2019年考研数学二真题及答案解析
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2019年研究生统一入学考试数学(二)
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1.当
时,若
与是同阶无穷小,则k=( )。A.1
B.2
C.3
D.4
2.设函数的拐点( )。
A.
B.C.
D 3.
下列反常积分发散的是( )。A.B.
C.
D.4.已知微分方程
的通解为
,则、、、依次序为( )。A.1,0,1
B.1,0,2
C.2,1,3
D.2,1,4
5.已知区域
,,,
,试比较
的大小( )。A.B.
C.
D.C
C
D
D
A
6.
已知是二阶可导且在
处连续,请问
相切于
且曲率相等是
的什么条件?
A.充分非必要条件
B.充分必要条件
C.必要非充分条件
D.即非充分又非必要条件
7.设A是四阶矩阵,
是A的伴随矩阵,若线性方程组
的基础解系中只有2个向量,则的秩是( )。
A.0
B.1
C.2
D.3
8.设A是3阶实对称矩阵,E是3阶单位矩阵。若
,且
,则
规范形为( )。
A.
B.C.
D.
二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
9.
。10
.
曲线
在
对应点处切线在y轴上的截距
。11
.设函数
可导,,则。
12.已知函数的弧长为。
13.已知函数,则。
14.已知矩阵,表示中元的代数余子式,则。
三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本题为多选,计算步骤符合采分点即可得分。
15.已知求,并求的极值。
当x>0时,
当x<0时,
A
A C
故,而在x=0附近时,当x>0,,单调递减;当x<0,
,单调递增;故在x=0处取极大值
16.求不定积分。
17.是微分方程满足的特解。
(1)求;
由于则可以得出,两边同时积分可
以得
由于,代入得c=0,故
(2)设平面区域求D绕x轴旋转一周的体积;
由体积公式得
18.已知平面区域D满足,,求。
极坐标方程为,由于对称性
=
=
19.,是的图像与x轴所围成图形的面积,求,并求。
采分点1:
;记
,则
所以
)
因此
(这里需要注意下
采分点 2:因此
;
采分点 3:
20.
已知函数
满足,求a,b的值,使得在变换
下,
上述等式可化为
不含一阶偏导数的等式。
满足
,求
,的值,使得在变换
采分点 1:
已知函数
之下,上述等式可化为函数
的不含一阶偏导数的等式。
代入已知条件
采分点 6:
根据已知条件,上式不含一阶偏导,故,
即,
21.已知函数在上具有二阶导数,且,,,证明:
(1)存在,使得;
采分点 1:设在处取得最大值,则由条件,,
可知,于是,
采分点 2:由费马引理得
(2)存在,使得。
采分点1:若不存在,使得,则对任何,有,由拉格朗日中值定理得,
,C介于x与之间,
采分点 2:不妨设,,积分得,于是
,
采分点 3:这与相矛盾,故存在,使得。
22. 已知向量组(I),,,(II),,,若向量组(I)和向量组(II)等价,求的取值,并将用,,线性表示。
采分点 1:
(1)若 ,则
踩分点 2:.此时向量组(I)与(II)等价,令
,,则
此时
,
采分点 3:(2)若 ,则
向量组(I)与(II)不等价。
(3)若则
此时
23.已知矩阵与相似, (I)求x,y;
因为A与B相似,则
(II)求可逆矩阵P使得
,,
,
,
,
时,
时,
时,
故