九年级数学上册中位线应用三角形中位线定理“四会”素材新版华东师大版
华东师大初中数学九年级上册三角形中位线定理 知识讲解[精品]
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三角形中位线定理【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、（2016•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．【答案与解析】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=【总结升华】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高．（1）若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为．（2）求证：∠DHF=∠DEF．B【思路点拨】（1）由三角形面积公式可知：△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积．（2）首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得∠DEF=∠DAF，再利用直角三角形的中线性质得线段相等，从而得角等，最终可得到∠DAF=∠DEF，即可证出∠DHF=∠DEF．【答案解析】（1）解：∵BC=10，AH=8，∴S△ABC=×8×10=40，∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的，∴四边形ADEF的面积=40﹣20=20，故答案为：20；（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC各边中点，∴DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠DAF，∵AH是△ABC的高∴△ABH、△ACH是直角三角形，∵点D、点F是斜边AB、AC中点，∴DH=DA，HF=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA，即∠DAF=∠DHF ， ∴∠DEF=∠DHF ．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF 与∠DAF=∠DEF ．3、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度． 【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ， ∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA) ∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6， ∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点， ∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3．【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形． 举一反三：【变式】如图所示，四边形ABCD 中，Q 是CD 上的一定点，P 是BC 上的一动点，E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点；当点P 在BC 边上移动的过程中，线段EF 的长度将( )．A ．先变大，后变小B ．保持不变C ．先变小，后变大D ．无法确定 【答案】B ；解： 连接AQ ．∵ E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点，∴ EF 是△PAQ 的中位线，即AQ ＝2EF ．∵ Q 是CD 上的一定点，则AQ 的长度保持不变， ∴ 线段EF 的长度将保持不变．4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且CD=CA ，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点，连接EF 并延长交AB 于点G ．求证：四边形AGEC 是等邻角四边形；（2）如图2，若点D 在△ABC 的内部，（2）中的其他条件不变，EF 与CD 交于点H ，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角；（2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形． 【答案与解析】解：（1）取AC 的中点H ，连接HE 、HF∵点E 为BC 中点∴EH 为△ABC 的中位线∴EH∥AB，且EH=12AB 同理FH∥DC，且FH=12DC∵AB=AC，DC=AC ∴AB=DC ，EH=FH ∴∠1=∠2∵EH∥AB，FH∥DC ∴∠2=∠4，∠1=∠3 ∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180° ∴∠AGE=∠GEC∴四边形AGEC是邻角四边形（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AD＝2，BC＝4，求四边形EFGH的面积．【思路点拨】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．（2）连接EG ，利用梯形的中位线定理求出EG 的长，然后结合（1）的结论求出2EH ＝92，也即得出了正方形EHGF 的面积． 【答案与解析】证明：（1）在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，故可得：EF ＝12AC ，同理FG ＝12BD ，GH ＝12AC ，HE ＝12BD ， 在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，故AC ＝BD ，∴EF ＝FG ＝GH ＝HE ， ∴四边形EFGH 是菱形． 设AC 与EH 交于点M ，在△ABD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点， 则EH∥BD， 同理GH∥AC， 又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH 是正方形． （2）连接EG ． 在梯形ABCD 中，∵E、G 分别是AB 、DC 的中点， ∴EG＝12（AD ＋BC ）＝3． 在Rt△EHG 中，∵222EH GH EG +=，EH ＝GH ， ∴2EH ＝92，即四边形EFGH 的面积为92． 【总结升华】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH ＝HG ＝GF ＝FE ，这是本题的突破口． 举一反三：【变式】如图，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点． （1）判断四边形EFGH 的形状，并说明你的理由；（2）连接BD 和AC ，当BD 、AC 满足何条件时，四边形EFGH 是正方形．【答案】解：（1）四边形EFGH 是平行四边形．理由：连接AC ，∵E、F 分别是AB 、BC 的中点，∴EF∥AC，且EF ＝12AC ， 同理，HG∥AC，且HG ＝12AC ，∴EF∥HG，且EF ＝HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）当BD ＝AC ，且B D⊥AC 时，EFGH 是正方形． 理由：连接AC ，BD ，∵E、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， ∴EF＝GH ＝12AC ，EH ＝FG ＝12BD ，EH∥BD，GH∥AC， ∵BD＝AC ，BD⊥AC，∴EH＝EF ＝FG ＝GH ，EH⊥GH，∴四边形ABCD 是菱形，∠EHG＝90°， ∴四边形EFGH 是正方形．。
华师大版九年级数学上册授课课件：23.4 中位线
中点，AD、CE相交于点G.求证： GE GD 1 .
CE AD 3
证明：连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE//AC
，
DE AC
=
1 2
.
(三角形的中位线平行于第
三边，并且等于第三边的一半）.
∴△ACG∽△DEG, ∴ GE = GD DE 1 .
GC GA AC 2
知1－讲
【例2】 求证:三角形的一条中位线与第三边上的中
线互相平分.
已知：如图,在 △ABC 中，AD =DB，BE=EC,
AF = FC. 求证：AE、DF互相平分.
证明：连结DE、EF.
∵AD = DB,BE = EC,
∴DE//AC(三角形的中位线平行于第
三边，并且 等于第三边的一半）.
同理可得EF//BA.
猜想
如图23.4. 2，在△ABC中，点D、E分别 是AB与AC 的中点.根据画出的图形，可 以猜想： DE // BC,且DE = 1 BC.
2 对此，我们可以用演绎推理给出证明.
知1－导 （来自教材）
证明：在△ABC中，
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴ AD AE 1 .
AB AC 2
（来自《典中点》）
知2－练
2 给出以下判断： (1) 线段的中点是线段的重心； (2) 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角 形的重心； (3) 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点； (4) 三角形的重心是它的中线的一个三等分点． 那么以上判断中正确的有( ) A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
∴ GE = GD 1 . CE AD 3
拓展
知2－导
华师大版九年级数学三角形的中位线教案精选全文
可编辑修改精选全文完整版三角形的中位线教学目的：1. 使学生掌握三角形中位线概念与三角形中位线定理．2.使学生能熟练应用定理进行有关证明和计算，提高学生分析问题和解决问题的能力．重点难点：三角形中位线的概念和三角形中位线定理是本课的重点；三角形中位线定理的证明是本课的难点．教学过程：一、复习引入1. 复习平行线等分线段定理推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边．2. 如图：B、C两点被池塘隔开,在BC外选一点A,连结AB和AC,并分别找出AB和AC的中点D、E．如果测得DE =20m,那么B、C两点的距离是多少？二、新授1.三角形的中位线的概念：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．2.三角形中位线定理如图，DE是ΔABC的一条中位线，如果过D作DE∥BC，交AC于E’，那么根据平行线等分线段定理推论2，得E’是AC的中点，可见DE’与DE重合，所以DE∥BC．由此得到：三角形中位线平行于第三边．同样，过D作DF∥BC，且DE∥FC，DE=1/2BC．因此，又得出：三角形中位线等于第三边的一半．以上两点就是三角形中位线定理．例1：已知：如图ΔABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点（1）指出图中有几个平行四边形（2）图中与ΔDEF全等的三角形有哪几个（3）若AB=10cm，AC=6cm,则四边形ADFE的周长为______cm（4）若ΔABC周长为6cm,面积为12cm2,则ΔDEF的周长是 _____cm,面积是_____cm例2：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形师生共同写出已知求证，在分析的基础上写出证明过程．然后作适当的变式：（1）（1）若AC=BD，则四边形EFGH是什么图形？（2）（2）若AC⊥BD，则四边形EFGH是什么图形？（3）（3）若AC=BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH是什么图形？例3：如图ΔABC的中线BE、CD相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，试猜想DF与GE有怎么的关系？并证明你的猜想．小结：（1）本课所授内容．（2）定理的特征与应用．。
数学九年级上册第专题五三角形中位线定理的应用课件 华东师大版
9．如图，在△ABC中，AC>AB，点D在AC上，AB＝CD，E，F分别 是BC，AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G.若∠EFC ＝60°，连结GD，判断△AGD的形状，并证明．
解：△AGD 是直角三角形，证明：如图，连结 BD，取 BD 的中点 H， 连结 HF，HE.∵F 是 AD 的中点，∴HF∥AB，HF＝12 AB.同理 HE∥CD，HE ＝12 CD.∵AB＝CD，∴HF＝HE.∵∠EFC＝60°，∴∠HEF＝∠EFC＝60°，则△ EHF 是等边三角形，∴∠AGF＝∠HFE＝60°，∴∠AGF＝∠EFC＝∠AFG＝60 °，∴△AGF 是等边三角形．∵AF＝FD，∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30°， ∴∠AGD＝90°，即△AGD 是直角三角形
(2)∵M 是 BO 的中点，E，F 分别是 AB，BC 的中点，∴ME＝12 AO， MF＝12 OC.又∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AO＝OC，∴ME＝MF
2．如图，已知△ABC，延长 BC 到点 D，使 CD＝BC.取 AB 的中点 F， 连结 FD 交 AC 于点 E，求AACE 的值．
(3)根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什 解：(1)证明：连结 BD.∵E，H 分别是 AB，AD 的中点，∴EH 是△ABD 么决定． 的中位线，∴EH＝12 BD，EH∥BD.同理得 FG＝12 BD，FG∥BD.∴EH＝
FG，EH∥FG，∴四边形 EFGH 是平行四边形
证明：如图，取 BD 的中点 F，连结 EF.则 EF 为△BCD 的中位线，∴EF ＝12 BC，EF∥BC.∵∠ACE＝∠ACB＋∠BCE＝135°，∠DFE＝∠DBC＝45°，∴ ∠EFB＝135°.∵EF＝12 BC，AC＝12 BC，∴EF＝AC.∵CD＝BD，E，F 分别为 CD，BD 的中点，∴CE＝FB，∴△EFB≌△ACE，∴∠CEA＝∠FBE.又∵∠FBE＋ ∠DEB＝90°，∴∠DEB＋∠CEA＝90°，故∠AEB＝90°，∴AE⊥EB
三角形中位线定理的应用
三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好这部分内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习．它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系．就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系．我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用．一、证明问题1、证明角相等关系例1、如图、四边ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF =∠DFE分析：欲证：∠AEF =∠DFE ．由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN =∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有12GM AB∥，12GN CD ∥，由于AB =CD ，进而有GM =GN ，∠GMN =∠GNM 然后再转化∠EPN =∠Q ，从而证出结论．证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ，取BD 的中点G ，连结GM 、GN ．∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴12GM AB ∥．同理可证：12GN AB∥，又∵AB =CD ，∴GM =GN ，∴∠GMN =∠GNM ，∵GM //AB ，GN =CD ，∴∠GMN =∠EPN ，∠GNM =∠Q ，∴∠EPN =∠Q ，又 EF ⊥MN ，∴∠AEF =∠DFE （等角的余角相等）说明：添辅助线是证明几何题的难点．若要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结．2、证明线段的倍分以及相等关系例2.如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连线EF ，交BD 于M 点．求证：（1）BM =14BD （2）ME =MF 分析：欲证问题（1）由E 、F 分别为AB 、BC 中点想到连结AC ，由平行线等分线段定理可证得BM =MO ．又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO =OD ，即BM =41BD ．欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC ，由三角形中位线定理可得EM =12AO ，MF =12OC ，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论．证明：（1）连结AC ，交BD 于O 点，∵E 、F 分别为AB 、BC 中点，∴EF ∥AC ，∴BM =MO =12BO （平行线等分线段定理） 又∵四边形ABCD 是平行四边形∴BO =OD =12BD ，AO =OC =12AC ， ∴BM =1124BO BD ，即BM =14BD（2）∵M 是BO 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 中的中点．∴12ME AD =，12MF OC =，又∵AO ＝OC ，∴ME ＝MF 小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系．3、证明线段平行关系例3.如图，自△ABC 的顶点A ，向∠B 和∠C 的平分线作垂线，重足分别为D 、E ．求证：DE ∥BC 分析：欲证ED //BC 我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD 、AE ，交BC 与CB 的延长线于G 与H ，通过证明△ABD 与△GBD 全等易证D 是AG 中点，同理E 为AH 的中点，故，ED 是△AEG 的中位线，当然有DE ∥BC ．证明：延长AD 、AE 交BC 、CB 的延长线于G 、H ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，又∵BD ⊥AD ，∴∠ADB =∠BDG =900． 在△ABD 与△GBD 中12BD BDBDG BDA⎧⎪⎨⎪⎩=== ∠∠∠∠，∴△ABD ≌△GBD (A S A ) ∴AD =DG ，同理可证，AE =GE ，∴D ，E 分别为AG ，AH 的中点， ∴ED ∥BC小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行．二、比较大小1、比较线段大小 例4.如图，M 、N 是四边形ABCD 的边 BC 、AD 的中点，且AB 与CD 不平行．求证：MN ＜12(AB ＋CD ). 分析：欲证MN ＜12(AB ＋CD )，我们从表面上看这个问题比较复杂，但由M 、N 分别为BC 、AD 中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题，通过连结BD ，并取BD 中点P ，连结NP 、MP 这时分别为△DAB 、△DCB 的中位线,这时三条线段NP 、MP 、MN 都在一个三角形里，问题就迎刃而解了．证明：连结BD 并取BD 中点P ，连结NP ，MP . ∵N 为AD 中点，P 为BD 中点.∴NP 为△DAB 的中位线，∴NP ＝12AB ，同理可得MP ＝12CD ．∵AB 与CD 不平行，∴P 点不在MN 上．在△PMN 中，由于两边之和大于第三边，∴MN ＜PM +PN ＝12(AB +CD )小结：此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识，即可得出证明．2、比较角的大小例5、如图：AD 是△ABC 的中线，如果AB >AC ，那么∠BAD <∠CAD ． 分析：因为D 为BC 中点联想到，过点D 作中位线DE ，因为DE ∥AB 即△ABC 得到∠1=∠3，由AB >AC , 有12AB ＞12AC ，所以就有∠3＜∠2，即∠BAD <∠CAD证明：过点D 作DE ∥AB 交AC 于E ，∴DE ∥AB 且 DE =12AB ，E 为AC 中点．∴∠1=∠3，∵AB >AC ，∴12AB >12AC ，即在△AED 中，DE >AE ，∴∠3<∠2，∴∠1<∠2，即∠BAD <∠CAD小结：本题证角不相等，因为要证的两个角不在同一个三角形中，如果这两个角在同一个三角形中能应用：在同一个三角形中，大边对大角原理这时就考虑到如何将这两个角放在一个三角形中，通过观察只要过D 作DE ∥AB 就可解决求证问题．三、求值问题例6. 如图，正方形ABCD 两对角线相交于点E ，∠CAB 的平分线交BE 于G ，交BC 于F ，若GE ＝24 求FC 的长．分析：求FC 的长，因为E 为对角线交点，就是AC 中点所以作辅助线PE ∥BC 就有PE ∥FC 且有PE =21FC 所以只要能求出PE 的长即可，而PE 的长可由∠3＝∠4求出，因为∠3为△APE 的外角所以有∠3=∠2+∠5同理有∠4=∠1+∠7因为AF 为∠BAC 的平分线所以∠1=∠2又因为所以∠5=∠6,而∠6=∠7所以有∠3=∠4即PE =GE =12FC ,这样问题就解决了． 解：过点E ，作EP ∥BC ，交AF 于点P ，则P 为AF 中点，∵∠3＝∠2＋∠5＝∠2＋∠6，∠4＝∠1＋∠7，又∵AF 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2，又∵∠6＝∠7，∴∠3＝∠4，∴EP ＝EG ，∵PE 是△AFC 的中位线，∴PE ＝12FC =EG ，即FC =2EG =2PE =2×24=48小结：求值问题，主要是如何添加辅助线，将比较难的问题转为容易的问题．总之，三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线对每个学生来说是一个重点也是一个难点．要求学生要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理．一条或一组合理地利用了题目条件的辅助线常见有一箭双雕甚至一箭多雕的效益，准确而理想的图形能有效地帮助我们迅速地捕捉到题意预定的目标．。
23.4 中位线 (课件)2024-2025-华东师大版数学九年级上册
长是对应中线长的13. 注意：经过三角形顶点和重心的直线必然平分这个
顶点的对边 .
课堂新授
知2－讲
特别解读 ●三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的
2倍. ●三角形的重心是三角形中每条中线的一个三等分点 .
课堂新授
知2－练
例 4 如图23.4-5，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，
知1－练
证明：延长 AE 交 BC 于点 H，∵CD 平分∠ACB，AE⊥CD，
∴∠ACE＝∠HCE，∠AEC＝∠HEC＝90°，又∵CE＝CE，
∴△ACE≌△HCE，∴AE＝EH＝12AH.∵EF∥BC， ∴△AEF∽△AHC，∴AAFC＝AAHE＝12，∴AC＝2AF，∴F 是 AC 的中点．又∵G 是 BC 的中点，
课堂新授
知1－练
证明：连结EF.
由▱ABCD可得AD∥BC，AD＝BC.
∵AE＝BF，∴ED＝FC.
∴四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形．∴EG＝
BG，EH＝CH.
∴GH是△EBC的中位线．∴GH∥BC.
课堂新授
知1－练
例 3 如图23.4-4，在△中，中线BE，CD相交于点O，
∴四边形ABEC是平行四边形，∴点F是BC的中点.
又易知点O是AC的中点，
∴ OF是△ABC的中位线，∴ AB＝2OF.
课堂新授
知1－练
1-1. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足
为E， 过点E作EF∥BC，交AC于点F，G为BC的中点，
连结FG．
求证：FG＝12AB．
课堂新授
课堂新授
知2－练
5-1. 如图，在菱形ABCD中，E为AB的中点， 连结DE交对
23.4 中位线++课件+++2024-2025学年华东师大版九年级数学上册
图2
典例导思
1. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点
O ，点 E 为 CD 的中点.若 OE ＝3，则菱形 ABCD 的周长
为（ C ）
A. 6
B. 12
（第1题）
C. 24
D. 48
典例导思
2. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D 是 AC 延
பைடு நூலகம்
GF ∥ BC ， GF ＝ BC ，
∴ DE ∥ GF ， DE ＝ GF ，
∴四边形 DEFG 为平行四边形.
（第3题）
典例导思
（2）若 DG ⊥ BH ， BD ＝3， EF ＝2，求线段 BG 的
长度.
（2）解：∵四边形 DEFG 为平行四边
形，∴ DG ＝ EF ＝2.
∵ DG ⊥ BH ，∴∠ DGB ＝90°，
∴ AB ＝ AF ＝6 cm，
BD ＝ DF .
∴ CF ＝ AC － AF ＝4 cm.
∵ BD ＝ DF，点 E 为 BC 的中点，
∴ DE ＝ CF ＝2 cm.
图1
典例导思
如图2，在四边形 ABCD 中，对角线 AC ⊥ BD 且
AC ＝4， BD ＝8，点 E 、 F 分别是边 AB 、 CD 的中点，
长线上一点， AD ＝24，点 E 是 BC 上一点，
BE ＝10，连结 DE ， M 、 N 分别是 AB 、
DE 的中点，则 MN ＝ 13 .
（第2题）
典例导思
3. （2023·株洲）如图所示，在△ ABC 中，点 D 、 E 分
2三角线中位线PPT课件(华师大版)
§24.4.1 三角形的中位线 第一课时
1
1.什么叫三角形的中线？
A
三角形的一个顶点到对边中点的 连线，叫做三角形的中线。
如：线段AF；
2.思考：什么叫三角形的中位线？ D
E 三条
连结三角形两边中点的线段
叫三角形的中位线。 如；线段DE；
B
F
C
思考：一个三角形共有几
则DE5=c_m_____.
2.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°,
∠B=70°,则∠AED6=0_度____.
A
A
A
D
D
E
D
E
E
O
B
C
(1)
B (2)
CB
(3)
C
3.如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的中点，且 AD=20cm，那么OE1=0 cm。
15
例3:如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点， A边平行的直线必平分第三边.
6
例1:求证:三角形的一条中位线与第三边的中线互相平分.
已知：如图，在△ABC中AD=DB，AF=FC，BE=EC
求证：AE、DF互相平分
A
证明：连结DE、EF
D
F
∵D、E、F分别为AB、BC、AC上中点
∴DE、EF为△ABC的中位线
B EC
（3）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是__矩__形____。
矩形
11
（4）顺次连结正方 形各边中点所得的四 边 形 是正__方_形________ 。
（5）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是 ___平__行__四__边_形____。
[初中数++学]中位线课件+华东师大版数学九年级上册
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素养提升练
【点拨】如图，延长 CB 到 T，使 CB＝BT，连结 AT，TE′. ∵点 H 为 CE′的中点， ∴CH＝E′H. 又∵CB＝BT， ∴BH 是△ E′CT 的中位线， ∴BH＝12TE′.
素养提升练
∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC＝∠ABT＝90°. ∵AB＝8，BC＝4，∴BC＝BT＝4. ∴AT＝ AB2＋BT2＝4 5. ∵AE＝3BE，∴AE＝AE′＝6. ∴4 5－6≤TE′≤4 5＋6. ∴2 5－3≤BH≤2 5＋3， 即 2 5－3≤m≤2 5＋3.∴m 的最大值为 2 5＋3.
返回
素养提升练
7.如图，BD，CE 是△ ABC 的外角平分线，过点 A 作 AF⊥ BD，AG⊥CE，垂足分别是 F，G，连结 FG，延长 AF， AG，分别与直线 BC 相交于点 M，N.求证：FG＝12(AB＋ BC＋AC).
素养提升练
【证明】∵AF⊥BD，BD 是△ ABC 的外角平分线， ∴∠ABF＝∠MBF，∠AFB＝∠MFB＝90°. ∴∠BAF＝∠BMF.∴MB＝AB.∴AF＝MF. 同理可得 CN＝AC，AG＝NG， ∴FG 是△ AMN 的中位线． ∴FG＝12MN＝12(MB＋BC＋CN)＝12(AB＋BC＋AC)．
返回
素养提升练
6.如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC， 连结AE，分别交BC，BD于点F，G，连结AC交BD于O， 连结OF.判断AB与OF的位置关系和数量关系，并证明你 的结论.
素养提升练
【解】AB∥OF，OF＝12AB.证明如下： 连结 BE.∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC，AB＝DC，AB∥DE. ∵CE＝DC，∴AB＝CE.∴四边形 ABEC 是平行四边形． ∴BF＝CF.∴OF 是△ ABC 的中位线． ∴AB∥OF，OF＝12AB.
华东师大《234中位线》新课标PPT课件优质课
学 习 目 标：
1、了解三角形的中位线概念,掌握并证 明三角形的中位线定理. 2、能利用三角形的中位线定理进行计 算与证明。
自主学习，独立思考：
读一读：
图中线段DE 是连接ΔABC两边 的中点D、E所得的线段，称此 线段DE为ΔAB角形中位线的概念
B
FC
连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线
(1) F
C
❖2．如图（2）RtΔABC中，DE是 中位线，AF是中线，则DE与 AF的关系是＿＿＿＿
D
A E
B
C
（2） F
小结：
本节课主要学习了三角形中位线 定理：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半。重点是利用中位 线定理进行证明和计算。
拓展练习： 三角形中位线定理的应用
1、求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相
并思考如何证明？（讨论）
A
已知：在ΔABC中AD＝DB
D
E
AE=EC.
求证：DE//BC, DE= ½BC B
C
已知：在ΔABC中AD＝DB,AE=EC.
求证：DE//BC, DE= ½BC
证明提示：
A
我们知道 AD= ½AB
D
E
AE= ½AC，证明ΔADE与
ΔABC相似就可以得到。
B
C
D B
.. 证明
∵DE为ΔABC的中位线(AD=BD,AE=CE)
∴①DE∥BC，②DE=½BC
A
↓
↓
位置关系 数量关系
2、三角形中有三条中位线， D
E
可构成三个平行四边形
B
FC
知识应用
1.如图（1）ΔABC中，
华东师大版九年级数学上册第23章第4节《中位线》课件
A
E
F
O
M
N
B
C
3.求证：顺次连结四边形四条边的中点所得的四边 形是平行四边形.
已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、 BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
C G
D
F H
B
A
E
证明：连结AC.
∵AH=HD，CG=GD ,
∴HG∥AC, HG= 1 AC. 2
同理 EF∥AC, EF= 1 AC,
2
∴HG∥EF ,HG=EF.
G D
H
C F
A
E
B
∴四边形EFGH是平行四边形.
课堂小结
1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线. 2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并 且等于它的一半.
第23章
九年级数学上（HS） 教学课件
图形的相似
23.4 中位线
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解中位线的概念和性质；（重点） 2.能够利用中位线解决相关问题； (重点、难点) 3.经历三角形中位线的性质定理及重心的推导过程.（难点）
导入新课
观察与思考 问题1 怎样由平行线判定两个三角形相似？
C 则DE= 4 cm，为什么？
如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是
各边中点 AB=6cmAC=8cm,BC=10cm，
C
则△DEF的周长= 12 cm
Байду номын сангаас
二 三角形的重心
华东师大版数学九年级上册23.4中位线非常讲解
中位线非常讲解课前引入同学们好！今天我们所要学习的知识是初中几何的一个重要知识要点，可以这样说，正因为有了它，才使我们许多几何题目更富有趣味性和探究性，它就是我们要学习的三角形中位线.希望同学们喜欢它，学好它.新课讲解三角形的中位线1.定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.△ABC 中，点E，F分别是AB、AC的中点，那么线段EF就是ABC的一条中位线.图12.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用符号语言表述为：如图1，在△ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，那么EF∥BC，并且12EF BC.3.注意：〔1〕三角形的中位线与三角形的中线是两个不同的概念，三角形的中线是连结一个顶点与它对边中点的线段，而三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段.显然，三角形的中位线与三角形的中线都是线段，一个三角形有三条中位线和三条中线.〔2〕三角形中位线定理是证明两线段平行和线段的倍数关系的一个重要理论依据.这也即是三角形中位线定理的作用，在应用该定理时，应找出符合定理条件的根本图形.4.应用.例1.如图2所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE、CD的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于点Q.求证：AP=AQ.图2 图3分析：欲证AP=AQ，可考虑证明APQ AQP∠=∠.根据题设条件，可取BC 的中点F，连结FM，FN，〔如图3〕那么MF、NF分别是BCE和BCD的中位线.利用BD=CE易证FM=FN，从而12∠=∠，由平行线的性质可知1,2APQ AQP∠=∠∠=∠，于是APQ AQP∠=∠成立，进而结论成立.证明：取BC的中点F，连结FM，FN，〔如图3〕由条件知：MF、NF分别是BCE和BCD的中位线所以FM∥AC，FN∥BD，11,22 FM CE FN BD ==所以1,2APQ AQP∠=∠∠=∠又因为BD=CE，所以FM=FN所以，12∠=∠，所以APQ AQP∠=∠，所以AP=AQ评注：假设条件中又中点，常取某一边中点，构造三角形的中位线，运用三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等.。
九年级数学上册 23.4 中位线 三角形中位线定理的应用
三角形中位线定理的应用三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
这一性质说明了三角形中位线与第三边的位置关系——平行，三角形的中位线与第三边之间的长度关系——等于第三边的一半。
运用这一性质可以解决一些与三角形中位线有关的问题。
一、说明线段相等例1：如图1，在△ABC中，BE是中线，AD⊥BC于D，∠CBE=30°，试说明AD=BE。
解：过E作EF⊥BC于F，在Rt△BEF中，因为∠CBE=30°，所以BE=2EF。
又因为BE为中线，所以E为AC的中点。
因为AD⊥BC，EF⊥BC，所以EF∥AD，所以AD=2EF，所以AD=BE。
二、求线段的长度例2、如图2，在△ABC中，M是BC边的中点，AD是∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB=12，AC=22，求MD的长。
解：延长BD交AC于E，因为BD⊥AD，所以∠ADB=∠ADE=90°。
因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠EAD。
又因为AD=AD，所以△ABD≌△AED所以AE=AB=12，BD=DE。
所以EC=AC-AE=22-12=10。
因为M是BC边的中点，D是BE的中点，图1C所以MD=21EC=5。
三、说明线段倍、分关系例3、如图3，AD 是△ABC 的中线，E 为AD 的中点，BE 交AC 于F ，AF=31AC,说明EF=41BF 。
解：取CF 的中点G ，连结DG ， 所以DG 是△CFB 的中位线。
因为AF=31AC ，所以F 为AG 的中点， 所以EF=21DG ，DG=21BF ，所以EF=41BF 。
四、说明三角形的形状例4、如图4，在四边形ABCD 中，AD=BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是边DC 的中点，N 是边AB 的中点，△MPN 是什么三角形？为什么？解：因为，P 是对角线BD 的中点，M 是边DC 的中点， N 是边AB 的中点， 所以MP=21BC ，PN=21AD ， 因为AD=BC ， 所以MP= PN所以△MPN 是等腰三角形。
中位线复习PPT课件(华师大版)
∵D,F,K是AB,DC,AD边的中点
C
∴EK∥BD, EK=½BD FK∥AC, FK=½AC
∴∠1=∠3 ,∠2=∠4
∵AC=BD ∴EK=FK
∴∠3=∠4 ∴∠1=∠2 ∴OG=OH
10
例4：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC与BD垂直相交 于点O,MN是梯形ABCD的中位线,∠1＝30°.
8
例3:如图，D,E,F,分别是△ABC各边的中点，AH是△ABC的高，四边 形DHEF是等腰梯形吗？
D B
∟
A HE
证明： ∵D,F是△ABC两边的中点
∴DF是△ABC的中位线
F
∴DF∥BC,即DF∥HE
∵DH、EF 不平行
∴四边形DHEF是梯形 C ∵ AH是△ABC的高，D是AB的中点
∴DH=½AB ( ? )
连接E与DC边中点F
A
D
EF=½.(AD+BC）（梯形中位线）
E·
F
EF=½.DC（直角三角形斜边中线等
于斜边一半）
B
C
12
作业：
1. 梯形的中位线是16cm，它被一条对角线分成两部分差是4， 求梯形的两底。
2. 梯形上底长10，中位线长12，求下底及梯形被中位线分成的 两部分的面积比。
3. 等腰梯形两底差为4，中位线长为6，腰长为4，求等腰梯形的 面积
长和各角的度数。
A
D
解：(1)∵EF是梯形的中位线
∴EM=½AD;MF=½BC ( ?
即:AD=2EM; BC=2MF ∵EM=4,FM=10 ∴AD=8; BC=20 ∵AB=DC;AB=12 ∴周长=8+20+12+12=52
九级数学上册 23.4 中位线课件 (新版)华东师大版
D
E
答：三条
精选 最新精品中小学课件
B
F
5
C
三角形的中位线与三角形的中线有什么 区别？ A A
D E
B
C
B
F
C
中位线是两个中点的连线，而中线是一个顶
点和对边中点的连线。
精选 最新精品中小学课件 6
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且 等于第三边的一半。
A D E
数学语言 ∵DE是△ABC的中位线
精选 最新精品中小学课件 8
当堂训练
A
如图1：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°，
D
E C
则∠B=
60 4
度，为什么？
（2）若BC=8cm，
则DE= cm，为什么？
B
图1
精选
最新精品中小学课件
9
B
如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是各边中点
D A
4 5
F
3
图2
AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm， 则△DEF的周长=
第23章
23.4 中位线
精选 最新精品中小学课件 1
新课导入
A
E
C
D
B
如图，在池塘外选一点C，连结AB、AC、BC连结 AB、AC、BC，分别找出AC和BC的中点D、E，并且 连结，如果测量出DE的长度为10米，也就能知道AB 的距离了。同学们知道AB是多少米吗？为什么？
精选 最新精品中小学课件 2
推进新课
如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中 1 点，求证DE∥BC且DE= BC。 2
A
A
E
23.4 中位线 (课件)2024-2025学年华东师大版数学九年级上册
B
C
△ADE∽△ABC
.
DE//BC
三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
（1）三角形的中位线定理简称“一线两用”；
（2）三角形的中位线定理常用于解决平行问题或线段的倍数 问题；
（3）出现了三角形的中点，常常作三角形的中位线这条辅助 线解决问题。
∵DE是△ABC的中位线 D
A
E
F
B
C
探索:请同学们在作业本上任意画一个△ABC。
（1）画出△ABC的所有中位线； （2）画出△ABC的所有中线；
（3）三角形的中线和中位线有何联系和区别？
A
D
E
B
F
C
思考
如图，已知D、E分别是AB、AC的中点，即DE是△ABC的中位线。
（1）DE和BC有什么样的位置关系？
（2）DE和BC有什么样的数量关系？
∴ DE∥BC，
B
A E C
数学活动室
1.如图1，在△ABC中，DE是中位线。
（1）若∠ADE=60°，则∠B=
度，为什么？
（2）若BC=8cm，则DE=
cm，为什么？
A
A
D
E
ED
B 图1
C
B
F
C
图2
2.如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D，E为
AB的中点，连结DE，AC=15，BC=27，则DE=
求证：△DEF∽△ABC
A
A E
E
F
D M
B
DC
图1
B
F
C
图2
2.如图2，在四边形ABCD中，M是对角线AC的中点，E、F分别是AD、BC的
华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》说课稿4
华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》说课稿4一. 教材分析华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》这一节的内容，主要介绍了三角形的中位线定理及其应用。
通过学习这一节内容，学生能够理解并掌握三角形中位线的性质，能够运用中位线定理解决一些相关的几何问题。
在教材中，首先通过实例引出中位线的概念，然后通过讲解和图示，让学生直观地理解中位线的性质。
接着，通过一些练习题，让学生运用中位线定理解决实际问题。
整个内容安排由浅入深，循序渐进，使得学生能够更好地理解和掌握中位线的相关知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对一些基本的几何图形和性质有一定的了解。
但是，对于中位线的性质和相关应用，可能还比较陌生。
因此，在教学这一节内容时，需要从学生的实际出发，通过生动的实例和图示，让学生直观地理解中位线的性质，并通过一些实际的练习题，让学生学会运用中位线定理解决问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过学习，使学生理解和掌握三角形的中位线定理，能够运用中位线定理解决一些相关的几何问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、交流等过程，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极的学习态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的中位线定理及其应用。
2.教学难点：理解和掌握中位线定理，能够运用中位线定理解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在这一节课中，我将采用讲授法、讨论法和实例分析法相结合的教学方法。
通过讲解和图示，让学生直观地理解中位线的性质；通过实例分析，让学生学会运用中位线定理解决问题；通过小组讨论，培养学生的团队合作意识和几何思维能力。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出中位线的概念，激发学生的学习兴趣。
2.新课讲解：通过讲解和图示，让学生直观地理解中位线的性质，讲解中位线定理的推导过程。
3.实例分析：通过一些具体的例子，让学生学会运用中位线定理解决问题。
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应用三角形中位线定理“四会”
三角形中位线定理在一个题设下，有两个结论：一是线段的位置关系，另一个是线段之间的数量关系．这个定理在证明、计算、作图中都有广泛的应用，是三角形的最重要的性质之一，当三角形中有中点时，往往借助三角形中位线来解决相关问题．那么在学习了三角形中位线定理后，我们应该会解决哪些问题呢？本文所要阐述的就是这个问题．
一、会求值
例1：如图1，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，如果2EF =，那么ABCD 的周长是（ ）．
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
析解：因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 是
ABC ∆的中位线，则12
EF BC =，24BC EF ==．故菱形ABCD 的周长为416BC =，选D ．
二、会证明
例2：如图2，在ABC ∆中，90BAC ∠=，延长BA 到点D ，使12
AD AB =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．求证DF BE =． 分析：由题意知点E 是Rt ABC ∆斜边中点，作出斜边中线AE 后，有12AE BC =
．另外，点F 又是AC 的中点，所以EF 是ABC ∆的中位线，EF ∥AB 且12
EF AB =．这样，就可证得四边形AEFD 是平行四边形，从而有12
DF AE BC BE ===，问题得证． 证明：连接AE ，则12AE BC BE =
=． ∵E 、F 分别为边BC 、AC 的中点，
∴EF 是ABC ∆的中位线，
∴EF ∥AB ，12EF AB =
． 又∵12
AD AB =， ∴EF AD =．
而EF ∥AD ，
∴四边形AEFD 是平行四边形，
=，
∴AE DF
=．
∴DF BE
三、会解决图形剪拼问题
例3：如图3，某企业有一块三角形的铁板，根据需要，
现要把它加工成一个平行四边形的铁板，要求把材料完全利用
起来，该怎样加工呢？你能帮工人师傅把切割的路线用虚线画
出来吗？试一试，并请作简要的说明．
分析：要想得到平行四边形，需使得组合后的四边形一组
对边平行且相等．分别找到AB、AC的中点D、E后连接
∆绕点E旋转180组合得到平行四边形．象这样的平行四边形和三角形DE，则可把ADE
之间的转换作图问题，经常以三角形形的中位线定理为基础．
∆绕点E旋转180，解：如图所示，作AB、AC的中点D、E，沿DE切割，把ADE
就可以得到平行四边形DBCF．
四、会解决实际问题
例4：要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方
案．
⑴画出测量图案；
⑵写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
⑶计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．
分析：此题涉及实际测量问题，可供学生选择的方案众多．其中运用三角形的中位线知识来设计求解不失为一种好的方法．
解：⑴测量图案如图4所示．
⑵测量步骤：
①在湖边的开阔地带选一点C；
②连接AC 、BC ，通过测量确定AC 、BC 的中点位置D 点和E 点； ③连接DE ，测量出DE a =．
⑶连接AB 、DE ，在ABC ∆中，
∵D 、E 分别是AC 、BC 的中点，
∴DE 是ABC ∆的中位线， ∴12
DE AB a ==， 故2AB a =．。