连续时间信号与系统的频域分析.

0
T1
T1
2 T1
f (t)dt
2
an
2 T1
T1 0
f
(t) cos n1tdt
bn
2 T1
T1 0
f
(t) sin
n1tdt
3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数
三角函数形式的傅里叶级数的另外一种形式：
f (t) c0 cn cos(n1t n )
例3-2
n1
3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数
0
A
2
F ()
0
( )
t
2
（a）单边指数函数
（b）单边指数函数的频谱
单边指数函数及其频谱
3．单位冲激函数
根据傅里叶变换的定义，并应用单位冲激函 数的抽样性质，得：
F (t)
(t) e jtdt e0
0 1 2
4
n1
f (t) E
cn 2E 5
t
T1
2T1
0 1 2
4
n1
( a) T1 5
cn f (t)
E
E
5
t
T1
2T1
0 1
2
n1
(b) T1 10
不同值下周期矩形脉冲信号的频谱
3．典型周期信号的傅里叶级数和频谱特点
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3.3 非周期信号的傅里叶变换
3.3.1 傅里叶变换 3.3.2 非周期信号的频谱 3.3.3 典型信号的傅里叶变换
f (t) a0 a1 cos1t b1 sin 1t a2 cos21t b2 sin 21t
an cosn1t bn sin n1t
a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数
傅里叶系数：
a0
1 T1
T1 f (t)dt 1
1．周期信号频谱的特点
（1）离散性。
（2）谐波性。 （3）收敛性。
2．周期信号的频带宽度
f (t) E
T1
0
22
t T1
周期矩形脉冲信号的波形
2．周期信号的频带宽度
若将周期矩形脉冲信号展开为指数形式的傅里叶级 数，则
Fn
1 T1
2
2
Ee jn1t dt
E
T1
Sa
n1
2
E Fn T1
2
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3.3.1 傅里叶变换
1．从傅里叶级数到傅里叶变换 2．傅里叶变换存在的条件
1．从傅里叶级数到傅里叶变换
1．从傅里叶级数到傅里叶变换
FnT
2Fn 1
T
2 T
f (t)e jn1t dt
2
当T ,1 d, n1
记F (
j)
lim
T
FnT
f (t)e jt dt
2．傅里叶变换存在的条件
1．门函数（矩形脉冲）
1．门函数（矩形脉冲）
A
g(t)
0
t
2
t
2
G()
g(t) e jt dt
2
Ae jt dt
j
e2 A
j
e 2 j
2Asin 2
2
A
sin
2
ASa
2
2
g(t)
G( )
A
A
t
0
2
2
（a）门函数
2
2
0
4
（b）门函数的频谱
门函数及其频谱
2．单边指数函数
第3章 连续时间信号与系统的频域分析
3.1 周期信号的傅里叶级数 3.2 周期信号的频谱 3.3 非周期信号的傅里叶变换 3.4 傅里叶变换的基本性质 3.5 周期信号的傅里叶变换 3.6 频域系统函数 3.7 连续系统的频域分析 3.8 抽样定理
本章学习目标
通过本章的学习，应达到以下要求： （1）掌握周期信号和非周期信号频谱的概念 及信号频带宽度的概念。 （2）熟悉傅里叶变换的主要性质。 （3）熟悉系统函数和频域分析法。 （4）掌握抽样定理。 （5）了解信号无失真传输和信号通过理想滤 波器的概念。
3.1 周期信号的傅里叶级数
3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数 3.1.2 指数形式的傅里叶级数
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3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数
若一个连续时间信号f(t)是周期的，则它可以 表示为：
f (t) f (t nT1) n 0, 1, 2,
3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数
当f(t) 满足狄里赫利条件时，周期信号f(t) 才 能展开成傅里叶级数。
狄里赫利（Dirichlet）条件是： （1）在一周期内，如果有间断点存在，则间 断点的数目应是有限个； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应 是有限个； （3）在一周期内，信号满足绝对可积。
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3.1.2 指数形式的傅里叶级数
欧拉公式：
cos n1t
1 2
e jn1t
e jn1t
f (t) c0 cn cos(n1t n ) n1
1．单边频谱
对应的幅度频谱 cn 和相位频谱 n 称为单边
频谱。
cn
2
4
0 1 51 101
n1
（a）单边幅度频谱
n
1 51 0
101
n1
2
（b）单边相位频谱
周期信号的单边频谱
2．双边频谱
若 f (t) 周期信号的傅里叶展开式为：
f (t) Fn e jn1t n
Fn
1 T
T 0
f (t)e jn1t dt
Fn
e jn
Fn
4 2
2 4
101 51 0 1 51 101
（a）双边幅度频谱
n 2
1 51 101 51 0
101
2
（b）双边相位频谱 图3-4 周期信号的双边频谱
n1
n1
3.2.2 周期信号频谱的特点及频带宽度
1．周期信号频谱的特点 2．周期信号的频带宽度 3．典型周期信号的傅里叶级数和频谱特点
单边指数函数的表示式为：
f (t) Aeatu(t) (a 0)
频谱函数为：
F() Aeate jt dt Ae(a j)t dt A
0
0
a j
2．单边指数函数
即：
Aeatu(t)
A
a j
其幅度频谱和相位频谱分别为：
F ( ) Aa22( ) arctan
a
f (t) A
sin
n1t
1 2j
e jn1t
e jn1t
f
(t)
a0
n1
an
2
jbn
e
jn1t
an
2
jbn
e
jn1t
3.2 周期信号的频谱
3.2.1 周期信号的频谱 3.2.2 周期信号频谱的特点及频带宽度
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3.2.1 周期信号的频谱
1．单边频谱 2．双边频谱
1．单边频谱
若周期信号 f (t) 的傅里叶展开式为：
傅里叶变换时并未遵循数学上的严格步骤。 一般来说，傅里叶变换存在的充分条件是：
f (t) dt
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3.3.2 非周期信号的频谱
F ()
0
( )
0
（a）幅度频谱
（b）相位频谱
非周期信号的频谱
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3.3.3 典型信号的傅里叶变换
1．门函数（矩形脉冲） 2．单边指数函数 3．单位冲激函数 4．直流信号 5．单位阶跃函数