2021年安徽省高考数学重难点热点复习：圆锥曲线

2021年安徽省高考数学重难点热点复习：圆锥曲线

1．已知椭圆C ：

x 2a +

y 2b =1(a ＞b ＞0)过点(√2，

√6

2

)，且离心率为e =12

，若△PMN 为椭

圆C 的内接三角形，且MN ⊥x 轴，设直线PM ，PN 与x 轴的交点分别为G ，H ，（O 为原点）

（1）求椭圆C 的方程；

（2）求|OG |2+|OH |2的最小值，并求出此时点P 的坐标．

【解答】解：（1）由题意得{ 2a 2+(√

6

2)2

b 2=1

c a =12

a 2=

b 2+

c 2

， 解得 {a =2b =√3，c =1 因此椭圆C 的方程为 x 24+y 2

3

=1．

（2）设点 M （x 1，y 1），N （x 1，﹣y 1），P （x 2，y 2）， 直线 PM 的斜率为 k PM =y 2−y

1x 2−x 1

，

直线 PM 的方程为 y −y 1=y 2−y 1x 2−x 1(x −x 1)， 令 y ＝0，解得 x =x 1y 2−x 2y 1

y 2−y 1

， 则点 G(x 1y 2−x 2

y 1

y 2−y 1，0)，同理可得点 H(x 1y 2+x 2

y 1

y 2+y 1

，0)，

∴x 1y 2−x 2y 1y 2−y 1

⋅

x 1y 2+x 2y 1y 2+y 1

=

x 12y 22−x 22y 1

2y 22−y 1

2=

(4−4y 123)y 22−(4−4y 223

)y 1

2y 22−y 1

2=4，

∴|OG|2+|OH|2=(x 1y 2−x 2y

1y 2−y 1)2+(x 1y 2+x 2y

1y 2+y 1

)2≥2|

x 1y 2−x 2y 1y 2−y 1⋅x 1y 2+x 2y 1

y 2+y 1

|=8． 当且仅当|OG |＝|OH |时，即点 P 为椭圆长轴端点时，|OG |2+|OH |2取最小值 8，此时点 P 的坐标为 （±2，0）．

2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆

x 2a 2

+

y 2b 2

=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1

（﹣c ，0），F 2（c ，0）．已知（1，e ）和（e ，√3

2

）都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；

（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1

交于点P ． （i ）若AF 1﹣BF 2=

√6

2

，求直线AF 1的斜率；

（ii ）若S △APF 1=9S △BPF 2，求直线BF 2的斜率；

【解答】解：（1）由题设知，a 2＝b 2+c 2，e =c

a

， 由点（1，e ）在椭圆上，得

12a 2

+

e 2b 2

=1，即

1

a 2

+

c 2a 2b 2

=1，

即有b 2+c 2＝a 2b 2，则a 2＝a 2b 2，则b 2＝1，c 2＝a 2﹣1，

由点（e ，√3

2）在椭圆上，得e 2

a 2+

3

4b 2

=1，即

c 2

a 4

+

34

=1，

即有

a 2−1a =14，可得a 4﹣4a 2

+4＝0，解得a 2＝2，

则椭圆的方程为

x 22

+y 2＝1．

（2）由（1）得F 1（﹣1，0），F 2（1，0），又AF 1∥BF 2， 可设AF 1、BF 2的方程分别为my ＝x +1，my ＝x ﹣1，m ＞0， A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1＞0，y 2＞0．

联立{x 122+y 12=1my 1

=x 1

+1

，化为（2+m 2）y 12﹣2my 1﹣1＝0，解得y 1=m+√2+2m 22+m 2， 可得|AF 1|=√(x 1+

1)2

+(y 1−

0)2

=√(my 1

)2

+y 12

=√1+

m 2

•

m+√2+2m 2

2+m 2

=

√2(1+m 2)+m√1+m 2

2+m ，①

同理可得，|BF 2|=

√2(1+m 2)−m √1+m 2

2+m 2

②

（i ）由①②得，|AF 1|﹣|BF 2|=2m √1+m 22+m 2

=√6

2，

解得m 2＝2，

注意到m ＞0，则m =√2，