参数变化时系统的稳定性分析

题 目: 参数变化时系统的稳定性分析 初始条件：

反馈系统方框图如下图所示。K (s)D =1，s

K K (s)D I +

=2，)6s )(1s (1

s G 1+-+=s (s)，

)

2s )(1s (1

G 2++=

(s)

要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）

（1） 当D(s)=D 1(s),G(s)=G 1(s)时，确定使反馈系统保持稳定的比例增益K 的范围。

计算当K=1系统在单位阶跃信号输入作用下的稳态误差系数和稳态误差； （2） 满足（1）的条件下，取三个不同的K 值（其中须包括临界K 值），计算不同K

值下系统闭环特征根，特征根可用MATLAB 中的roots 命令求取； （3） 用Matlab 画出（2）中三个增益对应的单位阶跃输入的响应曲线，通过响应

曲线分析不同K 值时系统的动态性能指标；

（4） 当D(s)=D 2(s),G(s)=G 2(s)时，确定使系统稳定K 和K I 的范围，并画出稳定时

的允许区域。计算系统在单位阶跃信号输入作用下的稳态误差常数和稳态误差；

（5） 满足（4）的条件下，取三个不同的K 和K I 值，计算不同K 和K I 值下系统闭

环特征根，特征根可用MATLAB 中的roots 命令求取。画出其中一组值对应的波特图并计算相角裕度；

（6） 用Matlab 画出（5）中三个增益对应的单位阶跃输入的响应曲线，通过响应

曲线分析不同K 和K I 值时系统的动态性能指标；

（7） 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须写清楚分析计算的过

程，并包含Matlab 源程序或Simulink 仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。

时间安排：

Y

指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日

参数变化时系统的稳定性分析

1 问题分析

由所给的已知条件可知，该系统是一个简单的单位负反馈系统，其传递函数分别由D(s)和G(s)两个方框串联连接而成，见图1-1。

图1-1 反馈系统方框图

所以其闭环传递函数为：

()()

()1()()

D s G s s D s G s Φ=

+

当其系统稳定时，即其闭环特征方程：1+D(s)G(s)=0

在此运用劳斯表，便可求出K 的取值范围。系统的稳定误差为：

0()

lim ()lim

1()()

ss s s sR s e sE s D s G s →→==+

系统的静态误差常数：0

lim ()()p s K D s G s →=

2 系统在D(s)=D 1(s),G(s)=G 1(s)下的稳定性分析和计算

2.1 K 的范围的确定

当D(s)=D 1(s),G(s)=G 1(s)时，系统的闭环传递函数为：

1*

(1)(6)

()1

1*

(1)(6)

s k s s s s s k s s s +-+Φ=++-+

即： *(1)

()(1)(6)*(1)

k s s s s s k s +Φ=

-+++

所以其特征方程为：325(6)10s s k s ++-+=

Y

用劳斯稳定判据得出劳斯表如下：

321

1655(6)5s k s k

k k

s

s k

---

当系统稳定时，劳斯表的第一列必须同号且为正，出现异号时，系统就不稳定了。 则有：

k>0且

5(6)05

k k

--> 由此求得k>7.5

2.2 稳态误差计算

由题意知，系统的误差为：

()

()1()()

R s E s G s H s =

+

当K=1时，将各参数带入上式，得：

(1)(6)

()()(1)(6)(1)

s s s E s R s s s s s -+=

-+++

当输入信号为单位阶跃信号时，即r(t)=1(t)时，R(s)=1/s,系统的稳定误差为：

323200156lim ()lim **0551

ss s s s s s

e sE s s s s s s →→+-===+-+ 所以当输入信号为单位阶跃信号时，系统的稳定误差为0。

2.3 稳定误差系数的计算

当单位阶跃信号输入的时候，

对于0型系统，静态位置误差系数为：0

lim ()()p s K D s G s →==∞

对于I 型系统，静态速度误差系数为：01

lim ()()6

v s K sD s G s →==-

对于II 型系统，静态加速度误差系数为：20

lim ()()0a s K s D s G s →==

2.4 闭环函数特征根

在满足（1）的条件下，即K>7.5，分别取7.5,10,15三个值，所以每一个K 值都对应着一个特征根的方程，特征方程为325(6)0s s k s k ++-+=。

①当K=7.5时，325 1.57.50s s s +++= 利用MATLAB 中的ROOTS 命令来求取：

p=[1 5 1.5 7.5] r=roots(p) r =-5.0000

0.0000 + 1.2247i 0.0000 - 1.2247i

②当K=10时，3254100s s s +++= 利用MATLAB 中的ROOTS 命令来求取：

p=[1 5 4 10] r=roots(p) r =

-4.6030 -0.1985 + 1.4605i -0.1985 - 1.4605i

③当K=15时，3259150s s s +++= 利用MATLAB 中的ROOTS 命令来求取：

p=[1 5 9 15] r=roots(p) r =

-3.6608 -0.6696 + 1.9103i -0.6696 - 1.9103i

2.5 阶跃响应曲线和动态性能指标分析

当输入为单位阶跃响应的时候，即R(s)=1/s 时，系统的输出为：

32

(1)1

()*5(6)k s Y s s s k s k s

+=

++-+ ① 当K=7.5时（临界值），利用MATLAB 绘制 k=7.5;