天体运动中多星系统模型的分析
双星模型三星模型四星模型
双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。
双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。
双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。
【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。
（引力常量为G ）【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。
根据题意有21ωω=①r r r =+21②根据万有引力定律和牛顿定律，有G1211221r w m rm m = ③G 1221221r w m rm m = ④联立以上各式解得2121m m rm r +=⑤根据解速度与周期的关系知Tπωω221== ⑥联立③⑤⑥式解得【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.(1)可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于O 点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m′(用m 1、m 2表示).(2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式；(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A 的速率v=2.7×105 m/s ，运行周期T=4.7π×104 s ，质量m 1=6m s ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？（G=6.67×10-11 N·m 2/kg 2，m s =2.0×1030 kg ）解析：设A 、B的圆轨道半径分别为，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。
专题 天体运动的“”四个热点“”问题
专题 天体运动的“四个热点”问题双星或多星模型1.双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。
如图1所示。
图1(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为r 1＋r 2＝L(3)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1。
2.多星模型模型 三星模型(正三角形排列) 三星模型(直线等间距排列) 四星模型图示向心力的来源 另外两星球对其万有引力的合力 另外两星球对其万有引力的合力 另外三星球对其万有引力的合力【例1】 (多选)(2018·全国Ⅰ卷，20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。
根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。
将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度解析 由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T ＝112 s ，两中子星的角速度均为ω＝2πT ，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分别为v 1、v 2，则有G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1、G m 1m 2L 2＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝ω2L 3G ，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，则v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误。
多星系统模型(共32张PPT)
例5(微元法)如图所示,在水平面上,有一弯曲的槽道AB,槽道由半径分别为 R/2 和R的两个半圆构成。 例5(微元法)如图所示,在水平面上,有一弯曲的槽道AB,槽道由半径分别为 R/2 和R的两个半圆构成。 三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡，其余两颗行星的引力提供向心力：
例3(图象法)一物体所受的力F随位移x变化的图象如图所示, 求在这一过程中,力F对物体做的功为多少?
例4(图像法)用锤子击打钉子,设木板对钉子的阻力跟钉子进入 木板的深度成正比,每次击打钉子时锤子对钉子做的功相同。已知第 一次击打钉子后,钉子进入的深度为1 cm,则第二次击打时,钉子进 入的深度是多少?
已知第一次击打钉子后,钉子进入的深度为1 cm,则第二次击打时,钉子进入的深度是多少? （2）三颗质量相等的行星位于三角形的三个顶点上，另一颗恒星位于三角形的中心o点，三颗行星以o点为圆心。 已知第一次击打钉子后,钉子进入的深度为1 cm,则第二次击打时,钉子进入的深度是多少? 质点自P滑到Q的过程中,克服摩擦力所做的功为？ 两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等
现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点,若拉力F的方向时刻与小球运动方向一致,则此过程中拉力所做的功为 （1）四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动
阻力f
kx
k
2 1
1 cm x
1区面积与2区面积相等 k/2=(k+kx)(x-1)/2
深度x
4.利用微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段,因小段很小,每一小段上作用
第2期《中学物理》：天体运动中多星系统模型的分析
天体运动中多星系统模型的分析摘要：天体运动在高中物理中一直都是学生感到最难、最怕的内容之一。
由于天体运动中的多星系统问题更是具有考查的知识点较多、研究对象和运动模型较多、受力情况较复杂、联系实际较密切、数学运算能力要求较高等特点，能很好地考查学生的空间想象能力和综合运用力学知识解决物理问题的能力，因而一直成为高考中常考不衰的热点之一。
那么，怎样分析天体运动中的多星系统模型？希望本文能对高中生们的学习有所裨益，让他们能真正“学懂、会做、做对”天体运动中的多星系统问题。
关键词：天体运动；多星系统；模型分析从这些年来的高考试题看,天体运动的问题几乎年年都考。
而天体运动中的多星系统问题是常见的、自然的天文现象，具有考查知识点较多、研究对象和运动模型较多、受力情况较复杂、联系实际较密切、数学运算能力要求较高等特点，主要涉及到开普勒行星运动的三条基本规律、万有引力定律、牛顿运动定律、圆周运动等知识，能较好地考查学生的空间想象能力和综合运用力学知识解决物理问题的能力。
1 解决天体运动问题的两条基本思路1.1在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即：G MmR 2＝mg，整理得GM＝gR 2，此式称为黄金代换或万能代换式(其中R为中心天体的半径，g表示中心天体表面的重力加速度)。
1.2把天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力都是来自于天体之间的万有引力，即：G Mmr 2＝mυ2r＝mrω2＝m4π2T 2r＝ma n 。
应用时应根据实际情况选用适当的公式进行分析求解。
2 双星模型在天体运动模型中，将两个彼此相隔距离较近的天体称为双星，其特点如下：2.1两星始终绕它们连线上的一点（共同的圆心）做匀速圆周运动，两星和圆心共线，故两星的角速度、周期相等。
2.2两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力——是一对作用力和反作用力，所以它们的向心力大小相等、方向相反。
2.3两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，而且两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比，与行星运动的速率成正比。
双星三星四星问题说课讲解
双星三星四星问题双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。
2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。
(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。
(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。
3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。
(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。
(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。
(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。
②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。
(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。
②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。
二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。
高中物理天体运动多星问题
高中物理天体运动多星问题高中物理天体运动多星问题高中物理天体运动多星问题一直是物理教学中的难点，它涉及到天体的运动规律、万有引力、圆周运动等多个知识点。
下面我们将从定义、原理、解题方法三个方面来探讨这个问题。
一、什么是多星问题？多星问题是指在一个宇宙空间内，有两个或多个星球相互吸引，它们绕着共同的质心做圆周运动。
类似于我们太阳系中的双星系统，其中太阳和地球在相互引力作用下绕着共同质心运动。
二、多星问题的原理是什么？多星问题的原理仍然是万有引力定律。
根据万有引力定律，任何两个物体之间都存在相互吸引的力，其大小与它们的质量乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。
在多星系统中，每个星球都受到其他星球的引力作用，因此它们会相互绕转。
三、如何解决多星问题？解决多星问题需要用到圆周运动和万有引力的知识。
首先，我们需要找到各个星球之间的相互作用力，然后根据牛顿第二定律列出方程。
在处理多星问题时，需要注意各个星球的运动轨迹是绕着共同质心做圆周运动，因此我们需要先求出共同质心的位置。
在实际解题过程中，我们可以先根据题意画出图形，标出各个星球的位置和质量，然后根据万有引力定律和圆周运动的规律列出方程。
通常需要求解的是各个星球的运动轨迹和速度等物理量。
四、举例说明例如，在太阳系中，地球和太阳之间的距离是变化的，它们的共同质心位于太阳内部。
如果我们忽略其他行星的影响，那么地球围绕这个共同质心做圆周运动。
根据万有引力定律和牛顿第二定律，我们可以列出方程，求解出地球绕太阳运动的轨迹和速度等物理量。
总之，多星问题是高中物理天体运动中的一个难点，但只要我们掌握了万有引力定律、圆周运动等基本知识，通过认真分析题意，画出图形，列出方程，就可以正确求解问题。
通过研究多星问题，我们可以更深入地了解天体的运动规律，为未来的科学研究打下坚实的基础。
高中物理 双星、多星系统问题
双星、多星系统问题宇宙中不存在孤立的天体，常见的情况是两个或多个天体组成一个相对独立的系统。
高中物理中常常处理一些相对简单的天体系统，其中最简单的是双星系统，相对复杂的有三星、四星系统等。
一、稳定双星系统1、基本模型如图2-14-1所示，质量分别为m 1、m 2的两个天体在万有引力的相互作用下，绕着二者连线上的某个点（公共圆心O ）以相同的角速度做圆周运动，构成一个稳定的双星系统。
在这个系统中，两天体的运动存在如下三个基本关系：（1）向心力大小相同：2212n 1n L m m GF F ==；（2）速度大小相同：ωωω==21；（3）轨道半径之和等于两天体的间距：L r r =+21。
2、基本结论（1）轨道半径关系：2211r m r m =由牛顿第二定律，有天体1：121221r m L m Gm ω=，天体2：222221r m Lm Gm ω=；两式联立，有2211r m r m =，即两天体的轨道半径与各自的质量成反比，质量大的天体轨道半径小，质量小的天体轨道半径大；联立L r r =+21，可得L m m m r 2121+=，L m m m r 2112+=。
（2）系统的周期：)(π2213m m G L T +=把L m m m r 2121+=代入121221r m L m m G ω=，可得321)(Lm m G +=ω，则双星系统的周期为)(π2π2213m m G L T +==ω；即两天体间距越小，总质量越大，系统的周期越小，角速度越大。
（3）线速度关系：2211v m v m =，且Lm m G L v v )(2121+==+ω在2211r m r m =式两边乘以共同的角速度ω，得2211r m r m ωω=，也就是2211v m v m =，即两天体的线速度大小与各自的质量成反比，质量大的天体线速度小，质量小的天体线速度大。
联立321)(Lm m G +=ω,2211r v r v ωω==，，L r r =+21，可得两天体的线速度大小之和为：L m m G L v v v )(2121+==+=ω。
双星模型、三星模型、四星模型
双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星,多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律,他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律.双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。
双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律:F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等,ωωω==21。
【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量.已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量.（引力常量为G ）【解析】:设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。
根据题意有21ωω=①r r r =+21②根据万有引力定律和牛顿定律，有G1211221r w m rm m = ③G1221221r w m r m m =④联立以上各式解得2121m m rm r +=⑤根据解速度与周期的关系知Tπωω221==⑥联立③⑤⑥式解得322214r GT m m π=+【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响。
A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示。
引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.(1)可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于O 点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力,设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m′(用m 1、m 2表示)。
天体运动中多星系统模型的分析
题型归类探究
２ ０ １ ５ 年 第１ 期
（ ２ ） 由数 学 中 的几 何知 识 可 知 ， 质 量相 等 的三 颗
中学 生效理化． 高Ｉ Ｉ 高三 使用
Ｇ 一 簧 ， 解 得 线 速 度 一 √ 。 由 牛 顿 第 恒 星做 匀速 圆周 运动 的半 径 ｒ， 就 是相 邻 两个 星 体 间 的最小 距离 Ｌ， 即ｒ —Ｌ， 则 质量相 等 的恒 星 间 的距 离 二 定 律 得 Ｇ ｍ ２ ＋ Ｇ 茬 一 （ 擎 ） Ｒ ， 解 得 周 期
围绕 正方形 对 角 线 的 交 点 做 匀 速 圆周 运 动 ， 引 力 常
量 为 Ｇ。
（ １ ） 求 星 体做匀 速 圆周运 动 的轨道 半径 。 （ ２ ） 若 实 验观测 得 到 星体 的半 径 为 Ｒ， 求 星体 表
面 的重 力加 速度 。
系统 类 似 ， 通 常有 两 种运 动 模 式 ： ～ 种 是 三颗 恒 星 相
厂— — —一
为ｒ ， 如图 ２ ｂ所 示 ， 由于 星体做 匀 速 圆周 运动 所 需 向
心力 由其 他 两 颗 星 体 对 它 的 万 有 引 力 的合 力 提 供 ， 则在 第 二种 形 式下 星 体做 匀 速 圆周运 动 的半 径 也 为
解 得 丁 一 ２ 兀 Ｌ √ Ｇ （ ＋ ４ ３ Ｍ ） 。
对 稳定 地位 于 三 角 形 的三 个 顶 点 上 ， 环 绕 另 一 颗 位 于 中心 的恒 星 做 匀 速 圆周 运 动 （ 可 简称 为 “ 三绕一”
（ ３ ） 求 星体做 匀速 圆周 运动 的周 期 。
解析 ： （ １ ） 由四颗 星 均 围绕 正 方形 对 角 线 的 交 点
厂１ 一
天体运动中多星系统模型的分析
天体运动中多星系统模型的分析作者：胡琼霜易继东来源：《中学物理·高中》2015年第03期从这些年来的高考试题看，天体运动的问题几乎年年都考.而天体运动中的多星系统问题是常见的、自然的天文现象，具有考查知识点较多、研究对象和运动模型较多、受力情况较复杂、联系实际较密切、数学运算能力要求较高等特点，主要涉及到开普勒行星运动的三条基本规律、万有引力定律、牛顿运动定律、圆周运动等知识，能较好地考查学生的空间想象能力和综合运用力学知识解决物理问题的能力.1解决天体运动问题的两条基本思路（1）在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即GMmR2=mg，整理得GM=gR2，此式称为黄金代换或万能代换式（其中R为中心天体的半径，g表示中心天体表面的重力加速度）.（2）把天体m的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力都是来自于天体之间的万有引力，即GMmr2=mv2r=mrω2=m4π2T2r=man.应用时应根据实际情况选用适当的公式进行分析求解.2双星模型在天体运动模型中，将两个彼此相隔距离较近的天体称为双星，其特点如下：（1）两星始终绕它们连线上的一点（共同的圆心）做匀速圆周运动，两星和圆心共线，故两星的角速度、周期相等.（2）两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力——是一对作用力和反作用力，所以它们的向心力大小相等、方向相反.（3）两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1+r2=L，而且两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比，与行星运动的速率成正比.例1两个星球A、B组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点O做周期相同的匀速圆周运动.现测得两星中心的距离为R，其运动周期为T，求A、B两星的总质量M.解析设两星球A、B的质量分别为M1和M2，都绕连线上的O点做周期为T的匀速圆周运动，星球A和星球B到O点的距离分别为l1和l2.由万有引力定律、牛顿第二定律可得对M1：GM1M2R2=M1（2πT）2l1，所以，M2=4π2R2l1GT2.对M2：GM1M2R2=M2（2πT）2l2，所以，M1=4π2R2l2GT2.且l1+l2=R，所以两式相加得M=M1+M2=4π2R2GT2（l1+l2）=4π2R3GT2.3三星模型三星系统是指由三颗相距较近的恒星组成的天体系统，其运动模型一般有两种情况：一是三颗恒星在一条直线上，中间一颗位于正中心，两颗恒星围绕中间的恒星（可认为是静止不动的）在同一半径为R的圆轨道上运行做匀速圆周运动（可简称为“二绕一”模型），三颗星运行周期相同；二是三颗恒星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行，以等边三角形的几何中心为圆心做匀速圆周运动（可简称为“正三角形”模型），三颗星运行周期相同.例2在宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；还有一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道上运行.设每个星体的质量均为m ，引力常量为G.（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；（2）假设两种形式星体的运动周期相同，求第二种形式下星体之间的距离应为多少？解析（1）第一种情况如图2a所示，三颗星位于同一直线上，其中一颗星受到另外两颗星的引力的合力提供向心力，以某一（这里选图2a中右侧）星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律有Gm2R2+Gm2（2R）2=mv2R，解得线速度v=5Gm4R，又由牛顿第二定律Gm2R2+Gm2（2R）2=m（2πT）2R，解得周期T=4πRR5Gm.（2）设在第二种形式中星体之间的距离为r （如图2b所示），由于星体做匀速圆周运动所需要的向心力由其它两个星体对它的万有引力的合力提供，则第二种情形下星体做匀速圆周运动的半径为R′时，相邻两星体间距离r=3R′，所以相邻两星体之间的万有引力为F=Gmm（3R′）2=Gm23R′2，由星体做匀速圆周运动可知3F=m（2πT）2R′，而且T=4πRR5Gm，由以上各式解得距离为r=3125R.4四星模型宇宙中存在一些离其他恒星很远的四颗星组成的四星系统.四星系统一般由四颗相距较近的恒星组成，和三星系统类似，也有两种最基本的构成形式：一种形式是四颗质量相等的星相对稳定地位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动（可简称为“正方形”模型）；另一种形式是三颗质量相等的恒星相对稳定地位于三角形的三个顶点上，环绕另一颗位于中心的恒星做匀速圆周运动（可简称为“三绕一”模型）.例3宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星相对稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点O做匀速圆周运动，引力常量为G.（1）求星体做匀速圆周运动的轨道半径r.（2）若实验观测得到星体的半径为R，求星体表面的重力加速度g.（3）求每个星体做匀速圆周运动的周期T.解析（1）如图3，由星体均围绕正方形对角线的交点O做匀速圆周运动很容易知道，星体做匀速圆周运动的轨道半径r=22a.（2）由万有引力的定律可知，在质量均为m的星体表面，对质量为m0的物体有Gmm0R2=m0g，则星体表面的重力加速度g=GmR2.（3）每颗星体都在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点O做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得Gm2（2a）2+2Gm2a2·cos45°=m·22a·4π2T2.解得星体做匀速圆周运动的周期为T=2πa2a（1+22）Gm.例4在宇宙中存在着-些远离其他恒星的四星系统，其中三颗恒星的质量相等且均为m，另-颗恒星的质量为M，万有引力常量为G.（1）分析说明四颗恒星应具备怎样的空间结构，才能处于相对稳定的状态？（2）若相邻两星体的最小距离为L，试求此情况下天体运动的周期？解析（1）如图4所示，质量相等的三颗恒星m位于等边三角形的三个顶点上，质量不同的另一颗恒星M位于正三角形的中心O，三颗恒星沿外接于等边三角形的圆形轨道同方向运行，即“三绕一”结构模型.这种对称的空间结构，使得质量相等的三颗恒星受到的万有引力的合力均指向同一圆心，而且中心位置的恒星始终处于受力平衡状态，整个系统处于相对稳定的状态.（2）由数学中的几何知识可知，质量相等的三颗恒星m做匀速圆周运动的半径r，就是相邻两个星体之间的最小距离L，即r=L，所以质量相等的恒星m之间的距离为3L，其匀速圆周运动的向心力由万有引力的合力提供，所以2Gm2（3L）2·cos30°+GMmL2=m4π2T2L，求得周期为T=2π3L3G（m+3M）.5点拨与小结5.1在双星系统中（1）“向心力等大反向”：要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源.双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供.由于力的作用是相互的，所以两子星做匀速圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小.（2）“周期、角速度相同”：要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的运动参量之间的关系.两子星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比.（3）要明确两子星做匀速圆周运动的动力学关系.设两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得M1：GM1M2L2=M1v21r1=M1r1ω21，M2：GM1M2L2=M2v22r2=M2r2ω22.在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离L不能代成两子星做匀速圆周运动的轨道半径r1、r2（一定要区分距离和轨道半径的不同）.5.2在三星系统中无论哪种运动模型都是利用其他两颗星对另一颗星的万有引力的合力提供它的向心力的方法解题，并转换成双星模型的问题.三星系统中的“二绕一”模型，圆轨道上两颗星的质量必须要相等，这两颗星分别所受的万有引力的合力提供各自的向心力，但一定要注意万有引力的作用距离与轨道半径的异同.三星系统中的“正三角形”模型，一定要明确轨道半径与距离的关系式，并正确列出每颗星所受万有引力的合力提供向心力的表达式，这也是求解问题的关键之处.5.3在四星系统中（1）“正方形”模型要求四个星体的质量必须相等才行，且其中任意一颗星分别受到其它三颗星对它的万有引力的合力提供它做匀速圆周运动的向心力.同样地，根据空间结构的示意图，是进行受力分析、理清轨道半径和距离、向心力和万有引力合力的前提和关键.（2）“三绕一”模型要求等边三角形三个顶点上的星体质量也必须相等，所以，画出空间结构的示意图和寻求轨道半径与星球间距离的关系也是确定星体做匀速圆周运动的向心力与万有引力的合力关系的关键之处.小结在求解多星系统问题时，要熟悉各自的运动模型；要能够根据空间结构示意图进行正确的受力分析，明确向心力是由哪些万有引力的合力来提供；要善于找准几何关系，寻找出轨道半径r与距离L的定量关系；要能熟练运用万有引力定律、牛顿运动定律、圆周运动等知识正确列出方程式，求出相应的物理量来.当然，从上面的例题也可以看出：双星模型起到了一个很好的示范作用，例2、例3、例4都可以看成是双星模型的应用、变式或者延伸.在高中物理学习中，象这样将一类问题糅合到一个典型问题中从而建立一个模型，对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的.。
宇宙多星系统模型
动旳周期之比
解析:(1)三颗星绕另一颗中心星运动时,其中任意一种绕行星球受 到另三个星球旳万有引力旳合力提供向心力,三个绕行星球旳向心 力一定指向同一点,且中心星受力平衡,因为星球质量相等,具有对 称关系,所以向心力一定指向中心星,绕行星一定分布在以中心星为 重心旳等边三角形旳三个顶点上,如图甲所示。
GLm2 2×2×cos 30°＝ma 向 其中 L＝2r cos 30°。 三颗行星运行的方向相同，周期、 角速度、线速度的大小相等。
【例3】 宇宙中存在某些离其他恒星较远旳、由质量相等旳 三颗星构成旳三星系统,一般可忽视其他星体对它们旳引力作 用。已观察到稳定旳三星系统存在旳一种形式是三颗星位于 等边三角形旳三个顶点上,并沿外接于等边三角形旳圆轨道运 营,其周期为T。设每个星体旳质量均为m, 万有引力常量为G,则星体之间旳距离应 为多少?
a2
( 2a)2
T22 2
解得T2
2
=
4(4
2)
7Gm
2
a3
④
故 T1 = (4 2)(3 3) 。
T2
4
(1)三星同线模型 ①如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位 置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位 于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行 星的引力提供向心力：Grm2 2＋G2mr22＝ma 向
两行星运营旳方向相同，周期、角 速度、线速度旳大小相等。
②如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处， 都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其 余两颗行星对其万有引力的合力来提供。
3GmT2
4 2
宇宙多星系统模型资料讲解
[解析] 设两颗星的质量分别为m1、m2，做圆周运动
的半径分别为r1、r2，根据万有引力提供向心力可得： Grm1＋1mr222＝m1r14Tπ22，Grm1＋1mr222＝m2r24Tπ22，联立解得：m1＋ m2＝4π2Gr1T＋2 r23，即T2＝4Gπ2mr11＋＋mr223，因此，当两星总质量
(5)双星的运动周期 T＝2π
L3 Gm1＋m2
(6)双星的总质量公式 m1＋m2＝4Tπ22GL3
[典例 1] 冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，它们的质量
比约为 7∶1，同时绕它们连线上某点 O 做匀速圆周运动．由此可知
卡戎绕 O 点运动的 ( )
CD
A．角速度大小约为冥王星的 7 倍
B．向心力大小约为冥王星的 1/7 C．轨道半径约为冥王星的 7 倍
T22 2
解得T2=2
4(4④ 2) 2a3
7Gm
故 T1 = (4 。 2)(3 3)
T2
4
(1)各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
GmL12m2＝m1ω1 2r1，GmL12m2＝m2ω2 2r2
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
(4)两颗星到圆心的距离 r1、r2 与星体质量成反比，即mm12＝rr21
做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过
程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某
双星系统中两星做圆周运动的周期为 T，经过一段时间演
化后，两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的距离变为
原来的 n 倍，则此时圆周运动的周期为
()
n3
专题3 天体运动的常见模型
A.黑洞A的向心力大于B的向心力
B.黑洞A的线速度大于B的线速度 C.黑洞A的质量大于B的质量
D.两黑洞之间的距离越大,A的周期越小
关键能力 · 突破
栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放； 只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题
审题关键 (1)黑洞A的向心力的来源与黑洞B的向心力来源有什么关系? 提示:是一对相互作用的万有引力 (2)要想保证二者稳定的圆周运动必须有什么确定的关系? 提示:共面、同心圆且角速度必须相等
Gm1m2 L2
=m1
ω12r1,
Gm1m2 L2
=
m2 ω22 r2。
(2)两颗星的周期及角速度都相等,即T1=T2,ω1=ω2。
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L。
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比,即m1 =r2 。
m2 r1
关键能力 · 突破
(5)双星的运动周期T=2π
知m<6.25,m可取7个值,故在b转动一周的过程中,a、b、c共线14次,选项D正
确,C错误。
关键能力 · 突破
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2.[相距最近](2020江西上饶六校联考)当地球位于太阳和木星之间且三者几 乎排成一条直线时,称之为“木星冲日”,2017年4月7日出现了一次“木星冲 日”。已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆 周运动,木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。则下列说法正确 的是( B ) A.下一次的“木星冲日”时间肯定在2019年 B.下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年 C.木星运行的加速度比地球的大 D.木星运行的周期比地球的小
天体运动的双星和多星问题解析
天体运动的双星和多星问题解析天体运动的双星和多星随着天体演化论的建立和完善，人们从天文观测中获得了许多有关双星和多星系统的知识。
双星或多星系统所呈现出来的各种复杂的运动，主要受这些天体之间相互作用的影响，其研究内容十分丰富。
本文仅就这些年发现的较重要的双星问题做一些探讨。
1.太阳系成员双星问题解析例2。
天琴座RR型变星(RRCator)也称为周期为半年至数百天的周期性变星。
根据它们光变周期的长短可以把它们分成两大类：长周期的以恒星和白矮星为主，短周期的以主序星为主。
其中长周期的又分为三个子类： a.椭圆形变星：由于温度的周期性变化而引起光度的周期性变化； b.光谱分类：根据恒星的谱线和光变周期的特点将它们分成三类； c.光谱分类不能确定的：它们往往在光度上有显著的变化。
2。
双星系统共同特征问题解析例3。
河系示意图显示，横坐标表示相对大小，纵坐标表示光变周期。
横坐标右边的弧是近日点，近日点光变周期随距离增大而逐渐减小；纵坐标左边的弧是远日点，远日点光变周期随距离增大而逐渐增大。
根据河系演化示意图和上述对河系演化规律的分析，可得到如下几点结论：(1)当距太阳较远时，由于天体的演化使恒星向红巨星或红超巨星演化；当恒星向红巨星演化时，河系扩张迅速，星体的温度较高，化学元素稳定性强，导致对流和恒星风的活动不剧烈。
而且“星星”和“太阳”还是一对双星，即多星，其主星和伴星还有重合的现象。
它们的特点是两星的亮度有很大的差异，从一星看是很暗的“点”，从另一星看则是很亮的“点”，因此它们既有双星的共性，又具有独特性。
这对星系将来是否会发生碰撞？应该说可能性是存在的，但希望渺茫。
“北落师门”是最有可能的系外双星之一。
“北落师门”，在天球上位于南鱼座的一个不起眼的小星系。
它与银河系之间的距离大约是100万光年。
尽管这个小星系在尺度上只是银河系的百万分之一，但它却是一颗相当重要的恒星——南鱼座“北落师门”星是双星，两子星相距约9光年。
模型 双星或多星模型(解析版)
模型双星或多星模型学校：_________班级：___________姓名：_____________模型概述1.双星问题(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即G m 1m 2L 2=m 1ω21r 1,G m 1m 2L2=m 2ω22r 2.②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1=T 2,ω1=ω2.③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r 1+r 2=L .④两星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2=r 2r 1.⑤双星的运动周期T =2πL 3G (m 1+m 2).⑥双星的总质量m 1+m 2=4π2L 3GT 22．多星模型：所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度、周期相同。
常见的多星模型及其规律：Gm 2(2R )2+GMmR2=ma 向Gm 2L2×cos30°×2=ma 向Gm 2L 2×cos45°×2+Gm 2(2L )2=ma 向Gm 2L2×cos30°×2+GMmL 32=ma 向典题攻破1.双星问题1.(2024·重庆·高考真题)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a 、b 两个天体的质量均为M ，相距为2r ，其连线的中点为O ，另一天体(图中未画出)质量为m (m <<M )，若c 处于a 、b 连线的垂直平分线上某特殊位置，a 、b 、c 可视为绕O 点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。
引力常量为G 。
则()A.c 的线速度大小为a 的3倍B.c 的向心加速度大小为b 的一半C.c 在一个周期内的路程为2πrD.c 的角速度大小为GM8r 3【答案】A【详解】D ．a 、b 、c 三个天体角速度相同，由于m <<M ，则对a 天体有G MM(2r )2=Mω2r 解得ω=GM4r 3故D 错误；A ．设c 与a 、b 的连线与a 、b 连线中垂线的夹角为α，对c 天体有2G Mmrsin α2cos α=mω2rtan α解得α=30°则c 的轨道半径为r c =rtan30°=3r由v =ωr ，可知c 的线速度大小为a 的3倍，故A 正确；B ．由a =ω2r ，可知c 的向心加速度大小是b 的3倍，故B 错误；C ．c 在一个周期内运动的路程为s =2πr =23πr 故C 错误。
专题：天体运动的三大难点破解3 剖析宇宙中的双星、三星模型(讲义)
重点：1. 根据万有引力定律求解双星、三星模型的周期，线速度等物理量；2. 双星、三星两种模型的特点。
难点：双星、三星模型的向心力来源。
一、双星模型绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如下图，双星系统模型有以下特点：〔1〕各自需要的向心力由彼此间的万有引力互相提供即221L m Gm ＝m 1ω21r 1，221L m Gm ＝m 2ω22r 2； 〔2〕两颗星的周期及角速度都一样即T 1＝T 2，ω1＝ω2；〔3〕两颗星的半径与它们之间的间隔 关系为r 1＋r 2＝L ；〔4〕两颗星到圆心的间隔 r 1、r 2与星体质量成反比即1221r r m m =； 〔5〕双星的运动周期T ＝2π)(213m m G L +；〔6〕双星的总质量公式m 1＋m 2＝GT L 2324π。
二、三星模型第一种情况：三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星〔静止不动〕在同一半径为R 的圆轨道上运行。
特点：1. 周期一样； 2. 三星质量一样； 3. 三星间距相等；4. 两颗星做圆周运动的向心力相等。
原理：A 、C 对B 的引力充当向心力，即：，可得：GmR T 543π=，同理可得线速度：R Gm R 25。
第二种情况：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行。
特点：1. 运行周期一样； 2. 半径一样； 3. 质量一样； 4. 所需向心力相等。
原理：B 、C 对A 的引力的合力充当向心力，即：r Tm R Gm F 2222430cos 2π==︒合，其中R r 33=，可得：运行周期GmRR T 32π=。
例题1 如图，质量分别为m 和M 的两颗星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间间隔 为L 。
A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。
引力常数为G 。
〔1〕求两星球做圆周运动的周期。
〔2〕在地月系统中，假设忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1。
天体运动中“双星”及“多星”问题探析
体的相对位置必须保持不变 ， 即双星 和某 一
固定 中心点 总 保 持 三 点 共 线 ， 所 以在 相 同 时
种 是 三颗 星 位 于 同一 直 线上 ， 两颗 星 围 绕
间 内转 过 的角 度 必 相 等 ， 即 双 星做 匀 速 圆 周 运动 的角速 度必 相 等 ， 因此周 期 也必 然相 同．
问题 ， 有助于培养提 高我们构建 、 运用物理模 型
和综合分 析问题 的能力 ， 有利于开 阔视 野、 拓展
鸯解 析 如图２ ／ ／ 一 ～ 、 、 、 、 、
≯ ， ， ～ 、 、
思维 这些 问题尽管设 计的角度有所不 同 ， 但解
决 问题 的思维方法是基本一致 的．
解 得 周 期 ＝ ２ 口 √
综 上分 析 ， 解决 天体 运 动 中“ 双 星” 及 “ 多星 ” 问题 ， 基本思路很清 晰： 一 要 明确 星
系构成 情 形 ， 画 出情 景 图 ； 二 要 选 定 研 究 对
√
三 、四星 系统
分 析 向心 力来 源并 定量 表示 合外 力 ； 三 要 例 ３ 假 设 宇 宙 中存 在 一 些 质 量相 象 ， 根据 Ｆ 合＝Ｆ 向列 式 ； 四要 结 合 其 它 相关 条 件 等 且 离其他 恒星较 远 的四颗 星组 成 的四 星 系 和关 系 ， 联立 方 程组求 出解 未知 量．
在 天文 学上 把两 个
＿ ／ 一 一 ’ 、 ．
Ｒ１＋Ｒ２＝
相距 较近 、 由于彼此 的 ／ ， ， ／ 一’ 、 ‘ 、 引力作用而沿轨道互相 …一 ， …一 － ｒ …
绕转 的恒 星 系 统称 为 双 ． 、 、
星系统， 如 图 １所 示． 、 、 、
6.4.2多星系统
根据角速度与周期的关系有 ω1＝ω2＝2Tπ⑥
联立③⑤⑥式解得 m1＋m2＝4GπT2r23.
三、多星系统
多星系统：几个质量相当的天体，在相互的万有引力的作用下，绕某点长期稳
定地做匀速圆周运动。 常见模型 ： 一条线模型 三角形模型
四边形模型
特点：
⑴各天体做圆周运动有一个共同的圆心，且圆心为几个天体的质心。
A. m1、m2做圆周运动的角速度之比为3：2 B. m1、m2做圆周运动的线速度之比为2：3 C. m1做圆周运动的半径为3/5 L D. m2做圆周运动的半径为 3/5 L
【例 2】已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀
速圆周运动，周期均为 T，两颗恒星之间的距离为 r，试计算这个双星系统的总质
量．(引力常量为 G)
解：设两颗恒星的质量分别为 m1、m2，做圆周运动的半径
分别为 r1、r2，角速度分别是ω1、ω2.根据题意有
ω1＝ω2① r1＋r2＝r②
根据万有引力定律和牛顿运动定律，有
Gmr1m2 2＝m1ω21r1③
联立以上各式解得 r1＝m1m＋2rm2⑤
Gmr1m2 2＝m2ω22r2④
T 2
L3 G(M1 M2 )
【例1】经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”由两颗 相距较近的恒星组成，每颗恒星的半径远小于两颗恒星之间的距离，而且双星系统 一般远离其他天体．如图，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下， 绕连线上某﹣定点O点做匀速圆周运动，现测得两颗星球之间的距离为L，质量之比 为m1：m2=3：2，则可知（ BD）
m2r
图乙：2Gm2 r2
Gm2 4r 2