九年级数学上册中位线应用三角形中位线定理“四会”素材新版华东师大版

应用三角形中位线定理“四会”

三角形中位线定理在一个题设下，有两个结论：一是线段的位置关系，另一个是线段之间的数量关系．这个定理在证明、计算、作图中都有广泛的应用，是三角形的最重要的性质之一，当三角形中有中点时，往往借助三角形中位线来解决相关问题．那么在学习了三角形中位线定理后，我们应该会解决哪些问题呢？本文所要阐述的就是这个问题．

一、会求值

例1：如图1，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，如果2EF =，那么ABCD 的周长是（ ）．

A ．4

B ．8

C ．12

D ．16

析解：因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 是

ABC ∆的中位线，则12

EF BC =，24BC EF ==．故菱形ABCD 的周长为416BC =，选D ．

二、会证明

例2：如图2，在ABC ∆中，90BAC ∠=，延长BA 到点D ，使12

AD AB =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．求证DF BE =． 分析：由题意知点E 是Rt ABC ∆斜边中点，作出斜边中线AE 后，有12AE BC =

．另外，点F 又是AC 的中点，所以EF 是ABC ∆的中位线，EF ∥AB 且12

EF AB =．这样，就可证得四边形AEFD 是平行四边形，从而有12

DF AE BC BE ===，问题得证． 证明：连接AE ，则12AE BC BE =

=． ∵E 、F 分别为边BC 、AC 的中点，

∴EF 是ABC ∆的中位线，

∴EF ∥AB ，12EF AB =

． 又∵12

AD AB =， ∴EF AD =．

而EF ∥AD ，

∴四边形AEFD 是平行四边形，

=，

∴AE DF

=．

∴DF BE

三、会解决图形剪拼问题

例3：如图3，某企业有一块三角形的铁板，根据需要，

现要把它加工成一个平行四边形的铁板，要求把材料完全利用

起来，该怎样加工呢？你能帮工人师傅把切割的路线用虚线画

出来吗？试一试，并请作简要的说明．

分析：要想得到平行四边形，需使得组合后的四边形一组

对边平行且相等．分别找到AB、AC的中点D、E后连接

∆绕点E旋转180组合得到平行四边形．象这样的平行四边形和三角形DE，则可把ADE

之间的转换作图问题，经常以三角形形的中位线定理为基础．

∆绕点E旋转180，解：如图所示，作AB、AC的中点D、E，沿DE切割，把ADE

就可以得到平行四边形DBCF．

四、会解决实际问题

例4：要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方

案．

⑴画出测量图案；

⑵写出测量步骤（测量数据用字母表示）；

⑶计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．

分析：此题涉及实际测量问题，可供学生选择的方案众多．其中运用三角形的中位线知识来设计求解不失为一种好的方法．

解：⑴测量图案如图4所示．

⑵测量步骤：

①在湖边的开阔地带选一点C；

②连接AC 、BC ，通过测量确定AC 、BC 的中点位置D 点和E 点； ③连接DE ，测量出DE a =．

⑶连接AB 、DE ，在ABC ∆中，

∵D 、E 分别是AC 、BC 的中点，

∴DE 是ABC ∆的中位线， ∴12

DE AB a ==， 故2AB a =．