第六章 平面向量初步6.1.2向量的加法 (课件)

【解析】如图所示，作 OA =a，AB =b， 则a+b= OA+ AB = OB。 所以|a+b|=| OB|= 82 82 =8 2（km）， 因为∠AOB=45°，所以a+b的方向是东北方向。 答案：8 2 km东北方向
类型一 向量的加法法则 【典例】1.（2019·济宁高一检测）如图，在△ABC中， D，E分别是AB，AC上的点，点F为线段DE延长线上 一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么（在横线上 只填上一个向量）：
用向量法证明几何问题的关键是把几何问题转化为向 量问题，通过向量的运算得到结论，然后把向量问题 还原为几何问题。
【习练·破】 如。所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且 BP CQ=0。
求证：
AP AQ＝AB AC.
【证明】因为 AP＝AB BP，AQ＝AC CQ， 所以 AP AQ＝AB AC BP CQ. 又因为 BP CQ =0，所以 AP AQ＝AB AC.
【解析】1.选C。 AB MB BO BC OM＝ AB BC
BO OM MB ＝AC 0＝AC. 2.1 MA BN AC CB ＝? MA AC CB BN ＝MC CN＝MN.? 2AB BD CA DC＝AB BD DC CA＝0.
【类题·通】 1.向量求和的注意点： （1）三角形法则对于两个向量共线时也适用。 （2）两个向量的和向量仍是一个向量。 （3）平行四边形法则对于两个向量共线时不适用。
2.利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”， 其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边 形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点 的“对角线”向量。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）a+0=a。
（）
（2）AB BA＝2AB.
（）
（3）AB BD DC AC.
（）
（4）a+（b+c）=c+（a+b） （ ）
Hale Waihona Puke Baidu
提示：（1）×。两个向量的和仍然是一个向量，所有 a+0=a。 （2）×。由向量加法的三角形法则知，AB BA =0。 （3）√。 AB BD DC＝AD DC＝AC. （4）√。由向量加法的交换律、结合律知，a+（b+c） =（a+b）+c=c+（a+b）。
所以 BC BA BD，?BC AB AB BC AC, 因为 BC BA BC AB , 所以 |BD || AC | ，即平行四边形对角线相等，故四边形 ABCD为矩形。
【类题·通】 向量是沟通“数”与“形”的桥梁。利用向量的加法 可以证明线段的平行和相等，在解决问题中应抓住向 量及其加法的几何意义求解。
【延伸·练】 若本例1的条件不变，则 AD BC FC =________。 【解析】 AD BC FC＝AD DF FC＝AC. 答案：AC
【习练·破】 如图，在正六边形ABCDEF中，点O为中心，AB =a，AF =b， 求 AC, AD, AE.
【解析】由向量的平行四边形法则，得 AO AB AF =a+b， 在平行四边形ABCO中，AC AB AO=a+a+b=2a+b，而 AD =2 AO =2a+2b，BC AO FE且=a+b，由向量的三角形法则， 得 AE AF FE =b+a+b=a+2b。
向量的加法
1.向量加法的定义及其运算法则 （1）向量加法的定义 定义：求两个向量和的运算，0为向量。
（2）向量求和的法则
（3）向量a，b的模与a+b的模之间的关系：
||a|－|b|| | a b || a| | b|.
【思考】 （1）向量求和的三角形法则中求和的两个向量的起点 与终点是怎样连接的？和向量的起点与终点是怎样的？ 提示：求和的两个向量“首尾连接”，其和向量是从 第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量。
（2）利用向量求和的三角形法则时，若向量a，b中有 零向量怎么办？若两向量共线时，能否利用三角形法 则求和？ 提示：对于零向量与任一向量a，规定0+a=a+0=a。当 两向量共线时，仍可以使用三角形法则求和。
（3）向量求和的平行四边形法则中“不共线”是否多 余，去掉可以吗？ 提示：不可以，因为如果两个向量共线，就无法以它 们为邻边作出平行四边形，也不会产生和向量。
3.译 ——向量 AB 方向为正东方向，长度为12.5，向量AD 的长度为25，若向量 AD ，AB的和向量AC与AB垂直，求向 量 AD的方向。
4.解 ——如图所示，以AB为一边，AC为对角线作平行四 边形，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，| DC |=| AB |=12.5， | AD|=25，∠CAD=30°。
5.答 ——渡船的航向为北偏西30°。
① AB DF=________；② AD FC =________。
2.下列说法正确的是________。 ①若|a|=3，|b|=2，则|a+b|≥1， ②若向量a，b共线，则|a+b|=|a|+|b|， ③若|a+b|=|a|+|b|，则向量a，b共线。
3.如图，已知三个向量a，b，c，试用三角形法则和平 行四边形法则分别作向量a+b+c。
【内化·悟】 （1）应用三角形法则求向量的和时，求和的两个向量 必须是“首尾连接”的吗？ 提示：不一定。如果不是“首尾相接”的向量，可以 用相等向量进行替换，或者利用运算律。
（2）如何用三角形法则与平行四边形法则作三个或以 上向量的和？ 提示：用分步作图的方法，即先作出其中两个向量的 和，再作所得和向量与第三个向量的和，直至完成作 图。
【素养·探】 在用向量加法证明几何问题时，经常利用核心素养中 的逻辑推理，通过对条件与结论的分析，确定论证思 路及方法予以证明。 若将本例改为： 四边形ABCD中，AB DC,且 BC BA B试C 求AB证,四边形 ABCD为矩形。
【证明】因为四边形ABCD中，AB DC，所以AB∥DC， 且| AB |=| DC|，所以四边形ABCD为平行四边形，如图
（4）平行四边形法则中，求和的两个向量与和向量的 起点有什么特点？和向量是怎样产生的？ 提示：求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以 求和的两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量。
2.向量加法的运算律 交换律 a+b=b+a
结合律 （a+b）+c=a+（b+c）
【思考】 （a+b）+（c+d）=（a+d）+（b+c）成立吗？ 提示：成立，向量的加法运算满足交换律和结合律， 因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的 次序和任意的组合去进行。
类型三 利用向量加法解决几何问题 【典例】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是 平行四边形。
【思维·引】 将互相平分利用向量表达，以此为条件推证使四边形 为平行四边形的向量等式成立。
【解析】如图，设四边形ABCD的对角线 AC，BD相交于点O，AB AO OB, DC DO OC. AC与BD互相平分，AO OC,OB DO,AB DC,因此AB∥CD， 且| AB |=| DC|，即四边形ABCD是平行四边形。
2.在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 （ ）
A.AB DC C.AB BD AD
B.AD AB AC? D.AD CB 0
【解析】选C。因为 AB AD DB BD AD ，故C错误。
3.若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则 |a+b|=________，a+b的方向是________。
【发散·拓】 向量求和的多边形法则 （1）已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的 起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和， 这称为向量求和的多边形法则。即
A0A1 A1A2 A2A3 An－2An－1 An－1An A0An .
（2）首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭 图形，则它们的和为0。
答案：① AC ② AB
2.①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1；② 中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之正 确，即③正确。 答案：①③
3.利用三角形法则作a+b+c，如图①所示，作 OA =a，以 A为起点，作 AB =b，再以B为起点，作 BC =c，则OC = OB BC＝OA AB BC =a+b+c。利用平行四边形法则作 a+b+c，如图②所示，作 OA =a，OB =b，OC =c，以 OA ， OB为邻边作▱OADB，则OD =a+b，再以 OD，OC为邻边作 ▱ODEC，则 OE＝OD OC =a+b+c。
（2）应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律， 使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整 向量相加的顺序。
【习练·破】
化简：1BC AB.2DB CD BC. 【解析】1BC AB＝AB BC＝AC.
2DB CD BC＝BC CD DB＝ BC CD DB＝BD DB＝0.
【内化·悟】 （1）解答本题的思路是什么？ 提示：打破旧格局，重新组合。 （2）这种解题操作的理论依据是什么？ 提示：向量加法的交换律与结合律。
【类题·通】 向量加法运算律的意义和应用原则 （1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形 的依据，实现多个向量的加法运算可以按照任意的次 序、任意的组合来进行。
类型二 向量加法运算律的应用 【典例】1.向量 (AB MB) (BO BC) OM化简后等于 （）
A. CB B. AB C. ACD.
AM
2.化简：（1）MA BN AC CB.
（2）AB BD CA DC.
【思维·引】 利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然 后再利用加法法则求和。
【思维·引】 1.利用相等向量与向量加法的三角形法则求解。 2.利用向量a，b的模与a+b的模之间的关系作出判断。 3.利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则作图。
【解析】1.如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边 形，由向量加法的运算法则可知：
①AB DF＝AB BC＝AC.? ②AD FC＝AD DB＝AB.
类型四 航行中的向量加法问题 【物理情境】 在长江南岸的某渡口A处，江水以12.5km/h的速度向东 流，“顺风号”渡船要以25km/h的速度，由南向北垂 直地渡过长江，其航向应如何确定？
【转化模板】 1.建 ——由题意可得渡船的实际垂直过江的速度是船 的速度与水流速度的和，因此解决此问题可建立向量加 法模型。 2.设 ——设 AB表示水流速度，AD表示渡船的速度，AC表示 渡船实际垂直过江的速度。