非周期信号的频谱分析
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8
例 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱 函数。
解： 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为
A， f (t ) 0， | t | t / 2 | t | t / 2
F ( j )
f (t ) A
t
2
t
2
t
由傅里叶正变换定义式，可得
F ( j )
f (t )e
讨论周期T增加对离散谱的影响：
周期为T宽度为t 的周期矩形脉冲的Fourier系数为
n0t Cn Sa( ) T 2
tA
Cn lim lim TCn F ( j ) T f T 0
3
一、从傅里叶级数到傅里叶变换
1 T C n 2T f T (t )e jn0 t dt T 2 1 T 1 jn0t lim C n lim 2T f T (t )e dt lim f (t )e jt dt T T T T T 2
2. 双边指数信号 ea|t|
F ( j ) e e
0
a0
1 1 dt a j a j
a t jt
dt e e
0
a t jt
2a 2 a 2
幅度频谱为 相位频谱为
2a F ( j ) 2 a 2
( ) 0
符号表示：
或
F ( j ) F [ f (t )] f (t ) F 1 [ F ( j )]
F f (t ) F ( j)
7
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
1 j t f (t ) F ( j ) e d 2π
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为， 复振幅为[F(j)/2p]d 的虚指数信号ej t的线性组合。 6
傅立叶正变换： F ( j)
f (t )e jt dt
1 傅立叶反变换： f (t ) F ( j)e jωt d 2π
1
一、常见非周期信号的频谱
1. 单边指数信号
F ( j ) 1
f (t ) e at u(t )，a 0，
() arctan( ) a
F( j)
1/ a
( )
π/2
a 2 2
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
f (t ) 1
0
0 t
0
π/2
13
一、常见非周期信号的频谱
F ( j) f (t )e jt dt 0 e at e jt dt
e (a Hale Waihona Puke Baidu j )t 1 (a j ) 0 a j
幅度频谱为 相位频谱为
a 2 2 () arctan( ) a
12
F ( j )
傅里叶变换：
F ( j ) lim TCn T
f (t )e j t dt
物理意义: F(j)是单位频率所具有的信号频谱， 称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。
4
二、周期和非周期信号频谱函数的区别
（1）周期信号的频谱为离散频谱， 非周期信号的频谱为连续频谱。 （2）周期信号的频谱为Cn的分布，表示每个谐波 分量的复振幅； 非周期信号的频谱为T Cn的分布， 两者关系： F ( j ) lim TCn
非周期信号的频域分析
连续非周期信号的频谱
常见连续时间信号的频谱
连续时间Fourier变换的性质
离散周期信号的频域分析
离散非周期信号的频域分析
1
连续非周期信号的频谱
从傅里叶级数到傅里叶变换 周期和非周期信号频谱函数的区别 傅里叶反变换 非周期矩形脉冲信号的频谱分析
2
一、从傅里叶级数到傅里叶变换
直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的 方法求出其傅里叶变换。 0 2 | t| ] 2 πd ( ) F [1] lim F [1 e ] lim[ 2 2 0 0
14
一、常见非周期信号的频谱
3. 单位冲激信号d(t)
F[d (t )]
f (t )e
jt
dt d (t )e
jt
dt 1
取样性
d (t )
(1)
1
F ( j )
0
t
0
单位冲激信号及其频谱
15
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f(t)=1,<t<
jt
dt 2t A e
2
t
jt
dt
tA
At Sa(
t
2
)
2π 2π
9
t
t
分析：
1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。 2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的 连续频谱等间隔取样求得 3. 信号在时域有限，则在频域将无限延续。 4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点 之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。 5. 脉冲宽度t越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。 即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用 的频带越宽。
10
常见连续时间信号的频谱
常见非周期信号的频谱(频谱密度) 单边指数信号 双边指数信号ea|t| 单位冲激信号d(t) 直流信号 符号函数信号 单位阶跃信号u(t) 常见周期信号的频谱密度 虚指数信号 正弦型信号 单位冲激串
11
一、常见非周期信号的频谱
1. 单边指数信号
f (t ) e at u(t )，a 0，
T
F ( j) Cn T
n0
5
三、傅里叶反变换
f (t ) lim f T (t ) lim Cn e jn0 t
T
T n =-
lim
T
n =-
F ( j )0 jn0 t e 2π
T , 记 n0 = , 0 = 2p/T = d,
例 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱 函数。
解： 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为
A， f (t ) 0， | t | t / 2 | t | t / 2
F ( j )
f (t ) A
t
2
t
2
t
由傅里叶正变换定义式，可得
F ( j )
f (t )e
讨论周期T增加对离散谱的影响：
周期为T宽度为t 的周期矩形脉冲的Fourier系数为
n0t Cn Sa( ) T 2
tA
Cn lim lim TCn F ( j ) T f T 0
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一、从傅里叶级数到傅里叶变换
1 T C n 2T f T (t )e jn0 t dt T 2 1 T 1 jn0t lim C n lim 2T f T (t )e dt lim f (t )e jt dt T T T T T 2
2. 双边指数信号 ea|t|
F ( j ) e e
0
a0
1 1 dt a j a j
a t jt
dt e e
0
a t jt
2a 2 a 2
幅度频谱为 相位频谱为
2a F ( j ) 2 a 2
( ) 0
符号表示：
或
F ( j ) F [ f (t )] f (t ) F 1 [ F ( j )]
F f (t ) F ( j)
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狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
1 j t f (t ) F ( j ) e d 2π
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为， 复振幅为[F(j)/2p]d 的虚指数信号ej t的线性组合。 6
傅立叶正变换： F ( j)
f (t )e jt dt
1 傅立叶反变换： f (t ) F ( j)e jωt d 2π
1
一、常见非周期信号的频谱
1. 单边指数信号
F ( j ) 1
f (t ) e at u(t )，a 0，
() arctan( ) a
F( j)
1/ a
( )
π/2
a 2 2
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
f (t ) 1
0
0 t
0
π/2
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一、常见非周期信号的频谱
F ( j) f (t )e jt dt 0 e at e jt dt
e (a Hale Waihona Puke Baidu j )t 1 (a j ) 0 a j
幅度频谱为 相位频谱为
a 2 2 () arctan( ) a
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F ( j )
傅里叶变换：
F ( j ) lim TCn T
f (t )e j t dt
物理意义: F(j)是单位频率所具有的信号频谱， 称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。
4
二、周期和非周期信号频谱函数的区别
（1）周期信号的频谱为离散频谱， 非周期信号的频谱为连续频谱。 （2）周期信号的频谱为Cn的分布，表示每个谐波 分量的复振幅； 非周期信号的频谱为T Cn的分布， 两者关系： F ( j ) lim TCn
非周期信号的频域分析
连续非周期信号的频谱
常见连续时间信号的频谱
连续时间Fourier变换的性质
离散周期信号的频域分析
离散非周期信号的频域分析
1
连续非周期信号的频谱
从傅里叶级数到傅里叶变换 周期和非周期信号频谱函数的区别 傅里叶反变换 非周期矩形脉冲信号的频谱分析
2
一、从傅里叶级数到傅里叶变换
直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的 方法求出其傅里叶变换。 0 2 | t| ] 2 πd ( ) F [1] lim F [1 e ] lim[ 2 2 0 0
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一、常见非周期信号的频谱
3. 单位冲激信号d(t)
F[d (t )]
f (t )e
jt
dt d (t )e
jt
dt 1
取样性
d (t )
(1)
1
F ( j )
0
t
0
单位冲激信号及其频谱
15
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f(t)=1,<t<
jt
dt 2t A e
2
t
jt
dt
tA
At Sa(
t
2
)
2π 2π
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t
t
分析：
1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。 2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的 连续频谱等间隔取样求得 3. 信号在时域有限，则在频域将无限延续。 4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点 之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。 5. 脉冲宽度t越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。 即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用 的频带越宽。
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常见连续时间信号的频谱
常见非周期信号的频谱(频谱密度) 单边指数信号 双边指数信号ea|t| 单位冲激信号d(t) 直流信号 符号函数信号 单位阶跃信号u(t) 常见周期信号的频谱密度 虚指数信号 正弦型信号 单位冲激串
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一、常见非周期信号的频谱
1. 单边指数信号
f (t ) e at u(t )，a 0，
T
F ( j) Cn T
n0
5
三、傅里叶反变换
f (t ) lim f T (t ) lim Cn e jn0 t
T
T n =-
lim
T
n =-
F ( j )0 jn0 t e 2π
T , 记 n0 = , 0 = 2p/T = d,