二次函数第一课时ppt课件
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二次函数图像和性质课件(1)完整版公开课全篇
B. y= –(x+1)2+1
C.y=(x–1)2+1
D. y= –(x–1)2+1
1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向 下平移4个单位所得抛物线的解析式是 ________
2)如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移 得到抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平 移得到抛物线y=2(x+2)2-1
(h,k)
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
1.
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大 而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的 增大而减小 .
y=3x2
向右
向上
y=3(x-1)2
y=3(x-1)2+2
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象和抛物线 y=3x²,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
y 3x 12 2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
人教版数学九年级上册22 二次函数(第一课时)课件
4
【典例】下列各式中，y 是 x 的二次函数的是( )
A．y＝x12
B．y＝2x＋1
C．y＝x2＋x－2
D．y2＝x2＋3x
分析：y＝x12中，x12为分式，不是二次函数，故 A 不符题意；y＝2x＋1 中，x 的
次数为 1，是一次函数，故 B 不符题意；y＝x2＋x－2 符合二次函数的定义，是二次
函数解析式是 y＝3x＋2 或 y＝33＋215
5x＋5＋23
5或 y＝33－215
5x＋5－23
5 .
(2) 若 函 数 y ＝ (m2 － m － 2)xm2 － 5m － 4 ＋ (m ＋ 1)x ＋ m 为 二 次 函 数 ， 则
m2－5m－4＝2， m2－m－2≠0.
解得 m＝6.故当 m＝6 时，函数 y＝(m2－m－2)xm2－5m－4＋(m
• (1)求直线AB的解析式； • (2)若设点P的横坐标为x，矩形PKDH的面积为S，求S关于x的函数解析
式．
17
解：(1)如图所示，∵OE＝CD＝80 m，OC＝ED＝100 m，AE＝60 m，BC＝70 m， ∴OA＝20 m，OB＝30 m，即 A(0,20)、B(30,0)．设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
►如果我们不曾相遇，你的梦里就不会有我的出现，我们都在不断地 和陌生人擦肩;如果人生不曾相遇，我的生命里就不会有你的片段，我 们都在细数着自己的日子。 ►当离别的脚步声越来越清晰，我们注定分散两地，继续彼此未完的 人生，如果我说放不下，短短一个月的光景，你是否愿意相信，我的 真诚，我的执着，只源于内心深处那一份沉沉的不舍。
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
二次函数第一课时PPT省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
上述三个问题中旳函数解析式具有哪些共同旳 特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 旳形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2&x)
y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)，
二次函数旳概念
温故知新
复习： 1、什么是函数？
在某个变化过程中，有两个变量x 和y ， 假如对于x 旳每一个可取旳值，都有唯一一 种y 值与它相应，那么y 称为x 旳 函数。 2、什么叫做一次函数？
形如y=kx+b (k、b为常数，k≠0)
3、函数有哪些表达措施？
解析法 列表法 图象法
合作学习，探索新知 :
请用合适旳函数解析式表达下列问题情 境中旳两个变量 y 与 x 之间旳关系：
(1)圆旳面积 y ( cm2)与圆旳半径 x ( cm ) y =πx2
(2)某商店1月份旳利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润旳月平 均增长率为x，3月份旳利润为y
y = 2(1+x)2
合作学习，探索新知 :
当a, b, c满足什么条件时
(1)它是二次函数? （1）a 0
(2)它是一次函数？ (2)a 0,b 0
(3)它是正百分比函数？(3)a 0,b 0, c 0
例题精讲
例１ m取哪些值时，函数 y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是以x为自变量旳二次
函数？
2: m取何值时，函数y=(m+1)xm2 2m 1
(3)拟建中旳一种温室旳平面图如图,假如
经化简后都具有y=ax²+bx+c 旳形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2&x)
y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)，
二次函数旳概念
温故知新
复习： 1、什么是函数？
在某个变化过程中，有两个变量x 和y ， 假如对于x 旳每一个可取旳值，都有唯一一 种y 值与它相应，那么y 称为x 旳 函数。 2、什么叫做一次函数？
形如y=kx+b (k、b为常数，k≠0)
3、函数有哪些表达措施？
解析法 列表法 图象法
合作学习，探索新知 :
请用合适旳函数解析式表达下列问题情 境中旳两个变量 y 与 x 之间旳关系：
(1)圆旳面积 y ( cm2)与圆旳半径 x ( cm ) y =πx2
(2)某商店1月份旳利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润旳月平 均增长率为x，3月份旳利润为y
y = 2(1+x)2
合作学习，探索新知 :
当a, b, c满足什么条件时
(1)它是二次函数? （1）a 0
(2)它是一次函数？ (2)a 0,b 0
(3)它是正百分比函数？(3)a 0,b 0, c 0
例题精讲
例１ m取哪些值时，函数 y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是以x为自变量旳二次
函数？
2: m取何值时，函数y=(m+1)xm2 2m 1
(3)拟建中旳一种温室旳平面图如图,假如
高中二次函数 课件ppt课件ppt课件ppt
翻折变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行翻转。
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
二次函数的应用ppt课件
②根据题意，得绿化区的宽为
= （x-20）（m），
∴y=100×60-4x（x-20）.又 ∵28≤100-2x≤52，∴24≤x≤36. 即 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围为 y=-4x2+80x+6 000 （24≤x≤36）；
-7-
2.4 二次函数的应用
（2）y=-4x2+80x+6 000=-4（x-10）2+6 400. ∵a=-4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线 x= 10. 当 24≤x≤36 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x=24 时，y 最大=5 616，即停车场的面积 y 的最大值为 5 616 m2； （3）设费用为 w. 由题意，得 w=100（-4x2+80x+6 000）+50×4x（x- 20）=-200（x-10）2 +620 000， ∴ 当 w=540 000 时，解得 x1=-10，x2=30. ∵24≤x≤36，∴30≤x≤36，且 x 为整数， ∴ 共有 7 种建造方案． 题型解法：本题是确定函数表达式及利用函数的性质设计工程方案的问题. 解题过程中应理解：（1）工程总造价是绿化区造价和停车场造价两部分的和； （2）根据投资额得出方程，结合图象的性质求出完成工程任务的所有方案.
（1）解决此类问题的关键是建立恰当的平面直角坐标系； 注意事项
（2）根据题目特点，设出最容易求解的函数表达式形式
-9-
2.4 二次函数的应用
典题精析 例 1 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系， 其函数的关系式为 y=- x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，水面宽 度 AB 为 （ ） A． -20 m B． 10 m C． 20 m D． -10 m
二次函数第一课时PPT教学课件
富阳永兴中6学
练一练：
考考你
1、说出下列二次函数的二次项系数、
一次项系数和常数项。
(1)y1x22x (2)sr2 2
(3)yx215 (4)y4(x21)
(5)y1(x2)21 4
2020/12/12
九年级 数学
富阳m2m1 是二次函数，
则m的值是
3、k取何值时，y ( k 2 3 k 2 ) x 2 ( k 2 ) x k 1 分
剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设
AE=BF=CG=DH=x（cm），四边形EFGH的面积为
y（cm2），求y关于x的函数解析式和自变量x的取值
范围。
D
GC
解：由题意，0＜ｘ＜2 ，
H
y 2 2 4 1 x (2 x ) 2 x 2 4 x 4
F
2 即所求函数解析式为
A E
B
y2x24x4（0＜ｘ＜2 ）
1、已知二次函数y＝ax2+bx，当x=-1时， 函数值y为10；当x=1时，函数值y为4； 求这个二次函数的解析式。
2、已知二次函数y＝x2+px+q，当x=-1时， y=0；当x=2时，y=9,求这个二次函数的 解析式。
待定系数法 关键是列出方程组
2020/12/12
九年级 数学
富阳永兴中10学
(1)yax2 (2)ya2xc
(3)ya2 xbx
（其中a、b、c是常数，a ≠０ ）
2020/12/12
九年级 数学
富阳永兴中5学
辨一辨
下列函数关系式中，哪些是二次函数？
(1)y3x22x1 (2)yxx2
(3)sr2
(5)y4x22
人教版九年级数学上册二次函数课件(共15张)
1、y =6x2
2、
3、y=20x2+40x+20 上述问题中的函数解析式具有
哪些共同的特征?
化简后具有y=ax²+bx+c 的情势.
(a,b,c是常数, a≠0 )
二次函数概念
我们把形如y=ax²+bx+c
(其中a,b,C是常数，a≠0)的函 数叫做二次函数
称：a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项.
(1)写出y关于x的 函数关系式. (2)当x=3时,矩形 的面积为多少?
x
2、已知二次函数 y=x²+px+q,当x=1时,函数 值为4,当x=2时,函数值 为 -5, 求这个二次函数 的解析式.
课堂小结
a≠0
y=ax²+bx+c
二次项 系数
一次项 系数
常数项
每个队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲
队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，
所以比赛的场次数
.即
.
上式表示比赛的场次数m与球队数n的关系，对于 n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数.
问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后 两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加 x倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所 定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示?
这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是 20(1+x)t，
再经过一年后的产量是 20(1+x)(1+x) t，即两年 后的产量 y=20(1+x)2 ， 即 y=20x2+40x+20 .
上式表示两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y 是x的函数.
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
二次函数的图像与性质(第一课时)优质课件
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上, 当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0.
【内容】独立完成探究点一的针对练习、 探究点二。（5min）
【要求】1.独立思考，认真分析总结； 2.标记好自己的疑难问题，以便讨论 探究； 3.自主独立做题，2min时间到后学 科组长组织组员针对疑难问题及 小组任务进行讨论交流。
2.2 二次函数的图像与性质（一）
我们把物体抛射时所经过的路线叫做抛物线.
1.经历探索二次函数y=x2 的图像的作法
和性质的过程，获得利用图像研究函数性质 的经验；
2.能够利用描点法作出二次函数y=x2的图 像，并能根据图像认识和理解二次函数y=x2 的性质；
3.能够作出二次函数 y=-x2的图像，并能 够y=x2比较出与 的图像的异同，初步建立二 次函数表达式与图像之间的联系.
【内容】快速、独立完成训练案“自测反馈”（8min） 【要求】1.独立思考，认真分析总结
2.标记好自己的疑难问题，以便课后讨论探究
探究内容 展示小组
14组小2源自2组组 合3
6组
作
4
5组
能力提升1
1组
能力提升2
3组
【要求】1.独立完成训练案的填空题；2.标记好自己的疑难
问题，以便讨论 ；3.针对疑难，自由探讨，互帮互助.
2、剩余时间思考探究案中其他问题，并把你认为正确的答 案写在学案上。
1.列表时注意自变量X的取值是否有意义.
（1）反比例函数： y
2
x
(x≠0)
（2）圆的面积公式：S r 2 (r≥0)
（3）二次函数： y=-x2 (x取全体实数)
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上, 当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0.
【内容】独立完成探究点一的针对练习、 探究点二。（5min）
【要求】1.独立思考，认真分析总结； 2.标记好自己的疑难问题，以便讨论 探究； 3.自主独立做题，2min时间到后学 科组长组织组员针对疑难问题及 小组任务进行讨论交流。
2.2 二次函数的图像与性质（一）
我们把物体抛射时所经过的路线叫做抛物线.
1.经历探索二次函数y=x2 的图像的作法
和性质的过程，获得利用图像研究函数性质 的经验；
2.能够利用描点法作出二次函数y=x2的图 像，并能根据图像认识和理解二次函数y=x2 的性质；
3.能够作出二次函数 y=-x2的图像，并能 够y=x2比较出与 的图像的异同，初步建立二 次函数表达式与图像之间的联系.
【内容】快速、独立完成训练案“自测反馈”（8min） 【要求】1.独立思考，认真分析总结
2.标记好自己的疑难问题，以便课后讨论探究
探究内容 展示小组
14组小2源自2组组 合3
6组
作
4
5组
能力提升1
1组
能力提升2
3组
【要求】1.独立完成训练案的填空题；2.标记好自己的疑难
问题，以便讨论 ；3.针对疑难，自由探讨，互帮互助.
2、剩余时间思考探究案中其他问题，并把你认为正确的答 案写在学案上。
1.列表时注意自变量X的取值是否有意义.
（1）反比例函数： y
2
x
(x≠0)
（2）圆的面积公式：S r 2 (r≥0)
（3）二次函数： y=-x2 (x取全体实数)
二次函数(1)PPT课件(人教版)
九年级上册人教版数学
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做 __二__次__函__数_，其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_二__次__项___系数、 一__次__项___系数和常数项．
14．边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形，剩 余的四方框的面积为y(m2)，则y与x之间的函数关系式为y_＝__1_6_－__x_2_(_0_＜__x_＜_，4) 它是_二__次____函数．
15．若y＝(m－1)xm2＋2m－1＋3. (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？
解 ： 降 低 x 元 后 ， 所 销 售 的 件 数 是 (500 ＋ 100x) ， 则 y ＝ (13.5 － 2.5 － x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P 从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开 始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B 同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2.
C．y＝12(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
3．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是__a_≠_－__3___． 4．对于二次函数y＝1－3x＋2x2，其二次项系数、一次项系数及常数 项的和是__0__． 5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当___a≠__2____时，x，y之间是二次函数关系； (2)当___a_＝__2_且__b_≠_－__2_____时，x，y之间是一次函数关系．
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做 __二__次__函__数_，其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_二__次__项___系数、 一__次__项___系数和常数项．
14．边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形，剩 余的四方框的面积为y(m2)，则y与x之间的函数关系式为y_＝__1_6_－__x_2_(_0_＜__x_＜_，4) 它是_二__次____函数．
15．若y＝(m－1)xm2＋2m－1＋3. (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？
解 ： 降 低 x 元 后 ， 所 销 售 的 件 数 是 (500 ＋ 100x) ， 则 y ＝ (13.5 － 2.5 － x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P 从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开 始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B 同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2.
C．y＝12(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
3．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是__a_≠_－__3___． 4．对于二次函数y＝1－3x＋2x2，其二次项系数、一次项系数及常数 项的和是__0__． 5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当___a≠__2____时，x，y之间是二次函数关系； (2)当___a_＝__2_且__b_≠_－__2_____时，x，y之间是一次函数关系．
二次函数图ppt课件
02 二次函数的图像性质
CHAPTER
开口方向
总结词：由二次项系数决定 a>0时，向上开口；a<0时，向下开口。
顶点坐标
01
总结词：由公式 y=ax^2+bx+c(a≠0)直接读
02
顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐 标为y=4ac-b^2/4a。
对称轴
总结词：对称轴是直线x=-b/2a
二次函数图像是轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a，对称轴与y轴平行。
二次函数的表达式由三部分组成，分 别是二次项系数$a$、一次项系数$b$ 和常数项$c$。这些系数可以根据实际 情况进行选择和调整。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个开口方向由系数$a$决定的抛物线。当$a > 0$时，抛物 线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。同时，抛物线的对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$ 。
二次函数图PPT课件
目录
CONTENTS
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像性质 • 二次函数的应用 • 二次函数与其他知识点的联系 • 练习题与答案
01 二次函数的基本概念
CHAPTER
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其定义形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其 中$a, b, c$为常数，且$a neq 0$。
二次函数的图象与性质(第一课时) 课件(共34张PPT)北师大版初中数学九年级下册
（g为定值）
此外，二次函数在建筑学上也有重要应用，如抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型吊桥、抛物线型弯道等.要确定这些抛物线的形状，需要对地质、地形、气象、水力、材料等因素进行综合分析.
这节课 你学到了什么？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
１．某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是：
（m为定值）
2．导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是：
（R为定值）
Q=RI2
3．g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的距离s与下落时间t之间的关系是：
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线 y=x2.
开口向上
(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，（0，0）
是，对称轴是 y 轴．
（-2，4）和（2，4）；
（-3，9）和（3，9）等等．
（-1，1）和（1，1）；
(3)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．
探究1 请作出二次函数 y=x2 的图象．
x
…
…
y
…
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=x2 的图象.
y=x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(1)你能描述图象的形状吗？
此外，二次函数在建筑学上也有重要应用，如抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型吊桥、抛物线型弯道等.要确定这些抛物线的形状，需要对地质、地形、气象、水力、材料等因素进行综合分析.
这节课 你学到了什么？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
１．某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是：
（m为定值）
2．导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是：
（R为定值）
Q=RI2
3．g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的距离s与下落时间t之间的关系是：
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线 y=x2.
开口向上
(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，（0，0）
是，对称轴是 y 轴．
（-2，4）和（2，4）；
（-3，9）和（3，9）等等．
（-1，1）和（1，1）；
(3)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．
探究1 请作出二次函数 y=x2 的图象．
x
…
…
y
…
…
-3
-2
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(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=x2 的图象.
y=x2
x
…
-3
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y
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…
(1)你能描述图象的形状吗？
1.2二次函数的图象与性质(第1课时)课件(共13张ppt)
图象的开口向 上 ； 图象是轴对称图形，对称轴是_y轴____x_=_0 对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随
自变量取值的增大而 减小 ，
简称为“左降”；
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取
值的增大而 增大 ， 简称为“右升”； 当x= 0 时，函数值最 小 .
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x= 0 时，函数值最 小 .
类似地，当a＞0时，y=ax2的图象也具 有上述性质.
于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴 右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.
在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤 就可以了(因为我们知道了图象的性质).
例1 画二次函数y=x2的图象. 列表： x 0 0.5 1 1.5 2 3
，简称为“右升”.
观察
我们已经正确地画出了y =
现在可以从图象看出
y
=
1 2
x
2
的12 x其2 的他图一象些，性因质此(除，
了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外)：
对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；图象的开口向 上 ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的
增大而 减小 ， 简称为“左降”；
解：（1）把A（2，8）代人y=ax2 ∴ a=2 ∴ y=2x2
（2） 当x=1时，y=2 ≠ 4 ∴ B(1，4)不在y=2x2的图像上。
（3） 当y=18时，即2x2=18，x=3或x=-3 ∴ 纵坐标是18的点是：（3,18）和（-3,18）
对于y=ax2（当a＞0时）的图象也具有上述性质.
图象在对称轴左边的部分，函数值随
自变量取值的增大而 减小 ，
简称为“左降”；
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取
值的增大而 增大 ， 简称为“右升”； 当x= 0 时，函数值最 小 .
谢谢观赏
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我们，还在路上……
当x= 0 时，函数值最 小 .
类似地，当a＞0时，y=ax2的图象也具 有上述性质.
于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴 右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.
在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤 就可以了(因为我们知道了图象的性质).
例1 画二次函数y=x2的图象. 列表： x 0 0.5 1 1.5 2 3
，简称为“右升”.
观察
我们已经正确地画出了y =
现在可以从图象看出
y
=
1 2
x
2
的12 x其2 的他图一象些，性因质此(除，
了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外)：
对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；图象的开口向 上 ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的
增大而 减小 ， 简称为“左降”；
解：（1）把A（2，8）代人y=ax2 ∴ a=2 ∴ y=2x2
（2） 当x=1时，y=2 ≠ 4 ∴ B(1，4)不在y=2x2的图像上。
（3） 当y=18时，即2x2=18，x=3或x=-3 ∴ 纵坐标是18的点是：（3,18）和（-3,18）
对于y=ax2（当a＞0时）的图象也具有上述性质.
第1讲二次函数的图象和性质复习课件(共39张PPT)
全效优等生
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第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期 间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔 很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位 数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
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从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
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【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确；
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第一章 二次函数
第1讲 二次函数的图象和性质
全效优等生
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诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能 获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由 瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为 瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对 此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的 瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外 籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列 尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所 从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．
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第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期 间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔 很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位 数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
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从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
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【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确；
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第一章 二次函数
第1讲 二次函数的图象和性质
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诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能 获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由 瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为 瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对 此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的 瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外 籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列 尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所 从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．
《二次函数》PPT课件
一次函数 y＝kx＋b(k≠0)
正比例函数
y＝kx (k≠0)
一条直线
反比例函数 y k (k 0).
双曲线
x
课时导入
导入新知 正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正 方体的棱长为x，表面积为y. 显然，对于x的 每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数， 它们的具体关系可以表示为 y＝6x2.
课堂小结
二次函数
(2)确定二次函数的各项系数及常数项时，要把函 数关系式化为一般形式．
(3)二次项系数不为0.
感悟新知
知2－练
方法点拨：在实际问题中建立二次函数模型时，关键 要找出两个变量之间的数量关系，用类似建立一元二 次方程模型的方法，借助方程思想求出二次函数的关 系式.
解：(1) y=300+30 ( 60-x ) =-30x+2 100 ( 40 ≤ x ≤ 60 ). ( 2 ) W= ( x-40 ) ( -30x+2 100 ) =-30x2+3 300x-84 000.
课时导入
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变 量x的最高次数是2.
这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学 习的二次函数．
感悟新知
知识点 1 二次函数的定义
问题1
知1－讲
n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，
比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
比赛的场次数
m＝ 1 n(n－1)，
即m＝
1
2 n2－
感悟新知
总结
知2－讲
1. 建立二次函数模型的一般步骤： (1)审清题意：找出问题中的已知量（常量）和
未知量（变量），把问题中的文字或图形语言转化 成数学语言.
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2
人教版九年级下册
3
探索新知
正方体六个面是全等的正方形, 设正方形棱长为 x,表面积为 y , 则 y 关于x 的关系式为＿y＿=6＿x2＿.
此式表示了正方体的表面积y与棱长x之间的关 系,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是 x的函数.
4
探索新知
多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？
二次函数的特殊形式： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
8
解决问题
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别
指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x－1)²+1 (是)
(2)y=x+
_1 x
(否)
(3)s=3－2t² (5)y= _x1_²－x
10
同步练习
1.函数 y (k 1 )x2k2 k1 是一次函数.求k的值。 2
k=0
2.函数y (m 1)xm2m mx 1 是二次函数.求m的值。
m=2
3.函数 y (m2 m)xm2m 是二次函数.求m的值
m=2
11
实际运用
例3 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地 面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什 么？是函数关系吗？是哪一种函数？
(是) (否)
(4)y=(x+3)²－x² (否)
(6)v= 3 r ² (是)
(7) y=x²+x³+25 (否) (8)y=2²+2x
(否)
(9) y＝ x2 5x 6 (否)
(10)y=mx²+nx+p (m,n,p为常数） (否)
9
例题分析
例2. 已知 y=(m+3)xm2－7 (1)m取什么值时,此函数是正比例函数? (2)m取什么值时,此函数是反比例函数? (3)m取什么值时,此函数是二次函数?
变式：
Байду номын сангаас
a
a
解: S a 60 2a a(30 a) a2 30a
2
S是 a 的二次函数。
12
同步练习
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的
r
表面积 s 与半径 r 之间的关系式,是函 r
数关系吗？是哪种函数？
2. n支球队参加比赛,每两队之间进行一 场比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式.
温故知新
1、什么是函数？
在一个变化过程中,如果有 两个变量x与y , 并且对于x的每一个确定的值,y都有 唯一 确定的值与其对应,那么就说y是x的函数, x 是自变量。
1
温故知新
2.我们学习过哪些函数？ 它们的一般解析式怎么表示？
一次函数 y=kx+b (k≠0) 函 数
(正比例函数) y=kx (k≠0)
4、将进货单价为40元的商品按50元卖出时,就能卖 出500个,已知这种商品每涨1元,其销售量就会减少 10个,设售价定为X元(x＞50)时的利润为Y元。试求 出Y与X的函数关系式，并按所求的函数关系式计算 出售定价为80元时所得利润。
17
课堂小结
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: (1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0). 2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次
d=
1 2
n2－
3 2
n
函数都是用自变量 的二次式表示的。
y=20x2+40x+20
一般地,形如
y=ax2+bx+c (a,b,c都是常数,且a≠0) 的函数,叫做二次函数.其中, x是自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
7
探索新知
二次函数的一般形式: y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
n边形有＿n＿个顶点,从一个
顶点出发,连接与这点不相邻的
各顶点,可作(＿n－＿3＿) 条对角线.因
此,n边形的对角线总数
d=
1 2
n(n－3)
.
此式表示了多边形的对角线数d与 边数n之间的
关系,对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d
是n的函数.
5
探索新知
某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两 年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那 么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确 定, y与x之间的关系怎样表示?
4、将进货单价为40元的商品按50元卖出时,就能卖 出500个,已知这种商品每涨1元,其销售量就会减少 10个,设售价定为X元(x＞50)时的利润为Y元。试求 出Y与X的函数关系式，并按所求的函数关系式计算 出售定价为80元时所得利润。
15
拓展提高
x 如果函数y= k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
则k的值一定是__0__或__3
x 如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
则k的值一定是__0____
x 如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2 +kx+1 (x≠0)是一次
函数,则k的值一定是__3_或__1_ 或2
或 3 2
5
16
拓展提高
3、菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积 S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
这种产品的原产量是20件,一年后的产量是20(1+x)件, 再经过一年后的产量是 20(1+x)2 件,即两年后的 产量为: y=20(1+x)2 .
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的 关系,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的 函数.
6
探索新知
观察下列函数有什么共同点:
y=6x2
3.函数 y=(m－n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) (A) m,n是常数,且m≠0 (B) m,n是常数,且n≠0 (C) m,n是常数,且m≠n (D) m,n为任何实数
13
拓展提高
1、圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加 ycm².写出y与x之间的函数关系表达式；
2、如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC， ∠B=600，梯形的周长为60，设腰AB=x，
梯形面积为y.
（1）写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取 值范围。
（2）当x=15时，求y的值。
A
D
x
BE
14
FC
拓展提高
3、菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积 S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
人教版九年级下册
3
探索新知
正方体六个面是全等的正方形, 设正方形棱长为 x,表面积为 y , 则 y 关于x 的关系式为＿y＿=6＿x2＿.
此式表示了正方体的表面积y与棱长x之间的关 系,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是 x的函数.
4
探索新知
多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？
二次函数的特殊形式： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
8
解决问题
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别
指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x－1)²+1 (是)
(2)y=x+
_1 x
(否)
(3)s=3－2t² (5)y= _x1_²－x
10
同步练习
1.函数 y (k 1 )x2k2 k1 是一次函数.求k的值。 2
k=0
2.函数y (m 1)xm2m mx 1 是二次函数.求m的值。
m=2
3.函数 y (m2 m)xm2m 是二次函数.求m的值
m=2
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实际运用
例3 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地 面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什 么？是函数关系吗？是哪一种函数？
(是) (否)
(4)y=(x+3)²－x² (否)
(6)v= 3 r ² (是)
(7) y=x²+x³+25 (否) (8)y=2²+2x
(否)
(9) y＝ x2 5x 6 (否)
(10)y=mx²+nx+p (m,n,p为常数） (否)
9
例题分析
例2. 已知 y=(m+3)xm2－7 (1)m取什么值时,此函数是正比例函数? (2)m取什么值时,此函数是反比例函数? (3)m取什么值时,此函数是二次函数?
变式：
Байду номын сангаас
a
a
解: S a 60 2a a(30 a) a2 30a
2
S是 a 的二次函数。
12
同步练习
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的
r
表面积 s 与半径 r 之间的关系式,是函 r
数关系吗？是哪种函数？
2. n支球队参加比赛,每两队之间进行一 场比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式.
温故知新
1、什么是函数？
在一个变化过程中,如果有 两个变量x与y , 并且对于x的每一个确定的值,y都有 唯一 确定的值与其对应,那么就说y是x的函数, x 是自变量。
1
温故知新
2.我们学习过哪些函数？ 它们的一般解析式怎么表示？
一次函数 y=kx+b (k≠0) 函 数
(正比例函数) y=kx (k≠0)
4、将进货单价为40元的商品按50元卖出时,就能卖 出500个,已知这种商品每涨1元,其销售量就会减少 10个,设售价定为X元(x＞50)时的利润为Y元。试求 出Y与X的函数关系式，并按所求的函数关系式计算 出售定价为80元时所得利润。
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课堂小结
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: (1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0). 2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次
d=
1 2
n2－
3 2
n
函数都是用自变量 的二次式表示的。
y=20x2+40x+20
一般地,形如
y=ax2+bx+c (a,b,c都是常数,且a≠0) 的函数,叫做二次函数.其中, x是自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
7
探索新知
二次函数的一般形式: y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
n边形有＿n＿个顶点,从一个
顶点出发,连接与这点不相邻的
各顶点,可作(＿n－＿3＿) 条对角线.因
此,n边形的对角线总数
d=
1 2
n(n－3)
.
此式表示了多边形的对角线数d与 边数n之间的
关系,对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d
是n的函数.
5
探索新知
某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两 年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那 么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确 定, y与x之间的关系怎样表示?
4、将进货单价为40元的商品按50元卖出时,就能卖 出500个,已知这种商品每涨1元,其销售量就会减少 10个,设售价定为X元(x＞50)时的利润为Y元。试求 出Y与X的函数关系式，并按所求的函数关系式计算 出售定价为80元时所得利润。
15
拓展提高
x 如果函数y= k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
则k的值一定是__0__或__3
x 如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
则k的值一定是__0____
x 如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2 +kx+1 (x≠0)是一次
函数,则k的值一定是__3_或__1_ 或2
或 3 2
5
16
拓展提高
3、菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积 S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
这种产品的原产量是20件,一年后的产量是20(1+x)件, 再经过一年后的产量是 20(1+x)2 件,即两年后的 产量为: y=20(1+x)2 .
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的 关系,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的 函数.
6
探索新知
观察下列函数有什么共同点:
y=6x2
3.函数 y=(m－n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) (A) m,n是常数,且m≠0 (B) m,n是常数,且n≠0 (C) m,n是常数,且m≠n (D) m,n为任何实数
13
拓展提高
1、圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加 ycm².写出y与x之间的函数关系表达式；
2、如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC， ∠B=600，梯形的周长为60，设腰AB=x，
梯形面积为y.
（1）写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取 值范围。
（2）当x=15时，求y的值。
A
D
x
BE
14
FC
拓展提高
3、菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积 S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．