数学建模作业：影院座位选择

影院座位选择

摘要

看电影是众多大学生所喜爱的业余享受，怎样选择一个好位子观影也是大

家所关心的一个问题。

本文针对如何在敬文讲堂选择一个好位子看电影，建立模型进行分析。由于座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角越大，仰角越小越合适.因此是一

个多目标规划问题。本文先建立了模型1，采用主目标法找出了讲堂最优的一个位子。而后就"怎样选择一个好位子"的问题，建立模型2，分析了讲堂中央部

分座位的满意程度，因为这个问题涉及的目标较多，即要考虑水平和垂直两种情况，相对复杂。模型 2 作了巧妙的假设，提出了"基本视效"的概念将目标化为

单一的一个，运用几何的方法，给出了各个座位的基本视效值，从而基本视效值大的座位满意度高，反之，满意度低。模型 2 的优点在于避免了其他方法，如权重法的主观性。因此模型也更加可信。

关键词

多目标规划视角仰角几何基本视效m a t l a b

一、问题的背景

看电影一直是广大学生所偏好的业余活动，将自己隐藏在一片漆黑之中，心随画面变换，感受视听震撼，仿佛置身另一个世界，一时间忘却所有烦恼。在师范大学，每到周末便可看到各个海报栏贴着电影放映的信息，其中每周敬文讲堂放映的英文电影，因其免费放映、效果良好、寓教于乐，更是成为多年来的保留节目。每每放映之前，讲堂门口都聚集着众多同学，排着长队，准备争抢观影好地形。

二、问题的提出

有效视角是指人的有效视觉范围，一般，双眼正常有效视角大约为水平90°，垂直70°，考虑双眼余光时的视角大约为水平180°，垂直90°。观影

时的视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角。经医学实验得知：10°以内是视力敏锐区，即中心视野，对图像的颜色及细节部分的分辨能力最强。20°以内能正确识别图形等信息，称为有效视野。*0°～30°，虽然视力及色辨别能力

开始降低，但对活动信息比较敏感，30°之外视力就下降很低了。但是人们又发现，若观看一幅宽大的画面时，视角大到一定值后，观看者会感到和画面同处一个空间，给人带来一种身临其境的艺术效果。即虽然图像内容是二维平面的，但结合在一起后，平面的图像能呈现出立体感，这种效果在观察大画面图像时，会令人感觉出画面有自然感和动人逼真的临场感。也就是说观影时，视角越大，越能达到一种身临其境的满足感。

但是观影时若只考虑视角的大小而忽略了仰角、斜角也是不行的，其中仰角指观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角。例如，坐在第一排看电影，虽然视角很大，但观影者须在这个观影过程中仰头，整个过程也不一定享受，一般仰角越小，观影过程越舒适。同样，定义斜角为观众眼睛到屏幕左、右边缘视线与水平线的夹角中大的角度值，那么坐的越偏，斜角越大，座位过偏时，也会导致颈部向一侧扭曲，甚是难受，无疑坐的越靠近影院中轴线，斜角越小，越舒适。

由上面的分析，在敬文讲堂看电影时，座位过偏、过前，整个过程要么扭颈斜视，要么"曲项向天"，着实难受，座位太后，又视觉不够震撼，不够享受。

怎样选择一个好座位呢，下面我们就进行建模，找出其尽量的实际的答案。

考虑到讲堂的400 个座位分为左侧、中央和右侧三个部分，其中中央部分约2*0 个座位，两侧约各200 个。由于敬文讲堂，只有一个小的投影屏幕，宽度远小于正规电影院的屏幕，两侧的座位的观影效果在各个方面都比中央部分的座位差很多，又考虑到中央的近200 个座位可以满足占座位同学的需求，所以下面的讨论都只限于中央的座位。

下图为敬文讲堂剖面简图，只画出中央部分的座位，且台阶型座位只简化为3 级。

三、模型的建立

模型1：寻找最优位置

显然，最优的位置一定位于讲堂最中央的一列座位，所以这个模型所选择的范围就缩小了，只用考虑一列14 个座位。

1) 模型的假设

A. 假设敬文讲堂的座位面为与水平面夹角为θ的倾斜面（如下图所示）

B. 不考虑人们视力的影响，即坐在后排的人与坐在前排的人的观影清晰度

相同。

C. 不考虑中间座位与旁边座位进出方便程度的影响。

D. 只从中间部分的座位选择。

*. 忽略观众头顶到眼睛的距离。

F. 忽略观众两眼间的距离。

*. 将每个座位所在区域视为一个矩形，观众的眼睛位于矩形的上面一条边的垂直地面的中线上。

下图为敬文讲堂侧面简图

2) 参量变量

H ：屏幕上边缘到地面的高度

h ：屏幕的高度

H1 : 最后一排距地面的高度

α ：观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的有向夹角

β ：观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的有向夹角

θ ：近似座位面与水平面所夹的二面角

* ：第一排座位与屏幕的水平距离

D ：最后一排座位与屏幕的水平距离

*1 ：观众眼睛到屏幕的水平距离

l ：观众所处的座位面上的点到水平面的距离

* ：观众眼睛到水平面的距离

a ：观众平均坐高

λ线 ：观众眼睛所在位置构成的直线

经过实地测量，讲堂中中央部分的座位有14 排×13 列，座位与座位之间左右间隔0.54 米，前后间隔 1 米。并测量、计算得到了下列参数的具体数值（长度单位均为米）：

3) 模型的求解

因为经过如上假设，最佳的位置一定位于讲堂最中央的一列座位，所以问题便转化成一个平面几何问题。为达到"视角尽可能大，仰角尽可能小"的目的，

就是在λ线上选择合适的点使得角（α + β）尽量大，但角α尽量小。由于α和 β的变化范围都在-90°-90°之间，所以可以用函数arctan 来衡量角的大小。如

图所示，tanα=H-L

, tanβ =

L-(H-h) L+h-H H-L

= 。所以 α = arc*an，s1 s1 *1 s1

β=arctan L+h-H （注意，L+h>H 时为正），那么，问题进一步转化为s1

H-L L+h-H H-L

arc*a* + arctan尽量大，而ar*ta*尽量小。而后一目标可简化为s1 s1 s*

*-L s1

尽量小，即尽量大。

s1 H-L

用数学语言写为：

s1

f1(s)=

*-*

H-L L+h-H

f2(s)=ar*tan+arctan

s* s1

F（s）=[*1(*1),f2(s1)] T

在解的可行域R 内,求多目标的极值问题可记为：

m*x F(s1)

s1∈R

这是一个典型的多目标优化问题，一般，在解决这类问题时，要用"化多为

单"的方法。下面就用"主目标优化法"对模型进行求解。所谓"主目标法"就

是分清目标的主要与次要，主要的目标必须达到，所以这种方法就是使主目标优

化，而使其他的目标降为约束条件。

进一步分析，人们在观影时，视角大能达到更好的震撼效果，这也是人们进