相似三角形综合题解析Word版
人教版九年级数学下《相似三角形》期末复习题及答案解析(WORD版)
九年级数学《相似三角形》提优训练题一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC 于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC 的周长为（）2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）3．（2013•孝感）如图，在△ABC 中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）7．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t ＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为_________ ．（填出一个正确的即可）12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为_________ cm．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP 的平分线交CE于Q，当CQ=CE 时，EP+BP= _________ ．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为_________ ．15．（2012•自贡）正方形ABCD 的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=_________ cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为_________ cm2．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O 中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C 是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是_________ （写出所有正确结论的序号）．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC 的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有_________ 条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当= _________ 时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC 面积的．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是_________ ．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n 分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n= _________ ．（用含n的式子表示）20．（2013•荆州）如图，△ABC 是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB 上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是_________ ．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．22．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．23．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE 交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．24．（2013•襄阳）如图，△ABC 内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．25．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．26．（2013•汕头）如图，⊙O 是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．27．（2013•朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC 的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10（1）求⊙O的半径．（2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．（3）求弦EC的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC 于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC 的周长为（），∴AG=2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）3．（2013•孝感）如图，在△ABC 中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）===，=，CD=CE=，EF=4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）BF=BC=a =a=5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BA D，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）==6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB 于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG 交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE 于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）∴∠DGA=∠CGN=45°=8．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）=DB：9．（2013•德阳）如图，在⊙O 上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O 半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）tan∠ABC==，CQ=•PC=PCtan∠ABC= ==∴CQ=•PC= CQ=×5=．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O 于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；。
(完整word版)相似三角形与圆的综合题
相似三角形与圆的综合考题1、已知:如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点,过E作⊙O的切线ED,切点为C，AD⊥ED交ED于点D,交⊙O于点F,CG⊥AB交AB于点G．求证:BG•AG=DF•DA．2、已知：如图,AB为⊙O的直径,AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．（1）求证：DE为⊙O的切线．(2）求证：AB：AC=BF：DF．3、(南通）已知：如图,AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D,DE⊥AC，E为垂足．(1)求证：∠ADE=∠B；(2)过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F,求证：FD•DA=FO•DE．4、如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B,AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E,且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．（1）直接写出AE与BC的位置关系；（2)求证：△BCG∽△ACE；（3）若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长．5、如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．(1)求证：PC 是⊙O的切线；（2）点D 在劣弧AC什么位置时,才能使AD2=DE•DF,为什么？（3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．6、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB 于H,交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．(1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？(3）在(2)的条件下,若OH=1，AH=2，求弦AC的长．7、如是⊙O的直径，CB、CD分别切⊙O于B、D两点，点E在CD的延长线上,且CE=AE+BC；（1）求证:AE是⊙O的切线；（2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF．8、已知：如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点,连结BD并延长，使CD=BD，连结AC.过点D作DE ⊥AC，垂足是点E．过点B作BE⊥AB，交ED延长线于点F，连结OF。
(完整word版)九年级数学相似三角形知识点及习题
相似三角形要点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点：1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SASSSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。
第27章相似三角形专题讲解：第2讲 相似三角形的性质(word精编版)-有答案
1、相似三角形对应边成比例，对应角相等。
2、相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比。
4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
【例1】如图，已知点D ，E ，F 分别是△ABC 三边的中点，则△DEF 与△ABC 对应高的比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶2【解答】解：∵△ADE 与△ABC 相似，∴△DEF 与△ABC 对应高的比等于相似比，即是1∶2 。
故答案是A【例2】如图，已知△ABC 中，AB ＝20，BC ＝14，AC ＝12，△ADE 与△ACB 相似，∠AED ＝∠B ，DE ＝5．求AD ，AE 的长．【解答】解：∵△ADE 与△ACB 相似， ∠AED ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴，∴∴AD ＝ ∵∴∴AE ＝【例3】如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是BC 边上一点，且BE ＝EC ，BD 、AE相似三角形的性质相似三角形的性质典题精练模块二利用相似比求相似三角形对应线段的比利用相似比求三角形的周长和面积相交于F 点．(1)求△BEF 与△AFD 的周长之比； (2)若S △BEF ＝6cm 2，求S △AFD .【解答】解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝BC ， ∴△BEF ∽△AFD .又∵BE ＝12BC ，∴BE AD ＝BF DF ＝EF AF ＝12，∴△BEF 与△AFD 的周长之比为BE ＋BF ＋EF AD ＋DF ＋AF ＝12；(2)由(1)可知△BEF ∽△DAF ，且相似比为12，∴S △BEF S △AFD ＝(12)2，∴S △AFD ＝4S △BEF ＝4×6＝24cm 2.【例4】若△ABC ∽△A ′B ′C ′，其面积比为1∶2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为( ) A ．1∶2 B.2∶2 C ．1∶4 D.2∶1【解答】解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，其面积比为1∶2，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为1∶2＝2∶2.故选B.【例5】如图所示，在锐角三角形ABC 中，AD ，CE 分别为BC ，AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别为18和8，DE ＝3，求AC 边上的高．【解答】解：过点B 作BF ⊥AC ，垂足为点F .∵AD ⊥BC, CE ⊥AB ，∴Rt △ADB ∽Rt △CEB ，∴BD BE ＝AB CB ，即BD AB ＝BECB ，且∠ABC ＝∠DBE ，∴△EBD ∽△CBA, ∴S △BED S △BCA ＝(DE AC )2＝818.又∵DE ＝3，∴AC ＝4.5.∵S △ABC ＝12AC ·BF ＝18, ∴BF ＝8.利用相似三角形的周长或面积比求相似比利用相似三角形的性质和判定进行计算【例6】如图所示，PN ∥BC ，AD ⊥BC 交PN 于E ，交BC 于D . (1)若AP ∶PB ＝1∶2，S △ABC ＝18，求S △APN ； (2)若S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，求AEAD的值．解：(1)因为PN ∥BC ，所以∠APN ＝∠B ，∠ANP ＝∠C ，△APN ∽△ABC ，所以S △APNS △ABC＝(APAB )2.因为AP ∶PB ＝1∶2，所以AP ∶AB ＝1∶3.又因为S △ABC ＝18，所以S △APN S △ABC ＝(13)2＝19，所以S △APN ＝2；(2)因为PN ∥BC ，所以∠APE ＝∠B ，∠AEP ＝∠ADB ，所以△APE ∽△ABD ，所以APAB ＝AE AD ，S △APN S △ABC ＝(AP AB )2＝(AE AD )2.因为S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，所以S △APN S △ABC ＝13＝(AE AD )2，所以AE AD ＝13＝33. 【例7】如图，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片．AD 是边BC 上的高，BC ＝40cm ，AD ＝30cm ．从这张硬纸片剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ．使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上．AD 与HG 的交点为M ． （1）求证：；（2）求这个矩形EFGH 的周长．【解答】（1）证明：∵四边形EFGH 为矩形， ∴EF ∥GH ， ∴∠AHG ＝∠ABC ， 又∵∠HAG ＝∠BAC ， ∴△AHG ∽△ABC ，利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题∴；（2）解：由（1）得：设HE ＝xcm ，MD ＝HE ＝xcm ，∵AD ＝30cm ， ∴AM ＝（30﹣x ）cm ， ∵HG ＝2HE ， ∴HG ＝（2x ）cm ， 可得，解得，x ＝12， 故HG ＝2x ＝24所以矩形EFGH 的周长为：2×（12+24）＝72（cm ）． 答：矩形EFGH 的周长为72cm ．【例8】如图，已知△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积是四边形P ABQ 面积的13时，求CP 的长；(2)当△PQC 的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长．【解答】解：(1)∵PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC ，∵S △PQC ＝13S 四边形P ABQ ，∴S △PQC ∶S △ABC＝1∶4，∵14＝12，∴CP ＝12CA ＝2；(2)∵△PQC ∽△ABC ，∴CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ，∴CP 4＝CQ 3，∴CQ ＝34CP .同理可知PQ ＝54CP ，∴C △PCQ ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋34CP ＝3CP ，C 四边形P ABQ ＝P A ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝(4－CP )＋AB ＋(3－CQ )＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－12CP ，∴12－12CP ＝3CP ，∴72CP ＝12，∴CP ＝247.一．选择题（共5小题）1．如果两个相似三角形对应边的比为4：5，那么它们对应中线的比是（ ）跟踪练习利用相似三角形的性质解决动点问题A．B．2：5 C．4：5 D．16：252．已知△ABC∽△A'B'C'，如果它们的相似比为2：3，那么它们的面积比是（）A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：43．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积的比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：14．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm，4.5cm和6m，另一个三角形的最长边长为12cm，则它的最短边长为（）A．6cm B．9cm C．16cm D．24cm5．已知△ABC∽△DEF，面积比为9：4，则△ABC与△DEF的对应角平分线之比为（）A．3：4 B．2：3 C．9：16 D．3：2二．解答题（共7小题）6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG＝BC吗？（3）DG＝5cm，试求△AEF的周长．7．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AE2＝AD•AB，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：DE∥BC；（2）如果S△ADE ：S四边形DBCE＝1：8，求S△ADE：S△BDE的值．9．如图，△ABC的面积为12，BC与BC边上的高AD之比为3：2，矩形EFGH的边EF 在BC上，点H，G分别在边AB、AC上，且HG＝2GF．（1）求AD的长；（2）求矩形EFGH的面积．10．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．11．已知△ABC中．AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边A′C′＝50cm，求△A′B′C′的周长和面积．12．已知如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．（1）当t为多少时，DE＝2DF；（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．如果两个相似三角形对应边的比为4：5，那么它们对应中线的比是（）A．B．2：5 C．4：5 D．16：25 【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比为4：5，∴它们对应中线的比为4：5，故选：C．2．已知△ABC∽△A'B'C'，如果它们的相似比为2：3，那么它们的面积比是（）A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：4【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，∴S△ABC ：S△A'B'C'＝22：32＝4：9．故选：C．3．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积的比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积的比为（1：2）2＝1：4．故选：B．4．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm，4.5cm和6m，另一个三角形的最长边长为12cm，则它的最短边长为（）A．6cm B．9cm C．16cm D．24cm【解答】解：设另一个三角形的最短边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝6，即另一个三角形的最短边的长为6cm．故选：A．5．已知△ABC∽△DEF，面积比为9：4，则△ABC与△DEF的对应角平分线之比为（）A．3：4 B．2：3 C．9：16 D．3：2【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为9：4，∴△ABC与△DEF的相似比为3：2，∴△ABC与△DEF对应角的角平分线之比为3：2，故选：D．二．解答题（共7小题）6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG＝BC吗？（3）DG＝5cm，试求△AEF的周长．【解答】解：（1）△AEF为等边三角形．理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴BE＝AE，AF＝CF，∴∠EAB＝∠B＝30°，∠FAC＝∠C＝30°，∴∠AEF＝2∠B＝60°，∠AFE＝2∠C＝60°，∴△AEF为等边三角形；（2）∵D是AB中点、G是AC中点，∴DG是△ABC中位线，∴DG＝BC；（3）∵DG＝5，∴BC＝2DG＝10，∵AE＝BE，AF＝CF，∴AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10cm，∴△AEF的周长为10cm．7．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【解答】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP＝2xcm，BQ＝4xcm，∵AB＝8cm，BC＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣2x）cm，∵∠B是公共角，∵①当，即时，△PBQ∽△ABC，解得：x＝2；②当，即时，△QBP∽△ABC，解得：x＝0.8，∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AE2＝AD•AB，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：DE∥BC；（2）如果S△ADE ：S四边形DBCE＝1：8，求S△ADE：S△BDE的值．【解答】（1）证明：∵AE2＝AD•AB，∴，又∵∠EAD＝∠BAE，∴△AED∽△ABE，∴∠AED＝∠ABE，∵∠ABE＝∠ACB，∴∠AED＝∠ACB，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．9．如图，△ABC的面积为12，BC与BC边上的高AD之比为3：2，矩形EFGH的边EF 在BC上，点H，G分别在边AB、AC上，且HG＝2GF．（1）求AD的长；（2）求矩形EFGH的面积．【解答】解：（1）设BC＝3x，则AD＝2x，∵△ABC的面积为12，∴×3x×2x＝12，解得，x1＝2，x2＝﹣2（舍去），则AD的长＝2x＝4；（2）设GF＝y，则HG＝2y，∵四边形EFGH为矩形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴＝，即＝，解得，y＝，HG＝2y＝，则矩形EFGH的面积＝×＝．10．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．【解答】证明：（1）∵AB＝AD，AE⊥BC，∴BE＝ED＝DB，∵EF2＝•BD•EC，∴EF2＝ED•EC，即得＝，又∵∠FED＝∠CEF，∴△EDF∽△EFC．（2）∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，又∵DF∥AB，∴∠FDC＝∠B，∴∠ADB＝∠FDC，∴∠ADB+∠ADF＝∠FDC+∠ADF，即得∠EDF＝∠ADC，∵△EDF∽△EFC，∴∠EFD＝∠C，∴△EDF∽△ADC，∴＝（）2＝，∴＝，即ED＝AD，又∵ED＝BE＝BD，∴BD＝AD，∴AB＝BD．11．已知△ABC中．AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边A′C′＝50cm，求△A′B′C′的周长和面积．【解答】解：∵△ABC中，AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，∴△ABC的周长＝60cm，AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积＝×15×20＝150cm2，∵△ABC∽△A′B′C′，且△ABC中最长边为25cm，△A′B′C′的最长边长为50cm，∴相似比为，∴＝，即＝，＝120cm，解得C△A′B′C′∵＝（）2，∴＝，＝600cm2．解得S△A′B′C′12．已知如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．（1）当t为多少时，DE＝2DF；（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得：DE＝AD﹣t＝6﹣t，DF＝2t，∴6﹣t ＝2×2t ，解得t ＝，故当t ＝时，DE ＝2DF ；（2）∵矩形ABCD 的面积为：12×6＝72，S △ABE ＝×12×t ＝6t ， S △BCF ＝×6×（12﹣2t ）＝36﹣6t ，∴四边形DEBF 的面积＝矩形的面积﹣S △ABE ﹣S △BCF ＝72﹣6t ﹣36+6t ＝36，故四边形DEBF 的面积为定值；（3）设以点D 、E 、F 为顶点的三角形能与△BCD 相似，则＝或＝， 由ED ＝6﹣t ，DF ＝2t ，FC ＝12﹣2t ，BC ＝6，代入解得：＝或＝，解得t ＝3或t ＝，故当t ＝3或时，以点D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCD 相似．。
相似三角形综合题锦(含答案)
一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。
相似三角形综合题解析
相似三角形综合题解析(总45页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--相似三角形综合题解析一．解答题（共22小题）1．（2008•眉山）如图，E是矩形ABCD的边DC延长线上一点，连接AE分别交BC，BD 于F，G．（1）图中有全等三角形吗（对角线分矩形所得两个三角形除外）若有，请写出一对来；若没有，请添加一个条件（不添加辅助线和不改变图中字母），使得图中有全等三角形，并写出来；（2）图中有相似三角形吗设矩形ABCD的周长为20，对角线长为2，求DE的长，使得你找出的一对相似三角形的相似比为2：3．2．如图（1），在锐角三角形ABC中，AB＞BC＞AC．D、E分别是AB、BC边上的两个动点，连接DE、CD．（1）当点D、E运动时，分别在图（2）、图（3）中画出D．E运动的位置，要求在图（2）中，仅有一组三角形相似，在图（2）中，仅有两组三角形相似．（2）当AB=9，BC=8，CA=6时，选择（1）中的图（3），即有两组三角形相似时，求DE的长．3．已知：如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，能否在AC上（不同于A，C）找到点D，过点D作DE∥AB交于BC于E，过点E作EF∥AC交AB于F，连接FD，将△ABC分割成四个相似的小三角形，但其中至少有两个小三角形的相似比不等于1若能，求出点D位置；若不能，请说明理由．4．如图，E为▱ABCD的边BC延长线上一点，AE与BD交于点F，与DC交于点G．（1）写出所有与△ABE相似的三角形，并选择其中一对相似三角形加以证明；（2）若BC=2CE，求的值．（3）若BC=k•CE，求的值．5．如图1，在四边形ABCD的AB边上取一点E（点E不与A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．（1）图1中，若∠A=∠B=∠DEC=50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）如图2，点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，若DE=3，AE=BE，求矩形ABCD的面积；（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，请判断AE与BE的数量关系（要求画出示意图，不必说明理由）．6．（2013•咸宁）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．7．定义：如果一个图形经过分割，能分为4个与自身相似的图形，我们称它为“能四阶自相似分割图形”．如图1，任意△ABC取各边的中点D、E、F，连接DE、EF、DF，分得的△ADF、△BDE、△DEF、△CEF显然都与△AB C相似，则任意△ABC是“能四阶自相似分割图形”．（1）小明发现：任意矩形ABCD（如图2）也是“能四阶自相似分割图形”．请你利用尺规作图作出分割线．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）同组的小华思考后提出：能不能设计一种方案，将任意△ABC分割成四个与△ABC 相似的小三角形，且其中至少有两个小三角形的相似比不为1为了研究方便，小华取AB=6，AC=4，BC=5，（如图3）并成功地设计出了分法．请你完成小华的分法，并简单地说明理由．8．（2008•闸北区二模）如图所示，已知边长为3的等边△AB C，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与△BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若AE=1，试求△GMN的面积．9．（2011•浙江模拟）△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．10．（2013•永州）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似并求BP的长；（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似并求BP的长；（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点两个P点三个P点11．已知：正方形ABCD中，点F为边CD的中点，DF=3，连接AF并延长，与BC的延长线交于G点．（1）连接BF（如图1），在不添加任何辅助线的条件下，请找出所有相似的三角形，并选择其中的一对加以证明；（2）E是边CB上一动点，连接EF，M为AD上任意一点，且MF⊥EF，连接ME（如图2）．若△MEF与△ADF相似，求EB的长．12．已知：如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，直线EF经过点C，分别交AB、AD的延长线于E、F两点，连接ED、FB相交于点H．（1）找出图中与△BEC相似的三角形，并选一对给予证明；（2）如果菱形的边长是3，DF=2，求BE的长；（3）请说明BD2=DH•DE的理由．13．（2010•奉贤区一模）如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是边AB的中点，E、G分别是边AC、BC上的一点，∠EMG=45°，AC与MG的延长线相交于点F．（1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；（2）连接结EG，当AE=3时，求EG的长．14．已知：如图，正方形的边长为1，可以算出一个正方形的对角线长为．（1）求两个正方形并排成的矩形的对角线长及三个正方形并排成的矩形的对角线长，进而猜想出n个正方形并排成的矩形的对角线长；（2）在图（2）中找出一对相似三角形并加以说明；（3）由图（3）在下列所给的三个结论中，选择一个正确的结论加以证明：①∠BCE+∠BDE=45°；②∠BEC+∠BED=45°；③∠BEC+∠DFE=45°．15．（2011•莆田质检）如图，矩形ABCD中，点M从A点出发在线段AB上作匀速运动（不与A、B重合），同时点N从B点出发在线段BC上作匀速运动．（1）如图1，若M为AB中点，且DM⊥MN．请在图中找出两对相似三角形：①_________ ∽_________ _，②_________ ∽_________ ，选择其中一对加以证明；（2）①如图2，若AB=5，BC=3点M的速度为1个单位长度/秒，点N的速度为个单位长度/秒，运动的时间为t秒．当t为何值时，△DAM与△MBN相似请说明理由；②如果把点N的速度改为a个单位长度/秒，其它条件不变，是否存在a的值，使得△DAM与△MBN和△DCN这两个三角形都相似若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．16．（2000•山西）请阅读下面材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．求证：分析：要证，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似．现在B、D、C在一直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比．在比例式中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD，交BA 的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明就可以转化成证AE=AC．证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．CE∥D A，CE∥DA（1）上述证明过程中，用到了哪些定理（写对两个定理即可）（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种选出一个填在后面的括号内．[]①数形结合思想；②转化思想；③分类讨论思想．（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm．求BD的长．17．如图1，已知线段AB=8，点C是AB上的一动点（不包括A、B），在AB同侧作两个等边三角形ACD和BCE，连DE，点P、F分别是DE和BE的中点，连接AF，分别交DC、CE于G、H．（1）写出图中所有的相似三角形（除等边三角形ACD和BCE外）；（2）当点C在AB中点时，如图2，求CP的长及AG：GH：HF；（3）点M、N是线段AB上两点，且AM=BN=2，当点C从点M向点N运动时，求点P 所经过的路径长．18．阅读：如图1把两块全等的含45°的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q，易说明△APD∽△CDQ．猜想（1）：如图2，将含30°的三角板DEF（其中∠EDF=30°）的锐角顶点D与等腰三角形ABC（其中∠ABC=120°）的底边中点O重合，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q．写出图中的相似三角形_________ （直接填在横线上）；验证（2）：其它条件不变，将三角板DEF旋转至两边分别与线段AB的延长线、边BC相交于点P、Q．上述结论还成立吗请你在图3上补全图形，并说明理由．连接PQ，△APD与△DPQ是否相似为什么探究（3）：根据（1）（2）的解答过程，你能将两三角板改为一个更为一般的条件，使得（1）成立19．如图1：等边△ADE可以看作由等边△ABC绕顶点A经过旋转相似变换得到．但是我们注意到图形中的△ABD和△ACE的关系，上述变换也可以理解为图形是由△ABD绕顶点A旋转60°形成的．于是我们得到一个结论：如果两个正三角形存在着公共顶点，则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转60°形成的．①利用上述结论解决问题：如图2，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BFC都是等边三角形，求四边形ADFE的面积；②图3中，△ABC∽△ADE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=θ，仿照上述结论，推广出符合图3的结论．（写出结论即可）20．在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与线段BA、BD、BC分别相交于点E、P、F，且∠BPF=60°．（1）如图1，写出图中所有与△BDC相似的三角形，并选择其中一对给予证明；（2）若直线l向右平移，与线段BA、BD、BC或其延长线分别相交于E、P、F，请在图2中画出一个与图1位置不尽相同的图形（其它条件不变），此时，（1）中的结论是否仍然成立若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），△BPE的面积是△BPF的面积的2倍请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）．21．定义：在三角形所在的平面上任作一条直线，若该直线将这个三角形分割成两部分，且分割后至少有一部分与原三角形相似，则这条直线叫做这个三角形的相似分割线．（1）如图1，在△ABC中，已知∠ACP=∠B，则直线CP就是△ABC的相似分割线．①若∠A=90°，请在图1中作出过点P的△ABC的其余的相似分割线；②如图2，在△ABC中，若直线CF是△ABC过点C的相似分割线，点P在线段AF（包含点F、不包含点A）上运动，请写出△ABC的过点P的所有相似分割线的条数．（2）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，H、G是⊙O上不同的两点，B是的中点，C是的中点，且AG、AH分别交BC于点D、E两点．①求证：AG和AH都是△ABC的相似分割线；②如果AE、AD恰好又是△ABD和△ACE的相似分割线，试说明：此时D、E两点刚好是BC边上的黄金分割点．22．（2011•东台市二模）在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．思考验证：（1）求证：DE=DF；（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；归纳结论：（3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB 上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立（只写结果不要证明）探究应用：（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．（2008•眉山）如图，E是矩形ABCD的边DC延长线上一点，连接AE分别交BC，BD 于F，G．（1）图中有全等三角形吗（对角线分矩形所得两个三角形除外）若有，请写出一对来；若没有，请添加一个条件（不添加辅助线和不改变图中字母），使得图中有全等三角形，并写出来；（2）图中有相似三角形吗设矩形ABCD的周长为20，对角线长为2，求DE的长，使得你找出的一对相似三角形的相似比为2：3．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；矩形的性质．专题：开放型．分析：根据判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、SSA、HL可知使△ABF≌△ECF，可添加BF=CF；根据矩形的性质求出矩形的边长，利用相似的性质可求得CE：DE=2：3，所以DE=12．解答：解：（1）没有．添加条件为：点F是BC的中点，即BF=CF，即可得到△ABF≌△ECF；（2）有相似三角形，如：△CEF∽△EDA，设CD=x，则BC=10﹣x，在RT△BCD中，x2+（10﹣x）2=52，解得x=4或x=6，因为BC＞DC，所以BC=6，DC=4，若，△CEF∽△DEA，相似三角形的相似比为2：3，则CE：DE=2：3，∴DE=12．点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及矩形的性质，相似三角形的判定及性质，判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．判定两个三角形相似的一般方法有：1，两个角相等；2，三边对应成比例；3，两边对应成比例，夹角相等．2．如图（1），在锐角三角形ABC中，AB＞BC＞AC．D、E分别是AB、BC边上的两个动点，连接DE、CD．（1）当点D、E运动时，分别在图（2）、图（3）中画出D．E运动的位置，要求在图（2）中，仅有一组三角形相似，在图（2）中，仅有两组三角形相似．（2）当AB=9，BC=8，CA=6时，选择（1）中的图（3），即有两组三角形相似时，求DE的长．考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；动点型．分析：（1）作三角形相似，保证两角相等即可；（2）利用相似三角形的性质解答．解答：解：（1）如图所示：图（2）中仅有△ABC∽△ACD；图（3）中仅有△ABC∽△ACD，△CBD∽△DBE；（2）在图（3）中，由△ABC∽△ACD，得AD==4，CD==∴BD=AB﹣AD=5．（1分）由△CBD∽△DBE，得DE==．点评：本题利用三角形相似的结论解题，考查了同学们的转化能力，解三角形问题往往用到相似．3．已知：如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，能否在AC上（不同于A，C）找到点D，过点D作DE∥AB交于BC于E，过点E作EF∥AC交AB于F，连接FD，将△ABC分割成四个相似的小三角形，但其中至少有两个小三角形的相似比不等于1若能，求出点D位置；若不能，请说明理由．考点：作图—相似变换．专题：作图题．分析：在AC上取点D，过点D作∠ADF=∠B，画出草图，找到相应的对应点，根据对应边成比例求得AD的长即可．解答：解：∵∠ADF=∠B，∠A=∠A．∴△ADF∽△ABC，∴AD：AF=AB：AC，设AD=3x，∴CD=2﹣3x，∴AF=2x，∴FB=3﹣2x，∵∠A=∠CDE=∠DEF=∠EFB，∠ADF=∠DEC=∠DFE=∠B，∴△ADF∽△DEC∽△EFD∽△FBE，由AD：AF=BF：EF，3x：2x=（3﹣2x）：3x，x=，∴AD=3x=．点评：考查相似三角形的画法及性质的应用；判定出4个相似三角形的对应点是解决本题的突破点．4．如图，E为▱ABCD的边BC延长线上一点，AE与BD交于点F，与DC交于点G．（1）写出所有与△A BE相似的三角形，并选择其中一对相似三角形加以证明；（2）若BC=2CE，求的值．（3）若BC=k•CE，求的值．考点：相似形综合题；相似三角形的判定．分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AD∥BC，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可得△ABE∽△GCE∽△GDA；（2）易证得△ADF∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可得，又由BC=2CE，即可求得的值；（3）易证得△ECG∽△EBA，△ABF∽△GDF，根据相似三角形的对应边成比例可得：，，又由BC=k•CE，即可求得的值．解答：解：（1）△ABE∽△GCE∽△GDA；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△GCE，△GCE∽△GDA，∴△ABE∽△GCE∽△GDA；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△ADF∽△EBF，∴，∵BC=2CE，∴AD：BE=2：3，∴=；（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∴△ECG∽△EBA，△ABF∽△GDF，∴，，∵BC=k•CE，∴，∴，∴，∴．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似与相似三角形的对应边成比例定理的应用．5．如图1，在四边形ABCD的AB边上取一点E（点E不与A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．（1）图1中，若∠A=∠B=∠DEC=50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）如图2，点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，若DE=3，AE=BE，求矩形ABCD的面积；（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，请判断AE与BE的数量关系（要求画出示意图，不必说明理由）．考点：相似形综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠ADE=∠DEC+∠BEC，然后求出∠ADE=∠BEC，再根据两角对应相等两三角形相似求出△ADE和△BEC相似；（2）先判断出∠DEC=90°，再根据△ADE和△ECD相似，利用相似三角形对应边成比例可根据AE=BE可得AE=AB=CD，然后求出CD的长，再求出AE，利用勾股定理列式求出AD，然后利用矩形的面积公式列式计算即可得解；（3）分清况讨论，①∠CED=90°，再根据“点E是强相似点”判断出CE、DE分别是∠BCD和∠ADC的平分线，然后根据△ADE和△EDC相似，利用相似三角形对应边成比例可得=，根据△BCE和△ECD相似，利用相似三角形对应边成比例可得=，整理即可得到AE=BE．②∠CDE=90°，同理可得AE与BE的数量关系．解答：解：（1）由三角形外角性质可得∠A+∠ADE=∠DEC+∠BEC，∵∠A=∠DEC，∴∠ADE=∠BEC，又∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）∵点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，∴∠DEC=90°，由△ADE∽△ECD得，=，∵AE=BE，AB=CD，∴AE=AB=CD，∴=，解得CD=6，∴AE=×6=，在Rt△ADE中，AD===，∴矩形ABCD的面积=6×=9；（3）∵点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，∠B=90°，①若∠DEC=90°，∴∠AED+∠BEC=180°﹣90°=90°，∵∠BCE+∠BEC=90°，∴∠AED=∠BCE，若∠BCE与∠ECD互余，则四边形ABCD是矩形，所以，∠BEC和∠ECD只能相等，同理∠ADE与∠EDC也相等，即CE、DE分别是∠BCD和∠ADC的平分线，由△ADE∽△EDC得，=，∴AE•CD=DE•EC，由△BCE∽△ECD得，=，∴BE•CD=DE•EC，∴AE=BE．②若∠EDC=90°，∵△AED与△BEC相似，∴只有∠ADE=∠BCE，∠BEC=∠AED，∴EC是∠DEB的角平分线，∴CD=CB，∴△CBE≌△CDE，∴∠BCE=∠DCE，DE=BE，∵∠ADC+∠BCD=90°，∴∠BCE+∠DCE+∠CDE+∠ADE=180°，即可得3∠ADE=90°，∴∠ADE=30°，∴AE：DE=1：2，∴AE：BE=1：2．综上可得：AE：BE=1：1或AE：BE=1：2．点评：本题考查了相似形综合题，主要利用了相似三角形对应边成比例，矩形的对边平行且相等的性质，读懂题目信息，理解四边形边上的相似点与强相似点的定义并根据图形确定出相似三角形，准确找出对应边是解题的关键．6．（2013•咸宁）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．考点：相似形综合题．专题：压轴题．分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．解答：解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°．∴∠ADE=∠BEC．（2分）∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC．∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．（2）作图如下：（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．由折叠可知：△ECM≌△DC M，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE=∠BCD=30°，∴BE=CE=AB．在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°，∴，∴．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念等，从而可得到结论．7．定义：如果一个图形经过分割，能分为4个与自身相似的图形，我们称它为“能四阶自相似分割图形”．如图1，任意△ABC取各边的中点D、E、F，连接DE、EF、DF，分得的△ADF、△BDE、△DEF、△CEF显然都与△ABC相似，则任意△ABC是“能四阶自相似分割图形”．（1）小明发现：任意矩形ABCD（如图2）也是“能四阶自相似分割图形”．请你利用尺规作图作出分割线．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）同组的小华思考后提出：能不能设计一种方案，将任意△ABC分割成四个与△ABC 相似的小三角形，且其中至少有两个小三角形的相似比不为1为了研究方便，小华取AB=6，AC=4，BC=5，（如图3）并成功地设计出了分法．请你完成小华的分法，并简单地说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；作图—应用与设计作图．专题：几何图形问题．分析：（1）作AD的中垂线MN、AB的中垂线PQ即可，分成的四个矩形和原来的矩形相似．（2）在BC上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F，就可以将任意△ABC分割成四个与△ABC相似的小三角形，且其中至少有两个小三角形的相似比不为1．解答：解：（1）如图2，作AD的中垂线MN、AB的中垂线PQ即可，分得的四个矩形与原矩形相似．（2分）（2）如图3，在BC上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC 交AB于点F，易证：△CDE∽△DBF∽△CBA，四边形AEDF为平行四边形，设CE=x，则AE=4﹣x，∵△CDE∽△CBA，可得，∴DE=x，∴AF=DE=x，（6分）如果：△AEF∽△ABC，可得，∴CE=，∴AF=，CD=．（8分）（其他类似方法同样给分）点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，相似三角形的对应边成比例以及应用与设计作图的知识点．8．（2008•闸北区二模）如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与△BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若AE=1，试求△GMN的面积．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：（1）根据△ABC与△EFG都是正三角形，所以它们的内角都是60°，相等，再结合平角等于180°，可以找出另外的相关的两个角的和等于120°，然后即可确定出图中所有相似的三角形；（2）只要证明另外和等于120°的两个角对应相等，即可利用两角对应相等，两三角形相似；（3）因为点E的位置以及BE的长度都不确定，所以分（i）点E在线段AB上且点MN都在线段AC上；（ii）点E在线段AB上，点G在△ABC内；（iii）当点E在线段BA的延长线上，三种情况进行讨论；（4）AE=1，而点E的位置不确定，所以要分两种情况进行讨论求解，（i）在线段AB上，则△GMN是边长为1的正三角形；（ii）在射线BA上，则△GMN是有一个角是30°的直角，分别求出两直角边，面积可求．解解：（1）△BEF∽△AME∽△CFN∽△GMN；（3分）答：证明：（2）在△BEF与△AME中，∵∠B=∠A=60°，∴∠AEM+∠AME=120°，（1分）∵∠GEF=60°，∴∠AEM+∠BEF=120°，∴∠BEF=∠AME，（1分）∴△BEF∽△AME；（1分）解：（3）（i）当点E在线段AB上，点M、N在线段AC上时，如图，∵△BEF∽△AME，∴BE：AM=BF：AE，即：x：AM=2：（3﹣x），∴AM=，同理可证△BEF∽△CFN；∴BE：CF=BF：CN，即：x：1=2：CN，∴CN=，∵AC=AM+MN+CN，∴3=+y+，∴y=（1≤x≤3）；（ii）当点E在线段AB上，点G在△ABC内时，如备用图一，同上可得：AM=，CN=，∵AC=AM+CN﹣MN，∴3=+﹣y，∴y=﹣（0＜x≤1）；（iii）当点E在线段BA的延长线上时，如备用图二，AM=，CN=，∵AC=MN+CN﹣AM，∴3=y+﹣，∴y=（x＞3）；综上所述：y=﹣（0＜x≤1），或∴y=（x≥1）；（4）（i）当AE=1时，△GMN是边长为1等边三角形，∴S△GMN=×1×=；（1分）（ii）当AE=1时，△GMN是有一个角为30°的Rt△，∵x=4，∴y==，NG=FG﹣FN=4×﹣1×=，∴S△GMN=××=．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，本题难点在于点E 的位置不确定，要分情况进行讨论，综合性较强，难度较大．9．（2011•浙江模拟）△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．考点：相似三角形的判定；等腰直角三角形．专题：证明题；开放型．分析：因为此题是特殊的三角形，所以首先要分析等腰直角三角形的性质：可得锐角为45°，根据角之间的关系，利用如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似可判定三角形相似；再根据性质得到比例线段，有夹角相等证得△ECN∽△MEN．解答：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BME=∠NEC，（4分）而∠B=∠C=45°，∴△BEM∽△CNE．（6分）（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴．（8分）又∵BE=EC，∴，（10分）则△ECN与△MEN中有，又∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．（12分）点评：此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．10．（2013•永州）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似并求BP的长；（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似并求BP的长；（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点两个P点三个P点。
相似中的多解问题Word 文档
相似中的多解与三角形有关的多解问题1、已知是直线的中点，点是，点中，E AB D BC AC ACB ABC Rt 8,6,90==︒=∠∆ 相似为顶点的三角形与、、上一点，若ABC E D C AC ∆，则的长度为AE _____2、如图，在钝角三角形止，出发到点从点动点中，B A D cm AC cm AB ABC ,12,6==动点E D A C E ，点运动的速度为止，点出发到点从点1cm/s 的运动速度为2cm/s.如果两点同时运动，那么当以点相似时，为顶点的三角形与、、ABC E D A ∆运动的时间为s _____3、在ABC Rt ∆中，,4,90===∠BC AC C点F 位直线AB 上一点，且3:1:=FB AF ，点D 为边AC 的中点，连接,,,K CF DB CF DB 相交于点直线、则线段FK 的长为_________4、如图，在ABC ∆中，上一点是直线点BC D AC AB BAC ,22,90===∠ ，1=BD ，将射线=DE E BC AE A AD 则于点，交直线得到射线逆时针旋转绕点,45 _________5、在D AC AC AC AB ABC 边交于点边的垂直平分线，与，作中，6==∆，与直线AB 交于点E ，______4==CF DE F BC ，则，若交于点与直线1、与四边形有关的多解1、 若正方形ABCD 的边长为4，对角线交于点BE OE AC E O ，延长上，且在，点2=交直线.__________的长为，则于点DF F AD2、 在□中，ABCD 对角线AC 垂直于平行四边形一边1,=AB AB ,□ABCD 的面积等于.________41,3的长为，则的距离为到直线上一点，若点为直线PB AC P BC P 3、 已知菱形AC BE DE AD E ABCD 与对角线，连接上，在直线，点边长是36=相交于点._________的值是，则AM MC M4、 已知正方形ABCD ，M 是直线两点重合），连接、上一点（不与D C CD ,,AM MN AM ⊥作且交BC 所在直线于N ，______,10,8===CN cm DM cm CD 则5、 已知正方形AE DE CD E ABCD ，连接上一点，且是直线，点边长是34=，线段AE 的垂直平分线交直线CD 于点N ，则_______=CN6、已知正方形的边长为4，点与，连接上，在直线BE DE AD E 2=对角线AC 相交于点.__________:的值是，则FA CF F7、点，点上一点，的边为平行四边形AE BE AB ABCD E 3=上一点为直线AD F ， .__________:3的值为，则，若于点交CG AG AF DF G AC EF =8、 已知平行四边形FD AF AD AB E ABCD 2=上截取的中点，在直线是中，点，._________的值为，则于点交ACAG G AC EF 9、□上，在直线，点，使到点，延长中，AD F AE E BA BC AB ABCD 29,4===且 ._________3的值，则交于点与直线，直线PC PA P AC EF DF =。
(完整word版)相似三角形精选好题-证明题25题
相似三角形精选好题解答题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题（本大题共25小题，共200.0分）1.如图,在中，，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．为何值时,；是否存在某一时刻，使∽？若存在，求出此时AP的长；若不存在,请说明理由；当时,求的值．2.如图，中，于是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证:∽．3.如图，已知四边形ABCD中，的延长线与AD的延长线交于点E．若，求BC的长；若,求AD的长．注意：本题中的计算过程和结果均保留根号4.如图，在中，点D在BC边上，点E在AD边上，．求证：∽；若，求AE的长．5.如图,在四边形ABCD中，,交BC于点F，连接AF．求CF的长；若,求AB的长．6.如图,在锐角三角形ABC中，点分别在边上，于点于点．求证:∽；若,求的值．7.如图，在中，，点D是BC边的中点,．求AD和AB的长;求的值．8.从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图1,在中，CD为角平分线，，求证：CD为的完美分割线．在中，是的完美分割线,且为等腰三角形,求的度数．如图中，是的完美分割线,且是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．9.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为,测得大楼顶端A的仰角为点在同一水平直线上,已知，求障碍物两点间的距离结果精确到参考数据：10.如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图已知长方体货厢的高度BC为米，，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD 的长结果保留根号11.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡AB的坡度:米,米：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比求点B距水平面AE的高度BH；求广告牌CD的高度．测角器的高度忽略不计，结果精确到米参考数据：12.如图，在中,，动点P从点C出发，沿CA方向运动;动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为点的运动速度为，那么运动几秒时,和相似?13.如图所示，，点P从点B出发,沿BC向点C以的速度移动,点Q从点C出发沿CA向点A以的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？14.如图,小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为，顶部的仰角为,已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长精确到参考值：．15.如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处三点在同一直线上，又测得主教学楼顶端A的仰角为，已知测角器CD的高度为米，请计算主教学楼AB的高度,结果精确到米16.已知：如图，是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，．求证：∽；如果,求DC的长．17.如图,CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角，求树高结果保留根号18.钓鱼岛自古就是中国的领土,中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测一日,中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛设N、M为该岛的东西两端点最近距离为15海里即海里，在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向，航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东方向其中N、M、C在同一条直线上,求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离精确到海里参考数据：．19.探究证明：如图1，矩形ABCD中，点M、N分别在边上,，求证：．如图2，矩形ABCD中，点M在边BC上,分别交于点E、点F，试猜想与有什么数量关系？并证明你的猜想．拓展应用：综合、的结论解决以下问题：如图3,四边形ABCD中,，点分别在边上,求的值．20.如图，在某次数学活动课中，小明为了测量校园内旗杆AB的高度,站在教学楼CD上的E处测得旗杆底端B的仰角的度数为，测得旗杆顶端A的仰角的度数为，旗杆底部B处与教学楼底部C处的水平距离BC为9m，求旗杆的高度结果精确到．【参考数据：】21.已知,如图，在四边形ABCD中,,延长AD、BC相交于点求证：∽；．22.如图,在中，点D为BC边的任意一点，以点D为顶点的的两边分别与边交于点E、F，且与互补．如图1，若为BC的中点时,则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论；如图2，若为BC的中点时，那么中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出DE与DF的关系并说明理由;如图3,若，且，直接写出______ ．23.放风筝是大家喜爱的一种运动,星期天的上午小明在市政府广场上放风筝如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上,风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为已知点在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？风筝线均为线段，，最后结果精确到1米．24.禁渔期间,我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可以船只,测得A、B两处距离为200海里,可疑船只正沿南偏东方向航行，我渔政船迅速沿北偏东方向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截求该可疑船只航行的平均速度结果保留根号．25.某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地,如图，其中A、B、C三地在同一直线上,D地在A地北偏东方向，在C地北偏西方向，C地在A 地北偏东方向且，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？最后结果保留整数,参考数据：答案和解析【答案】1。
(word完整版)相似三角形证明技巧(整理)
1相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1）三角形相似的条件：① ；② ；③ 。
二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形,从而使问题得以解决。
三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线),因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例; 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2a ）已知一对b)己知两边对应成c)己知一个2找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e ）相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”;若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时,往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞,乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知：如图，ΔABC 中，CE ⊥AB ，BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）例2、如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？ 说明理由。
相似三角形综合大题解析
相似三角形综合大题参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2012•昌平区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点B作BD⊥AC 于D，BE平分∠DBC，交AC于E，过点A作AF⊥BE于G，交BC于F，交BD 于H．（1）若∠BAC=45°，求证：①AF平分∠BAC；②FC=2HD．（2）若∠BAC=30°，请直接写出FC与HD的等量关系．②过点D作KD∥FC交AF于K，然后可以证出==进而得到FC=2KD，（2）与（1）中的②证明方法类似，首先证明=，再根据MD∥FC可得==，然后再证明∴AD=DC=AC．∴==．=，==，==，第1页（共45页）.∵BE 平分∠DBC ，BE ⊥AF ，∴∠DBE=∠EBF ，∠HGB=∠FGB=90°． ∴∠BFH=∠BHF ． ∵∠BHF=∠DHM ． ∴∠BFH=∠DHM ． ∵MD ∥BC ，∴∠DMH=∠BFH ． ∴∠DMH=∠DHM ． ∴MD=HD ． ∴=．∴FC=HD ．点评： 此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是证明KD=HD 和MD=HD ．此题综合性较强，找准角之间的相等关系是解决此题的难点． 2．（2012•香坊区二模）已知：在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2BC ，D 是线段AC 上一点，E 是线段CD 上一点，过点D 作DF ⊥BE 交BE 的延长线于点F ，连接CF ． （1）当点D 是线段AC 的中点时（如图1），求证：BF ﹣DF=CF ：（2）当点D 与点A 重合时，在线段EF 上取点G ，使GF=DF ，连接DG 并延长交CF 于点H ，交 BC 延长线相交于点P （如图2），CH ：HF=4：5，EG=，求PH 的长．考点：相似形综合题． 分析： （1）过点C 作CM ⊥CF 交BE 于点M ，可以证得△MCF 是等腰直角三角形，则MF=CF ，证明BF ﹣DF=MF 即可；（2）首先证明△ECF ∽△EBD ，得到∠EFC=∠BDC ，则可以证明△HFG ∽△HDF ，△HFG ∽△HDF ，根据CH ∥BD ，可以证得：△PCH ∽△PBD ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得． 解答： 证明：（1）过点C 作CM ⊥CF 交BE 于点M ． ∵∠BCM+∠ECM=∠DCF+∠ECM=90°，∴∠BCM=∠DCM∵∠CBM+∠CEM=∠FDC+∠FED=90°， ∴∠CEM=∠FED ∴∠CBM=∠FDC∵点D 是AC 的中点， ∴AC=2CD ， ∵AC=2BC ∴CD=BC∴△CBM ≌△CDF ， ∴BM=DF ，CM=CF ， ∵∠MCF=90°，∴△MCF 是等腰直角三角形， ∴∠CMF=45°，∴sin45°=，MF=DF=∴=，=，BAC==FDG==，∴===，HG=k∴GD=k，k k=FBD=，EF=k+BE=，=，即，，HD=10k=2，==，=PH=.∴△A'CD是等边三角形．∴．=tan30（Ⅲ）当θ=120°时，EP的长度最大，EP的最大值为．∴A′C=AC=A′B′=a，∴CP=A′B′=a，EC=a，EP=EC+CP=a+a=a.CE= CFCE=DEDE=长．DEDE ∴，.∵BD=CF，DE=x，DK=EK=DE=2∴tan∠DCK===，CD==2，BD=CD=，EH=CH=CD=，DH=BD=，，=，∴FM=，CM=，MH=，又∵GH∥FM，∴△DHG∽△DMF，∴，即，∴GH=．此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角∠ABO+∠C=90°，M、N分别在线段AB、AC上．.（如图4），分别求出即可．OA=6∴AC===12，cosC==；故答案为：；，ABO==，）=×．△AMN36∴S△AMN=x2．.∴∠ENM=∠ANM=30°． ∴∠AFN=90°．∴MF=MN=AM=x ． ∴S △FMN ：S △AMN =MF ：AM ． ∴y ：x 2=x ：x=1：2． ∴y=x 2（0＜x ≤8）；②当EN 与线段AB 不相交时，设EN 于BC 交于点G （如图4），∵MN ∥BC ，∴CN ：AC=BM ：AB ． ∴CN ：12=（12﹣x ）：12， ∴CN=12﹣x ． ∵△CNG ∽△CBA ，∴S △CNG ：S △ABC =CN 2：BC 2．∴S △CNG ：36=（12﹣x ）2：122． ∴S △CNG =（12﹣x ）2．∴S 阴=S △ABC ﹣S △AMN ﹣S △CNG =36﹣x 2﹣（12﹣x ）2．即y=﹣x 2+18x ﹣72（8＜x ≤12）．点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据直线EN 与线段AB 位置关系进行分类讨论得出是解题关键． 6．（2012•道外区二模）已知：如图1，四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，连接AC ，tan ∠CAD=，过点D 作DE ⊥AB ，点E 为垂足． （1）求证：AE+BC=DE ；（2）连接BD ，设BD 与AC 交于点F ，DE 与AC 交于点G ，若AG ：FG=3：2，AE=6（如图2），求线段BC 的长．考点：相似形综合题． 专题：探究型． 分析： （1）过点D 作DH ⊥BC 交BC 的延长线于H ，由∠DEB=∠EBH=∠DHB=90°可知四边形DEBH 为矩形，故可得出∠CDH=∠ADE ，再由相似三角形的判定定理得出△DCH ∽△DAE ，由相似三角形的对应边成比例即可求出CH=AE ，故可得出结论；（2）过点F作FM⊥DE交DE于M，由题意可得==，故可得出AE 的对应边成比例即可求出CH=AE，根据四边形DEBH为矩形得BE=DH；BDE=，在，设AG=6FG=4DE=GE+GM+DM=6+4+8=18，+BC=DE，BC=DE﹣=18﹣3=15．==，∴CH=AE，BH=BC+CH=BC+AE∴+BC=DE．∴==，∵AE=6，∴FM=4，由（1）知，△DCH∽△DAE，∴==，而由四边形DEBH为矩形得BE=DH，∴=，∴tan∠BDE=，在Rt△DFM′中，∠FMD=90°，tan∠FMD=，FM=4，∴DM=8，FD=4，设AG=3a（a＞0），∵AG：FG=3：2，∴FG=2a，∵∠DFG=∠AFD，∠BDE=∠DAC，∴△DFG∽△AFD，∴=，∴FD2=FA•FG，∴（4）2=（3a+2a）•2a，∴a=2，∴FG=4，AG=6，在Rt△AGE中，∠AEG=90°，AG=6，AE=6，∴GM=4，在Rt△FMG中，∠FMG=90°，FG=4，FM=4，∴GE=6，∴DE=GE+GM+DM=6+4+8=18，∵+BC=DE，∴BC=DE﹣=18﹣3=15．.高，利用三角形的面积公式即可列出S关于x的函数解析式．1=∠BPB1=α，AP=A1P，BP=B1P，∴∠PAA1=∠PBB1=（180°﹣α）=90°﹣，1=α，AP=A1P，∴∠BAC=30°，∠PAA1=90°﹣，.∴∠BAE=∠ABP=∠BAC﹣∠PAA，﹣）﹣则当△BEF≌△AEP时，β=﹣60°（或α=2β+120°）；1111AH=x﹣x S=A BM=﹣x﹣ABCD是矩形，易得四边形PNBM为矩形，即可得△MPC∽△NPQ，由相似三角形的对应边成比例，可得，又由在Rt△PBM中，PBM=PQC=，即可证得∠角形的对应边成比例，可得，又由在Rt△PBM中，tan∠PBM=，即可证得∠.证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，DBC=∠，，，PBM=，在Rt△PQC中tan∠PQC=，∴tan∠PBM=tan∠PQC，∴∠PBM=∠PQC，即∠PQC=∠DBC．②的证明：如图3，过点P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分别为M、N，∵四边形ABCD是梯形，∴∠NBM=∠PMB=∠PNB=90°，∴四边形PNMB是矩形，则MB=NP，∠MPN=90°．∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90°，∠QPN+∠QPM=∠MPN=90°，∴∠CPM=∠QPN，又∵∠PMC=∠PNQ=90°，∴△MPC∽△NPQ，∴，∵PN=MB，∴，在Rt△PBM中，tan∠PBM=，在Rt△PQC中tan∠PQC=，∴tan∠PBM=tan∠PQC，∴∠PBM=∠PQC，即∠PQC=∠DBC．此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的..9．（2012•上海模拟）已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，∠A=60°，CD 是边AB 上的中线，直线BM ∥AC ，E 是边CA 延长线上一点，ED 交直线BM 于点F ，将△EDC 沿CD 翻折得△E ′DC ，射线DE ′交直线BM 于点G ． （1）如图1，当CD ⊥EF 时，求BF 的值； （2）如图2，当点G 在点F 的右侧时； ①求证：△BDF ∽△BGD ； ②设AE=x ，△DFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）如果△DFG 的面积为，求AE 的长．考点：相似形综合题． 专题：综合题． 分析： （1）由∠ACB=90°，AD=BD ，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=BD ，再由∠BAC=60°，得到三角形ADC 为等边三角形，由AC 的长求出AD 与BD 的长，同时求出∠ABC=30°，由BM 与AC 平行，利用两直线平行内错角相等得到∠MBC=∠ACB=90°，再由CD 垂直于EF ，得到∠CDE 和∠CDF 都为直角，在直角三角形EDC 中，求出∠DEC 为30°，利用两直线平行内错角相等可得出∠BFD 也为30°，而由∠CDE ﹣∠CDA 求出∠EDA 为30°，利用对顶角相等得到∠BDF 为30°，即∠BFD=∠BDF ，利用等角对等边可得出BD=BF ，由BD 的长即可求出BF 的长； （2）当点G 在点F 的右侧时，如图2所示，①由翻折，得∠E ′CD=∠ACD=60°，得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到CE ′∥AB ，再由两直线平行得到一对内错角相等，利用等量代换得到∠BDG=∠BFD ，再由一对公共角，利用两对应角相等的两三角形相似可得出△BDF ∽△BGD ；②由△BDF ∽△BGD 得比例，将各自的值代入即可列出y 与x 的函数关系式，求出x 的范围即可；（3）分两种情况考虑：（i ）当点G 在点F 的右侧时，在y 与x 的关系式中，令y=6列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为AE 的长；（ii ）当点G 在点F 的左侧时，如图3所示，列出此时y 与x 的关系式，令y=6列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为AE 的长，综上，得到所有满足题意的AE 的长． 解答： 解：（1）∵∠ACB=90°，AD=BD ， ∴CD=AD=BD ，∵∠BAC=60°，∴∠ADC=∠ACD=60°，∠ABC=30°，AD=BD=AC ， ∵AC=4，∴AD=BD=AC=4， ∵BM ∥AC ，∴∠MBC=∠ACB=90°， 又∵CD ⊥EF ， ∴∠CDF=90°， ∴∠BDF=30°， ∴∠BFD=30°， ∴∠BDF=∠BFD ， ∴BF=BD=4；（2）①证明：由翻折，得∠E ′CD=∠ACD=60°， ∴∠ADC=∠E ′CD ， ∴CE ′∥AB ，∴∠CE ′D=∠BDG ， ∵BM ∥AC ，∴∠CED=∠BFD ， 又∵∠CE ′D=∠CED ， ∴∠BDG=∠BFD ， ∵∠DBF=∠GBD ， ∴△BDF ∽△BGD ；②由△BDF ∽△BGD ，得=，∵D 为AB 的中点， ∴BD=AD ， 又∵BM ∥AC ，∴∠DBF=∠DAE ，∠BFD=∠DEA ， 在△BFD 和△AED 中，，∴=，BG=，=4，BC=2FG（×（2x 6﹣x6x △bpc（.出△QDF∽△QN1N，故可得出NN1的长，再由勾股定理即可得出DN的长．∴PI=（BE+CF），BE CF BE×BC+CF BC=BC=BC•PI=S△PBC．=）=••DN=QD=2=，DN==3，DN=23..点评： 本题考查的是相似形的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出相似三角形，再利用相似三角形的性质进行解答． 11．（2012•太原一模）如图1，已知四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于点E ，以点E 为顶点作正方形EFGH ，使点A 、D 分别在EH 和EF 上，连接BH 、AF ．（1）判断并说明BH 和AF 的数量关系；（2）将正方形EFGH 绕点E 顺时针方向旋转θ（0°≤θ≤360°），设AB=a ，EH=b ，且a ＜2b ．①如图2，连接AG ，设AG=x ，请直接写出x 的取值范围；当x 取最大值时，直接写出θ的值；②如果四边形ABDH 是平行四边形，请在备用图中补全图形，并求a 与b 的数量关系．考相似形综合题．点：专题：几何综合题． 分析： （1）根据正方形的对角线互相垂直平分可得AE=BE ，∠BEH=∠AEF=90°，然后利用“边角边”证明△BEH 和△AEF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）①连接EG ，根据正方形的性质求出AE 、EG ，再根据三角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边可知A 、E 、G 三点共线，且AE+AG=EG 时，AG 最小，AE+EG=AG 时，AG 最大，然后求解即可； ②根据平行四边形的对边平行且相等可得AH ∥BD ，AH=BD ，再根据两直线平行，内错角相等求出∠EAH=90°，再根据正方形的性质求出AE 、BD ，然后在Rt △AEH 中，利用勾股定理列式整理即可得解． 解答： 解：（1）在正方形ABCD 中，AE=BE ，∠BEH=∠AEF=90°， ∵四边形EFGH 是正方形，∴EF=EH ，∵在△BEH 和△AEF 中，，∴△BEH ≌△AEF （SAS ）， ∴BH=AF ；（2）①连接EG ， ∵AB=a ，EH=b ， ∴AE=AC=a ，EG=b ，根据三角形的三边关系，AG ＞EG ﹣AE ，AG ＜AE+EG ，∴当AG=EG ﹣AE 时，AG 最小，AG=AE+EG 时，AG 最大， b ﹣a ≤x ≤b+a ；x 取得最大值时，θ=135°；②如图，∵四边形ABDH 是平行四边形， ∴AH∥BD ，AH=BD ， ∴∠EAH=∠AEB=90°，.∴（（b（1）根据平行线分线段成比例定理列式求出=，==，=，的边长，然后求出，BD •CE=DE ，整理即可得证． ∴=，==，=，==，设===k ，.∴=，∴====，=，=，即=，=，，NG=﹣﹣==，=，=∴==，MF=••••••，是正方形，=，=1，得出==，QP=DPDE=AC=BC=CD，x，=，∠..∴∠APM=∠ACB=60°， ∴△AMP 是等边三角形， ∴AP=AM=MP=4， ∴PC=16，PF=11， ∴DP=14，∵∠DKN=∠NMP ，∠MQP=∠KQD ， ∴△MPQ ∽△KDQ ， ∴==，∴QP=DP=×14=．点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识，利用数形结合得出是解题关键． 14．（2012•香坊区一模）已知：在△ABC 中，AB=AC ，点P 是BC 上一点，PC=2PB ，连接AP ，作∠APD=∠B 交AB 于点D ．连接CD ，交AP 于点E ．（1）如图1，当∠BAC=90°时，则线段AD 与BD 的数量关系为 AD=BD ；（2）如图2，当∠BAC=60°时，求证：AD=BD ；（3）在（2）的条件下，过点C 作∠DCQ=60°交PA 的延长线于点Q 如图3，连接DQ ，延长CA 交DQ 于点K ，若CQ=．求线段AK 的长．考点：相似形综合题． 专题：压轴题． 分析：（1）AD=BD ，理由为：如图1所示，由AB=AC 及∠BAC=90°，得到三角形ABC 为等腰直角三角形，可得出两个锐角为45°，再由∠APD=∠B ，利用外角性质及角的加减，利用等量代换的思想得到∠BDP=∠APC ，得出三角形PBD 与三角形ACP 相似，由相似得比例，设直角边AB=AC=3b ，利用勾股定理表示出BC ，再由PC=2PB ，表示出BP 和PC ，再将表示的AC 代入比例式，表示出BD ，由AB ﹣BD 表示出AD ，即可得出AD 与BD 的关系； （2）如图2所示，由AB=AC 及∠BAC=60°，得到三角形ABC 为等边三角形，可得出∠B=∠BAC=∠ACB ，且AB=AC=BC ，由∠APD=∠B ，利用外角性质及角的加减，利用等量代换的思想得到∠BDP=∠APC ，得出三角形PBD 与三角形ACP 相似，由相似得比例，设三边上为3a ，根据PC=2PB ，表示出PC 与BP ，代入比例式中表示出BD ，由AB ﹣BD 表示出AD ，即可得出AD 与BD 的关系；可求出AK的长．BDbPB=PC=2 =，即b∴AD=AB﹣BD=3b﹣b=b，AD=BD 故答案为：AD=BD．（2）证明：∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=∠B=60°，AB=AC=BC，设AB=AC=BC=3a，由PC=2PB，得到PB=a，PC=2a，∵∠CPD=∠B+∠BDP=∠APD+∠APC，且∠APD=∠B，∴∠BDP=∠APC，∴△PBD∽△ACP，∴=，即=，∴BD=a，∴AD=AB﹣BD=3a﹣a=a，∴AD=BD；（3）解：过点D作DF⊥BC于F点，过D作DM⊥AC于M点，过Q作QN⊥CA交CA延长线于N点，由（2）知：AC=3a，PB=a，PC=2a，BD=a，AD=a，.在Rt△DFB中，∠B=60°，可得出∠BDF=30°，∴BF=BD=a，DF=a，∴PF=PB﹣BF=a，∴CF=PF+PC=a，在Rt△CFD中，根据勾股定理得：CD2=CF2+DF2，解得：CD=a，∵∠APD=∠B=60°，又∠DCQ=60°，∴∠APD=∠DCQ，∵∠PED=∠CEQ，∴∠PDE=∠CQE，又∠ACB=60°，∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCQ﹣∠ACD，即∠PCD=∠ACQ，∴△PCD∽△ACQ，∴===，又CQ=，∴CD=，即a=，解得：a=1，∴BD=，AD=，CF=，DF=，∵∠CFD=∠CNQ=90°，∠FCD=∠NCQ，∴△FCD∽△NCQ，∴==，∴CN=4，NQ=，∵在Rt△AMD中，∠DAM=60°，∴∠BDF=30°，∴AM=，DM=，∴CM=AC﹣AM=，∴MN=CN﹣CM=，∵∠DMK=∠QNK=90°，∠DKM=∠QKN，∴△DMK∽△QNK，∴==，即KM=KN，∴KM=MN=×=，则AK=KM﹣AM=﹣=．点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，利用了转化及等量代换的数学思想，是一道难道较强的压轴题．15．（2012秋•大丰市期末）探索绕公共顶点的相似多边形的旋转：（1）如图1，已知：等边△ABC和等边△ADE，根据△AEC≌△ADB（指出三角形的全等或相似），可得CE与BD的大小关系为：CE=BD．（2）如图2，正方形ABCD和正方形AEFG，求：的值；（3）如图3，矩形ABCD和矩形AEFG，AB=kBC，AE=kEF，求：的值．（用k的代数式表示）考点：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：探究型．分（1）根据等边三角形的性质可得AE=AD，AC=AB，∠CAB=∠EAD，从而有∠CAE=∠BAD，则△AEC≌△ADB，就可得到CE=BD．AB得到===，∠FAE=∠CAB，从而有∠FAC=∠EAB，就可得到△FAC∽△EAB，．AC=AF=∴==，∠CAF=∠BAE．∴==．的值为．∴∠FEA=∠CBA=90°，==k．∴△FEA∽△CBA．∴=，∠FAE=∠CAB．∴∠FAC=∠EAB．∴△FAC∽△EAB．∴=∵AC===BC．∴==．∴的值为．..点评： 本题以渐进式问题串的形式呈现，既考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，又能引领学生积极思考，积累丰富的解题经验，是一道好题． 16．（2012秋•东城区期末）如图1，在等腰直角△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E 是BC 边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB ，射线CA 交于点P ，Q ． （1）如图2，若点E 为BC 中点，将∠DEF 绕着点E 逆时针旋转，DE 与边AB 交于点P ，EF 与CA 的延长线交于点Q ．设BP 为x ，CQ 为y ，试求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如图3，点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动（不与B ，C 重合），且DE 始终经过点A ，EF 与边AC 交于Q 点．探究：在∠DEF 运动过程中，△AEQ 能否构成等腰三角形，若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．考点：相似形综合题． 分析： （1）根据条件由勾股定理可以求出BC 的值，再求出∠DEB=∠EQC ，就可以得出△BPE ∽△CEQ ，由相似三角形的性质就可以得出结论；（2））由∠AEF=∠B=∠C ，且∠AQE ＞∠C 可以得出∠AQE ＞∠AEF ．从而有AE ≠AQ ，再分类讨论，当AE=EQ 时和AQ=EQ 时根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质就可以求出BE 的值． 解答： 解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC=2， ∴∠B=∠C ，．又∵∠FEB=∠FED+∠DEB=∠EQC+∠C ，∠DEF=∠C ， ∴∠DEB=∠EQC ，∴△BPE ∽△CEQ ， ∴．设BP 为x ，CQ 为y ， ∴．∴，自变量x 的取值范围是0＜x ＜1；（2）∵∠AEF=∠B=∠C ，且∠AQE ＞∠C ， ∴∠AQE ＞∠AEF ． ∴AE ≠AQ ． 当AE=EQ 时， ∴∠EAQ=∠EQA ， ∵∠AEQ=45°，∴∠EAQ=∠EQA=67.5°， ∵∠BAC=90°，∠C=45， ∴∠BAE=∠QEC=22.5°． ∵在△ABE 和△ECQ 中，，EC=BE=．．，所以CBH=∴AE=2CN；∴，CBH=，）的结论可以得出，.∴∠AOM=∠AON=135°．．AO=，∴m=﹣，+n+，+n+，+=2+2n+n，，.（，AB=4AC=8DH=47=﹣MC=6xx GN=3﹣S=﹣，，GN=2×，=9，NG=2DM=3，MC=4．∵∠F′B′E′=60°，∠ACB=30°，∴∠B′MC=90°，在Rt△B′MC中，由勾股定理，得B′M=4，B′C=8，∴x=12﹣8=4；通过作图为，当∠MDN=90°时，直角三角形DMN不存在．故x的值为：2或4．本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质及图形运.解：（1）A，B两点的勾股点有C、D，以及CD的中点，共3个，（2）当∠HNM=90°时，PH=；，∴，∴．.点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，正确根据相似三角形的性质把求线段的长的问题转化成方程问题是关键，体现了方程思想的应用．21．（2012春•沧浪区校级期中）已知，正方形DEFG内接于△ABC中，且点E，F 在BC上，点D，G分别在AB，AC上，（1）如图①，若△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠A=90°，S△ADG=2，则S△ABC= 18．（2）如图②，若△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=4，AC=3，求正方形的边长．（3）如图③，若△ABC是任意三角形，S△ADG=1，S△BDE=3，S△FCG=1，则正方形的边长为2．（4）如图④，若△ABC是任意三角形，求证：．考点：相似形综合题．专题：压轴题．分析：（1）设正方形DEFG的边长为x，根据等腰直角三角形的性质BC边上的高等于BC，然后根据△ADG和△ABC相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式求出x与BC的比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可得解；（2）利用勾股定理列式求出BC，再根据三角形的面积求出BC边上的高，然后根据△ADG和△ABC相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式计算即可；（3）设正方形DEFG的边长为x，△ADG边DG上的高为y，根据等底的三角形的面积的比等于高的比用y表示出BE、CF，然后根据△ADG和△ABC 相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式求出x与y的关系，再根据△ADG的面积列式求出x，然后根据正方形的面积列式计算即可得解；（4）设正方形DEFG的边长为x，△ABC边BC上的高为h，根据△ADG和△ABC相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式整理得到x，然后放缩不等式得到x，再平方根据正方形的面积和三角形的面积公式即可得证．解答：解：（1）设正方形DEFG的边长为x，∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∴BC边上的高等于BC，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴=，整理得，BC=3x，.∴=，=）=，BC=则S△ABC=×5h=×4×3，，=，解得x=；=，整理得，x=2y，∴S△ADG=xy=2y•y=1，解得y=1，∴x=2，即正方形的边长为2；（4）证明：设正方形DEFG的边长为x，△ABC边BC上的高为h，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴=，∴x==，∵+≥2（当且仅当BC=h时取等号），∴x≤，•x2≤BC•h，又∵正方形的面积=x2，△ABC的面积=BC•h，∴S正方形DEFG≤S△ABC．本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形对应高的比等.BE+DM=BC所示，若的面积为AM=xx，AB= BE+DM=xCAD=∠∴BN==4x，xBE=，xDF=∴CF=12x﹣x=x，..CD 2=DF 2+CF 2=（x ）2+（x ）2=39x 2，∵正三角形CDE 的面积=CD 2=，∴x 2=1，解得：x=1， ∴BN=4．点评： 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理、三角函数的运用、三角形面积的计算方法；本题难度较大，综合性强，有利于培养学生综合运用知识进行推理和计算的能力以及探究精神；证明三角形全等是解决问题的关键． 23．（2012秋•南岗区校级月考）如图1，BD 为矩形ABCD 的对角线，∠DBC 的平分线BE 交DC 于点E ，DK ⊥BE 交BE 的延长线于K ． （1）若tan ∠DBC=，求证：BE=DK ．（2）如图2，在（1）的条件下，∠BED 绕点E 顺时针旋转至∠B ′ED ′，∠B ′ED ′的两边分别交BD 、DK 于点I 、L ，若已知：DL ：LK=5：3，IL=5，求IB 的长？考点：相似形综合题． 分析： （1）延长DK 、BC 交于点F ，可证明△BKD ≌△BKF ，由全等三角形的性质可得DK=FK ，再通过证明△BEC ∽△DCF ，由相似三角形的性质可得=，又因为tan ∠DBC==，所以BE=DF=×2DF=DF ；（2）设DL=5a ，则KL=3a ，所以DK=8a ，所以BE=DK=12a ，又∠EDK=∠EBC=∠DBE ，所以tan ∠EDK=∠DBK ，所以=即=，进而求出EK=4a ，所以DE=4a ，而tan ∠EBC=tan ∠EDK ，再通过证明△DIL ∽△DBK ，即可求出a 的值，从而求出IB 的长． 解答： 解：（1）延长DK 、BC 交于点F ， ∵BK ⊥DK ，∴∠BKD=∠BKF=90°，又∵BE 平分∠DBC ， ∴∠DBK=∠FBK ， 又∵BK=BK ，在△BKD 和△BKF 中，，∴△BKD ≌△BKF ， ∴DK=FK ，又∵∠BCE=∠DCF=90°，∠CBE+∠BEC=90°，∠DEK+∠EDK=90°，而∠BEC=∠DEK，∴∠CBE=∠CDF，∴△BEC∽△DCF，∴=，又∵tan∠DBC==，∴BE=DF=×2DF=DF；（2）设DL=5a 则KL=3a，∴DK=8a，∴BE=DK=12a，又∠EDK=∠EBC=∠DBE，∴tan∠EDK=∠DBK，∴=即=，∴EK=4a，EK=12a（舍去），∴DE=4a，而tan∠EBC=tan∠EDK，∴==，∴BC=2EC，∴EC=a，BC=a，∴CD=a，BD=8a，∵∠BED=∠IEL，∴∠BEI=∠DEL，又∵∠IBE=∠LDE，∴△DLE∽△LDE，∴=，∴=，∴BI=3a，∴DI=5a，∴==，∵△IDL≌△BDK，∴△DIL∽△DBK，∴==，∴BE=8 即16a=8，∴a=，∴BI=3a=．点评：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的应用，题目的综合性强，计算量很大，对学生的综合解题能力要求很高．24．（2012秋•靖江市校级月考）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N，设BP=x．（如图1）（1）求证：AM=AN；（2）若BM=，求x的值；.=，由已知条件PG=ta﹣﹣﹣，∵∠ADM=∠B，∠DMA=∠BMP，=，∵BM=，AC=2，CP=2﹣x，2解得x1=，x2=；PG=AG=PG=t+t=2t=﹣BP=2t=2BP=2.OD=﹣﹣）a ﹣）82AD=DC.DE===x ，在Rt △ABC 中，AB===2x ，∴DP=BD •sin ∠B=3x •=x ，EQ=AE •cos ∠AEQ=AE •cos ∠B=x •=x ，∴==，∴OD=DE=，∴在Rt △OPD 中，sin ∠BOD==，∴∠BOD=45°；（3）延长FM 、GN ，交于点H ，可得矩形CFHG ，则S △HFG =S △CFG =S 四边形AFGB ，于是S △AFM +S △BGN =S △HMN ， 而△AFM ∽△NGB ∽△NHM ，∵S △AFM ：S △BGN ：S △HMN =AM 2：BN 2：MN 2，设S △AFM =kAM 2，S △BGN =kBN 2，S △HMN =kMN 2，（k ＞0），∴kAM 2+kBN 2=kMN 2，即AM 2+BN 2=MN 2， 故线段AM 、MN 、NB 能始终组成直角三角形．点评： 本题是相似形综合题，主要利用了勾股定理，勾股定理逆定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，（2）作辅助线构造出直角三角形并用CD的长度分别表示出各线段是解题的关键，（3）作辅助线构造出相似三角形，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求解，解法巧妙灵活． 26．（2011•邯郸一模）（1）如图1，四边形ACDG 与四边形ECBH 都是正方形，且B ，C ，D 在一条直线上，连接DE 并延长交线段AB 于点F ． 求证：AB=DE ，AB ⊥DE ；（2）如果将（1）中的两个正方形换成两个矩形，如图2，且==，则AB与DE 的数量关系与位置关系会发生什么变化？请说明你的看法和理由． （3）如果将（1）中的两个正方形换成两个直角三角形，如图3，∠BCE=∠ACD=90°，且=k ，且请直接写出AB 与DE 的数量关系与位置关系．考点：相似形综合题． 分析： （1）证明△ABC ≌△DEC ，则可以得到AB=DE ，然后证明∠EDC+∠ABC=90°，则依据三角形内角和定理证得：∠BFD=90°，证得AB ⊥DE ； （2）利用相似三角形的判定得出△ABC ∽△DEC ，根据相似三角形的边的比相等证得AB 、DE 的关系，与（1）的方法相同证得AB ⊥DE ；（3）利用相似三角形的判定得出△ABC ∽△DEC ，与（2）的方法相同，即可求得． 解答：证明：（1）在△ABC 和△DEC 中， ，∴△ABC ≌△DEC （SAS ）．∴AB=DE ，∠BAC=∠EDC ． ∵∠BAC+∠ABC=90°，∴∠EDC+∠ABC=90°．∴∠BFD=90°．∴AB⊥DE．（2）AB=DE，AB⊥DE．∵，∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△DEC．∴，∠BAC=∠EDC．∵∠BAC+∠ABC=90°，∴∠EDC+∠ABC=90°．∴∠BFD=90°．∴AB⊥DE．（3）∵=k，∠ACB=∠ACD∴△ABC∽△DEC，∴==k，∠BAC=∠CDE，又∵∠AEF=∠CED，AC⊥CD，∴∠BAC+∠AEF=∠DEC+∠CDE=90°∴∠AFE=90°，∴AB⊥DE点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，理解相似与全等的关系，理解每个小题之间的联系是关键．27．（2011•哈尔滨）已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．（1）如图1，当∠ACB=90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为DE=2CE；（2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K，延长DK交AB 于点H．若BH=10，求CE的长．考点：相似形综合题；解一元二次方程-因式分解法；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）易证△DBE∽△CAE，通过相似比，可得出结论；（2）通过作辅助线，过点B作BM⊥DC于M，证明△BME≌△ACE，可证得结论；（3）过点B作BM′⊥DC于点M′，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N，设BF=a，在直角三角形BFN中，用a分别表示出BN、FN的长，利用勾股定理得出DF，再通过证明△BME≌△ACE，△BGF∽△DGH，利用相似比求得FG、DG、BG，然后，根据△DKG和△DBG关于直线DG对称，证得△BGF∽△DGH，利用相似比得出GH、BH，求出a的值，从而求出CE的长．解答：（1）解：∵∠DBC=∠ACB=90°，∴∠DBC+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴∠DBE=∠CAE又∵∠DEB=∠AEC，∴△DBE∽△CAE，∴=，又∵BD=BC=2AC，∴DE=2CE；故答案为：DE=2CE．（2）证明：如图2，∵∠DBC=∠ACB=120°，BD=BC，.∴∠D=∠BCD=30°，∴∠ACD=90°，BM=∵AC=BC，∴BM=AC，ME=CE=CMa aDN=DB+BN=a=a AC=BC∴==，∴BF2=FG×FD，∴a2=a×FG，∴FG=a，∴DG=DF﹣FG=a，BG==a，∵△DKG和△DBG关于直线DG对称，∴∠GDH=∠BDF，∴∠ABC=∠GDH，又∵∠BGF=∠DGH，∴△BGF∽△DGH，∴=，∴GH==a，∵BH=BG+GH=a=10，∴a=2；∴BC=2a=4，CM′=BCcos30°=2，∴DC=2CM′=4，∵DE=3EC，∴EC=DC=．.点评：本题考查了全等、相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，本题考查的知识点较多，综合性较强，作好辅助线，对于证明结论事半功倍．28．（2011•武汉模拟）在△ABC中，点D、E、F分别为边BC、AB、AC的中点，点G为线段DF上一点（点G不与D、F重合），AG的延长线交BC于点K，交ED的延长线于点H，连接BH．（1）如图1：若∠BAC=90°，写出图中所有与∠HBD相等的角，并选取一个给出证明．（2）如图2：若∠BAC≠90°，在（1）中与∠HBD相等的角中找出一个仍然与∠HBD 相等的角，并给出证明．考点：相似形综合题．分析：（1）根据直角三角形的性质及相关条件可以得出EH是AB的中垂线，就可以得出∠HBD=∠DAH，DF是AC的中垂线，就可以得出∠DAH=∠DCG，从而就可以得出与∠HBD相等的角；（2）由D、E、F是中点，就有ED∥AC，DF∥AB，就可以得出△KDG∽△KBA，可以得出，再由△KDH∽△KCA，由其性质可以得出，就可以得出KC•KH=KB•KG，由∠BKH=∠CKA就可以得到△HKB∽△CKA，再由其性质及号得出结论．解答：解：（1）∵点D、E、F分别为边BC、AB、AC的中点，∴DE、DF是△ABC的中位线，BD=CD=BC，BE=AE，AF=CF．∴ED∥AC，DF∥AB．∵∠BAC=90°，∴AD=BC，∴BD=CD=AD．∴∠ABD=∠BAD，∠DAC=∠DCA∴ED是AB的垂直平分线，DF是AC的垂直平分线，∴BH=AH，AG=AC，∴∠HBA=∠HAB，∠GAC=∠GCA．∴∠HBD=∠HAD，∠HAD=∠DCG，∴∠HBD=∠HAD=∠DCG，∴与∠HBD相等的角有：∠HAD、∠DCG；（2）如图2，∠HBD=∠GCK∵DG∥AB，∴△KDG∽△KBA，∴，∴DK•KA=BK•KG．∵DH∥AC，∴△KDH∽△KCA，∴，∴KD•KA=KC•KH，..∴BK •KG=KC •KH ， ∴．∵∠BKH=∠CKG ， ∴△HKB ∽△GKC ， ∴∠HBD=∠GCK ．点评： 本题考查了直角三角形的性质的运用，中垂线的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，相似三角形的判定与性质的运用，在解答本题时巧妙运用相似三角形的性质是关键． 29．（2011•黑龙江模拟）已知：如图，直角梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠A=90°，CD=CB=2AD ．点Q 是AB 边中点，点P 在CD 边上运动，以点P 为直角顶点作直角∠MPN ，∠MPN 的两边分别与AB 边、CB 边交于点M 、N ． （1）若点P 与点D 重合，点M 在线段AQ 上，如图（1）．求证：．（2）若点P 是CD 中点，点M 在线段BQ 上，如图（2）．线段MQ 、CN 、BC 的数量关系是：MQ+CN=BC ，并证明你的猜想．考点：相似形综合题． 专题：几何综合题． 分析： （1）过点D 作DE ⊥BC 于E ，可得四边形ABED 是矩形，根据矩形的对边相等可得BE=AD ，设AD=x ，表示出CD=CB=2x ，再求出CE=BE ，再利用勾股定理列式求出DE ，再根据等角的余角相等求出∠DAM=∠EDN ，证明Rt △ADM 和Rt △EDN 相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，然后代入进行计算求出AM 、EN 的关系，再表示出MQ 、CN 并代入MQ ﹣CN 整理即可得解；（2）连接PQ ，过点D 作DE ⊥BC 于E ，过点P 作PF ⊥BC 于F ，设AD=x ，则CD=CB=2x ，根据梯形的中位线平行于底边并且等于两底和的一半求出PQ ∥AD ，PQ=（AD+CB ），再根据（1）得到DE 的长，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PF ∥DE ，PF=DE ，根据同角的余角相等求出∠QPM=∠FPN ，然后求出△PQM 和△PFN 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出MQ 和FN 的关系，再表示出CN ，整理即可得解． 解答： 解：（1）如图1，过点D 作DE ⊥BC 于E ， ∵AD ∥BC ，∠A=90°，∴四边形ABED 是矩形， ∴BE=AD ，设AD=x ，则CD=CB=2x ， ∵CD=CB=2AD=2x ， ∴CE=BE=2x ﹣x=x ，∴在Rt △CDE 中，根据勾股定理得，DE===x ，∵∠MPN 是直角，∴∠MDE+∠EDN=90°， 又∵∠ADM+∠MDE=90°， ∴∠DAM=∠EDN ，∴Rt △ADM ∽Rt △EDN ，∴=， 即=，∴EN=AM ，∵点Q 是AB 边中点， ∴AQ=AB=DE=x ，AM=MQ（AM x AM x+AM=x，∴x=BC，MQ BCPQ=（（xPF=DE=x CE==，=，MQx MQ ∴x=BC，∴MQ+CN=BC．故答案为：MQ+CN=BC．本题是相似形综合题，主要利用了矩形的判定，同角的余角相等的性质，相AP=．求线段.，=，从而求出其值．△NGE∽△NBK．利用（1）的结论，结合勾股定理、等腰直角三角形的性质求得GE=2，BK=3．由相似三角形的对应边成比例知=，从而求得∴在Rt△BEC中，∠EBC=∠C=45°．，AP=AE=，解得．AP=，AP=EK=，AB==3BH=BC=2本题考查了直角梯形、等腰直角三角形以及解直角三角形的应用．经常通过=，即=．.。
(完整word版)初三相似三角形压轴题专题复习
1.如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD＝6cm，DC＝8cm，BC＝12cm．动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1cm．两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．（1）求线段AB的长．（2）当t为何值时，MN∥CD？（3）设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）如图②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．2．（2017?二模）如图①，已知矩形ABCD中，AB＝60cm，BC＝90cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以20cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动的时间为t（s）．（1）当t＝s时，△BPQ为等腰三角形；（2）当BD平分PQ时，求t的值；（3）如图②，将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点为E，PE、QE分别与AD交于点F、G．探索：是否存在实数t，使得AF＝EF？如果存在，求出t的值：如果不存在，说明理由．3．（2016?苏州一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．动点P从点A出发沿AC 向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q 也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）求线段AC的长度；（2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；②当l经过点B时，求t的值．4.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q 两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）5.如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，OA＝10，cos∠COA＝．一个动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA方向运动，过点P作PQ⊥OA，交折线段OC﹣CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线OA 上，当P点到达A点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）C点的坐标为，当t＝时N点与A点重合；（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与菱形OABC的重合部分面积为S，直接写出S 与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，在运动过程中，过点O和点B的直线将正方形PQMN分成了两部分，请问是否存在某一时刻，使得被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的？若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．6.在Rt△AOB中，OA＝3，sin B＝，P、M、分别是BA、BO边上的两个动点．点M从点B出发，沿BO以1单位/秒的速度向点O运动；点P从点B出发，沿BA以a单位/秒的速度向点A运动；P、M两点同时出发，任意一点先到达终点时，两点停止运动．设运动的时间为t．（1）线段AP的长度为（用含a、t的代数式表示）；（2）如图①，连结PO、PM，若a＝1，△PMO的面积为S，试求S的最大值；（3）如图②，连结PM、AM，试探究：在点P、M运动的过程中，是否存在某个时刻，使得△PMB为直角三角形且△PMA是等腰三角形？若存在，求出此时a和t的取值，若不存在，请说明理由．7．（2018?常熟市一模）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，sin∠BAC＝．设AP的长为x．（1）AB＝；当x＝1时，＝；（2）①试探究：否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；②连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值．（3）当△PCE是等腰三角形时．请求出x的值；8.△ABC，△DEC均为直角三角形，B，C，E三点在一条直线上，过D作DM⊥AC于M．（1）如图1，若△ABC≌△DEC，且AB＝2BC．①过B作BN⊥AC于N，则线段AN，BN，MN之间的数量关系为：；（直接写出答案）②连接ME，求的值；（2）如图2，若AB＝CE＝DE，DM＝2，MC＝1，求ME的长．9.如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG 重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD 的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x （s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y＝3时相应x的值；（2）记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1﹣S2是常数；（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．10．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．（1）如图①，当PA的长度等于时，∠PAD＝60°；当PA的长度等于时，△PAD是等腰三角形；（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．设P 点坐标为（a，b），试求2S1S3﹣S22的最大值，并求出此时a、b的值．11.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点．直线OD⊥直线AB于点D．现有一点P从点D出发，沿线段DO向点O运动，另一点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到O时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）点A的坐标为；线段OD的长为．（2）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系（不要求写出取值范围），并确定t 为何值时S的值最大？（3）是否存在某一时刻t，使得△OPQ为等腰三角形？若存在，写出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由．12.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A．18B．C．D．13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=．14.如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC 交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE=．15.如图，在一块直角三角板ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD=．16.如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．17.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：2518.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM=AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是．19.如图，AC⊥BC，AC=BC，D是BC上一点，连接AD，与∠ACB的平分线交于点E，连接BE．若S△ACE=，S△BDE=，则AC=．。
(完整word版)九年级下数学相似三角形经典习题(含答案)
九年级下数学相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CDF S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长． 解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等； （5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2． 说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FCAB GF =，即2232x x -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。
相似三角形的动点问题题型(整理)word版本
相似三角形的动点问题一、动点型例1、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．迁移应用1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．1）求证：△ACD∽△BAC；2）求：DC的长；3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=33，点M 是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；（2）当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．二、动点加动线例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=2时，AP= ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t 的取值范围（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．迁移应用1、如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值．2、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ．（1）求证：△PFA ∽△ABE ；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA=x ，是否存在实数x ，使以P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．3、如图，已知A （8，0），B （0，6），两个动点P 、Q 同时在△OAB 的边上按逆时针方向（→O →A →B →O →）运动，开始时点P 在点B 位置，点Q 在点O 位置，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位．（1）在前3秒内，求△OPQ 的面积S 与时间t 之间的关系式；并求出△OPQ 的最大面积； （2）在前10秒内，秋P 、Q 两点之间的最小距离，并求此时点P 、Q 的坐标；（3）在前15秒内，探究PQ 平行于△OAB 一边的情况，并求平行时点P 、Q 的坐标．4、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ，点A 、C 的坐标分别为A(-3,0)，C(1,0)，43AC BC , （1）求过点A 、B 的直线的函数表达式；（2）在X 轴上找一点D,连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点Dyx O AB的坐标；（3）在（2）的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．5、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在Y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折叠CE=55，且43DAEA（1）判断OCD与△ADE是否相似？请说明理由；x（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线L，使直线L、直线CE与x轴所围成的三角形和△CDE相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存Array在，请说明理由．6、△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P从点B开始沿BC边以每秒1的速度向点C运动，点Q从点C开始沿CA边以每秒2的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E．点P，Q分别从B，C两点同时出发，当点Q运动到点A时，点Q、p停止运动，设它们运动的时间为x．1）当x= 秒时，射线DE经过点C；2）当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为y，求y与x的函数关系式；3）当点Q运动时，是否存在以P、Q、C为顶点的三角形与△PDE相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=20cm，AD=40cm，∠D=120°，点P、Q同时从C点出发，分别以2cm/s和1cm/s的速度沿着线段CB和线段CD运动，当Q到达点D，点P也随之停止运动．设运动时间为t（s）（1）当t为何值时，△CPQ与△ABP相似；（2）设△APQ与梯形ABCD重合的面积为S，求S与t的函数关系式，写出自变量的取值范围．8、如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD 的交点为E ，与折线A-C-B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t （秒）． （1）当t=0.5时，求线段QM 的长；（2）当0＜t ＜2时，如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值； （3）当t ＞2时，连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究RQCQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．9、如图1，直角梯形ABCD 中，∠A=∠B=90°，AD=AB=6cm ，BC=8cm ，点E 从点A 出发沿AD 方向以1cm/s 的速度向中点D 运动；点F 从点C 出发沿CA 方向以2cm/s 的速度向终点A运动，当点E、点F中有一点运动到终点，另一点也随之停止．设运动时间为ts．（1）当t为何值时，△AEF和△ACD相似？（2）如图2，连接BF，随着点E、F的运动，四边形ABFE可能是直角梯形？若可能，请求出t的值及四边形ABFE的面积；若不能，请说明理由；（3）当t为何值时，△AFE的面积最大？最大值是多少？10、如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C-B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．△MPQ的面积为S．（1）点C的坐标为，直线l的解析式为。
相似三角形的性质_练习题(有答案)word版本
18.6相似三角形的性质同步课堂检测学考试总分：120分 考试时间：120分钟学校：班级:姓名:考号:、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1•王华晚上由路灯 下的岡处走到|:；|处时，测得影子丽的长为 ，继续往前走|M 住到达 处时，测得影子馬的长为，他的身高是|1,，那么路灯H 的高度.=：」2•如图，在中，若一」「丄； …，若—二匸的面积等于同，则的面积 等于（）3.如图，|心』呪中，DE 〃氏，如果M = 0甘=2|,那么远;的值为（）LJ4.如图，在h ；「‘心一中，..I ，.； r ,：：綢是 边上的高，-4匚二二 d = *，则，=（；A.B.7.2mC.D.l.SmB. C. D.A.C.A. B. C.A.245•如图，是严利斜边!胡上的高， ， ，则’•的长为（）A.・1B.C.D.6•两个相似三角形的面积之比为 ，则这两个三角形的周长比为（ ）A.B. .C.； 1D..7•—个三角形的三边分别为鞫，，，另一个与它相似的三角形中有一条边长为 三角形的周长不可能是（）8•—个芒二N 的面积被平行于它的一边的两条线段三等分，如果 匚匸 止■.比，则这两条线段中较长的一条是（）A. B. D.「'■-：9.如图，卜山二壮中，山‘平分一—交覚于点:；,亠交胡于点二，吗为,的 中点，时「.胆交 的延长线于点 ，岂:--，‘工：-:：.•下列结论 ① W-\DE 3②DA = A ；③AC DL ~i2；④站4=^4,其中结论正确的个数有（）「，则这个B.C. D.二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）11.相似三角形的判定方法K1J若DEJfBC（川型（图1）和氏型（图2））则|.同射影定理：若为 -斜边上的高（双直角图形）Rt A ABC -Wt A ACD - Rt A CUDA.个B.个C.个D.个10.如图，、•分别是朮边’、上的点，，若'也甘恥：'右CDS =1；3，则1Bi1C.12.如图，中线段的长BD =13.若— ms.，且 ，—.的周长为悴;,贝则"玄v|的周长为A H 4__ •/ID 214. 如图，已知 M 〃肚，如，0E 交于点卩，若 —=-15.在'中，\ 分别在 、•上，九 ■：, • ，沁-加，，则■ & & AifC- _____16.在 ’中，是’上的动点 异于、鬲，过点 的直线截，使截得的三角形与简记为 ，（为自然数）（1）如图①，山=90■，已，当HP = 2PA 时，件⑺、P 心）此外还有 _________ 条.⑵如图②，山=«,当顾二 _________________________________ , P （Q 截得的三角形面积为^ABC 面积的17.如图，在"肮中，=占（；=2, ，点"为腰中点，点圧在底边虫凸上，且，则DEh.相似，我们不妨称这种直线为过点的.的相似线,都是过点的的相似线（其中I •丄血，），营②UE 3^ElAD，则0E的长为_____________ -18. 已知：如图，在Ui-中，.二”舟_ ：小“，’V亠正：，垂足是卜，£「-卡，.求19. 如果两个相似三角形的相似比是 ___________________ 1:3,那么这两个三角形面积的比是-20. 若-一m—ur,―:江的面积为的面积为忖”：.［，且心疔丄心胡,则DE —_________ __、解答题（共6小题，每小题10分，共60分）21. 如图，已知，分别是•的，上的一点，『―】处i，处+1，，= <■，求|.:沱;的长. __________22. 已知在V中，.平分-丛江，阂H是!拥的中垂线，交於［延长线于，求证:23. 如图所示，在巳1中，点是上一点，连接伴，"二且•, 則［.求-总」与的相似比.24. 如图，在中，妙—叮，，垂足分别为' > ，连接，试判断与|是否相似，并说明理由？25. 如图，在Rt A ABC中，山腕=90”，点卩为Of边上的点，血丄AD于点E,延长交于点•证明:际-Ali _IiD _ AF~mj：~j，■；并说明理由.答案1. C2. D 精品文档3. C4. C5. D6. C7. C8. D9. C10. D 11•…•匸丄- —D；；U U匚 212.13.15.164押17渥318.19.20.21. 解：T、分别是乙―的'、•边上的点，■, •/ ' .W22. 证明：连接卜乂•••■是「的中垂线, 精品文档23. 解：•/,AC AD• _ ___•乔—屁’•抑=4 Z?D = 5|故• 与•’的相似比为:24.解：相似•理由如下：••在中，* , 分别是妁；|, 边上的高,•/是公共角，25..26/ I线段■线段精品文档。
九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》(四)(Word版,带答案)
九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》（四）1．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A（0，a），点B（b，0），且a、b满足a2﹣4a+4+＝0．（1）求a，b的值；（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧且∠ACB＝45°，求点C的坐标；（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．①求证CF＝BC；②直接写出点C到DE的距离．2．已知：如图，点P是等边△ABC内一点，连接PC，以PC为边作等边三角形△PDC，连接PA，PB，BD．（1）求证：∠APC＝∠BDC；（2）当∠APC＝150°时，试猜想△DPB的形状，并说明理由；（3）当∠APB＝100°且DB＝PB，求∠APC的度数．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．点E为AD上一点，点F为BE延长线上一点，且AF＝AC．（1）如图1，若∠FBC＝∠BAC＝30°．①判断△BAF的形状，并证明；②若AE＝（+1）BE，则＝．（直接写出结果）（2）如图2，若∠FBC＝45°，作AG⊥BF于G，求证：EF＝BE+2AG．4．如图1，Rt△ABC中，点D，E分别为直角边AC，BC上的点，若满足AD2+BE2＝DE2，则称DE为Rt△ABC的“完美分割线”．显然，当DE为△ABC的中位线时，DE是△ABC的一条完美分割线．（1）如图1，AB＝10，cos A＝，AD＝3，若DE为完美分割线，则BE的长是．（2）如图2，对AC边上的点D，在Rt△ABC中的斜边AB上取点P，使得DP＝DA，过点P画PE⊥PD交BC于点E，连结DE，求证：DE是直角△ABC的完美分割线．（3）如图3，在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝5，DE是其完美分割线，点P是斜边AB的中点，连结PD、PE，求cos∠PDE的值．5．如图1，张老师在黑板上画出了一个△ABC，其中AB＝AC．让同学们进行探究．（1）探究一：如图2，小明以BC为边在△ABC内部作等边△BDC，连接AD．请直接写出∠ADB的度数；（2）探究二：如图3，小彬在（1）的条件下，又以AB为边作等边△ABE，连接CE．判断CE与AD的数量关系，并说明理由；（3）探究三：如图3，小聪在（2）的条件下，连接DE．若∠DEC＝60°，DE＝2，求AE的长．6．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝16，CD是斜边AB上的中线，P是边AC上一点，连接DP，以DP为直角边作等腰直角三角形DPE（点E始终在直线AB右侧）．（1）求点D到边AC的距离；（2）当△PEC是以PE为腰的等腰三角形时，求所有满足要求的AP长．（3）如图2，当斜边DE与AC有交点时，记交点为Q，若AP＝CQ，则S△DPE ＝．（直接写出答案）7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为BC上一点，连接AE，作AF ⊥AE且AF＝AE，BF交AC于D．（1）如图1，求证：D为BF中点；（2）如图1，求证：BE＝2CD；（3）如图2，若＝，直接写出的值．8．在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，E为BC上一个动点，CF⊥AE于G，交AB于F．（1）如图1，当AE平分∠CAB时，求BE的长．（2）如图2，当E为BC中点时．①求CG的长．②连接EF，求GF+EF的值．（3）如图3，在E运动过程中，连接BG，则BG的最小值为．9．已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝BC．（1）连接BD，如图1，若∠BAD＝90°，AD＝3，求DC的长；（2）点E，F分别在射线DC，DA上．①如图2，若点E，F分别在线段CD，AD上，且满足∠EBF＝90°﹣∠ADC，求证：EF＝AF+CE；②如图3，若点E，F分别在线段DC延长线与DA延长线上，且满足EF＝AF+CE，请直接写出∠EBF与∠ADC之间的数量关系．10．（1）已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．①如图1，点M、N在底边BC上，且∠ANB＝45°，∠MAN＝60°．请在图中作出∠NAD＝60°，且AD＝AM，连接ND、CD；并直接写出BM与CN的数量关系．②如图2，点M在BC上，点N在BC的上方，且∠MBN＝∠MAN＝60°，求证：MC＝BN+MN；（2）如图3，在四边形ABCD中，∠CAB＝50°，BD平分∠ABC，若∠ADC与∠ABD互余，则∠DAC的大小为（直接写出结果）．参考答案1．解：（1）∵，∴，∵（a﹣2）2≥0，，∴a﹣2＝0，2b+2＝0，∴a＝2，b＝﹣1；（2）由（1）知a＝2，b＝﹣1，∴A（0，2），B（﹣1，0），∴OA＝2，OB＝1，∵△ABC是直角三角形，且∠ACB＝45°，∴只有∠BAC＝90°或∠ABC＝90°，Ⅰ、当∠BAC＝90°时，如图1，∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝CB，过点C作CG⊥OA于G，∴∠CAG+∠ACG＝90°，∵∠BAO+∠CAG＝90°，∴∠BAO＝∠ACG，在△AOB和△BCP中，，∴△AOB≌△CGA（AAS），∴CG＝OA＝2，AG＝OB＝1，∴OG＝OA﹣AG＝1，∴C（2，1），Ⅱ、当∠ABC＝90°时，如图2，同Ⅰ的方法得，C（1，﹣1）；即：满足条件的点C（2，1）或（1，﹣1）（3）①如图3，由（2）知点C（1，﹣1），过点C作CL⊥y轴于点L，则CL＝1＝BO，在△BOE和△CLE中，，∴△BOE≌△CLE（AAS），∴BE＝CE，∵∠ABC＝90°，∴∠BAO+∠BEA＝90°，∵∠BOE＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∴；②点C到DE的距离为1．如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，由①知BE＝CF，∵BE＝BC，∴CE＝CF，∵∠ACB＝45°，∠BCF＝90°，∴∠ECD＝∠DCF，∵DC＝DC，∴△CDE≌△CDF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∴CK＝CH＝1．2．解：（1）如图，∵△ABC，△PDC是等边三角形，∴AC＝BC，PC＝PD＝CD，∠ACB＝∠PCD＝60°，∴∠ACP＝∠BCD，且AC＝BC，PC＝CD，∴△ACP≌△BCD（SAS）∴∠APC＝∠BDC；（2）△DPB是直角三角形．理由：∵∠BDC＝∠APC＝150°，∠PDC＝60°∴∠BDP＝∠BDC﹣∠PDC＝90°，∴△DPB是直角三角形；（3）设∠APC＝x，则∠BPD＝200°﹣x，∠BDP＝x﹣60°∵PB＝DB，∴∠BPD＝∠BDP，∴200°﹣x＝x﹣60°，∴x＝130°，∴∠APC＝130°3．解：（1）①△BAF为等腰直角三角形．证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∠FBC＝∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠C＝75°，∠BAD＝∠CAD＝15°，∵AF＝AC，∴AB＝AF，∴∠ABF＝45°，∴△BAF为等腰直角三角形；②如图1，过点A作AM⊥BF于点M，设BE＝x，则AE＝（+1）x，∵∠FBC＝30°，∴DE＝BE＝x，∠BED＝∠AEF＝60°，∴∠EAM＝30°，∴EM＝AE（+1）x，∵△ABF为等腰直角三角形，AM⊥BF，∴AM＝MF＝BM，∴BM＝EB+EM＝x+x＝x，∴EF＝EM+MF＝x＝（2+）x，∴＝4+2．故答案为：4+2．（2）证明：如图2，过点A作AH⊥AE，交BC于点H，∵∠FBC＝45°，AD⊥BC，∴∠BED＝∠AEH＝45°，∴∠AHE＝∠AEH＝45°，AE＝AH，∴∠AEB＝∠AHF＝135°，∵AF＝AC，∴AB＝AF，∠ABF＝∠F，在△ABE和△AFH中，，∴△ABE≌△AFH（AAS），∴BE＝FH，∴AG＝EG＝GH，∴EH＝2AG，∴EF＝FH+EH＝BE+2AG．4．解：（1）∵AB＝10，cos A＝，∴cos A＝，∴AC＝8，CD＝5，∴＝＝6，设BE＝x，则CE＝6﹣x，在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2＝52+（6﹣x）2，∵DE为完美分割线，∴AD2+BE2＝DE2，∴32+x2＝52+（6﹣x）2，解得：x＝．∴BE＝．故答案为：．（2）证明：如图2，∵DA＝DP，∴∠DAP＝∠DPA，∵PE⊥PD，∴∠DPA+∠EPB＝90°，又∠A＝∠B，∴∠EPB＝∠B，∴EP＝EB，∴AD2+BE2＝DP2+EP2＝DE2，∴DE是直角△ABC的完美分割线．（3）解：延长DP至F，使PF＝PD，连接BF，EF，∵AP＝BP，∠APD＝∠BPF，∴△APD≌△BPF（SAS），∴AD＝BF，∠A＝∠FBP，∴∠EBF＝∠CBA+∠FBP＝∠CBA+∠A＝90°，∵DE是完美分割线，∴DE2＝AD2+BE2＝BF2+BE2＝EF2，即ED＝EF．又PD＝PF，∴∠EPD＝90°，过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，则∠MPD＝∠NPE＝90°﹣∠MPE，∴△MPD∽△NPE，∴，设PD＝a，则PE＝2a，则DE＝＝a，∴cos∠PDE＝＝．5．解：（1）探究一：∵△BDC是等边三角形，∴BD＝DC，∠BDC＝60°，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝360°﹣60°，∴∠ADB＝150°，故答案为：150°．（2）探究二：结论：CE＝AD．理由：∵△BDC、△ABE都是等边三角形∴∠ABE＝∠DBC＝60°，AB＝BE，BD＝DC．∴∠ABE﹣∠DBE＝∠DBC﹣∠DBE∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（SAS）．∴AD＝CE．（3）探究三：∵△ABD≌△EBC，∴∠BDA＝∠ECB＝150°，∵∠BCD＝60°，∴∠DCE＝90°，∵∠DEC＝60°，∴∠CDE＝30°，∵DE＝2，∴CE＝1，由勾股定理得，DC＝BC＝，∵∠BDE＝60°+30°＝90°，DE＝2，BD＝．由勾股定理得，BE＝＝．∵△ABE是等边三角形∴AE＝BE＝．6．解：（1）过D用DF⊥AC于点H，如图1，则DF∥BC，∵D是AB的中点，∴AF＝CF，∴DF＝，∵BC＝，∴DF＝6，故点D到边AC的距离为6；（2）当PE＝CE时，如图1，过点E作EG⊥PC于点G，∴PG＝CG，∵∠DPE＝90°，∴∠DPF+∠EPG＝∠DPF+∠PDF＝90°，∴∠PDF＝∠EPG，∵PD＝EP，∠DFP＝∠PGE＝90°，∴△DPF≌△PEG（AAS），∴DF＝PG＝CG＝6，∴AP＝AC﹣PC＝16﹣6﹣6＝4；当PE＝PC时，如备用图1，过D作DF⊥AC于点F，过点E作EG⊥AC于点G，则DF∥BC，AF＝CF＝8，DF＝BC＝6，∵∠DPE＝90°，∴∠DPF+∠EPG＝∠DPF+∠PDF＝90°，∴∠PDF＝∠EPG，∵∠DFP＝∠PGE＝90°，DP＝EP，∴△PDF≌△EPG（AAS），∴DPG＝6，PF＝EG，设PE＝PC＝x，则EG＝FP＝8﹣x，由勾股定理得，PE2﹣EG2＝PG2，∴x2﹣（8﹣x）2＝62，解得，x＝，即PC＝，∴AP＝AC﹣PC＝16﹣，综上，AP＝4或；（3）过点D作DF⊥AC于点F，过点E作EG⊥AC于G，则DF∥EG∥BC，∵D是AB的中点，∴AF＝CF＝8，DF＝，∵AP＝CQ，∴PF＝QF，设AP＝CQ＝x，则PF＝QF＝，∵∠DPE＝90°，∠DFP＝90°，∴∠DPF+∠EPG＝∠DPF+∠PDF＝90°，∴∠PDF＝∠EPF，∵∠DFP＝∠PGE＝90°，DP＝PE，∴△DPF≌△PEG（AAS），∴DF＝PG＝6，PF＝EG＝8﹣x，∴QG＝PG﹣PQ＝6﹣2（8﹣x）＝2x﹣10，∵DF∥EG，∴△DFQ∽△EGQ，∴，即，解得，x＝14+6＞16（舍），或x＝14﹣6，∴PF＝QF＝EG＝8﹣x＝6﹣6，∴＝．另一解法：过D作DF⊥AC于点F，延长DF至M，使得DF＝FM，过M作MN⊥DE，与DE的延长线交于点N，如图2，则DF∥BC，∴QD＝QM，∴∠QDM＝∠QMD，∵D是AB的中点，DF∥BC，∴AF＝CF＝8，DF＝，∴DM＝12，∵AP＝CQ，∴PF＝QF，∴DP＝DQ，∴∠PDF＝∠QDF，∴∠PDF＝∠QMF，∴DP∥QM，∴∠MQN＝∠PDE＝45°，∴∠NMQ＝45°＝∠MQN，∴MN＝QN，不妨设MN＝QN＝x，则DP＝QD＝QM＝，∵DN2+MN2＝DM2，∴，解得，，∴，∴，∴．故答案为：72﹣36．7．证明：（1）如图1，过F点作FG⊥AC于点G，∵∠FAG+∠CAE＝90°，∠FAG+∠AFG＝90°，∴∠CAE＝∠AFG，在△AGF和△ECA中，，∴△AGF≌△ECA（AAS），∴AG＝EC，FG＝AC，∵AC＝BC，∴BC＝FG，又∵∠FGD＝∠DCB＝90°，∠FDG＝∠CDB，∴△FGD≌△BCD（AAS），∴DF＝BD，即D为BF的中点；（2）证明：∵△FGD≌△BCD，∴DC＝GD，∴CG＝2CD，∵AG＝CE，AC＝BC，∴CG＝BE，∴BE＝2CD；（3）解：如图2，过F点作FG⊥AC于点G，∵，∴，∵AC＝CB，∴，由（1），（2）可知△AGF≌△ECA，△FGD≌△BCD，∴CE＝AG，CD＝DG，∴，∴，∴，∴．∴．8．解：（1）∵AE平分∠CAB，∴点E到AC，AB的距离相等，∴，∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝AC＝4，∴，∴，∴BE＝×4＝4（2﹣）＝8，即BE＝8﹣4；（2）①∵点E是BC的中点，∴CE＝BE＝BC＝2，∴AE＝＝2，∵CF⊥AE，∴S△ACE＝AE•CG＝AC•CE，∴CG＝．②过点B作BM⊥BC交CF延长线于点M，∵BM⊥BC，∴∠CBM＝90°，∴∠CBM＝∠ACE＝90°，∵∠ACG+∠BCM＝90°，∠ACG+∠CAE＝90°，∴∠BCM＝∠CAE，在△CBM和△ACE中，，∴△CBM≌△ACE（ASA），∴AE＝CM＝2，CE＝BM，∵CE＝BE，∴BM＝BE，∵∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠EBF＝∠MBF＝45°，在△EBF和△MBF中，，∴△EBF≌△MBF（SAS），∴EF＝MF，∴GF+EF＝GF+MF＝GM＝CM﹣CG＝2﹣．∴GF+EF＝．（3）取AC的中点N，连接NG，BN，∵点N是AC的中点，∴AN＝CN＝AC＝2，∴BN＝＝2，∵CF⊥AE，∴∠AGC＝90°，∴NE＝AC＝2，∴BG≥BN﹣NG，当且仅当B，G，N三点共线时，BG取得最小值，∴BG的最小值为2﹣2．故答案为：2﹣2．9．（1）解：∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝90°，∴∠C＝90°＝∠A，在Rt△ABD和Rt△CBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），∴DC＝DA＝3；（2）证明：如图2，延长DC到G，使得CG＝AF，连接BG，∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠A＝360°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠A+∠BCD＝180°，且∠BCD+∠BCG＝180°，∴∠A＝∠BCG，∵AB＝BC，CG＝AF，∴△ABF≌△CBG（SAS），∴BF＝BG，∠ABF＝∠CBG，又∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠EBF＝90°﹣∠ADC＝∠ABC＝∠ABF+∠EBC＝∠CBG+∠EBC＝∠EBG，∵BE＝BE，∴△EBF≌△EBG（SAS），∴EF＝EG＝EC+CG＝CE+AF；（3）解：∠EBF与∠ADC之间的数量关系为：∠EBF＝90°+∠ADC．在CD的延长线上截取CH＝AE，连接BH，∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠DAB＝360°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠DAB+∠BCD＝180°，且∠DAB+∠EAB＝180°，∴∠BCD＝∠EAB，且AB＝BC，AE＝CH，∴△AEB≌△CHB（SAS），∴BE＝BH，∠EBA＝∠HBC，∵EF＝AE+CF，∴EF＝CH+CF＝HF，且BF＝BF，BE＝BH，∴△EBF≌△HBF（SSS），∴∠EBF＝∠HBF，∵∠EBF+∠HBF+∠EBA+∠ABH＝360°，∴2∠EBF+∠HBC+∠ABH＝360°，∴2∠EBF+∠ABC＝360°，∴2∠EBF+180﹣∠ADC＝360°，∴∠EBF＝90°+∠ADC．10．解：（1）①BM＝2CN．如图1，作出∠NAD＝60°，且AD＝AM，连接ND、CD；∵∠MAN＝60°，∠BAC＝120°，∴∠BAM+∠CAN＝60°，∵∠CAD+∠CAN＝60°，又∵AD＝AM，AB＝AC，∴△ABM≌△ACD（SAS），∴BM＝CD，∠B＝∠ACD＝30°，∵AM＝AD，∠MAN＝∠DAN，AN＝AN，∴△AMN≌△ADN（SAS），∴∠ANM＝∠AND＝45°，∴∠MND＝90°，又∵∠DCN＝∠ACB+∠ACD＝60°，∴∠CDN＝30°，∴CD＝2CN，∴BM＝2CN．故答案为：BM＝2CN．②如图2，在CB上截取CG＝BN，连接AG，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠ABC＝30°，∵∠NBM＝60°，∴∠ABN＝30°，在△ABN和△ACG中，，∴△ABN≌△ACG（SAS），∴∠BAN＝∠CAG，AN＝AG，∴∠BAN+∠BAM＝∠BAM+∠CAG＝∠MAN＝60°，∴∠MAG＝∠BAC﹣∠BAM﹣∠CAG＝60°，在△AMN和△AMG中，，∴△AMN≌△AMG（SAS），∴MN＝MG，∴MC＝MG+GC＝MN+BN．（2）如图3，过点D作DM⊥BA于点M，DN⊥BC于点N，在AM上截取MK＝CN，连接DK，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，DM＝DN，∵∠ADC＝90°﹣∠ABD，∠MDN＝180°﹣2∠ABD，∴∠MDN＝2∠ADC，在△DMK和△DNC中，，∴△DMK≌△DNC（SAS），∴DC＝DK，∠MDK＝∠CDN，∴∠NDC+∠ADM＝∠MDK+∠ADM＝∠ADC，∴∠ADC＝∠ADK，∵AD＝AD∴△ADC≌△ADK（SAS），∴∠DAC＝∠DAM＝．故答案为：65°．。
2022年全国各地自招数学好题汇编之专题17 相似三角形(word版含答案)
专题17 相似三角形一．选择题（共12小题）1．（2021•黄州区校级自主招生）如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于点M．AF交BD于点N，若AF平分∠BAC，DE⊥AF；记，则有（）A．x＞y＞z B．x＝y＝z C．x＝y＜z D．x＝y＞z 2．（2021•江岸区校级自主招生）如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC 的中点，点F在线段AD上，DF＝CD，BF交CA于E点，过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G，下列结论：①CF2＝EF•BF；②AG＝2DC；③AE＝EF；④AF•EC＝EF•EB．其中正确的结论有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④3．（2020•衡阳县自主招生）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝3，BC ＝6，点E在高AB上滑动，若△DAE与△EBC相似，则当AE＝2时，EB＝（）A．4B．6C．4或9D．4或6 4．（2020•九龙坡区自主招生）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，记△ADE的面积为S1，四边形DBCE的面积为S2，则的值是（）A．B．C．D．5．（2020•九龙坡区自主招生）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，点E是BC边的中点，连接AE，△AB1E和△ABE关于AE所在直线对称，B1在对角线BD上．若∠CB1D＝90°，则B1D的长为（）A．6B．3C．D．6．（2020•西安自主招生）如图，在边长为8的等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，EF⊥AC于F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为（）A．4B．C．D．7．（2019•江岸区校级自主招生）在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝6，AC＝8，则BC的值为（）A．6B．10C．2D．8．（2019•和平区校级自主招生）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，BE与CD相交于点O，若AD：DB＝2：3，则△DOE与△COB的面积比是（）A．2：3B．4：9C．9：25D．4：25 9．（2019•湖北自主招生）如图，点O在△ABC内，点P、Q、R分别在边AB、BC、CA上，且OP∥BC，OQ∥CA，OR∥AB，OP＝OQ＝OR＝x，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则x＝（）A．B．C．D．10．（2019•海港区校级自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，BE⊥AC 于E，交AD于P，已知BP＝3，PE＝1，则AE＝（）A．B．C．D．11．（2019•武侯区校级自主招生）在凸四边形ABCD中，E为BC边的中点，BD与AE相交于点O，且BO＝DO，AO＝2EO，则S△ACD：S△ABD的值为（）A．2：5B．1：3C．2：3D．1：2 12．（2018•镜湖区校级自主招生）如图，已知平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、AD上的点．EF与对角线AC交于P，若（a、b、m、n均为正数），则的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）13．（2021•长寿区自主招生）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B 重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是．14．（2020•渝北区自主招生）如图，四边形ABCD中，AD⊥DC，AD＝CD，∠ABC＝45°，AB+BC＝6，连接BD，则线段BD的最小值为．15．（2020•浙江自主招生）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，内取一点P，且AP＝AC＝a，BP＝CP＝b（b＜a），则＝．16．（2020•南安市校级自主招生）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压cm．17．（2020•长寿区自主招生）如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFD＝∠C；②DF＝BF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．18．（2020•浙江自主招生）如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O．则下列结论①△ABF ≌△CAE，②∠AHC＝120°，③AH+CH＝DH，④AD2＝OD•DH中，正确的是．19．（2019•徐汇区校级自主招生）已知，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D、E分别在边AC、AB上，且AD＝2．当△ADE∽△ACB时，AE＝．20．（2019•江阴市校级自主招生）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE、AC，分别交BD于M、N，则BM：DN等于．三．解答题（共10小题）21．（2020•浙江自主招生）证明：只存在唯一一个三角形，它的三边长为三个连续的正整数，并且它的三个内角中有一个内角为另一个内角的2倍．22．（2019•霞山区校级自主招生）如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°．点B是上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；（3）连接PQ，试说明3PQ2+OA2是定值．23．（2021•黄州区校级自主招生）如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D的直线交AC 于E，交AB的延长线于F，AB＝mAF，AC＝nAE．求：（1）m+n的值；（2）的取值范围．24．（2020•赫山区校级自主招生）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：＝；（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得＝成立？并证明你的结论．25．（2019•武昌区校级自主招生）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CD＜AB，AD＝CB，对角线AC与BD交于O，∠ACD＝60°，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点．（1）若AB＝5，CD＝3．①求梯形的高；②求△PQS的面积；（2）若△PQS与△AOD的面积比为3：2，求的值．26．（2019•青羊区校级自主招生）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12，点C在OA上，AC＝4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F．（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；（2）求CE+2DE的最小值．27．（2019•永春县校级自主招生）如图，在△ABC中．AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC 于E，F是AB中点，连EF交AD于点G．（1）求证：AD2＝AB•AE；（2）若AB＝3，AE＝2，求的值．28．（2019•顺庆区校级自主招生）如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB ＝∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2＝DE•DF．（1）求证：△BFD∽△CAD；（2）求证：BF•DE＝AB•AD．29．（2018•李沧区校级自主招生）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．（1）若PB＝，求△P AB的面积；（2）S△P AB＝，求△P AC的面积．30．（2017•雨城区校级自主招生）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AD＝DE；（2）如图2，当∠ABC＝30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由．专题17 相似三角形一．选择题（共12小题）1．【解答】解：作OP∥AB交DE于P．∵AN平分∠BAO，∴∠BAF＝∠CAF，，＝，即x＝y＝．∵AF⊥DE，∴∠AEM＝∠AME，∴AM＝AE，∵OP∥AB，OB＝OD，∴EP＝DP，∴△OMP∽△AME，∴，∴OP＝OM，∴z＝＝2，∴z＞y＝x，故选：C．2．【解答】解：∵DF＝CD，∴∠DCF＝∠DFC，∵AC＝BC，点D是BC的中点，∴DF＝DB＝DC，∴∠DBF＝∠DFB，又∵∠DBF+∠DFB+∠DFC+∠DCF＝180°，∴∠BFC＝×180°＝90°，∴CF⊥BE，∴Rt△BCF∽Rt△CEF，∴＝，∴CF2＝EF•BF，故①正确；∵AG⊥AD，∴∠G+∠AFG＝90°，又∵∠ACG+∠DCF＝90°，∠DCF＝∠DFC＝∠AFG，∴∠G＝∠ACG，∴AG＝AC，∵AC＝BC，∴AG＝BC，∵点D是BC的中点，∴BC＝2DC，∴AG＝2DC，故②正确；根据角的互余关系，∠EAF+∠ADC＝90°，∠AFE+∠DFC＝90°，∵tan∠ADC＝2，∴∠ADC≠60°，∵∠DCF＝∠DFC，∴∠FDC≠∠DFC，∴∠EAF≠∠EF A，∴AE≠EF，故③错误；∵∠ACB＝90°，CF⊥BE，∴△CEF∽△BCE，∴＝，∴EC2＝EF•EB，∵△BCE≌△AGF（已证），∴AF＝EC，∴AF•EC＝EF•EB，故④正确；所以，正确的结论有①②④．故选：B．3．【解答】解：∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠A＝∠B＝90°,当△DAE与△EBC相似，则或,∵AD＝3，BC＝6，AE＝2,∴或＝,解得BE＝9或4，故选：C．4．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵＝，∴＝，∴＝，∴9S1＝4S1+4S2，∴5S1＝4S2，∴＝．故选：A．5．【解答】解：如图，设AE与BD交于点F，∵△AB1E和△ABE关于AE所在直线对称，∴AB＝AB1，EB＝EB1，∴AE垂直平分BB1，∴BF＝B1F，∵∠AFB＝∠DB1C＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝∠ABF+∠EBF＝90°，∴∠BAF＝∠EBF，同理∠EBF＝∠DCB1，∴∠BAF＝∠DCB1，∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDB1（AAS），∴BF＝B1D，∴F，B1是对角线BD的三等分点，∵∠DCB1＝∠BCD，∠DB1C＝∠DCB＝90°．∴△DB1C∽△DCB，∴，∴DC2＝DB1•DB，设DB1＝x，则DB＝3x，∴32＝x•3x，∴x＝，x＝﹣（舍去），∴B1D＝．故选：D．6．【解答】解：连接DE，∵在边长为8的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝4，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝4，∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°，∴FC＝EC＝2，故EF＝＝2，∵G为EF的中点，∴EG＝，∴DG＝＝，故选：D．7．【解答】解：作∠BAC的平分线AD，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠BAC＝2∠C，∴∠BAD＝∠DAC＝∠C，∴AD＝CD，∵∠BAC＝2∠C，∴∠BAD＝∠C，∵∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，∴＝＝，即＝＝，解得：AD•BC＝48，AD＝BC，∴CB＝＝2，故选：C．8．【解答】解：∵AD：DB＝2：3，∴AD：AB＝2：5，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵DE∥BC，∴△DEO∽△COB，∴＝（）2＝，故选：D．9．【解答】解：延长PO交AC于M，延长QO交AB于N，如图，∵OP∥BC，OQ∥CA，OR∥AB，∴四边形ANOR、四边形CMOQ为平行四边形，∴MC＝OQ＝x，ON＝AR，∵OM∥BC，OR∥AB，∴△ROM∽△ABC，∴＝即＝，∴RM＝x，∵OP∥BC，ON∥AC，∴△NOP∽△ACB，∴＝即＝，∴NO＝x，∴AR＝x，∵AR+RM+MC＝AC，即x+x+x＝b，∴x＝＝．即OP的长为．故选：A．10．【解答】解：如图，过D作DG⊥AC于G，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∵BE⊥AC，DG⊥AC，∴DG∥BE，∴，∴CG＝EG，∴GD是△BCE的中位线，∴DG＝BE．即CE＝2EG，∵BP＝3，PE＝1，∴BE＝3+1＝4，∴DG＝BE＝2，∵PE∥DG，∴△APE∽△ADG，∴＝，∴AE＝AG，∴AE＝EG＝GC，∵∠ADG+∠CDG＝90°，∠CDG+∠C＝90°，∴∠C＝∠ADG，又∵∠AGD＝∠CGD＝90°，∴△ADG∽△DCG，∴，∴2AE•AE＝4，∴AE＝，故选：B．11．【解答】解：如图，过点B作BF∥AD交AE延长线于F，连接OC，∵BF∥AD∴∠F＝∠DAO∵BO＝DO，∠BOF＝∠DOA∴△FOB≌△AOD（AAS）∴FO＝AO∵AO＝2EO∴FO＝2EO∴EO＝EF，∵E为BC边的中点∴BE＝CE∵∠BEF＝∠CEO∴△BEF≌△CEO（SAS）∴∠BFE＝∠COE∴BF∥OCAD∥OC∴S△ACD＝S△AOD，∵BD＝2OD∴S△ABD＝2S△AOD，∴S△ABD＝2S△ACD∴S△ACD：S△ABD＝1：2；故选：D．12．【解答】解：方法一：过点E作EG∥AD，交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥EG∥BC，AD＝BC，∴，△AEO∽△ABC，△APF∽△OPE，∴，，，∵∴令AE＝ax，BE＝bx，AF＝my，DF＝ny，∴，∴EO＝，∴，∴PO＝，∴，∴AP（a+b）bm+AP（m+n）ab+AP（m+n）a2＝PC（a+b）am，∴AP（bm+an+am）（a+b）＝PC（a+b）am，∴＝，∴C答案正确；方法二：延长FE交CB的延长线于点H，∵CH∥AD，∴△AEF∽△BEH，△APF∽△CPH，∵△AEF∽△BEH，∴，∵△APF∽△CPH，∴＝＝＝1++＝，∴＝，故选：C．二．填空题（共8小题）13．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∵PM⊥AC，∴∠AEP＝∠AEM＝90°，在△APE和△AME中，，∴△APE≌△AME（ASA），故①正确；②∵△APE≌△AME，∴PE＝EM＝PM，同理，FP＝FN＝NP，∵正方形ABCD中，AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE ∴四边形PEOF是矩形．∴PF＝OE，在△APE中，∠AEP＝90°，∠P AE＝45°，∴△APE为等腰直角三角形，∴AE＝PE，∴PE+PF＝OA，又∵PE＝EM＝PM，FP＝FN＝NP，OA＝AC，∴PM+PN＝AC，故②正确；③∵四边形PEOF是矩形，∴PE＝OF，在直角△OPF中，OF2+PF2＝PO2，∴PE2+PF2＝PO2，故③正确；④∵△APE≌△AME，∴AP＝AM△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，∴△POF与△BNF不一定相似，故④错误；⑤∵△APE≌△AME，∴ME＝PE，∴AE是MP是中垂线，∴MO＝OP，又∵OE⊥MP，∴∠MOE＝∠POE，同理可证∠POF＝∠NOF，∵∠POE+∠POF＝∠EOF＝90°，∴∠MOE+∠POE+∠POF+∠NOF＝180°，∴点M，点O，点N三点共线，故⑤正确，故答案为①②③⑤．14．【解答】解：∵AD＝CD，∴将△DCB绕点D旋转，使AD、CD重合，连接BB′，∴△DCB≌△DAB′，∵∠B′AB＝135°，∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，，∴∠DAB+∠C＝360°﹣90°﹣45°＝225°，∴∠B′AB＝360°﹣∠DAB′﹣∠DAB＝360°﹣∠DCB﹣∠DAB＝135°，∴AB′＝BC，∠BDB′＝∠ADC＝90°，在Rt△BDB′中，B′D＝BD，∴BD＝BB′，要求BD最小，只需BB′最小，过B′作B′H⊥BA，垂足为H，设AH＝a，∵∠B′AB＝135°，∠B′AH＝45°，∴B′H＝a，AB′＝a，∵ab′＝bc＝a且AB+BC＝6，∴AB＝6﹣a，BH＝6﹣a，由勾股定理得，BB′2＝a2+（6﹣a）2＝a2﹣6a+72，当a＝＝时，BB′最小，最小值为，此时BD＝×＝，故BD最小值为．故答案为：．15．【解答】解：如图：过点P作PD⊥BC与点D，作PE⊥AC于点E，可得矩形PDCE，有PD＝EC，PE＝CD，∵PC＝PB，PD⊥BC，∴DC＝DB＝BC＝AC＝a，∴PE＝CD＝a，Rt△AEP中，AP＝AC＝a，PE＝a，∴AE＝a，∴EC＝AC﹣AE＝a﹣a＝a．∴PD＝EC＝a，Rt△CDP中，PD2+CD2＝CP2，∴（a）2+（）2＝b2，∴a2+a2＝b2，∴a2＝b2，∴（2﹣）a2＝b2．∴＝2﹣，∴＝＝＝．故答案是：．16．【解答】解：如图；AM、BN都与水平线的垂直，M，N是垂足，则AM∥BN；∵AM∥BN，∴△ACM∽△BCN；∴，∵AC与BC之比为6：1，∴，即AM＝6BN，∴当BN≥10cm时，AM≥60cm，故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压60cm．故答案为：60．17．【解答】解：在△ABC与△AEF中，∵AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，∴△ABC≌△AEF，∴∠AFD＝∠C（①正确）；由∠B＝∠E，∠ADE＝∠FDB，可知：△ADE∽△FDB（②正确）；∵∠EAF＝∠BAC，∴∠EAD＝∠CAF，由△ADE∽△FDB可得∠EAD＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAF（④正确）．综上可知：①③④正确．故答案为：①③④．18．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形，同理：△ADC是等边三角形∴∠B＝∠EAC＝60°，在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS）；故①正确；∴∠BAF＝∠ACE，∵∠AEH＝∠B+∠BCE，∴∠AHC＝∠BAF+∠AEH＝∠BAF+∠B+∠BCE＝∠B+∠ACE+∠BCE＝∠B+∠ACB＝60°+60°＝120°；故②正确；在HD上截取HK＝AH，连接AK，∵∠AHC+∠ADC＝120°+60°＝180°，∴点A，H，C，D四点共圆，∴∠AHD＝∠ACD＝60°，∠ACH＝∠ADH，∴△AHK是等边三角形，∴AK＝AH，∠AKH＝60°，∴∠AKD＝∠AHC＝120°，在△AKD和△AHC中，，∴△AKD≌△AHC（AAS），∴CH＝DK，∴DH＝HK+DK＝AH+CH；故③正确；∵∠OAD＝∠AHD＝60°，∠ODA＝∠ADH，∴△OAD∽△AHD，∴AD：DH＝OD：AD，∴AD2＝OD•DH．故④正确．故答案为：①②③④．19．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，∴，即，解得AE＝．故答案为：．20．【解答】解：在▱ABCD中，AD∥BE，D＝BC，BN＝ND，∴△ADM∽△EBM，∴＝，∵点E是BC的中点，∴BE＝BC＝AD，∴＝，设BM＝a，则MD＝2a，BD＝3a，∴DN＝a，∴＝＝．故答案为：．三．解答题（共10小题）21．【解答】证明：如图，在△ABC中，设∠A＝2∠B，且三边长分别为a，b，c．延长CA到点D，使AD＝AB＝c，则CD＝b+c，由∠A＝2∠B，知∠ABC＝∠D．从而，△ABC∽△BDC，故，即于是，a2＝b（b+c）①当a＞c＞b时，设a＝n+1，c＝n，b＝n﹣1，代入①式，解得，n＝5．此时，a＝6，b＝5，c＝4；当c＞a＞b时，设c＝n+1，a＝n，b＝n﹣1，解得，n＝2．此时，a＝2，b＝1，c＝3，不能构成三角形；同理，当a＞b＞c时，可得，n2﹣3n﹣1＝0，n不是整数，舍去．综上所述，满足条件的三角形只有一个，其三边长为4，5，6．22．【解答】解：（1）证明：连接OB，如图①，∵BA⊥OM，BC⊥ON，∴∠BAO＝∠BCO＝90°，∵∠AOC＝90°，∴四边形OABC是矩形．∴AB∥OC，AB＝OC，∵E、G分别是AB、CO的中点，∴AE∥GC，AE＝GC，∴四边形AECG为平行四边形．∴CE∥AG，∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，∴四边形EPGQ是平行四边形；（2）如图②，当∠CED＝90°时，▱EPGQ是矩形．此时∠AED+∠CEB＝90°．又∵∠DAE＝∠EBC＝90°，∴∠AED＝∠BCE．∴△AED∽△BCE，∴．设OA＝x，AB＝y，则：＝：x，得y2＝2x2，又OA2+AB2＝OB2，即x2+y2＝12．∴x2+2x2＝1，解得：x＝．当OA的长为时，四边形EPGQ是矩形；（3）如图③，连接GE交PQ于O′，∵四边形EPGQ是平行四边形，∴O′P＝O′Q，O′G＝0′E．过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′．由△PCF∽△PEG得，，∴P A′＝A′B′＝AB，GA′＝GE＝OA，∴A′O′＝GE﹣GA′＝OA．在Rt△P A′O′中，PO′2＝P A′2+A′O′2，即，又AB2+OA2＝1，∴3PQ2＝AB2+，∴OA2+3PQ2＝OA2+（AB2+）＝．23．【解答】解：（1）过点B作BG∥AC交EF于G，∴∠C＝∠GBD，∵D是BC的中点，∴DC＝BD，∵∠CDE＝∠BDG，∴△DCE≌△DBG（ASA），∴EC＝BG，∵＝m，即＝m，∴1﹣m＝，∵＝n，即＝n，∴n﹣1＝＝，∵BG∥AC，∴△FBG∽△F AE，∴，∴1﹣m＝n﹣1，∴m+n＝2．（2）∵＝＝﹣1，∵点F在AB的延长线上，∴AF＞AB，∴0＜m＜1，1＜m+1＜2，＜得，＜﹣1＜2，∴＜＜2．24．【解答】（1）证明：如图（1），∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴；（2）当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵∠B+∠EGC＝180°，∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，∵∠FDG＝∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴，∵∠B＝∠ADC，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠DGC＝180°，∴∠CGD＝∠CDF，∵∠GCD＝∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴＝，∴，∴＝即当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．25．【解答】解：（1）①作DE⊥AB，垂足为E，∵AB＝5，CD＝3，∴AE＝1，BE＝5﹣1＝4，又∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠ACD＝60°，∴DE＝BE•tan60°＝4，∴梯形的高为4；②连接CS，∵ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，∴AO＝BO，CO＝DO，∵ACD＝60°，∴△OCD与△OAB均为等边三角形，∵S是OD的中点，∴CS⊥DO，∵Q是BC中点，∴SQ＝BC，在Rt△ADE中，AD＝＝7，∴SQ＝BC＝AD＝，同理，连接BP，可证PQ＝BC，又SP是△OAD的中位线，∴SP＝AD＝BC，∴SP＝PQQ＝SQ，故∴△SPQ为等边三角形，∴S△PQS＝×＝；（2）设CD＝a，AB＝b（a＜b），则S△AOD＝S△BOC＝BO×CS＝ab，由（1）知，BC2＝SC2+BS2＝+＝a2+ab+b2，∴S△SPQ＝×＝（a2+ab+b2），又∵△PQS与△AOD的面积比为3：2，∴2×（a2+ab+b2）＝3×ab，即a2﹣5ab+b2＝0，∴﹣5×+1＝0，∴＝，∵a＜b，∴＝．26．【解答】解：（1）分别过O、E作ON⊥CD于N，EM⊥CD于M，∵CD＝10，∴四边形ODEC＝S△OCD+S△CDE＝≤CD•OE＝＝60，此时OM、EN、OE重合，∵ON•CD＝OC•OD，∴10×ON＝6×8，∴ON＝，∴；（2）延长OB至点G，使BG＝OB，连接GE、GC、DE，则，∵点D为OB的中点，OB＝OE，∴，∴，又∠DOE＝∠EOG，∴△DOE∽△EOG，，∴EG＝2DE，∴CE+2DE＝CE+EG，当C、E、G三点在同一直线上上时，CE+EG最小，CO＝OA﹣AC＝12﹣4＝8，OG＝OB+BG＝12+12＝24，此时，故CE+2DE有最小值为．27．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，∴∠ADC＝∠AED＝90°，∵∠DAE＝∠DAC，∴△DAE∽△CAD，∴＝，∴AD2＝AC•AE，∵AC＝AB，∴AD2＝AB•AE．解法二：可以直接证明△DAE∽△BAD，得出结论．（2）解：如图，连接DF．∵AB＝3，∠ADB＝90°，BF＝AF，∴DF＝AB＝，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴DF∥AC，∴＝＝＝，∴＝．28．【解答】证明：（1）∵AD2＝DE•DF，∴，∵∠ADF＝∠EDA，∴△ADF∽△EDA，∴∠F＝∠DAE，又∵∠ADB＝∠CDE，∴∠ADB+∠ADF＝∠CDE+∠ADF，即∠BDF＝∠CDA，∴△BFD∽△CAD；（2）∵△BFD∽△CAD，∴，∵，∴，∵△BFD∽△CAD，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴，∴BF•DE＝AB•AD．29．【解答】解：（1）过P点作PD⊥AB于D，在Rt△BPC中，∠BPC＝90°，BC＝1，PB＝，∴PC＝＝，∵∠DBP+∠PBC＝90°，∠BCP+∠PBC＝90°，∴∠DBP＝∠BCP，∵∠PDB＝∠BPC＝90°，∴△PDB∽△BPC，∴PD：BP＝BP：BC，即PD：＝：1，解得PD＝，则△P AB的面积为××＝；（2）∵S△P AB＝，∴PD＝×2÷＝，∵△PDB∽△BPC，∴PD：BP＝BP：BC，即：BP＝BP：1，解得BP＝，在Rt△BPC中，∠BPC＝90°，BC＝1，PB＝，则PC＝＝，则△P AC的面积＝×1×﹣﹣××＝．30．【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE＝90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠C＝45°，∵MN∥AC，∴∠EBD＝180°﹣∠C＝135°，∵∠BFD＝45°，DF⊥BC，∴∠BFD＝45°，BD＝DF，∴∠AFD＝135°，∴∠EBD＝∠AFD，在△BDE和△FDA中，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD＝DE；（2）解：DE＝AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE＝90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG＝90°，∴∠BDE＝∠ADG，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，∴∠C＝60°，∵MN∥AC，∴∠EBD＝180°﹣∠C＝120°，∵∠ABC＝30°，DG⊥BC，∴∠BGD＝60°，∴∠AGD＝120°，∴∠EBD＝∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴＝，在Rt△BDG中，＝tan30°＝，∴DE＝AD．。
(word完整版)相似三角形动点问题题型
动点问题 题型方法归纳动态几何特点—---问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨. 一、三角形边上动点1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示:第（2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；图（3）B图（1）B图（2）2、如图,AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60º． （1）求⊙O 的直径;(2）若D 是AB 延长线上一点,连结CD,当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形． 注意：第（3）问按直角位置分类讨论OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；t s．问当t （2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形?等腰梯形？，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位（3)若OC OB的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ,当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．Array注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。
相似三角形综合题(解析版)
相似三角形综合题一、解答题1．（2018·上海普陀·中考模拟）如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置BC中点E 处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F．（1）求证：△GBE∽△GEF．（2）设AG=x，GF=y，求Y关于X的函数表达式，并写出自变量取值范围．（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．【答案】（1）见解析；（2）y=4﹣x+44x-（0≤x≤3）；（3）当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4【解析】【分析】（1）先判断出△BEF'≌△CEF，得出BF'=CF，EF'=EF，进而得出∠BGE=∠EGF，即可得出结论；（2）先判断出△BEG∽△CFE进而得出CF=4 4x -，即可得出结论；（3）分两种情况，①△AGQ∽△CEP时，判断出∠BGE=60°，即可求出BG；②△AGQ∽△CPE时，判断出EG∥AC，进而得出△BEG∽△BCA即可得出BG，即可得出结论．【详解】（1）如图1，延长FE交AB的延长线于F'，∵点E是BC的中点，∴BE=CE=2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠F'=∠CFE，在△BEF'和△CEF中，，∴△BEF'≌△CEF，∴BF'=CF，EF'=EF，∵∠GEF=90°，∴GF'=GF，∴∠BGE=∠EGF，∵∠GBE=∠GEF=90°，∴△GBE∽△GEF；（2）∵∠FEG=90°，∴∠BEG+∠CEF=90°，∵∠BEG+∠BGE=90°，∴∠BGE=∠CEF，∵∠EBG=∠C=90°，∴△BEG∽△CFE，∴，由（1）知，BE=CE=2，∵AG=x，∴BG=4﹣x，∴，∴CF=44x -，由（1）知，BF'=CF=44x -，由（1）知，GF'=GF=y，∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+4 4x -当CF=4时，即：44x-=4，∴x=3，（0≤x≤3），即：y关于x的函数表达式为y=4﹣x+44x-（0≤x≤3）；（3）∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=∠BCA=45°，∵△AGQ与△CEP相似，∴①△AGQ∽△CEP，∴∠AGQ=∠CEP，由（2）知，∠CEP=∠BGE，∴∠AGQ=∠BGE，由（1）知，∠BGE=∠FGE，∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE，∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°，∴∠BGE=60°，∴∠BEG=30°，在Rt△BEG中，BE=2，∴BG=3，∴AG=AB﹣BG=4，②△AGQ∽△CPE，∴∠AQG=∠CEP，∵∠CEP=∠BGE=∠FGE，∴∠AQG=∠FGE，∴EG∥AC，∴△BEG∽△BCA，∴，∴，∴BG=2，∴AG=AB﹣BG=2，即：当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4【点睛】本题考核知识点：相似三角形综合. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.2．（2020·全国初三专题练习）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AGBE的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=，则BC= ．【答案】（1）①四边形CEGF ；（2）线段AG 与BE 之间的数量关系为AG BE ；（3）3【解析】【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG CE =、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证ACG ∽△BCE 即可得；（3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH==，设BC CD AD a ===，知AC =，由AG GH AC AH =得2AH a 3=、1DH a 3=、CH =，由AG AH AC CH =可得a 的值． 【详解】（1）①∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD =90°，∠BCA =45°，∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ，∴∠CEG =∠CFG =∠ECF =90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE =∠ECG =45°，∴EG =EC ，∴四边形CEGF 是正方形；②由①知四边形CEGF 是正方形，∴∠CEG =∠B =90°，∠ECG =45°，∴CG CE=，GE ∥AB ，∴AG CG BE CE ==；（2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE =∠ACG =α，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG =2、CB CA =2，∴CG CE =CA CB= ∴△ACG ∽△BCE ，∴AG CA BE CB ==∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG BE ；（3）∵∠CEF =45°，点B 、E 、F 三点共线，∴∠BEC =135°，∵△ACG ∽△BCE ，∴∠AGC =∠BEC =135°，∴∠AGH =∠CAH =45°，∵∠CHA =∠AHG ，∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AH AC AH CH==，设BC =CD =AD =a ，则AC a ，则由AG GHAC AH==，∴AH=23 a，则DH=AD﹣AH=13a，CHa，∴由AG AHAC CH=2a=解得：a=BC=故答案为【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.3．（2019·南岸·重庆第二外国语学校初三月考）如图,已知四边形ABCD中,AB//DC,AB=DC,且AB=6cm,BC=8cm,对角线AC =10cm,(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)如图(2),若动点Q从点C出发,在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点P从点B出发,在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动,运动时间为t秒(0≤t＜2),连接BQ、AP,若AP⊥BQ,求t的值;(3)如图(3),若点Q在对角线AC上,CQ=4cm,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿BC运动至点C 止.设点P运动了t秒,请你探索:从运动开始,经过多少时间,以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形?请求出所有可能的结果.【答案】（1）见解析；（2）78t=；（3）t=4秒或1.6秒或5.5秒.【解析】【分析】（1）先根据一对对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，再根据勾股定理的逆定理证明∠B＝90°，得出四边形ABCD是矩形；（2）先过Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，判定△ABP∽△BMQ，得出AB BPBM MQ=，即64843tt t=-，求得t的值即可；（3）分为三种情况讨论：当CQ＝CP＝4cm时，当PQ＝CQ＝4cm时，当QP＝CP时，分别根据等腰三角形的性质，求得BP的长，进而得到t的值．【详解】证明：（1）∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝l0cm，∴AB2＋BC2＝100，AC2＝100，∴AB2＋BC2＝AC2，∴∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）如图，过Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，则CQ＝5t，QM＝3t，CM＝4t，MB＝8－4t，∵∠NAB＋∠ABN＝90°，∠ABN＋∠NBP＝90°，∴∠NAB＝∠NBP，且∠ABP＝∠BMQ＝90°，∴△ABP∽△BMQ，∴AB BP BM MQ=，即64 843tt t=-，解得t＝78；（3）分为三种情况：①如图1，当CQ＝CP＝4cm时，BP＝8－4＝4cm，即t＝4秒；②如图2，当PQ＝CQ＝4cm时，过Q作QM⊥BC于M，则AB∥QM，∴CE CM AC BC＝，∴4108CM＝，∴CM＝3.2（cm），∵PQ＝CQ，QM⊥CP，∴PC＝2CM＝6.4cm，∴BP＝8cm－6.4cm＝1.6cm，∴t＝1.6s；③如图3，当QP＝CP时，过P作PN⊥AC于N，则CN＝12CQ＝2，∠CNP＝∠B＝90°，∵∠PCN＝∠BCA，∴△PCN∽△ACB，∴CN CP CB AC＝，∴2810CP ＝，∴CP＝2.5cm，∴BP＝8cm－2.5cm＝5.5cm，t＝5.5s，即从运动开始，经过4秒或1.6秒或5.5秒时，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形，即t＝4秒或1.6秒或5.5秒.【点睛】本题以动点问题为背景，主要考查了四边形的综合应用，解决问题时需要运用矩形的判定、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，解题时注意分类思想的运用．4．（2019·浙江杭州·翠苑中学中考模拟）如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，cosA ＝45，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上一点，联结DE ，过点D 作DF ⊥DE 交BC 边于点F ，联结EF ．（1）如图1，当DE ⊥AC 时，求EF 的长； （2）如图2，当点E 在AC 边上移动时，∠DFE 的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE 的正切值；（3）如图3，联结CD 交EF 于点Q ，当△CQF 是等腰三角形时，请直接写出BF 的长．【答案】（1）5；（2）不变；（3）4111或3或527117. 【解析】 试题分析：（1）由已知条件易求DE =3，DF =4，再由勾股定理EF =5；（2）过点D 作DH AC ⊥，DG BC ⊥，垂足分别为点H 、G ，由（1）可得DH =3，DG =4；再证EDH FDG ∽，即可得出结论；（3）分三种情况讨论即可.（1）∵90ACB ∠=︒，45cosA =∴45AC AB = ∵8AC =∴10AB =∵D 是AB 边的中点 ∴152AD AB == ∵DE AC ⊥∴90DEA DEC ∠=∠=︒ ∴45AE cosA AD == ∴4AE =∴844CE =-=∵在Rt AED 中，222AE DE AD +=∴3DE =∵DF DE ⊥∴90FDE ∠=︒又∵90ACB ∠=︒∴四边形DECF 是矩形∴4DF EC ==∵在Rt EDF 中，222DF DE EF +=∴5EF =（2）不变过点D 作DH AC ⊥，DG BC ⊥，垂足分别为点H 、G由（1）可得3DH =，4DG =∵DH AC ⊥，DG BC ⊥∴90DHC DGC ∠=∠=︒又∵90ACB ∠=︒，∴四边形DHCG 是矩形∴90HDG ∠=︒∵90FDE ∠=︒∴HDG HDF EDF HDF ∠-∠=∠-∠ 即EDH FDG ∠=∠又∵90DHE DGF ∠=∠=︒∴EDH FDG ∽ ∴34DE DH DF DG == ∵90FDE ∠=︒∴34DE tan DFE DF ∠== （3）1° 当QF QC =时，易证90DFE QFC ∠+∠=︒，即90DFC ∠=︒ 又∵90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点 ∴152CD BD AB === ∴132BF CF BC === 2° 当FQ FC =时，易证FQC DEQ DCB ∽∽∵在Rt EDF 中，34DE tan DFE DF ∠== ∴设=3DE k ，则4DF k =，5EF k =当FQ FC =时，易证3DE DQ k ==，∴53CQ k =-∵DEQ DCB ∽∴56DE DC EQ BC == ∴185EQ k =∴75FQ FC k == ∵FQC DCB ∽ ∴56FQ DC CQ BC == ∴755536k k =- 解得125117k = ∴71251755117117FC =⨯= ∴1755276117117BF =-= 3° 在BC 边上截取BK =BD =5，由勾股定理得出DK =当CF CQ =时，易证CFQ EDQ BDK ∽∽∴设=3DE k ，则3EQ k =，5EF k = ∴2FQ k =∵EDQ BDK ∽∴DEBDDQ DK ==∴DQ =∴5CQ FC ==∵CQF BDK ∽∴CQBDFQ DK ==∴552k =解得k =∴2511FC = ∴254161111BF =-=。
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数关系，并写出定义域。
C
Q
P
11
B
O
A
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【练习 1】
在直角 ABC 中, C 90o , AB 5, tan B 3 ,点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AB 边上的动点， DF DE 4
（2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、C 不重合），且满足∠EPF=∠C,PF 交直线 CD 于
点 F,同时交直线 AD 于点 M,那么
①当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP= x ，DF= y ，求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函
数的定义域；
②当 S 9 S 时，求 BP 的长．
点 B 重合）,且保持 APQ ABC .
①若点 P 在线段 CB 上（如图）,且 BP 6 ，求线段 CQ 的长；
②若 BP x ， CQ y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
A Q
B
P
C
A
A
B
C
B
C
备用图
备用图
（2）正方形 ABCD 的边长为 5 （如下图），点 P 、 Q 分别在直线 CB 、 DC 上（点 P 不与点 C 、点 B
是腰 BC 上一个动点(不含点 B 、 C ),作 PQ AP 交 CD 于点 Q .(图 1) (1)求 BC 的长与梯形 ABCD 的面积； （2）当 PQ DQ 时，求 BP 的长;（图 2)
不重合）， DF DE, DF 与射线 BC 相交于点 F。
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相似三角形综合题解析一．解答题（共22小题）1．（2008•眉山）如图，E是矩形ABCD的边DC延长线上一点，连接AE分别交BC，BD于F，G．（1）图中有全等三角形吗？（对角线分矩形所得两个三角形除外）若有，请写出一对来；若没有，请添加一个条件（不添加辅助线和不改变图中字母），使得图中有全等三角形，并写出来；（2）图中有相似三角形吗？设矩形ABCD的周长为20，对角线长为2，求DE的长，使得你找出的一对相似三角形的相似比为2：3．2．如图（1），在锐角三角形ABC中，AB＞BC＞AC．D、E分别是AB、BC边上的两个动点，连接DE、CD．（1）当点D、E运动时，分别在图（2）、图（3）中画出D．E运动的位置，要求在图（2）中，仅有一组三角形相似，在图（2）中，仅有两组三角形相似．（2）当AB=9，BC=8，CA=6时，选择（1）中的图（3），即有两组三角形相似时，求DE的长．3．已知：如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，能否在AC上（不同于A，C）找到点D，过点D 作DE∥AB交于BC于E，过点E作EF∥AC交AB于F，连接FD，将△ABC分割成四个相似的小三角形，但其中至少有两个小三角形的相似比不等于1？若能，求出点D位置；若不能，请说明理由．4．如图，E为▱ABCD的边BC延长线上一点，AE与BD交于点F，与DC交于点G．（1）写出所有与△ABE相似的三角形，并选择其中一对相似三角形加以证明；（2）若BC=2CE，求的值．（3）若BC=k•CE，求的值．5．如图1，在四边形ABCD的AB边上取一点E（点E不与A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．（1）图1中，若∠A=∠B=∠DEC=50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）如图2，点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，若DE=3，AE=BE，求矩形ABCD的面积；（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，请判断AE与BE的数量关系（要求画出示意图，不必说明理由）．6．（2013•咸宁）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．7．定义：如果一个图形经过分割，能分为4个与自身相似的图形，我们称它为“能四阶自相似分割图形”．如图1，任意△ABC取各边的中点D、E、F，连接DE、EF、DF，分得的△ADF、△BDE、△DEF、△CEF显然都与△ABC相似，则任意△ABC是“能四阶自相似分割图形”．（1）小明发现：任意矩形ABCD（如图2）也是“能四阶自相似分割图形”．请你利用尺规作图作出分割线．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）同组的小华思考后提出：能不能设计一种方案，将任意△ABC分割成四个与△ABC相似的小三角形，且其中至少有两个小三角形的相似比不为1？为了研究方便，小华取AB=6，AC=4，BC=5，（如图3）并成功地设计出了分法．请你完成小华的分法，并简单地说明理由．8．（2008•闸北区二模）如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与△BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若AE=1，试求△GMN的面积．9．（2011•浙江模拟）△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．10．（2013•永州）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？11．已知：正方形ABCD中，点F为边CD的中点，DF=3，连接AF并延长，与BC的延长线交于G点．（1）连接BF（如图1），在不添加任何辅助线的条件下，请找出所有相似的三角形，并选择其中的一对加以证明；（2）E是边CB上一动点，连接EF，M为AD上任意一点，且MF⊥EF，连接ME（如图2）．若△MEF与△ADF相似，求EB的长．12．已知：如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，直线EF经过点C，分别交AB、AD的延长线于E、F两点，连接ED、FB相交于点H．（1）找出图中与△BEC相似的三角形，并选一对给予证明；（2）如果菱形的边长是3，DF=2，求BE的长；（3）请说明BD2=DH•DE的理由．13．（2010•奉贤区一模）如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是边AB的中点，E、G分别是边AC、BC上的一点，∠EMG=45°，AC与MG的延长线相交于点F．（1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；（2）连接结EG，当AE=3时，求EG的长．14．已知：如图，正方形的边长为1，可以算出一个正方形的对角线长为．（1）求两个正方形并排成的矩形的对角线长及三个正方形并排成的矩形的对角线长，进而猜想出n个正方形并排成的矩形的对角线长；（2）在图（2）中找出一对相似三角形并加以说明；（3）由图（3）在下列所给的三个结论中，选择一个正确的结论加以证明：①∠BCE+∠BDE=45°；②∠BEC+∠BED=45°；③∠BEC+∠DFE=45°．15．（2011•莆田质检）如图，矩形ABCD中，点M从A点出发在线段AB上作匀速运动（不与A、B重合），同时点N从B点出发在线段BC上作匀速运动．（1）如图1，若M为AB中点，且DM⊥MN．请在图中找出两对相似三角形：①_________ ∽_________ _，②_________ ∽_________ ，选择其中一对加以证明；（2）①如图2，若AB=5，BC=3点M的速度为1个单位长度/秒，点N的速度为个单位长度/秒，运动的时间为t秒．当t为何值时，△DAM与△MBN相似？请说明理由；②如果把点N的速度改为a个单位长度/秒，其它条件不变，是否存在a的值，使得△DAM 与△MBN和△DCN这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．16．（2000•山西）请阅读下面材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．求证：分析：要证，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似．现在B、D、C在一直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比．在比例式中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明就可以转化成证AE=AC．证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．CE∥DA，CE∥DA（1）上述证明过程中，用到了哪些定理？（写对两个定理即可）（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种？选出一个填在后面的括号内．[]①数形结合思想；②转化思想；③分类讨论思想．（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm．求BD的长．17．如图1，已知线段AB=8，点C是AB上的一动点（不包括A、B），在AB同侧作两个等边三角形ACD和BCE，连DE，点P、F分别是DE和BE的中点，连接AF，分别交DC、CE于G、H．（1）写出图中所有的相似三角形（除等边三角形ACD和BCE外）；（2）当点C在AB中点时，如图2，求CP的长及AG：GH：HF；（3）点M、N是线段AB上两点，且AM=BN=2，当点C从点M向点N运动时，求点P所经过的路径长．18．阅读：如图1把两块全等的含45°的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q，易说明△APD∽△CDQ．猜想（1）：如图2，将含30°的三角板DEF（其中∠EDF=30°）的锐角顶点D与等腰三角形ABC（其中∠ABC=120°）的底边中点O重合，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q．写出图中的相似三角形_________ （直接填在横线上）；验证（2）：其它条件不变，将三角板DEF旋转至两边分别与线段AB的延长线、边BC相交于点P、Q．上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由．连接PQ，△APD与△DPQ是否相似？为什么？探究（3）：根据（1）（2）的解答过程，你能将两三角板改为一个更为一般的条件，使得（1）成立？19．如图1：等边△ADE可以看作由等边△ABC绕顶点A经过旋转相似变换得到．但是我们注意到图形中的△ABD和△ACE的关系，上述变换也可以理解为图形是由△ABD绕顶点A旋转60°形成的．于是我们得到一个结论：如果两个正三角形存在着公共顶点，则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转60°形成的．①利用上述结论解决问题：如图2，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BFC 都是等边三角形，求四边形ADFE的面积；②图3中，△ABC∽△ADE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=θ，仿照上述结论，推广出符合图3的结论．（写出结论即可）20．在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与线段BA、BD、BC分别相交于点E、P、F，且∠BPF=60°．（1）如图1，写出图中所有与△BDC相似的三角形，并选择其中一对给予证明；（2）若直线l向右平移，与线段BA、BD、BC或其延长线分别相交于E、P、F，请在图2中画出一个与图1位置不尽相同的图形（其它条件不变），此时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），△BPE的面积是△BPF的面积的2倍？请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）．21．定义：在三角形所在的平面上任作一条直线，若该直线将这个三角形分割成两部分，且分割后至少有一部分与原三角形相似，则这条直线叫做这个三角形的相似分割线．（1）如图1，在△ABC中，已知∠ACP=∠B，则直线CP就是△ABC的相似分割线．①若∠A=90°，请在图1中作出过点P的△ABC的其余的相似分割线；②如图2，在△ABC中，若直线CF是△ABC过点C的相似分割线，点P在线段AF（包含点F、不包含点A）上运动，请写出△ABC的过点P的所有相似分割线的条数．（2）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，H、G是⊙O上不同的两点，B是的中点，C是的中点，且AG、AH分别交BC于点D、E两点．①求证：AG和AH都是△ABC的相似分割线；②如果AE、AD恰好又是△ABD和△ACE的相似分割线，试说明：此时D、E两点刚好是BC边上的黄金分割点．22．（2011•东台市二模）在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E 是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．思考验证：（1）求证：DE=DF；（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；归纳结论：（3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB 上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）探究应用：（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE 的长．参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．（2008•眉山）如图，E是矩形ABCD的边DC延长线上一点，连接AE分别交BC，BD于F，G．（1）图中有全等三角形吗？（对角线分矩形所得两个三角形除外）若有，请写出一对来；若没有，请添加一个条件（不添加辅助线和不改变图中字母），使得图中有全等三角形，并写出来；（2）图中有相似三角形吗？设矩形ABCD的周长为20，对角线长为2，求DE的长，使得你找出的一对相似三角形的相似比为2：3．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；矩形的性质．专题：开放型．分析：根据判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、SSA、HL可知使△ABF≌△ECF，可添加BF=CF；根据矩形的性质求出矩形的边长，利用相似的性质可求得CE：DE=2：3，所以DE=12．解答：解：（1）没有．添加条件为：点F是BC的中点，即BF=CF，即可得到△ABF≌△ECF；（2）有相似三角形，如：△CEF∽△EDA，设CD=x，则BC=10﹣x，在RT△BCD中，x2+（10﹣x）2=52，解得x=4或x=6，因为BC＞DC，所以BC=6，DC=4，若，△CEF∽△DEA，相似三角形的相似比为2：3，则CE：DE=2：3，∴DE=12．点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及矩形的性质，相似三角形的判定及性质，判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．判定两个三角形相似的一般方法有：1，两个角相等；2，三边对应成比例；3，两边对应成比例，夹角相等．2．如图（1），在锐角三角形ABC中，AB＞BC＞AC．D、E分别是AB、BC边上的两个动点，连接DE、CD．（1）当点D、E运动时，分别在图（2）、图（3）中画出D．E运动的位置，要求在图（2）中，仅有一组三角形相似，在图（2）中，仅有两组三角形相似．（2）当AB=9，BC=8，CA=6时，选择（1）中的图（3），即有两组三角形相似时，求DE的长．考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；动点型．分析：（1）作三角形相似，保证两角相等即可；（2）利用相似三角形的性质解答．解答：解：（1）如图所示：图（2）中仅有△ABC∽△ACD；图（3）中仅有△ABC∽△ACD，△CBD∽△DBE；（2）在图（3）中，由△ABC∽△ACD，得AD==4，CD==∴BD=AB﹣AD=5．（1分）由△CBD∽△DBE，得DE==．点评：本题利用三角形相似的结论解题，考查了同学们的转化能力，解三角形问题往往用到相似．3．已知：如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，能否在AC上（不同于A，C）找到点D，过点D 作DE∥AB交于BC于E，过点E作EF∥AC交AB于F，连接FD，将△ABC分割成四个相似的小三角形，但其中至少有两个小三角形的相似比不等于1？若能，求出点D位置；若不能，请说明理由．考点：作图—相似变换．专题：作图题．分析：在AC上取点D，过点D作∠ADF=∠B，画出草图，找到相应的对应点，根据对应边成比例求得AD的长即可．解答：解：∵∠ADF=∠B，∠A=∠A．∴△ADF∽△ABC，∴AD：AF=AB：AC，设AD=3x，∴CD=2﹣3x，∴AF=2x，∴FB=3﹣2x，∵∠A=∠CDE=∠DEF=∠EFB，∠ADF=∠DEC=∠DFE=∠B，∴△ADF∽△DEC∽△EFD∽△FBE，由AD：AF=BF：EF，3x：2x=（3﹣2x）：3x，x=，∴AD=3x=．点评：考查相似三角形的画法及性质的应用；判定出4个相似三角形的对应点是解决本题的突破点．4．如图，E为▱ABCD的边BC延长线上一点，AE与BD交于点F，与DC交于点G．（1）写出所有与△ABE相似的三角形，并选择其中一对相似三角形加以证明；（2）若BC=2CE，求的值．（3）若BC=k•CE，求的值．考点：相似形综合题；相似三角形的判定．分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AD∥BC，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可得△ABE∽△GCE∽△GDA；（2）易证得△ADF∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可得，又由BC=2CE，即可求得的值；（3）易证得△ECG∽△EBA，△ABF∽△GDF，根据相似三角形的对应边成比例可得：，，又由BC=k•CE，即可求得的值．解答：解：（1）△ABE∽△GCE∽△GDA；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△GCE，△GCE∽△GDA，∴△ABE∽△GCE∽△GDA；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△ADF∽△EBF，∴，∵BC=2CE，∴AD：BE=2：3，∴=；（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∴△ECG∽△EBA，△ABF∽△GDF，∴，，∵BC=k•CE，∴，∴，∴，∴．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似与相似三角形的对应边成比例定理的应用．5．如图1，在四边形ABCD的AB边上取一点E（点E不与A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．（1）图1中，若∠A=∠B=∠DEC=50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）如图2，点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，若DE=3，AE=BE，求矩形ABCD的面积；（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，请判断AE与BE的数量关系（要求画出示意图，不必说明理由）．考点：相似形综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠ADE=∠DEC+∠BEC，然后求出∠ADE=∠BEC，再根据两角对应相等两三角形相似求出△ADE和△BEC相似；（2）先判断出∠DEC=90°，再根据△ADE和△ECD相似，利用相似三角形对应边成比例可根据AE=BE可得AE=AB=CD，然后求出CD的长，再求出AE，利用勾股定理列式求出AD，然后利用矩形的面积公式列式计算即可得解；（3）分清况讨论，①∠CED=90°，再根据“点E是强相似点”判断出CE、DE分别是∠BCD和∠ADC的平分线，然后根据△ADE和△EDC相似，利用相似三角形对应边成比例可得=，根据△BCE和△ECD相似，利用相似三角形对应边成比例可得=，整理即可得到AE=BE．②∠CDE=90°，同理可得AE与BE的数量关系．解答：解：（1）由三角形外角性质可得∠A+∠ADE=∠DEC+∠BEC，∵∠A=∠DEC，∴∠ADE=∠BEC，又∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）∵点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，∴∠DEC=90°，由△ADE∽△ECD得，=，∵AE=BE，AB=CD，∴AE=AB=CD，∴=，解得CD=6，∴AE=×6=，在Rt△ADE中，AD===，∴矩形ABCD的面积=6×=9；（3）∵点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，∠B=90°，①若∠DEC=90°，∴∠AED+∠BEC=180°﹣90°=90°，∵∠BCE+∠BEC=90°，∴∠AED=∠BCE，若∠BCE与∠ECD互余，则四边形ABCD是矩形，所以，∠BEC和∠ECD只能相等，同理∠ADE与∠EDC也相等，即CE、DE分别是∠BCD和∠ADC的平分线，由△ADE∽△EDC得，=，∴AE•CD=DE•EC，由△BCE∽△ECD得，=，∴BE•CD=DE•EC，∴AE=BE．②若∠EDC=90°，∵△AED与△BEC相似，∴只有∠ADE=∠BCE，∠BEC=∠AED，∴EC是∠DEB的角平分线，∴CD=CB，∴△CBE≌△CDE，∴∠BCE=∠DCE，DE=BE，∵∠ADC+∠BCD=90°，∴∠BCE+∠DCE+∠CDE+∠ADE=180°，即可得3∠ADE=90°，∴∠ADE=30°，∴AE：DE=1：2，∴AE：BE=1：2．综上可得：AE：BE=1：1或AE：BE=1：2．点评：本题考查了相似形综合题，主要利用了相似三角形对应边成比例，矩形的对边平行且相等的性质，读懂题目信息，理解四边形边上的相似点与强相似点的定义并根据图形确定出相似三角形，准确找出对应边是解题的关键．6．（2013•咸宁）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．考点：相似形综合题．专题：压轴题．分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．解答：解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°．∴∠ADE=∠BEC．（2分）∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC．∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．（2）作图如下：（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE=∠BCD=30°，∴BE=CE=AB．在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°，∴，∴．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念等，从而可得到结论．7．定义：如果一个图形经过分割，能分为4个与自身相似的图形，我们称它为“能四阶自相似分割图形”．如图1，任意△A BC取各边的中点D、E、F，连接DE、EF、DF，分得的△ADF、△BDE、△DEF、△CEF显然都与△ABC相似，则任意△ABC是“能四阶自相似分割图形”．（1）小明发现：任意矩形ABCD（如图2）也是“能四阶自相似分割图形”．请你利用尺规作图作出分割线．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）同组的小华思考后提出：能不能设计一种方案，将任意△ABC分割成四个与△ABC相似的小三角形，且其中至少有两个小三角形的相似比不为1？为了研究方便，小华取AB=6，AC=4，BC=5，（如图3）并成功地设计出了分法．请你完成小华的分法，并简单地说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；作图—应用与设计作图．专题：几何图形问题．分析：（1）作AD的中垂线MN、AB的中垂线PQ即可，分成的四个矩形和原来的矩形相似．（2）在BC上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F，就可以将任意△ABC分割成四个与△ABC相似的小三角形，且其中至少有两个小三角形的相似比不为1．解答：解：（1）如图2，作AD的中垂线MN、AB的中垂线PQ即可，分得的四个矩形与原矩形相似．（2分）（2）如图3，在BC上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB 于点F，易证：△CDE∽△DBF∽△CBA，四边形AEDF为平行四边形，设CE=x，则AE=4﹣x，∵△CDE∽△CBA，可得，∴DE=x，∴AF=DE=x，（6分）如果：△AEF∽△ABC，可得，∴CE=，∴AF=，CD=．（8分）（其他类似方法同样给分）点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，相似三角形的对应边成比例以及应用与设计作图的知识点．8．（2008•闸北区二模）如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与△BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若AE=1，试求△GMN的面积．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：（1）根据△ABC与△EFG都是正三角形，所以它们的内角都是60°，相等，再结合平角等于180°，可以找出另外的相关的两个角的和等于120°，然后即可确定出图中所有相似的三角形；（2）只要证明另外和等于120°的两个角对应相等，即可利用两角对应相等，两三角形相似；（3）因为点E的位置以及BE的长度都不确定，所以分（i）点E在线段AB上且点MN 都在线段AC上；（ii）点E在线段AB上，点G在△ABC内；（iii）当点E在线段BA 的延长线上，三种情况进行讨论；（4）AE=1，而点E的位置不确定，所以要分两种情况进行讨论求解，（i）在线段AB 上，则△GMN是边长为1的正三角形；（ii）在射线BA上，则△GMN是有一个角是30°的直角，分别求出两直角边，面积可求．解答：解：（1）△BEF∽△AME∽△CFN∽△GMN；（3分）证明：（2）在△BEF与△AME中，∵∠B=∠A=60°，∴∠AEM+∠AME=120°，（1分）∵∠GEF=60°，∴∠AEM+∠BEF=120°，∴∠BEF=∠AME，（1分）∴△BEF∽△AME；（1分）解：（3）（i）当点E在线段AB上，点M、N在线段AC上时，如图，∵△BEF∽△AME，∴BE：AM=BF：AE，即：x：AM=2：（3﹣x），∴AM=，同理可证△BEF∽△CFN；∴BE：CF=BF：CN，即：x：1=2：CN，∴CN=，∵AC=AM+MN+CN，∴3=+y+，∴y=（1≤x≤3）；（ii）当点E在线段AB上，点G在△ABC内时，如备用图一，同上可得：AM=，CN=，∵AC=AM+CN﹣MN，∴3=+﹣y，∴y=﹣（0＜x≤1）；（iii）当点E在线段BA的延长线上时，如备用图二，AM=，CN=，∵AC=MN+CN﹣AM，∴3=y+﹣，∴y=（x＞3）；综上所述：y=﹣（0＜x≤1），或∴y=（x≥1）；（4）（i）当AE=1时，△GMN是边长为1等边三角形，∴S△GMN=×1×=；（1分）（ii）当AE=1时，△GMN是有一个角为30°的Rt△，∵x=4，∴y==，NG=FG﹣FN=4×﹣1×=，∴S△GMN=××=．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，本题难点在于点E的位置不确定，要分情况进行讨论，综合性较强，难度较大．9．（2011•浙江模拟）△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．考点：相似三角形的判定；等腰直角三角形．专题：证明题；开放型．分析：因为此题是特殊的三角形，所以首先要分析等腰直角三角形的性质：可得锐角为45°，根据角之间的关系，利用如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似可判定三角形相似；再根据性质得到比例线段，有夹角相等证得△ECN∽△MEN．解答：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BME=∠NEC，（4分）而∠B=∠C=45°，∴△BEM∽△CNE．（6分）（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴．（8分）又∵BE=EC，∴，（10分）则△ECN与△MEN中有，又∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．（12分）点评：此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．10．（2013•永州）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？考点：相似形综合题．专题：压轴题．分析：（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；（2）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当。