等腰三角形经典拔高题(含答案)
等腰三角形典型例题练习(含答案)-2
等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析全等三角形的判定与性质；角平分线的定义. 14189444. 在△ABC中, AD是∠BAC的平分线, E、F分别为AB.AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°, 求证DE=DF.考点:考点：分析: 过D作DM⊥AB, 于M, DN⊥AC于N, 根据角平分线性质求出DN=DM, 根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD, 根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．解答: 证明: 过D作DM⊥AB, 于M, DN⊥AC于N,即∠EMD=∠FND=90°,∵AD平分∠BAC, DM⊥AB, DN⊥AC, ∴DM=DN（角平分线性质）, ∠DME=∠DNF=90°,∵∠EAF+∠EDF=180°, ∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°,∵∠AFD+∠NFD=180°, ∴∠MED=∠NFD,在△EMD和△FND中, ∴△EMD≌△FND, ∴DE=DF．，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF.，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．5. 在△ABC中, ∠ABC.∠ACB的平分线相交于点O, 过点O作DE∥BC, 分别交AB.AC于点D.E. 请说明DE=BD+EC.考点: 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质. 1418944分析: 根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB, 和DE∥BC, 利用两直线平行, 内错角相等和等量代换, 求证出DB=DO, OE=EC．然后即可得出答案．解答: 解: ∵在△ABC中, OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,∴∠DBO=∠OBC, ∠ECO=∠OCB,∵DE∥BC, ∴∠DOB=∠OBC=∠DBO, ∠EOC=∠OCB=∠ECO,∴DB=DO, OE=EC, ∵DE=DO+OE, ∴DE=BD+EC．∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC.∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．6. ＞已知: 如图, D是△ABC的BC边上的中点, DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别为E, F, 且DE=DF. 请判断△ABC是什么三角形？并说明理由.考点: 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质. 1418944分析: 用（HL）证明△EBD≌△FCD, 从而得出∠EBD=∠FCD, 即可证明△ABC是等腰三角形．解答: △ABC是等腰三角形.证明: 连接AD, ∵DE⊥AB, DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°, 且DE=DF,∵D是△ABC的BC边上的中点, ∴BD=DC,∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）, ∴∠EBD=∠FCD, ∴△ABC是等腰三角形．7. 如图, △ABC是等边三角形, BD是AC边上的高, 延长BC至E, 使CE=CD. 连接DE.（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？考点: 等边三角形的性质；等腰三角形的判定. 1418944分析: （1）由题意可推出∠ACB=60°, ∠E=∠CDE, 然后根据三角形外角的性质可知: ∠ACB=∠E+∠CDE, 即可推出∠E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知, BD不但为AC边上的高, 也是∠ABC的角平分线, 即得：∠DBC=30°, 然后再结合（1）中求得的结论, 即可推出△DBE是等腰三角形．（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形.（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得: ∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．解答: 解: （1）∵△ABC是等边三角形, ∴∠ACB=60°,∵CD=CE, ∴∠E=∠CDE, ∵∠ACB=∠E+∠CDE, ∴,（2）∵△ABC是等边三角形, BD⊥AC, ∴∠ABC=60°, ∴,∵∠E=30°, ∴∠DBC=∠E, ∴△DBE是等腰三角形．∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形.∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形．8. 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, CD是AB边上的高, ∠A=30°. 求证: AB=4BD.考点: 含30度角的直角三角形. 1418944分析: 由△ABC中, ∠ACB=90°, ∠A=30°可以推出AB=2BC, 同理可得BC=2BD, 则结论即可证明．解答: 解: ∵∠ACB=90°, ∠A=30°, ∴AB=2BC, ∠B=60°.又∵CD⊥AB, ∴∠DCB=30°, ∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD. ∴AB=2BC=4BD.又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．9. 如图, △ABC中, AB=AC, 点D.E分别在AB.AC的延长线上, 且BD=CE, DE与BC相交于点F. 求证: DF=EF.考点: 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 1418944分析: 过D点作DG∥AE交BC于G点, 由平行线的性质得∠1=∠2, ∠4=∠3, 再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2, 则∠B=∠1, 于是有DB=DG, 根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC, 即可得到结论．解答: 证明: 过D点作DG∥AE交BC于G点, 如图,∴∠1=∠2, ∠4=∠3,∵AB=AC, ∴∠B=∠2, ∴∠B=∠1, ∴DB=DG, 而BD=CE, ∴DG=CE,在△DFG和△EFC中, ∴△DFG≌△EFC, ∴DF=EF.10. 已知等腰直角三角形ABC, BC是斜边. ∠B的角平分线交AC于D, 过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证：BD=2CE.考点: 全等三角形的判定与性质. 1418944分析: 延长CE, BA交于一点F, 由已知条件可证得△BFE全≌△BEC, 所以FE=EC, 即CF=2CE, 再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD, 所以BD=2CE．解答: 证明: 如图, 分别延长CE, BA交于一点F.∵BE⊥EC, ∴∠FEB=∠CEB=90°, ∵BE平分∠ABC, ∴∠FBE=∠CBE,又∵BE=BE, ∴△BFE≌△BCE （ASA）. ∴FE=CE. ∴CF=2CE.∵AB=AC, ∠BAC=90°, ∠ABD+∠ADB=90°, ∠ADB=∠EDC, ∴∠ABD+∠EDC=90°.又∵∠DEC=90°, ∠EDC+∠ECD=90°, ∴∠FCA=∠DBC=∠ABD.∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB, ∴BD=2EC．11. （2012•牡丹江）如图①, △ABC中. AB=AC, P为底边BC上一点, PE⊥AB, PF⊥AC, CH⊥AB, 垂足分别为E、F、H. 易证PE+PF=CH. 证明过程如下:如图①, 连接AP.∵PE⊥AB, PF⊥AC, CH⊥AB, ∴S△ABP= AB•PE, S△ACP= AC•PF, S△ABC= AB•CH.又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC, ∴AB•PE+ AC•PF= AB•CH.∵AB=AC, ∴PE+PF=CH.（1）如图②, P为BC延长线上的点时, 其它条件不变, PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想, 并加以证明:（2）填空：若∠A=30°, △ABC的面积为49, 点P在直线BC上, 且P到直线AC的距离为PF, 当PF=3时, 则AB边上的高CH=7．点P到AB边的距离PE=4或10．考点: 等腰三角形的性质；三角形的面积. 1418944分析: （1）连接AP. 先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP, S△ACP, S△ABC, 再由S△ABP=S △ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH, 再由△ABC的面积为49, 求出CH=7, 由于CH＞PF, 则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点, 运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时, 运用结论PE=PF+CH．（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH.（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论: ①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．解答: 解: （1）如图②, PE=PF+CH. 证明如下:∵PE⊥AB, PF⊥AC, CH⊥AB, ∴S△ABP= AB•PE, S△ACP= AC•PF, S△ABC= AB•CH,∵S△ABP=S△ACP+S△ABC, ∴AB•PE= AC•PF+ AB•CH, 又∵AB=AC, ∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中, ∠A=30°, ∴AC=2CH.∵S△ABC= AB•CH, AB=AC, ∴×2CH•CH=49, ∴CH=7．分两种情况:①P为底边BC上一点, 如图①.∵PE+PF=CH, ∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；②P为BC延长线上的点时, 如图②.∵PE=PF+CH, ∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．12. 数学课上, 李老师出示了如下的题目:“在等边三角形ABC中, 点E在AB上, 点D在CB的延长线上, 且ED=EC, 如图, 试确定线段AE与DB的大小关系, 并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后, 进行了如下解答:（1）特殊情况, 探索结论当点E为AB的中点时, 如图1, 确定线段AE与DB的大小关系, 请你直接写出结论: AE=DB（填“＞”, “＜”或“=”）.（2）特例启发, 解答题目解: 题目中, AE与DB的大小关系是: AE=DB（填“＞”, “＜”或“=”）. 理由如下: 如图2, 过点E作EF∥BC, 交AC于点F. （请你完成以下解答过程）（3）拓展结论, 设计新题在等边三角形ABC中, 点E在直线AB上, 点D在直线BC上, 且ED=EC．若△ABC的边长为1, AE=2, 求CD的长（请你直接写出结果）．考点: 等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.1418944分析: （1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°, 求出∠DEB=30°, 求出BD=BE即可；（2）过E作EF∥BC交AC于F, 求出等边三角形AEF, 证△DEB和△ECF全等, 求出BD=EF即可；（3）当D在CB的延长线上, E在AB的延长线式时, 由（2）求出CD=3, 当E在BA的延长线上,D在BC的延长线上时, 求出CD=1．（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1.（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．解答: 解: （1）故答案为: =.（2）过E作EF∥BC交AC于F,∵等边三角形ABC, ∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°, AB=AC=BC,∴∠AEF=∠ABC=60°, ∠AFE=∠ACB=60°, 即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,∴△AEF是等边三角形, ∴AE=EF=AF,∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°, ∴∠DBE=∠EFC=120°, ∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°,∵DE=EC, ∴∠D=∠ECD, ∴∠BED=∠ECF,在△DEB和△ECF中, ∴△DEB≌△ECF, ∴BD=EF=AE, 即AE=BD, 故答案为: =.（3）解：CD=1或3,理由是: 分为两种情况: ①如图1过A作AM⊥BC于M, 过E作EN⊥BC于N, 则AM∥EM,∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=AC=1,∵AM⊥BC, ∴BM=CM= BC= , ∵DE=CE, EN⊥BC, ∴CD=2CN,∵AM∥EN, ∴△AMB∽△ENB, ∴= , ∴= ,∴BN= , ∴CN=1+ = , ∴CD=2CN=3；②如图2, 作AM⊥BC于M, 过E作EN⊥BC于N,则AM∥EM,∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=AC=1,∵AM⊥BC, ∴BM=CM= BC= , ∵DE=CE, EN⊥BC, ∴CD=2CN,∵AM∥EN, ∴= , ∴= , ∴MN=1, ∴CN=1﹣= , ∴CD=2CN=113. 已知: 如图, AF平分∠BAC, BC⊥AF于点E, 点D在AF上, ED=EA, 点P在CF上, 连接PB交AF于点M. 若∠BAC=2∠MPC, 请你判断∠F与∠MCD的数量关系, 并说明理由.考点: 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 1418944分析: 根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD, 推出∠CDA=∠CAD=∠CPM, 求出∠MPF=∠CDM, ∠PMF=∠BMA=∠CMD, 在△DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可．解答: 解: ∠F=∠MCD,理由是：∵AF平分∠BAC, BC⊥AF, ∴∠CAE=∠BAE, ∠AEC=∠AEB=90°,在△ACE和△ABE中∵, ∴△ACE≌△ABE（ASA）∴AB=AC,∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线, ∴CM=BM, CE=BE, ∴∠CMA=∠BMA,∵AE=ED, CE⊥AD, ∴AC=CD, ∴∠CAD=∠CDA,∵∠BAC=2∠MPC, 又∵∠BAC=2∠CAD,∴∠MPC=∠CAD, ∴∠MPC=∠CDA, ∴∠MPF=∠CDM,∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等）,∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°, ∠F+∠MPF+∠PMF=180°,又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD, ∴∠MCD=∠F．又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F.又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F．14. 如图, 已知△ABC是等边三角形, 点D.E分别在BC.AC边上, 且AE=CD, AD与BE相交于点F.（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论.（2）求∠BFD的度数.考点: 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质. 1418944分析: （1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°, AB=CA, 结合AE=CD, 可证明△ABE≌△CAD, 从而证得结论；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD, ∠ABE=∠CAD, 可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．解答: （1）证明: ∵△ABC为等边三角形, ∴∠BAC=∠C=60°, AB=CA.在△ABE和△CAD中,∴△ABE≌△CAD∴AD=BE.（2）解: ∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,又∵△ABE≌△CAD, ∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD. ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．15. 如图, 在△ABC中, AB=BC, ∠ABC=90°, F为AB延长线上一点, 点E在BC上, BE=BF, 连接AE、EF和CF, 求证：AE=CF.考点: 全等三角形的判定与性质. 1418944分析: 根据已知利用SAS即可判定△ABE≌△CBF, 根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF．解答: 证明: ∵∠ABC=90°, ∴∠ABE=∠CBF=90°,又∵AB=BC, BE=BF, ∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）. ∴AE=CF.又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．16. 已知: 如图, 在△OAB中, ∠AOB=90°, OA=OB, 在△EOF中, ∠EOF=90°, OE=OF, 连接AE、BF. 问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由.考点: 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形. 1418944分析: 可以把要证明相等的线段AE, CF放到△AEO, △BFO中考虑全等的条件, 由两个等腰直角三角形得AO=BO, OE=OF, 再找夹角相等, 这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果, 当然相等了, 由此可以证明△AEO≌△BFO；延长BF交AE于D, 交OA于C, 可证明∠BDA=∠AOB=90°, 则AE⊥BF．解答: 解: AE与BF相等且垂直,理由: 在△AEO与△BFO中,∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形, ∴AO=OB, OE=OF, ∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF,∴△AEO≌△BFO, ∴AE=BF.延长BF交AE于D, 交OA于C, 则∠ACD=∠BCO,由（1）知∠OAE=∠OBF, ∴∠BDA=∠AOB=90°, ∴AE⊥BF．17. （2006•郴州）如图, 在△ABC中, AB=AC, D是BC上任意一点, 过D分别向AB, AC引垂线, 垂足分别为E, F, CG是AB边上的高.（1）DE, DF, CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上, （1）中的结论还成立吗？若不成立, 又存在怎样的关系？请说明理由．考点: 等腰三角形的性质. 1418944分析: （1）连接AD, 根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积, 进行分析证明；（2）类似（1）的思路, 仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系. 即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积.（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．解答: 解: （1）DE+DF=CG.证明: 连接AD,则S△ABC=S△ABD+S△ACD, 即AB•CG= AB•DE+ AC•DF, ∵AB=AC, ∴CG=DE+DF．（2）当点D在BC延长线上时, （1）中的结论不成立, 但有DE﹣DF=CG.理由: 连接AD, 则S△ABD=S△ABC+S△ACD, 即AB•DE= AB•CG+ AC•DF∵AB=AC, ∴DE=CG+DF, 即DE﹣DF=CG.同理当D点在CB的延长线上时, 则有DE﹣DF=CG, 说明方法同上．18. 如图甲所示, 在△ABC中, AB=AC, 在底边BC上有任意一点P, 则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高）, 即PD+PE=CF, 若P点在BC的延长线上, 那么请你猜想PD.PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明.考点: 等腰三角形的性质；三角形的面积. 1418944分析: 猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB= AB•PD, S△PAC= AC•PE, S △CAB= AB•CF, S△PAC= AC•PE, AB•PD= AB•CF+ AC•PE, 即可求证．解答: 解: 我的猜想是: PD.PE、CF之间的关系为PD=PE+CF. 理由如下:连接AP, 则S△PAC+S△CAB=S△PAB,∵S△PAB= AB•PD, S△PAC= AC•PE, S△CAB= AB•CF,又∵AB=AC, ∴S△PAC= AB•PE, ∴AB•PD= AB•CF+ AB•PE,即AB（PE+CF）= AB•PD, ∴PD=PE+CF．即AB（PE+CF）= AB•PD，∴PD=PE+CF.即AB（PE+CF）=AB•PD，∴PD=PE+CF．。
八年级数学全等三角形证明拔高集训(经典)
八年级数学全等三角形证明拔高集训(经典)1.如图所示，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠BDE＝90，且AB＝CB，BD＝ED，连接AD并交BE于F，且AF＝DF，AD＝AB。
证明BE＝2CD。
2.在Rt△ABC中，∠BAC＝90，且AB＝AC。
点D和E 分别位于AC和CA的延长线上，且CD＝AE。
连接BD，过点A作AM⊥BD于M交BC于N，连接EN并延长交BD于F。
证明DF＝EF。
3.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90，点D在BC上，且AC＝DC。
连接AD，过点C作CE⊥___于E，点F在CE 的延长线上，连接DF。
若∠F＝45，证明AE＝EF。
4.如图所示，△ABC和△DAF都是等腰直角三角形，其中∠BAC＝∠DAF＝90，且AB＝AC，AD＝AF。
DF的延长线交BC于E，且∠AFC＝90.证明BE＝CE。
5.在Rt△ABC中，∠BAC＝90，且AB＝AC。
点E为AC 上一点，连接BE，过点A作AE⊥BE于H交BC于D。
点F也为AC上一点，且AE＝CF。
连接DF交BE于G，连接AG。
若AG平分∠CAD，证明AH＝AC。
6.如图所示，∠ACB＝∠CDE＝90，且AC＝BC，AB＝2CD＝2ED。
连接BD交CE于G，且GD＝GB。
F是AB的中点。
证明___。
7.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝BC。
AD、BE分别垂直于过点C的直线于D、E，延长BE至F。
连接CF，以CF为腰作等腰直角三角形GCF，使∠GCF＝90°，连接AG 交过点C的直线于H。
证明BF＝2CH。
8.在△ABC中，AD⊥BC于D，点E在BC上，且AB＝BE＝CD。
点F是AE的中点，连接CF并延长交AB于G。
若AD＝BD，证明BG＝BD。
9.在Rt△ABC中，∠ABC＝90，且AB＝CB。
点E、O分别为BC、AC的中点，连接AE。
过点B作BG⊥AE于G交AC于M，过点A作AH⊥GO交其延长线于H。
等腰三角形拔高题
一．填空题1．等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 ；如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是 ；如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是 . 2．线段是对称图形，它有_______条对称轴．3. 等腰三角形的一个内角为70º，它一腰上的高与底边所夹的度数为_________.4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30度，腰长为2 cm ，则其腰上的高为 cm ．5．等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为60°，则它的两底长分别为____________．6．△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若∠BAC=115°， 则∠EAF=___________． 7. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三边，且0222=---++ca bc ab c b a ，则三角形为_______________三角形. 二．选择题1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ ）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（ ）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．已知∠AOB＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，则△P 1OP 2是（ ）A ．含30°角的直角三角形；B ．等边三角形C ．顶角是30的等腰三角形；D ．等腰直角三角形.4．如图：等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ ） A ．45° B ．55° C ．60° D ．75°5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ，面积为21cm 2，则此梯形较小的底角是( ) A ．45° B ．30° C ．60° D ．90°6. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）A 顶角B 顶角的一半C 顶角的2倍D 底角的一半PA E CB DAD E7.在中，B C，若的周长为24，则的取值范围（）（A）（B）（C）（D）8．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC ＝ 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（）A．13 B．14C．15 D．169．△ABC中，AB=AC ，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7 B．11 C．7或11 D．7或10A BC EF F EDCBA M FEPD C B A10.如图，有一矩形纸片ABCD ，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为( ) A.4 B.6C.8D.10三．解答题1. 如图，△ABC 中，点E 在AC 上，点F 在BC 上，在AB 上找一点N ，使△ENF的周长最小.2. 已知，如图，△ABC 的∠ABC 的平分线BD与∠ACB 的外角平分线交于D 点，DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，求证：EF = BE –CF 。
三角形拔高题1
三角形拔高题1 1、如图，∠1+∠2+∠3+∠4=（）A、180°B、360°C、480°D、540°2、如图，已知点P为△ABC三条内角平分线AD、BE、CF的交点，作DG⊥PC于G，则∠PDG 等于（）A．∠ABE B．∠DAC C．∠BCF D．∠CPE3、两本书按如图所示方式叠放在一起，则∠3+∠2+2∠1=（）A．3600 B．5400 C．7200 D．以上答案均不对4、如图，△ABC中，∠A=57°，BD、BE将∠ABC三等分，CD、CE将∠ACB三等分，则∠BDE=_______.EDCBAO 20°20°5、小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形．应该带（ ）A ．第1块B ．第2块C ．第3块D ．第4块6、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶2，则这个等腰三角形底角的度数为（ ）A ．72°B ．45°C ．45°或72°D ．60°7、如果一个等腰三角形一腰上的的高于另一腰的夹角为30°，则其顶角的度为 ．8、若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，则底角的度数为（ ）A ．67°50＇B ．67.5°C ．22.5°D ．22.5°或67.5°9、如图，已知一个五边形 ABCDE 纸片，一条直线将该纸片分割成两个多边形．若这两个多边形内角和分别为 m 和 n ，则 m ＋n 不可能是（ ）A ．540°B ．720°C ．900°D ．1080°10、如图，已知长方形ABCD ，一条直线将该矩形ABCD 分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为M 和N ，则M ＋N 不可能是（ ）A ．360°B ．540°C ．720°D ．630°11、如图，小明从O 点出发，前进6米后向右转20°，再前进6米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O 时一共走了（ ）A ．72米B ． 108米C ． 144米D ．120米12、如图所示，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝ °D CB A13、一个 n 这形，其中 n －1 个内角的和为 1230°，则这个 n边形对角线的总条数为 条14、如图，正五边形ABCD ，BG 平分∠ABC ，DG 平分五边形的外角∠EDF ，则∠G 的度数为（ ）A ．36°B ．54° C．60° D ．72°15、如图，将锐角△ABC 沿 D H 、GF 、FE 翻折，三个顶点均落在点 O 处． 若∠1=85°，则 2 的度数为A ．75°B ．85°C ．90°D ．95°16、已知一个多边形的每一个内角都是156°，这个多边形的边数是___________17、如图①，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，且与△ABC 的外角∠ACE 的平分线交于点D 。
八年级数学等腰三角形拓展提高(轴对称)拔高练习(含答案)
八年级数学等腰三角形拓展提高（轴对称）拔高练习试卷简介:<p> 本卷共5小题，4道选择题，一道证明题。
满分100分，时间30分钟。
本卷立足基础，又有一定的难度，希望学生在牢固掌握基础知识的前提下学会灵活应用。
</p>学习建议:<p> 先将基础知识复习一遍，在做一些拓展题目，增加知识的灵活应用。
</p>一、单选题(共4道，每道20分)1.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（）A.30°B.40°C.45°D.36°答案：D解题思路：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C ∵BD=BC=AD，∴∠BDC=∠C，∠DBA=∠A ∵∠BDC=∠A+∠DBA ,∴∠ABC=∠C=2∠A ∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∴5∠A=180°∴∠A=36°。
易错点：等边对等角的多次应用和三角形外角的性质试题难度：二颗星知识点：等腰三角形的性质2.线段AB和CD互相垂直平分于O点，且OC= AB，顺次连结A、D、B、C，那么图中的等腰直角三角形共有( )A.4个B.6个C.8个D.10个答案：C解题思路：解：如图，∵AB、CD互相垂直平分，∴∠AOC=90°∵OC=AB，∴OC=CA，∴△AOC为等腰直角三角形。
同理，△AOD、△BOD、△BOC也是等腰直角三角形。
从而，∠1=∠2=45°。
∴∠CAD=90°∵AO垂直平分CD，∴△CAD是等腰直角三角形。
同理，△CBD、△ACB、△ADB也是等腰直角三角形。
∴共有8个等腰直角三角形。
易错点：三线合一性质的应用试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的判定与性质3.如图（4），△ABC中，∠BAC=100°，DF、EG分别是AB、AC的垂直平分线，则∠DAE等于（）A.50°B.45°C.30°D.20°答案：D解题思路：解：如图，∵DF和EG分别为AB和AC的中垂线，∴DA=DB，EA=EC∴∠1=∠3，∠2=∠4∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠EAD=180°∴2∠1+2∠2+∠EAC=180°又∠1+∠2+∠EAC=100°∴∠1+∠2=180°-100°∴∠EAC=20°。
等腰三角形拔高训练(三套)
等腰三角形训练一1. 如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，F是OC 上除点P 、O 外一点，连结DF 、EF ，则DF 与EF 的关系如何？证明你的结论。
2. 等边三角形△ABC 中，AD=CE,求∠BPC 的度数。
3. 如图，已知ABC ∆中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且BE=CE ，BD 交CE 于F ，21∠=∠。
求证：（1）BA=BC ；（2）BF=2AD4.如图,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,CE 与BD 相交于点M,BD 交AC 于点N ， 证明:（1）BD=CE. （2）BD ⊥CE.5.如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．6.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC •于点D ，•求证：•BC=3AD.7．如图，已知在△ABC中，AB = AC，∠A = 120°，DF垂直平分AB交AB于F，交BC于D，求证：BD =12 DC.8.在△ABC中，AB=AC, ∠A=120°,AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC 于N,交AC于F，求证：BM=MN=NC.9.如图:△ABC和△ADE是等边三角形，证明：BD=CE.10.如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE•都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH•的形状并说明理由．11.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=21BD．求证：BD是∠ABC的角平分线．等腰三角形训练二1.如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC，D为DC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F．求证：AB垂直平分DF．2.如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC3．如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC•交AB于E，求证：AE=BE．4、已知，如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF 的交点，求证：△BCF≌△DCE5、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。
等腰三角形经典试题综合训练(含解析)
等腰三角形经典试题综合训练（含解析）一．选择题（共18小题）1．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm2．等腰三角形腰长为5，则其底边长a的取值范围为（）A．0＜a≤5 B．5≤a≤10 C．0＜a＜10 D．0＜a＜53．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°4．等腰三角形一腰上的高于另一腰的夹角为50°，那么这个三角形的顶角为（）A．40°B．100°C．140°D．40°或140°5．下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（）A．40°B．36°C．30°D．25°7．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE8．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC 于M、N，则△AMN的周长为（）A．12 B．4 C．8 D．不确定9．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，对于下列结论：①AD⊥BC；②AE=AF；③AD上任意一点到AB，AC的距离相等；④AD上任意一点到点B，点C 的距离相等．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别在三边上，且BE=CD，BD=CF，G为EF的中点，则∠DGE 的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°11．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．2个B．3个C．4个D．无数个13．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°14．如图，在△ABC中，AB=AC=8，点D在BC上，DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE的周长是（）A．24 B．18 C．16 D．1215．如图，△ABC中，∠ABC=63°，点D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，且AB=AD=DE=EC，则∠C 的度数是（）A．21°B．19°C．18°D．17°16．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n﹣1A n B n﹣1（n＞2）的度数为（）A．B．C．D．17．如图钢架中，∠A=10°，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A=P1P2，则这样的钢条至多需要（）A．5根B．6根C．7根D．8根18．如图，已知△ABC是等腰三角形，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上的一个动点（不与A、B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则DE+DF的值为（）A．3 B．4 C．D．二．填空题（共8小题）19．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A=度．20．如图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=度．21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b 的代数式表示△ABC的周长为．22．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且AB=BD，AD=DC，则∠C=度．23．如图，点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠BED=°．24．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是．25．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm 每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为时，△ACP是等腰三角形．26．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N 构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是．三．解答题（共9小题）27．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=42°，求∠BED的度数．28．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．求证：OE=OF．29．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．（1）求证：∠CBE=∠BAD；（2）当△ABC满足什么条件时，AE=CE．直接写出条件．30．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；彬彬：“作△ABC的角平分线AD”．数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．31．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF．32．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．33．如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，我们发现这个三角形有一种特性，即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题；如图2，△ABC中，AB=AC，∠A=108°，请你在图中画一条射线（不必写画法），把它分成两个小等腰三角形，并写出底角的大小．34．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PE∥AB 交BC于点D，交AC于点F．（1）若点P在BC上（如图一），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF AB（填“＞”“＜”或“=”）（2）当点P在△ABC内（如图二）时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出你的猜想，不需要证明．35．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？等腰三角形综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【解答】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；故选A．2．等腰三角形腰长为5，则其底边长a的取值范围为（）A．0＜a≤5 B．5≤a≤10 C．0＜a＜10 D．0＜a＜5【分析】由已知条件腰长是5，底边长为a，根据三角形三边关系列出不等式，通过解不等式即可得到答案．【解答】解：根据三边关系可知：5﹣5＜a＜5+5，即0＜a＜10．故选C．3．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析．【解答】解：①当顶角是80°时，它的底角=（180°﹣80°）=50°；②底角是80°．所以底角是50°或80°．故选C．4．等腰三角形一腰上的高于另一腰的夹角为50°，那么这个三角形的顶角为（）A．40°B．100°C．140°D．40°或140°【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图1，三角形是锐角三角时，∵∠ACD=50°，∴顶角∠A=90°﹣50°=40°；如图2，三角形是钝角时，∵∠ACD=50°，∴顶角∠BAC=50°+90°=140°，综上所述，顶角等于40°或140°．故答案为：40°或140°．5．下列说法中，正确的有（）①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】认真阅读每一问题给出的已知条件，根据等腰三角形的概念、性质判断正误．【解答】解：①等腰三角形的两腰相等，正确；②等腰三角形的两底角相等，正确；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等，正确；④等腰三角形是轴对称图形，对称轴就是底边上的高所在的直线，正确．故选D．6．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（）A．40°B．36°C．30°D．25°【分析】根据AB=AC可得∠B=∠C，CD=DA可得∠ADB=2∠C=2∠B，BA=BD，可得∠BDA=∠BAD=2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CD=DA，∴∠C=∠DAC，∵BA=BD，∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，故选B．7．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠A=∠EBC，故选C．8．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC 于M、N，则△AMN的周长为（）A．12 B．4 C．8 D．不确定【分析】根据角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠BEM，∠BCE=∠CEN，然后求出∠ABE=∠BEM，∠ACE=∠CEN，根据等角对等边可得BM=ME，CN=NE，然后求出△AMN的周长=AB+AC．【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠CBE=∠BEM，∠BCE=∠CEN，∴∠ABE=∠BEM，∠ACE=∠CEN，∴BM=ME，CN=NE，∴△AMN的周长=AM+ME+AN+NE=AB+AC，∵AB=AC=4，∴△AMN的周长=4+4=8．故选C．9．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，对于下列结论：①AD⊥BC；②AE=AF；③AD上任意一点到AB，AC的距离相等；④AD上任意一点到点B，点C 的距离相等．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先根据角平分线的性质可得AD上任意一点到AB，AC的距离相等，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据全等三角形的性质得到AE=AF，根据线段垂直平分线的性质得到AD上任意一点到点B，点C的距离相等．【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，AD上任意一点到AB，AC的距离相等，故①③正确；∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△ADE与Rt△AFD中，∴Rt△ADE≌Rt△AFD，∴AE=AF；故②正确；∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BD，∴AD上任意一点到点B，点C的距离相等，故④正确；故选D．10．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别在三边上，且BE=CD，BD=CF，G为EF的中点，则∠DGE 的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【分析】首先连接DE，DF，由AB=AC，可得∠B=∠C，又由BE=CD，BD=CF，利用SAS可判定△BDE≌△CFD，即可得DE=DF，然后由三线合一的性质，证得DG⊥EF，继而求得答案．【解答】解：连接DE，DF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（SAS），∴DE=DF，∵G为EF的中点，∴DG⊥EF，即∠DGE=90°．故选C．11．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB=AB时，②当OA=AB时，③当OA=OB时，分别求得符合的点B，即可得解．【解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：①当OB=AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；②当OA=AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；③当OA=OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，1+1+2=4，故选：D．12．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．2个B．3个C．4个D．无数个【分析】如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要证明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等边三角形，由此即可对称结论．【解答】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．∵OP平分∠AOB，∴∠EOP=∠POF=60°，∵OP=OE=OF，∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∴∠EPM=∠OPN，在△PEM和△PON中，，∴△PEM≌△PON．∴PM=PN，∵∠MPN=60°，∴△PNM是等边三角形，∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个，故选D13．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=44°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．14．如图，在△ABC中，AB=AC=8，点D在BC上，DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE的周长是（）A．24 B．18 C．16 D．12【分析】因为AB=AC，所以△ABC为等腰三角形，由DE∥AB，可证△CDE为等腰三角形，同理△BDF也为等腰三角形，根据腰长相等，将线段长转化，求周长．【解答】解：∵AB=AC=15，∴∠B=∠C，由DF∥AC，得∠FDB=∠C=∠B，∴FD=FB，同理，得DE=EC．∴四边形AFDE的周长=AF+AE+FD+DE=AF+FB+AE+EC=AB+AC=8+8=16．故四边形AFDE的周长是16．故选C．15．如图，△ABC中，∠ABC=63°，点D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，且AB=AD=DE=EC，则∠C 的度数是（）A．21°B．19°C．18°D．17°【分析】设∠C=x．由DE=EC，根据等边对等角得出∠C=∠EDC=x，根据三角形外角的性质得出∠AED=∠C+∠EDC=2x．同理表示出∠ADB=∠ABC=3x，则3x=63°，求出x即可．【解答】解：设∠C=x．∵DE=EC，∴∠C=∠EDC=x，∴∠AED=∠C+∠EDC=2x．∵AD=DE，∴∠AED=∠DAE=2x，∴∠ADB=∠DAE+∠C=3x．∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABC=3x，∴3x=63°，∴x=21°．故选A．16．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n﹣1A n B n﹣1（n＞2）的度数为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B1A2A1，∠B2A3A2及∠B3A4A3的度数，找出规律即可得出∠A n﹣1A n B n﹣1的度数．【解答】解：∵在△ABA1中，∠A=70°，AB=A1B，∴∠BA1A=70°，∵A1A2=A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1==35°；同理可得，∠B2A3A2=17.5°，∠B3A4A3=×17.5°=，∴∠A n﹣1A n B n﹣1=．故选：C．17．如图钢架中，∠A=10°，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A=P1P2，则这样的钢条至多需要（）A．5根B．6根C．7根D．8根【分析】由于焊上的钢条长度相等，并且AP1=P1P2，所以∠A=∠P1P2A，则可算出∠P2P1P3的度数，并且和∠P1P3P2度数相等，根据平角的度数为180度和三角形内角和为180度，结合等腰三角形底角度数不大于90度即可求出最多能焊上的钢条数．【解答】解：如图：∵∠A=∠P1P2A=10°，∴∠P2P1P3=20°，∠P1P3P2=20°，∴∠P1P2P3=140°，∴∠P3P2P4=30°∴∠P3P4P2=30°∴∠P2P3P4=120°∴∠P4P3P5=40°∴∠P3P5P4=40°∴∠P3P4P5=100°∴∠P5P4P6=50°∴∠P4P6P5=50°∴∠P4P5P6=80°∴∠P6P5P7=60°，∴∠P6P7P5=60°，∴∠P5P6P7=60°，∴∠P8P6P7=70°，∴∠P6P8P7=70°，∴∠P6P7P8=40°，∴∠P8P7P9=80°，∴∠P7P9P8=80°，∴∠P9P8P7=20°，∴∠P9P8C=90°，此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上8条．故选D．18．如图，已知△ABC是等腰三角形，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上的一个动点（不与A、B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则DE+DF的值为（）A．3 B．4 C．D．【分析】连接AD，过点C作CE⊥AB于点E，根据勾股定理求出CE的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：连接AD，过点C作CE⊥AB于点E，∵AC=BC=5，AB=8，∴AE=4，∴CE==3，∴S△ABC=AB•CE=×8×3=12．∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴S△ABC=S△ACD+S△BDC=AC•DE+BC•DF=×5×（DE+DF）=12，∴DE+DF=．二．填空题（共8小题）19．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A=75度．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=30°，∴∠A=（180°﹣30°）=75°，故答案为：75．20．如图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=55度．【分析】首先求出∠C的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠A，从而利用四边形内角和定理求出∠EDF．【解答】解：∵∠AFD=145°，∴∠CFD=35°又∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E ∴∠C=180°﹣（∠CFD+∠FDC）=55°∵AB=AC ∴∠B=∠C=55°，∴∠A=70°根据四边形内角和为360°可得：∠EDF=360°﹣（∠AED+∠AFD+∠A）=55°∴∠EDF为55°．故填55．21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b 的代数式表示△ABC的周长为2a+3b．【分析】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；【解答】解：∵AB=AC，BE=a，AE=b，∴AC=AB=a+b，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE=b，∴∠ECA=∠BAC=36°，∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°，∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°，∴CE=BC=b，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b 故答案为：2a+3b．22．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且AB=BD，AD=DC，则∠C=36度．【分析】根据已知题目中所给的等量关系，用一个角分别表示出其他的角，利用三角形内角和等于180°，便可得出∠C的度数．【解答】解：由题意知，在△ABC中，AB=AC，所以∠B=∠C，又AB=BD，AD=DC，所以∠C=∠DAC，∠BAD=∠BDA=2∠C，由三角形内角和为180°可得，∠C+∠C+3∠C=180°，得∠C=36°．故填36．23．如图，点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠BED=80°．【分析】先利用SSS证明△ABD≌△EBD，再根据全等三角形对应角相等即可求出∠BED．【解答】解：在△ABD与△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴∠BED=∠A=80°．故答案为80．24．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是cm2．【分析】过点P作PE⊥BP，垂足为P，交BC于点E，由角平分线的定义可知∠ABP=∠EBP，结合BP=BP 以及∠APB=∠EPB=90°即可证出△ABP≌△EBP（ASA），进而可得出AP=EP，根据三角形的面积即可得出S=S EPC，再根据S△PBC=S△BPE+S EPC=S△ABC即可得出结论．△APC【解答】解：过点P作PE⊥BP，垂足为P，交BC于点E，如图所示．∵AP垂直∠B的平分线BP于点P，∴∠ABP=∠EBP．在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP=EP．∵△APC和△EPC等底同高，∴S△APC=S EPC，∴S△PBC=S△BPE+S EPC=S△ABC=cm2．故答案为：cm2．25．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm 每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为3或6或6.5或5.4时，△ACP是等腰三角形．【分析】由于没有说明哪一条边是腰，故需要分情况讨论．【解答】解：∵AC=6，BC=8，∴由勾股定理可知：AB=10，当点P在CB上运动时，由于∠ACP=90°，∴只能有AC=CP，如图1，∴CP=6，∴t==3，当点P在AB上运动时，①AC=AP时，如图2，∴AP=6，PB=AB﹣CP=10﹣6=4，∴t==6，②当AP=CP时，如图3，此时点P在线段AC的垂直平分线上，过点P作PD⊥AC于点D，∴CD=AC=3，PD是△ACB的中位线，∴PD=BC=4，∴由勾股定理可知：AP=5，∴PB=5，∴t==6.5；③AC=PC时，如图4，过点C作CF⊥AB于点F，∴cos∠A==，∴AF=3.6，∴AP=2AF=7.2，∴PB=10﹣7.2=2.8，∴t==5.4；综上所述，当t为3或6或6.5或5.4时，△ACP是等腰三角形．故答案为：3或6或6.5或5.4．26．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N 构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是x=0或x=4﹣4或4＜x＜4．【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【解答】解：分三种情况：①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴OM=4，当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．故答案为：x=0或x=4﹣4或4．三．解答题（共9小题）27．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=42°，求∠BED的度数．【分析】已知AE平分∠BAC，ED∥AC，根据两直线平行同旁内角互补，可求得∠DEA的度数，再由三角形外角和为360°求得∠BED度数．【解答】解：∵BE⊥AE∴∠AEB=90°∵AE平分∠BAC∴∠CAE=∠BAE=42°又∵ED∥AC∴∠AED=180°﹣∠CAE=180°﹣42°=138°∴∠BED=360°﹣∠AEB﹣∠AED=132°28．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．求证：OE=OF．【分析】根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案．【解答】证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF．29．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．（1）求证：∠CBE=∠BAD；（2）当△ABC满足什么条件时，AE=CE．直接写出条件．【分析】（1）根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD．（2）根据等边三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．（2）当△ABC满足是等边三角形的条件时，AE=CE．30．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；彬彬：“作△ABC的角平分线AD”．数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．【分析】（1）线段BC的中垂线可以直接作出的，不需要附带“过点A作”；（2）根据已知条件利用AAS可证△ABD≌△ACD，得出AB=AC．【解答】（1）解：作辅助线不能同时满足两个条件；（2）证明：作△ABC的角平分线AD．∴∠BAD=∠CAD，在△ABD与△ACD中，∵，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB=AC．31．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF．【分析】首先过点D作DM∥AC交BC于M，易证得△DMF≌△ECF，继而证得DF=EF．【解答】证明：过点D作DM∥AC交BC于M，∴∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DMB，∴BD=MD，∵BD=CE，∴MD=CE，在△DMF和△ECF中，，∴△DMF≌△ECF（AAS），∴DF=EF．32．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=25°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出∠BAD，根据点D的运动方向可判定∠BDA的变化情况．（2）假设△ABD≌△DCE，利用全等三角形的对应边相等得出AB=DC=2，即可求得答案．（3）假设△ADE是等腰三角形，分为三种情况：①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA=DE时，求出∠DAE=∠DEA=70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA=ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB．【解答】解：（1）∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠BDA=180°﹣40°﹣115°=25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°；小．（2）当△ABD≌△DCE时．DC=AB，∵AB=2，∴DC=2，∴当DC等于2时，△ABD≌△DCE；（3）∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°﹣40°）=70°，∵∠BAC=180°﹣40°﹣40°=100°，∴∠BAD=100°﹣70°=30°；∴∠BDA=180°﹣30°﹣40°=110°；③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，∴∠BAD=100°﹣40°=60°，∴∠BDA=180°﹣60°﹣40°=80°；∴当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．33．如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，我们发现这个三角形有一种特性，即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题；如图2，△ABC中，AB=AC，∠A=108°，请你在图中画一条射线（不必写画法），把它分成两个小等腰三角形，并写出底角的大小．【分析】先根据AB=AC，∠A=108°，求得∠C=36°，再过点A作∠DAC=36°，则△ACD和△ABD均为等腰三角形．【解答】解：如图2所示，由AB=AC，∠A=108°，可知∠C=36°，过点A在∠BAC内部作射线AD，使得∠DAC=36°，则△ABD中，∠BAD=72°，∠ADB=72°，△ACD中，∠DAC=∠C=36°，故△ACD和△ABD均为等腰三角形，故射线AD即为所求．34．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PE∥AB 交BC于点D，交AC于点F．（1）若点P在BC上（如图一），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB（填“＞”“＜”或“=”）（2）当点P在△ABC内（如图二）时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出你的猜想，不需要证明．【分析】（1）先求出四边形PFAE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PF=AE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠BPE=∠C，然后求出∠B=∠BPE，利用等角对等边求出PE=BE，然后求解即可；（2）根据平行四边形的判定得出四边形AEPF为平行四边形，根据平行四边形的性质，平行线的性质即可得证．【解答】解：（1）答：PD+PE+PF=AB．证明如下：∵点P在BC上，∴PD=0，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形PFAE是平行四边形，∴PF=AE，∵PE∥AC，∴∠BPE=∠C，∴∠B=∠BPE，∴PE=BE，∴PE+PF=BE+AE=AB，∵PD=0，∴PD+PE+PF=AB；（2）当点P在△ABC内时，结论PD+PE+PF=AB仍然成立．证明：∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF为平行四边形，∴PE∥AF ∵PF∥AB，∴∠FDC=∠B，又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠FDC=∠C，∴DF=CF，∴DF+PE=CF+AF，即DF+PE=AC，又∵DF=PD+PF，AC=AB，∴PD+PF+PE=AB，即上述结论成立．35．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？【分析】（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，根据AAS证△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质推出即可；（2）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；（3）类似（2）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．【解答】解：（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，理由如下：∵D为BC中点，∴BD=CD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（3）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．。
中考数学总复习《等腰三角形》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《等腰三角形》专项提升练习题(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为( )A.12B.9C.12或9D.9或72.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70°3.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为( )A.36°B.60°C.72°D.108°4.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，则∠ABE＝( )A.10°B.15°C.20°D.25°5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为( )A.BD＝CEB.AD＝AEC.DA＝DED.BE＝CD6.等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是( )A.有一个内角是60°B.有一个外角是120°C.有两个角相等D.腰与底边相等7.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )A.60°B.90°C.120°D.150°8.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )A.(1，1)B.(3，1)C.(3，3)D.(1，3)9.如图，△ABC中∠A=30°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，此时∠CDB=82°，则原三角形的∠B为( )A.75°B.76°C.77°D.78°10.如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为( )A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.12 cm二、填空题11.等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．12.如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝3，AE＝4，则AC＝.13.如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，则∠2的度数为.14.如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝________.15.已知一张三角形纸片ABC(如图甲)，其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD(如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF(如图丙)．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为．16.《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图(蜨，同“蝶”)，如图为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件(大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形)，已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP.若∠ADQ＝25°，则∠DCP的度数为.三、解答题17.如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，求∠B的度数.18.如图，△ABC中，AC＝BC，点D在BC上，作∠ADF＝∠B，DF交外角∠ACE的平分线CF于点F.（1）求证：CF∥AB；（2）若∠CAD＝20°，求∠CFD的度数.19.如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.(1)求证：AE＝CF；(2)求∠ACF的度数.20.如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°.(1)若∠1＝50°，求∠2；(2)连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3.21.如图，在△ABC中，AB＝BC，CD⊥AB于点D，CD＝BD，BE平分∠ABC，点H是BC 边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．(1)求证：△ADC≌△FDB；(2)求证：CE＝12BF；(3)判断△ECG的形状，并证明你的结论；22.如图，已知在等边三角形ABC中，点D、E分别在直线AB、直线AC上，且AE＝BD．(1)当点D、E分别在边AC、边AB上时，如图1所示，EB与CD相交于点G，求∠CGE 的度数；(2)当点D、E分别在边CA、边AB的延长线上时，如图2所示，∠CGE的度数是否变化？如不变，请说明理由．如变化，请求出∠CGE的度数．答案1.A2.D3.C4.C.5.C6.C7.A8.D9.D10.C.11.答案为：100°.12.答案为：7.13.答案为：40°.14.答案为：75°15.答案为：72°.16.答案为：20°.17.解：∵AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°∴∠CAD＝(180°﹣100°)÷2＝40°∵∠CDB是△ACD的外角∴∠CDB＝∠A＋∠ACD＝100°＝40°＋100°＝140°∵DC＝DB∴∠B＝(180°﹣140°)÷2＝20°.18.（1）证明：∵AC＝BC∴∠B＝∠BAC∵∠ACE＝∠B+∠BAC∴∠BAC＝12∠ACE∵CF平分∠ACE∴∠ACF＝∠ECF＝12∠ACE∴∠BAC ＝∠ACF∴CF ∥AB ；（2）解：∵∠BAC ＝∠ACF ，∠B ＝∠BAC ，∠ADF ＝∠B ∴∠ACF ＝∠ADF∵∠ADF+∠CAD+∠AGD ＝180°，∠ACF+∠F+∠CGF ＝180° 又∵∠AGD ＝∠CGF∴∠F ＝∠CAD ＝20°.19.证明：(1)∵△ABC 是等边三角形∴AB ＝BC ，∠ABE ＋∠EBC ＝60°.∵△BEF 是等边三角形∴EB ＝BF ，∠CBF ＋∠EBC ＝60°.∴∠ABE ＝∠CBF.在△ABE 和△CBF 中⎩⎨⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBF EB ＝BF ，∴△ABE ≌△CBF(SAS).∴AE ＝CF.(2)∵等边△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线∴∠BAE ＝30°，∠ACB ＝60°.∵△ABE ≌△CBF∴∠BCF ＝∠BAE ＝30°.∴∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACB ＝30°＋60°＝90°.20.解：(1)∵△ABC 是等边三角形∴∠B ＝∠A ＝∠C ＝60°∵∠B ＋∠1＋∠DEB ＝180°∠DEB ＋∠DEF ＋∠2＝180°∵∠DEF ＝60°∴∠1＋∠DEB ＝∠2＋∠DEB∴∠2＝∠1＝50°；(2)连接DF∵DF∥BC∴∠FDE＝∠DEB∵∠B＋∠1＋∠DEB＝180°，∠FDE＋∠3＋∠DEF＝180°∵∠B＝60°，∠DEF＝60°∴∠1＝∠3.21.证明：(1)∵AB＝BC，BE平分∠ABC∴BE⊥AC，CE＝AE∵CD⊥AB∴∠ACD＝∠DBF在△ADC和△FDB中∴△ADC≌△FDB(ASA)；(2)∵△ADC≌△FDB∴AC＝BF又∵CE＝AE∴CE＝12BF；(3)△ECG为等腰直角三角形．∵点H是BC边的中点∴GH垂直平分BC∴GC＝GB∵∠DBF＝∠GBC＝∠GCB＝∠ECF，得∠ECG＝45°又∵BE⊥AC∴△ECG为等腰直角三角形.22.(1)证明：∵△ABC为等边三角形∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°在△ABE和△BCD中AE＝BD,∠A＝∠DBC,AB＝BC∴△ABE≌△BCD∴∠ABE＝∠BCD∵∠ABE＋∠CBG＝60°∴∠BDG＋∠CBG＝60°∵∠CGE＝∠BCG＋∠CBG∴∠CGE＝60°；(2)证明：∵△ABC为等边三角形∴AB＝BC，∠CAB＝∠ABC＝60°∴∠EAB＝∠CBD＝120°在△ABE和△BCD中AB＝BC,∠EAB＝∠CBD,AE＝BD∴△ABE≌△BCD(SAS)∴∠D＝∠E∵∠ABE＝∠DBG，∠CAB＝∠E＋ABE＝60°∴∠CGE＝∠D＋∠DBG＝60°．。
等腰三角形经典拔高题(含答案)
等腰三角形练习题一、计算题:1. 如图,△A ＢC 中，ＡＢ=ＡＣ，B Ｃ=BD,A Ｄ=DE ＝Ｅ求∠A 的度数2.如图,ＣA ＝CB ，DF=ＤB ，AE ＝AD 求∠A 的度数3. 如图，△ABC 中,ＡB=ＡC ，D 在BC 上,DE ⊥A Ｂ于E,DF ⊥BC 交ＡC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AF Ｄ的度数４. 如图,△AB Ｃ中，A Ｂ=AC,BC=B Ｄ求∠A 的度数５. 如图，△ABC 中,AB=AC ，D 在BC 上, ∠B ＡD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠ＥD Ｃ的度数6. 如图,△ABC 中,∠C=90°,Ｄ为AB 上一点,作DE ⊥BC 于Ｅ，若BE=AC,BD ＝21，DE+B Ｃ＝1,求∠ＡBC 的度数CB７. 如图,△ABC 中，AD 平分∠ＢAC,若A Ｃ=AB+ＢD求∠Ｂ：∠C 的值二、证明题：8. 如图,△AB Ｃ中,∠ＡＢC,∠CAB 的平分线交于点Ｐ,过点P 作D Ｅ∥ＡB ，分别交B Ｃ、AC 于点D 、E 求证：ＤE=B Ｄ+ＡE9. 如图，△DEF 中,∠ＥD Ｆ=2∠E ，F Ａ⊥DE 于点A,问:ＤF 、ＡD 、AE 间有什么样的大小关系10. 如图,△AB Ｃ中，∠B=6０°,角平分线AD 、CE 交于点O 求证：ＡＥ+CD=AC11. 如图，△ABC 中，AB ＝ＡC ， ∠Ａ=100°,BD 平分∠ABC,求证：ＢＣ=BD+ＡD12. 如图,△AB Ｃ中,ＡB=AC,D 为△ABC 外一点，且∠ＡＢD=∠ACD =60°求证：ＣD=AB-B ＤCB A D E P A BCD ADF E OA B C D E CA13.已知：如图，ＡＢ=AC=ＢＥ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线 求证:C Ｄ=21CE14. 如图,△A ＢC 中，∠１＝∠２，∠ＥDC=∠BAC 求证:BD=ED15. 如图,△ABC 中,AB ＝AC,ＢE=ＣＦ,EF 交BC 于点Ｇ求证:EG=FG１6. 如图，△ABC 中,∠A ＢＣ=2∠C,AD 是BC 边上的高，B 到点求证：AF=FC17. 如图,△AB Ｃ中,A Ｂ=ＡＣ,A Ｄ和BE 两条高，交于点H ，且AE=BE 求证:AH ＝2BDA BDF E C C A B D E1 2 F１8． 如图，△AB Ｃ中,AB=AC ， ∠ＢＡC ＝90°,ＢD=ＡB, ∠AB Ｄ=30° 求证:AD=D Ｃ19. 如图，等边△ABC 中,分别延长BA 至点E ，延长ＢC 至点D,使AE=BD 求证:ＥC=ED20． 如图，四边形ABCD 中,∠BA Ｄ+∠BCD ＝180°,AD 、ＢC 的延长线交于点Ｆ，DC 、AB 的延长线交于点Ｅ，∠Ｅ、∠F 的平分线交于点Ｈ 求证:EH ⊥FHC DABD CEF等腰三角形练习题A一、计算题：--２0. 如图,四边形ABCD 中，∠BAD+∠BC Ｄ=18０°,ＡＤ、ＢC 的延长线交于点Ｆ，ＤC 、AB 的延长线交于点Ｅ，∠E 、∠Ｆ的平分线交于点H 求证：EH ⊥FH延长EH 交ＡF 于点G由∠BAD ＋∠BCD=１80°,∠DCF+∠BCD=180° 得∠BAD ＝∠DC Ｆ,由外角定理,得∠1=∠2， 故△FGM 是等腰三角形 由三线合一，得EH ⊥ＦHABDCEFHG 12。
等腰三角形经典拔高题含答案
等腰三角形与勾股定理的结合：在等腰三角形中，利用勾股定理求出第三边的长度 经典拔高题解析：通过举例说明等腰三角形与勾股定理的结合在数学竞赛中的应用
解题技巧：掌握等腰三角形的性质和勾股定理的应用，能够快速解题
05
等腰三角形与全等的结合
题目解析
添加标题 添加标题 添加标题 添加标题
题目：等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC上一点，E是AD上一点，且AB=BD， DE=CE，求证：BE=BD。
XX
等腰三角形经典拔高题
单击添加副标题
汇报人：XX
目录
01
单击添加目录项标题
02
等腰三角形的性质
03
等腰三角形的拔高题
04
等腰三角形与勾股定理的结合
05
等腰三角形与全等的结合
06
等腰三角形与函数图像的结合
01
添加章节标题
02
等腰三角形的性质
等腰三角形的定义
等腰三角形是两边长度相等的三角形 等腰三角形两底角相等 等腰三角形顶角的角平分底角 等腰三角形高、中线、角平分线三线合一
题目解析
题目描述：等腰三角形与函数 图像的结合，考察了等腰三角 形的性质和函数图像的特性。
解题方法：首先分析等腰三角 形的性质和函数图像的特性， 然后根据题目要求进行求解。
等腰三角形经典练习题（5套）附带详细答案
等腰三角形经典练习题（5套）附带详细答案￥练习一一、选择题1．等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（）Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝2．已知△ABC，AB =AC，∠B=65°，∠C度数是( )A．50° B．65° C．70° D．75°3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）/A．过顶点的直线B．底边的垂线C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线二、填空题4．等腰三角形的两个_______相等（简写成“____________”）．5．已知△ABC，AB =AC，∠A=80°，∠B度数是_________．6．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________．7．等腰三角形的腰长是6，则底边长5，周长为__________．！三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）…9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数。
一、选择题1．B2．B3．C二、填空题4．底角，等边对等角~5．50°6．36°或90°7．16或17三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．证明：∵AB=AD（已知）∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）∵AD∥BC（已知）}∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）∴∠ABD=∠CBD（等量代换）∴BD平分∠ABC．（角平分线定义）9．45练习2…一、选择题1．△ABC是等边三角形，D、E、F为各边中点，则图中共．有正三角形( )A．2个 B．3个C．4个 D．5个2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AB等于 ( )!A． 2：1 B．1：2 C．1：3 D．2 ：3二、填空题3．等边三角形的周长为6㎝，则它的边长为 ________．4．等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________．5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_____三角形．6．△ABC中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．三、解答题7．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗试说明理由．>8．已知：如图，P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．（9．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30°，求证：△BDC是等边三角形．\AQ CPB一、选择题 1．D 2．B二、填空题 3．2㎝ 4．120° 5．等边）6．6㎝三、解答题7．△ABC 是等边三角形．理由是∵△ABC 是等边三角形∴∠A =∠B =∠C=60° ∵DE ∥AC ，∴∠BED =∠A=60°，∠BDE =∠C =60° ∴∠B =∠BED =∠BDE、∴△ABC 是等边三角形 8．∠BAC=120°9．证明：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）∴∠A +∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠B= 90°－∠A= 90°－30°=60° ∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）~∴BC=（在直角三角形中，一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）∴△BDC 是等边三角形（有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形）。
中考数学总复习《等腰三角形》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《等腰三角形》专项提升练习题(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1.如图已知ABC △中AB=3，AC=5，BC=7，若过点A 的一条直线将ABC △分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A.1条B.2条C.3条D.4条2.如图在ABC △中AB=AC ，D 是BC 边上的中点30B ∠=︒，则DAC ∠等于( )A.30°B.40°C.50°D.60°3.等腰三角形的一个内角是40︒，则它的顶角度数为( )A.100︒B.40︒或100︒C.70︒D.40︒4.如图,a//b,AB=AC,若162∠=︒,则A ∠的度数为( )A.56︒B.59︒C.62︒D.76︒5.已知等腰三角形的周长为19，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边是( )A.3B.8C.3或8D.136.如图在ABC △中AC DC DB ==，100ACD ∠=︒则B ∠等于( )A.50°B.40°C.25°D.20°7.如图在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，35ABC ∠=︒将ABC △绕点C 顺时针旋转至A B C '''△，使点A '恰好落在AB 上，则旋转角度为( )A.35︒B.55︒C.70︒D.90︒8.如图在ABC △中点D 在AC 上，点E 在AB 上，且AB AC =，BC BD =，AD DE EB ==，则A ∠等于( )A.45°B.30°C.60°D.75°9.如图点A 、B 、C 三点在O 上40OCB ∠=︒，则A ∠=_____________10.已知等腰三角形的一个外角是80︒,则它顶角的度数为________.11.等腰三角形的周长为20cm ，一边长为6cm ，则底边长为__________cm ．12.如图52ABC ∠=︒，AD 是线段BC 的垂直平分线，垂足为点D ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则AEC ∠的度数是__________.13.如图将ABC △绕点A 逆时针旋转140︒得到ADE △，B ，C ，D 三点恰好在同一直线上.（1）判断ACE △的形状；（2）连接CE ，若CE BD ⊥，求BAC ∠的度数.14.如图在ABC △中AC 边的垂直平分线分别交BC 、AC 于点E 、F ，连接AE ，作AD BC ⊥于点D ，且D 为BE 的中点.（1）试说明：AB CE =；（2）若32C ∠=︒，求BAC ∠的度数.参考答案及解析1.答案：C解析：如图所示，当3AB AF ==，3BA BD ==与BG AG =时，都能得到符合题意的等腰三角形.综上，这样的直线最多可画3条.2.答案：D解析：在ABC △中已知AB AC =，D 是BC 边上的中点AD BC ∴⊥90ADC ∴∠=︒30B C ∠=∠=︒ 60DAC ∴∠=︒ 故选：D.3.答案：B解析：当40︒为等腰三角形的底角时，顶角为1804040100︒-︒-︒=︒；当40︒为等腰三角形的顶角时，则顶角为40︒.所以该等腰三角形的顶角度数为40︒或100︒.4.答案：A解析:AB AC =如图A B ABC C ∴=∠∠如图//a b 如图162ABC ∴∠=∠=︒如图180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒如图18026256A ∠=⨯∴︒-︒=︒如图故选:A.5.答案：A解析：当3是腰长时，底边为193213-⨯=此时33613+=<，不能组成三角形；当3是底边时，腰长为()119382-=此时3，8，8三边能够组成三角形. 所以等腰三角形的底边是3.故选：A.6.答案：D解析：AC DC DB == 100ACD ∠=︒180100402CAD -∴︒︒∠==︒ CDB ∠是ACD △的外角10040100140CDB A ACD ︒∴∠=∠+∠=︒=+=︒︒DC DB =180140202B ︒︒-∴∠==︒.7.答案：C 解析：90ACB ∠=︒ 35ABC ∠=︒∴180903555A ∠=︒-︒-︒=︒将ABC △绕点C 顺时针旋转至A B C '''△，即其中一个旋转角为ACA '∠A C AC '∴=∴CAA '△是等腰三角形∴55CA A CAA ''∠=∠=︒∴180555570ACA '∠=︒-︒-︒=︒故选：C.8.答案：A解析：设EBD x ∠=DE EB =EBD EDB x ∴∠=∠=2AED EBD EDB x ∴∠=∠+∠=AD DE =2A AED x ∴∠=∠=3BDC A EBD x ∴∠=∠+∠=BC BD =3BDC C x ∴∠=∠=AB AC =3ABC C x ∴∠=∠=在ABC △中有180A ABC C ∠+∠+∠=︒，则233180x x x ++=︒22.5x ∴=︒245A x ∴∠==︒故选：A.9.答案：50︒解析：OB OC = 40OCB ∠=︒40OBC OCB ∴∠=∠=︒1804040100BOC ∴∠=︒-︒-︒=︒1502A BOC ∴∠=∠=︒.故答案为：50︒.10.答案：100︒.解析:等腰三角形一个外角为80︒,那相邻的内角为100︒如图三角形内角和为180︒,如果这个内角为底角,内角和将超过180︒如图所以100︒︒只可能是顶角.故答案为:100︒.11.答案：6或8. 解析：①6cm 是底边时,腰长()12067cm 2=-=此时三角形的三边分别为7cm 7cm 6cm 、、能组成三角形②6cm 是腰长时，底边20628cm =-⨯=此时三角形的三边分别为6cm 6cm 8cm 、、能组成三角形综上所述，底边长为6或8cm .故答案为：6或8.12.答案：116︒解析：52ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E 11522622EBD ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒点E 在BC 的垂直平分线上BE CE ∴= 90EDC ∠=︒26C EBD ∴∠=∠=︒2690116AEC C EDC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒.故答案为：116︒.13.答案：（1）顶角为140︒的等腰三角形（2）90︒解析：（1）ABC △绕点A 逆时针旋转140︒得到ADE △ AC AE ∴= 140CAE ∠=︒ ACE ∴△是以顶角为140︒的等腰三角形；（2）ABC △绕点A 逆时针旋转140︒得到ADE △ 140BAD CAE ∴∠=∠=︒ AB AD = AC AE = ∴在ABD △中180140202ABC ADB ︒-︒∠=∠==︒ 在ACE △中180140202ACE AEC ︒-︒∠=∠==︒ CE BD ⊥90ECB ∴∠=︒902070ACB ECB ACE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒在ABC △中180180207090BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ BAC ∴∠的度数为90︒.14.答案：（1）见解析（2）84︒解析：（1）D 为BE 的中点BD DE ∴=AD BC ⊥ AB AE ∴=EF 是AC 的垂直平分线AE CE ∴=AB CE ∴=； （2）32C ∠=︒ AE CE =32C EAC ∴∠=∠=︒64AEB C EAC ∴∠=∠+∠=︒AB AE =64B AEB ∴∠=∠=︒180180646452BAE B AEB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ 523284BAC BAE EAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒.。
(完整word版)八上等腰三角形精品提高题系列
1.如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．（ I）探究：线段BM，MN，NC之间的关系，并加以证明．（Ⅱ）若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，请你再探线段BM，MN，NC之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由．2.如图，点P为△ABC内部一点，使得∠PBC=30°，∠PBA=8°，且∠PAB=∠PAC=22°，求∠APC的度数.3.如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB的大小.5.在△ABC中，BD平分∠ABC（∠ABC＜60°）（1）如图1，当点D在AC边上时，若∠ABC=42°，∠ACB=32°，直接写出AB，DC和BC之间的数量关系．（2）如图2，当点D在△ABC内部，且∠ACD=30°时，①若∠BDC=150°，直接写出AB，AD和BC之间的数量关系，并写出结论成立的思路．②若∠ABC=2α，∠ACB=60°-α，请直接写出∠ADB的度数（用含α的式子表示）．6.如图，已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点且∠ABD=60°，求证：AC=BD+CD.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．如图，过△ABC的边BC的中点M作直线垂直于∠A的平分线AA′，且分别交直线AB，AC于点E，F，已知：如图在△ABC中，BD，CE为两条高线，F为BD上一点，G为CE延长线上一点，BF=AC，CG=AB．（1）请你判断△AFG的形状并证明．（2）当F为BD反向延长线上一点，G为CE反向延线上一点，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请你画出图形，并证明你的结论．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E，F为线段BC上的两点，且CE=BF，连接AF，过点C 作CD⊥AF于点G，交AB于点D，连接DE，交AF于点M．（1）求证：∠ACD=∠AFC；（2）求证：ME=MF在△ABC中，BD为∠ABC的平分线．（1）如图1，∠C=2∠DBC，∠A=60°，求证：△ABC为等边三角形；（2）如图2，若∠A=2∠C，BC=8，AB=4.8，求AD的长度；（3）如图3，若∠ABC=2∠ACB，∠ACB的平分线OC与BD相交于点O，且OC=AB，求∠A的度数．1.如图，已知AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．（1）过点C作直线DE，分别交AM、BN于点D、E，则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系？请直接写出关系式_______（2）如图，若将直线DE绕点C转动，使DE与AM交于点D，与NB的延长线交于点E，则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系？请你给出结论并加以证明．2.如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．3.已知△ABC，∠BAC=45°，以AB、AC为边在△ABC外作等腰△ABD和△ACE，AD=AB、AE=AC，且∠BAD=∠CAE，连CD、BE交于F，连AF．（1）①如图1，若∠BAD=60°，则∠AFE=_______度；②如图2，若∠BAD=90°，则∠AFE=_______度；（2）如图3，若∠BAD=a°，猜想∠AFE的度数（用a表示），并予以证明．4.如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC 于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△ADC≌△AEB；（2）判断△EGM是什么三角形，并证明你的结论；（3）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论1.如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC=68°（1）求证：∠ADC=124°；（2）若AB+BD=AC，求∠ACB的度数2.已知：在△ABC中，AB=3AC，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AD的延长线于点E．设△ACD的面积是S．（1）求△ABD的面积；（2）求证：AD=DE；（3）探究BE-AC和BD-CD之间的大小关系并证明你的结论3.在△ABC中，∠BAC=90°，射线AM∥BC，点D在射线AM上（不与点A重合），连接BD，过点D作BD的垂线交CA的延长线于点P（1）如图①，若∠C=30°，且AB=DB，求∠APD的度数；（2）如图②，若∠C=45°，当点D在射线AM上运动时，PD与BD之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并加以证明；（3）如图③，在（2）的条件下，连接BP，设BP与射线AM的交点为Q，∠AQP=α，∠APD=β，当点D在射线AM上运动时，α与β之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并加以证明．4.已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s），（1）如图（1），当x为何值时，PQ∥AB；（2）如图（2），若PQ⊥AC，求x；（3）如图（3），当点Q在AB上运动时，PQ与△ABC的高AD交于点O，OQ与OP是否总是相等？请说明理由．1.在锐角三角形ABC中，AF是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作△ABD和△ACE，使得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，连接BE、DE、DC，DE与FA的延长线交于点G，下列结论：①BE=DC；②BE⊥DC；③AG是△ADE的中线；④∠DAG=∠ABC．其中正确的结论有哪些？2.在△ABC中，AB≠AC，分别以AB，AC为边作等腰△ABD和△ACE，AD=AB，AC=AE，且∠ACB=∠BAD=∠CAE=α，连接DE，交CA延长线于点M，求证：M为DE中点3.如图，已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE．G、F分别是DC与BE的中点．（1）求证：DC=BE；（2）当∠DAB=80°，求∠AFG的度数；（3）若∠DAB=α，求∠AFG与α的数量关系.4.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在CB上，连接AD，EA⊥AD，∠ACE=∠ABD．（1）求证：AD=AE；（2）若点F为CD中点，AF交BE于点G，求∠AGE的度数．1.如图△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°．（1）判断CD与BE有怎样的数量关系；（2）探索DC与BE的夹角的大小；（3）求证：FA平分∠DFE；（4）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的数量关系和位置关系2.如图1，已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE．（1）求证：△DAC≌△BAE；（2）F、H分别是BE与DC的中点；①如图2．当∠DAB=∠CAE=90°时，求∠AFH的度数；②请探究当∠DAB等于多少度时，AF=FH？请说明理由．3.如图，△ABC向外侧作等腰Rt△ABD与Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，F为BC的中点，连接F、A并延长交DE于G点，请问：AF与DE之间存在怎样的数量关系和位置关系?4.已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．（1）如图1，若∠DAB=60°，则∠AFG=_______；如图2，若∠DAB=90°，则∠AFG=_______.（2）如图3，若∠DAB=α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明；（3）如果∠ACB为锐角，AB≠AC，∠BAC≠90°，点M在线段BC上运动，连接AM，以AM为一边以点A为直角顶点，且在AM的右侧作等腰直角△AMN，连接NC；试探究：若NC⊥BC（点C、M重合除外），则∠ACB等于多少度？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）5.在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过B点作∠BDE=90°，且点D 在直线MN上（不与点A重合）．（1）如图①，当DE与AC交于P时，求证：BD=DP；（2）如图②，当DE与AC的延长线交于点P时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图③，当DE与CA的延长线交于点P时，请直接写出DB与PD的数量关系，此时过D作DF⊥AB于F，求证：AP+AB=2AF．6.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．1.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E是AB边上一动点（不含端点A、B），连接CE，过点B作CE的垂线交直线CE于点F，交直线CD于点G（如图①）．（1）求证：AE=CG；（2）若点E运动到线段BD上时（如图②），试猜想AE、CG的数量关系是否发生变化，请直接写出你的结论；（3）过点A作AH垂直于直线CE，垂足为点H，并交CD的延长线于点M（如图③），找出图中与BE 相等的线段，并证明．2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，P是BC边上的-点，过点P引直线分别交AB于点M，交AC的延长线于点N，且PM=PN．（1）写出图中除AB和AC，PM和PN外的其他相等的线段．（2）证明你的结论3.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D，E为边AC上的两动点，以相同的速度D从A向C，E从C 向A运动，AM⊥BD交BC于N，连NE并延长交BD延长线于F．①说明∠ABD=∠NAC②当D，E运动到如图2所示的位置时，试作出图形，并判断FD与FE的数量关系，请写出你的结论．（不要求证明）③对图1证明△FED为等腰三角形．4.已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是_______（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．5.如图，△ABD与△ACE中，AB=AC，∠ACE+∠ABD=180°，BD=CE，BC延长线交ED于F．（1）求证：∠DBF=∠ECF；（2）图中是否存在与DF相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：（1）AF=CG；（2）DG=CF；（3）直接写出CF与DE的数量关系．1.已知等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，AB=BC，CD=DE，∠ABC=90°，∠CDE=90°，CD＞BC，取线段AE的中点M，连结BM、DM、BD．（1）如图1，当BC⊥CE时，连接AE，试猜想BM与MD的数量关系和位置关系，请直接写出答案；（2）如图2，当点A、C、E三点在同一条直线上时，其他条件不变，试探究BM与MD的数量关系和位置关系，请说明理由．2.如图1，△ABC中，AB=AC，连B，C分别作BD⊥AB，CD⊥AC，BD、CD相交于D点，P为BC上一点，过P的直线交AB于E，AC延长线于F，且满足PE=PF，连结DP．（1）求证：DP⊥EF；（2）如图2，若P为BC延长线上，其它条件不变，（1）中结论是否成立？3.（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE=BD+CE；（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．4.如图，D是Rt△ABC斜边AB上一点，且BD=BC=AC=1，P为CD上任意一点，PF⊥BC于点F，PE⊥AB于点E，则PE+PF的值是（）A．B．C．D．5.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H（1）求∠APB度数；（2）求证：△ABP≌△FBP；（3）求证：AH+BD=AB6.已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点，连接AP．直线BE垂直于直线AP，交AP于点E，直线CF垂直于直线AP，交AP于点F．（1）当点P在BD上时（如图①），求证：CF=BE+EF；（2）当点P在DC上时（如图②），CF=BE+EF还成立吗？若不成立，请画出图形，并直接写出CF、BE、EF之间的关系（不需要证明）．（3）若直线BE的延长线交直线AD于点M（如图③），找出图中与CP相等的线段，并加以证明．8.如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC 于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△EGM为等腰三角形；（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．9.在△ABC中，AB=AC，D在AC上，AE=AC交BD的延长线于点E，AF平分∠CAE交BE于F. （1）如图1，连CF，求证：∠ABE=∠ACF；（2）如图2，当∠ABC=60°时，且BD平分∠ABC，请写出AF、EF、BF的数量关系，不需证明；（3）如图3，若∠BAC=90°，且BD平分∠ABC，求证：BD=2EF．1.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为线段AC上的一点（不和点A、C重合），点E在线段BD 的延长线上，点F在线段BD上，连接CE、CF、AE，且∠ECF=90°，CE=CF，过点F作FG⊥BD分别交线段BC、线段AC的延长线于点P、G．（1）如图l，求证：AC=CG；（2）如图2，延长线段GF交线段AB于点H，连接DH，当AH=BH时，求证：∠BHG=∠AHD．2.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，当点P运动到A时，点P、Q随即停止运动，若点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P自点B出发在线段BA上运动是，过点P作AC的平行交BC于点F，连接PC、FQ，判断四边形PFQC的形状，并证明你的结论．（2）如图②，过点P作PE⊥BC，垂足为E，请说明在点P、Q在移动的过程中，DE长度保持不变．4.如图，等腰三角形ABC中，∠AC=90°，D，E分别为AB，AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD，交BE于点G，交AC于点M．（1）求证：GM=GE；（2）求证：BG=AF+FG．1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为直线AC上一点，直线AE⊥直线BD，垂足为E，直线AE 和直线BC交于点H，过点C作AB的平行线，交直线AE于F，连DF．（1）若D在线段AC上（如图1），求证：∠CDB=∠CDF；（2）若D在AC延长线上（如图2），求证：∠CDB+∠CDF=180°．2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，占M在线段AC上（不与C重合），BM延长线与过点C的直线交于D，连接AD，∠MAD=∠DBC，AE⊥BM于E，当M在线段AC上时，求证：BD-CD=2DE3.已知△ABC，∠BAC=90°，等腰直角△BDE，∠BDE=90°，BD=DE，点D在线段AC上．（1）如图1，当∠ACB=30°，点E在BC上时，试判断AD与CE的数量关系，并加以证明；（2）如图2，当∠ACB=45°，点E在BC外时，连结EC、BD并延长交于点F，设ED与BC交于点N，(完整word版)八上等腰三角形精品提高题系列图中是否存在与BN相等的线段？若存在．请加以证明．若不存在，请说明理由．。
等腰三角形经典练习题(5套)附带详细答案
练习一一、选择题1．等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（）Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝2．已知△ABC，AB =AC，∠B=65°，∠C度数是( )A．50° B．65° C．70° D． 75°3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．底边的垂线C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线/二、填空题4．等腰三角形的两个_______相等（简写成“____________”）．5．已知△ABC，AB =AC，∠A=80°，∠B度数是_________．6．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________．7．等腰三角形的腰长是6，则底边长5，周长为__________．三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）[9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数.一、选择题1．B2．B3．C二、填空题4．底角，等边对等角~5．50°6．36°或90°7．16或17三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．证明：∵AB=AD（已知）∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）∵AD∥BC（已知）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）∴∠ABD=∠CBD（等量代换）|∴BD平分∠ABC．（角平分线定义）9．45练习2一、选择题1．△ABC是等边三角形，D、E、F为各@边中点，则图中共．有正三角形( )A．2个 B．3个C．4个 D．5个2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AB等于 ( )A． 2：1 B．1：2 C．1：3 D．2 ：3二、填空题3．等边三角形的周长为6㎝，则它的边长为 ________．4．等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________．5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_____三角形．6．△ABC中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．—三、解答题7．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗试说明理由．8．已知：如图，P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．《9．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30°，求证：△BDC是等边三角形．一、选择题[AQ CPB1．D 2．B二、填空题 3．2㎝ 4．120° 5．等边 6．6㎝ 三、解答题7．△ABC 是等边三角形．理由是 ∵△ABC 是等边三角形；∴∠A =∠B =∠C=60° ∵DE ∥AC ，∴∠BED =∠A=60°，∠BDE =∠C =60° ∴∠B =∠BED =∠BDE ∴△ABC 是等边三角形 8．∠BAC=120°9．证明：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）∴∠A +∠B=90°（直角三角形两锐角互余）》∴∠B= 90°－∠A= 90°－30°=60°∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知） ∴BC=（在直角三角形中，一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）∴△BDC 是等边三角形（有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形）。
初中数学等腰三角形同步拔高(综合 强化)(含答案)
初中数学等腰三角形同步拔高（综合+强化）一、单选题(共6道，每道15分)1.等腰三角形底边上的高等于底的一半，则它的顶角度数为（）A.90°B.120°C.140°D.160°答案：A解题思路：解：如图，根据题意，AD=BC，∵△ABC是等腰三角形，且AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=AD，∴△ABD，△ACD是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∴∠BAC=180°-45°×2=90°，即这个等腰三角形的顶角度数是90°．试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质2.下列三角形：（1）有两个角等于60°；（2）有一个角等于60°的等腰三角形；• （3）三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；（4）一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A.（1）（2）（3）B.（1）（2）（4）C.（1）（3）D.（1）（2）（3）（4）答案：D解题思路：解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；②这是等边三角形的判定，故正确；③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；④根据等边三角形三线合一性质，故正确．所以都正确．故选D．试题难度：三颗星知识点：等边三角形的判定与性质3.把一张长方形的纸沿对角线折叠，则重合部分是（）A.直角三角形B.长方形C.等边三角形D.等腰三角形答案：D解题思路：解：折叠后的图形如图所示，根据轴对称的性质可得AF=CD=AB，∠F=∠B=∠D =90°又∠FHA =∠DHC ∴△FAH≌△DCH（AAS）可得：AH=CH，重合部分为等腰三角形．故选D 试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的判定与性质4.将一等边三角形剪去一个角后，∠BDE＋∠CED等于（）A.220°B.240°C.260°D.280°答案：B解题思路：解：等边三角形的各个内角都是60°，根据三角形的外角的性质得∠BDE=60°+∠AED=60°+180°-∠CED，则∠BDE＋∠CED=240°．故选B．试题难度：三颗星知识点：等边三角形的性质5.如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是（）A.9cmB.12cmC.15cm或12cmD.15cm答案：D解题思路：解：当6为腰，3为底时，6-3＜6＜6+3，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15；当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形．故选D．试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质6.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是（）A.30°B.60°C.150°D.30°或150°答案：D解题思路：解：①当为锐角三角形时可以画图，高与右边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为30°，②当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，∴三角形的顶角为150°，故选D．试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质。
实验班八年级(上)《等腰三角形》提高训练及答案解析
八年级（上）《等腰三角形》提高训练班级：________________姓名：_______________________一、选择题（共10小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5° C．20°D．22.5°第1题第2题2．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°3．如图，已知∠AOB=40°，在∠AOB的两边OA、OB上分别存在点Q、点P，过点Q作直线QR∥OB，当OP=QP时，∠PQR的度数是（）A．60°B．80°C．100°D．120°第3题第4题4．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5° D．52.5°5．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n﹣1A n B n 的度数为（）﹣1A．B．C．D．第5题第6题6．如图所示，在等边三角形ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是（）A．7 B．6 C．5 D．47．如图，在△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC、DE交于点F，若BD=DC=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC为（）A．114°B．123°C．132°D．147°第7题第8题第9题8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（）A．2 B．3 C．4 D．59．如图，△ABC中，BA=BC，BD是三角形的角平分线，DE∥BC交AB于E，下列结论：①∠1=∠3；②DE=AB；③S△ADE=S△ABC．正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．如图，△PBC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△ABC的面积为（）A．10cm2B．12cm2C．16cm2D．20cm2第10题第12题二、填空题（共10小题）11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为．12．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=2，ED=6，则EB+DC=．13．如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于．第13题第14题14．如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F，若△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，O到AB的距离为3cm，△OBC的面积cm2．15．有一三角形纸片ABC，∠A=80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是．第15题第16题16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A 的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为时，△ACP是等腰三角形．17．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②AE=AF；③∠EBC=∠C；④FG∥AC；⑤EF=FG．其中正确的结论是．第17题第18题18．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B 点时，M、N同时停止运动．（1）当点M、N运动秒时，M、N两点重合；（2）当点M、N运动秒后，M、N与△ABC中的某个顶点可得到等腰三角形．19．如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC 的任意两个顶点构成的△PAB，△PBC，△PAC均为等腰三角形，则满足上述条件的所有点P有个．（请在图形中表示点P的位置）第19题第20题20．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC 重合在一起，△ABC不动，点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．若△AEM构成等腰三角形，则BE的长为．三、解答题（共10小题）21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．第21题22．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．（1）求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．第22题23．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=50°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于E．（1）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．（2）若DC=2，求证：△ABD≌△DCE．第23题24．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F．（1）求证：AE=ED；（2）Q请猜想∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．第24题25．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：ME⊥BC．第25题26．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．（1）求证：∠BDC=∠BAC；（2）若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．第26题27．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（如图1所示）（1）请你在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC 边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．第27题28．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在分别运动到点B和点C后，继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC=度．（直接填写度数）第28题29．如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC 上由点A向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ是等腰三角形？第29题30．如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC 和等边△DCE，连结AE、BD．（1）求证：BD=AE；（2）如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM=BN，请判断△CMN 的形状，并说明理由．第30题八年级（上）《等腰三角形》提高训练参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC 与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5° C．20°D．22.5°【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=∠A=×30°=15°．故选A．2．（2016•泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．3．（2016•聊城模拟）如图，已知∠AOB=40°，在∠AOB的两边OA、OB上分别存在点Q、点P，过点Q作直线QR∥OB，当OP=QP时，∠PQR的度数是（）A．60°B．80°C．100°D．120°【解答】解：∵QR∥OB，∠AOB=40°，∴∠AQR=∠AOB=40°，∵OP=QP，∴∠PQO=∠AOB=40°，∵∠AQR+∠PQO+∠PQR=180°，∴∠PQR=180°﹣2∠AQR=100°．故选C4．（2016•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5° D．52.5°【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，∴∠B=25°，∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，故选D．5．（2016•六盘水）如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n﹣1A n B n﹣1的度数为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABA1中，∠A=70°，AB=A1B，∴∠BA1A=70°，∵A1A2=A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1==35°；同理可得，∠B2A3A2=17.5°，∠B3A4A3=×17.5°=，∴∠A n﹣1A n B n﹣1=．故选：C．6．（2016春•蓝田县期末）如图所示，在等边三角形ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：①∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形；②∵BO，CO，AO分别是三个角的角平分线，∴∠ABO=∠CBO=∠BAO=∠CAO=∠ACO=∠BCO，∴AO=BO，AO=CO，BO=CO，∴△AOB为等腰三角形；③△AOC为等腰三角形；④△BOC为等腰三角形；⑤∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠B=∠ODE，∠C=∠OED，∵∠B=∠C，∴∠ODE=∠OED，∴△DOE为等腰三角形；⑥∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠BOD=∠ABO，∠COE=∠ACO，∵∠DBO=∠ABO，∠ECO=∠ACO，∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO，∴△BOD为等腰三角形；⑦△COE为等腰三角形．故答案是：7个．7．（2016•慈溪市一模）如图，在△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC、DE交于点F，若BD=DC=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC为（）A．114°B．123°C．132°D．147°【解答】解：∵BD=CD=CE，∴∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，∵∠ADC+∠ACD=114°，∴∠BDC+∠ECD=360°﹣114°=246°，∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE=360°﹣246°=114°，∴∠DCB+∠CDE=57°，∴∠DFC=180°﹣57°=123°，故选B．8．（2016•阿坝州）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵ED∥BC，∴∠CBD=∠BDE，∴∠ABD=∠BDE，∴BE=DE，△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，∵AB=3，AD=1，∴△AED的周长=3+1=4．故选C．9．（2016•海曙区一模）如图，△ABC中，BA=BC，BD是三角形的角平分线，DE∥BC交AB于E，下列结论：①∠1=∠3；②DE=AB；③S△ADE=S△ABC．正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：∵BA=BC，BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，BD⊥AC，且AD=CD，∵DE∥BC，∴∠2=∠3，△ADE∽△ACB，∴∠1=∠3，故①正确；===，即DE=BC，故②正确；由△ADE∽△ACB，且=可得=（）2=，即S△ADE=S△ABC，故③正确；故选：D．10．（2016秋•江阴市期中）如图，△PBC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△ABC的面积为（）A．10cm2B．12cm2C．16cm2D．20cm2【解答】解：如图，延长AP交BC于点Q，∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P，∴AP=QP，∴S△ABP=S△BQP，S△APC=S△PQC，∴S△ABC=2S阴影=20cm2，故选D．二．填空题（共10小题）11．（2016•通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为69°或21°．【解答】解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°﹣48°=42°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣42°）=69°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，∴∠BAC=180°﹣42°=138°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣138°）=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．故答案为：69°或21°．12．（2016秋•玉环县期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=2，ED=6，则EB+DC=8．【解答】解：∵ED∥BC，∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB，∵∠GBC=∠GBE，∠FCB=∠FCD，∴∠EGB=∠EBG，∠DCF=∠DFC，∴BE=EG，CD=DF，∵FG=2，ED=6，∴EB+CD=EG+DF=EF+FG+FG+DG=ED+FG=8，故答案为8．13．（2016秋•雁塔区校级月考）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE 过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于3cm．【解答】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，∴DE=DI﹣EI=3（cm）．故答案为：3cm．14．（2016秋•东湖区月考）如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC 交AB、AC于E、F，若△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，O到AB的距离为3cm，△OBC的面积18cm2．【解答】解：∵∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EOB=∠EBO，∠FCO=∠FOC，∴OE=BE，OF=FC，∴EF=BE+CF，∴AE+EF+AF=AB+AC，∵△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，∴（AC+BC+AC）﹣（AE+EF+AF）=12，∴BC=12cm，∵O到AB的距离为3cm，∴△OBC的面积是cm×3cm=18cm2．，故答案为：18．15．（2016•江西模拟）有一三角形纸片ABC，∠A=80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是25°或40°或10°．【解答】解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD可能有①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，∴∠BDC=180°﹣∠ADB=180°﹣80°=100°，∠C=（180°﹣100°）=40°，②AB=AD，此时∠ADB=（180°﹣∠A）=（180°﹣80°）=50°，∴∠BDC=180°﹣∠ADB=180°﹣50°=130°，∠C=（180°﹣130°）=25°，③AD=BD，此时，∠ADB=180°﹣2×80°=20°，∴∠BDC=180°﹣∠ADB=180°﹣20°=160°，∠C=（180°﹣160°）=10°，综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°．故答案为：25°或40°或10°．16．（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为3，6或6.5或5.4时，△ACP是等腰三角形．【解答】解：由题意可得，第一种情况：当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图1所示，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，∴CP=6cm，∴t=6÷2=3秒；第二种情况：当CP=PA时，△ACP是等腰三角形，如右图2所示，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，∴AB=10cm，∠PAC=∠PCA，∴∠PCB=∠PBC，∴PA=PC=PB=5cm，∴t=（CB+BP）÷2=（8+5）÷2=6.5秒；第三种情况：当AC=AP时，△ACP是等腰三角形，如右图3所示，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，∴AP=6cm，AB=10cm，∴t=（CB+BA﹣AP）÷2=（8+10﹣6）÷2=6秒；第四种情况：当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图4所示，作CD⊥AB于点D，∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，tan∠A==，∴，AB=10cm，设CD=4a，则AD=3a，∴（4a）2+（3a）2=62，解得，a=，∴AD=3a=，∴AP=2AD=7.2cm，∴t==5.4s，故答案为：3，6或6.5或5.4．17．（2015春•重庆校级期中）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②AE=AF；③∠EBC=∠C；④FG∥AC；⑤EF=FG．其中正确的结论是①②④．【解答】解：①连接EG．∵∠BAC=90°，AD⊥BC．∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C，故①正确；②∵BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线．∴∠ABF=∠EBD．∵∠AFE=∠FAB+∠FBA，∠AEB=∠C+∠EBD，∴∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，故②正确；③如果∠EBC=∠C，则∠C=∠ABC，∵∠BAC=90°那么∠C=30°，但∠C≠30°，故③错误；④∵AG是∠DAC的平分线，∴AN⊥BE，FN=EN，在△ABN与△GBN中，∵∴△ABN≌△GBN，∴AN=GN，∴四边形AFGE是平行四边形，∴GF∥AE，即GF∥AC．故④正确；⑤∵AE=AF，AE=FG，而△AEF不是等边三角形，∴EF≠AE，∴EF≠FG，故⑤错误．故答案为：①②④．18．（2015秋•江阴市校级期中）如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）当点M、N运动12秒时，M、N两点重合；（2）当点M、N运动4，8，16秒后，M、N与△ABC中的某个顶点可得到等腰三角形．【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12，故当点M、N运动12秒时，M、N两点重合；故答案为：12；（2）①当M在AC上，N在AB上时，有AM=AN，△AMN为等边三角形，符合题意，即t=12﹣2t，解得t=4；②当M、N均在AC上时，有BM=BN，△BMN为等腰三角形，符合题意，则CM=AN，即12﹣t=2t﹣12，解得t=8；③当M、N均在BC上时，N点已经追过M点，有AM=AN，△AMN为等腰三角形，符合题意，则CM=BN，即t﹣12=36﹣2t，解得t=16．故答案为4，8，16．19．（2014春•海盐县校级期末）如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成的△PAB，△PBC，△PAC均为等腰三角形，则满足上述条件的所有点P有6个．（请在图形中表示点P的位置）【解答】解：如图所示，作AB的垂直平分线，①△ABC的外心P1为满足条件的一个点，②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点，③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点，④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点，综上所述，满足条件的所有点P的个数为6．故答案为：6．20．（2014•河南模拟）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．若△AEM构成等腰三角形，则BE的长为1或．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B，∴∠AEF=∠B=∠C，∵∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴=，∴CE==，∴BE=6﹣=；∴BE=1或．三．解答题（共10小题）21．（2016秋•淮安期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC 边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△CEF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°﹣40°）=70°∴∠1+∠2=110°∴∠3+∠2=110°∴∠DEF=70°22．（2016秋•宁城县期末）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．（1）求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．【解答】解：（1）①∵AD∥BE，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD；②∵AD∥BE，∴∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，又∵AB=AC，∴AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ACD=∠DCE，∴CD平分∠ACE；（2）∠BDC=∠BAC，∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，∵∠BDC+∠DBC=∠DCE，∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∵∠BAC+∠ABC=∠ACE，∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，∴∠BDC=∠BAC．23．（2016秋•义乌市期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=50°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于E．（1）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．（2）若DC=2，求证：△ABD≌△DCE．【解答】解：（1）∵∠B=∠C=50°，∠ADE=50°，∴∠BDA+∠EDC=∠CED+∠EDC=130°，∴∠BDA=∠CED，∵点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），∴AD≠AE，ⅰ）如图所示，当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=50°，∴∠BDA=∠CED=50°+50°=100°；ⅱ）如图所示，当DA=DE时，∠EAD=∠AED=65°，∴∠BDA=∠CED=65°+50°=115°；（2）由（1）可得∠BDA=∠CED，又∵∠B=∠C=50°，AB=DC=2，∴在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）．24．（2016秋•黄埔区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F．（1）求证：AE=ED；（2）Q请猜想∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∴∠EDA=∠DAC，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAC，∴∠EAD=∠EDA∴AE=ED；（2）∵AE=ED，EF⊥AD，AD平分∠BAC，∴EF是AD的垂直平分线，∴FA=FD，∴∠FAD=∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAC+∠CAD，∴∠B=∠CA．25．（2015春•威海期末）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：ME⊥BC．【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵EH⊥AB于H，∴△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC．26．（2015秋•宜城市期末）如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．（1）求证：∠BDC=∠BAC；（2）若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．【解答】解：（1）∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，∴∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC，∴∠BDC=∠BAC．（2）△ABD为等腰三角形，证明如下：作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，∴DM=DH，DN=DH，∴DM=DN，∴AD平分∠CAG，即∠GAD=∠CAD，∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠GAD=∠ABC，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，又∵∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴△ABD为等腰三角形；（3）∵AF=BF，∴∠BAF=∠ABF=∠ABC，∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=180°，∴∠ABC=72°．27．（2015秋•台州期中）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（如图1所示）（1）请你在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC 边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．【解答】解：（1）如图2作图，（2）如图3 ①、②作△ABC．①当AD=AE时，∵2x+x=30+30，∴x=20．②当AD=DE时，∵30+30+2x+x=180，∴x=40．所以∠C的度数是20°或40°．28．（2016秋•盂县期末）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP 交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在分别运动到点B和点C后，继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC=120度．（直接填写度数）【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°；（3）解：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．29．（2016秋•天津期末）如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC 上由点A向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A 两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ是等腰三角形？【解答】解：（1），△BPD与△CQP是全等．理由如下：当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm则CP=BC﹣BP=10﹣4=6cmCQ=AC﹣AQ=12﹣8=4cm∵D是AB的中点∴BD=AB=×12=6cm∴BP=CQ，BD=CP又∵△ABC中，AB=AC∴∠B=∠C在△BPD和△CQP中BP=CQ∠B=∠CBD=CP∴△BPD≌△CQP（SAS）（2）设当P，Q两点同时出发运动t秒时，有BP=2t，AQ=4t∴t的取值范围为0＜t≤3则CP=10﹣2t，CQ=12﹣4t∵△CPQ的周长为18cm，∴PQ=18﹣（10﹣2t）﹣（12﹣4t）=6t﹣4要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：①当CP=CQ时，则有10﹣2t=12﹣4t解得：t=1 …（9分）②当PQ=PC时，则有6t﹣4=10﹣2t解得：t=…（10分）③当QP=QC时，则有6t﹣4=12﹣4t解得：t=…（11分）三种情况均符合t的取值范围．综上所述，经过1秒或秒或秒时，△CPQ是等腰三角形30．（2016秋•顺庆区期末）如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD．（1）求证：BD=AE；（2）如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM=BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．【解答】证明：（1）∵△ABC、△DCE均是等边三角形，∴AC=BC，DC=DE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS），∴BD=AE；（2）△CMN为等边三角形，理由如下：由（1）可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CBN，∵AC=BC，AM=BN，在△ACM和△BCN中，，∴△ACM≌△BCN（SAS），∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，∵∠ACB=60°即∠BCN+∠ACN=60°，∴∠ACM+∠ACN=60°即∠MCN=60°，∴△CMN为等边三角形．第31页（共8页）。
等腰三角形提高(含答案)
等腰三角形提高等腰三角形1．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．2．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形．3．等腰三角形的性质：(1)两腰相等．(2)两底角相等．(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．(4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．线段的垂直平分线：性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．4．等腰三角形的判定：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形．(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．5．等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60．6．等边三角形的判定：(1)三条边都相等的三角形是等边三角形．(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．7．等腰直角三角形的性质：顶角等于90，底角等于45，两直角边相等．等腰直角三角形的判定：(1)顶角为90︒的等腰三角形．(2)底角为45︒的等腰三角形．【例题讲解】板块一、等腰三角形的认识【例 1】下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60，那么这个等腰三角形一定是等边三角形．则以下结论正确的是( )A．只有命题①正确B．只有命题②正确C．命题①、②都正确D．命题①、②都不正确【解析】C．【例 2】如图，在ABC∆中，AD BC⊥于D．请你再添加一个条件，就可以确定ABC∆是等腰三角形．你添加的条件是．D CBA【解析】BD DC=或AD平分BAC∠或B C∠=∠．【例 3】如图，在ABC△中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①EBO DOC∠=∠；②BEO CDO∠=∠；③BE CD=；④OB OC=．(1)上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC△是等腰三角形(用序号写出所有情况)；(2)选择第⑴小题中的一种情形，证明ABC△是等腰三角形．O ED C B A【解析】 (1)①③，①④，②③，②④四种情况可判定ABC △是等腰三角形．(2)下面以①③两个条件证明ABC △是等腰三角形．∵EBO DOC ∠=∠，BE CD =，BEO CDO ∠=∠，∴EOB DOC ∠=∠，∴OB OC =，∴OBC OCB ∠=∠．∴EBC DCB ∠=∠，∴ABC △是等腰三角形．【例 4】 如图，点O 是等边ABC ∆内一点，110AOB ∠=，BOC α∠=．将BOC △绕 点C 按顺时针方向旋转19060αα-=-∴°°得ADC △，连接OD ，则COD △是等边三角形；当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？ODCB A【解析】 分三种情况讨论：①要使AO AD =，需AOD ADO ∠=∠．∵190AOD α∠=-°，60ADO α∠=-°，19060αα-=-∴°°．125α=∴°．②要使OA OD =，需OAD ADO ∠=∠．∵180()50OAD AOD ADO ∠=-∠+∠=°°，6050α-=∴°°．110α=∴°．③要使OD AD =，需OAD AOD ∠=∠．19050α-=∴°°．140α=∴°．综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，ABC △是等腰三角形．【例 5】 如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE ＝a ，则下列 说法正确的个数有( )①DC '平分BDE ∠； ②BC长为2)a ；③△BC D '是等腰三角形； ④△CED 的周长等于BC 的长．A ． 1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个C B AD C B AE C'DC B A【解析】 由图可知△ABD ≌△EBD ，∴AD ＝DE ＝a ，DBE ∠＝45．又∵C ∠＝ABC ∠＝45，∴DC，∴BC()a＝2)a ＝△CED 的周长．又∵△CDE ≌△C DE '，∴45DC E '∠=，∴22.5DBE BDC '∠=∠=．∴BC C D ''=，△BC D '是等腰三角形．故②③④正确．【例 6】 如图⑴，AB AC =，BD ，CD 分别平分ABC ∠，ACB ∠．问：⑴图中有几个等腰三角形？⑵过D 点作EF ∥BC ，如图⑵，交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？ ⑶如图⑶，若将题中的ABC ∆改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？线段EF 与BE 、CF 有什么关系？⑷如图⑷，BD 平分ABC ∠，CD 平分外角ACG ∠．DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ．线段EF 与BE 、CF 有什么关系？⑸如图⑸，BD 、CD 为外角CBM ∠、BCN ∠的平分线，DE ∥BC 交AB 延长线于E ，交AC 延长线于F ，线段EF 与BE 、CF 有什么关系？(1)C D B A (5)(4)(3)(2)M D D DC C C B B BAA AAB C DEE E EF F F FG N【解析】 ⑴图⑴中有两个等腰三角形：ABC ∆、BCD ∆⑵图⑵中又增加了三个等腰三角形：AEF ∆、BED ∆、CFD ∆⑶图⑶中有两个等腰三角形：BED ∆、CFD ∆，由于ED BE =，DF CF =，EF ED FD BE CF =+=+，故EF BE CF =+⑷图⑷所示中仍有两个等腰三角形BED ∆、CDF ∆从而DE BE =，CF DF =，又EF ED DF BE CF =-=-，故EF BE CF =-⑸如图⑸所示与⑶类似，EF BE CF =+板块二、等腰三角形的性质【例 7】 某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为( )A ．9cm Ｂ．12cm Ｃ．15cm Ｄ．12cm 或15cm【解析】 Ｃ【例 8】 已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( ) A ．4.8cm B ．9.6cm C ．2.4cm D ．1.2cm【解析】 B【例 9】 若等腰三角形中有一个角等于50︒，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )A ．50︒ Ｂ．80︒ Ｃ．65︒或50︒ Ｄ．50︒或80︒【解析】 Ｄ【巩固】已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角 的度数为( )A ．20B ．120 C ．20或120 D ．36【解析】 当等腰三角形的顶角为钝角时，内角的度数之比为1:4:4 ，此时顶角为20；当顶角为钝角时，内角的度数之比为1:1:4 ，此时顶角为120．故选C ．【例10】 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25，则该三角形的一个底角为( )A ．32.5B ．57.5C ．65或57.5D ．32.5或57.5【解析】 C【例11】 从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形的( )A ．两腰长的和 Ｂ．周长一半Ｃ．周长 Ｄ．一腰长与底边长的和【解析】 A【例12】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9和12两部分，求腰长和底长．【解析】 设这个三角形的腰长为x ，底长为y ，则12292x x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得85x y =⎧⎨=⎩，或92122x x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得69x y =⎧⎨=⎩， 而8，8，5和6，6，9均能组成等腰三角形．注意等腰三角形中的分类讨论．【巩固】等腰三角形的周长是50，一腰上的中线分得两个三角形的周长是32和22，求腰长．【解析】 设这个三角形的腰长为x ，底长为y ，一腰上的中线为[](3222)5022+÷=-， 根据题意可得：2502222x y x y +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩或2503222x y x y +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得20x =或1133 【例13】 已知等腰三角形的周长为12，腰长为x ，求x 的取值范围．【解析】 122x x x +>-，且1220x ->，解得36x <<【例14】 已知等腰三角形的周长为16，三边长为整数，求底边长．【解析】 设腰长为x ，则48x <<，则5x =，6，7，底边分别为6，4，2【巩固】已知等腰三角形的周长为20，三边长为整数，求底边长．【解析】 设腰长为x ，202x x x +>-，且2020x ->，解得510x <<，则腰长为6、7、8、9，对应的底边长为8、6、4、2【例15】 等腰三角形中一角是另一角的2倍，求各内角的度数．【解析】 (1)若底角是顶角的2倍，设顶角为α，则22180ααα++=︒，36α=︒，272α=︒三角形三内角依次是72︒，72︒，36︒．(2)若顶角是一底角的2倍，设底角为α，则2180ααα++=︒，45α=︒，290α=︒，三角形三内角依次是45︒，45︒，90︒．【例16】 已知BD 是等腰ABC ∆一腰上的高，且50ABD ∠=︒，求ABC ∆三个内角 的度数．【解析】 若ABC ∆为钝角三角形时，A ∠为顶角时，三内角大小为140，20，20；若ABC ∆为钝角三角形时，A ∠为底角时，三内角大小为100，40，40；若ABC ∆为锐角三角形时，A ∠为顶角，三内角大小为40，70，70．【例17】 在ABC ∆中，AB AC =，BC BD ED EA ===．求A ∠．2x =，3BDC x ∠=，32DBC x x x ∠=-=，在BDC ∆中，可得33180x x x ++=︒，∴180()7x =︒【巩固】在ABC ∆中，AB AC =，BC BD =，AD ED EB ==．求A ∠．EDC B A【解析】 设A x ∠=，则1802ADE x ∠=︒-，12EDB x ∠=，13180(1802)22BDC x x x ∠=︒-︒--=，18019022x ACB x ︒-∠==︒-，在DBC ∆中，319022x x =︒-，解得45x =︒【例18】 等腰三角形的顶角90α>︒，如果过它的顶角顶点作一直线能够将它 分成两个等腰三角形，求α．AB C D【解析】 由题意，画出图形如图所示，这里90BAC ∠>︒，ABD ∆和ADC ∆都是等腰三角形AB AC =，AD CD =，AB BD =，∴B C DAC ∠=∠=∠，2BDA BAD C ∠=∠=∠设C x ∠=︒，则DAC B x ∠=∠=︒，2BAD x ∠=︒ABC ∆中，180BAC B C ∠+∠+∠=︒∴3180x x x ++=，36x =，∴3108x α=︒=︒【例19】 ABC ∆的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．E D C B A【解析】 根据题意可得：B BAD ∠=∠，C CAE ∠=∠则BAC BAD CAE DAE B C DAE ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠即180150BAC BAC BAC ∠=-∠+-∠，解得110BAC ∠=【例20】 如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，D 在BC 上，50BAD ∠=，在AC 上取 一点E ，使得ADE AED ∠=∠，求EDC ∠的度数．AB C D E【解析】 由题设B C ∠=∠，ADE AED ∠=∠，及三角形外角定理，即EDC C AED ∠+∠=∠，有1802DAE AED ∠=︒-∠18022EDC C =-∠-∠而180250C DAE ︒=∠+︒+∠250(18022)C EDC C =∠+︒+︒-∠-∠180502EDC =+-∠故250EDC ∠=︒，即25EDC ∠=︒【例21】 如图所示，已知ABC ∆中，D 、E 为BC 边上的点，且AD AE =，BD EC =， 求证：AB AC =．【解析】 作AF DE ⊥于F ，∵AD AE =，∴DF EF =又BD EC =，∴BF FC =，∴AB AC =A B C D E AB CD E F考察垂直平分线的性质．【例22】 如图，ABC ∆为等边三角形，延长BC 到D ，又延长BA 到E ，使AE BD =， 连接,CE DE ，求证：CDE ∆为等腰三角形． E D C B AFEDC B A 【解析】 延长BD 到F ，使得DF BC =，连接EF ．∵ABC ∆为等边三角形，∴60,B AB BC ∠==．又∵,AE BD =∴BE AB AE =+=BC BD FD BD FB +=+=．∴BEF ∆为等边三角形．∴60,B F BE FE ∠=∠==．∴BEC ∆≌FED ∆，∴CE DE =．练习：1、等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 ．【解析】 当腰长为9时，三边长为4、9、9；当腰长为4时，三边长为4、4、9 ，不符合三角形的三边关系，故腰长为9．2、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这 个等腰三角形的底边的长为( )A ．17cmB ．5cmC ．17cm 或5cmD ．无法确定【解析】 设腰长为a ，底边长为b ，此题可分为两类，112212122a a b a a b ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩或121211222a a b a a b ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩，第一类无解；第二类解为145a b =⎧⎨=⎩，故选B ．3、已知等腰三角形的周长为20，腰长为x ，求x 的取值范围．【解析】 202x x x +>-，且2020x ->，解得510x <<4、如下图所示，ABC ∆中，B C ∠=∠，D 在BC 上，50BAD ∠=︒，AE AD =，求EDC ∠ 的度数．50︒ECB A【解析】 设B α∠=，ADE β∠=．则C α∠=，AED β∠=，由外角定理得，50ADC α∠=+︒，即50EDC βα∠+=+︒，则50EDC βα=+︒-∠．又EDC βα=∠+， ∴50EDC EDC αα∠+=+︒-∠，∴250EDC ∠=︒，∴25EDC ∠=︒．。
等腰三角形提高训练题
等腰三角形提高训练题1、 如图AOB 是一钢架，且/ AOB=10。
，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管 EF 、FG 、GH •… 添加的钢管长度都与 OE 相等，则最多能添加这样的钢管 ____________ 根.2、 如图，一个六边形的 6个内角都是120°,其连续四边的长依次是1、9、9、5,那么这个六边形的周长是cm .如图，△ ABC 中，AD 丄BC 于 D ,/ B=2 / C ,求证：AB 十 BD = CD .BM 、CN 交于点F .5、 在五边形 ABCDE 中，/ B = / E ，/ C= / D ，BC=DE ， M 为CD 中点，求证：AM 丄CD .6、 如图，在△ ABC 中，已知/ A=90 °，AB=AC ，D 为AC 上一点, 于F ，问：当点 D 满足什么条件时，/ ADB =/ CDF , 请说明理由.(安徽省竞赛题改编题)3、 4、 如图甲，点C 为线段AB 上一点，△ ACM 、△ CBN 是等边三角形，直线 AN 、MC 交于点E ，直线⑴求证：AN=BM ;(2)求证：△ CEF 是等边三角形;(3)将厶ACM 绕点C 按逆时针方向旋转 90°， 第(1)、(2)两小属结论是否仍然成立(不要求证明).其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断AE 丄BD 于E ,延长AE 交BC 图甲7. 如图，在厶ABC 中，/ B 、/ C 的平分线相交于 O 点.作 MN // BC , EF // AB , GH // AC , BC =a , AC=b ,AB = 6则厶GMO 周长+△ ENO 的周长一△ FHO 的周长 ___________9.如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 与BD 相交于 E 点，若 AC 平分/ DAB ，且AB=AE , AC=AD , 有如下四个结论：1①AC 丄BD :②BC=DE ;③/ DBC= — / DAB :④厶ABE 是等边三角形.请写出正确2结论的序号 _________________ .（把你认为正确结论的序号都填上）（天津市中考题） 10.等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）A . 30°B . 30 °或 150 °C . 120° 或 150°D . 30° 或 120° 或 150° （ “希望杯”邀请赛）11.在锐角厶ABC 中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形（）AA .只有一个且为等腰三角形B .至少有两个且都为等腰三角形EC .只有一个但不是等腰三角形D .至少有两个，其中有非等腰三角形12 .如图，AA '、BB '分别是/ EAD 、/ DBC 的平分线，若 AA '=培优训练1等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形 底边的长为 ____________ . 2. A ABC 中，AB = AC ，/ A=40 ° , BP=CE , BD=CP ，则/ DPF= ____________ 度. 3. 如图，△ ABC 中，AD 丄BC 于D , BE 丄AC 于E , AD 与BE 相交于点 F , 若BF = AC ,则/ ABC 的大小是 __________ . （烟台市中考题） A4. A ABC 的一个内角的大小是 40°,且/ A= / B ，那么/ C 的外角的大小是（ A . 140 ° B . 80° 或 100° C . 100° 或 140° D . 80° 或 140 °5. 已知△ ABC 中，AB = AC , / BAC=90 °，直角/ EPF 的顶点P 是BC 中点, 两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点F 、F ，给出以下四个结论：① AE=CF ; 内绕顶点P 旋转时（点②厶EPF 是等腰直角三角形, ③S 四边形AEPF s ABC ；④ EF=AP •当/ EPF 在^ ABC E 不与A 、B 重合），上述结论中始终正确的是 （ ） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个(苏州市中考题) 6.如图，在△ ABC 中，/ ACB=90 ° , AC = AE , BC = BF ，则/ ECF =( ) A . 60° B . 45° C . 30° D .不确定6题7题&如图，△ ABC 中,AD 平分/ BAC , AB+BD=AC ，则/ B : / C 的值= ______ （“五羊杯”竞赛8题人 B CB /DA/ BB '= AB，则/ BAC的度数为_________ .（全国初中数学联赛题）；15.如图，已知在厶 ABC 中, AD 是BC 边上的中线,求证：AF = EF .16.如图，已知等边三角形 QAE 和 RAB ，求证：P 、 E 是AD 上一点，且 BE=AC ，延长BE 交AC 于F , ABC ，在AB 上取点D ，在AC 上取点E ,使得AD=AEQ 、R 是等边三角形的三个顶点.17.如图，△ ABC 中，AB=AC , BC=BD=ED=EA ，则/ A= ___________18.有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个 等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 ___________ 度.（江苏省竞赛题）13.如图，在△ ABC 中，AB=AC , P 底边BC 上一点，PD 丄AB 于D , PE 丄AC 于E , CF 丄AB 于F .⑴求证：PD+PE=CF ;（2）若P 点在BC 的延长线上，那么 PD 、PE 、CF 存在什么关系？写出你的猜想并证明.14.如图，等边△ ABC 中，AB=2，点P 是AB 边上的任意一点（点P 可以与点A 重合，但不与点B 重合）, 过点P 作PE 丄BC 于E ,过点E 作EF 丄AC 于F ,过点F 作FQ 丄AB 于Q ,设BP= x , AQ = y . ⑵当PB 的长等于多少时，点 P 与点Q 重合？（福州市中考题）（1）用x 的代数式表示y ;19 .在等边厶ABC所在的平面内求一点卩，使厶PAB、△ PBC>△ PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有()A . 1个B . 4个C. 7个D. 10 个DA20 . 如图,在五边形ABCDE中,/ A= /1 1B=120 ° , EA=AB=BC= — DC= — DE , A2 2/ \则/ D = () \_/A B A.30°B. 450°C. 60°D. 67. 5°21 . 如图,在厶ABC 中，/ BAC=120 °,P是厶ABC内一点，贝U ( )A . PA+PB+PC<AB+ACB . PA+PB+PC>AB+ACC . PA+PB+PC=AB+ACD . PA+PB+PC 与AB+AC 的大小关系不确定，与 P 点位置有关BQ+AQ=AB+BP . (20XX 年全国初中数学竞赛 )23.如图，在△ ABC 中，/ BAC=90 求证：BD = BA .24.如图，等边三角形 ABD 和等边三角形 CBD 的长均为a ,现把它们拼合起来, 两点的一动点，F 是CD 上一动点，满足 AE+CF = a .(1)E 、F 移动时，△ BEF 的形状如何？ (2)E 点在何处时，△ BEF 面积的最小值.22.如图，在△ ABC 内，/ BAC=60 ，/ ACB=40 ,P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且 AP 、BQ 分别为/ BAC 、/ ABC 的角平分线.求证:,AB = AC , D 是厶ABC 内一点，且/ E 是AD 上异于A 、 DD。
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等腰三角形练习题
一、计算题：
1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB
求∠A 的度数
2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数
3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数
4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数
5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数
6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若
BE=AC,BD=2
1
,DE+BC=1,
求∠ABC 的度数
C
C
B
7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD
求∠B ：∠C 的值
二、证明题：
8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交
BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE
9. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系
10. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC
11. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC,
求证：BC=BD+AD
12. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点，且∠ABD=∠ACD =60°
求证：CD=AB-BD
C
B A D E P A B
C
D A
D
F E O
A B C D E C
A B
C
D
13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线 求证：CD=2
1
CE
14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED
15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G
求证：EG=FG
16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点
求证：AF=FC
17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点H ，且AE=BE 求证：AH=2BD
A B
D
F E C B
D
C A B
D E
1 2 F
18. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30° 求证：AD=DC
19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE=BD 求证：EC=ED
20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FH
C D
A
B
D C
E
F
等腰三角形练习题
A
一、计算题：
C E F
F
C D F
20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FH
延长EH 交AF 于点G 由∠BAD+∠BCD=180°,
∠DCF+∠BCD=180° 得∠BAD=∠DCF,
由外角定理,得∠1=∠2, 故△FGM 是等腰三角形 由三线合一,得EH ⊥FH
A
B
D
C
E
F
H
G 1
2。