2017中考数学几何部分专题复习
重庆市2017届中考数学复习几何初步第5节直角三角形与勾股定理试题
第五节直角三角形与勾股定理课标呈现指引方向1．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
2．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
考点梳理夯实基础1．直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角；【答案】互余（2）勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么；【答案】a2＋b2＝c2（3）直角三角形斜边上的中线等于；【答案】斜边的一半（4）直角三角形中，30°角所对的直角边等于．【答案】斜边的一半2．直角三角形的判定：（1）勾股定理逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；（2）如果三角形一边上的中线等于这边的，那么这个三角形是直角三角形．【答案】一半3．勾股数：可以构成直角三角形三边的一组正整数．常见的勾股数有：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）…以及（3n，4n，5n）、（5n，12n，13n）、（7n，24n，25n）、（8n，15n，17n）…（n为正整数）考点精析专项突破考点一勾股定理和勾股定理的逆定理【例1】（1）（2016临沂）如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB＝4，BC＝8，则△ABF的面积为_____________．【答案】6解题点拨：本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，根据勾股定理列出方程是解题的关键．①先利用矩形的性质和折叠的性质得出∠B＝90°，AF＝FC；②然后利用勾股定理列方程求出BF的长；③再用三角形面积公式求出三角形的面积．（2）（2016武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝55，则BD的长为___________【答案】解题点拨：连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，又CD＝10，DA＝55，可知△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，易证△ABC∽△CHD．则CH＝6，DH＝8，从而在Rt△BHD中易求BD．考点二性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的运用【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E．连接AC交DE于点F，点G为AF的中点．∠ACD＝2∠ACB．若DG＝3，EC＝1．求DE的长．解题点拨：综合考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD＝DG＝3．鼹：∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD＝∠ACB∵点G为AF的中点，∴DG＝AG，∴∠GAD＝∠GDA，∴∠CGD＝2∠CAD，∵∠ACD＝2∠ACB，∴∠ACD＝∠CGD，∴CD＝DG＝3，在Rt△CED中，DE．考点三性质“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的运用【例4】(2016西宁)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝．【答案】2解题点拨：作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD．根据平行线的性质可得∠BCP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．课堂训练当堂检测1．(2016南京)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( )A．3，4，4 B．3，4，5C．3，4，6 D．3，4，7【答案】B2．(2015滨州)如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A Bⅱ处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是 ( )A．直线的一部分B．圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分第2题【答案】B3．(2016黄冈)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP＝．【答案】第3题4．(2015重庆A)如图1，在△ABC中，∠ACB＝ 90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．(1)如图1，若点H是AC的中点，AC＝AB，BD的长：(2)如图1，求证：HF＝EF；(3)如图2，连接CF，CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由，图1 图2第4题【答案】解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝∴AB＝cos ACBACÐ2∵AD⊥AB．∴∠DAH＝30°．∵点H是AC的中点，∴AH＝12 AC∴在△ADH中．AD＝cos AHCAHÐ＝2．∴在△ADB中，根据勾股定理，得BD(2)如答图1，连接AF，易证：△DAE≌△ADH(AAS)，∴DH＝AE．∵∠FDH＝∠FDA－∠HDA＝∠FDA－60°＝(90°－∠FBA)－60°＝30°－∠FBA，∴∠EAF＝∠FDH．又∵点F是BD的中点，即AF是Rt△ABD斜边上的中线，∴AF＝DF．∴△DHF≌△AEF(SAS)．∴HF＝EF．(3)△CEF为等边三角形，证明如下：如答图2，取AB的中点M，连接CM、FM，在Rt△ADE中，AD＝2AE，∵FM是△ABD的中位线．∴AD＝2FM．∴FM＝AE．易证△ACM为等边三角形，∴AC＝CM，∠ACM＝60°．∵∠CAE＝12∠CAB＝30°，∠CMF＝∠AMF－∠AMC＝30°，∴∠CAE＝∠CMF．∴△ACE≌△MCF(SAS)．∴CE＝CF，∠ACE＝∠MCF．∴∠ECF＝∠ECM＋∠MCF＝∠ECM＋∠ACE＝60°．∴△CEF为等边三角形．图1 图2第4题答案图中考达标模拟自测A组基础训练一、选择题1．(2016连云港)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1＝16，S2＝45 ，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝ ( ) A．8 B．64 C．54 D．48图1 图2第1题【答案】C2．(2016海南)如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C 落在点E的位置．如果BC＝6，那么线段BE的长度为 ( )A．6 B．C．D．第2题【答案】D3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是 ( )A．125B．4 C．245D．5第3题【答案】C4．(2015泰安)如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE．延长BG交CD于点F．若AB＝6，BC＝，则FD的长为 ( )A．2 B．4 C．B D．第4题【答案】B二、填空题5．(2016随州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝13BD，连接DM、DN、MN．若AB＝6，则DN＝．第5题【答案】36．(2016温州)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板(如图1所示)中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形(如图2所示)，则该凸六边形的周长是cm．图1 图2第6题【答案】16)7．(2016连云港)如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M．EM交AB于N．若AD＝2．则MN＝图1 图2第7题【答案】1 3三、解答题8．已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．．(1)求证：EF＝CF；(2)求证：FG⊥DG．第8题【答案】证明：(1)∵在R△ACB中，D为AB中点∴DA＝DC＝DB∴∠A＝∠1∵EF∥AB∴∠2＝∠A∴∠1＝∠2∴CF＝EF．(2)延长FG，交AB于点H∵EF∥AB∴∠FEG＝∠GBH∵G为EB中点∴EG＝GB又∵∠FGE＝∠HGB∴△EFG≌△BHG∴FG＝GH，EF＝HB＝CF∴DC－CF＝DB－HB即DF＝DH∴DG⊥FG．第8题答案图9．(2016黄石)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2∠DAE＝ 90°．(1)如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：DE2＝BD2＋CE2：(2)如图2，点E在BC的延长线上，则等式DE2＝BD2＋CE2还能成立吗？请说明理由．图1 图2第9题【答案】解：(1)∵点D关于直线AE的对称点为F，∴EF＝DE，AF＝AD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝90°－∠CAD，∠CAF＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，在△ABD和△ACF中，AB ACBAD CAFAD AF ì=ïï??íï=ïî∴△ABD≌△ACF(SAS)，∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2＝CF2＋CE2，所以，DE2＝BD2＋CE2；(2) DE2＝BD2＋CE2还能成立．理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，由轴对称的性质得，EF＝DE，AF＝AD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝90°－∠CAD，∠CAF＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，在△ABD和△ACF中，AB ACBAD CAFAD AF ì=ïï??íï=ïî∴△ABD≌△ACF(SAS)，∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2＝CF2＋CE2，所以，DE2＝BD2＋CE2．第9题答案图B组提高练习10．(2016东营)在△ABC中，AB＝10，AC＝BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( )A．10 B．8 C．6或10 D．8或10【答案】C(提示：在图①中，由勾股定理，得BD＝＝8；CD＝＝2；∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10．在图②中，由勾股定理，得BD＝8；CD2；∴BC＝BD－CD＝8－2＝6．)图①图②11．(2016资阳)如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CO⊥AB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD＝CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：①△DOE是等腰直角三角形：②∠CDE＝∠COE;③若AC＝1，则四边形CEOD的面积为14，其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③(提示：①如图，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CO⊥AB，∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，∴△ADO≌△CEO，∴DO＝OE，∠AOD＝∠COE，∴∠AOC＝∠DOE ＝90°，∴△DOE是等腰直角三角形．故①正确．②∵∠DCE＋∠DOE＝180°，∴D、C、E、O四点共圆，∴∠CDE＝∠COE，故②正确．③∵AC＝BC＝1，∴S△ABC＝12×1×1＝12，S四边形DCEO＝S△DOC＋S△CEO＝S△CDO＋S△ADO＝S△AOC＝12S△ABC＝14，故③正确．)12．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF．连接CF．(1)观察猜想如图1．当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；(将结论直接写在横线上)(2)数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB＝，CD＝14BC，请求出GE的长．图1 图2 图3 第12题【答案】解：(1)垂直，BC＝CD＋CF．(2)不成立，BC＝CD－CF．∵正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，∵AD＝AF，AB＝AC，∴△DA B≌△FAC，∴∠ABD＝∠ACF，CF＝BD∴∠ACF－∠ACB＝90°，即CF⊥BD;∵BC＝CD－BD，∴BC＝CD－CF．(3)过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC AB＝4，AH＝12BC＝2，∴CD＝14BC＝1，CH＝12BC＝2，∴DH＝3．由(2)证得BC⊥CF，CF＝BD＝5，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝DE，∠ADE＝90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四边形CMEN是矩形，∴NE＝CM，EM＝CN，∵∠AHD＝∠ADE＝∠EMD＝90°，∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°，∴∠ADH＝∠DEM，∴△ADH≌△DEM，∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，∵∠ABC＝ 45°，∴∠BGC＝45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG＝BC＝4，∴GN＝1，∴EG第12题答案图。
2017年中考数学真题专题汇编----图形的展开与折叠
2017全国部分省市中考数学真题汇编----图形的展开与折叠一．选择题1．将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开，展开后不能得到的平面图形是（ ）A．B．C．D．2．如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（ ）A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B．正方体、圆锥、三棱柱、圆柱C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D．正方体、圆柱、四棱柱、圆锥3．如图，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是（ ）A．B．C．D．4．如图所示的平面图形能折叠成的长方体是（ ）A．B．C．D．5．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（ ）A．B．C．D．6．如图，该几何体的展开图是（ ）A．B．C．D．7．如图是正方体的一个平面展开图，如果原正方体上前面的字为“友”，则后面的字为（ ）A．善B．国C．诚D．爱8．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）A．B．C．D．二．填空题9．某个立体图形的侧面展开图形如图所示，它的底面是正三角形，这个立体图形一定是 ．10．如图，是一个物体的展开图（单位：cm），那么这个物体的体积为 ．11．如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B围成的正方体上的距离是 ．12．如图1是边长为18cm的正方形纸板，截掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子．已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是 cm3．13．把如图所示的图形折成一个正方体的盒子，折好后与“顺”相对的字是 ．14．图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．三．解答题15．如图，在无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中4个有阴影的正方形一起可以构成一个正方体的表面展开图．（在图1和图2中任选一个进行解答，只填出一种答案即可）16．某长方体包装盒的表面积为146cm2，其展开图如图所示．求这个包装盒的体积．17．如图所示的是一个正方体，试在下列3×5方格中，画出它的平面展开图（要求：画出3种不同的情形）18．如图所示是长方体的平面展开图，设AB=x，若AD=4x，AN=3x．（1）求长方形DEFG的周长与长方形ABMN的周长（用字母x进行表示）；（2）若长方形DEFG的周长比长方形ABMN的周长少8，求x的值；（3）在第（2）问的条件下，求原长方体的容积．19．如图是一个正方体的展开图，标有字母A的面是正方体的正面，如果正方体相对的两个面所标注的值均互为相反数，求字母A所标注的值．20．如图，把一边长为xcm的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为ycm的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒．（1）求该纸盒的体积；（2）求该纸盒的全面积（外表面积）；（3）为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），求此时x与y之间的倍数关系．（直接写出答案即可）21．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了 条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．参考答案与解析一．选择题1．将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开，展开后不能得到的平面图形是（ ）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及无盖正方体的展开图就可以求出结论．【解答】解：由四棱柱的四个侧面及底面可知，A、B、D都可以拼成无盖的正方体，但C拼成的有一个面重合，有两面没有的图形．所以将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱展开后不能得到的平面图形是C．故选C．【点评】本题考查了正方体的平面展开图，解答时熟悉四棱柱的特征及无盖正方体展开图的各种情形是关键．2．如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（ ）A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B．正方体、圆锥、三棱柱、圆柱C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D．正方体、圆柱、四棱柱、圆锥【分析】根据正方体、圆锥、三棱柱、圆柱及其表面展开图的特点解题．【解答】解：观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形顺次是正方体、圆柱、三棱柱、圆锥．故选A．【点评】可根据所给图形判断具体形状，也可根据所给几何体的面数进行判断．3．如图，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是（ ）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【解答】解：选项A、B、C折叠后都不符合题意，只有选项D折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合．故选D．【点评】考查了截一个几何体和几何体的展开图．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．4．如图所示的平面图形能折叠成的长方体是（ ）A．B．C．D．【分析】根据两面相隔一个面是对面，相邻的面是邻面，可得答案．【解答】解：A、平面图形能折叠成的长方体正面的右邻面是阴影，故A错误；B、平面图形能折叠成的长方体上面的右邻面是阴影，故B错误；C、平面图形能折叠成的长方体正面是阴影，上面应是空白面，故C错误；D、平面图形能折叠成的长方体上面的右邻面是阴影，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了展开图这个叠成几何体，确定折叠成长方体阴影面的邻面是解题关键．5．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据立体图形平面展开图的特征进行判断即可．【解答】解：A．四棱锥的展开图有四个三角形，故A选项错误；B．根据长方体的展开图的特征，可得B选项正确；C．正方体的展开图中，不存在“田”字形，故C选项错误；D．圆锥的展开图中，有一个圆，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了展开图折叠成几何体，解题时注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．6．如图，该几何体的展开图是（ ）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题，注意带图案的两个面相邻．【解答】解：观察题干图形可知，带图案的两个面相邻．只有选项C中几何体的展开图带图案的两个面相邻．故选：C．【点评】本题主要考查了几何体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力．7．如图是正方体的一个平面展开图，如果原正方体上前面的字为“友”，则后面的字为（ ）A．善B．国C．诚D．爱【分析】根据展开图即可判断．【解答】解：“友”与“诚”属于同层，由同层隔一面可知：“友”相对的是“诚”故选（C）【点评】本题考查几何体的展开图，先找同层隔一面，再找异层隔两面，剩下两面必相对．8．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及棱柱的展开图解题．【解答】解：A可以围成四棱柱，C可以围成五棱柱，D可以围成三棱柱，B选项侧面上多出一个长方形，故不能围成一个三棱柱．故选：B．【点评】熟记常见立体图形的表面展开图的特征是解决此类问题的关键．二．填空题（共11小题）9．某个立体图形的侧面展开图形如图所示，它的底面是正三角形，这个立体图形一定是 三棱柱 ．【分析】根据侧面是三个矩形，底面是三角形，可得答案．【解答】解：由题意，得这个立体图形一定是三棱柱，故答案为：三棱柱．【点评】本题考查了几何体的展开图，利用侧面是三个矩形，底面是三角形是解题关键．10．如图，是一个物体的展开图（单位：cm），那么这个物体的体积为 250πcm3 ．【分析】根据展开图可知此物体是圆柱，再利用圆柱的体积公式即可得出结。
2017年中考数学备考-几何题解法总汇(4)_答题技巧
2017年中考数学备考:几何题解法总汇(4)_答题技巧
初中数学的学习是非常重要的，数学成绩也决定了我们中考成绩的好坏，在数学大大小小的考试中，几何证明题是必考知识点，但是很多同学对于这种题型不知道如何下手，几何题型在将来的高中数学中也是基础内容，所有应该引起大家的重视。
5.利用一些定理(三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等)。
证明角的和差倍分
1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分线的定义。
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
证明线段不等
1.同一三角形中，大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。
5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大于它的任何一部分。
北京市第四中2017年中考数学冲刺复习专题训几何综合问题(无答案
几何综合问题以几何为主的综合题常研究以下几个方面的问题： ① 证明线段、角的数量关系(包括相等、和、差、倍、分关系及比例关系等)；② 证明图形的位置关系(如点与线、线与线、线与圆、圆与圆等)；③ 几何计算问题；④ 动态几何问题．在解几何综合题时，常常需要画图并分解其中的基本图形，挖掘其中隐含的等量关系．另外，也要注意使用数形结合、方程、分类讨论、转化等数学思想方法来解决问题．有时借助变换的观点也能帮助我们更有效地找到解决问题的思路．例1．如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别为D 、E.(1) DE 的长为 ；(2) 将折叠后的图形沿直线AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 ．例2．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC 中，CH⊥AB 于点H ，点B 关于直线CH 的对称点为D ，AC 边上一点E 满足∠EDA =∠A，直线DE 交直线CH 于点F ．(1) 求证：BF ∥AC ；(2) 若AC 边的中点为M ，求证：2DF EM ； (3) 当AB=BC 时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．图 1图2例3．已知：如图，N、M是以O为圆心，1为半径的圆上的两点，B是MN上一动点（B不与点M、N重合），∠MON=90°，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形；（2）若四边形EPG Q是矩形，求OA的值.。
安徽中考数学复习专题全辑 专题二 几何图形最值问题
21．(2019·黄冈)如图，AC，BD 在 AB 的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点 M 为 AB 的中点，若∠CMD＝120°，则 CD 的最大值是________．
而且点移动到不同的位置，我们要研究的图形可能会改变．当一个问题是确定 图形的变量之间关系时，通常建立函数模型求解，当确定图形之间的特殊位置 关系或一些特殊值时，通常建立方程模型求解．在解题时，常常需要作辅助线 帮助理清思路，然后利用直角三角形或圆的有关知识解题．如本题，作辅助线， 利用轴对称的性质将问题转化为三角形中两边之和大于第三边，当 P 点在 A1B 上 时，PA＋PB 取得最小值．
A．3 2－1
B．2
C．2 2
D．3 2
2．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点 D 在 BC 上，以 AC 为
对角线的所有平行四边形 ADCE 中，DE 最小的值是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
3．(2019·合肥 42 中一模)如图，AB 是半⊙O 的直径，点 C 在半⊙O 上，AC＝8cm，
专题二 几何图形最值问题
类型一 线段最值问题
(2017·安徽)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝3.动点 P 满足 S ＝ △PAB
1
S 矩形 ABCD，则点 P 到 A，B 两点距离之和 PA＋PB 的最小值为(
)
3
A. 29
B. 34
C．5 2
D. 41
2017山东数学中考真题,分类汇编-,几何综合大题
2017山东数学中考真命题分类会哦变——几何综合大题一、选择题：1、（德州，11．）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM=b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD=∠AND；②CP=b﹣；③△ABM≌△NGF；④S=a2+b2；⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是（）四边形AMFNA．2 B．3 C．4 D．52、（东营，10．）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PHPC其中正确的是（）A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④3、（泰安，19．）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC，其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44、（威海，10．）如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（）A．BO=OH B．DF=CE C．DH=CG D．AB=AE5、（威海，12．）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y=（k ≠0）的图象过点C ，则该反比例函数的表达式为（ ） A ．y= B ．y= C ．y= D ．y=2、填空题1、（东营，14．）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，D 为半圆上一点，AC ∥OD ，AD 与OC 交于点E ，连结CD 、BD ，给出以下三个结论：①OD 平分∠COB ；②BD=CD ；③CD 2=CECO ，其中正确结论的序号是 ．2、（潍坊，18．）如图，将一张矩形纸片ABCD 的边BC 斜着向AD 边对折，使点B 落在AD 边上，记为B′，折痕为CE ，再将CD 边斜向下对折，使点D 落在B′C 边上，记为D′，折痕为CG ，B′D′=2，BE=BC ．则矩形纸片ABCD 的面积为 ．三、解答题：1、（菏泽，23.）正方形ABCD 的边长为cm 6，点M E 、分别是线段AD BD 、上的动点，连接AE 并延长，交边BC 于F ，过M 作AF MN ，垂足为H ，交边AB 于点N .（1）如图1，若点M 与点D 重合，求证：MN AF =；（2）如图2，若点M 从点D 出发，以s cm /1的速度沿DA 向点A 运动，同时点E 从点B 出发，以s cm /2的速度沿BD 向点D 运动，运动时间为ts . ①设ycm BF =,求y 关于t 的函数表达式； ②当AN BN 2=时，连接FN ，求FN 的长.2、（德州，23．）如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB=3cm ，AD=5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ． （1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当点E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动； ①当点Q 与点C 重合时（如图2），求菱形BFEP 的边长；②若限定P 、Q 分别在边BA 、BC 上移动，求出点E 在边AD 上移动的最大距离．3、（临沂，25．（11分））数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC ，BD 是四边形ABCD 的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB 到E ，使BE=CD ，连接AE ，证得△ABE ≌△ADC ，从而容易证明△ACE 是等边三角形，故AC=CE ，所以AC=BC+CD ．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC 绕着点A 逆时针旋转60°，使AB 与AD 重合，从而容易证明△ACF 是等边三角形，故AC=CF ，所以AC=BC+CD ． 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明． （2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC ，CD ，AC 三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．4、（青岛，24．）（本小题满分12分）已知：Rt △EFP 和矩形ABCD 如图①摆放（点P 与点B 重合），点F ，B （P ），C 在同一条直线上，AB ＝EF ＝6cm ，BC ＝FP ＝8cm ，∠EFP ＝90°。
2017届九年级数学中考总复习：直角三角形----知识讲解(提高)
直角三角形----知识讲解（提高）【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL ）及其应用.【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-. （4）勾股数：满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……② 如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.③22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长；④2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.要点六、直角三角形全等的判定（HL ）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 称“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】类型一、勾股定理1、已知直角三角形斜边长为2，周长为2+【思路点拨】欲求直角三角形的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直角边之和为4，于是可转化为用方程求解．【答案与解析】解：设这个直角三角形的两直角边长分别为a b 、，则222222a b a b ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩即224a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②将①两边平方，得2226a ab b ++= ③ ③－②，得22ab =，所以1122ab = 因此这个直角三角形的面积为12． 【总结升华】此题通过设间接未知数a b 、，通过变形直接得出12ab 的值，而不需要分别求出a b 、 的值．本题运用了方程思想解决问题．2、（2015春•黔南州期末）长方形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求DE 的长．【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE ．从而设BE 即可表示AE ．在直角三角形ADE 中，根据勾股定理列方程即可求解．【答案与解析】解：设DE=xcm ，则BE=DE=x ，AE=AB ﹣BE=10﹣x ，△ADE 中，DE 2=AE 2+AD 2，即x 2=（10﹣x ）2+16． ∴x=（cm ）．答：DE 的长为cm.【总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等．类型二、勾股定理的逆定理3、如图所示，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝2，AD ＝CD ＝3，BC ＝5，求∠ADC 的度数．【答案与解析】解：∵ AB ⊥AD ，∴ ∠A ＝90°，在Rt △ABD 中，22222216BD AB AD =+=+=．∴ BD ＝4，∴ 12AB BD =，可知∠ADB ＝30°， 在△BDC 中，22216325BD CD +=+=，22525BC ==，∴ 222BD CD BC +=，∴ ∠BDC ＝90°，∴ ∠ADC ＝∠ADB+∠BDC ＝30°+90°＝120°．【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理． 举一反三：【高清课堂 勾股定理逆定理 例4】【变式1】△ABC 三边a b c ，，满足222338102426a b c a b c +++=++，则△ABC 是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【答案】D ；提示：由题意()()()222512130a b c -+-+-=，51213a b c ===，，，因为222a b c +=，所以△ABC 为直角三角形.【变式2】（2015春•厦门校级期末）在四边形ABCD 中，AB=AD=2，∠A=60°，BC=2，CD=4．求∠ADC 的度数．【答案】解：连接BD ，∵AB=AD=2，∠A=60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD=2，∠ADB=60°， ∵BC=2，CD=4，则BD 2+CD 2=22+42=20，BC 2=（2）2=20， ∴BD 2+CD 2=BC 2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=150°．类型三、勾股定理、逆定理的实际应用4、如图所示，在一棵树的10m 高的B 处有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处，另外一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？【思路点拨】其中一只猴子从B →C →A 共走了(10+20)=30m ，另一只猴子从B →D →A 也共走了30m ，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决．【答案与解析】解：设树高CD 为x ，则BD ＝x －10，AD ＝30－(x －10)＝40－x ，在Rt △ACD 中，22220(40)x x +=-，解得：x ＝15．答：这棵树高15m ．【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC 和DA ，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解．举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得：12AA '=，12392A B π'=⨯⨯= 在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理得： 22222129225AB AA A B ''=+=+=则AB ＝15．所以需要爬行的最短路程是15cm ．5、（2015春•武昌区期中）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1小时后相距20海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案与解析】解：1小时“远航”号的航行距离：OB=16×1=16海里；1小时“海天”号的航行距离：OA=12×1=12海里，因为AB=20海里，所以AB 2=OB 2+OA 2，即202=162+122，所以△OAB 是直角三角形，又因为∠1=45°，所以∠2=45°，故“海天”号沿西北方向航行或东南方向航行．【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．类型四、原命题与逆命题6、下列命题中，逆命题错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．有两对邻角互补的四边形是平行四边形C．平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形【答案】C；【解析】解：A的逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．由平行四边形的判定可知这是真命题；B的逆命题是：平行四边形的两对邻角互补，由平行四边形的性质可知这是真命题；C的逆命题是：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，故是错误的；D的逆命题是：平行四边形的两组对边分别相等地，由平行四边形的性质可知这是真命题；故选C．【总结升华】分别写出每个命题的逆命题，再判断其真假即可．此题主要考查学生对逆命题的定义的理解，要求学生对基础知识牢固掌握．举一反三：【变式】下列命题中，逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．如果两个实数相等，那么它们的平方数相等C．等腰三角形两底角相等D．两个全等三角形的对应角相等【答案】C；解：A的逆命题是：相等的角是对顶角是假命题，故本选项错误，B的逆命题是：如果两实数的平方相等，那么两实数相等是假命题，故本选项错误，C的逆命题是：两底角相等的三角形是等腰三角形是真命题，故本选项正确，D的逆命题是：对角线相等的两个三角形是全都三角形是假命题，故本选项错误，故选C．类型五、直角三角形全等的判定——“HL”7、已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．求证：AD=AE．【思路点拨】证明线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ADB≌△AEB即可．【答案与解析】 证明：∵AB=AC ，点D 是BC 的中点，∴∠ADB=90°，∵AE ⊥EB ，∴∠E=∠ADB=90°，∵AB 平分∠DAE ，∴∠EAB=∠DAB ；在△ADB 与△AEB 中，90EAB DAB E ADB ABAB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△AEB （AAS ），∴AD=AE ．【总结升华】此题考查线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．8、如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，分别过B 、C 向过A 的直线作垂线，垂足分别为E 、F ．（1）如图①过A 的直线与斜边BC 不相交时，求证：EF=BE+CF ；（2）如图②过A 的直线与斜边BC 相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE 长．【答案与解析】（1）证明：∵BE ⊥EA ，CF ⊥AF ，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠EBA ，在△ABE 和△CAF 中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF ，AB=AC ，∴△ABE ≌△CAF ．∴EA=FC ，BE=AF ．∴EF=EA+AF ．（2）解：∵BE ⊥EA ，CF ⊥AF ，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△CAF中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△ABE≌△CAF．∴EA=FC=3，BE=AF=10．∴EF=AF-CF=10-3=7．【总结升华】此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF 了．此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．。
2017中考数学几何辅助线大全及常考题型解析
2017年中考数学几何辅助线作法及常考题型解析第一部分常见辅助线做法等腰三角形1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；2. 作一腰上的高；3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。
梯形1. 垂直于平行边2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线3. 平行于两条斜边4. 作两条垂直于下底的垂线5. 延长两条斜边做成一个三角形菱形1. 连接两对角2. 做高平行四边形1. 垂直于平行边2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3. 做高——形内形外都要注意矩形1. 对角线2. 作垂线很简单。
无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。
还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
解几何题时如何画辅助线?①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中，常作平行线。
作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
2017各地中考及北京各区一、二模数学试题分类整理——几何基础知识部分
2017各地中考及北京各区⼀、⼆模数学试题分类整理——⼏何基础知识部分⽬录类型1：三线⼋⾓、三⾓板、三⾓形内⾓和 (2)类型2：平⾯图形与⽴体图形 (5)（1）三视图 (5)（2）平⾯展开图 (7)类型3：轴对称与旋转对称 (9)类型4：其他⼏何基础 (13)（1）度量 (13)（2）其他 (13)类型1：三线⼋⾓、三⾓板、三⾓形内⾓和1、（西城⼀模3）如图，AB ∥CD ，DA ⊥CE 于点A ．若∠EAB = 55°，则∠D 的度数为（） A ．25° B ．35° C ．45° D ．55°2、（朝阳⼀模4）如图，直线1l ∥2l ，若∠1=70°，∠2=60°，则∠3的度数为（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°第1题图第2题图第3题图 3、（东城⼀模5）如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N 两点，将⼀个含有45°⾓的直⾓三⾓尺按如图所⽰的⽅式摆放，若∠EMB =75°，则∠PNM 等于（）A ．15°B ．25°C ．30°D ．45°4、（房⼭⼀模4）如图，直线a ∥b ，三⾓板的直⾓顶点放在直线b 上，两直⾓边与直线a 相交，如果∠1=55°，那么∠2等于（）A ．65°B.55°C.45°D . 35°5、（海淀⼀模6）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点A ，点C 分别在直线a ，b 上，且a ∥b ．若∠1=60°，则∠2的度数为（）A ．75°B ．105°C ．135°D ．155°第4题图第5题图第6题图6、（门头沟⼀模5）⼀个三⾓板（含30°、60°⾓）和⼀把直尺摆放位置如图所⽰，直尺与三⾓板的⼀⾓相交于点A ,⼀边与三⾓板的两条直⾓边分别相交于点D 、点E ，且CD CE =，点F 在直尺的另⼀边上，那么∠BAF 的⼤⼩为（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°7、（⽯景⼭⼀模3）如图，直线a ∥b ，直线l 与a ，b 分别交于A ，B 两点，过点B 作BC ⊥AB 交直线a 于点C ，若1=65∠°，则2∠的度数为（）A ．25°B ．35°C ．65°D ．115°DCABEPNMFE DCBACABCD8、（顺义⼀模3）如图，AB ∥CD ，E 是BC 延长线上⼀点，若∠B =50?，∠D =20?，则∠E 的度数为（）A ．20?B ．30?C ．40?D ．50?9、（丰台⼆模4）如图，AB ∥CD ，∠B =56°，∠E =22°，则∠D 度数为（）A ．22°B ．34°C ．56°D ．78°10、（通州⼆模4）如图，直线l 1，l 2，l 3交于⼀点，直线l 4// l 1，若∠1= ∠2=36°,则∠3的度数为（）A ．60°B ．90°C ．108°D ．150°11、（东城⼆模7）将⼀副直⾓三⾓板如图放置，使含30°⾓的三⾓板的直⾓边和含45°⾓的三⾓板⼀条直⾓边在同⼀条直线上，则∠1的度数为（）B ．65°C ．45°D ．30°12、（⽯景⼭⼆模3）如图，直线a ∥b ，直线l 与a ，b 分别交于点A ，B ，过点A 作AC ⊥b 于点C ，若1=50∠°，则2∠的度数为（）A ．130°B ．50°C ．40°D ．25° 13、（顺义⼆模5）如图，△ABC 中，∠A =60?，BD ，CD 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，则∠BDC 的度数是（）A ．100?B ．110?C ．120?D ．130?14、（上海中考16）⼀副三⾓尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA 与边FE 叠合，顶点B 、C 、D 在⼀条直线上）．将三⾓尺DEF 绕着点F 按顺时针⽅向旋转n °后（0＜n ＜180 ），如果EF ∥AB ，那么n 的值是．*15、（朝阳⼀模20）如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AE ，DF 分别是∠BAD ，∠ADC 的平分线，AE ，DF 交于点O .求证：AE ⊥DF .BABC DEECDBA l 2l 3l 1l 41 2330°1类型2：平⾯图形与⽴体图形（1）三视图1、（顺义⼀模7的轮廓图，其俯视图是（）2、（燕⼭⼀模3）下列四个⼏何体中，主视图为圆的是（）A．B．C．D．3、（海淀⼆模2）如图，在正⽅体的⼀⾓截去⼀个⼩正⽅体，所得⽴体图形的主视图是（）A．B．C．D．4、（昌平⼆模3）在下⾯的四个⼏何体中，主视图是三⾓形的是（）A．B．C．D．5、（怀柔⼆模7）如图所⽰的⼏何体为圆台，其俯视图正确的是（）A．B．C．D．6、（平⾕⼆模3）下⾯所给⼏何体的俯视图是（）A．B．C．D．7、（房⼭⼀模5）如图，A ，B ，C ，D 是四位同学画出的⼀个空⼼圆柱的主视图和俯视图，正确的⼀组是（）A .B .C .D . 8、（东城⼀模6）下列哪个⼏何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同（）A ．B ．D ． 9、（怀柔⼀模6）下⾯⼏何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同，⼤⼩均相等的是（）A ．圆柱B ．圆锥C ．三棱柱D ．球10、（西城⼀模4）如图是某⼏何体的三视图，该⼏何体是（） A ．三棱柱 B ．长⽅体 C ．圆锥 D ．圆柱 11、（朝阳⼀模3）如图是某个⼏何体的三视图，该⼏何体是（）A．棱柱 B ．圆锥 C ．球 D ．圆柱第10题图第11题图第12题图第13题图 12、（通州⼀模4）如图是某个⼏何体的三视图，该⼏何体是（）A ．圆锥B ．四棱锥C ．圆柱D ．四棱柱13、（丰台⼆模3）如图是⼏何体的三视图，该⼏何体是（）A．圆锥 B ．圆柱 C ．正三棱锥 D ．正三棱柱14、（平⾕⼀模3、门头沟⼀模4）右图是某⼏何体从不同⾓度看到的图形，这个⼏何体是（）A ．圆锥B ．圆柱C ．正三棱柱D ．三棱锥15、（⽯景⼭⼀模7）若某⼏何体的三视图如右图所⽰，则该⼏何体是（）A ．C ．D ．主视图俯视图俯视图左视图主视图主视图左视图俯视图16、（青岛中考14）已知某⼏何体的三视图如图所⽰，其中俯视图为正六边形，则该⼏何体的表⾯积为____。
2017中考数学冲刺复习--第22题几何探索压轴题
2017中考数学冲刺复习--第22题几何探索压轴题《动态几何、类比探索专题》在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。
学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。
在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。
同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。
一.考试说明要求图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。
图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。
图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。
二.基本图形及辅助线解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。
在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。
2017年长沙中考数学之几何经典专题(含解析)
2017年长沙中考数学之几何经典专题1．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（）A．5 B．4 C．3 D．22．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为（）A．2B．3C．D．3．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知点D与点A（0，6），B（0，﹣4），C（x，y）是平行四边形的四个顶点，其中x，y满足3x﹣4y+12=0，则CD长的最小值为（）A．10 B．2C．D．45．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，M为EF中点，则AM的取值范围是．7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点P是BC边上任意一点（B、C除外）PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值为．8．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，连接OE，DE=6，OE=8，则另一直角边AE的长为．9．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是．10．如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣3，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l 相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）求∠EBP的度数；（2）求点D运动路径的长；（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．11．如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4，∠BAD=60°，且AB＞4．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．12．知，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；（2）如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？13．如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，点D在CA的延长线上，DE⊥BC，垂足为点E，DE与⊙O相交于点H，与AB相交于点l，过点A作⊙O的切线AF，与DE相交于点F．（1）求证：∠DAF=∠ABO；（2）当AB=AD时，求证：BC=2AF；（3）如图2，在（2）的条件下，延长FA，BC相交于点G，若tan∠DAF=，EH=2，求线段CG的长．14．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．（1）写出点A的坐标；（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，∵∠CED=90°，∴四边形OMEN是矩形，∴∠MON=90°，∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，∴∠COM=∠DON，∵四边形ABCD是正方形，∴OC=OD，在△COM和△DON中，∴△COM≌△DON（AAS），∴OM=ON，∴四边形OMEN是正方形，设正方形ABCD的边长为2a，∵∠DCE=30°，∠CED=90°∴DE=a，CE=a，设DN=x，x+DE=CE﹣x，解得：x=，∴NE=x+a=，∵OE=NE，∴=•，∴a=1，∴S正方形ABCD=4故选B．2．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为（）A．2B．3C．D．【解答】解：如图，延长FD到G，使DG=BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，∴∠GCF=45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF=EF，∵CE=3，CB=6，∴BE===3，∴AE=3，设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x，∴EF==，∴（9﹣x）2=9+x2，∴x=4，即AF=4，∴GF=5，∴DF=2，∴CF===2，故选：A．3．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，在△BAE和△CDE中∵，∴△BAE≌△CDE（SAS），∴∠ABE=∠DCE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，∵在△ADH和△CDH中，，∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠HAD=∠HCD，∵∠ABE=∠DCE∴∠ABE=∠HAD，∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AGB=180°﹣90°=90°，∴AG⊥BE，故①正确；∵tan∠ABE=tan∠EAG=，∴AG=BG，GE=AG，∴BG=4EG，故②正确；∵AD∥BC，∴S△BDE=S△CDE，∴S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE=S△CHD，故③正确；∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD=∠CHD，∴∠AHB=∠CHB，∵∠BHC=∠DHE，∴∠AHB=∠EHD，故④正确；故选：D．4．已知点D与点A（0，6），B（0，﹣4），C（x，y）是平行四边形的四个顶点，其中x，y满足3x﹣4y+12=0，则CD长的最小值为（）A．10 B．2C．D．4【解答】解：根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，∴CD过线段AB的中点M，即CM=DM，∵A（0，6），B（0，﹣4），∴M（0，1），∵点到直线的距离垂线段最短，∴过M作直线的垂线交直线于点C，此时CM最小，直线3x﹣4y+12=0，令x=0得到y=3；令y=0得到x=﹣4，即F（﹣4，0），E（0，3），∴OE=3，OF=4，EM=2，EF==5，∵△EOF∽△ECM，∴=，即=，解得：CM=，则CD的最小值为．故选C．5．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是5﹣5．【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，∵平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，∴AB=AD=CD=BC=10，∠BAD=∠BCD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AE过点O，E为BD中点，则此时EO=5，故AO的最小值为：AO=AE﹣EO=ABsin60°﹣×BD=5﹣5．故答案为：5﹣5．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，M为EF中点，则AM的取值范围是≤AM＜6．【解答】解：连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=90°，∵∠BAC=90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP=EF，∵∠BAC=90°，M为EF中点，∴AM=EF=AP，∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，∴BC==13，当AP⊥BC时，AP值最小，此时S△BAC=×5×12=×13×AP，∴AP=，即AP的范围是AP≥，∴2AM≥，∴AM的范围是AM≥，∵AP＜AC，即AP＜12，∴AM＜6，∴≤AM＜6．故答案为：≤AM＜6．7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点P是BC边上任意一点（B、C除外）PE⊥AB 于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值为 4.8．【解答】解：连接AP，如图所示：∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，∴BC==10，∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP，当AP⊥BC时，AP最小，此时∵BC•AP=AB•AC，∴AP===4.8，∴EF的最小值为4.8；故答案为：4.8．8．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，连接OE，DE=6，OE=8，则另一直角边AE的长为10．【解答】解：过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，∵∠AED=90°，∴四边形EMON是矩形，∵正方形ABCD的对角线交于点O，∴∠AOD=90°，OA=OD，∴∠AOD+∠AED=180°，∴点A，O，D，E共圆，∴=，∴∠AEO=∠DEO=∠AED=45°，∴OM=ON，∴四边形EMON是正方形，∴EM=EN=ON，∴△OEN是等腰直角三角形，∵OE=8，∴EN=8，∴EM=EN=8，在Rt△AOM和Rt△DON中，，∴Rt△AOM≌Rt△DON（HL），∴AM=DN=EN﹣ED=8﹣6=2，∴AE=AM+EM=2+8=10．故答案为：10．9．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是对角线互相垂直．【解答】解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故答案为：对角线互相垂直．三．解答题（共5小题）10．如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣3，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l 相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）求∠EBP的度数；（2）求点D运动路径的长；（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．【解答】解：（1）如图，由题可得：AP=OQ=1×t=t（秒）∴AO=PQ∵四边形OABC是正方形，∴AO=AB=BC=OC，∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．∵DP⊥BP，∴∠BPD=90°．∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ．∵AO=PQ，AO=AB，∴AB=PQ．在△BAP和△PQD中，∴△BAP≌△PQD（AAS）．∴BP=PD．∵∠BPD=90°，BP=PD，∴∠PBD=∠PDB=45°．（2）∵△BAP≌△PQD，∴DQ=AP，∵AP=t，∴DQ=t．∴点D运动路径的长为t；（3）∵∠EBP=45°∴由图1可以得到EP=CE+AP，∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=3+3=6．∴△POE周长是定值，该定值为6．11．（2015•盐城）如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4，∠BAD=60°，且AB＞4．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．【解答】解：（1）如图1，过点P作PG⊥EF于G，∵PE=PF，∴FG=EG=EF=2，∠FPG=，在△FPG中，sin∠FPG===，∴∠FPG=60°，∴∠EPF=2∠FPG=120°；（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，DC=BC，在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，∴PM=PN，在R t△PME于R t△PNF中，，∴R t△PME≌R t△PNF，∴FN=EM，在R t△PMA中，∠PMA=90°，∠PAM=∠DAB=30°，∴AM=AP•cos30°=3，同理AN=3，∴AE+AF=（AM﹣EM）+（AN+NF）=6；（3）如图3，当EF⊥AC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，当EF⊥AC，点P在EF的左侧时，AP有最小值，设AC与EF交于点O，∵PE=PF，∴OF=EF=2，∵∠FPA=60°，∴OP=2，∵∠BAD=60°，∴∠FAO=30°，∴AO=6，∴AP=AO+PO=8，同理AP′=AO﹣OP=4，∴AP的最大值是8，最小值是4．12．已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；（2）如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？【解答】（1）答：AB=AH，证明：延长CB至E使BE=DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠D=90°，∴∠ABE=180°﹣∠ABC=90°又∵AB=AD，∵在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴∠1=∠2，AE=AN，∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠2+∠3=90°﹣∠MAN=45°，∴∠1+∠3=45°，即∠EAM=45°，∵在△EAM和△NAM中，，∴△EAM≌△NAM（SAS），又∵EM和NM是对应边，∴AB=AH（全等三角形对应边上的高相等）；（2）作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°∴∠E=∠F=90°，又∵∠BAC=45°∴∠EAF=90°延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，又∵AE=AD=AF∴四边形AEGF是正方形，由（1）、（2）知：EB=DB=2，FC=DC=3，设AD=x，则EG=AE=AD=FG=x，∴BG=x﹣2；CG=x﹣3；BC=2+3=5，在Rt△BGC中，（x﹣2）2+（x﹣3）2=52解得x1=6，x2=﹣1，故AD的长为6．13．如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，点D在CA的延长线上，DE⊥BC，垂足为点E，DE与⊙O相交于点H，与AB相交于点l，过点A作⊙O的切线AF，与DE相交于点F．（1）求证：∠DAF=∠ABO；（2）当AB=AD时，求证：BC=2AF；（3）如图2，在（2）的条件下，延长FA，BC相交于点G，若tan∠DAF=，EH=2，求线段CG的长．【解答】解：（1）连接AO，如图1．∵AF与⊙O相切于点A，∴OA⊥AF，即∠FAO=90°．∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠DAB=90°，∴∠FAO=∠DAB=90°，∴∠DAF=∠BAO．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠DAF=∠ABO；（2）∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，∴∠DTB=90°+∠ABO．∵∠DTB=90°+∠D，∴∠D=∠ABO．在△AFD和△AOB中，，∴△AFD≌△AOB，∴AF=AO，∴BC=2OA=2AF；（3）过点A作AN⊥BC于N，连接OH，OA，如图2．∵∠D=∠B=∠BAO=∠DAF，tan∠DAF=，∴tanB==，tanD==，∴BE=2IE，DE=2EC．又∵∠DIA+∠D=∠DAF+∠FAI=90°，∴∠FIA=∠FAI，∴FI=FA，∴DI=2AF=BC，∴DE﹣IE=BE+EC，∴2EC﹣IE=2IE+EC，∴EC=3IE=BE．设BE=2x，则有EC=3x，BC=5x，HO=BO=，EO=．在Rt△HEO中，根据勾股定理可得（）2+（2）2=（）2，解得x=2（舍负）．∵AN⊥BC，∠BAC=90°，∴∠NAC=∠ABC，∴tan∠NAC==，tan∠ABC==，∴BN=2AN=4NC，∴BC=5NC=10，∴NC=2，ON=5﹣2=3．∵∠AON=∠GOA，∠ANO=∠OAG=90°，∴△AON∽△GOA，∴=，∴=，∴OG=，∴CG=OG﹣OC=．14．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．（1）写出点A的坐标；（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值．【解答】解（1）令y=0，得：﹣x+4=0，解得x=4，即点A的坐标为（4，0）；（2）存在．理由：第一种情况，如下图一所示：∵∠OBA=∠BAP，∴它们是对应角，∴BQ=PA，将x=0代入y=﹣x+4得：y=4，∴OB=4，由（1）可知OA=4，在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB==4．∵△BOQ≌△AQP．∴QA=OB=4，BQ=PA．∵BQ=AB﹣AQ=4﹣4，∴PA=4﹣4．∴点P的坐标为（4，4﹣4）；第二种情况，如下图二所示：∵△OQB≌△APQ，∴AQ=BO=4，AB=，BQ=AP，∴BQ=AB+AQ=，∴AP=4，∴点P的坐标为：（4，﹣4）；由上可得，点P的坐标为：（4，）或（4，）．（3）如图所示：令PA=a，MA=b，△OAP外接圆的圆心为O1，△OAM的外接圆的圆心为O2，∴OP2=OA2+PA2=42+a2=16+a2，OM2=OA2+MA2=42+b2=16+b2，在Rt△POM中，PM2=OP2+OM2=a2+16+b2+16，又∵PM2=（PA+AM）2=（a+b）2=a2+2ab+b2，∴ab=16，∵O1A2=O1Q2+QA2=（）2+（）2=a2+4，O2A2=O2N2+NA2=（）2+（）2=b2+4，∴S1=π×O1A2=（a2+4）π，S2=π×O2A2=（b2+4）π，∴===×=．。
2017数学中考专题--6-线段最值问题.doc
几何中的最值问题几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”.求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理 .常用定理：1、两点之间，线段最短（已知两个定点时）2、垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）3、三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）B AA B'PllPB' BPA+PB 最小，需转化，使点在线异侧|PA- PB|最大，需转化，使点在线同侧4、圆外一点P 与圆心的连线所成的直线与圆的两个交点，离P 最近的点即为P 到圆的最近距离，离P 最远的点即为 P 到圆的最远距离类型一线段和最小值1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm．AAP D A D 蚂蚁 AM P Q E KC 蜂蜜QOB BC BP CN第1题图第2题图第3题图第4题图2.如图 , 点 P 是∠ AOB内一定点，点 M、 N 分别在边 OA、OB上运动，若∠ AOB=45°， OP=3 2，则△ PMN周长的最小值为.3. 如图，正方形ABCD的边长是 4，∠ DAC的平分线交 DC于点 E，若点 P， Q分别是 AD和 AE 上的动点，则 DQ+PQ的最小值为.4. 如图，在菱形ABCD中， AB=2，∠ A=120°，点 P、 Q、K 分别为线段 BC、 CD、 BD 上的任意一点，则PK+QK的最小值为.5. 如图，当四边形PABN的周长最小时， a = ．6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点 O在坐标原点，顶点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， OA=3，OB=4，D 为边 OB的中点 .若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，则点 F 的坐标为.yyB CP(a, 0) N(a+2, 0)O x DB(4,- 1)A(1,- 3) O EF A x第 5题图第 6题图第 7题图变式加深：7、如图 , 正方形 ABCD边长为 2, 当点 A 在 x 轴上运动时 , 点 D 随之在 y 轴上运动 , 在运动过程中 , 点 B到原点 O的最大距离为 ()A. B. C. D.yBPO A x第8题图第9题图第10题图8、如图，∠ MON=90°，矩形 ABCD的顶点 A、B 分别在边O M，ON上，当 B 在边 ON上运动时， A 随之在边OM上运动，矩形 ABCD的形状保持不变，其中AB=2， BC=1，运动过程中，点D到点 O的最大距离为9、如图， E、 F 是正方形ABCD的边 AD上的两个动点，满足AE=DF，连接 CF交 BD于点 G,连接 BE 交 AG与点 H。
中考数学复习《几何作图》
又∵BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AF＝AB，
∴四边形ABEF是菱形
4．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段c，直线l及l外一点A； 求作：Rt△ABC，使直角边为AC(AC⊥l，垂足为C)，斜边AB＝c.
【解析】在直线l另一侧取点P，以点A为圆心，AP为半径画弧交直线l于点 M，N，再作线段MN的垂直平分线交l于点C，然后以点A为圆心，c为半径画 弧交l于点B，连结AB，则△ABC为所求作．
(2)设 AB 的垂直平分线交 ME 于点 N，且 MN＝2( 3＋1) km， 在 M 处测得点 C 位于点 M 的北偏东 60°方向， 在 N 处测得点 C 位于点 N 的北偏西 45° 方向，求点 C 到公路 ME 的距离．
解：(1)到城镇A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距
解：如图，△ABC为所求作的三角形
5．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC
分成两个相似的三角形．(保留作图痕迹，不写作法)
【解析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD＝∠C， 则可判断△ABD与△CAD相似．
解：如图，AD为所求作的直线
解：(1)如图所示：
(2)∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B＝50°，∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝100°
1．如图，已知锐角△ABC. (1)过点 A 作 BC 边的垂线 MN，交 BC 于点 D； (用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法) 3 (2)在(1)条件下，若 BC＝5，AD＝4，tan∠BAD＝4，求 DC 的长．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°. (1)先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心， OC为半径作⊙O；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)请你判断(1)中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
山东省2017年春中考数学总复习专题4几何变换压轴题课件
、翻形的全等或相似得到相等的角、相等的边 或成比例的边，通过勾股定理计算边长.要熟练掌握特殊四边形的 判定定理和性质定理，灵活选择解题方法，注意区分各种四边形
之间的关系，正确认识特殊与一般的关系，注意方程思想、对称
思想以及转化思想的相互渗透.
济南市学考对此问题的考查：2016年学考试题第21题考查了 翻折问题，第27题考查了旋转、相似问题；2015年学考试题第15 题考查了二次函数图象平移问题，第27题考查了旋转问题；2014
年学考试题第12题考查了翻折问题，第20题考查了平移问题，第
27题考查了旋转问题；2013年学考试题第9题考查了旋转问题； 2012年学考试题第19题考查了平移问题，第26题考查了旋转、相 似问题.
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2017北师大版中考数学专题突破九《几何综合》复习方案
几何综合在北京中考试卷中，几何综合题通常出现在后两题，分值为8分或7分．几何综合题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律．求解几何综合题时，关键是抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来，从而产生基本图形，再根据基本图形的性质，合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算．1．[2015·北京] 在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线，点P 在射线CD 上(与点C ，D 不重合)，连接AP ，平移△ADP ，使点D 移动到点C ，得到△BCQ ，过点Q 作QH ⊥BD 于点H ，连接AH ，PH .(1)若点P 在线段CD 上，如图Z9－1(a )． ①依题意补全图(a )；②判断AH 与PH 的数量关系与位置关系，并加以证明．(2)若点P 在线段CD 的延长线上，且∠AHQ ＝152°，正方形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路．(可以不写出计算结果．．．．．．．．．)图Z9－12．[2014·北京] 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图Z9－2①；(2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；(3)如图②，若45°<∠PAB<90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．图Z9－23．[2013·北京] 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段B D.(1)如图Z9－3①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．图Z9－34．[2012·北京] 在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.(1)若α＝60°且点P与点M重合(如图Z9－4①)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；(2)在图②中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝DQ，请直接写出α的范围．图Z9－45．[2011·北京] 在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.(1)在图Z9－5①中证明CE＝CF；(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图②)，直接写出∠BDG的度数；(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB，DG(如图③)，求∠BDG的度数．图Z9－51．[2015·怀柔一模] 在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E.(1)依题意补全图Z9－6①；(2)若∠PAB＝30°，求∠ACE的度数；(3)如图②，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明．图Z9－62．[2015·朝阳一模] 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上(不与点B，C重合)，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE.(1)如图Z9－7(a)，点D在BC边上．①依题意补全图(a)；②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长．(2)如图(b)，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB，BD，BE之间的数量关系(直接写出结论)．图Z9－73．[2015·海淀一模] 在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC＝50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G.(1)依题意补全图形；(2)求证：EG＝BC；(3)用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：________．图Z9－84．[2015·海淀二模] 如图Z9－9①，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＋∠BAC＝180°.(1)直接写出∠ADE的度数(用含α的式子表示)．(2)以AB，AE为边作平行四边形ABFE.①如图②，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；②如图③，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF.图Z9－95．[2015·西城一模] 在△ABC中，AB＝AC，取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连接BE，AF交于点H.(1)如图Z9－10①，如果∠BAC ＝90°，那么∠AHB ＝________°，AF BE＝________； (2)如图②，如果∠BAC ＝60°，猜想∠AHB 的度数和AF BE的值，并证明你的结论； (3)如果∠BAC ＝α，那么AF BE＝________．(用含α的代数式表示)图Z9－106．[2015·丰台一模] 在△ABC 中，CA ＝CB ，CD 为AB 边上的中线，点P 是线段AC 上任意一点(不与点C 重合)，过点P 作PE 交CD 于点E ，使∠CPE ＝12∠CAB ，过点C 作CF ⊥PE 交PE的延长线于点F ，交AB 于点G . (1)如果∠ACB ＝90°，①如图Z9－11(a)，当点P 与点A 重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG 全等的一个三角形；②如图(b)，当点P 不与点A 重合时，求CF PE的值．(2)如果∠CAB ＝a ，如图(c )，请直接写出CF PE的值．(用含a 的式子表示)图Z9－11 7．[2015·海淀] 将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转α(0°<α<120°)得到线段AD ，连接CD .(1)连接BD，①如图Z9－12(a)，若α＝80°，则∠BDC的度数为________．②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．(2)如图(b)，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE.若∠CED＝90°，求α的值．图Z9－128．[2015·西城二模] 正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE ＝DF.连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.(1)如图Z9－13①，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是________．(2)如图②，当点E在DC边上且不是DC的中点时，(1)中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由．(3)如图③，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．图Z9－13参考答案1.解：(1)①如图(a)所示．②AH ＝PH ，AH ⊥PH . 证明：连接CH ，由条件易得：△DHQ 为等腰直角三角形， 又∵DP ＝CQ ，∴△HDP ≌△HQC ， ∴PH ＝CH ，∠HPC ＝∠HCP .∵BD 为正方形ABCD 的对称轴， ∴AH ＝CH ，∠DAH ＝∠HCP ， ∴AH ＝PH ，∠DAH ＝∠HPC ，∴∠AHP ＝180°－∠ADP ＝90°， ∴AH ＝PH 且AH ⊥PH.(2)如图(b)，过点H 作HR ⊥PC 于点R ， ∵∠AHQ ＝152°， ∴∠AHB ＝62°， ∴∠DAH ＝17°， ∴∠DCH ＝17°.设DP ＝x ，则DR ＝HR ＝RQ ＝1－x2. 由tan17°＝HRCR 得1－x 21＋x2＝tan17°，∴x ＝1－tan17°1＋tan17°.2．解：(1)补全图形如图①所示：(2)如图①，连接AE ，则∠PAB ＝∠PAE ＝20°，AE ＝AB. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝90°，AB ＝AD ， ∴∠EAD ＝130°，AE ＝AD. ∴∠ADF ＝25°.(3)如图②，连接AE ，BF ，BD.由轴对称的性质可得EF ＝BF ，AE ＝AB ＝AD ，∠ABF ＝∠AEF ＝∠ADF ， ∴∠BFD ＝∠BAD ＝90°.∴BF 2＋FD 2＝BD 2.∴EF 2＋FD 2＝2AB 2.3．解：(1)∵AB ＝AC ，∠A ＝α，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－∠A )＝90°－12α.∵∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ，∠DBC ＝60°， ∴∠ABD ＝30°－12α.(2)△ABE 是等边三角形． 证明：连接AD ，CD ，ED ，∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ， 则BC ＝BD ，∠DBC ＝60°. ∴△BCD 为等边三角形． ∴BD ＝CD.∵∠ABE ＝60°，∴∠ABD ＝60°－∠DBE ＝∠EBC ＝30°－12α.在△ABD 与△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝12α.∵∠BCE ＝150°，∴∠BEC ＝180°－(30°－12α)－150°＝12α＝∠BAD.在△ABD 和△EBC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠BAD ，∠EBC ＝∠ABD ，BC ＝BD ，∴△ABD ≌△EBC ， ∴AB ＝BE .又∵∠ABE ＝60°，∴△ABE 是等边三角形．(3)∵∠BCD ＝60°，∠BCE ＝150°， ∴∠DCE ＝150°－60°＝90°. ∵∠DEC ＝45°，∴△DEC 为等腰直角三角形， ∴DC ＝CE ＝BC. ∵∠BCE ＝150°.∴∠EBC ＝12(180°－150°)＝15°.∵∠EBC ＝30°－12α＝15°，∴α＝30°.4．解：(1)如图①，∵BA ＝BC ，∠BAC ＝60°，M 是AC 的中点， ∴BM ⊥AC ，AM ＝MC.∵将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ， ∴AM ＝MQ ，∠AMQ ＝120°， ∴CM ＝MQ ，∠ CMQ ＝60°， ∴△CMQ 是等边三角形， ∴∠ACQ ＝60°， ∴∠CDB ＝30°. (2)连接PC ，AD ，∵AB ＝BC ，M 是AC 的中点， ∴BM ⊥AC ，∴AD ＝CD ，AP ＝PC. 在△APD 与△CPD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，PD ＝PD ，PA ＝PC ，∴△APD ≌△CPD ，∴∠ADB ＝∠CDB ，∠PAD ＝∠PCD ，∴∠ADC ＝2∠CDB.又∵PQ ＝PA ，∴PQ ＝PC ，∴∠PQC ＝∠PCD ＝∠PAD ，∴∠PAD ＋∠PQD ＝∠PQC ＋∠PQD ＝180°，∴∠APQ ＋∠ADC ＝360°－(∠PAD ＋∠PQD )＝180°，∴∠ADC ＝180°－∠APQ ＝180°－2α，∴2∠CDB ＝180°－2α，∴∠CDB ＝90°－α.(3)∵∠CDB ＝90°－α，且PQ ＝QD ，∴∠PAD ＝∠PCQ ＝∠PQC ＝2∠CDB ＝180°－2α.∵点P 不与点B ，M 重合，∴∠BAD ＞∠PAD ＞∠MAD ，∴2α＞180°－2α＞α，∴45°＜α＜60°.5．解：(1)∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠F .∴∠CEF ＝∠F .∴CE ＝CF .(2)∠BDG ＝45°.(3)如图，分别连接GB ，GE ，GC ，∵AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠ABC ＝120°，∴∠ECF ＝∠ABC ＝120°.∵FG ∥CE 且FG ＝CE ，∴四边形CEGF 是平行四边形．由(1)得CE ＝CF .∴四边形CEGF 是菱形，∴GE ＝EC ，①∠GCF ＝∠GCE ＝12∠ECF ＝60°， ∴△ECG 与△FCG 是等边三角形，∴∠GEC ＝∠FCG ，∴∠BEG ＝∠DCG ，②由AD ∥BC 及AF 平分∠BAD 可得∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE .在▱ABCD 中，AB ＝DC ，∴BE ＝D C.③由①②③得△BEG ≌△DCG ，∴BG ＝DG ，∠1＝∠2，∴∠BGD ＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EGC ＝60°，∴∠BDG ＝180°－∠BGD 2＝60°.1.解：(1)(2)连接AD ，如图①.∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，∠DAP ＝∠BAP ＝30°， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴AD ＝AC ，∠DAC ＝120°，∴2∠ACE ＋120°＝180°.∴∠ACE ＝30°.(3)AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．证明：连接AD ，EB ，如图②.∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，DE ＝BE ，可证得∠EDA ＝∠EB A.∵AB ＝AC ，AB ＝AD ，∴AD ＝AC ，∴∠ADE ＝∠ACE ，∴∠ABE ＝∠ACE .设AC ，BE 交于点F ，∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠BAC ＝∠BEC ＝60°，∴线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．2．解：(1)①补全图形，如图(a )所示．②如图(b )，由题意可知AD ＝DE ，∠ADE ＝90°.∵DF ⊥BC ，∴∠FDB ＝90°.∴∠ADF ＝∠ED B.∵∠C ＝90°，AC ＝BC ，∴∠ABC ＝∠DFB ＝45°.∴DB ＝DF .∴△ADF ≌△EDB.∴AF ＝EB.在△ABC 和△DFB 中，∵AC ＝8，DF ＝3，∴AB ＝8 2，BF ＝3 2.AF ＝AB －BF ＝5 2，即BE ＝5 2， (2)2BD ＝BE ＋AB.3．解：(1)补全图形，如图①所示．(2)方法一：证明：连接BE ，如图②.∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC.∵∠ADC ＝120°，∴∠DCB ＝60°.∵AC ]是菱形ABCD 的对角线，∴∠DCA ＝12∠DCB ＝30°. ∴∠EDC ＝180°－∠DEC －∠DCA ＝100°.由菱形的对称性可知，∠BEC ＝∠DEC ＝50°，∠EBC ＝∠EDC ＝100°， ∴∠GEB ＝∠DEC ＋∠BEC ＝100°.∴∠GEB ＝∠CBE .∵∠FBC ＝50°，∴∠EBG ＝∠EBC －∠FBC ＝50°.∴∠EBG ＝∠BEC.在△GEB 与△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GEB ＝∠CBE ，BE ＝EB ，∠EBG ＝∠BEC ，∴△GEB ≌△CBE .∴EG ＝BC .方法二：证明：连接BE ，设BG 与EC 交于点H ，如图②.∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC.∵∠ADC ＝120°，∴∠DCB ＝60°.∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴∠DCA ＝12∠DCB ＝30°. ∴∠EDC ＝180°－∠DEC －∠DCA ＝100°.由菱形的对称性可知，∠BEC ＝∠DEC ＝50°，∠EBC ＝∠EDC ＝100°， ∵∠FBC ＝50°，∴∠EBG ＝∠EBC －∠FBC ＝50°＝∠BEC .∴BH ＝EH .在△GEH 与△CBH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GEH ＝∠CBH ，EH ＝BH ，∠EHG ＝∠B HC ，∴△GEH ≌△CBH .∴EG ＝BC .(3)AE ＋BG ＝3EG .4．解：(1)∠ADE ＝90°－α.(2)①证明：∵四边形ABFE 是平行四边形，∴AB ∥EF .∴∠EDC ＝∠ABC ＝α.由(1)知∠ADE ＝90°－α，∴∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝90°.∴AD ⊥BC.∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD.②证明：∵AB ＝AC ，∠ABC ＝α，∴∠C ＝α.∵四边形ABFE 是平行四边形，∴AE ∥BF ，AE ＝BF .∴∠EAC ＝∠C ＝α.由(1)知∠DAE ＝180°－2∠ADE ＝180°－2(90°－α)＝2α， ∴∠DAC ＝α.∴∠DAC ＝∠C.∴AD ＝CD .∵AD ＝AE ＝BF ，∴BF ＝CD.∴BD ＝CF .5．解：(1)90 12(2)结论：∠AHB ＝90°，AF BE ＝32. 证明：如图，连接AD .∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．∵D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC.∴∠1＋∠2＝90°.又∵DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝90°.∴∠2＋∠C ＝90°.∴∠1＝∠C ＝60°.设AB ＝BC ＝k (k >0)，则CE ＝12CD ＝k 4，DE ＝34k . ∵F 为DE 的中点，∴DF ＝12DE ＝38k ，AD ＝32AB ＝32k . ∴AD BC ＝32，DF CE ＝32. ∴AD BC ＝DF CE . 又∵∠1＝∠C ，∴△ADF ∽△BCE . ∴AF BE ＝ADBC ＝32， ∠3＝∠4.又∵∠4＋∠5＝90°，∠5＝∠6，∴∠3＋∠6＝90°.∴∠AHB ＝90°. (3)12tan(90°－α2)． 6．解：(1)①作图．△ADE (或△PDE )．②过点P 作PN ∥AG 交CG 于点N ，交CD 于点M ，∴∠CPM ＝∠CAB.∵∠CPE ＝12∠CAB ， ∴∠CPE ＝12∠CPN .∴∠CPE ＝∠FPN . ∵PF ⊥CG ，∴∠PFC ＝∠PFN ＝90°.∵PF ＝PF ，∴△PFC ≌△PFN .∴CF ＝FN .由①得：△PME ≌△CMN .∴PE ＝CN .∴CF PE ＝CF CN ＝12. (2)12tan α. 7．解：(1)①30°.②不改变，∠BDC 的度数为30°.方法一：由题意知AB ＝AC ＝A D.∴点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上．∴∠BDC ＝12∠BAC ＝30°. 方法二：由题意知AB ＝AC ＝A D.∵AC ＝AD ，∠CAD ＝α，∴∠ADC ＝∠ABD ＝180°－α2＝90°－12α. ∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°＋α，∴∠ADB ＝∠ABD ＝180°－()60°＋α2＝120°－α2＝60°－12α. ∴∠BDC ＝∠ADC －∠ADB ＝(90°－12α)－(60°－12α)＝30°. (2)过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM .∴∠AMC ＝90°.在△AEB 与△AMC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠AMC ，∠B ＝∠ACD ，AB ＝AC ，∴△AEB ≌△AMC.∴AE ＝AM ，∠BAE ＝∠CAM .∴∠EAM ＝∠EAC ＋∠CAM ＝∠EAC ＋∠BAE ＝∠BAC ＝60°. ∴△AEM 是等边三角形．∴EM ＝AM ＝AE .∵AC ＝AD ，AM ⊥CD ，∴CM ＝DM .又∵∠DEC ＝90°，∴EM ＝CM ＝DM .∴AM ＝CM ＝DM .∴点A ，C ，D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上． ∴α＝∠CAD ＝90°.8．解：(1)CH ＝AB(2)结论成立．证明：如图，连接BE .在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠A ＝∠BCD ＝∠ABC ＝90°. ∵DE ＝DF ，∴AF ＝CE .在△ABF 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠A ＝∠BCE ，AF ＝CE ，∴△ABF ≌△CBE .∴∠1＝∠2.∵EH ⊥BF ，∠BCE ＝90°，∴H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上．∴∠3＝∠2.∴∠3＝∠1.∵∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠HBC ＝90°，∴∠4＝∠HB C.∴CH ＝CB.∴CH ＝AB. (3)3 2＋3.。
2017年中考数学《几何探索类问题》复习教案
2017年中考数学复习几何探索类问题探索类问题是近几年中考命题的重点，不少省市还作为压轴的大题。
笔者研究了各地中考试卷，对命题特点、解题方法做了一些探讨。
本文以中考题为例说明之，供同学们学习时参考。
一、实验型探索题例1.等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法：如图1，在△ABC中，AB＝AC，把底边BC分成m等份，连接顶点A和底边BC各等分点的线段，即可把这个三角形的面积m等分。
图1问题提出：任意给定一个正n边形，你能把它的面积m等分吗？探究与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手怎样从正三角形的中心（正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的中心）引线段，才能将这个正三角形的面积m 等分？如果要把正三角形的面积4等分，我们可以先连接正三角形的中心和各顶点（如图2(1)），这些线段将这个三角形分成了3个全等的等腰三角形）；再把所得到的每个等腰三角形的底边4等分，连接中心和各边等分点（如图2(2)，这些线段把这个三角形分成了12个面积相等的小三角形）；最后依次把相邻的3个小三角形拼合在一起（如图2(3)），这样就能把这个正三角形的面积4等分了。
图2（1）实验与验证：仿照上述方法，利用刻度尺在图3中画出一种将正三角形的面积5等分的示意图。
图3（2）猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？叙述你的分法并说明理由。
（3）拓展与延伸：怎样从正方形（如图4）的中心引线段，才能将这个正方形的面积m等分（叙述分法即可，不要求说明理由）？图4（4）问题解决：怎样从正n边形（如图5）的中心引线段，才能使这个正n边形的面积m等分？（叙述分法，不要求说明理由）图5分析：这类问题的特点是先给出一个解决问题的范例，然后要求解答一个类似的问题，最后将结论或方法推广到一般情况。
这类问题文字较多，首先应弄清楚哪些是范例，哪些是要求解答的问题，然后详细阅读范例，从中领会解决问题的方法，并能运用这个方法解决问题。
广东省深圳市2017届中考数学复习反比例函数k的几何意义专题
6、如图6, A 是双曲线y=- g 上一点，过点 A 向x 轴作垂线，垂足为 B ,向y 轴 作垂线，垂足为 C,则四边形 OBAC 勺面积为()C cBB )上B8D 2BScBO图8图7图1 A 、6 A 2 B 、4 C 、5 D 、8、填空题反比例函数K 的几何意义专题试卷、选择题的面积为()5、如图5,在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限，AB 丄y 轴于点B,函数(k > 0, x > 0)的图象与线段 AB 交于点C,且AB=3BC 若厶AOB 的面积为12,则k 的值为( )A 、4 B 、6 C 、8 D 、12B 、5 、10 D 、— 5图47、如图7,过反比例函数 y= — (x >0) AO 若S A AOE =2，则k 的值为( )图5图6的图像上一点 A 作AB 丄x 轴于点B,连接xOy 中，OA 切y 轴于点B ,且点A 在反比例函数y=C 为0A 中点，则图中阴影部0A 交OA 于点C,且点C 、2 8、如图8,在平面直角坐标系 (x > 0)的图象上，连接 分的面积为(匸 匹)B 、4 \ --斗1、如图1,在平面直角坐标系中，点 A 是x 轴正半轴上的一个定点，点 P 是双曲 线y=- (x > 0)上的一个动点，PB 丄y 轴于点B,当点P 的横坐标逐渐增大时，四 边形OAPB 的面积将会()A 、逐渐增大B 、不变C 逐渐减小 D、先增大后减小2、如图2,已知P 是反比例函数 y=L (x >0)图象上一点，点B 的坐标为(5, 0), A 16 B 、20 C 、24 D 、283、如图3,^OAC 和A BAD 都是等腰直角三角形，/ ACO M ADB=90，反比例函数 y=在第一象限的图象经过点 B ,^BAD 的面积之差 S A OAC — S A BAD 为()A 、36B 、12C 、6D 、3图2 图3的图象经过矩形 OABC 的边AB 的中点D,则矩形OABCA 2B 、3C 、4D 、5A 是y 轴正半轴上一点，且AP 丄BP, AP: BP=1: 3,那么四边形 AOBP 的面积为( 4、如图4,反比例函数y=9、如图9,已知点P (6, 3),过点P作PM Lx轴于点M PNLy轴于点N,反比例函数y的图象交PM于点A,交PN于点B.若四边形OAPB勺面积为12,则Ak= _______ .10、如图10,以？ABCO勺顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是(2, 4)、(3, 0),过点A的反比例函数的图象交BC于D,连接AD,则四边形AOCD勺面积是_______________________________________ .11、如图11,在平面直角坐标系中，反比例函数---(x> 0)的图象交矩形OABC 的边AB于点D,交边BC于点E,且BE=2EC若四边形ODBE勺面积为6，则k= _________ .图12 图13 图1415、反比例反数y=£. (x >0)的图象如图15所示，点B在图象上，连接OB并延长到点A,使AB=OB过点A作AC//y轴交点 (x>0)的图象于点C,连接BC OC S A BO(=3 ,贝U k= _______________________ .16、如图16，矩形ABCD勺顶点A, B的坐标分别是A (- 1 , 0), B ( 0,- 2),反比例函数y=的图象经过顶点C, AD边交y轴于点E,若四边形BCDE的面积等于厶ABE面积的5倍，则k的值等于__________________________ .17、如图17,在平面直角坐标系中，△ ABC的边AB//x轴，点A在双曲线y== (x v 0) 上，点B 在双曲线y= (x> 0) 上，边AC中点D在x轴上，△ ABC的面积为12、如图12,在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线I //y 轴，且直线I分别与反比例函数(x> 0)和(x > 0)的图象交于P、Q两点，若S APO(=14,贝U k的值为____________ .13、如图13, Rt△ ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E,反比例函数-一二(x > 0)的图像经过点A,若S A BEC=10,则k等于.14、如图14,双曲线y经过Rt△ OMN斜边ON上的点A,与直角边MN相交于点B,已知OA=2AN A OAB的面积为6,贝U k的值是 ____________H-图10 图1118、如图18所示，反比例函数y冬(k z0, x>0)的图象经过矩形OABC勺对角Ji线AC的中点D.若矩形OABC勺面积为8,则k的值为 _________________19、如图19,点A, B在反比例函数y( k> 0)的图象上，ACL x轴，BD丄x轴，垂足C,D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k,已知AB=2AC E是AB的中点，且厶BCE的面积是厶ADE的面积的2倍，贝U k的值是____________20、如图20，在平面直角坐标系xOy中，△ OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△ OAB的中线，点B, C在反比例函数严一冷(x>0)的图象上，则△ OAB的面积等于 .图18 图19 图2021、如图21,直线I丄x轴于点P,且与反比例函数y1 ( x> 0)及y2= (x> 0)的图象分别交于点A,B,连接OAOB已知△ OAB的面积为2，则匕-k?= _____________ 22、如图22,在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，/ AOB=30 , AB=BO 反比例函数y丰(x V 0)的图象经过点A,若S^ABO=伍，贝y k的值为23、如图23,反比例函数y (k z0)的图象经过A, B两点，过点A作ACL x 轴，垂足为C,过点B 作BD Lx轴，垂足为D,连接AO,连接BO交AC于点E,若OC=CD四边形BDCE的面积为2,贝y k的值为______________ .图21 图22 图2324、如图，点A是反比例函数y1= - ( x>0)图象上一点，过点A作x轴的平行线, 交反比例函数y2=车(x>0)的图象于点B,连接OA OB若厶OAB的面积为2, 则k的值为.25、如图，等腰△ ABC中，AB=AC BC//x轴，点A, C在反比例函数y=半(x>0) 的图象上，点B 在反比例函数y=三(x>0)的图象上，贝忆ABC的面积为__________________________________ .26、如图，已知A是双曲线y= ( x> 0) 上一点，过点A作AB//y轴，交双曲线y= - - (x > 0)于点B,过点B作BC L AB交y轴于点C,连接AC,UA ABC的面29、如图，点 A 在双曲线 y 上，点B 在双曲线 y 上，且AB//y 轴，C, D 在 y 轴上，若四边形 ABCD 为平行四边形，则它的面积为27、如图，已知点 A 是双曲线 y 在第一象限的分支上的一个动点，连结A0并 延长交另一分支于点 B ,以AB 为斜边做等腰直角△ ABC 点 C 在第四象限.随着点30、如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 勺顶点A 在x 轴上，顶点C 在y 轴上，B(4, 3),连接 OB 将厶OAB 沿直线OB 翻折，得△ ODB,OD 与BC 相交于点E,若双A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线y (k v 0) 上运动, Ji28、如图，点P (3a , a )是反比例函y=弓(k >0)与OO 的一个交点，图中阴影部分的面积为 10 n ，则反比例函数的解析式为 __________ .曲线/■经过点E,则k= _______________ ；_答案解析部分一、单选题1、【答案】C【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：设点P的坐标为(x，),••• PB丄y轴于点B,点A是x轴正半轴上的一个定点，•••四边形OAPB是个直角梯形，•••四边形OAPB勺面积=£(PB+AO ?BO=；(x+AO) ?三+嘤?£+黑2?¥,•/ AO是定值，•四边形OAPB勺面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB勺面积逐渐减小.故选：C.【分析】由双曲线y= (x > 0)设出点P的坐标，运用坐标表示出四边形OAPB勺A面积函数关系式即可判定.2、【答案】B【考点】反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：作PM丄x轴，PN丄y轴.则厶APW A BPM•逗一丄•P纵坐标比横坐标是3: 1,设P的横坐标是x,则纵坐标是3x.3x= —A即：x2=4•x=2•P的坐标是：(2, 6)•PB 方程y=- 2x+2PA方程y=w、x+5•A的坐标是(0, 5) 连接OP三角形OPA面积=5,三角形OPB面积=15,•四边形AOBP的面积为20.故选B.【分析】作PML x轴，PN丄y轴.则△ APW A BPM即可得到P纵坐标比横坐标是3：1,从而求得P的坐标，进而求得面积.3、【答案】D【考点】反比例函数系数k的几何意义，等腰直角三角形【解析】【解答】解：设△ OAC和厶BAD的直角边长分别为a、b,则点B的坐标为(a+b, a- b).•••点B在反比例函数y= 的第一象限图象上，• ( a+b)x( a- b) =a2- b2=6.•S △OAC-S^BAC= —a —b2= (a2- b2) = x 6=3.故选D.【分析】设厶OAC和厶BAD的直角边长分别为a、b,结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论.本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出a2- b2的值.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键.4、【答案】B【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：••• y= ,•••0A?0D=2•••D是AB的中点，• AB=2AD•矩形的面积=OA?AB=2AD?OA=2=4.故选：B.【分析】由反比例函数的系数k的几何意义可知：0A?AD=2然后可求得OA?AB的值，从而可求得矩形OABC的面积•本题主要考查的是反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键.5、【答案】C【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：连结OC如图，••• AB丄y 轴于点B, AB=3BC--S △AO B=3S A BOC ,•S △BOC F■—X 12=4,3|k|=4 ,而k> 0,•- k=8.【分析】连结0C如图，根据三角形面积公式，由AB=3BC得到S MO=3S^OC ,可计算出S^BO=4,再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|=4 ,然后去绝对值即可得到满足条件的k的值.6、【答案】B【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：•点A在双曲线y=- 上，且ACL y轴，AB丄x轴，•S矩形OBA= |k|=5 .故选B.【分析】由“点A在双曲线y=- 上，且AC Ly轴，AB丄x轴”结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出四边形OBAC勺面积.7、【答案】C【考点】反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：•••点A是反比例函数y= 图像上一点，且AB丄x轴于点B, • S △AOE F—|k|=2 ,解得：k=±4.•• •反比例函数在第一象限有图像，•k=4.故选C.【分析】根据点A在反比例函数图像上结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出关于k的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k值，再结合反比例函数在第一象限内有图像即可确定k值.8、【答案】D【考点】反比例函数系数k的几何意义，扇形面积的计算【解析】【解答】解：连接AB BC, ••点A在反比例函数y= (x> 0)的图象上，•S △AOE F爲X 4 (..：=2 ,•£OB?AB=2石,••点C为0A中点，•BC= OA=AC•△ ABC是等边三角形，•/ OAB=60 ,OB i—•丽=tan60 ° = J3,•0B= j 5 AB,即AM= , NB=会,0 5'/S 四边形OAPB=12,即S 矩形OMP—S^OAM-S^NBC=12,6X 3- 4 X6X§- * X 3X 专=12, •四边形AOCD勺面积=平行四边形ABCO勺面积-△ ABD的面积=3X 4 - X 3X 4=9; 故答案为：9.【分析】先求出反比例函数和直线BC的解析式，再求出由两个解析式组成方程组的解，得出点D的坐标，得出D为BC的中点，△ ABD的面积=平行四边形ABCD 的面积，即可求出四边形AOCD勺面积.11、【答案】3【考点】反比例函数系数k的几何意义? AB?AB=2 ,•AB=2•S 扇形=- ' ' ^ ''= ,解得：k=6.故答案为：6.【分析】根据点P ( 6, 3),可得点A的横坐标为6,点B的纵坐标为3,代入函数解析式分别求出点A的纵坐标和点B的横坐标，然后根据四边形OAPB勺面积为12,列出方程求出k的值•本题考查了反比例函数系数关键是根据点解.10、【答案】k的几何意义，解答本题的A B 的纵横坐标，代入解析式表示出其坐标，然后根据面积公式求【考点】反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质【解析】【解答】解：：•四边形ABCD是平行四边形，A、C的坐标分别是(2, 4)、(3, 0), ••点B的坐标为：(5, 4), 把点A (2, 4)代入反比例函数•••反比例函数的解析式为:设直线BC的解析式为:y=得：k=8,y=；y=kx+b,【分析】连接AB,根据反比例函数系数k的几何意义得出S^AOB=2，根据点C 为OA中点，得出AB= ^OA即可求得/ OAB=60，根据面积求得AB的长，然后把点B( 5,0)代入得:求得扇形的面积，即可求得阴影的面积.二、填空题9、【答案】6【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：•••点P (6, 3), •••点A的横坐标为6,点B的纵坐标为3, 代入反比例函数y= 得，解得：k=2 , b=- 6,•直线BC的解析式为:8y=2x - 6,解方程组得:点A的纵坐标为-，点B的横坐标为-,=4—或•••点D的坐标为：(4,即D为(不合题意，舍去)，2),•S阴影=S\AOB—S扇形=2【解析】【解答】解：连接OB如图所示：•••四边形OABC是矩形，•••/ OAD M OCE H DBE=90 , △ OAB 的面积=△ OBC 的面积，••• D E在反比例函数y=^ (x>0)的图象上，•△ OAD的面积=△ OCE的面积，•△ OBD的面积=△ OBE的面积= 四边形ODBE的面积=3,••• BE=2EC・」OCE的面积二△ OBE的面积=舟,•k=3;故答案为：3.【分析】连接OB由矩形的性质和已知条件得出厶OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE 的面积=3,在求出△ OCE的面积，即可得出k的值.12、【答案】-20【考点】反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：TS △PO<=S A OMC+S A OMP ,|k|+ = X |8|=14 ,• |k|=20 ,而k v 0,•k=- 20.故答案为-20.【分析】由于S^OQ=S MM(+&OMP ,根据反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|+ X |8|=14 ,然后结合函数y=的图象所在的象限解方程得到满足条件的k 的值.13、【答案】20【考点】反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】I BD为Rt△ ABC的斜边AC上的中线，•BD=DC / DBC H ACB又/ DBC H EBO•/ EBO H ACB又/ BOE H CBA=90 ,•△BO0A CBABO__OE•，即BCX OE=BO AB又TS △BEC=10 ,即BC X OE=20=BO A B=|k| .又由于反比例函数图象在第一象限，k > 0.所以k等于20.故答案为：20.【分析】先根据题意证明厶BO0A CBA根据相似比及面积公式得出BOX AB的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k的值.此题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k| ,是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义.图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S= |k| .14、【答案】亠【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：作ACL x轴于C,如图,设A点坐标为(2a, ),•/ OA=2AN•••0C=2CM --0M=3a• B点坐标为(3a^ —),•「S △A0B+S A B0=S A A0C+S梯形ABMC , WA OAB的面积为6, S^BO M=S^AOC ,•・S梯形ABM=6 , • ( +)?a=6,• k=故答案为二.2【分析】作ACLx轴于C,如图，设A点坐标为(2a, =•),由于OA=2AN贝U OC=2CM 所以OM=3a根据反比例函数图象上点的坐标特征得到B点坐标为(3a,寻)，则S A AOB+S A BOMF S A AOC+S梯形ABMC,根据反比例函数y== ( k M 0)系数k的几何意义得到S A BO M=S A AOC,所以S梯形ABM=6，利用梯形的面积公式得到-( + ) ?a=6,解得k=p •15、、【答案】4【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：如图：延长AC交x轴于D点，由AB F OB得A (2a, ¥), D (2a, 0). 由AB=OB得S A ABC=S A BO(=3,S A CO D= OD?CD= k.由三角形面积的和差，得S A AOD—S XCOE F S A AOC ,即X 2a x 善•-= k=6.解得k=4.故答案为：4.【分析】根据线段中点的性质，可得A点坐标，根据三角形的中线分三角形所得两个三角形的面积相等，可得S A ABC=S A BO(=3,根据反比例函数的定义，可得A COD的面积，根据三角形面积的和差，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案.16、【答案】【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：如图，作CF丄y轴于F,作EGLBC于G,•••/ EGB M EAB2 ABG=90 ,•四边形ABGE是矩形，在A AEB和A GBE中，\AE = BG\ EB = EB,AB=EG•A AEB^A GBE( SSS ,••• A、B 的坐标分别是A (- 1 , 0 )、B ( 0,- 2),•AB直线解析式为：y=kx+b ,3.• k= - 3.故将两点代入得出: 解得: b= -2 故直线AB 解析式为：y= - 2x - 2, •/ ADL AB AC L BE •• OA 2=OE?OB 即 2 1 =CE< 2, • E ( 0,)-S 四边形 BCDE =5S A AEB •・S 四边形 BCDE =5S A GBE • S 四边形 CDE =4S\GBE • CG=2BG=2AE=2川F ：」庁=,• BG= , •••/ AEO N CBF , / EOA M CFB=90 ,• △ BCF^A EAO BF CF BC = = ， •/ AE=BG 心,BC=BG+CG 【分析】首先得出厶AEB^A GBE 再利用四边形BCDE 勺面积等于厶ABE 面积的5倍，进而得出 AE 与BC 之间的关系，由△ BCF^A EAQ 得出 C 点坐标，进而求出 k 的值.17、【答案】-3【考点】反比例函数系数k 的几何意义【解析】【解答】解：设 A 点坐标为（x i , 土），B 点的坐标为（X 2 , 77 ）, •/ AB//x 轴，边AC 中点D 在x 轴上，•••△ ABC 边AB 上的高为2X （—台）=-,•/△ ABC 的面积为8,BF CF BC c •… ===3, • B F=3EO= , CF=3AO=3 r 1• OF=O - BF=2-=,设C 的坐标为(x , y )则x=3 , y= - ~] ;故 k=xy=3X(-=)=-= \17X ?\l 7- 人•、• ( - - , ,,:知.4戈=二即解--二二=8,-)=8故答案为:故答案为:3.2【分析】运用双曲线设出点 A 及点B 的坐标，确定三角形的底与高，利用△ ABC 的 面积为8列出式子求解•再运用 A, B 点的纵坐标相等求出 k .18、【答案】2【考点】反比例函数系数k 的几何意义【解析】【解答】解：过 D 作DEL 0A 于E ,设D （ m 上），二OE=m DE=—, •••点D 是矩形OABC 勺对角线AC 的中点，•••OA=2m OC =—,m•••矩形OABC 勺面积为8,• 0A?0C=2m? —=8,ID• k=2, 故答案为：2.【分析】过D 作DEL OA 于E ,设D （m '）,于是得到 OA=2m OC=…，根据 矩形的面积列方程即可得到结论.本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，矩形的性质，根据矩形的面积列出方程是解题的关键.19、【答案】【考点】反比例函数系数k 的几何意义 【解析】【解答】解：TE 是AB 的中点，• S △ABD =2S^ADE , S △BAC =2S ^BCE , 又•••△ BCE 的面积是厶ADE 的面积的2倍,•- 2S ^ABC =S ^BAC •设点A 的坐标为（m 二），点B 的坐标为（n ,二），则有IDro - n=k 上二-2上 m n n)2+(— - —)~IYin n m答案为：二2点B 的坐标为（n ，鱼），结合CD=k 面积公式以及nk 的三元二次方程组，解方程组即可得出结论.本题考查了反比例函数图象上点的 坐标特征、三角形的面积公式以及解多元高次方程组，解题的关键是得出关于n 、k 的三元二次方程组•本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用面积间的关系找出两点坐标间的关系是关键.920、【答案】【考点】反比例函数系数k 的几何意义【解析】【解答】解：作 BD Lx 轴于D, CEL x 轴于E ,• BD// CECE AD= = ,•/ OC 是厶OAB 的中线，.阜肋处］===,设 CE=x 贝U BD=2x• C 的横坐标为一，B 的横坐标为一, • OD 壬，OE=,•DE J —丄」•-DE=-=,f• AE=DE=,,解得：_ V7 （舍去）•故【分析】根据三2S ^ABD =S ^BAC,设点A 的坐标为（m：'),AB=2AC 即可得出关于2x根据三角形面积求得即可.21、【答案】4【考点】反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：T反比例函数y i= —(x> 0)及y2= —(x > 0)的图象均在第一象限内，• •k i> 0, k2>0.•/ AP丄x轴，丄I o 丄I•・S △OAF= :w k l , S △OBF= k2 .•S △OAB=S A O AP_ S^OBF= 7( k l —k2)=2,解得：k i —k2=4.故答案为：4.【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题已经反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是得出S^OAB= 1 2 ( k i - k2).本题属于基础题，难度不大，• 0B=.在Rt△ ADB中，/ ADB=90 ,• B D"=A B— AC?= —- 3a2,•/ OD=OB+BD=,cl 卩3a= 4 +解得：a=i或a=- i (舍去).•点A的坐标为(-3, ),• k= - 3X = - 3 .=2 q•••0A= + =,h 2x 2.r•S △OA B= OA?BD= X 故答案为玄解决该题型题目时，根据反比例函数系数k的几何意义用系数面积是关键.由反比例函数的图象过第一象限可得出k i> 0, 数系数k的几何意义即可得出S^OAF= £k i , S ^OBF= ¥k2 , 2结合三角形之间的关系即可得出结论.22、【答案】-3【考点】反比例函数系数k的几何意义A作AD Lx轴于点D,如图所示.【分析】作BDL x轴于D, CE lx轴于E,贝U BD//CE得出需=^ =^，设CE=x则BD=2x根据反比例函数的解析式表示出2 r0D= ，0E=，OA=，然后k来表示出三角形的k2> 0，再由反比例函根据△ OAB的面积为/<dv、D B0A=tan/ A0B=AD= a, AB=OB=,BD= .【解析】【解答】解：过点•••/ AOB=30 , ADL ODAT}•设点A的坐标为(-3a,S △ABO=- OB?AD=故答案为：-3 .【分析】过点A作ADL x轴于点D,由/AOB=30可得出= ，由此可是点OD-yA的坐标为(-3a, a),根据S MBO=结合三角形的面积公式可用a表示出线段OB的长，再由勾股定理可用含a的代数式表示出线段BD的长，由此即可得出关于a的无理方程，解方程即可得出结论. 本题考查了反比例函数图象上点的图象特征、三角形的面积公式以及解无理方程，解题的关键是根据线段间的关系找出3a= +，―:-好•本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据特殊角的三角函数值设出点的坐标，再由线段间的关系找出关于a的方程是关键.23、【答案】-*【考点】反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例【解析】【解答】解：设点B坐标为(a，b)，则DO=- a，BD=b•/Ad x 轴，BDL x 轴••• BD// ACa，b)，根据平行线分线段成比例定理，求得梯形BDCE 的上下底边长与高，再根据四边形BDCE的面积求得ab的值，最后计算k的值.本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解.本题也可以根据厶OCE与厶ODB相似比为1: 2求得△ BOD的面积，进而得到k的值.•/ OC=CD• CE= 4B D=二b，CD=畧D0= a•••四边形BDCE勺面积为2壬（BD+CE X CD=2 即壬（b+ ^b）X（-=2将B ( a，b)代入反比例函数y=丰(k z0)，得k=ab=-故答案为：- 1624、【答案】5【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：延长BA与y轴交于点C，•/ AB//x 轴，•BCL y 轴，TA是反比例函数y i=寸(x > 0)图象上一点，B为反比例函数y2=今.(x> 0)的图象上的点，.c _ 1 c_k•・S △AOC F―，S^BO(=—，k ]'/S △AOE=2，I卩-丄=2，解得：k=5，【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键.延长 BA 与y 轴交于点C,由AB 与x 轴平行，得到 BC 垂直于y 轴，禾U 用反比例函数 k 的几何意义表示出三角形 AOC 与三角形BOC 面积，由三角形 BOC 面积减去三角形 AOC 面积表示出三角形 AOB 面积，将已知三角形 AOE 面积代入 求出k 的值即可. 25、 【答案】二 【考点】反比例函数系数k 的几何意义，等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：设点 B 的坐标为（—,m ,则点C 的坐标为（学，m ）, •/ AB=AC BC//x 轴， •••点A 的坐标为（壬； 「•S △ABC = — BC? （ y A - y B ）= 故答案为：三 【分析】设点B 的坐标为（门，m ）,则点C 的坐标为（—,m ）,根据等腰三 角形的性质找出点 A 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论. 26、 【答案】 【考点】反比例函数系数k 的几何意义 【解析】【解答】解：过 A 作AEL y 轴于E ,设AB 交x 轴于D,v AB//y 轴，• AB 丄x 轴， •/ BC L AB •四边形ABCE 是矩形， TA 是双曲线y= （x > 0）上一点， •・S 四边形ADO =2， 在双曲线 y= - （x >0） 上, •S 四边形BD0=1，• △ ABC 的面积= S 矩形ABC =弓； 故答案为： 8-5-\l 7lm4-^910 = m) - m8-5设AB 交x 轴于D,得到四边形 ABCE 是矩形，根据 反比例函数系数k 的几何意义即可得到结论.27、【答案】-2【考点】等腰直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征连结OC 作CD Lx 轴于D, AEl x 轴于E ，如图， 设A 点坐标为（a ,吕），•••A 点、B 点是正比例函数图象与双曲线y= 的交点,•••点A 与点B 关于原点对称，• OA=OB•••△ ABC 为等腰直角三角形,• OC=O ,OCL OA • / DOC 乂 AOE=90 ,•••/ DOC 乂 DCO=90 ,• / DCO M AOE在厶 COD^n ^ OAE 中，|Z CDO= Z OEA•- ■ U（CO = OA•••△ COB^ OAE（ AAS ,••• OD=AE= , CD=OE=a•C点坐标为（一，-a）,•••- a? =-2，•••点C在反比例函数y=- 图象上.故答案为-2.【分析】连结OC作CDL x轴于D, AEl x轴于E,设A点坐标为（a，才），利用反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，则OA=OB再根据等腰直角三角形的性质得OC=OAOCLOA 然后利用等角的余角相等可得到/ DCO N AOE贝U 根据“ AAS可判断△ COD^^ OAE 所以OD=AE冷,CD=OE=a于是C点坐标为（”, a）,最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定C点所在的函数图象解析式.28、【答案】y=-【考点】反比例函数图象的对称性【解析】【解答】解：设圆的半径是r,根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：亠n r2=10 n解得：r=2 .•••点P （3a, a）是反比例函y= （k>0）与00的一个交点.•3a2=k.+ L =r• a = ］「•: X（2 v/m）=4.•k=3X 4=12,则反比例函数的解析式是：y= .故答案是：y= —【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值.29、【答案】3【考点】反比例函数系数k的几何意义A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= 上，且AB//yB（m—），T71A、B两点横坐标相等，设A （m,三），B（ m 三），求出AB的长，再根据平行四边形的面积公式进行计算即可.30、【答案】一【考点】反比例函数的性质【解析】【解答】解：B点的坐标为（4, 3）,则OA=CB=4 OC=AB=3 易知』OBD2 OBA 则/ D=Z OAB=90 , BD=OC=3.四边形OABC是矩形，则/ OCB=90，即/ OCB M D. 因为/ OEC M BED 所以/OEC2 0 BED CE=DE.令CE=DE=x 则有：CE+BE=x+ =4,解得x=号.一7E点的坐标为（-,3）.7 21双曲线过点E,则k= T X3= .故答案为宅.【分析】双曲线过点E,关键是求出E点的坐标，已知B点的坐标是（4, 3）,显然E点和B点的纵坐标是相同的，即E点的纵坐标是3。
北京2017届中考数学压轴题100题归类汇编(二)【第28题几何综合题】
述求 GE 长的思路．
A
A
B
D
C
B
图1
C
备用图
1
网络版答案： 28. 解:(1) ①补全图形，如图 1 所示．
………………………1 分
图1
② BC 和 CG 的数量关系： BC = CG ，位置关系： BC ⊥ CG ．…………………2 分
证明: 如图 1．
∵ AB = AC , ∠BAC = 90° ， ∴ ∠B = ∠ACB = 45° ， ∠1 + ∠2 = 90° ． ∵射线 BA 、 CF 的延长线相交于点 G ， ∴ ∠CAG = ∠BAC = 90° ． ∵四边形 ADEF 为正方形， ∴ ∠DAF = ∠2 + ∠3 = 90° ， AD = AF ． ∴ ∠1 = ∠3 ． ∴△ ABD ≌△ ACF ．…………………3 分[来源:学,科,网Z,X,X,K] ∴ ∠B = ∠ACF = 45° ． ∴ ∠B = ∠G = 45° ， ∠BCG = 90° ． ∴ BC = CG ， BC ⊥ CG ．…………………4 分
3
●方法一：旋转变换
⎡正方形ADEF中
⎤⎫
⎢
⎥⎪
⎢GF = 2，GA = 2 ⎢⎢∠AGF = 135° ⎢⎣FA = FE，∠AFE =
⎡问题： ⎤ ⎢⎣求GE的长⎥⎦
⎥ ⎥ ⎥ 90°⎥⎦
⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
⇒
⎡旋转变换，如图 6 ⎢⎢将∆FGE绕点F顺时针旋转 ⎢⎣得到∆FHA
⎤ 90°，⎥⎥ ⇒
AE 和 AB 的垂线，两条垂线交于点 F，研究 AE 和 EF 的数量关系. （1）【探究发现】 某数学兴趣小组在探究 AE，EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点 E 是
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2013
的值为_______________.
数学几何部分专题复习
一、点到直线的距离垂线段最短
精炼1、点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，
PF⊥BC于F，BC=6，AC=8，则线段EF长的最小值
为________
二、等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高
精炼：如图，已知菱形ABCD的对角线AC=2，∠BAD=60°，BD边上有2013个不同的点
p,p,⋯,p，过p(i=1,2,⋯,2013)作PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，则
122013i i i i i i i
PE+PF+P E+P F+⋯+P E+P F
11112222201320132013
三、利用轴对称解决最短距离问题
几何模型：
条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．
中考名题：1、长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个
侧面缠绕一
圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，
那么所用细线
最短需要______cm．
B
6cm
A
1cm
3cm
第1题图
第2题图
2、如图，是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”
而成，中间
可供滑行的部分的截面是半径为5m的半圆，其边缘AB=CD=20cm，小明要在AB上选取一点E，能够
使他从点D滑
到点E再到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离为m．（π取3）
3、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此
时一只蚂蚁正
好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_________cm．
4、如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的
中点，连
接EF．点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为．
四、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
精炼1、如图，已知BD、CE是ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点，MN与DE有怎样的位
置关系。
请证
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
图3明。
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．
模型应用：
（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与
D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；
图4图5
2、如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连
接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）
A．3B．2C．4D．5
3、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若
△CEF的周
长为18，则OF的长为．
4、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，A D
（3）如图4，在菱形ABCD中，AB=10，∠DAB=60°，P是对角线AC上一动点，E、
CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．
F分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是．（4）如图5，在
菱形ABCD中，
AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E、F
分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．
（5）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD 上的任意一点，则PK+QK的最小值为．
O F
B E C
（第13题）
A 、 9
B 、
C 、4
D 、 3 2 五、角平分线上的点到这个角两边的距离相等
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
6、在如图平面直角坐标系中，正方形 A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其
中点 B 1 在 y 轴上，点 C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在 x 轴上，已知正方形 A 1B 1C 1D 1 的边长为 1，∠B 1C 1O=60°，
B 1
C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形 A 2015B 2015C 2015
D 2015 的边长是 ．
1、如图，在△ABC 中，∠C=45°，AB 的垂直平分线交 AB 于点 E ，交 BC 于点 D ；AC 的垂直平分线交
AC 于点 G ，交 BC 与点 F ，连接 AD 、AF ，若 AC= 3 2 ，BC=9，则 DF 等于（ ）
7
4
2
2、正方形 ABCD 的边长为 2，点 Q 为 BC 边的中点，DQ 交 AC 于 P,则三角形 PBQ 的周长_____．
六、等腰直角三角形斜边的长度是直角边的_____倍，直角边是斜边的______， 含有 300 度角的直角三角形，长直角边的的长度是短直角边的______班，短直角 边是长直角边的_____
七、利用等积法解决实际问题
1、如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，且 AC=16，BD=12，则菱形 ABCD 的高 DH= ．
精炼 1、如图．边长为1 的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针
旋转 45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．
D
D
C
E
A
B C
八、平行线之间的距离相等
2、如图，将等腰直角△ABC 沿 BC 方向平移得到 △
A 1
B 1
C 1．若 BC ＝3 2， △ABC 与 △
A 1
B 1
C 1 重叠部分面积为 2，则 BB 1＝ ．
B
第 13 题图
精炼 1、如图（1），C 是线段 AB 上任意一点，分别以 AC 、BC 为边在线段 AB 同侧构造等边三角形
⊿ACD 和等边三
角形⊿CBE ，若⊿CBE 的边长是 1 cm ，则图中阴影三角形的面积
3、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90，∠ ABC ＝30， △AC ＝1．现在将 ABC 绕点 C 逆时针旋转至 △A ′B ′C ，使得点A ′恰好落在 AB 上，连接 BB ′，则 BB ′的长度为 ．
4、如图，以边长为 20cm 的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取 4cm
长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四
边形．把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形
盒子，则它的容积为
cm 3．
是 cm 2.
2、如图（2），菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是
（第 14 题）
5、如图，平面直角坐标系的原点 O 是正方形 ABCD 的中心，顶点 A ，B 的坐标
分别为（1，1），（﹣1，1），把正方形 ABCD 绕原点 O 逆时针旋转 45°得正方形
A ′
B ′
C ′
D ′，则正方形 ABCD 与正方形 A ′B ′C ′D ′重叠部分所形成的正八
边形的边长为 ________ ．
（1） （2）
3、如图，线段 AC=n+1（其中 n 为正整数），点 B 在线段 AC 上，在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF ，连
接 AM 、ME 、EA 得到△AME ．当 AB=1 时，△AME 的面积记为 S 1；当 AB=2 时，△AME 的面积记
为 S 2；…；当 AB=n 时，
△AME 的面积记为 S n ．则 S n = ．。