数学建模课程设计

攀枝花学院

学生课程设计（论文）

题目：产品广告费用分配对销量及利润的影响模型学生姓名：**

学号： ************ 所在院(系)：数学与计算机学院

专业：信息与计算科学

班级： 12信本1班

指导教师：马亮亮职称：讲师

2014年12 月19 日

攀枝花学院教务处制

攀枝花学院本科学生课程设计任务书

注：任务书由指导教师填写。

摘要

广告，就是广而告知的意思。随着市场经济的发展，行业之间的竞争越来越激烈，为了提高利润，广告成为了重要的竞争工具，也是企业培育市场、培养品牌的重要方式。不同的行业、不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告的投放时间、投放程度、投放市场的选择都是千差万别的。今天我们从数学建模角度结合数学知识研究产品广告费用分配对销量及利润的影响，建立广告投入策略的模型，讨论了不确定环境下使得公司获利最大的最优广告费投入量。

并用模拟近似法进行应用实例分析，从而得到模型参数的变化对最优策略的影响．

本文还进一步考虑了模型的优缺点，并根据提出的缺点，对模型进行了进一步改进，并提供了一些相关的评估方法。

[关键词]：广告费用; 市场竞争；销量；利润；优化模型；增长因子

目录

摘要............................................................................................................. I 一丶问题重述 (1)

二丶符号说明 (2)

三、问题分析 (2)

四、模型假设 (3)

五、模型建立与求解 (4)

六、结果解释 (6)

七、实例分析 (6)

八丶模型评估 (9)

参考文献 (10)

一丶问题重述

甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费分别是x和y。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中占得份额，是它们的广

收入与售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润。试构造，模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。

（2）写出甲公司利润的表达式p(x)。对于一定的y，使p(x)最大的x的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。

二丶符号说明

k 、c: 任意常数；

x 、y:甲、乙两公司各自投入的广告费； t: y

x x t +=

；

p(x): 甲公司投入广告后获得的利润。

三、问题分析

广告对于任何产品它的最终目的是提高销售量，进而使销售利润上升。

现实生活中，影响销售数量的因素有很多，包括市场的自然变动、价格因素、产品或者服务的性能和质量、广告的质量和密度、销售网络的密度和质量、行业特点等等。但在实证研究的过程中我们无法把所有因素都考虑在内，因此我们在做模型分析前假设销售数量只受广告费用的影响，并且产品所做的广告在一定意义上都是成功的。

下面我们通过对销售与利润之间数量关系的分析，建立相应的函数关系模型，利用甲乙两公司销售的函数，用求导，平移函数图像地方法，求出相应的利润最值问题。

利润=收入-广告费，利用这个等式，建立甲公司利润的函数表达式，再根据已知的关系，求导，得驻点，进而得最值。

四、模型假设

1. 销售数量只受广告费用的影响，且产品所做的广告在一定意义上都是成功的，商家的信誉度和产品质量是良好的。

2. 不考虑市场环境的突变及同类产品的竞争，有且仅有这两个公司通过广告竞争销售该商品。

3.产品的销售过程和宣传力度均为连续过程，若某公司广告费用为0，则商品销售额也是0。

4.广告具有立时性，一旦宣传就起效应；

5.利润与销量成正比，且比例系数为k。商品的销售速度是因作广告而增加，但是这种增加有一定的限度。广告只能影响该产品在市场上尚未达到饱和的部分，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度也趋于它的上限值。

6.假设停止广告宣传后，销售速度不会达到饱和速度。

7.产品量是充足的，广告的宣传力度和宣传时间相对固定；

8. 自然衰减是销售速度的一种性质，即商品销售速度随销售率的增加而减小。

五、模型建立与求解

问题（1）：

令y

x x t +=

，带入()()11=-+t f t f 得1=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛++⎪⎪⎭⎫

⎝⎛

+y x y f y x x

f ，使用MATLAB 软件，得到(

)()11=-+t f t f 的示意图

结果：

f(t)图形以⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛2

1，21为中心对称，如图实线或虚线所示。 由x,y 的一般性，以下设f （t ）为实线形状。 问题（2）：

设甲公司广告费用为x,以公司广告费用为y(y 是常数)。 则甲公司销量为⎪⎪⎭⎫

⎝⎛

+y x x

f ,销售额为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x x kf ，(k 是常数）。 利润p(x)为：x y x x kf x p -⎪⎪⎭⎫

⎝⎛

+=)(。

依题意即是要求p （x ）取得最大值的点。 方法一：

由0)(*’=x p 可得2

**’11)(⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=

t a

y

t f ， 取任意常数c ，c t

k y t g +-=

11

)(，则：

曲线族g （t ）中与f （t ）相切的那一条曲线的切点坐标为*t ，

y

x x t

+=

*

**

。

如图：

方法二：

由f （t ）~t 图形做出下图，再作直线a

x

x h =

)(，在曲线上找一点M ，其横坐标y x >*，使过M 点的切线平行于h （x ），*x 即为所求：

结果：按方法一或者方法二都可以得到结果。如图，*x 即为所求，即产品投资费用为*x 时甲公司获得的利润最大。