x)dx ? mX
都与时间t无关
? E[ X2 (t)] ?
? ??
x2ຫໍສະໝຸດ BaidufX (x)dx
?
?
2 X
? D[ X(t)] ?
? ??
(x?
mX )2
fX (x)dx
?
?
2 X
均值为常数，我们称为均值平稳。可见，一阶平稳平稳 一定均值平稳，但均值平稳不一定一阶平稳。如：
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fX (x1, x2, t1, t2 ) ? fX (x1, x2,? )
随机过程X(t)的自相关函数 ，自协方差函数 都是 平稳的。
都与时间无关
??
? ? RX (t1, t2 ) ? ?? ?? x1x2 fX (x1, x2 ;t2 ? t1)dx1dx2
??
? ? ?
??
??
x1x2 fX (x1, x2 ;? )dx1dx2