系统班数学讲义增订本方差、标准差、立体几何

目录

第一章数据描述 (1)

第一节平均值 (1)

第二节方差与标准差 (2)

第三节数据的图表表示 (4)

第二章立体几何 (11)

第一节常见空间几何体的基本概念及公式 (11)

第二节题型归纳 (14)

典型例题参考答案 (16)

自我检测 (17)

自我检测参考答案 (18)

第一章 数据描述

第一节 平均值

一、算术平均值（平均数）、众数、中位数

定义4.4 有n 个数12,3,,...,n x x x x ，称

123...n

x x x x n

++++为这n 个数的算术平均值

（也称平均数），记做1

1n

i i x x n ==∑。这几个数中出现次数最多的数称之为众数。这几个数

按从小到大的顺序依次排列，当n 为奇数时，则处在最中间的那个数是这几个数的中位数；当n 为偶数时，则处在最中间的两个数的平均数是这几个数的中位数。

二、几何平均值

定义4.5 n 个正实数12,3,,...,n x x x x

n 个正实数的几何平

均值，记做g x =

三、范例解析 例4.2.1 问题求解

1. 某班学生一次考试平均75分。其中男生人数比女生多80%，而女生平均分比男生高20%，

女生平均（）分。

A.83

B.84

C.85

D.86

E.87

【答案】 B

【解】 设女生x 人，男生平均y 分。

表4-5

5x y +

5x y =5x X75，y =70，女生平均分5

y =84。故选B 。 2. a 、b 、c 的算术平均值为14

3

，几何平均值为4，bc=a ，a>b>c ，则a 、b 、c 的值依次为

（ ）。

A.6，5，3

B. 12，6，2

C. 4，2，8

D. 8，2，4

E. 8，4，2 【答案】 E

【解】 14

3340

a b c bc a

a b c ++⎧=⎪==⎪>>>⎪⎩，14640a b c abc bc a a b c ++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪>>>⎩，214640a b c a bc a a b c ++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪>>>⎩，680b c a bc a a b c +=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪>>>⎩，84

2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩

第二节 方差与标准差

一、方差

定义4.6 设x 是n 个数据123...n x x x x ，，，，

的算术平均值，把()()()222

2121...n s x x x x x x n ---⎡⎤=

+++⎣⎦叫做这组数据的方差。 ()()()222

2121...n s x x x x x x n ---⎡⎤=+++⎣

⎦

()222212121...2...n n x x x x x x x nx n ⎡⎤=+++-++++⎣⎦ ()2222

12111...n n i i x x x nx x x n n =⎡⎤=+++-=-⎣

⎦∑

二、标准差

定义4.7 把样本方差的算术平均值叫做这组数据的标准差（也称均方差），记做s 。

即s =

它是用来衡量一组数据波动大小的重要的量。样本方差、标准差体现了总体的分散程度。

三、范例解析 例4.2.2 问题求解

1. 从甲、乙两名学生中选拔一人参加运动会，对他们的射击水平进行了测试。两人在相

同条件下各射击10次，命中的环数如下： 甲 6 8 7 8 6 5 9 7 10 4 乙 6 8 6 7 7 9 5 7 8 7

（1）计算甲、乙两名学生射击命中环数的算术平均值和标准差。 （2）比较两人的成绩，然后决定选择哪一人参赛。 【解】（1）计算得1727S1 1.73S2=1.10x x ===，；，。

（2）由（1）可知，甲、乙两名学生成绩的算术平均值相等，但S2

2. 某展览馆22天中每天进馆参观人数为：

180,158,170,185,189,180,184,185,140,179,192,185,190,165,182,170,190,183,175,180,185,148。计算参观人数的中位数、众数、平均数、标准差。 【解】中位数为

180182

1812

+=，众数为185，平均数为1

(180158170...180185148)17722

⨯++++++≈。

=

13.35≈。

3． 某次此歌唱比赛共有9位评委，其中歌手甲、乙分别得分如下：

表4-6

（1）求两组数据的平均分和标准差；

（2）对两组数据各去掉一个最高分和一个最低分后，计算所剩数据的平均分和标准差；

（3）通过（1）、（2）的计算结果来说明用平均分的高低来排名是否合理？ 【解】（1）歌手甲的平均分和标准差分别为18.07S10.22x ==，。歌手乙的平均分和标准差分别为28.1S20.47x ==，。

（2）去掉一个最高分和一个最低分后，歌手甲的平均分和标准差分别为

18.07S10.19x ==，。歌手乙的平均分和标准差分别为27.94S20.04x ==，。

（3）不合理。18.0728.1x x ==，。显然21x x >。但甲的众数为8.2，乙的众数为7.9，应是甲高。如果观察数据，乙的得分中有一个9.5，若采用去掉一个最高分及一个最低分，再计算平均分的方法，则18.0727.94x x ==，，所以应是甲排在前面。

第三节 数据的图表表示

数据的图形表示可以发挥图形化表现形式比较直观的特点和优势。

一、直方图

定义4.8 在直角坐标系中，把横轴分成若干小组，每一段对应一个组距，然后以组距形

成的线段为底、以该组的频率/组距为高作矩形，这样得出若干个矩形构成的图叫做频率分布直方图，简称直方图。