粘性流体力学

11
式中 k ? 0.435，在外层：
?lm ?o ? 0.09?
(6－44）
c、根据上述公式在管流中
u1
?
u1 max
时，?u1
?x2
?
0
，那么，
? t12 ? 0 ，而事实上 ? t12 ? 0 ，为此Prandtl 提出修正：
1
? t12
?
? lm2
?? ?? ???
du1 dx1
2
? ? ?
? t ? u1?lm
混合长度lm类比于气体分子运动的自由行程，在 lm一段
特征长度之内湍流微团保持自己的动量不变。
6
图6－6 混合长度与脉 动速度
对于图中二维不可压定常湍流：
u?x2 ? l ?? u?x2 ?? u?x2 ? l ?
假设微团从?x2 ? l?或 ?x2 ? l ?运动至 x2，对于 x2 来讲，
?
l12
? ? ?
d 2 u1 dx2 2
对三维流动
? ? u1?u2? ?
?t
? u1 ?x2
?
??
t
? u1 ? x2
?
ui?u
?
j
?
?t
Dij
?
?t
? ???
?ui ?xj
?
?uj ? xi
? ???wenku.baidu.com?
2? t Sij
(6 －34） (6 －35）
3
应力张量表示
?ij ? ? p?ij ? ?? ? ?? t ?Dij
(6 －36）
为? t是个标量。在一般情况下，当 i=j时
? ui?ui? ?
? 2k
?
2? t
?ui ?xi
(6 －37）
4
式中k为湍动能 (k
?
1 2
ui?ui?)
?ui ? 0 ?xi
那么 ? ui?ui? ? 0
，如果? t 是一个标量，
，而实际上
? ui?ui? ?
?
2 3
k
。
为此Boussinesq 修正（6－35），提出对于三维湍流
8
图6－7 u2?的产生
认为
u
?
2
?
常数 ?
l
?
d u1 dx2
?12
?
?
?
u1?u
?
2
?
?lm 2
du1 dx2
du1 dx2
(6－39）
9
?t
? lm2
du1 dx2
(6－40）
根据实验研究可以得到以下几点：
a、由试验得到的 lm ，不象假设的那样为流体微团的 尺寸，而是与流动的平均尺度一样的量级。
? ui?u j? ?
?
2 3
k? ij
??t
Dij
(6－38）
Townsend.A.A 测得在圆柱尾迹的充分湍流区，
?t
?
0.0164U
0d
,(
U
是来流速度，
0
d是圆柱直径）。
Hinze J.O. 在空气的圆截面射流中测得 ? t ? 0.0116U pd
（UP是射流入射速度， d是射流孔径）。当 UP＝40m/s ，
雷诺统计模式以大量的试验观测为基础，通过量纲分析、 张量分析和其他手段，包含合理的推理和猜测，提出假设， 建立模型，然后与试验对比，进行进一步的修正和精确化。 迄今为止的湍流模拟没有一个是建立在完全严密的理论基础 上，因此也称之为湍流的半经验理论。目前虽然没有建立适 用于任何流动条件的通用湍流模式的前景，但针对各种具体 流动，已成功地发展了一些模型，它们在工程技术应用中发 挥着越来越大的作用。
u2? ? 0，也就是说 u1? 和 u2?是异号的。
还可以认为
u
?
2
~
u1?，这是因为当
?x2
?
l ?处的微团
到达点 x2 时，恰巧在 ?x2 ? l ?微团的左边时，就会产
生碰撞，而产生横向运动 u1? ，这样 u2? ~ u1? 。同样,
当两个微团到达 x2 点时向相反运动时，周围的微团会 向中间补充也会产生 u 2?。
其中： ?t湍流动力粘性系数，或称涡旋粘性系数，?t ? ??t 是湍流运动粘性系数。
上述假设所以能提出是基于对湍流脉动引起的动量
交换与气体分子运动引起的粘性切应力进行简单的类比
的结果。对于 ? 一般在定温下可认为是常数，但 ? t不
是常量，因为湍流的动量交换取决于湍流的平均运动。
流动只在一个方向上有明确的速度梯度时，可以认
d=25mm，则? t ? 0.0116 m2 / s 大约是空气 ? 的1000倍。
5
（2）混合长度理论
Prandtl混合长度理论依然从 Boussinesq的假设 出发，对于二维湍流，令：
?t
?
??
t
? u1 ?x2
式中 ? t 为湍流雷诺切应力，并 ? t 认为与湍流的脉动
速度与混合长度 lm的乘积成正比
目前的湍流统计模式主要有两类 :湍流涡粘模式和雷诺应 力模式。
2
1、湍流涡粘模式
涡粘模式理论是目前工程中常用的模式，它的表达 式和分子粘性类似，因此比较容易将 N－S方程数值解 法推广到雷诺平均方程的计算中来。
(1)、涡粘性模型
布西内斯克（ Boussinesq J.,1877 ）提出二维湍流 的雷诺应力与粘性应力作用相似的假设，即局部的雷 诺应力与平均速度梯度成正比：
第六章 湍流基本理论
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
湍流的基本特征和统计平均方法 湍流连续方程和雷诺方程 湍流能量方程 雷诺平均统计模式 湍流的相关函数和谱分析 拟序结构 湍流大涡数值模拟
1
第四节 雷诺平均统计模式
在雷诺方程中的不封闭量是雷诺应力，因此统计模式的 目标是封闭雷诺平均方程，建立足够的雷诺应力方程组（代 数的、微分的或一般泛函形式的）使得平均运动方程可解。
(6－42）
式中o表示外层， ? 1 ? 0.075 ~ 0.09，? 2 ? 0.06 ~ 0.075 ，
? 为间隙因子。
Van Driest （1959）年提出在内层：
? ?
??
?lm ?i
?
kx2 ?1 ? ?
exp? ? ?
x2
?? ?
25.3v
???? ?? ??
??
??
????
(6－43）
b 、lm 不是空间常数 。在边界层中根据尼古拉兹和 Klebanoff 试验，在内层（壁面区）
?lm ?i ? kx2
?? t ?i ? kx2v*
式中i表示内层， k=0.40~0.41，v* ?
阻力。
(6－41）
?w ?
,
?
w是壁面摩擦
10
在边界层的外层（核心区）：
?lm ?o ? ? 1? ?? t ?o ? ? 2? v *?
脉动速度
u2? ? 0
或
u
?
2
?
0
，
7
u1 ?x2
?
l ??
u1 ?x2
??
l
du1 (x2 ) dx2
x? x2
?
... ?
...
? ? ? u1
?
u1 ?x2
?
l ??
u1 ?x2
??
l
d u1 dx2
由于u1? ~ ? u1, 所以微团从 ?x2 ? l? 运动到 x2 时 u1? ? 0,