数字图像处理数学形态学

在把握自然景物含义，人类思维的符号描述方面显得不够有力， 在把握自然景物含义，人类思维的符号描述方面显得不够有力， 有待发展。 有待发展。 “如果证明， 在某些时候 ， 形态学方法比其他方法在模式识别方 如果证明，在某些时候， 如果证明 面更有效，那是因为它更好地把握了景物的几何特点，仅此而已” 面更有效，那是因为它更好地把握了景物的几何特点，仅此而已” －Serra
等幂性： 等幂性：
( Ao /• B) o /• B = Ao /• B
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
2. 开、闭运算及其性质（9） 开、闭运算及其性质（9
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
5. 细化
p3 p4 p5 p2 p1 p6 (a) p9 p8 p7 1 1 0 1 p1 0 (b) 0 1 0 0 1 0 0 p1 0 (c) 0 0 0 1 0 1 0 p1 1 (d) 1 0 1
A B = {z | (B)z ⊆ A}
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（6） 腐蚀、膨胀运算及其性质（6
A ΘB = B = {z | (B)z ⊆ A}
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（7） 腐蚀、膨胀运算及其性质（7
将X中的每一个点x扩大为S+x
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（10） 腐蚀、膨胀运算及其性质（10）
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（13） 腐蚀、膨胀运算及其性质（13）
(e)
(f)
图: 细化算法示意图 (a)标记p1和邻点；(b) p1不可删除情况一；(c) p1不可删除情况二； (d) p1不可删除情况三； (e) 细化前图像；(f) 细化后的结果
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1.腐蚀运算(1) 腐蚀运算(1)
2 1 3 4 3 2 4 5 3 5 6 2 4 2 3 1
图:灰值腐蚀与膨胀前后的图像 (a)原始图像; (b) 灰值腐蚀后的图像; (c)灰度膨胀后的图像
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
3. 开、闭运算
开闭运算
– 开＝先腐蚀再膨胀 闭＝先膨胀再腐蚀
图 (a) 开运算的结果； (b) 闭运算的结果
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
O
S2
x S1
X
(a)
(b)
(c)
图:闭运算填充了凹角 (a) 结构元素S1和S2；(b) X●S1； (c) X●S2
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
2. 开、闭运算及其性质（8） 开、闭运算及其性质（8
平移不变性
( A + x) o /• B = ( Ao /• B) + x
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
3. 机场跑道检测（2） 机场跑道检测（2
圆盘开运算
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
3. 机场跑道检测（2） 机场跑道检测（2
70年代： 年代： 年代
– 纹理分析器商业应用 ， 理论方面 Mathron《 随机集和积分几何 》 ， 数学形态 纹理分析器商业应用， 理论方面Mathron 随机集和积分几何》 Mathron《 学的核心内容。 学的核心内容。 – 未引起信号图像处理方面重视 ， 多为自然科学家独立思维 , 开拓图像分析一 未引起信号图像处理方面重视， 多为自然科学家独立思维, 个新的领域。 个新的领域。
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
发展历史（2 发展历史（2）
80年代： 年代： 年代
– Serra 1982完成《图像分析于数学形态学》，形态学走向美国及世界。 1982完成 图像分析于数学形态学》 形态学走向美国及世界。 完成《 – 在格论框架上建立的数学形态学基础。 在格论框架上建立的数学形态学基础。 – 算法开发。 算法开发。
y S1 O y x X X○ S 1 X○ S 2
O
S2 (a)
x (b)
图: 开运算去掉了凸角 (a)结构元素S1和S2；(b) X○S1；(c) X○S2
X (c)
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
2. 开、闭运算及其性质（5） 开、闭运算及其性质（5
y S1 O y x S1 X X● S 1 X● S 2
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（2） 腐蚀、膨胀运算及其性质（2
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（3） 腐蚀、膨胀运算及其性质（3
二二二二 腐腐 膨膨
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（4） 腐蚀、膨胀运算及其性质（4
( A + x) ⊕ / ΘB = ( A ⊕ / ΘB) + x
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
2. 开、闭运算及其性质（1） 开、闭运算及其性质（1
开运算： 开运算：
Ao B = ( AΘB) ⊕ B
闭运算
A• B = ( A ⊕ B)ΘB
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1.腐蚀运算(3) 腐蚀运算(3)
(f b)(s, t) = m {f (s + x, t + y) − b(x, y) | s + x, t + y ∈ Df , x, y ∈ Db } in
Df和Db分别是f和b的定义域 对灰值图像的腐蚀操作有两类效果: ①如果结构元素的值都为正的，则输出图像会比输入图像暗
*0 0 0 0
x x x x
x 2 2 x
腐蚀
x 2 1 x
x x x x
x x x x
x 6 6 x
膨胀
x 6 6 x
x x x x
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1.腐蚀运算(2) 腐蚀运算(2)
y 3 2 1 b 0 1 2 3 4 (a) f f 5 6 7 x 3 2 1 y
4.应用(1) 4.应用(1)
腐蚀
膨胀
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 通过开运算检测电路板
运用一个交叉结构元素进行开运算。 运用一个交叉结构元素进行开运算。
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
2. 机场跑道检测（1） 机场跑道检测（1
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（1） 腐蚀、膨胀运算及其性质（1
A⊕ B = AcΘ(−B)c
{
}
图 (a)两个集合A和B，(b)A和B的并集，(c) A和B的交集，(d)A的补集，(e)A和B的差
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
90年代至今 年代至今
– 在模式识别，编码，运动分析，运动景物描述等方面取得进展。 在模式识别，编码，运动分析，运动景物描述等方面取得进展。 – 用于数值函数的形态学算子开发
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
发展历史（3 发展历史（3）
一门建立在严格数学理论基础上的学科， 一门建立在严格数学理论基础上的学科，在理论和应用方面取得 巨大成就。 巨大成就。
－2
－1
0 (b)
1
2
3
x
f ( s ′′) − b ( s ′′ ＋ x ) + －
－ f ( s ′) − b ( s ′ ＋ x ) +
O
s′ (c)
s″
s
O
f
b (d)
s
(a) 图像f； (b) 结构元素b ； (c)用结构元素b对f腐蚀； (d)用结构元素b对f腐蚀的结果
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
Df和Db分别是f和b的定义域 对灰值图像的膨胀操作有两类效果: ①如果结构元素的值都为正的，则输出图像会比输入图像亮
②根据输入图像中暗细节的灰度值以及它们的形状相对于 结构元素的关系，它们在膨胀中或被消减或被除掉。
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
2.膨胀运算(3) 膨胀运算(3)
Байду номын сангаас
O
s′ (a)
s″
s
O (b)
s
图: 灰值膨胀示意图 (a) 灰度膨胀过程； (b) 灰度膨胀结果
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
2.膨胀运算(2) 膨胀运算(2)
( f ⊕b)(s, t) = m {f (s − x, t − y) + b(x, y) | s − x, t − y ∈ Df , x, y ∈ Db } ax
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（8） 腐蚀、膨胀运算及其性质（8
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（9） 腐蚀、膨胀运算及其性质（9
膨胀运算
X ⊕ S = {x : S + x I X ≠ Φ}
腐蚀运算： 腐蚀运算：
X
S—结构元素：收集信息的探针
x
S ＋x 3 S ＋x 2 S ＋x 1
X用S腐蚀的结果是所有使S平移x后 仍在X中的x的集合
XΘS = {x : S + x ⊂ X}
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（5） 腐蚀、膨胀运算及其性质（5
②如果输入图像中亮细节的尺寸比结构元素小， 则其影响会被减弱
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
2.膨胀运算(1) 膨胀运算(1)
f f
f (s′′)
f ( s′′) − b( s′′ － x) + ＋ f ⊕b f ( s′) ＋ b( s′－ x) − +
f (s′)
可用于复杂运
一般代数性质：交换律，结合律，标量分配律 一般代数性质：交换律，结合律，
A⊕ B = B ⊕ A
A ⊕ (B ⊕C) = ( A ⊕ B) ⊕C
算简单化
AΘ(B ⊕C) = ( AΘB)ΘC
腐蚀膨胀（开闭） 算子相当于对图像补集做对偶运算） 腐蚀膨胀（开闭）是一对对偶算子（算子相当于对图像补集做对偶运算） 平移不变性：对图像平移再算子操作＝对图像算子操作再平移。 平移不变性：对图像平移再算子操作＝对图像算子操作再平移。
第八章：数学形态学
一：数学形态学的历史
二：二值形态学基本操作
三：灰度形态学基本操作
四：图像处理应用
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
发展历史（1 发展历史（1）
60年代：孕育和形成 年代： 年代
– 1964 诞生，Matheron 指导下的 Serra 做岩相学分析 ， 击中击不中变换 、 开闭 1964诞生 ， Matheron指导下的Serra做岩相学分析 击中击不中变换、 指导下的Serra做岩相学分析， 诞生 运算、 纹理分析器。 1966年命名 年命名Mathematical Morphology。 1968年成立枫 运算 、 纹理分析器 。 1966 年命名 Mathematical Morphology 。 1968 年成立枫 丹白露数学形态学研究中心。 丹白露数学形态学研究中心。
腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点。
如果结构元素取3×3的像素块，腐蚀将使物体的边界沿周边减少 一个像素,腐蚀可以把小于结构元素的物体(毛刺、 小凸起)去除
选取不同大小的结构元素，就可以在原图像中去掉不同大小的物体
两个物体之间有细小的连通，那么当结构元素足够大时， 通过腐蚀运算可以将两个物体分开
2. 开、闭运算及其性质（2） 开、闭运算及其性质（2
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
2. 开、闭运算及其性质（3） 开、闭运算及其性质（3
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
2. 开、闭运算及其性质（4） 开、闭运算及其性质（4