两体质心公式与应用
物理天体双星问题公式
物理天体双星问题公式开放双星是指天体之间没有重力束缚，可以相对自由地移动。
这种情况下，可以使用开放双星的质心系来研究双星的运动。
质心系是指一个惯性系，该系的原点位于两个天体的质心位置。
在质心系中，可以将双星系统化简为一个天体围绕另一个天体运动的单星系统。
开放双星的运动可以利用牛顿运动定律和万有引力定律来描述。
假设双星的质量分别为m1和m2，位置向量分别为r1和r2，速度向量分别为v1和v2、根据牛顿二定律，可以得到双星的运动方程：m1 * d²r1/dt² = G * m1 * m2 * (r2 - r1) / ，r2 - r1，³m2 * d²r2/dt² = G * m1 * m2 * (r1 - r2) / ，r1 - r2，³其中G是万有引力常数。
封闭双星是指天体之间存在重力束缚，它们围绕共同质心作圆周运动。
这种情况下，可以利用角动量守恒和质量守恒来研究双星的运动。
假设双星的质量分别为m1和m2，角速度分别为ω1和ω2，距离质心的投影分别为r1和r2、根据角动量守恒，可以得到：m1*r1²*ω1=m2*r2²*ω2根据质量守恒，可以得到：m1*r1=m2*r2结合以上两个方程，可以求解出r1和r2关于m1、m2、ω1和ω2的表达式。
这样，就可以得到封闭双星的运动规律。
除了以上研究开放双星和封闭双星的公式之外，还可以利用能量守恒和动量守恒来研究双星问题。
根据能量守恒和动量守恒，可以得到双星系统的综合方程，从而求解出双星的运动状态。
总之，物理天体双星问题涉及到多个物理量之间的相互关系和相互作用。
通过运用牛顿运动定律、万有引力定律、角动量守恒、质量守恒、能量守恒和动量守恒等原理和公式，可以研究双星的运动规律，揭示天体的行为和性质。
质心坐标计算公式m1r1
质心坐标计算公式m1r11. 质心坐标计算公式的基础概念。
- 在物理学中，对于由多个质点组成的系统，质心是一个非常重要的概念。
它可以看作是整个系统质量分布的平均位置。
- 对于两个质点组成的系统，设质点1的质量为m_1，位置矢量为→r_1，质点2的质量为m_2，位置矢量为→r_2，则质心的位置矢量→r_cm的计算公式为→r_cm=(m_1→r_1 + m_2→r_2)/(m_1 + m_2)。
这里m_1→r_1只是质心计算公式中的一部分。
2. 以m_1r_1为基础的推导（以两个质点为例）- 当我们只看公式中的m_1→r_1这一项时，它在质心计算中的意义重大。
- 假设在x - y平面上，→r_1=(x_1,y_1)，m_1→r_1=(m_1x_1,m_1y_1)。
- 在计算质心的x坐标x_cm时，x_cm=(m_1x_1 + m_2x_2)/(m_1 + m_2)，其中m_1x_1就是m_1→r_1在x方向上的分量（这里→r_1=(x_1,y_1)）。
- 同理，对于y坐标y_cm=(m_1y_1 + m_2y_2)/(m_1 + m_2)，m_1y_1是m_1→r_1在y方向上的分量。
3. 多个质点的情况。
- 对于n个质点的系统，质心位置矢量→r_cm的计算公式为→r_cm=frac{∑_i = 1^nm_i→r_i}{∑_i = 1^nm_i}。
- 这里m_i→r_i类似于m_1→r_1，在求和计算中共同确定质心的位置。
例如在三维空间中，→r_i=(x_i,y_i,z_i)，m_i→r_i=(m_ix_i,m_iy_i,m_iz_i)，质心的x坐标x_cm=frac{∑_i = 1^nm_ix_i}{∑_i = 1^nm_i}，y坐标y_cm=fra c{∑_i = 1^nm_iy_i}{∑_i = 1^nm_i}，z坐标z_cm=frac{∑_i = 1^nm_iz_i}{∑_i = 1^nm_i}。
两质点质心公式
两质点质心公式在物理学中，两质点质心公式可是个重要的家伙呢！咱们先来说说啥是质心。
质心啊，简单来说，就是可以代表几个质点整体位置的一个点。
想象一下，有两个质点在空间里飘着，就像两个调皮的小精灵，一个质量大些，一个质量小些。
那它们的质心位置就不是随便定的，而是有规律可循，这规律就藏在两质点质心公式里。
两质点质心公式是这样的：假设两个质点的质量分别是 m1 和 m2，它们的位置坐标分别是 (x1, y1, z1) 和 (x2, y2, z2)，那么质心的坐标(x_c, y_c, z_c) 就可以通过下面的式子算出来：x_c = (m1 * x1 + m2 * x2) / (m1 + m2)，y_c = (m1 * y1 + m2 * y2) / (m1 + m2)，z_c = (m1 * z1 +m2 * z2) / (m1 + m2) 。
我给您讲个事儿吧，有一次我带着学生们在操场上做一个有趣的实验。
我们把两个篮球当作质点，一个篮球大点儿重点儿，另一个小点儿轻点儿。
我们在操场上标记好了坐标，然后让同学们根据公式来计算这两个“质点”篮球的质心位置。
一开始，同学们都有点懵，看着公式直发愣。
但是慢慢地，大家开始动手测量篮球的位置，认真计算起来。
有个小同学，算错了好几次，急得直挠头，小脸都憋红了。
我就过去引导他，一步步检查计算过程，终于让他算出了正确结果，那高兴劲儿，就像解开了一道超级难题一样。
这两质点质心公式在实际生活中的应用可不少。
比如说，在工程设计中，要考虑两个物体的重心平衡，就得用到它；在天体物理学里，研究两个天体的共同质心，也离不开这个公式。
再比如，在汽车制造中，发动机和车身的质量分布对车辆的操控性能有很大影响。
通过两质点质心公式，工程师们可以精确计算出质心的位置，从而优化汽车的设计，让车子开起来更稳、更舒适。
还有在物流运输中，如果要把两个不同重量的货物放在一起运输，为了保证运输的平稳和安全，也得算出它们的质心位置，合理安排摆放方式。
两体薛定谔方程 质心分离
两体薛定谔方程质心分离一、质心坐标系在两个质点组成的系统中，我们可以用一个假想的坐标系来描述它们的相对位置。
这个坐标系的原点是两质点的质心，坐标轴分别与两质点的运动方向平行。
在这个坐标系中，我们可以方便地描述两个质点的相对位置和速度。
二、质心运动方程在质心坐标系中，两质点的运动可以用一个运动方程来描述。
这个方程是：d²r/dt² = -k*r其中，r 是两质点之间的距离，t 是时间，k 是常数。
这个方程描述了质点之间的引力作用，也被称为两体问题。
三、相对运动方程在相对坐标系中，我们可以描述两个质点的相对位置和速度。
相对运动方程可以表示为：d²x/dt² = -k*x其中，x 是相对距离，t 是时间，k 是常数。
这个方程描述了相对距离的变化率。
四、相对坐标系在相对坐标系中，我们可以将两个质点的位置表示为相对距离和相对角度。
这个坐标系可以方便地描述两个质点的相对位置和速度。
五、相对运动波动方程在相对坐标系中，我们可以得到相对运动波动方程。
这个方程可以描述两个质点之间的相对运动如何随着时间变化而变化。
六、分离变量法分离变量法是一种求解偏微分方程的方法。
通过将方程中的变量分离，我们可以将原方程化为一组常微分方程，从而简化计算并得到解析解。
在两体薛定谔方程中，我们可以使用分离变量法来求解相对运动波动方程。
七、分离变量法的应用分离变量法的应用范围非常广泛，包括物理、化学、生物等多个领域。
在两体薛定谔方程中，我们可以使用分离变量法来求解相对运动波动方程，从而得到系统的能量本征函数和能量本征值。
这些结果可以用于描述系统的波函数和概率分布。
八、分离变量法的局限性虽然分离变量法可以简化计算并得到解析解，但是它也有一些局限性。
例如，分离变量法可能无法适用于某些复杂的系统或者没有解析解的情况。
此外，分离变量法也需要对系统的边界条件进行严格的限制。
因此，在使用分离变量法时需要谨慎考虑其适用性和局限性。
数学二质心公式参数方程
数学二质心公式参数方程质心是物体的一种特殊点，它可以用来描述物体的平衡状态，也可以用来计算物体的重心。
在平面几何中，我们可以通过数学公式来计算二维平面图形的质心，这个公式就是数学二质心公式。
数学二质心公式是一个基础的几何公式，它可以用来计算平面图形的质心坐标。
在二维平面中，一个点的坐标可以用两个参数来表示，因此数学二质心公式可以用参数方程的形式来表示。
对于一个平面图形，我们可以将它分成若干个小区域，然后对每个小区域的面积和质心进行计算，最后将它们的加权平均值作为整个图形的质心坐标。
具体来说，假设我们要计算一个平面图形的质心坐标，它的参数方程为：x = f(t)y = g(t)我们可以将这个图形分成若干个小区域，第i个小区域的面积为Ai，质心坐标为(xi, yi)。
我们可以通过以下公式来计算每个小区域的面积和质心坐标：Ai = 1/2 ∫[ti, ti+1] (y(t) x'(t) - x(t) y'(t)) dtxi = 1/Ai ∫[ti, ti+1] (x(t) + x(ti)) (y(t) x'(t) - x(t) y'(t)) dtyi = 1/Ai ∫[t i, ti+1] (y(t) + y(ti)) (y(t) x'(t) - x(t) y'(t)) dt其中x'(t)和y'(t)分别表示f(t)和g(t)的导数。
通过以上公式，我们可以得到整个平面图形的质心坐标，从而可以用这个坐标来描述这个图形的平衡状态。
总结数学二质心公式参数方程是一个用来计算平面图形质心坐标的基础公式，它可以通过将图形分成若干个小区域来进行计算。
通过这个公式，我们可以更加深入地了解平面图形的性质，从而更好地应用于实际问题中。
考研数学定积分物理应用公式
考研数学定积分物理应用公式？
答：考研数学定积分物理应用公式包括：
1. 变力做功：∫(从a到b) F(x) dx，其中F(x)是变力，a和b分别是初位置和末位置。
2. 质心公式：∫(从a到b) xρ(x) dx / ∫(从a到
b) ρ(x) dx，其中ρ(x)是线密度，用于求细棒的质量中心。
3. 引力公式：∫(从a到b) km1m2/r^2 dr，用于求两质点间的引力，其中k是引力常数，m1和m2是两质点的质量，r是两质点间的距离。
4. 压力公式：P = pA，其中p是压强，A是面积。
5. 液体静压力：∫(从h1到h2) ρgh dA，其中ρ是液体密度，g是重力加速度，h是液体深度，dA是水平面积微元。
6. 旋转体体积：∫(从a到b) π[f(x)]^2 dx，其中f(x)是旋转曲线的函数表达式。
7. 液体对侧壁的压力：∫(从a到b) 2πxlρg dx，其中l是液体高度，ρ是液体密度，g是重力加速度。
8. 物体在液体中所受的浮力：∫(从a到b) ρVg dx，其中ρ是液体密度，V是物体体积，g是重力加速度。
9. 物体绕定轴旋转的转动惯量：∫(从a到b) r^2 dm，其中r是物体上各点到转轴的距离，dm是物体上的质量微元。
10. 细棒对过端点且与棒垂直的轴的转动惯量：∫(从0到l) (1/3)ml^2 dx = (1/3)ml^2。
以上是考研数学定积分物理应用的一些常见公式。
希望这些信息对您有帮助，如果您还有其他问题，欢迎告诉我。
2-(4)质心
i c
x 质心位置是质点位置以
质量为权重的平均值。
二.几种系统的质心 ● 两质点系统 m2 m1 C
·r
●
×
1
r2
·
m1 r1 = m2 r2
连续体
dm
z r rc
0
×C
m
r dm rC m
xdm xC
y
x
……
m
圆环、球，质心为其几何中心。 均匀杆、圆盘、 ● “小线度”物体的质心和重心是重合的。 求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 [例]如图示， 解： 由对称性分析，质心C应在x轴上。
m x m
i i
ydm dm
zc
zdm dm
若一个物体由A、B两部分组成，依质心xyz方向表达式 分别改写为
Xc
i
A
m i x i B m i x i
A
m i B m i
A mi xi B mi xi mA mB X A c m A X B c mB mA mB Xc m A mB m A mB
F地月 k 地
m月 r月
2
F月地 k月
m地 r地
2
根据牛顿第三定律，由以上两式得
k月 k地 m 地 m月
其比值应是一个与地球和月球都无关的普适常数，设 其为G,有
k 地 Gm地 k月 Gm月
于是，地、月之间的引力为
F G
m 地 m月 r
2
普适的万有引力定律则可描述为
F G
质点系分动量守恒
则 若合外力分量为0，
相应的质心分速度不变
06质心
18
S
mi
Fi
S′
×
d A外 Fi d ri
vC
O
ri ri′ O′ rO′
·
vo′= vC
Fi d ri Fi d rO d A外 ( Fi ) d rC
d A外 d EkC
· ·
m220
两质点系统在其 总是具有 质心系中， 等值、反向的动量。
12
§6.3 质心系中的角动量定理
一.质心系中的角动量 i F i O 是惯性系中的一个定点 z mi C 是质心兼质心坐标系原点 ri ri C C 对质心 L ri ( miv ) i
O″ C
质心坐标为：
O′
r
xCO
·
d
r
x
挖空
d r 0 xC R 2 r 2
2
d
R / r
d
2
1
6
§6.2 质心运动定理 （theorem of motion of center of mass）
一. 质心运动定理 z
C×
c c i
vC
行星运行周期的平方与圆轨道半径的立方成正比。
解：设 太阳 ms，行星 m，m绕ms轨道半径a，相对速率v，
ms m ms m ms m v2 以太阳为参照系，对行星牛二： G 2 a a 2 a 周期与速度关系 T v 4 2 2 3
周期T。两体问题。化成单体问题，折合质量。
§6.5 两体问题
两物体在相互作用下的运动问题称两体问题， 如： 粒子被原子核散射，行星绕太阳运动等。 这类问题可简化为单体问题处理。 m1 设质点间的作用力为中心力， f1 r 2 m2 d r1 r1 ˆ m1 f ( r )r （1） 2 dt f2 r2 2 d r2 ˆ m2 f ( r )r （2） O dt2 惯性系中的固定点
求质心坐标的公式
求质心坐标的公式质心是一个几何上的概念，表示一个物体的重心或平均位置。
在数学和物理学中，求质心坐标的公式可以用来计算一个物体的质心在坐标系中的位置。
质心坐标公式如下：质心坐标= (Σ(xi * mi) / Σmi, Σ(yi * mi) / Σmi)其中，xi和yi分别是物体上每个点的坐标，mi是每个点的质量。
质心坐标公式的推导可以通过以下步骤进行：1. 将物体分割成无数个微小的质量元素，每个质量元素的质量为dm。
2. 假设每个质量元素的坐标为(x, y)，则质心坐标为(X, Y)。
3. 根据牛顿第二定律和牛顿第三定律，可以得到每个质量元素的受力和受力矩的关系。
4. 对于平衡状态下的物体，质心的受力和受力矩都为零，即ΣF = 0，Στ = 0。
5. 根据受力和受力矩的关系，可以得到以下两个方程：ΣF_x = Σdm * ax = 0ΣF_y = Σdm * ay = 0Στ = Σdm * (x * ay - y * ax) = 0其中，ax和ay分别是质量元素在x和y方向上的加速度。
6. 根据上述方程，可以得到以下关系：Σ(x * dm) = 0Σ(y * dm) = 0Σ(x * y * dm) = 07. 将质心坐标表示为(X, Y)，可以得到以下公式：X = Σ(xi * mi) / ΣmiY = Σ(yi * mi) / Σmi通过上述公式，我们可以计算一个物体的质心在坐标系中的位置。
质心坐标的应用非常广泛。
在物理学中，质心坐标可以用来计算物体的平衡位置，分析物体的运动和旋转。
在工程学中，质心坐标可以用来设计平衡和稳定的结构。
在生物学中，质心坐标可以用来研究动物的运动和行为。
在地理学中，质心坐标可以用来确定地理区域的中心位置。
总结起来，求质心坐标的公式是一个重要的数学工具，在物理学、工程学、生物学和地理学等领域都有广泛的应用。
通过计算质心坐标，我们可以得到一个物体的重心或平均位置，从而更好地理解和分析物体的特性和行为。
双星系统的角速度公式
双星系统的角速度公式双星系统是由两颗星体相互围绕质心运动的天体系统。
在该系统中，每个星体都对另一个星体施加引力作用，使两个星体的运动状态相互影响。
角速度是描述旋转或转动的速度的物理量，在双星系统中也有其相应的角速度公式。
首先，我们需要了解双星系统的质心和规约角速度的概念。
质心是指双星系统中两颗星体质量加权平均后的位置，规约角速度是指双星系统围绕质心旋转的角速度。
质心公式可以表示为：\[ r = \frac {m_1 \cdot r_1 + m_2 \cdot r_2}{m_1 + m_2} \]其中，m1和m2分别是两颗星体的质量，r1和r2分别是它们相对于质心的位置矢量。
而规约角速度公式可表示为：\[ \omega = \sqrt{\frac {G \cdot (m_1 + m_2)}{r^3}} \]其中，G为引力常数。
这个公式的推导可以从牛顿运动定律出发。
根据牛顿定律，两个星体的引力相互作用可写为：\[ F = \frac {G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} \]其中，F为引力大小，m1和m2为星体的质量，r为星体之间的距离。
另一方面，质心受到的合外力为0，所以在两个星体之间的引力产生的合外力为0. 由此可得：\[ m_1 \cdot a_1 + m_2 \cdot a_2 = 0 \]其中，a1和a2分别为两个星体的加速度。
在双星系统中，质心和星体之间的力无外力 torque，并且绕质心的合力矩为0。
所以我们可以得出：\[ m_1 \cdot a_1 \times r_1 + m_2 \cdot a_2 \times r_2 = 0 \]其中，×表示向量叉乘。
由于等式左侧可以表示为角动量L，即：\[ L = m_1 \cdot a_1 \times r_1 + m_2 \cdot a_2 \times r_2 \]通过代入质心公式，可得：\[ L = (m_1 \cdot r_1 + m_2 \cdot r_2) \times (m_1 \cdot v_1 +m_2 \cdot v_2) \]其中，v1和v2分别为两个星体相对于质心的速度。
形心和质心的计算公式
形心和质心的计算公式形心和质心是两个在物理和几何中常用的概念。
形心（centroid）通常用于描述一个几何体（如平面图形或立体体积）的几何中心，它可以看作是几何体各个部分的平均位置。
质心（center of mass）是一个物体内各个质点的加权平均位置，根据质量分布确定。
下面是形心和质心的计算公式：1. 形心的计算公式：对于一个平面图形，形心的计算公式为：x = (x₁+ x₂+ x₃+ ... + xₙ) / ny = (y₁+ y₂+ y₃+ ... + yₙ) / n其中，(x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ) 是图形上的各个点的坐标，n 是点的数量。
对于一个立体体积，形心的计算公式类似，只是在三维空间中进行计算：x = (x₁+ x₂+ x₃+ ... + xₙ) / ny = (y₁+ y₂+ y₃+ ... + yₙ) / nz = (z₁+ z₂+ z₃+ ... + zₙ) / n2. 质心的计算公式：对于一个物体，质心的计算公式为：x = (m₁x₁+ m₂x₂+ m₃x₃+ ... + mₙxₙ) / (m₁+ m₂+ m₃+ ... + mₙ)y = (m₁y₁+ m₂y₂+ m₃y₃+ ... + mₙyₙ) / (m₁+ m₂+ m₃+ ... + mₙ)z = (m₁z₁+ m₂z₂+ m₃z₃+ ... + mₙzₙ) / (m₁+ m₂+ m₃+ ... + mₙ)其中，(x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂), ..., (xₙ, yₙ, zₙ) 是物体上各个质点的坐标，m₁, m₂, ..., mₙ是相应质点的质量。
请注意，以上的计算公式是对离散点的情况进行的。
对于连续分布的情况，需要使用积分来进行计算。
两个物体不相等的质心法
两个物体不相等的质心法摘要：1.质心法的基本概念2.质心法的计算方法3.质心法的应用实例4.两个物体不相等的质心法正文：1.质心法的基本概念质心法是一种计算物体质心位置的方法。
质心是指物体在空间中的质量中心，即物体各部分质量的平均位置。
对于形状规则、质量分布均匀的物体，其质心位于物体的几何中心。
然而，对于形状不规则或质量分布不均匀的物体，质心法可以更精确地计算质心位置。
2.质心法的计算方法计算物体质心的方法通常有两种：一种是解析法，另一种是数值法。
解析法：对于形状规则、质量分布均匀的物体，可以通过物体的几何中心计算质心位置。
例如，对于矩形或圆形等规则形状的物体，质心位于物体的几何中心。
数值法：对于形状不规则或质量分布不均匀的物体，可以通过数值方法计算质心位置。
常见的数值方法有：牛顿法、梯度法等。
这些方法通常需要迭代计算，直到达到一定的精度要求。
3.质心法的应用实例质心法在实际工程中有广泛的应用，例如：（1）在机械设计中，需要计算物体的质心位置以确保设计满足稳定性要求；（2）在结构分析中，质心法可以用于计算结构的惯性矩，进而分析结构的稳定性和强度；（3）在运动学和动力学分析中，质心法可以用于计算物体的质心加速度、质心速度等物理量。
4.两个物体不相等的质心法当两个物体的质量分布不同时，它们的质心位置也不相同。
在这种情况下，需要计算两个物体的相对质心位置。
计算方法如下：（1）对于形状规则、质量分布均匀的物体，可以分别计算两个物体的质心位置，然后计算它们的相对位置；（2）对于形状不规则或质量分布不均匀的物体，可以通过数值方法计算两个物体的质心位置，然后计算它们的相对位置。
需要注意的是，在计算两个物体的相对质心位置时，要考虑物体之间的相互作用力。
形心和质心的计算公式
形心和质心的计算公式
形心和质心是两个常用的几何概念，用于描述一个物体或几何体的重心位置。
虽然这两个术语有时被混淆使用，但它们在不同数学和物理背景下有不同的定义和计算公式。
形心（也称为重心）是一个物体的质量均匀分布时的平衡点，而质心是一个物体的质量分布时的平衡点。
在二维空间中，我们通常用(x, y)表示一个点的坐标，而在三维空间中则是用(x, y, z)表示。
以下是形心和质心的计算公式：
1. 对于平面图形的形心和质心：
对于一个平面上均匀分布质量的二维物体，例如一个平面图形，形心和质心的计算公式如下：
形心的坐标：(x_c, y_c) = (1/A) * ∫∫(x,y)dA
质心的坐标：(x_m, y_m) = (1/M) * ∫∫(x,y)dm
其中，(x,y)是平面图形上的点坐标，dA是微元面积，A是整个图形的面积，dm是微元质量，M是整个图形的总质量。
2. 对于立体图形的形心和质心：
对于一个立体图形，形心和质心的计算公式如下：
形心的坐标：(x_c, y_c, z_c) = (1/V) * ∫∫∫(x,y,z)dV
质心的坐标：(x_m, y_m, z_m) = (1/M) * ∫∫∫(x,y,z)dm
其中，(x,y,z)是立体图形上的点坐标，dV是微元体积，V是整个图形的体积，dm是微元质量，M是整个图形的总质量。
需要注意的是，形心和质心的计算公式中涉及到对图形的面积或体积以及质量的积分计算，因此在实际应用中可能需要进行数值近似或数值积分来计算形心和质心的坐标。
形心和质心在物理学、工程学和几何学等领域中有广泛的应用，例如在机械设计中用于确定物体的平衡点和稳定性，或者在建筑设计中用于确定建筑物的结构和稳定性。
两物体质心坐标计算公式
两物体质心坐标计算公式在物理学中，两物体质心坐标的计算可是个挺有意思的事儿。
咱们先来说说啥是质心。
想象一下，有两个物体，它们的质量分布不均匀，但是有一个点，就好像是这两个物体质量的“平衡点”，这个点就是质心。
质心的位置可重要啦，它能帮助我们更好地理解物体的运动和受力情况。
那两物体质心坐标的计算公式是啥呢？假设我们有两个物体，质量分别是 m1 和 m2，它们在坐标系中的坐标分别是 (x1, y1, z1) 和 (x2, y2, z2) 。
那么质心的坐标 (X, Y, Z) 就可以通过下面的公式来计算：X = (m1*x1 + m2*x2) / (m1 + m2)Y = (m1*y1 + m2*y2) / (m1 + m2)Z = (m1*z1 + m2*z2) / (m1 + m2)看起来是不是有点复杂？别担心，咱们来举个例子就好懂多啦。
就说有两个小球，一个质量是 3 千克，放在坐标 (2, 3, 4) 的位置，另一个质量是 5 千克，放在坐标 (5, 6, 7) 的位置。
那咱们来算算它们的质心坐标。
先算 X 坐标：(3×2 + 5×5)÷(3 + 5) = (6 + 25)÷8 = 31÷8 = 3.875 。
再算 Y 坐标：(3×3 + 5×6)÷8 = (9 + 30)÷8 = 39÷8 = 4.875 。
最后算 Z 坐标：(3×4 + 5×7)÷8 = (12 + 35)÷8 = 47÷8 = 5.875 。
所以这两个小球的质心坐标就是 (3.875, 4.875, 5.875) 。
在实际生活中，这个质心的概念和计算公式也挺有用的。
比如说，一辆汽车，发动机在车头，乘客和后备箱在车尾，要想知道整个车的重心位置，就可以用质心的知识来算一算。
这样在设计汽车的时候，就能更好地考虑到平衡和稳定性，让车开起来更安全、更舒适。
11-2 质心运动定理
r
aB
B O
aB
mA g
A
A相对于 的加速度： 相对于B的加速度 相对于 的加速度：a
θ
ar
x
mB g
的绝对加速度： 则A的绝对加速度：a + a 的绝对加速度 B r
FN
§11-3
质心运动定理
质心运动守恒定律的应用。 解： (1) 求d。质心运动守恒定律的应用。 向左移动的距离d。 设B向左移动的距离 。 向左移动的距离
§11-3
质心运动定理
4. 小结：动量守恒定律、质心运动守恒定律 小结：动量守恒定律、
(e) Fx = 0 ∑
x方向上动量守恒 方向上动量守恒
px = mvCx = mvCx0 = Cx
(e) Fx = 0 ∑
初始静止
x方向上质心守恒 方向上质心守恒
xC = C : xC
或：∆x = 0 C
∑m x = ∑m
i
i Ci
=C
∑mi ∆xCi = 0 ∆xC = ∑mi
∑m ∆x
i
Ci
=0
§11-3 例11-11 11-
质心运动定理
如图所示， 静止的小船上， 如图所示，在静止的小船上，设船的 的小船上 质量为m 人的质量为m 质量为m1 ，人的质量为m2，船长 l，水的阻力忽略 不计。若一人自船头走到船尾， 不计。若一人自船头走到船尾，求船的位移 s 。
§11-3 [说明] 说明]
（1）投影式 ）
质心运动定理
(e)
maC = ∑F i
maCx = ∑Fx(e) maCy = ∑Fy(e) ma = F(e) Cz ∑ z
或
n maC = ∑F(e) n t maC = ∑Ft(e) 0 = F(e) ∑b
两连杆的质心位置计算公式
两连杆的质心位置计算公式好嘞，以下是为您生成的文章：咱们今天来聊聊两连杆的质心位置计算公式这事儿。
先来说说啥是两连杆。
想象一下，有两根杆子，就像咱们生活中常见的晾衣杆似的，它们通过某种方式连接在一起，这就形成了两连杆。
那这两连杆的质心位置可就有讲究啦。
咱们得先搞清楚质心是啥。
简单说，质心就像是这两连杆的“重量中心”。
比如说，您拿一根长棍子，感觉它的重量好像集中在中间某个地方，那个地方差不多就是质心。
那怎么算这两连杆的质心位置呢？这就得用到一些公式和方法啦。
假设这两根连杆的长度分别是 L1 和 L2 ，质量分别是 m1 和 m2 。
为了算出质心位置，咱们得分别考虑这两根连杆对整体质心位置的影响。
就拿我之前在实验室里做的一个小实验来说吧。
当时我面前就摆着两根长度和质量都不同的连杆，我特别认真地测量着它们的各种数据。
那时候，周围的小伙伴们都在忙碌着自己的实验，整个实验室里充满了各种仪器的声音和大家小声讨论的声音。
我先把第一根连杆的质心位置找出来，标记好，然后再去处理第二根。
在计算的过程中，可真是不能有一点马虎，一个数据错了，后面的结果就全不对啦。
经过一番努力，终于算出了这两连杆系统的质心位置。
具体的计算公式是这样的：假设两连杆组成的系统质心位置坐标为(x,y) ，第一根连杆的质心位置坐标为 (x1,y1) ，第二根连杆的质心位置坐标为 (x2,y2) ，那么 x = (m1 * x1 + m2 * x2) / (m1 + m2) ，y = (m1 *y1 + m2 * y2) / (m1 + m2) 。
这个公式看起来有点复杂，但其实只要您多琢磨琢磨，多做几道题，也就不觉得难啦。
比如说，有两根连杆，第一根长度 2 米，质量 3 千克，质心在离一端 1 米的地方；第二根长度 3 米，质量 2 千克，质心在离一端 1.5 米的地方。
咱们来算算质心位置。
按照公式，先算 x 坐标，第一根连杆的质心 x1 坐标就是 1 米，第二根连杆的质心 x2 坐标就是 1.5 米。
质心运动定理表达式
质心运动定理表达式
质心运动定理是一种在物理学中使用的定理，它定义了一个物体在受外力作用时，其运动轨迹对于半径等于质心处运动轨迹的投影是什么。
质心运动定理的数学表达式是：速度矢量的和等于两个外力矢量的和乘以质心距离的倒数（P2-P1）。
质心运动定理可以在物理学中应用于多种情况。
例如，在分析多部件系统的运动特性时，可以使用质心运动定理来描述它们之间的运动关系。
比如，可以用质心运动定理来求解车轮系统中每个部件的运动关系，也可以用它来研究悬挂系统中悬挂点与质心之间的运动特性。
此外，质心运动定理还可以用来描述复杂的摩擦力学系统中物体之间的运动特性；还有，它还可用来检验重力势能场和摩擦力场影响的运动特性，以及多体系统中的动力学。
另外，质心运动定理还被广泛应用于船舶分析和控制系统的设计中，并可以用来确定摇杆系统的运动特性，并对船只在自由和受控状态下的运动进行预测和模拟。
总而言之，质心运动定理是一种在多种应用领域都有重要应用的定理，可以用来查明受外力作用时物体的移动历程。
正是有了这个定理，我们才能更加清楚的掌握复杂物理问题，从而做出更好的解决方案。
5两体问题
结论：开普勒第三定律近似正确。
2
r1 r1
m
d 2r1 dt 2
k 2mM 2 (m M )2 r12
r1 r1
意义：行星绕（S，p)系统质心作圆锥曲线运动
同理：太阳绕（S，p)系统质心作圆锥曲线运动
三、行星相对太阳的运动情况
自证
M (2) m(1) 得
d 2r GMm
r
Mm dt2
r2
(M m) r
d 2r G(M m)m r k2m r
m dt2
r2
r
r2rΒιβλιοθήκη md 2r dt 2
k2m r2
r r
意义：行星相对太阳运动，就好像太阳（M+m)不动， 行星作圆锥运动
方程还可化为
Mm d 2r k 2m r (M m) dt2 r2 r
意义：太阳不动，行星质量为 Mm
(M m)
作圆锥运动
11 1
mM
称折合质量
对开普勒第三定律进行修正：
§2.5 两体问题
系统：太阳、行星 讨论：太阳、行星都有运动.不考虑行星之间的
吸引. 一、质心运动情况 二、太阳、行星相对质心运动情况 三、行星相对太阳的运动情况
一、质心运动情况
.
太阳：S 相对oxyz位矢
rs
行星: p
rp
行星相对太阳位矢： r
S：
M
d 2rs dt 2
GMm r2
r r
(1)
P：
m
d 2rp dt 2
GMm r2
r r
(2)
返回
(1)+(2) 得
d2 dt 2
(Mrs
mrp )
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两体质心公式与应用
1. 两体质心公式
2. 两体质心公式在静力学中的应用
3. 两体质心公式在动力学中的应用
1.
两体质心公式
如图1所示，质点系由质量分别是1m 和2m 、相距l 的两个质点构成，则其质心C 的位置
由公式
l b a a
b m m =+=21 (1.1)
确定。
图1 两体质心
2. 两体质心公式在静力学中的应用 4. 两体质心公式在动力学中的应用 例1
]
1[一个人从船的一头走到另一头，如人和船的重量分别是P 和Q ，船长为a 2。
若忽略水
的阻力，问船移动多少？
图2 船移动问题
解：如图1，设开始0t t =时，人、船和系统的质心分别在人C 、船C 和C 处，由(1) a Q
P P
CC +=
=∆船 (1) 当人由船的右端走到左端时(0t t =)，人、船的质心分别在人
C '、船C '处，若忽略水阻力的影响，及开始是系统是静止的，故系统质心C 点位置保持不变，于是
a Q
P P
C C +='=∆船
(2) 由(1)(2) 当人由船的右端走到左端时，船移动距离
Q
P Pl
a Q P P C C +=+=∆='22船船
(3) 如果船的质量分布不是关于中间对称的，(3)式仍然成立。
并且有：
命题1 如果两个物体开始静止，并水平方向受合力为零。
若重为P 的物体在重Q 物体上运动，相对位移为l ，那重Q 物体质心移动的距离为)/(Q P Pl +。
例2
]
1[三角木块B 放置光滑的水平面上，三角木块A 从B 的顶端自由地滑到底端，若B 的质
量是A 的三倍，问木块B 移动多少？
图3 三角木块自由下滑
解：当三角木块A 从B 的顶端自由地滑到底端时，其相对B 的位移为a b -，由命题1，B 的位移为4/)(a b -。
例3
]
1[如图4示浮动起重机举起质量kg m 20001=的重物。
设起重机质量kg m 200002=，杆
长m l 8=；开始时杆OA 与铅直位置成0
60角，水的阻力和杆重均略去不计。
当起重机杆OA 转到与铅直位置成0
30角时，求起重机的位移。
解：当杆OA 由与铅直位置成060角转至0
30角时，重物相对起重机的水平位移为 )30sin 60(sin 0
-l 由命题1，起重机的位移为
m l m m m 266.0)30sin 60(sin 002
11
=-+
图 4 浮动起重机 例4
]
1[质块A 与小球B 用一根无重连结，并将质块A 放置在光滑的水平面上，如图5。
若将杆
和小球转动一个角度，并由静止释放，试确定小球的运动轨迹。
已知质块A 和小球B 的质量分别为A m 和B m ，杆长为l 。
图 5 椭圆摆 解：设C 是系统的质心。
利用两体质心公式(1.1)，得
l m m m CB e B
A A
+=
= (1)
取过质块A 质心的水平线为x 轴， 取过初始时刻系统质心的铅直线为y 轴。
由于系统开始静止，系统质心C 始终在y 轴上。
由图5 ϕϕcos ,sin l y e x B B == (2)
上式消去ϕ，得
1)/11(2222=++l y l m m x B
A
B B (3)
故小球B 的轨迹是椭圆。
有趣是，当0/→A B m m 时，l e →，这时椭圆摆就变成了单摆了。
例5]1[ 电机外壳固定在水平基础上。
设电动机外壳和定子的质量为0m ，转子的质量为m 。
由于制造误差，转子质心O '偏离转动轴，偏心距e O O ='。
已知转子以角速ω转动。
求基础对电机的约束反力的主矢。
图 6 电机支座反力。