2021年安徽省高考数学重难点热点复习：圆锥曲线
2021年高考理数：圆锥曲线
核心考点解读——圆锥曲线椭圆（II ） 双曲线（I ） 抛物线（II ） 直线与圆锥曲线（II ）1.从考查题型来看，涉及本知识点的选择题、填空题常结合圆锥曲线的定义及其简单几何性质，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过建立代数方程求解.解答题中则常综合考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系等.2.从考查内容来看，主要考查圆锥曲线的方程，以及根据方程及其相应图形考查简单几何性质，重点是椭圆及抛物线的简单几何性质的综合应用，注重运算求解能力的考查.3.从考查热点来看，直线与圆锥曲线的位置关系是高考命题的热点，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过直线方程与圆锥曲线方程的联立，结合椭圆、双曲线、抛物线的定义考查与之有关的问题，重点突出考查运算的能力，体现了数形结合的思想.1.椭圆(1)椭圆的定义：平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记做122F F c =.定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. (2)椭圆的标准方程：焦点在x 轴上，22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上，22221(0)y x a b a b+=>>.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0a c b a b a c -=>>>>. (3)椭圆的图形及其简单几何性质 i)图形焦点在x 轴上 焦点在y 轴上ii)标准方程几何性质范围顶点焦点对称性离心率椭圆22221x y a b += (0)a b >>x a ≤ y b ≤ (,0)a ±，(0,)b ± (,0)c ± 对称轴：x轴，y 轴，对称中心：原点01e <<，ce a=22221y x a b+= (0)a b >>y a ≤ x b ≤ (0,)a ±，(,0)b ±(0,)c ±注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出a 与c ，然后利用ce a=计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于,,a b c 的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围. 2.双曲线(1)定义：平面内，到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个定点之间的距离叫做双曲线的焦距，记做122F F c =.定义式：12122(02)PF PF a a F F -=<<. 要注意，常数小于两定点之间的距离. (2)双曲线的标准方程：焦点在x 轴上，22221(0,0)x y a b a b -=>>；焦点在y 轴上，22221(0,0)y x a b a b-=>>.说明：要注意根据焦点的位置选择双曲线的标准方程，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0c a b c a c b -=>>>>. (3)双曲线的图形及其简单几何性质 i)图形焦点在x 轴上 焦点在y 轴上ii)标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >> 22221y x a b-=(0,0)a b >> 范围 x a ≥，y ∈R y a ≥，x ∈R顶点 (,0)a ± (0,)a ±焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线by x a=±a y x b=±对称性 对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点离心率ce a=，1e > 注意：求双曲线的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择双曲线的标准方程；也可以利用双曲线的定义及焦点位置或点的坐标确定双曲线的标准方程.求双曲线的离心率主要的方法有：根据条件分别求出a 与c ，然后利用ce a=计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于,,a b c 的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围.渐近线是双曲线特有的特征，双曲线的渐近线方程可以根据双曲线的标准方程求解，令双曲线标准方程中的10=，得到渐近线方程为22220x y a b -=或22220y x a b-=.3.抛物线(1)定义：平面内与一个定点F 和一条定直线(l l 不经过点)F 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 定义式：PF d =，d 为动点P 到准线的距离. (2)抛物线的标准方程焦点在x 轴的正半轴上：22(0)y px p =>； 焦点在x 轴的负半轴上：22(0)y px p =->； 焦点在y 轴的正半轴上：22(0)x py p =>； 焦点在y 轴的负半轴上：22(0)x py p =->. (3)抛物线的图形及其简单几何性质 标准 方程22y px = (0)p >22y px =- (0)p >22x py = (0)p >22x py =-(0)p >图形焦点 )0,2(p F )0,2(p F -)2,0(p F )2,0(p F -准线方程 2p x -= 2p x = 2p y -= 2p y =范围 0,x y ≥∈R0,x y ≤∈R ,0x y ∈≥R,0x y ∈≤R对称轴 x 轴y 轴顶点 (0,0)离心率 1e =焦半径12x pPF +=12x pPF +=12y pPF +=12y pPF +=(4)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，抛物线的通径长为2p ；抛物线焦点弦的常用结论：设AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，若1122(,),(,)A x y B x y ，则2124p x x =，212y y p =-，弦长12AB x x p =++，112AF BF p+=等. 4.直线与圆锥曲线的位置关系(1)椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线，直线与圆锥曲线的位置关系可分为相交、相切、相离.位置关系的判定方式：将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消元，得到关于()x y 或的方程，通过判别式∆进行判别.要注意，若直线与双曲线的渐近线平行，则直线与双曲线相交，且只有一个交点；若直线与抛物线的对称轴平行或重合，则直线与抛物线相交，且只有一个交点. (2)直线与圆锥曲线相交的弦长问题：弦长公式：221212()()AB x x y y =-+-2121221(1)(1)k x x y y k =+-=+-. (3)已知直线与圆锥曲线相交所得弦的中点，则该弦所在直线方程的表示方式： i)利用点斜式设出直线方程，联立方程，消元后根据根与系数的关系及中点坐标公式建立关于直线斜率的方程，求解方程即可.ii)利用点差法，设弦的端点的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，代入曲线方程，然后作差，利用两点坐标求斜率公式，得到斜率，再利用点斜式写出直线方程. (4)圆锥曲线中有关定点、定值的问题：一般可以根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件建立方程组（或不等式），消去参数，求出定值或定点的坐标；也可以先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证.(5)圆锥曲线中的最值、范围问题：一是根据题中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中∆的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量，如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值.1．（2021高考新课标I ，理10）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．102．（2021高考新课标I ，理15）已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为.3．（2021高考新课标I ，理20）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–13，P 4（13）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.4.(2021高考新课标I ，理5)已知方程222213x y m n m n+=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1,3)B ．(–3C ．(0,3)D ．35.(2021高考新课标III ，理11)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．346.(2021高考新课标II ，理11)已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为 A 2B ．32C 3D ．27.(2021高考新课标I ，理10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=42|DE|=25C 的焦点到准线的距离为A ．2B ．4C ．6D ．88. (2021高考新课标I ，理5)已知M (00,x y )是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是A.(33B.(33) C.(2222)D.(2323) 9.(2021高考新课标III ，理20) 已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（II ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.10.（2021高考新课标I ，理20）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.1．椭圆的离心率为，为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与关于直线对称，则椭圆的方程为A ．B ．C ．或D ．或2．过双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点，且斜率为2的直线与E 的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是___________． 3．已知抛物线的焦点为.(1)若斜率为的直线过点与抛物线交于两点,求的值;(2)过点作直线与抛物线交于两点,且,求的取值范围.1．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且斜率为(0)k k >的直线l 交抛物线于点,A B ，若AF FB λ=，且11,32λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则k 的取值范围是A ．(3B ．)3,2C ．(2,22D ．3,222．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 关于直线b y x a =的对称点为M ，若点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的渐近线方程为_______________．3．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12F F、，过点2F且垂直于x轴的直线截椭圆形成的弦长为2，且椭圆C的离心率为22，过点1F的直线l与椭圆C交于,M N两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点(2,0)R，且RM RNλ⋅≤，则当λ取得最小值时，求直线l的方程.真题回顾：1.A【解析】设11223344(,),(,),(,),(,)A x yB x y D x y E x y，直线1l的方程为1(1)y k x=-，联立方程214(1)y xy k x⎧=⎨=-⎩，得2222111240k x k x x k--+=，∴21122124kx xk--+=-212124kk+=，同理直线2l与抛物线的交点满足22342224kx xk++=，由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p+=++++=221222222212121224244416482816k kk k k k k k++++=++≥=，当且仅当121k k=-=（或1-）时，取等号.【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sinpABα=，则2222||πcossin(+)2p pDEαα==，所以222221||||4(cos sin cosp pAB DEααα+=+=+222222222111sin cos)4()(cos sin)4(2)4(22)16 sin cos sin cos sinααααααααα=++=++≥⨯+=.2.233AP MN⊥，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线by xa=上的点，且(,0)A a，||||AM AN b==，而AP MN⊥，所以30PAN∠=，点(,0)A a 到直线by x a=的距离22||1AP b a =+，在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即3a b =，由222c a b =+得2c b =， 所以233c e a b ===【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc. 3.（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点.又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此22211,131,4b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t 24t -，（t ，24t -.则221242421t t k k ---++==-，得2t =，不符合题设.从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=.由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-）.4.A 【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-．5.A 【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得||()FM k a c =-，||OE k a =.设OE 的中点为N ，则OBN FBM △∽△，则1||||2||||OE OB FM BF =，即2(c)k a a k a a c=-+，整理，得13c a =，所以椭圆C 的离心率13e =． 【名师点睛】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c的齐次等式，求得ca或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ． 6.A 【解析】因为1MF 垂直于x 轴，所以2212,2b b MF MF a a a==+，因为211sin 3MF F ∠=，所以2122132b MF ab MF a a==+，化简得b a =，故双曲线的离心率2212b e a =+=. 7.B 【解析】如图，设抛物线方程为22y px =，圆的半径为r ,,AB DE 交x 轴于,C F 点，则22AC =，即A 点纵坐标为22，则A 点横坐标为4p ，即4OC p=，由勾股定理知2222DF OF DO r +==，2222AC OC AO r +==，即22224(5)()(22)()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4.8.A 【解析】由题知12(3,0),(3,0)F F -，220012x y -=，所以12MF MF ⋅= 0000(3,)(3,)x y x y --⋅- =2220003310x y y +-=-<，解得033y <<【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将12MF MF ⋅表示为关于点M 坐标的函数，利用点M 在双曲线上，消去x 0，根据题意化为关于0y 的不等式，即可解出0y 的范围，是基础题，将12MF MF ⋅表示为0y 的函数是解本题的关键.9.由题设)0,21(F .设by l a y l ==:,:21，则≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .（I ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. （II ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则11112222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆-=-=--=||||||||||,△.由题设可得111222a b b a x ---=||||||，所以01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x y b a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .10.（I ）因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠，所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）. （II ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得1248)34(2222=-+-+k x k x k .则3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x .所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN .过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m：)1(1--=x k y ，A 到m 的距离为122+k ，所以1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积341112||||212++==k PQ MN S .可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.名校预测1．【答案】C 【解析】由题意知，得，不妨设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆上任取点，取焦点，则中点，根据条件可得，，联立两式解得，代入椭圆方程解得，，由此可得椭圆的方程为或.故选C ．2．【答案】()1,5【解析】由题意知02ba <<,故22222204,115bc b a a a<<<=+<,故15e <<.3．【解析】(1)依题意,.设,则直线.联立,消去y 得,则,则.由抛物线的定义可知,.(2)设直线的方程为与曲线的交点为,∴.将的方程代入抛物线的方程,化简得,.∵,∴.又∵,∴恒成立,∴恒成立.∵,∴只需即可,解得.∴所求的取值范围为.专家押题1．【答案】D 【解析】如图，延长BA 交准线l 于点C ，分别过点A B ，作1AA l ⊥于1A ，1BB l ⊥于1B ， 设直线AB 的倾斜角为θ，1FB BB m ==，1FA AA m λ==，则11,cosAAm ACACBC BBλθ==，即coscosmmm mm mλλθλλθ=++，12cos111λθλλ-==-++，则上式是关于λ的减函数，由1132λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得11cos32θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故tankθ=的取值范围是()322，，故选D.2．2y x=±【解析】如图，令1||MF m=，2||MF n=，由题可知2n m a-=①，12MF MF⊥，故n bm a=，即bmna=，将其代入①式，解得22amb a=-，所以2abnb a=-，在12Rt F MF△中，2224m n c+=，即422222444()()a a bcb a b a+=--，结合222a b c+=化简可得2ba=，所以双曲线C的渐近线方程为2y x=±．3. 【解析】（1）联立2222,1,x cx ya b=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2bya=±，故222ba=又2ca=，222a b c=+，解得2a=1b=，故椭圆C的标准方程为2212xy+=.（2）设11(,)M x y，22(,)N x y，故1122(2,)(2,)RM RN x y x y⋅=-⋅-.当直线l垂直于x轴时，121x x==-，12y y=-，且2112y=，此时211117(3,)(3,)92RM RN y y y⋅=-⋅--=-=.当直线l不垂直于x轴时，设直线:(1)l y k x=+，联立22(1),22,y k xx y=+⎧⎨+=⎩整理得2222(12)4220k x k x k+++-=，所以2122412kx xk-+=+，21222212kx xk-=+，故21212122()4(1)(1)RM RN x x x x k x x ⋅=-+++++22222222121222224(1)(2)()4(1)(2)41212k k k x x k x x k k k k k k-=++-+++=+--++++2221721713171222(12)2k k k +==-<++.综上所述，λ的最小值为172，此时直线l 的方程为1x =-.。
(2021年整理)高考数学圆锥曲线专题复习.资料
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圆锥曲线一、知识结构1。
方程的曲线在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f（x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x，y）=0，则点P0（x0，y0）在曲线C上⇔f(x0，y 0)=0;点P0(x0,y0）不在曲线C上⇔f（x0,y0）≠0两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1（x,y）=0,f2（x,y）=0，则f1（x0,y0)=0点P0（x0,y0)是C1,C2的交点⇔f2（x0,y0） =0方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.2。
圆圆的定义:点集：｛M ｜|OM ｜=r},其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： （1）标准方程圆心在c(a ，b ）,半径为r 的圆方程是(x —a ）2+（y-b ）2=r 2圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2）一般方程当D 2+E 2—4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E ）,半径是24F-E D 22+。
配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为（x+2D ）2+（y+2E ）2=44F -E D 22+当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点（-2D ,—2E）； 当D 2+E 2—4F ＜0时，方程不表示任何图形。
2021高考数学教材知识点归纳《圆锥曲线》
高中数学第八章-圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程•椭圆的简单几何性质•椭圆的参数方程.双曲线及其标准方程•双曲线的简单几何性质.抛物线及其标准方程•抛物线的简单几何性质. 考试要求：(1 )掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.(4)了解圆锥曲线的初步应用.§08.圆锥曲线方程知识要点、椭圆方程1.椭圆方程的第一定义：PF* |PF2 2a F1=2方程为椭圆，PF1 PF2 2a F1=2无轨迹，PF1 PF2 2a F1F2以F"F2为端点的线段⑴①椭圆的标准方程：由椭圆方程的第二定义可以推出由椭圆方程的第二定义可以推出由椭圆第二定义可知：pF1e( x0 a2a2—) a ex0( x0 0), pF 2 e( x0) ex> a(x00)归结起来为i.中心在原点，焦点在x轴上:2 2冷1(a b 0). ii.中心在原点，焦点在 a b y轴上:1(a 0).②一般方程: 2 2Ax By 1(A 0, B 0).③椭圆的标准参数方程:x a cosy bsi n(一象限应是属于0⑵①顶点: (a,0)(0, b)或(0, a)( b,0).②轴：对称轴:焦占：(八'、G0)(G0)或(0, c)(0,c) •④焦距：卩疳2x轴，y轴；长轴长2a ,短轴长2b .③—或c2c, c a2 b2 .⑤准线:a2y .⑥离心率：ec-(0a1).⑦焦点半径: 2i.设P(x0,y0)为椭圆冷a 2 yb21(a b 0)上的一点,F1F2为左、右焦点，则3ex0, PF 2 a ex。
2 2ii.设P(x°,y0)为椭圆冷勺b a 1(a b 0)上的一点，F1,F2为上、下焦点，则1 a ey0, PF 2 a ey0左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得N（acos ,bsin ）方程的轨迹为椭圆2 2 2⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经•坐标：d 务（C,b）和（C上）a a a⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆 b 0）的离心率是e-(c a2 b2)，方ab2t（t是大于0的参数，a b 0）的离心率也是e -我们称此方程为共离心率的a椭圆系方程⑸若P是椭圆:2 2务笃1上的点・F I,F2为焦点，若a bF1PF2，贝V PF1F2的面积为b2ta n （用余弦定理与2二、双曲线方程.1.双曲线的第一定义：PF i PF 2 2a可得）.若是双曲线，则面积为b2cot .2PF1PF22a F1F2方程为双曲线PF1PF22a F1F2无轨迹PF1PF22a F1F2以F 1,F2的一个端点的一条射线22⑴①双曲线标准方程：务y21(a,ba b2Ax2Cy21( AC0).⑵①i.焦点在x轴上:20)2a))顶点: (a,0),( a,0)焦点:(c,0),( c,0) 准线方程x b21(a, b 0).2—渐近线方程:2 X2 a 2 y b2ii.焦点在y轴上：顶点: (0, a), (0,a).焦点：(0,c), (0, c）.准线方程:2—.渐近线c方程：ya2y2a2 Xb20 ,参数方程:x a secy b tan y a sec②轴x, y为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距2c. ③离心率e④准线距空c（两准线的距离）；通径空.⑤参数关系c2a a2 b2,e -.⑥焦点半径公式：对于双曲a1 （ F 1,F _分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计 2条；区域②：即定点在双曲线上， 1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计 3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计 4条； 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计 2条;区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入 “”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.2 2⑺若P 在双曲线耸与a b离比为m : n.ex 0 aex 0 a （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半其渐近线方程为y x ，离心率e 2 .2 2线方程x_a b2双曲线.a2y_ b _2y_互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线:1,则常用结论1： P 到焦点的距离为m = n ,贝U P 到两准线的距2222⑹直线与双曲线的位置关系:PF i简证：dl 一e_= m .d 2 PF 2ne常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三、抛物线方程•注：①ay 2 by c x 顶点（仏b4a③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的四、圆锥曲线的统一定义..4.圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 当0 e 1时，轨迹为椭圆； 当e 1时，轨迹为抛物线； 当e 1时，轨迹为双曲线；PFP x — ;x 2 2py （p 0）则焦点半径为|PF |P y —1 121 12②y 2 2px （p 0）则焦点半径④y 22px （或x 22py ）的参数方程为2x 2pt(或 x y 2pty2pt 22pt（t 为参数）F 和定直线I 的距离之比为常数 e 的点的轨迹当e 0时，轨迹为圆（e —，当c 0,a b时）.a5.圆锥曲线方程具有对称性.例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD,即证AD与BC的中点重合即可.2. 等轴双曲线3. 共轭双曲线5.方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程6•共渐近线的双曲线系方程.。
高考数学复习考点题型专题讲解21 圆锥曲线的基本问题
高考数学复习考点题型专题讲解专题21 圆锥曲线的基本问题高考定位 圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题，难度较小.1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A.13B.12C.9D.6 答案 C解析 由椭圆C ：x 29＋y 24＝1，得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立.故选C.2.(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3，0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |＝( )A.2B.2 2C.3D.3 2 答案 B解析 法一 由题意可知F (1，0)， 抛物线的准线方程为x ＝－1.设A (y 204，y 0)，则由抛物线的定义可知|AF |＝y 204＋1，又|BF |＝3－1＝2，故由|AF|＝|BF|，可得y24＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1，2)或A(1，－2). 不妨取A(1，2)，故|AB|＝（1－3）2＋（2－0）2＝22，故选B.法二由题意可知F(1，0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.又抛物线通径长为4，所以|AF|＝2为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以|AB|＝（－2）2＋22＝22，故选B.3.(2022·全国甲卷)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为( )A.32B.22C.12D.13答案 A解析设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，所以k AP·k AQ＝nm＋a·n－m＋a＝n2a2－m2＝14(*).因为点P在椭圆C上，所以m 2a 2＋n 2b 2＝1，得n 2＝b 2a2(a 2－m 2)，代入(*)式，得b 2a 2＝14，所以e ＝ca＝1－b 2a 2＝32.故选A.4.(2022·北京卷)已知双曲线y 2＋x 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，则m ＝________.答案 －3解析法一 依题意得m <0，双曲线的方程化为标准方程为y 2－x 2－m＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±1－m＝±33，解得m ＝－3.法二 依题意得m <0，令y 2－x 2－m ＝0，得y ＝±1－m x ，则±1－m＝±33，解得m ＝－3.5.(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12.过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |＝6，则△ADE 的周长是________. 答案 13解析 如图，连接AF 1，DF 2，EF 2，因为C 的离心率为12，所以c a ＝12，所以a ＝2c ，所以b 2＝a 2－c 2＝3c 2.因为|AF 1|＝|AF 2|＝a ＝2c ＝|F 1F 2|， 所以△AF 1F 2为等边三角形，又DE ⊥AF 2，所以直线DE 为线段AF 2的垂直平分线， 所以|AD |＝|DF 2|，|AE |＝|EF 2|，且∠EF 1F 2＝30°， 所以直线DE 的方程为y ＝33(x ＋c )，代入椭圆C 的方程x 24c 2＋y 23c 2＝1，得13x 2＋8cx －32c 2＝0.设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8c 13，x 1x 2＝－32c 213，所以|DE |＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－8c 132－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32c 213＝48c 13＝6， 解得c ＝138，所以a ＝2c ＝134， 所以△ADE 的周长为|AD |＋|AE |＋|DE |＝|DF 2|＋|EF 2|＋|DE |＝4a ＝13.热点一 圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|).(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (0＜2a ＜|F 1F 2|).(3)抛物线：|PF |＝|PM |，l 为抛物线的准线，点F 不在定直线l 上，PM ⊥l 于点M . 2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值.例1 (1)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点与虚轴的上端点，F (2，0)是双曲线C 的右焦点，直线AB 与双曲线C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的标准方程为________.(2)(2022·成都二诊)已知抛物线C 以坐标原点O 为顶点，以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0为焦点，直线x －my－2p ＝0与抛物线C 交于两点A ，B ，直线AB 上的点M (1，1)满足OM ⊥AB ，则抛物线C 的方程为________.答案 (1)x 22－y 22＝1 (2)y 2＝2x解析 (1)由题意得A (a ，0)，B (0，b )，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，而k AB ＝－b a，∴－b 2a2＝－1，∴a ＝b ，又F (2，0)，∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4， ∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线C 的标准方程为x 22－y 22＝1.(2)由已知直线OM 的斜率为1，则AB 的斜率为－1，所以m ＝－1，又M (1，1)在直线AB 上， ∴1＋1－2p ＝0，∴p ＝1. ∴抛物线C 的方程为y 2＝2x .易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误：(1)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；(2)椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a 2＝b 2＋c 2，双曲线中的关系式为c 2＝a 2＋b 2；(3)圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置.训练1 (1)(2022·武汉模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (3，y )到焦点F 的距离|MF |＝4，则抛物线的方程为( ) A.y 2＝8x B.y 2＝4x C.y 2＝2x D.y 2＝x(2)(2022·怀仁二模)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，且离心率为2，则双曲线C 的标准方程为________. 答案 (1)B (2)x 29－y 227＝1解析 (1)由抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (3，y )到焦点F 的距离|MF |＝4， 可得3＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，故选B.(2)由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，可得a ＝3，离心率为2，所以c ＝6，则b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.所以双曲线C 的标准方程为x 29－y 227＝1.热点二 椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2(0<e <1)，双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a2(e >1). (2)根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).考向1 离心率问题例2 (1)(2022·济南模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为( ) A.3－1 B.32C.12D.22(2)(2022·浙江卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，过F 且斜率为b4a 的直线交双曲线于点A (x 1，y 1)，交双曲线的渐近线于点B (x 2，y 2)且x 1<0<x 2.若|FB |＝3|FA |，则双曲线的离心率是________. 答案 (1)A (2)364解析 (1)可画出如图所示图形.△MF 1F 2为等边三角形，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，QF 1⊥MF 2，∠F 1F 2Q ＝60°， ∵|F 1F 2|＝2c ，∴|QF 2|＝c ，|QF 1|＝3c ， ∴|QF 1|＋|QF 2|＝(3＋1)c ＝2a ，∴ca＝3－1， 即e ＝3－1.故选A.(2)结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点F (－c ，0)且斜率为b 4a 的直线方程为y ＝b4a(x ＋c )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 4a （x ＋c ），y ＝b a x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c3，y ＝bc 3a ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 3，bc 3a .因为|FB |＝3|FA |，所以FB →＝3FA →， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫4c 3，bc 3a ＝3(x 1＋c ，y 1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－5c9，y 1＝bc9a ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 9，bc 9a .将⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 9，bc 9a 代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 92a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫bc 9a 2b 2＝1，结合离心率e ＝c a得e 2＝8124， 又e >1，所以双曲线的离心率为364. 考向2 椭圆、双曲线的几何性质例3 (1)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线C 上一点，PF 2⊥x 轴，tan∠PF 1F 2＝34，则双曲线的渐近线方程为( )A.x ±2y ＝0B.2x ±y ＝0C.3x ±y ＝0D.x ±3y ＝0(2)(2022·南通质检)椭圆C ：x 218＋y 2b 2＝1(b 2<18且b >0)的上、下顶点分别为A ，C ，如图，点B 在椭圆上(异于椭圆顶点)，点D 在椭圆内，平面四边形ABCD 满足∠BAD ＝∠BCD ＝90°，且S △ABC ＝2S △ADC ，则该椭圆的短轴长为________.答案 (1)C (2)6解析 (1)因为点P 在双曲线上，且PF 2⊥x 轴，所以点P 的横坐标为c ，代入双曲线的方程可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则|PF 2|＝b 2a，|F 1F 2|＝2c ，所以tan∠PF 1F 2＝|PF 2||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝34，整理得2b 2＝3ac ， 所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4－9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－9＝0，解得ba＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，故选C. (2)根据题意可得A (0，b )，C (0，－b )，设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2).连接BD ，由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可得，点A ，B ，C ，D 均在以BD 为直径的圆E (E 为BD 中点)上，又原点O 为圆E 上的弦AC 的中点，所以圆心E 在AC 的垂直平分线上，即圆心E 在x 轴上， 所以y 1＋y 2＝0. 又S △ABC ＝2S △ADC ， 所以x 1＝－2x 2，故圆心E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 14，0，所以圆E 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －x 142＋y 2＝916x 21＋y 21，将(0，b )代入圆E 的方程，结合x 2118＋y 21b 2＝1可得b 2＝9，所以b ＝3，短轴长为6.规律方法 1.确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后用a ，c 代换b ，进而求ca的值或范围.2.求双曲线渐近线方程的关键在于求b a 或ab 的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.训练2 (1)双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在y 轴上，且△MF 1F 2为正三角形.若线段MF 2的中点恰好在双曲线E 的渐近线上，则E 的离心率等于( ) A.5B.2 C.3D. 2(2)(2022·张家口一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，过原点O 的直线l交椭圆C 于点A ，B ，且2|FO |＝|AB |，若∠BAF ＝π6，则椭圆C 的离心率是________. 答案 (1)B (2)3－1解析 (1)不妨设M 在y 轴的正半轴上， 设M (0，t )，t >0，由于△MF 1F 2为正三角形，所以t ＝3c ，故M (0，3c )，则MF 2的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2， 因为N 在渐近线y ＝b ax 上，所以3c 2＝b a ×c 2，即b a ＝3，e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选B. (2)因为直线AB 过原点，由椭圆及直线的对称性可得|OA |＝|OB |， 所以|AB |＝2|OA |，设右焦点F ′，连接BF ′，AF ′， 又因为2|OF |＝|AB |＝2c ， 可得四边形AFBF ′为矩形，在Rt△ABF 中，|AF |＝2c ·cos∠BAF ＝2c ·32＝3c ， |BF |＝2c ·sin∠BAF ＝2c ·12＝c ，∴|AF ′|＝|BF |＝c ，由椭圆定义|AF |＋|AF ′|＝3c ＋c ＝2a ， ∴e ＝c a＝3－1.热点三 抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α是弦AB 的倾斜角，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α. (3)1|FA |＋1|FB |＝2p.(4)以线段AB 为直径的圆与准线x ＝－p2相切.例4 (1)(2022·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，射线FM 与y 轴交于点A (0，2)，与抛物线C 的准线交于点N ，FM →＝55MN →，则p 的值等于( ) A.18B.2 C.14D.4 (2)(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AF |＝8，则以下结论正确的是( ) A.p ＝4 B.DF →＝FA → C.|BD |＝2|BF | D.|BF |＝4 答案 (1)B (2)ABC解析 (1)依题意F 点的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设M 在准线上的射影为K ， 由抛物线的定义知|MF |＝|MK |， ∵FM →＝55MN →，∴|FM ||MN |＝55， 可得|MK ||MN |＝55， 则|KN |∶|KM |＝2∶1， ∴k FN ＝0－2p 2－0＝－4p ，∴－4p＝－2，求得p ＝2.故选B.(2)如图所示，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为E ，M ，连接EF .设抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF |＝p ，由于直线l 的斜率为3，则其倾斜角为60°.又AE ∥x 轴，∴∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE |＝|AF |，则△AEF 为等边三角形， ∴∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，∴|AF |＝|EF |＝2|PF |＝2p ＝8，解得p ＝4，故A 正确；∵|AE |＝|EF |＝2|PF |，PF ∥AE ，∴F 为线段AD 的中点，则DF →＝FA →，故B 正确； ∵∠DAE ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C正确；∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝13|DF|＝13|AF|＝83，故D错误.规律方法利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.训练3 (1)(2022·济南模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l经过F与抛物线交于A，B两点，点P在抛物线的准线上，且PF⊥AB，线段AB的中点为Q.若|PQ|＝4，则|AB|＝( )A.4B.4 2C.8D.8 2(2)(2022·广州模拟)过抛物线y2＝4x焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若AB→＝2BF→，则线段BC的中点到准线的距离为( )A.3B.4C.5D.6答案(1)C (2)B解析(1)由A，B向准线作垂线，垂足分别为C，D，因为PF⊥AB，可知P是线段CD的中点，PQ 是梯形ABDC 的中位线，又由抛物线的定义可知|AB |＝2|PQ |＝8，故选C. (2)由抛物线的方程可得焦点F (1，0)，渐近线的方程为：x ＝－1， 由AB →＝2BF →， 可得|AB ||BF |＝2， 如图所示：作BB ′垂直于准线于B ′， 而|BB ′||AB |＝22，∴∠ABB ′＝45°， 所以直线AB 的斜率为1， 所以直线AB 的方程为x ＝y ＋1， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝y ＋1，整理可得：x 2－6x ＋1＝0，可得x 1＋x 2＝6，所以线段BC 的中点到准线的距离为x 1＋x 22＋1＝4，故选B.一、基本技能练1.(2022·温州模拟)双曲线y 2－2x 2＝1的离心率是( )A.52B.62C.3D. 5 答案 B解析 双曲线方程化为y 21－x 212＝1，则a 2＝1，b 2＝12，从而e ＝1＋b 2a 2＝62，故选B. 2.设经过点F (1，0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点.若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB |＝( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 C解析 因为抛物线为y 2＝4x ，所以p ＝2， 设A ，B 两点横坐标为x 1，x 2， 因为线段AB 中点的横坐标为2， 则x 1＋x 22＝2，即x 1＋x 2＝4，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋2＝6，故选C.3.(2022·烟台一模)已知点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 在抛物线上且横坐标为8，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为22，则该抛物线的准线方程为( ) A.x ＝－12B.x ＝－1C.x ＝－2D.x ＝－4 答案 B解析 由抛物线的方程可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，不妨设P 在x 轴上方，则y 2＝2p ×8，可得y p ＝4p ， 则S △OFP ＝12|OF |·y p ＝12×p2×4p ＝22，解得p ＝2，所以准线方程为x ＝－p2＝－1，故选B.4.“1<k <5”是方程“x 2k －1＋y 25－k＝1表示椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 因为k ＝3时，x 2k －1＋y 25－k＝1表示圆，故充分性不成立.若x 2k －1＋y 25－k＝1表示椭圆，则⎩⎨⎧k －1>0，5－k >0，k －1≠5－k ，∴1<k <5且k ≠3，∴必要性成立. 故“1<k <5”是“方程x 2k －1＋y 25－k＝1表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.5.已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与x 轴正半轴所成夹角为π3，则C的离心率为( )A.233B.2C.3D.3 答案 A解析 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ab x ，由题意可得a b ＝tanπ3＝3， 则b a ＝33， 所以e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233，故选A.6.(2022·西安二模)直线y ＝kx (k >0)与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)在第一、第三象限分别交于P ，Q 两点，F 2是C 的右焦点，有|PF 2|∶|QF 2|＝1∶3，且PF 2⊥QF 2，则C 的离心率是( ) A.3B. 6 C.3＋1 D.6＋1 答案 C解析 由对称性可知四边形PF 1QF 2为平行四边形， 又由PF 2⊥QF 2得四边形PF 1QF 2为矩形， ∴|PQ |＝|F 1F 2|＝2c ， 又|PF 2|∶|QF 2|＝1∶3， ∴|QF 2|－|PF 2|＝(3－1)c ＝2a ， ∴e ＝c a＝23－1＝3＋1，故选C.7.(2022·石家庄模拟)已知椭圆M：x2a2＋y2＝1(a>1)的中心为O，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，线段AF的中点为P，若|OP|＝|PF|＝32，则M的方程为( )A.x22＋y2＝1 B.x23＋y2＝1C.x24＋y2＝1 D.x25＋y2＝1答案 B解析不妨设F为椭圆M的右焦点，则其左焦点为F1，连接AF1，∵O为FF1中点，P为AF中点.∴OP为△AFF1的中位线.∴|AF1|＝2|OP|＝3，|AF|＝2|PF|＝ 3.∴|AF1|＋|AF|＝23＝2a，∴a＝ 3.∴椭圆M的方程为x23＋y2＝1，故选B.8.(2022·南京调研)已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1＝2r2，则直线l的斜率为( )A.1B. 2C.2D.2 2答案 D解析记△AF1F2的内切圆圆心为C，△BF1F2的内切圆圆心为D，边AF 1，AF 2，F 1F 2上的切点分别为M ，N ，E ，易知C ，E 横坐标相等，|AM |＝|AN |，|F 1M |＝|F 1E |，|F 2N |＝|F 2E |，由|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即|AM |＋|MF 1|－(|AN |＋|NF 2|)＝2a ，得|MF 1|－|NF 2|＝2a ， 即|F 1E |－|F 2E |＝2a ，记C 的横坐标为x 0，则E (x 0，0)， 于是x 0＋c －(c －x 0)＝2a ，得x 0＝a ， 同样圆心D 的横坐标也为a ，则有CD ⊥x 轴，设直线l 的倾斜角为θ，则∠OF 2D ＝θ2，∠CF 2O ＝90°－θ2，在△CEF 2中，tan∠CF 2O ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－θ2＝r 1|EF 2|，在△DEF 2中，tan∠OF 2D ＝tan θ2＝r 2|EF 2|，由r 1＝2r 2，可得2tan θ2＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫90°－θ2＝1tanθ2，解得tan θ2＝22，则直线l 的斜率为tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝21－12＝22，故选D.9.(多选)(2022·福州模拟)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C上一点，则( )A.C 的离心率为22B.△PF 1F 2的周长为5C.∠F 1PF 2<90°D.1≤|PF 1|≤3 答案 CD解析 对于A ，由椭圆方程知：a ＝2，c ＝4－3＝1，∴离心率e ＝c a ＝12，A 错误；对于B ，由椭圆定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，|F 1F 2|＝2c ＝2， ∴△PF 1F 2的周长为4＋2＝6，B 错误；对于C ，当P 为椭圆短轴端点时，tan ∠F 1PF 22＝c b ＝33，∴tan∠F 1PF 2＝2tan∠F 1PF 221－tan 2∠F 1PF 22＝2331－13＝3，∴∠F 1PF 2＝60°，即(∠F 1PF 2)max ＝60°， ∴∠F 1PF 2<90°，C 正确；对于D ，∵|PF 1|min ＝a －c ＝1，|PF 1|max ＝a ＋c ＝3， ∴1≤|PF 1|≤3，D 正确. 故选CD.10.(多选)(2022·菏泽模拟)设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E(3，1)为定点，则下列结论正确的有( )A.准线l的方程是y＝－2B.以线段MF为直径的圆与y轴相切C.|ME|＋|MF|的最小值为5D.|ME|－|MF|的最大值为2答案BC解析抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线为l：x＝－2，故A错误；设M(m，n)，MF的中点为N，可得|MF|＝m＋2＝2·m＋2 2，即N到y轴的距离是|MF|的一半，则以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确；设M在准线上的射影为H，由|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MH|，当E，M，H三点共线时，|ME|＋|MH|取得最小值，为3＋2＝5，故C正确；由|ME|－|MF|≤|EF|，当M为EF的延长线与抛物线的交点时，取得最大值|EF|，为（3－2）2＋（1－0）2＝2，故D错误.故选BC.11.已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－1，则p＝________.答案 2解析 y 2＝2px 准线方程为x ＝－p2，则－p2＝－1，∴p ＝2.12.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，且其虚轴长大于1，则双曲线C的一个标准方程可以为________. 答案x 2－y 24＝1(答案不唯一)解析 依题意，不妨取b ＝2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝5，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝1，b ＝2，c ＝ 5.所以满足题设的一个标准方程为x 2－y 24＝1.二、创新拓展练13.(多选)(2022·南通适考)在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 24＋y 22＝1的左、右焦点，点A ，B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点，且满足AF 1→＝λF 1B →，则( ) A.△ABF 2的周长为定值B.AB 的长度最小值为1 C.若AB ⊥AF 2，则λ＝3D.λ的取值范围是[1，5] 答案 AC解析 AF 1→＝λF 1B →，则A ，B ，F 1三点共线，△ABF 2周长＝4a ＝8是定值，A 正确.AB min ＝2·b 2a＝2≠1，B 错误；∵AB ⊥AF 2，则AF 1⊥AF 2，A 在上、下顶点处，不妨设A (0，2)，则AB ∶y ＝x ＋2，⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 24＋y 22＝1.解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－423，y ＝－23，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－423，－23，λ＝－2－23＝3，C 正确； 令AB ：x ＝my －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，⎩⎨⎧x ＝my －2，x 24＋y 22＝1消x 可得(m 2＋2)y 2－22my －2＝0，则y 1＋y 2＝22mm 2＋2， y 1y 2＝－2m 2＋2，－y 1＝λy 2，当m ＝0时，λ＝1，当m ≠0时，λ（1－λ）2＝m 2＋24m 2>14，∴3－22<λ<3＋22，D 错误.故选AC.14.(多选)(2022·济宁模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是双曲线C 上异于顶点的一点，则( ) A.||PA 1|－|PA 2||＝2aB.若焦点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点在C 上，则C 的离心率为 5C.若双曲线C 为等轴双曲线，则直线PA 1的斜率与直线PA 2的斜率之积为1D.若双曲线C 为等轴双曲线，且∠A 1PA 2＝3∠PA 1A 2，则∠PA 1A 2＝π10答案 BCD解析 对于A ：在△PA 1A 2中，根据三角形两边之差小于第三边， 故||PA 1|－|PA 2||<|A 1A 2|＝2a ，故A 错误； 对于B ，焦点F 2(c ，0)，渐近线不妨取y ＝bax ，即bx －ay ＝0， 设焦点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n m －c ×b a ＝－1，b ×m ＋c 2－a ×n 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a 2－b 2c ，n ＝2abc，即F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为⎝⎛⎭⎪⎫a 2－b 2c ，2ab c ， 由题意该对称点在双曲线上，故（a 2－b 2）2a 2c 2－（2ab ）2b 2c 2＝1，将c 2＝a 2＋b 2代入，化简整理得b 4－3a 2b 2－4a 4＝0，即b 2＝4a 2， 所以e ＝1＋b 2a2＝5， ∴e ＝5，故B 正确；对于C ：双曲线C 为等轴双曲线， 即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)，设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 20－y 20＝a 2，所以x 20－a 2＝y 20， 故k PA 1·k PA 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a2＝1，故C 正确；对于D ：双曲线为等轴双曲线，即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)， 且∠A 1PA 2＝3∠PA 1A 2， 设∠PA 1A 2＝θ，∠A 1PA 2＝3θ， 则∠PA 2x ＝4θ，根据C 项中的结论kPA 1·kPA 2＝1， 即有tan θ·tan 4θ＝1，在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数， 故θ＋4θ＝π2，所以θ＝π10，即∠PA 1A 2＝π10，故D 正确.故选BCD.15.(多选)(2022·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为C 上任意一点，△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，圆I 与PF 1的切点为M ，PI 与x 轴的交点为N ，则以下结论正确的有( ) A.PF 1→·PF 2→有最大值a 2 B.内切圆I 面积有最大值πb 2c 2（a ＋c ）2C.若|PM |＝12|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率为 12D.若∠F 1PF 2＝2π3，则1|PF 1|＋1|PF 2|＝1|PN |答案 BCD解析 对A ：PF 1→·PF 2→＝PO →2－c 2≤b 2，故A 不正确；对B ：由等面积法，内切圆I 的半径r ＝S △PF 1F 2a ＋c ≤bca ＋c ，所以内切圆面积有最大值πb 2c 2（a ＋c ）2，故B 正确；对C ：|PM |＝12|F 1F 2|＝c ，2|PM |＋2c ＝4c ＝2a ，椭圆C 的离心率为12，故C 正确；对D ：若∠F 1PF 2＝2π3，由角平分线性质得则1|PF 1|＋1|PF 2|＝1|PN |，故D 正确.故选BCD. 16.(多选)(2022·无锡模拟)已知双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦距与双曲线C 1的焦距相同，且椭圆C 2的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交C 2于A ，B 两点，若点A (1，y 1)，则下列说法中正确的有( ) A.双曲线C 1的离心率为2 B.双曲线C 1的实轴长为12C.点B 的横坐标的取值范围为(－2，－1)D.点B 的横坐标的取值范围为(－3，－1) 答案 AD解析 双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，则可设双曲线C 1的方程为x 2－y 23＝λ，∵过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，∴1－34＝λ，解得λ＝14，∴双曲线C 1方程为4x 2－43y 2＝1，即x 214－y234＝1，可知双曲线C 1的离心率e ＝ca＝2，实轴的长为1，故选项A 正确，选项B 错误； 由14＋34＝1，可知椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)， 不妨设A (1，y 1)(y 1>0)，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1a 2＋y 21b 2＝1，∴y 1＝b 2a ，直线AB 的方程为y ＝b 22a(x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 22a （x ＋1），x2a 2＋y2b 2＝1，消去y 并整理得(a 2＋3)x 2＋2(a 2－1)x －3a 2－1＝0， 根据韦达定理可得1·x B ＝－3a 2＋1a 2＋3，可得x B ＝－3a 2＋1a 2＋3＝－3＋8a 2＋3，又a 2>1，∴a 2＋3>4，0<8a 2＋3<2， ∴－3<x B <－1，故选项C 错误，选项D 正确，故选AD.17.(2022·北京石景山区一模)设点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P是椭圆C 上任意一点，若使得PF 1→·PF 2→＝m 成立的点恰好是4个，则实数m 的一个取值可以为________. 答案 0(答案不唯一)解析 当m ＝0时，PF 1→·PF 2→＝0，则PF 1→⊥PF 2→，由椭圆方程可知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，因为c >b ，所以以F 1F 2为直径的圆与椭圆有4个交点. 使得PF 1→·PF 2→＝0成立的点恰好有4个. 所以实数m 的一个取值可以为0.18.(2022·湖州质检)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，设椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 21＋e 22的最小值为________.答案 1＋32解析 由题意，可设椭圆长半轴为a 1，双曲线的实半轴为a 2， 不妨设P 为双曲线右支上一点，由椭圆和双曲线的定义可知 ⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，则|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2， 又∠F 1PF 2＝π3，由余弦定理可得(2c )2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cosπ3， 整理得4c 2＝a 21＋3a 22，即1e 21＋3e 22＝4，则14e 21＋34e 22＝1， 所以e 21＋e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14e 21＋34e 22(e 21＋e 22)＝1＋e 224e 21＋3e 214e 22≥1＋2e 224e 21·3e 214e 22＝1＋32. 当且仅当e 224e 21＝3e 214e 22，即e 2＝43e 1时取等号.。
2021年高考数学题型秒杀之解析几何-题型09 圆锥曲线中的直角弦(解析版)
（1）证明：坐标原点 在圆 上；
（2）设圆 过点 ，求直线 与圆 的方程。
【解析】：（1）Step1：设直线方程：当直线斜率为 时，直线与抛物线交于一点，不符合题意，设 ;
Step2：直线与曲线联立：联立： ，得 ;
【解析】：（1）设 ，则切线方程为： ， ， ，当且仅当 时等号成立，即 ，代入双曲线方程中，可得 ， 的方程为 。
（2)可得椭圆方程为： ；
step1：设直线方程：斜率为0的直线不满足，设 ;
Step2：直线与曲线联立：直线与曲线联立得： ，设交点A 、B ；
Step3：写出根与系数的关系：由韦达定理得： ， ；
与椭圆方程联立利用根与系数的关系pbpa会出现一个固定型关系式kx记住kxab恒过定点pbpa或以ab1求c的方程
秒杀高考题型之圆锥曲线中的直角弦
直角弦定义：直线与圆锥曲线相交于A、B两点，若存在点P，使得PA PB，则弦AB叫做相对于点P的直角弦。
直角弦有三种考法：
PA PB 以AB为直径的圆过点P ；
秒杀公式 ： 上一点 ，过 作互相垂直的两条直线 ，与椭圆交于 两点，则 恒过定点 。
秒杀方法：一般情况，直线AB（设直线AB方程为：y=kx+m。)与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，使 ，会出现一个固定型关系式： （记住，因运算较繁琐.)，即 ，AB恒过定点 （舍去），注意：若条件中以 或以AB为直径的圆过点P的形式给出，则不能舍去，答案有两个值。或 ，AB恒过定点 。
（2）由 ，所以 ，
step1：设直线方程：设 : ;
Step2：直线与曲线联立：直线 与椭圆 联立： ，化简得： ；
安徽省安庆二中2021高考数学(理)专题训练：圆锥曲线
圆锥曲线 一．选择题：（每小题5分，计75分）1.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x2.若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点在直线x －2y －2＝0上，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝－ 2B ．x ＝ 4C ．x ＝－8D ．y ＝－ 43.与椭圆C ：y216＋x212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－2x 2＝1 C.y 22－x 22＝1 D.y 23－x 2＝14．若双曲线x 2a2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x 5.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为9π，则p ＝( ) A ．2B ．4C ．6D ．86．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c ，0)，方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实数根分别是x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为( )A. 2B.72C ．2D.747.已知双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2.若直线AB 过原点，则k 1k 2的值为( ) A ．2B ．3 C. 3D. 68．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C的离心率为( ) A.36B.13C.12D.339.“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 11.设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x12.过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．213.如图，已知直线l ：y=k(x+1) (k> 0) 与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，且A 、B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M 、N ，若|AM|=2|BN|，则k 的值是( )(A) (B) (C) (D) 214.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为2，直线与双曲线交于两点，线段中点在第一象限，并且在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为，则直线的斜率为（ ）A ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．15.在同一坐标系中，离心率为的椭圆与离心率为的双曲线有相同的焦点，椭圆与双曲线的一个交点与两焦点的连线相互垂直，则( )(A) 2 （B ）3 （C ） （D ）二．非选择题：（16--21每小题5分，22--24每题15分，计75分）16.若双曲线x 29－y 216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16内，则实数m 的取值范围是________．17．已知F 为双曲线C ：x29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．18．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．19.已知F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段AF 2相切，若M (t,0)为一个切点，则t ＝________.20.已知椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝________.21.已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________．22.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为原点)．(1)求证：1a 2＋1b 2等于定值；(2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤32，22，求椭圆长轴长的取值范围．23.已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AP →＝λAQ →.(1)若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ； (2)若λ∈⎣⎡⎦⎤13，12，求|PQ |的最大值．24.已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：x 3 －2 4 2 y－23－422(1)求C 1、C 2的标准方程；(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M 、N ，且满足OM →⊥ON →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．1.解析：选C.e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝e 2－1＝54－1＝14，∴b a ＝12， ∴y ＝±12x .2.解析：选A.直线x －2y －2＝0与x 轴的交点坐标为(2，0)，即p 2＝2，故抛物线的准线方程为x ＝－p2＝－2.3．解析：选C.椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0，2)，设双曲线的标准方程为y 2m －x 2n＝1(m ＞0，n ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3m －1n ＝1m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2，故选C.4．解析：选B.先由双曲线的离心率为3得到双曲线标准方程中a 与b 的关系，再求双曲线的渐近线方程．∵e ＝3，∴c a ＝3，即a 2＋b 2a2＝3， ∴b 2＝2a 2，∴双曲线方程为x 2a 2－y 22a2＝1， ∴渐近线方程为y ＝±2x .5.解析：选B.依题意得，△OFM 的外接圆半径为3，△OFM 的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分线x ＝p4上，圆心到准线x ＝－p 2的距离等于3，即有p 4＋p2＝3，由此解得p ＝4，选B.6．解析：选A.由于 e ＝c a ＝12，所以a ＝2c ，由a 2＝b 2＋c 2，得b a ＝32，x 1＋x 2＝－2b a ＝－3，x 1x 2＝c a ＝12，点P (x 1，x 2)到原点(0，0)的距离d ＝x 21＋x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＝ 2.7.解析：选B.由题意知e ＝ca＝2，则b 2＝3a 2，双曲线方程可化为3x 2－y 2＝3a 2，设A (m ，n )，M (x ，y )，则B ＝(－m ，－n )，k 1k 2＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n2x 2－m 2＝3x 2－3a 2－3m 2＋3a2x 2－m 2＝3.8．解析：选D.依据椭圆的定义以及三角学问求解．如图，由题意知sin 30°＝|PF 2||PF 1|＝12，∴|PF 1|＝2|PF 2|. 又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 2|＝2a3.∴tan 30°＝|PF 2||F 1F 2|＝2a32c ＝33. ∴c a ＝33.故选D.9.解析：与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点．答案：A 10.解析：直线AB 的斜率k ＝0＋13－1＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1，②①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.即k ＝－b 2a 2×2－2， ∴b 2a 2＝12. ③又a 2－b 2＝c 2＝9， ④ 由③④得a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1，故选D.答案：D11.解析：以MF 为直径的圆过点(0,2)，∴点M 在第一象限．由|MF |＝x M ＋p 2＝5得M ⎝⎛⎭⎫5－p2，2p ⎝⎛⎭⎫5－p 2.从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，122p ⎝⎛⎭⎫5－p 2， ∵点N 的横坐标恰好等于圆的半径，∴圆与y 轴切于点(0,2)，从而2＝122p ⎝⎛⎭⎫5－p2，即p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8，∴ 抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C. 答案：C12.解析：记抛物线y 2＝2px 的准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，BC ⊥AA 1，垂足分别是A 1、B 1，C ，则有cos 60°＝|AC ||AB |＝|AA 1|－|BB 1||AF |＋|BF |＝|AF |－|BF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝3，选C. 答案：C 13.[解析] 设点，则由抛物线的定义可得，整理得①.联立直线与抛物线方程得，依据根与系数的关系，可得，与①联立得，，所以点，其斜率为. 答案：C14.依据题意可设双曲线的方程为. 依据抛物线的定义可得点M （），设点，则、，两式相减得，由于，则得，即直线l 的斜率为. 答案：C15.依题意，设焦距为，椭圆长轴长，双曲线实轴长，令点在上去先的右支上，由椭圆的定义知，①由双曲线的定义知，②又，，由①②得，，即，故. 答案：A16.解析：问题等价于已知双曲线的渐近线4x ±3y ＝0与圆相离或者相切，故实数m 满足|4m |5≥4，即m ≥5或者m ≤－5.答案：(－∞，－5]∪[5，＋∞)17．解析：由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5，0)，且A (5，0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|PA |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|PA |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.答案：4418．解析：依据双曲线的定义及已知条件，利用余弦定理建立关于a ，c 的方程求解． 设点P 在双曲线右支上，F 1为左焦点，F 2为右焦点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .∵在双曲线中c ＞a ，∴在△PF 1F 2中，|PF 2|所对的角最小且为30°.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 30°，即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac ，即3a 2＋c 2－23ac ＝0.∴(3a －c )2＝0，∴c ＝3a ，即ca＝ 3.∴e ＝ 3. 答案： 319.解析：如图，P 、Q 分别是圆C 与F 1A 的延长线、线段AF 2相切的切点，则|MF 2|＝|F 2Q |＝2a －(|F 1A |＋|AQ |)＝2a －|F 1P |＝2a －|F 1M |，即|F 1M |＋|MF 2|＝2a ，所以t ＝a＝2. 答案：220.解析：将x ＝－3代入椭圆方程得y P ＝12，由|PF 1|＋|PF 2|＝4⇒|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72. 答案：7221.解析：椭圆焦点为(1,0)在直线l ：y ＝x －1上 椭圆顶点(0，－1)在直线l 上．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1x 2＋2y 2＝2得3x 2－4x ＝0 ∴x ＝0，x ＝43 ∴|F 1A |＋|F 1B |＝823. 答案：82322.(1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，x ＋y －1＝0消去y ，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0，① ∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0， 即4a 4－4(a 2＋b 2)a 2(1－b 2)＞0 ⇒a 2b 2(a 2＋b 2－1)＞0， ∵a ＞b ＞0，∴a 2＋b 2＞1.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程①的两实根． ∴x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b 2.②由OP ⊥OQ 得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝1－x 1，y 2＝1－x 2， 得2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0.③式②代入式③化简得a 2＋b 2＝2a 2b 2.④ ∴1a 2＋1b2＝2. (2)利用(1)的结论，将a 表示为e 的函数由e ＝ca⇒b 2＝a 2－a 2e 2，代入式④，得2－e 2－2a 2(1－e 2)＝0. ∴a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2).∵33≤e ≤22，∴54≤a 2≤32. ∵a ＞0，∴52≤a ≤62. ∴长轴长的取值范围为[5，6]．23.解：(1)证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 1，－y 1)． ∵AP →＝λAQ →，∴x 1＋1＝λ(x 2＋1)，y 1＝λy 2，∴y 21＝λ2y 22，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1＝λ2x 2，∴λ2x 2＋1＝λ(x 2＋1)，λx 2(λ－1)＝λ－1， ∵λ≠1，∴x 2＝1λ，x 1＝λ，又F (1,0)，∴MF →＝(1－x 1，y 1)＝(1－λ，λy 2) ＝λ⎝⎛⎭⎫1λ－1，y 2＝λFQ →， ∴直线MQ 经过抛物线C 的焦点F . (2)由(1)知x 2＝1λ，x 1＝λ，得x 1x 2＝1，y 21·y 22＝16x 1x 2＝16， ∵y 1y 2＞0，∴y 1y 2＝4， 则|PQ |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－2(x 1x 2＋y 1y 2)＝⎝⎛⎭⎫λ＋1λ2＋4⎝⎛⎭⎫λ＋1λ－12 ＝⎝⎛⎭⎫λ＋1λ＋22－16， λ∈⎣⎡⎦⎤13，12，λ＋1λ∈⎣⎡⎦⎤52，103， 当λ＋1λ＝103，即λ＝13时，|PQ |2有最大值1129，|PQ |的最大值为473.24.解：(1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证四个点知(3，－23)，(4，－4)在抛物线上，易得C 2：y 2＝4x .设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，把(－2,0)，⎝⎛⎭⎫2，22代入得⎩⎨⎧4a 2＝1，2a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.所以C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)简洁验证当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)，与C 1的交点为M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0， Δ＝(－8k 2)2－4(1＋4k 2)·4(k 2－1)＝48k 2＋16＞0， 于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2.①y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]， 即y 1y 2＝k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(k 2－1)1＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1 ＝－3k 21＋4k 2.②由OM →⊥ON →，即OM →·ON →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.(*)将①、②代入(*)式，得4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，解得k ＝±2，所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.。
2021高考数学专题复习：圆锥曲线(2)
2021高考数学专题复习:椭圆1.定义:122.PF PF a+=()()()()()()()()2222 12122222122222222212,,,0,,022,0,0211.00,2P x y F c F c a PF PF a x c y x c y a cx y y x a A a A A ax ya a ca b x y b B b B B bb a c-⇒=+⇒=+++-+>⎧=⇒=±⇒±⇒=⎧+=⎪⎪-⇒⇒+=⎨⎨=⇒=±⇒±⇒=⎪⎪⎩=-⎩令2.标准方程:()()2222222211x yF xa by xF ya b⎧+=⎪⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩在轴在轴222222222222242222112x yc y y a ca ba b b ax cb b by y MNa a a⎧+=-⎪⇒+=⇒=⎨⎪=⎩⇒=⇒=±⇒=3.长轴长:2a短轴长:2b焦距:2c通径:22bMNa=4.勾股关系: 222a b c=+,1BF=a5.离心率:cea=取值范围: ()0,16.椭圆上点P到焦点1F的距离最大值为a c+ ,最小值为a c-7.椭圆22221+=x ya b的左右焦点为,,21FF过点1F的弦,AB则2ABF∆的周长为4a，直线mx=与椭圆交于DC,两点,当m时CDF1,∆的周长最大值为4a2021高考数学专题复习:双曲线1.定义:()()()121221222PF PF a PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⇒-=⎨⎪-=⎩右支双曲线左支()()()()()()()()22221212222212222222222212,,,0,,022,0,021 1.0........0,2P x y F c F c a PF PF a x c y x c y a c x y y x a A a A A a x y a c a a b x y b B b B B b b c aφ-⇒=-⇒=++--+<⎧=⇒=±⇒±⇒=⎧-=⎪⎪-⇒⇒-=⎨⎨=⇒=-⇒±⇒=⎪⎪⎩=-⎩令2.标准方程:()()2222222211x yF x a b y x F y a b⎧-=⎪⎪⎪⎨⎪⎪-=⎪⎩在轴在轴 222222222222242222112x y cy y c a a b a b b a x c b b b y y MN a a a⎧-=-⎪⇒-=⇒=⎨⎪=⎩⇒=⇒=±⇒=3.实轴长:2a 虚轴长:2b 焦距:2c 通径:22b a4.勾股关系: 222c b a =+,5.离心率: ce a=取值范围: ()1,+∞ 6.渐近线()()..b y x F x aa y x F yb ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩在轴在轴 ()()22222222222222222222222211x y x y b x b y y x F x a b a b a a y x y x a x a y y x F y a b a b b b ⎧-=⇒=⇒=⇒=±⎪⎪⎨⎪-=⇒=⇒=⇒=±⎪⎩在轴在轴7.双曲线右支上点P 到左焦点1F 的距离最小值为,a c +P 到右焦点2F 的距离最小值为 c a - 双曲线上点P 到焦点距离最小值为 c a -2021高考数学专题复习:抛物线一.定义:()222222,,,0,:2.222222p p p p p p M x y F l x x y x x y x y px ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒-+=--⇒-+=+⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭开口 抛物线方程焦点坐标准线方程 焦点所在轴焦点坐标准线方程右px y 22=⎪⎭⎫⎝⎛0,2p 2px -= x 轴ax y =2:⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4a 4a x -= 左px y 22-= ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p 2p x =上py x 22= ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p 2p y -= y 轴by x =2:⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0b 4b y -=下py x 22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2p y =二．抛物线px y 22=一点()A A y x A ,焦半径2p x d AF A +== 抛物线px y 22-=一点()A A y x A ,焦半径22p x p x AF A A +-=+= 三．过焦点的直线l 与抛物线px y 22=交于()()B B A A y x B y x A ,,,两点()00,,y x M 是AB 的中点，则: 焦半径2px d AF A +==,,2p x BF B +=焦点弦()p x p x x BF AF AB B A +=++=+=02过焦点的直线l 与抛物线px y 22-=交于()()B B A A y x B y x A ,,,两点()00,,y x M 是AB 的中点，则: 焦半径2px d AF A +==,,2p x BF B += 焦点弦()p x p x p x x BF AF AB B A +-=+=++=+=00222021高考数学专题复习:椭圆(1)A.2214x y += B.2214y x +=C.22134x y +=D.22143x y +=2.椭圆221925x y +=的长轴长是 ( ) A.5 B.6 C.10 D.503.椭圆2212516x y +=上有一点P 到左焦点的距离是4，则点P 到右焦点的距离是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.64.已知椭圆的焦点为()()()0,3,1,0,1,0P-在椭圆上,则椭圆的方程为 ( )A.13422=+y xB.1422=+y x C.14322=+y x D.1422=+x y5.椭圆63222=+y x 的焦距是 ( )A.2B.()232- C.52D.()232+6.椭圆长轴长为,33该椭圆的方程为 ( ) A.221128x y += B.221128x y +=或221128y x +=C.22132x y +=D.22132x y +=或22132y x +=7.椭圆141622=+y x 上的两个焦点是,,21F F 弦AB 过焦点,1F 则2ABF ∆的周长为 ( ) A ．8 B ．16 C ．24 D ．328.21,F F 是椭圆191622=+y x 两焦点,过2F 的直线交椭圆于点B A ,,若5=AB ,则=+11BF AF ( ) A.9 B.10 C.11 D.169.椭圆的焦距等于2，则=m ( ) A.5或3 B.8C.5D.1610.椭圆2214x y +=的左焦点为,F P 为椭圆上一点，其横坐标为,3则=PF ( ) A.12 B.32 C.52 D.7211.()()22223310x y x y +++-=表示的曲线的标准方程为12.椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为(),2,0则=m ( )A.2B.3C.5D.613.椭圆5522=+ky x 的一个焦点是(),1,0那么=k14.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 ( )A.116922=+y x B.1162522=+y x C.1162522=+y x 或1251622=+y xD.以上都不对15.椭圆的焦点坐标为()(),0,1,0,121F F -过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于Q P ,两点,且3=PQ ,求椭圆的方程16.椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( ) A.22 B.2 C.21D.2317.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(),0,1F离心率等于21,则C 的方程是 ( )A.14322=+y xB.13422=+y xC.12422=+y xD.13422=+y x18.焦点在x 轴的椭圆过,21,3,22,2⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B A 则椭圆的离心率为 ( ) A.23 B.21C.26D.3319.若椭圆的两焦点为()(),0,2,0,2-且椭圆过点,23,25⎪⎭⎫⎝⎛-则椭圆方程是20.椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则=m ( )A.41B.21C.2D.421.椭圆121022=-+-m y m x 焦点在y 轴上，若焦距为4，则=m ( )A.4B.5C.8D.1422.21,F F 是椭圆125922=+y x 的焦点,直线AB 是过点(),4,0-若8=AB ,则=+B F A F 22 ( )A.12B.16C.4D.823.已知椭圆离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为24.已知椭圆焦点在x 轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短 距离为3,这个椭圆方程为25.已知椭圆的离心率32=e ,短轴顶点坐标为()54,0±,椭圆的方程26.已知椭圆C: ()222210x y a b a b+=>>的左顶点和下顶点分别为,,A B AB =弦的长为2求椭圆C 的方程27.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()2,1A --,且2a b =．求椭圆C 的方程28.圆()()(),.164:22+∈=-+-N m m y x C 直线43160x y --=过椭圆()0,1:2222>>=+b a by a x E的右焦点,交圆C 所得弦长为()32,3,15A 在椭圆E 上.=m ，椭圆E 方程()()()()()()()()()()()222221122221242,13.2255210.35410.41,2.511.32612.74416.84416,511.91,4/4.110.2115,3162a a c b D a a a C a PF D c b a C x y c A a c b D a l a B a l a AB AF BF C c a b A P D x y a c =⇒==⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒+=⇒===⇒+=⇒=⇒==⇒=⇒=⇒==⇒=⇒===⇒+=⇒===⇒⎫⇒⎪⎭==⇒+()()()()()()()()2222222222222 1.51212645.6255131115294141.539221315323202143116::.1171,2.212181x y m m C my x k k k a b b a b C a c a b b a x y a a a b aa c abc A c e a b D m mx ny =+=⇒=+⇒=⇒+=⇒=+⇒=+==⎧⎧⇒-=⇒⇒⎨⎨==⇒-=⎩⎩⎧-=⎪⇒=⇒--=⇒=⇒=⇒+=⎨⎪=⎩=⇒==⇒=⇒=++=⇒()()()()()()()()2222122222222222112141421314192110612014.112124108.22420812:113632236,2323:3632n m x y e n m n x y a PF PF A C x y A mmm m m C F A F B AB a F A F B Ax y x a e c b y x y ⎧=⎧⎪=⎪⎪⇒⇒+=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩=+===+=+=⇒=⇒-=+-⇒=⇒++=⇒+=-=⇒+===⇒=⇒=⇒+=1⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()()()()()()2222222222222222122::2:243 1.1292::232512 1.144802026 1.16412712148242823,12a b c a x y b a c c e a b c x y a b a b x y bax y x y b b b c a a AF AF A E b ⎧⎧==⎪⎪⇒=⇒+=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩⎧=⇒=⎪⇒=⇒+=⎨⎪=⎩⎧+=⎪⇒+=⎨=⎪⎩+=⇒=⇒+=⎧=⎧=⎪⇒=+=⇒⎨⎨∈=⎪⎩224: 1.1618251631612455r x y E l m d m =⎧⎪⎪⇒+=⇒⎨=⎪⎪⎩⎩--===⇒=2021高考数学专题复习:双曲线(2)1.双曲线22145x y -=的离心率为 ( ) A.23 B.43 C.32D.22.以双曲线2213x y -=的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程可以是 ( ) A.()2224x y -+= B.()2222x y +-= C.()2222x y -+= D.()2224x y +-=3.双曲线221412x y -=的离心率等于 ；渐近线方程为 .4.双曲线2291x y -=-的渐近线方程为 .5.双曲线方程为2221x y -=,则它的右焦点坐标为 ( )A.,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.⎫⎪⎪⎝⎭C.⎫⎪⎪⎝⎭D.)6.双曲线8222=-y x 的实轴长是 ( ) A.2 B.22 C.4 D.247.已知双曲线15222=-y ax 的右焦点为()0,3,则该双曲线的离心率等于 ( )A.14 C.32 D.438.双曲线122=-x my 与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 ( )A.y =B.3y x =±C.13y x =± D.3y x =±9.双曲线12222=-bx a y 的两条渐近线互相垂直，则离心率=e ( )A.2B.3C.2D.2310.与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，且过点()2,2的双曲线方程为 ( )A.221312x y -= B.18222=-x y C.18222=-y x D.221312y x -=11.双曲线122=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍，则=m ( )A.41- B.4- C.4 D.4112.以15422=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程为13.双曲线116922=-y x 上的点M 到点()0,5-的距离为,7则M 到点()0,5的距离为 ( ) A.1或13 B.15 C.13 D.114.双曲线122=-my x 的一个焦点坐标为(),0,5-则双曲线的渐近线方程为 ( ) A. x y 41±= B. xy 21±=C. x y 2±=D. x y 4±=15.双曲线1322=-y m x 的离心率为,2则=m .16.经过点()62,62-M 且与双曲线22134y x -=有共同渐近线的双曲线方程为 ( ) A.22186y x -= B.22168x y -=C.22186x y -=D.22168y x -=17.已知双道曲线()0,0.1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为 ( )A ．y x =±B ．y x =C ．y =D ．y x =18.焦点在y 轴上的双曲线的离心率为,3则它的渐近线方程为 ( )A.2y x =±B.y x =C.x y 2±=D.x y 22±=19.已知中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的离心率为3,2实轴长为4,则双曲线的方程为 .20.已知双曲线1822=-y m x 的离心率为,3则实数=m ．21.以椭圆192522=+y x 的焦点为焦点，离心率2=e 的双曲线方程是 ( )A.112622=-y x B.114622=-y x C.114422=-y x D.112422=-y x22.双曲线122=-y mx 的焦点到它的渐近线的距离为23.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为 ( )A ．22144x y -= B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -=24.双曲线过点()(),6,3,3,2B A -则该双曲线的方程为25.设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是043=+y x 21,,F F 分别是 双曲线的左、右焦点，若101=PF ，则=2PF( )A.2B.18C.2或18D.16双曲线的标准方程27.已知双曲线13222=-by x 的右焦点到一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为 ( ) A.2 B.3 C.332 D. 22328.双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 和椭圆191622=+y x 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,求双曲线的方程29.若双曲线112422=-y x 上的一点P 到它的右焦点的距离为,8则点P 到它的左焦点的距离是 ( ) A ．4B ．12C ．4或12D ．630.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线与直线112y x =+平行，则它的离心率为( )2 D.232.F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点,,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为33.已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为,,21F F 过点2F 的直线与双曲线C 的右支相交于 Q P ,两点，且点P 的横坐标为,2则Q PF 1∆的周长为 ( )A ．3B ．C ．3D ．34.0241022=+-+x y x 的圆心是()0.19222>=-a y ax 的一个焦点,此双曲线渐近线方程为 ( ) A.x y 34±= B.x y 43±= C.x y 53±= D.x y 54±=35.双曲线223x y m m -1=的一个焦点是()2,0,椭圆221y x n m-=的焦距等于,4则=n36.与双曲线12422=-y x 共焦点，且过点()2,3的椭圆方程37.双曲线与椭圆1641622=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为,x y -=双曲线方程38.与椭圆1422=+y x 共焦点且过点()1,2Q 的双曲线方程39.已知12,F F 为双曲线22:1916x y C -=的左右焦点,点P 在C 的渐近线上12,0,PF PF P ⋅<横坐标取值 范围40.已知椭圆()()102222=++++-y c x y c x 的短轴长为2,b 那么直线:30l bx cy ++=截圆122=+y x 所得的弦长为41.双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO的面积为42青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰A ．3B ．62C ．213D ．7243.(多选)12,F F 为双曲线()2222:1,,0x y C a b a b-=>的左右焦点,点P 在C 上,若渐进线方程为30,x y ±=焦距为42,下列说法正确的是 A.实轴长2 B.离心率2C.双曲线焦点到渐近线距离6D.存在点P ，使得21F P =44.（单选）双曲线221:14x C y -=，双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 是双曲线2C 的一条渐近线上的点，且2OM MF ⊥，O 为坐标原点，若216OMF S =△，且双曲线12,C C 的离心率相同，则双曲线2C 的实轴长是 ( ) A ．32 B ．16 C ．8 D ．4()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222222222222212.32,.43.351.11226 1.9579542.841.319.10.11.12.13.14.151.16.17.18.19 1.45204.2122123.49112413613C D e y y x x y c e C x y a a C y x c A C A A C C C D C D x y D D m n m mx ny x m n n ===±-=⇒=⇒=⇒+==-=⇒=⇒=⇒-=⇒-=+==⎧⎧+=⇒⇒⇒⎨⎨+==-⎩⎩()()()()()()2222221 2.325.26 1.327.2814329.130::2:1:2y e C y x C x y C b a b c e D a -=⇒=-=-==⇒==⇒()()()()()()()()()2222222222231310,211344421442232216,42121628.233242345,04.353411,253236166Py x y x F t t t t t t t t t t m b l a m b x c PQ x PQ l a PQ A a F a B y m m m x c n nx y c t t t t ±⇒-=⇒-=⇒+-=-+⇒=⇒=⇒-=--===+=+===⇒⊥⇒==⇒=+=⇒⇒=⇒-+=⇒=-⇒+==⇒==⇒+=⇒+=++()()()()()()()())222222222221213122612031.93::1:1:37 1.2424483812 1.323953,43,3.338405.5541,:t t t t t t t x y a b a b c y x a b c c x y x F t y t t PF PF OP c P a d l a PO PFF l ⇒++=+⇒+-=⇒=⇒+=⎧=⇒=⎪==-=⎨=⇒=⎪⎩⇒-=⇒=⇒-=-⊥⇒==⇒⇒-=⇒===⇒===()()()()()222222222122224214424143::22,20::1:243.2.2181632442:2:12P S y x x y a a b a b c e a bb P a a y a bc BC a b e PF c a c c a S ab ab b a b a b⎧⎛⎪⇒⇒== ⎨ =⎝⎭⎪⎩⎧-=⎪⇒-=⇒=⇒=⇒=⎨⎪⎩±=⇒=⇒===≥-==⇒=⎪⎩⎧===⇒=⎪⇒⎨⎪=⇒=⎩.4B ⎧⇒⎨=⎩1.抛物线24y x =的准线方程是 ( ) A.1y = B.1y =- C.116y = D.116y =-2.已知抛物线22y px =的准线方程是2,x =-则=p ( ) A.2 B.4 C.2- D.4-3.抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点横坐标是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.44.已知抛物线x y 42=的焦点,F 该抛物线上的一点A 到y 轴的距离为3，则=AF( )A.4B.5C.6D.75.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于点,A 若3,AF =则点A 的坐标为 ( )A.()22,2B.()22,2-C.()22,2± D.()2,1±6.抛物线x y 12=上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 到y 轴的距离是 ( )7.O 为坐标原点,直线x =2与抛物线()2:2,0C y px p =>交于D ,E 两点,若,OD OE ⊥则C 的焦点坐标为8.抛物线x y 82-=的准线与双曲线12822=-y x 的两条渐近线所围成的三角形的面积为 ( ) A.8 B.6 C.4 D.29.已知点P 在抛物线y x 42=上，且点P 到x 轴的距离与点P 到此抛物线的焦点的距离之比为1:3, 则点P 到x 轴的距离是 ( ) A.41 B.12 C.1 D.210.若抛物线212y x m=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则m =11.点P 是抛物线x y 42=上一点P ,到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为 ( ) A ．2 B. 3 C. 4 D.512.抛物线x y 42=上一点P 到焦点F 的距离为10,则P 的坐标为 ( ) A.()9,6± B.()6,9 C.()6,9± D.()9,613.双曲线122=-my x 与抛物线x y 82=的一个交点为F P ,为抛物线的焦点，若,5=PF 则 双曲线的渐近线方程为 ( ) A.02=±y x B.02=±y x C.03=±y x D.03=±y x14.过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()2211,,,y x B y x A 两点,若==+AB x x ,821( )A.10B.8C.6D.415.过抛物线24y x =的焦点作直线l 交抛物线与B A ,两点，若中点的横坐标为3，则=AB ( ) A.10 B.8 C.6 D.416.过24y x =的焦点直线l 交抛物线于()()2211,,,y x Q y x P 两点，如果,621=+x x 则=PQ17.()0.22>=p px y 上一点M 到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,该点横坐标为 ( )A.10或 1B.9或 1C.10或2D.9或218.已知双曲线()0,0.12222>>=-b a by a x 的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为19.抛物线y x 22=上有一点,P 它到()3,1A 的距离与到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A.()1,2-B.11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()2,1-20.双曲线2221x y a-=()0>a 的一个焦点与抛物线218x y =的焦点重合,则此双曲线的离心率为( )A 333234321.已知点P 是抛物线28y x =-上一点，设P 到此抛物线准线的距离是1d ，到直线100x y +-= 的距离是,2d 则12d d +的最小值是 ( ) A.3B.23C.62D.322. 点()2,1A -x y 4,2-=的焦点是P F ,是24y x =-上的动点，为使PA PF +取得最小值，则P 点坐标为 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,41 B.()22,2- C.⎪⎭⎫⎝⎛--1,41 D.()22,2--23.双曲线22214x y b-=右焦点与抛物线x y 122=焦点重合,双曲线的焦点到其渐近线距离等于 ( ) A.5 B.24 C.3 D.524.440kx y k --=与x y =2交B A ,两点,若,4=AB 弦AB 的中点到直线102x +=的距离 ( ) A ．74 B.2 C ．94D.425.抛物线焦点在x 轴，经过点()O y M ,,20为坐标原点，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则=OM ( )A ．．．4 D ．26.24x y =焦点为,F 上有两点()()1122,,,A x y B x y 满足2AF BF -=,则221122y x y x +--=( )A.4 B ．6 C.8 D ．1027.双曲线()2222 1.0,0-=>>x y a b a b与抛物线28y x =有一个共同焦点F ,两曲线的一个交点为P ，若5,=PF 则点F 到双曲线的渐进线的距离为 ( )B.2D.328.抛物线mx y =2的焦点为,F 点()22,2P 在此抛物线上M ,为线段PF 的中点，则点M 到该 抛物线准线的距离为 ( ) A.1 B.23 C.2 D. 2529.()0,22>=p px y 焦点为()()()333222111,,,,,,y x P y x P y x P F 在抛物线上,2132x x x =+,则有( )A.123FP FP FP +=B.222123FP FP FP +=C.2132FP FP FP =+D.3122FP FP FP ⋅=30.双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线方程是,3x y =它的一个焦点在抛物线x y 682=的准线上,求双曲线的方程31.抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l ,点P 为抛物线上一点,且在第一象限,l PA ⊥,垂足为A ,4PF =, 则直线AF 的倾斜角等于 （ ） A ．712π B ．23π C ．34π D ．56π32.等轴双曲线C 的焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,34,=AB 则C 的 方程为33.双曲线C 的焦点在x 轴上,离心率为,25C 与抛物线x y 82=的准线交于,A B 两点,2,=AB 则C 的 方程为34.某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变12米，此时 桥洞顶部距水面高度约为 米35.已知抛物线2:12C y x =的焦点为,F A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于,B D 两点，且,,A F B 三点共线，则FA =（ ）A ．16B ．10C ．12D ．836.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ,准线为l ,P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线 （ ）A. 经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP37.F 为24y x =的焦点,C B A ,,为该抛物线上三点,若0=++FC FB FA ,FA FB FC ++=（ ） A ．9B ．6C ．4D ．338.(2020青岛模拟15)已知直线():1l y k x =-与抛物线()2:2,0C y px p =>在第一象限交点为,A l 过C的焦点,3,F AF =则抛物线的准线方程为 ，k =39.圆058:22=-+++ay x y x C 经过抛物线:E y x 42=焦点E ,的准线与圆C 相交所得弦长为40.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点()2,0A 的距离与P 到该抛物线准线的距离d 之 和的最小值为 （ ）A ．2B ．3 CD ．9241.抛物线()0.2:2>=p px y C 的准线为l ，过()0,1M l 相交于点A ，与C 的一个 交点为B ,若,=则p = ．()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()()()201.2.3.4.5.6.172,22,0.28.9.110.1611.12.133,3.148210.152********181,61710,6362101820.2229,6118D B C A C D D y x D B B C P m y D AB A AB x p B PQ p M p p M p p p B p M c ⎛⎫⇒=⇒ ⎪⎝⎭⇒=⇒=⇒=+=⇒=+=+=⇒=+==⇒±⎧⎪⎛⎫⎛⎫-±⇒=-⇒--=⇒⇒⎨⎪ ⎪=⇒±⎝⎭⎝⎭⎪⎩=()()()()22255 1.4::1:2:1191.22082.212,0,y a b x a b c x y B y x c a C F d C⎧⎪==⇒-=⎨=⎪⎩=⇒=⇒=⇒=⇒=-==⇒()()()()(()()()()0022212121212121221.4233,2.1792442.2442532242,.2261122,4448.y x A c a b d A x x d C pp y x M OM A y y y y x x y y y y D =⇒=-⇒==⇒===+⇒=⇒=⇒=+⇒=⇒=⇒±⇒=+-+=⇒-=⇒-=-=-=⇒()(()()()()()()((1221313222213213222273,,2,0221.352841,0.22292222230 1.618::2313,1,AF P F a PF PF a b A y x F M d D FP FP x x pp FP x FP x p FP FP FP Cx x x c x y a b a b c P A k ±⇒=-=⇒=⇒=⎛=⇒⇒⇒=⇒⎝+=++⎧⎪⎪=+⇒=+⇒+=⇒⎨⎪+=⎪⎩⎧=⎪⇒==-=⎨=⎪⎩⇒-⇒=()(()()()()()()()2222222.1612321,4,1422411331,2,11141222228,64181834,14146,.776,2362359,9312.36B x y A t a a t t tx y x y A t t m am x ay a x y d y m am AF FB A y AF PQ --=-⇒=⇒=⇒=⇒=⎛-=-⇒-=⇒=⇒-= ⎝⎭⇒=⎧⎪⎛⎫=⇒=-⇒=-⇒⇒-⇒==⎨⎪+⇒=+⎝⎭⎪⎩=⇒⇒=+==()()()()()()()(()()()()()()()123123123222min.371110336.381,0:4, 1.32,54225390,1421:140.241,2PF B x x x x x x FA FB FC x x x B F C y xx AFA k r x yF a AB l d l y PA d PA PF PA PFAF A p A ⇒⇒-+-+-=⇒++=⇒++=+++=⇒⇒==-=⇒⇒=⎧=⎧+++=⎪⇒=⇒⇒⇒==⎨⎨==-⎩⎪⎩+=+⇒+==⇒-())22222222,1,0,1241202B A p p p x B y M AM MB y x y pxp p p ⎧⎛⎫⎧⎫=+++⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪=⇒⇒⇒⎭⎝⎭⎨⎨⎪⎝⎭⎪⎪=-=⎩⎩+-=⇒=2021高考数学专题复习:面积方程问题1.点P 在椭圆1222=+y x 上21,,F F 两焦点012,90,F PF ∠=则21PF F ∆的面积是2.21,F F 为双曲线141622=-y x 两焦点，双曲线上点P 满足021120=∠PF F ,21PF F ∆的面积为( )A ．334B ．25C.2D.53.21,F F 为椭圆22214x y b+=两个焦点,,221=F F 点P 在双曲线上且,90021=∠PF F 21PF F ∆的面积是4.P 为椭圆13422=+y x 上的一点,21,F F 为该椭圆的两个焦点，若,60021=∠PF F 则21PF F ∆的 面积等于 ( ) A.3 B.3 C.32 D.25.椭圆C 两焦点()()0,4,0,421F F -P ,在C 上，若21F PF ∆面积的最大值为C ,12方程为6.已知21,F F 为双曲线1:22=-y x C 左右焦点,点P 在C 上,=⋅=∠21021,60PF PF PF F ( )A ．2 B.4 C.6 D.87.21,F F 是14922=+y x 的两焦点,P 是椭圆上的点，且,1:2:21=PF PF 21F PF ∆面积为 ( ) A.4 B.6 C.22 D.248.2218y x -=两个焦点为12,F F P ,是双曲线上的一点，,4:3:21=PF PF 则=∆21F PF S ( ) A.310 B.38 C.58 D.5169.设21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上,0,21=⋅PF PF =21PF PF10.1422=+y x 焦点为21,F F ,P 为其上的动点，当021120=∠PF F 时,=∆21PF F S . 当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标取值范围11.椭圆22221x y a b+=两焦点为()(),0,1,0,1-满足P b a ,4322=在椭圆上,1,21=-PF PF 椭圆方程 =∠21cos PF F12.已知点P 是椭圆22184x y +=上一点,21,F F 分别为左右焦点,若12PF F ∆的面积为,312cos F PF ∠=13.双曲线15422=-y x 与椭圆1162522=+y x 交于点,P 左右焦点分别为12,,F F =21PF PF14.已知()(),0,5,0,5BA -动点C 到B A ,两点的距离之和为6,设P 为C 上一点,0,=⋅PB PA=⋅21PF PF15.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =16.21,F F 是椭圆12222=+by a x 的左右焦点,()4,3P 是椭圆上一点,,21PF PF ⊥椭圆方程()()()()()()()()()000022220121211tan 45142.tan 6033tan 45 3.43tan 30.1512835 1.22592414286cos 604.222274,2,4.6:3:486,2S S A S S B x y b b a m n mn c mn mn B mn mnm nm n F F PF PF S A m n m n m n m =⋅===⇒=⋅==⋅=⇒=⋅⋅⇒=⇒=⇒+=-+-+-=⇒=⇒=⇒=⎧⇒===⊥⇒=⇒⎨+=⎩=⎧⇒=⎨-=⎩()()()122200221221121218,68.249 2.121101tan 6012.22::211 1.431534,2212A A A n F F S C m n mn m n S S c y y x x a x y a b c c b PF PF PF PF PF PF F F c ==⇒=⋅⋅=+=⎧⇒=⎨+=⎩⎛=⋅===⋅⋅⇒=⇒=⇒∈ ⎝⎭=⎧⎧=⎪⎪⇒+=⎨⎨==⎪⎪⎩⎩⎧⇒+===⎪⇒⎨-=⎪⎩==()()()()2222121122122222203cos .252347124tan3tancos cos 2cos 1.2242522510134100168421.4146321208.94tan 454215::1:PF PF F F F PF PF PF m n mn mn m n x y m n a b m n mn S b b e a b c θθθθθ⎧+-⎪⇒∠==⎨⋅⎪⎩⋅=⇒=⇒=⇒=-=+=⎧⇒=-=⇒=⎨-=⎩+=⇒=⇒=⇒+=⇒+=⇒===⇒===()222221219161624415 1.2444520a x y S cb bc c c c c ⎧⎪⇒=⎨⎪⎩=⋅=⇒=⇒+=⇒=⇒+=+2021高考数学专题复习:离心率1.若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF ∆为等边三角形的椭圆的离心率是( )A.41B.21C.22D.232.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则该椭圆的离心率为 ( ) A.51 B.43 C.33 D.213.直线:220l x y -+=与坐标轴的交点分别是一个椭圆的焦点和顶点，椭圆的离心率为 ( )A.55B.255C.55或255D.254.椭圆()5.15222>=+a y ax 的的左焦点为,F 直线x m =与椭圆相交于点,,B A FAB ∆的周长的最大值 是12,则该椭圆的离心率=e5.已知点12,F F 分别是椭圆()2222:1,0x y C a b a b+=>>的左右焦点,O 为坐标原点,点P 在椭圆上,且满足1221 2,3,F F OP tan PF F =∠=则C 的离心率为6.已知P 是以21,F F 为焦点的双曲线()0,,12222>=-b a b y a x 上一点,若21tan ,2121=∠⊥F PF PF PF ,则双曲线的离心率为7.设21,F F 分别是双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的左右焦点,若双曲线右支上存在一点P ,使()O P F OF OP ,022=⋅+为坐标原点,且,321PF PF=则该双曲线的离心率为 （ ）A.31+B.312+ C.62+ D.622+8.设双曲线()0,0.1:2222>>=-b a b y a x C 的左右焦点分别为21,F F P ,是C 上的点,,212F F PF ⊥,45021=∠F PF 则C 的离心率为9.已知21,F F 是双曲线22221-=x y a b的左右焦点,点P 是以21,F F 为直径的圆与双曲线的一个交点，且12215,PF F PF F ∠=∠则双曲线离心率为10.已知双曲线()0,0.1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线截圆()11:22=+-y x M 所得弦长为3，则该双曲线的离心率为 ( ) A.43 B.233 C.63 D.5311.已知21,F F 是双曲线()0,0.1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左支交于B A ,两点．若5:4:3::22=AF BF AB ,则双曲线的离心率为 .12.已知抛物线x y 82=的准线与双曲线1:222=-y ax C 相切，则双曲线C 的离心率为 ( )A.25B.23C.552D.33213.设点P 是双曲线(a by a x 12222=-)0,0>>b 与圆2222b a y x +=+在第一象限的交点，其中21,F F分别是双曲线的左右焦点，且212PF PF =,则该双曲线的离心率为14.21,F F 是双曲线22221x y a b-=的左右两个焦点,过点1F 作垂直于x 轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于B A ,两点2,ABF ∆是直角三角形,则该双曲线的离心率为15.已知21,F F 是双曲线22221x y a b-=的左右两个焦点,过点1F 作垂直于x 轴的直线与双曲线分别交于B A ,两点2,ABF ∆是直角三角形,则该双曲线的离心率是16.过双曲线()0,0.12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作垂直于x 轴的直线,交双曲线的渐近线于,A B 两点，若OAB ∆(O 为坐标原点)是等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )A.33B.233C.3D.2 17.21,F F 是双曲线12222=-by a x 左右焦点,过2F 作与x 轴垂直的弦,PQ 且==∠e Q PF ,6001 ( ) A.3 B.2 C.2 D.2618.过双曲线()0,0.12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF 的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ( )A ．332B ．3C ．233D ．219.椭圆22221x y a b+=的左、右顶点分别是B A ,,左右焦点分别是21,F F 若B F F F AF 1211,,成等比数列， 则此椭圆的离心率为20.椭圆2222+=1x y a b的左右焦点分别是,,21F F 过2F 作倾斜角为0120的直线与椭圆的一个交点为,M 若1MF 垂直于x 轴,则椭圆的离心率为21.双曲线()0,0.12222>>=-b a by a x 的渐近线与抛物线21y x =+相切,该双曲线的离心率为 ( ) A.3 B.2 C.5 D.622.双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 焦距为1161,1022+=x y 与其渐近线相切,双曲线方程为（ ） A.22182x y -= B.22128x y -= C.2214x y -= D.2214y x -=23.点P 在椭圆12222=+by a x 上21,,F F 是椭圆的两个焦点,90,021=∠PF F 且21PF F ∆的三条边长成等差数列， 则此椭圆的离心率是24.已知双曲线一个焦点为(),0,51-F 点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为()2,0，则此双曲线 的离心率是 .25.双曲线的中心为原点O ,实轴在x 轴上,虚轴顶点为A ，左右焦点分别为,,21F F 线段12,OF OF 的中点 分别为12,B B ,且21B AB ∆是直角三角形,该双曲线的离心率为26.设12,F F 是双曲线1:2222=-by a x C 的两个焦点.若在C 上存在一点,P 使,30,02121=∠⊥F PF PF PF 则C 的离心率为 .27.椭圆22221+=x y a b上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为28.点A 是抛物线()0,2:21>=p px y C 与双曲线:2C 22221x y a b -=的一条渐近线的交点，若点A 到 抛物线1C 的准线的距离为,p 则双曲线2C 的离心率等于 ( )A.2B.3C.5D.629.设双曲线的一个焦点为,F 虚轴的一个端点为,B 如果直线FB 与该双曲线的一条渐进线垂直，那么此 双曲线的离心率为 ( ) A.2 B.3 C.312+ D. 512+30.椭圆的两个焦点和短轴两顶点是一个含060角的菱形的四个顶点，则椭圆离心率为31.若双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 离心率[],2,2∈e 则两条渐近线夹角θ的取值范围是32.12,F F 是双曲线()22221,0,0-=>>x y a b a b的两个焦点,过2F 作x 轴的垂线交双曲线于,A B 两点，若 1,3AF B π∠<则双曲线离心率取值范围为33.已知双曲线()22221,0,0-=>>x y a b a b的左顶点为,A 右焦点为(),0,c F 直线c x =与双曲线C 在第 一象限的交点为,P 过F 的直线l 与双曲线C 过二、四象限的渐近线平行，且与直线AP 交于点,B 若ABF ∆ 与PBF ∆的面积的比值为2，则双曲线C 的离心率为34.已知1,F 2F 是双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左右焦点，若直线2y x =与双曲线C 交于,P Q 两点，且四边形12PF QF 是矩形，则双曲线的离心率为 （ ）A ．55-B ．525+C 5+25D 525-35.若双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为,,21F F 线段21F F 被抛物线22y bx =的焦点 分成5:7的两段,则此双曲线的离心率为36.已知抛物线()0,22>=p px y 与双曲线12222=-b y a x 有相同的焦点,F 点A 是两曲线的交点， 且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为 ( )A.512+ B.21+ C.31+ D.2212+37.双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 左右焦点分别为A F F ,,21是双曲线上一点122,,⊥F F AF 若直线1AF 与圆22229++=a b x y 相切,切点为,M 则双曲线离心率为38.椭圆22221+=x y a b的左焦点1,F 该椭圆上一点A 满足1OAF ∆是等边三角形,则椭圆离心率为39.双曲线()22221,,0x y a b a b-=>的左、右焦点分别为为12,,F F 过2F 作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲 线的左支分别交于点,,A B 若()21,2OA OB OF =+则该双曲线的离心率为40.已知双曲线()22221,,0x y a b a b-=>的左右焦点分别为12,,F F 圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为,M 若123,MF MF =则该双曲线的离心率为41.设双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左焦点为1,F 直线:43200l x y -+=过点1F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，O 为原点1,,OP OF =则双曲线C 的右焦点的坐标为 ，离心率为 ．42.已知F 为双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的右焦点,,A B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF ⋅=且AF 的中点在双曲线C 上，则C 的离心率为 ( )1B.1- 1+ 143.已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y C a a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF//OA ，若0AB OB ⋅=,则双曲线C 的离心率为 ( )A.3 D.244.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线分别为1l ,2l ,点A 是x 轴上与坐标原点O 不重合的一点,以OA 为直径的圆交直线1l 于点O ,B ,交直线2l 于点O ,C ,若2BC OA =,则该双曲线的离心率是45.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A , 以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点,P Q .若60PAQ ∠=,且3OQ OP =（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为 ( )A B C D ．46.已知,,A B C 是双曲线()22221,0,0x y a b a b-=>>上的三个点,AB 经过坐标原点,O AC 经过双曲线的右焦点2,F 若22,2,BF AC AF CF ⊥=则该双曲线的离心率是 ( )A.53 D.9447.设双曲线()222210x y C a b a b-=>0,>：的左、右焦点分别为12122,,2,F F FF c F =过作x 轴的垂线，与双曲线 在第一象限的交点为A ，点Q 坐标为3,2a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭且满足22F Q F A >，若在双曲线C 的右支上存在点P 使得11276PF PQ F F +<成立，则双曲线的离心率的取值范围是___________.48.双曲线()222210x y a b a b-=>0,>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为,A 交另一条渐近线于点,B 且221,3AF F B =则双曲线的离心率为 ( ) A.53 17 17 D.9449.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且123PF F π∠=,记椭圆和双曲线的离心率分别为12,,e e 则221213e e +的值为 ( ) A.1 B.2512C.4D.16。
2021年高考文数第二轮第3讲 圆锥曲线中的热点问题
P1(1，1)，P2(0，1)，P3－1，
23，
P41，
23中恰有三点在椭圆
C
上.
(1)求 C 的方程；
(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的 和为－1，证明：l 过定点.
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考前顶层设计·英语
(1)解 由于点 P3，P4 关于 y 轴对称，由题设知 C 必过 P3，P4.又由a12＋b12>a12＋43b2知，
设l：x＝m，A(m，yA)，B(m，－yA)，
k1＋k2＝yAm－1＋－ymA－1＝－m2＝－1，得 m＝2，
此时l过椭圆C右顶点，与椭圆C不存在两个交点，故不满足.
从而可设l：y＝kx＋m(m≠1). 将 y＝kx＋m 代入x42＋y2＝1 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
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考前顶层设计·英语
以 x22＝m－(3－2y2)2＝－14m2＋52m－94＝－14(m－5)2＋4≤4，所以当 m＝5 时，点 B 的 横坐标的绝对值最大，最大值为 2. 答案 5
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2.(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆
C：ax22＋by22＝1(a>b>0)，四点
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真题感悟 1.(2018·浙江卷)已知点 P(0，1)，椭圆x42＋y2＝m(m>1)上两点 A，B 满足A→P＝2P→B，
则当 m＝________时，点 B 横坐标的绝对值最大. 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A→P＝2P→B，得－ 1－x1y＝1＝2x22（，y2－1），即 x1＝－2x2， y1＝3－2y2.因为点 A，B 在椭圆上，所以4x4422x＋22＋y22（＝3m－，2y2）2＝m，得 y2＝14m＋34，所
2021高考数学(理)二轮专题复习【统考版】课件：2.5.3 圆锥曲线中的证明、定点及定值问题
所以直线 AB 的方程为 y＝kx－k－2＝k(x－1)－2.易知直线 AB
过定点(1，－2)．
当直线 AB 的斜率不存在时，设其方程为 x＝m，A(m，y3)，B(m， y4)，
则y3－ m 2＋y4－ m 2＝y3＋my4－4＝－4， 易知 y3，y4 互为相反数，所以 y3＋y4＝0， 所以 m＝1，可知直线 x＝1 也过定点(1，－2)．
6ktx＋3t2－12＝0， 则 Δ＝(6kt)2－4(3k2＋2)(3t2－12)>0，即 6k2－t2＋4>0， x1＋x2＝－3k62k＋t 2，x1x2＝33tk22－＋122.
由 l1 与 l2 的斜率之和为－4，可得y1x－1 2＋y2x－2 2＝－4，
又 y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t， 所以y1x－1 2＋y2x－2 2＝kx1＋x1t－2＋kx2＋x2t－2＝2k＋t－2x1xx12＋x2 ＝2k＋t－32t2－·3－k1226＋kt2＝－4，化简得 t＝－k－2(t＝2 舍去)．
以 xD＝52，
因为 MG 中点的横坐标为52，所以 D 为线段 MG 的中点，
所以|MD|＝|DG|.
考点二 定点问题
解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆 (其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其 实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这 些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步：
(2)若 AC⊥l1，垂足为 C，直线 BC 交 x 轴于点 D，证明：|MD| ＝|DG|.
解析：(1)因为椭圆 E 的焦距为 2 3，所以 c＝ 3， 所以 a2－b2＝3，①
当 l2 垂直于 x 轴时．|MG|＝3，因为△ABG 的面积为32 3，
高考数学：圆锥曲线复习题附答案解析
圆锥曲线复习题1．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，经过F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．求弦AB 的长．【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解．【解答】解：∵抛物线C ：y 2＝4x ，∴抛物线的焦点F （1，0），p ＝2，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵直线l 经过F 倾斜角为60°，∴直线l 的方程为y =√3(x −1)，联立方程{y =√3(x −1)y 2=4x，化简整理可得，3x 2﹣10x +3＝0， 由韦达定理可得，x 1+x 2=103，∴|AB |=|AF|+|BF|=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p =103+2=163． 【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题．2．已知A(2，√2)为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）与抛物线y 2＝2px 的交点，设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，抛物线的焦点为F ，直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分．（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）若直线l ：y ＝kx +m 与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1相交于P 、Q 两点，且△OPQ 的重心恰好在圆O ：x 2+y 2＝1上，求m 的取值范围．【分析】（1）利用点A 为椭圆和抛物线的交点，代入两个方程，即可求出抛物线的方程，再利用直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分，求出c 的值，由此得到a ，b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理和判别式大于0，由△POQ 重心恰好在圆x 2+y 2＝1上，得到(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=9，利用韦达定理进行化简变形，表示出m 2的表达式，由基本不等式求解即可得到答案．【解答】解：（1）由题意可知，点A(2，√2)为椭圆与抛物线的交点，4a 2+2b 2=1且2＝4p ，解得p =12，则y 2＝x ；又直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分，所以c +14=97(c −14)，解得c ＝2，则a 2﹣b 2＝4，解得b =2，a =2√2，抛物线的方程为y 2＝x ；椭圆的方程为x 28+y 24=1； （2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{x 28+y 24=1y =kx +m，可得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0， 由Δ＞0，可得4（2k 2+1）＞m 2（※），且x 1+x 2=−4km1+2k 2，由△POQ 重心恰好在圆x 2+y 2＝1上，可得(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=9，即(x 1+x 2)2+[k(x 1+x 2)+2m]2=9，即(1+k 2)(x 1+x 2)2+4km(x 1+x 2)+4m 2=9，所以16(1+k 2)k 2m 2(1+2k 2)2−16k 2m 21+2k 2+4m 2=9，化简得m 2=9(1+2k 2)24(4k 2+1)，代入（※）中可得k ∈R ，设4k 2+1=t ⇒k 2=t−14(t ≥1)，则m 2=9(1+2k 2)24(4k 2+1)=9(t 2+2t+1)16t =916(t +1t +2)≥94， 当且仅当t ＝1时取等号，故m 2≥94，则实数m 的取值范围为m ≤−32或m ≥32．【点评】本题考查了椭圆标准方程以及抛物线标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．3．点P （x 0，y 0）为椭圆C ：x 25+y 2＝1上位于x 轴上方的动点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点．（1）若线段PF 1的垂直平分线经过椭圆C 的上顶点B ，求点P 的纵坐标y P ；（2）设点A （t ，0）为椭圆C 的长轴上的定点，当点P 在椭圆上运动时，求|P A |关于x 0的函数f （x 0）的解析式，并求出使f （x 0）为增函数的常数t 的取值范围；（3）延长PF 1、PF 2，分别交C 于点M 、N ，求点P 的坐标使得直线MN 的斜率等于−19．【分析】（1）根据题意，建立关于x 0，y 0的方程组，解出即可；（2）由两点间的距离公式表示出f （x 0），再由二次函数的性质可得出t 的取值范围；（3）设出点M ，N 的坐标及直线PF 1，直线PF 2的方程，分别与椭圆方程联立，进而可得到直线MN 的斜率，再结合题意可得到x 0＝5y 0，代入椭圆方程即可得到答案．【解答】解：（1）由题意可知，B （0，1），|PB |＝|BF 1|，则√x 02+(y 0−1)2=√5，即x 02+(y 0−1)2=5，而点P （x 0，y 0）在椭圆x 25+y 2=1上，则x 025+y 02=1，联立{ x 02+(y 0−1)2=5x 025+y 02=1y 0＞0，解得y 0=√5−14， ∴点P 的纵坐标为y p =√5−14； （2）∵|PA|=√(x 0−t)2+y 02=√(x 0−t)2+1−x 025=√4x 025−2tx 0+t 2+1， ∴f(x 0)=√4x 025−2tx 0+t 2+1，x 0∈(−√5，√5)，其对称轴为x 0=5t 4，要使f （x 0）为增函数，只需5t 4≤−√5， ∴−√5≤t ≤−4√55；（3）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），直线PF 1的方程为x ＝my ﹣2，直线PF 2的方程为x＝ny +2，则m =x 0+2y 0，n =x 0−2y 0， 由{x =my −2x 2+5y 2=5得（m 2+5）y 2﹣4my ﹣1＝0， ∴y 1=4m m 2+5−y 0=−y 04x 0+9，x 1=my 1−2=−9x 0−204x 0+9， 同理，由{x =ny +2x 2+5y 2=5得（n 2+5）y 2+4ny ﹣1＝0， ∴y 2=y 04x 0−9，x 2=9x 0−204x 0−9， ∴k MN =y 04x 0−9+y 04x 0+99x 0−204x 0−9+9x 0+204x 0+9=x 0y 09x 02−45=−19， ∴5−x 02=x 0y 0，则5y 02=x 0y 0，又y 0＞0，∴x 0＝5y 0，代入椭圆方程得y 0=5√66，∴x 0=5√66，∴P(5√66，√66)．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查化简变形及运算求解能力，特别是对运算能力要求较高，属于较难题目．4．过椭圆W ：x 22+y 2＝1的左焦点F 作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A （0，1），另一条过F 的直线l 2交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点（0，﹣1）重合，过F 做x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ．（Ⅰ）求椭圆W 的离心率和B 点坐标；（Ⅱ）求证：E ，G 两点关于x 轴对称．【分析】（I ） 由题意可得直线 l 1 的方程为y ＝x +1．与椭圆方程联立方程组，即可求解B 点坐标；（II ） 设 C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），l 2的方程为y ＝k （x +1），联立方程组，根据根与系数的关系，求得x 1+x 2=−4k 22k 2+1x 1x 2=2k 2−22k 2+1，进而得出E ，G 点的纵坐标，化简即可证得，得到证明．【解答】解：（I ）由椭圆的标准方程x 22+y 2=1，得a =√2，b ＝1，c ＝1，所以椭圆的离心率为e =c a =√22， 由题意可得l 1的方程为y ＝x +1，与椭圆方程联立得{y =x +1x 22+y 2=1．， 解得x ＝0或−43，当x =−43时，y =−13，所以B(−43，−13)．解：（2）当l 2斜率不存在时，C ，D 两点与E ，G 重合，因为椭圆W 关于x 轴对称，所以E ，G 两点关于x 轴对称；当l 2斜率存在时，设 C （x 1，y 1），（x 1≠−43），D （x 2，y 2），（x 2≠0），设l 2的方程为y ＝k （x +1）（k ≠1），y 1＝k （x 1+1），y 2＝k （x 2+1），A(0，1)，B(−43，−13)，所以直线BC 的方程为y +13=y 1+13x 1+43(x +43)， 直线AD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ， 联立 {y +13=y 1+13x 1+43(x +43)x =−1，解得 y =y 1−x 1−13x 1+4=(k−1)(x 1+1)3x 1+4， 所以G(−1，(k−1)(x 1+1)3x 1+4)， y =x 2−y 2+1x 2=(1−k)(x 2+1)x 2， 所以E(−1，(1−k)(x 2+1)x 2)， 所以y G +y E =(1−k)(x 1+1)3x 1+4+(1−k)(x 2+1)x 2=(1−k)[2x 1x 2+3(x 1+x 2)+4]3x 1x 2+4x 2， 联立{x 22+y 2=1y =k(x +1)，得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，因为Δ＝（4k2）2﹣4（2k2+1）（2k2﹣2）＝8k2+8＞0，所以x1+x2=−4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1，所以y G+y E=(1−k)(2⋅2k2−22k2+1−3⋅4k22k2+1+4)3x1x2+4x2=0，所以y G＝﹣y E，综上所述：E，G两点关于x轴对称．【点评】本题考查椭圆的离心率，椭圆与直线的综合应用，属于难题．5．作斜率为﹣1的直线l与抛物线C：y2＝2px交于A，B两点（如图所示），点P（1，2）在抛物线C上且在直线l上方．（Ⅰ）求C的方程并证明：直线P A和PB的倾斜角互补；（Ⅱ）若直线P A的倾斜角为θ(π4＜θ＜π2)，求△P AB的面积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用点P在抛物线上，求出p的值，即可得到抛物线的方程，联立直线与抛物线方程，求出b的取值范围，利用两点间斜率公式以及韦达定理化简k P A+k PB＝0，即可证明；（Ⅱ）先由倾斜角的范围确定直线P A斜率的范围，结合（Ⅰ）中的结论，进一步求解b 的取值范围，由弦长公式求出|AB|，点到直线的距离公式求出三角形的高，用b表示出三角形的面积，构造函数f（x）＝（x+1）（3﹣x）2，x∈（﹣1，3），利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为点P（1，2）在抛物线C上，所以22＝2p×1，解得p＝2，因此抛物线C的方程为y2＝4x，设直线l的方程为y＝﹣x+b，因为直线l与抛物线C交于A，B两点，且点P（1，2）在直线l的上方，所以设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且1+2﹣b ＞0，即b ＜3，由{y =−x +b y 2=4x，可得x 2﹣（2b +4）x +b 2＝0， 而由Δ＝[﹣（2b +4）]2﹣4b 2＝16（b +1）＞0，解得b ＞﹣1，因此﹣1＜b ＜3，且x 1+x 2＝2b +4，x 1x 2=b 2，所以k PA +k PB =y 1−2x 1−1+y 2−2x 2−1=−x 1−2+b x 1−1+−x 2−2+b x 2−1=−(x 1−1)−3+b x 1−1+−(x 2−1)−3+b x 2−1=−2+(b −3)(1x 1−1+1x 2−1) =−2+(b −3)×x 1+x 2−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=−2+(b −3)×2b+2b 2−2b−3=−2+2(b+1)(b−3)(b+1)(b−3)=0(−1＜b ＜3)，即k P A +k PB ＝0，所以直线P A 和直线PB 的倾斜角互补；（Ⅱ）因为直线P A 的倾斜角为θ(π4＜θ＜π2)，所以k P A ＞1，又由（Ⅰ）可知，k P A +k PB ＝0，所以k PA k PB =−k PA 2＜−1， 由（Ⅰ）可知，−(x 1−1)−3+b x 1−1⋅−(x 2−1)−3+b x 2−1＜−1， 即x 1x 2+(2−b)(x 1+x 2)+(2−b)2x 1x 2−(x 1+x 2)+1＜−1， 所以−4b+12b 2−2b−3＜−1，解得﹣1＜b ＜3，又因为|AB|=√2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2×√b +1，而点P 到直线l 的距离为√2，所以△P AB 的面积S =4√22×√b +1×√2=2√(b +1)(3−b)2， 设f （x ）＝（x +1）（3﹣x ）2，x ∈（﹣1，3），则f '（x ）＝3x 2﹣10x +3＝（3x ﹣1）（x ﹣3），当x ∈(−1，13)时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈(13，3)时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， 故当x =13时，f （x ）取得最大值为f(13)=25627，所以△P AB的面积的最大值为2√f(13)=32√39．【点评】本题考查了抛物线标准方程的求解、直线与抛物线位置关系的应用，两点间斜率公式的应用，弦长公式以及点到直线距离公式的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．。
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解41---圆锥曲线的方程与性质
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第41讲圆锥曲线的方程与性质[考情分析]高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．考点一圆锥曲线的定义与标准方程核心提炼1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p 的值．例1(1)(2022·衡水中学模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP且线段AP的长为2＋2，则该椭圆方程为()A.x 24＋y 22＝1B.x 28＋y 23＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 28＋y 24＝1 答案 D解析 设椭圆的半焦距为c ，因为点P 在以线段F 1A 为直径的圆上，所以AP ⊥PF 1.又因为F 2B ∥AP ，所以F 2B ⊥BF 1.又因为|F 2B |＝|BF 1|，所以△F 1F 2B 是等腰直角三角形，于是△F 1AP 也是等腰直角三角形，因为|AP |＝2＋2，所以|F 1A |＝2(2＋2)，得a ＋c ＝2(2＋2)，又b ＝c ，所以a ＝2c ，解得a ＝22，c ＝2，得b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1. (2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 是C 右支上的一点(不是顶点)，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则|MO |＝________. 答案 4解析 延长F 2M 交PF 1于点Q ，由于PM 是∠F 1PF 2的角平分线，F 2M ⊥PM ，所以△QPF 2是等腰三角形，所以|PQ |＝|PF 2|，且M 是QF 2的中点．根据双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即|QF 1|＝2a ，由于O 是F 1F 2的中点，所以MO 是△QF 1F 2的中位线，所以|MO |＝12|QF 1|＝a ＝4. 易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a 2＝b 2＋c 2，双曲线中的关系式为c 2＝a 2＋b 2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．跟踪演练1 (1)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的方程为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 24－y 28＝1或y 24－x 28＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1 答案 D解析 设双曲线方程为x 22m －y 2m＝1(m ≠0)， ∵2a ＝4，∴a 2＝4，当m >0时，2m ＝4，m ＝2；当m <0时，－m ＝4，m ＝－4.故所求双曲线的方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1. (2)已知A ，B 是抛物线y 2＝8x 上两点，当线段AB 的中点到y 轴的距离为3时，|AB |的最大值为( )A ．5B ．5 2C ．10D ．10 2答案 C解析 设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，线段AB 的中点为M .如图，分别过点A ，B ，M 作准线l 的垂线，垂足分别为C ，D ，N ，连接AF ，BF .因为线段AB 的中点到y 轴的距离为3，抛物线y 2＝8x 的准线l ：x ＝－2，所以|MN |＝5.因为|AB |≤|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝2|MN |＝10，当且仅当A ，B ，F 三点共线时取等号，所以|AB |max ＝10.考点二 椭圆、双曲线的几何性质 核心提炼1．求离心率通常有两种方法(1)求出a ，c ，代入公式e ＝c a. (2)根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．2．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共渐近线bx ±ay ＝0的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．考向1 椭圆、双曲线的几何性质例2(2022·河南五市联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心的圆恰好与双曲线C 的两条渐近线相切，且该圆恰好经过线段OF 2的中点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±233x D ．y ＝±2x答案 B解析 由题意知，渐近线方程为y ＝±b ax ， 焦点F 2(c ，0)，c 2＝a 2＋b 2，因为以F 2为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，则圆的半径r 等于圆心到切线的距离，即r ＝⎪⎪⎪⎪±b a ·c 1＋⎝⎛⎭⎫±b a 2＝b ， 又该圆过线段OF 2的中点，故c 2＝r ＝b ， 所以b a ＝b 2a 2＝b 2c 2－b2＝33. 所以渐近线方程为y ＝±33x . 考向2 离心率问题例3(多选)(2022·全国乙卷)双曲线C 的两个焦点为F 1，F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos ∠F 1NF 2＝35，则C 的离心率为( ) A.52B.32 C.132 D.172 答案 AC解析 不妨设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． 当两个交点M ，N 在双曲线两支上时，如图1所示，图1设过F 1的直线与圆D 相切于点P ，连接OP ，由题意知|OP |＝a ，又|OF 1|＝c ，所以|F 1P |＝b .过点F 2作F 2Q ⊥F 1N ，交F 1N 于点Q .由中位线的性质，可得|F 2Q |＝2|OP |＝2a ，|PQ |＝b .因为cos ∠F 1NF 2＝35， 所以sin ∠F 1NF 2＝45， 故|NF 2|＝52a ，|QN |＝32a ， 所以|NF 1|＝|F 1Q |＋|QN |＝2b ＋32a . 由双曲线的定义可知|NF 1|－|NF 2|＝2a ，所以2b ＋32a －52a ＝2a ，所以2b ＝3a . 两边平方得4b 2＝9a 2，即4(c 2－a 2)＝9a 2，整理得4c 2＝13a 2，所以c 2a 2＝134， 故c a ＝132，即e ＝132. 当两个交点M ，N 都在双曲线上的左支上时，如图2所示，图2同理可得|F 2Q |＝2|OP |＝2a ，|PQ |＝b .因为cos ∠F 1NF 2＝35， 所以sin ∠F 1NF 2＝45， 可得|NF 2|＝52a ，|NQ |＝32a ， 所以|NF 1|＝|NQ |－|QF 1|＝32a －2b ， 所以|NF 2|＝|NF 1|＋2a ＝72a －2b ， 又|NF 2|＝52a ，所以72a －2b ＝52a ， 即a ＝2b ，故e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52.故选AC.规律方法 (1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求b a 或a b的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．跟踪演练2 (1)(2022·全国甲卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为( ) A.32 B.22 C.12 D.13答案 A解析 设P (m ，n )(n ≠0)，则Q (－m ，n )，易知A (－a ，0)，所以k AP ·k AQ ＝n m ＋a ·n －m ＋a ＝n 2a 2－m 2＝14.(*) 因为点P 在椭圆C 上，所以m 2a 2＋n 2b 2＝1，得n 2＝b 2a2(a 2－m 2)，代入(*)式，得b 2a 2＝14， 所以e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32.故选A. (2)(多选)(2022·衡水中学模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若|AF 1|＝|BF 2|＝2|AF 2|，则( )A ．∠AF 1B ＝∠F 1ABB ．双曲线的离心率e ＝333C ．双曲线的渐近线方程为y ＝±63x D ．原点O 在以F 2为圆心，|AF 2|为半径的圆上答案 AB解析 设|AF 1|＝|BF 2|＝2|AF 2|＝2m ，则|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝3m ，由双曲线的定义知，|AF 1|－|AF 2|＝2m －m ＝2a ，即m ＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，即|BF 1|－2m ＝2a ，∴|BF 1|＝3m ＝|AB |，∠AF 1B ＝∠F 1AB ，故选项A 正确；由余弦定理知，在△ABF 1中，cos ∠AF 1B ＝|AF 1|2＋|BF 1|2－|AB |22|AF 1|·|BF 1|＝4m 2＋9m 2－9m 22·2m ·3m ＝13， 在△AF 1F 2中，cos ∠F 1AB ＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22·|AF 1|·|AF 2|＝4m 2＋m 2－4c 22·2m ·m ＝cos ∠AF 1B ＝13， 化简整理得12c 2＝11m 2＝44a 2，∴离心率e ＝c a ＝4412＝333，故选项B 正确； 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±c 2－a 2a 2x ＝±e 2－1x ＝±263x ， 故选项C 错误；若原点O 在以F 2为圆心，|AF 2|为半径的圆上，则c ＝m ＝2a ，与c a ＝333相矛盾，故选项D 错误． 考点三 抛物线的几何性质核心提炼抛物线的焦点弦的几个常见结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p .(3)当AB ⊥x 轴时，弦AB 的长最短为2p .例4 (1)(2022·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，射线FM 与y 轴交于点A (0,2)，与抛物线C 的准线交于点N ，FM →＝55MN →，则p 的值等于( )A.18 B ．2 C.14D ．4 答案 B解析 设点M 到抛物线的准线的距离为|MM ′|，抛物线的准线与x 轴的交点记为点B.由抛物线的定义知，|MM ′|＝|FM |.因为|FM ||MN |＝55， 所以|MM ′||MN |＝55， 即cos ∠NMM ′＝|MM ′||MN |＝55， 所以cos ∠OF A ＝cos ∠NMM ′＝55， 而cos ∠OF A ＝|OF ||AF |＝p 2⎝⎛⎭⎫p 22＋22＝55，解得p ＝2. (2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知O 为坐标原点，过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M (p ，0)．若|AF |＝|AM |，则( )A ．直线AB 的斜率为2 6B ．|OB |＝|OF |C ．|AB |>4|OF |D ．∠OAM ＋∠OBM <180°答案 ACD解析 对于A ，由题意，得F ⎝⎛⎭⎫p 2，0. 因为|AF |＝|AM |，且M (p ，0)， 所以x A ＝x F ＋x M 2＝34p ，将其代入抛物线方程y 2＝2px ，得y A ＝62p ， 所以A ⎝⎛⎭⎫34p ，62p ，所以直线AB 的斜率k AB ＝k AF ＝62p －034p －p 2＝26，故A 正确；对于B ，由选项A 的分析，知直线AB 的方程为y ＝26⎝⎛⎭⎫x －p2，代入y 2＝2px ，得12x 2－13px ＋3p 2＝0，解得x ＝34p 或x ＝13p ，所以x B ＝13p ，所以y B ＝－63p ，所以|OB |＝x 2B ＋y 2B ＝73p ≠|OF |，故B不正确；对于C ，由抛物线的定义及选项A ，B 的分析， 得|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝1312p ＋p ＝2512p >2p ，即|AB |>4|OF |，故C 正确； 对于D ，易知|OA |＝334p ，|AM |＝54p ， |OB |＝73p ，|BM |＝103p ， 则cos ∠OAM ＝|OA |2＋|AM |2－|OM |22|OA |·|AM |＝3316p 2＋2516p 2－p 22×334p ·54p＝21533>0，cos ∠OBM ＝|OB |2＋|BM |2－|OM |22|OB |·|BM |＝79p 2＋109p 2－p 22×73p ·103p＝470>0，所以∠OAM <90°，∠OBM <90°，所以∠OAM ＋∠OBM <180°，故D 正确．综上所述，选ACD.规律方法 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p 的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．跟踪演练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________． 答案 x ＝－32解析 方法一 (解直角三角形法)由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ， 所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p 2p ＝p 6，解得p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32.方法二 (应用射影定理法)由题易得|OF |＝p 2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.(2)(2022·济宁模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A ，B ，C .若AB →＝2BF →，则线段BC 的中点到准线的距离为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 B解析 由抛物线的方程可得焦点F (1,0)，渐近线的方程为x ＝－1，由AB →＝2BF →，可得|AB ||BF |＝2，由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图所示，作BE 垂直准线于点E ， 准线交x 轴于点N ，则|BF |＝|BE | ，故|AB ||BF |＝|AB ||BE |＝2，故∠ABE ＝π4 ， 而BE ∥x 轴，故∠AFN ＝π4，所以直线AB 的倾斜角为π4，所以直线AB 的方程为y ＝x －1， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，整理可得x 2－6x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝6，所以BC 的中点的横坐标为3， 则线段BC 的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.专题强化练一、单项选择题1．(2022·中山模拟)抛物线C ：y 2＝2px 上一点(1，y 0)到其焦点的距离为3，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝8x C ．y 2＝12x D ．y 2＝16x 答案 B解析 因抛物线C ：y 2＝2px 上一点(1，y 0)到其焦点的距离为3，则p >0，抛物线准线方程为x ＝－p2，由抛物线定义得1－⎝⎛⎭⎫－p2＝3，解得p ＝4， 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .2．已知双曲线x 2m －y 2＝1(m >0)的一个焦点为F (3,0)，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±24x B ．y ＝±22xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x答案 A解析 因为双曲线x 2m －y 2＝1(m >0)的一个焦点为F (3,0)，所以由m ＋1＝32，得m ＝8， 所以双曲线方程为x 28－y 2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±24x .3．(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．3 2 答案 B解析 方法一由题意可知F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1.设A ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0， 则由抛物线的定义可知|AF |＝y 204＋1.因为|BF |＝3－1＝2，所以由|AF |＝|BF |，可得y 204＋1＝2，解得y 0＝±2，所以A (1,2)或A (1，－2)．不妨取A (1,2)，则|AB |＝(1－3)2＋(2－0)2＝8＝22，故选B. 方法二 由题意可知F (1,0)，故|BF |＝2， 所以|AF |＝2.因为抛物线的通径长为2p ＝4， 所以AF 的长为通径长的一半， 所以AF ⊥x 轴，所以|AB |＝22＋22＝8＝2 2.故选B.4.(2022·潍坊模拟)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F 到下顶点的距离为36，F 到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为( )A.53B.54C.43D.45 答案 B解析 点F (0，c )到渐近线y ＝±ab x ，即ax ±by ＝0的距离d ＝|±bc |a 2＋b 2＝b ＝12， 又由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝36，a 2＋122＝c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16，c ＝20，所以e ＝c a ＝2016＝54.5．(2022·福州质检)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且满足AF 1⊥AB ，|AF 1||AB |＝43，则该椭圆的离心率是( )A.23B.53C.33D.63 答案 B解析 如图所示，设|AF 1|＝4x ，则|AB |＝3x ，因为AF 1⊥AB ，则|BF 1|＝|AB |2＋|AF 1|2＝5x ， 由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 2|＋|BF 1|)＝4a ＝12x ，则x ＝a 3，所以|AF 1|＝4x ＝4a 3， 则|AF 2|＝2a －4a 3＝2a3，由勾股定理可得|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 则⎝⎛⎭⎫4a 32＋⎝⎛⎭⎫2a 32＝4c 2，则c ＝53a ， 因此该椭圆的离心率为e ＝c a ＝53.6.如图，圆O 与离心率为32的椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切于点M (0,1)，过点M 引两条互相垂直的直线l 1，l 2，两直线与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D (均不重合)．若P 为椭圆上任意一点，记点P 到两直线的距离分别为d 1，d 2，则d 21＋d 22的最大值是( )A ．4B ．5 C.163 D.253答案 C解析 易知椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝1， 设P (x 0，y 0)， 因为l 1⊥l 2，则d 21＋d 22＝|PM |2＝x 20＋(y 0－1)2，因为x 204＋y 20＝1，所以d 21＋d 22＝4－4y 20＋(y 0－1)2＝－3⎝⎛⎭⎫y 0＋132＋163， 因为－1≤y 0≤1，所以当y 0＝－13，即点P ⎝⎛⎭⎫±423，－13时，d 21＋d 22取得最大值163. 二、多项选择题7．(2022·临沂模拟)2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F (0,2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y 轴交于点G .若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则( )A ．椭圆的长轴长为4 2B ．|AB |的取值范围是[4,2＋22]C ．△ABF 面积的最小值是4D ．△AFG 的周长为4＋4 2 答案 ABD解析 由题意知，椭圆中的几何量b ＝c ＝2， 得a ＝22，则2a ＝42，A 正确； |AB |＝|OB |＋|OA |＝2＋|OA |， 由椭圆性质可知2≤|OA |≤22， 所以4≤|AB |≤2＋22，B 正确； 记∠AOF ＝θ， 则S △ABF ＝S △AOF ＋S △OBF＝12|OA |·|OF |sin θ＋12|OB |·|OF |sin(π－θ) ＝|OA |sin θ＋2sin θ ＝(|OA |＋2)sin θ， 取θ＝π6，则S △ABF ＝1＋12|OA |≤1＋12×22<4，C 错误；由椭圆定义知|AF |＋|AG |＝2a ＝42， 所以△AFG 的周长L ＝|FG |＋42＝4＋42， D 正确．8．(2022·济宁模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是双曲线C 上异于顶点的一点，则( ) A ．||P A 1|－|P A 2||＝2aB ．若焦点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点在C 上，则C 的离心率为 5 C ．若双曲线C 为等轴双曲线，则直线P A 1的斜率与直线P A 2的斜率之积为1D ．若双曲线C 为等轴双曲线，且∠A 1P A 2＝3∠P A 1A 2，则∠P A 1A 2＝π10答案 BCD解析 对于A ，在△P A 1A 2中，根据三角形两边之差小于第三边， 可知||P A 1|－|P A 2||<|A 1A 2|＝2a ，故A 错误； 对于B ，焦点F 2(c ，0)，渐近线不妨取y ＝bax ，即bx －ay ＝0，设F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为(m ，n )，则⎩⎨⎧n m －c ×ba ＝－1，b ×m ＋c 2－a ×n2＝0，得⎩⎨⎧m ＝a 2－b 2c，n ＝2abc ，即F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为⎝⎛⎭⎫a 2－b 2c ，2ab c ， 由题意知该点在双曲线上，故(a 2－b 2)2a 2c 2－(2ab )2b 2c 2＝1，将c 2＝a 2＋b 2 代入，化简整理得b 4－3a 2b 2－4a 4＝0，即b 2＝4a 2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，得e ＝5，故B 正确；对于C ，双曲线C 为等轴双曲线， 即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)， 设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 20－y 20＝a 2， 则x 20－a 2＝y 20，故12·PA PA k k ＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a＝y 20x 20－a2＝1，故C 正确； 对于D ，双曲线C 为等轴双曲线， 即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)， 且∠A 1P A 2＝3∠P A 1A 2， 设∠P A 1A 2＝θ，∠A 1P A 2＝3θ， 则∠P A 2x ＝4θ，根据C 的结论12·PA PA k k ＝1， 即有tan θ·tan 4θ＝1， ∴sin θcos θ·sin 4θcos 4θ＝1， ∴cos 5θ＝0， ∵θ＋3θ∈(0，π)， ∴θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴5θ＝π2，∴∠P A 1A 2＝θ＝π10.三、填空题9．写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：______________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为13.答案x 29＋y 28＝1(答案不唯一)解析 只要椭圆方程形如x 29m ＋y 28m ＝1(m >0)或y 29m ＋x 28m＝1(m >0)即可．10．(2022·淄博模拟)已知P 1，P 2，…，P 8是抛物线x 2＝4y 上不同的点，且F (0,1)．若FP 1--→＋FP 2--→＋…＋FP 8--→＝0，则|FP 1--→|＋|FP 2--→|＋…＋|FP 8--→|＝________.答案 16解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，…，P 8(x 8，y 8),P 1，P 2，P 3，…，P 8是抛物线x 2＝4y 上不同的点，点F (0,1)，准线为y ＝－1，则FP i --→＝(x i ，y i －1)(i ＝1,2，…，8)，所以FP 1--→＋FP 2--→＋…＋FP 8--→＝(x 1＋x 2＋…＋x 8，(y 1－1)＋(y 2－1)＋…＋(y 8－1))＝0，所以(y 1－1)＋(y 2－1)＋…＋(y 8－1)＝0，即y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8＝8，∴|FP --→1|＋|FP 2--→|＋…＋|FP 8--→|＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＋…＋(y 8＋1)＝y 1＋y 2＋…＋y 8＋8＝16.11．(2022·济南模拟)已知椭圆C 1：x 236＋y 2b 2＝1(b >0)的焦点分别为F 1，F 2，且F 2是抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点，若P 是C 1与C 2的交点，且|PF 1|＝7，则cos ∠PF 1F 2的值为________．答案57解析 依题意，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝12，而|PF 1|＝7，则|PF 2|＝5，因为点F 2是抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线l 过点F 1，如图，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，由抛物线定义知|PQ |＝|PF 2|＝5，而F 1F 2∥PQ ，则∠PF 1F 2＝∠F 1PQ ，所以cos ∠PF 1F 2＝cos ∠F 1PQ ＝|PQ ||PF 1|＝57. 12．(2022·福州质检)已知O 为坐标原点，F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，A 为C 的右顶点，过F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，且与y 轴交于点P .若直线AM 经过OP 的中点，则C 的离心率是________．答案 2解析 由题意可知，F (－c ，0)，A (a ，0)，渐近线不妨设为y ＝－b ax ， 则k FM ＝a b， 直线FM 的方程为y ＝a b(x ＋c )， 令x ＝0，可得y ＝ac b， 则P ⎝⎛⎭⎫0，ac b ， 则OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫0，ac 2b ， 联立⎩⎨⎧ y ＝－b a x ，y ＝a b (x ＋c )，解得M ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，ab c ， 因为直线AM 经过OP 的中点，所以ac 2b －00－a ＝ab c －0－a 2c－a ，则2b 2＝ac ＋c 2,2(c 2－a 2)＝ac ＋c 2， 即c 2－ac －2a 2＝0，则e 2－e －2＝0，解得e ＝－1 (舍)或e ＝2.四、解答题13．(2022·衡水中学模拟)双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且(F 1A --→＋F 1B --→)·AB →＝0，求l 的斜率．解 (1)设A (x A ，y A )．由题意知，F 2(c ，0)，c ＝1＋b 2，y 2A ＝b 2(c 2－1)＝b 4，因为△F 1AB 是等边三角形， 所以2c ＝3|y A |，即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2⎝⎛⎭⎫b 2＝－23舍去. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .(2)由已知，F 1(－2,0)，F 2(2,0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)．显然k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝k (x －2)，得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0. 因为l 与双曲线交于两点，所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)>0. 设AB 的中点为M (x M ，y M )． 由(F 1A --→＋F 1B --→)·AB →＝0，即F 1M →·AB →＝0， 知F 1M ⊥AB ，故1· 1.F M k k ＝－而x M ＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3，y M ＝k (x M －2)＝6k k 2－3，1F M k ＝3k 2k 2－3， 所以3k 2k 2－3·k ＝－1，得k 2＝35， 故l 的斜率为±155.。
2021高考数学圆锥曲线考什么？7大题型考点预测解析
2021高考数学圆锥曲线考什么？7大题型考点预测解析2021高考数学圆锥曲线考什么？今天给大家带来高考数学圆锥曲线7大题型预测解析，一起来掌握练习吧！学好圆锥曲线的几个关键点？1、牢记核心知识点核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。
2、计算能力与速度计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。
后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。
GaoKaoZhiTongChe当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。
3、思维套路拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。
老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。
大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。
一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线方程为y=kx+b。
二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。
三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。
走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。
例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。
4、题型总结圆锥曲线中常见题型总结1、直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式，有△＞0，直线与圆锥曲线相交；△=0，直线与圆锥曲线相切；△＜0，直线与圆锥曲线相离．若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。
2、圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。
2021版新高考数学：圆锥曲线中的定点、定值问题含答案
第八节圆锥曲线中的定点、定值问题
[考点要求]会证明与曲线上动点有关的定值问题、会处理动曲线(含直线)过定点的问题．
(对应学生用书第164页)
考点1定点问题
直线过定点
在平面直角坐标系xOy 中、动点
E 到定点(1、0)的距离与它到直线x ＝－1的距离相等．
(1)求动点E 的轨迹C 的方程；
(2)设动直线l ：y ＝kx ＋b 与曲线C 相切于点P 、与直线x ＝－1相交于点Q 、证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．
[解] (1)设动点E 的坐标为(x 、y )、由抛物线的定义知、动点E 的轨迹是以(1、0)为焦点、x ＝－1为准线的抛物线、所以动点E 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .
(2)证明：易知k ≠0.由⎩⎨⎧y ＝kx ＋b y2＝4x
、消去x 、得ky 2－4y ＋4b ＝0.因为直线l 与抛物线相切、所以Δ＝16－16kb ＝0、即b ＝1k 、所以直线l 的方程为y ＝kx ＋1k 、令
x ＝－1、得y ＝－k ＋1k 、所以Q (－1、－k ＋1k ).设切点P (x 0、y 0)、则ky 20－4y 0＋4k ＝
0、解得P (1k2、2k )、设M (m 、0)、则MQ →·MP →＝(1k2－m )·(－1－m )＋2k (－k ＋1k )＝m 2
＋m －2－m －1k2、所以当⎩⎨⎧m2＋m －2＝0，m －1＝0，
即m ＝1时、MQ →·MP →＝0、即MQ ⊥MP . 所以、以PQ 为直径的圆恒过x 轴上的定点M (1、0).
考点2 定值问题。
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2021年安徽省高考数学重难点热点复习：圆锥曲线
1．已知椭圆C ：
x 2a +
y 2b =1(a ＞b ＞0)过点(√2，
√6
2
)，且离心率为e =12
，若△PMN 为椭
圆C 的内接三角形，且MN ⊥x 轴，设直线PM ，PN 与x 轴的交点分别为G ，H ，（O 为原点）
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求|OG |2+|OH |2的最小值，并求出此时点P 的坐标．
【解答】解：（1）由题意得{ 2a 2+(√
6
2)2
b 2=1
c a =12
a 2=
b 2+
c 2
， 解得 {a =2b =√3，c =1 因此椭圆C 的方程为 x 24+y 2
3
=1．
（2）设点 M （x 1，y 1），N （x 1，﹣y 1），P （x 2，y 2）， 直线 PM 的斜率为 k PM =y 2−y
1x 2−x 1
，
直线 PM 的方程为 y −y 1=y 2−y 1x 2−x 1(x −x 1)， 令 y ＝0，解得 x =x 1y 2−x 2y 1
y 2−y 1
， 则点 G(x 1y 2−x 2
y 1
y 2−y 1，0)，同理可得点 H(x 1y 2+x 2
y 1
y 2+y 1
，0)，
∴x 1y 2−x 2y 1y 2−y 1
⋅
x 1y 2+x 2y 1y 2+y 1
=
x 12y 22−x 22y 1
2y 22−y 1
2=
(4−4y 123)y 22−(4−4y 223
)y 1
2y 22−y 1
2=4，
∴|OG|2+|OH|2=(x 1y 2−x 2y
1y 2−y 1)2+(x 1y 2+x 2y
1y 2+y 1
)2≥2|
x 1y 2−x 2y 1y 2−y 1⋅x 1y 2+x 2y 1
y 2+y 1
|=8． 当且仅当|OG |＝|OH |时，即点 P 为椭圆长轴端点时，|OG |2+|OH |2取最小值 8，此时点 P 的坐标为 （±2，0）．
2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
x 2a 2
+
y 2b 2
=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1
（﹣c ，0），F 2（c ，0）．已知（1，e ）和（e ，√3
2
）都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；
（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1
交于点P ． （i ）若AF 1﹣BF 2=
√6
2
，求直线AF 1的斜率；
（ii ）若S △APF 1=9S △BPF 2，求直线BF 2的斜率；
【解答】解：（1）由题设知，a 2＝b 2+c 2，e =c
a
， 由点（1，e ）在椭圆上，得
12a 2
+
e 2b 2
=1，即
1
a 2
+
c 2a 2b 2
=1，
即有b 2+c 2＝a 2b 2，则a 2＝a 2b 2，则b 2＝1，c 2＝a 2﹣1，
由点（e ，√3
2）在椭圆上，得e 2
a 2+
3
4b 2
=1，即
c 2
a 4
+
34
=1，
即有
a 2−1a =14，可得a 4﹣4a 2
+4＝0，解得a 2＝2，
则椭圆的方程为
x 22
+y 2＝1．
（2）由（1）得F 1（﹣1，0），F 2（1，0），又AF 1∥BF 2， 可设AF 1、BF 2的方程分别为my ＝x +1，my ＝x ﹣1，m ＞0， A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1＞0，y 2＞0．
联立{x 122+y 12=1my 1
=x 1
+1
，化为（2+m 2）y 12﹣2my 1﹣1＝0，解得y 1=m+√2+2m 22+m 2， 可得|AF 1|=√(x 1+
1)2
+(y 1−
0)2
=√(my 1
)2
+y 12
=√1+
m 2
•
m+√2+2m 2
2+m 2
=
√2(1+m 2)+m√1+m 2
2+m ，①
同理可得，|BF 2|=
√2(1+m 2)−m √1+m 2
2+m 2
②
（i ）由①②得，|AF 1|﹣|BF 2|=2m √1+m 22+m 2
=√6
2，
解得m 2＝2，
注意到m ＞0，则m =√2，。